江西省白鹭洲中学2015届高三上学期期中考试 数学理

江西师大附中2015届高三年级数学（理）期中试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{1,2,4,6,8},{1,2,3,5,6,7}M N ==，则MN 中元素的个数为（ ）A ．3B ．2C ．7D ．5【知识点】集合的交集A1【答案】【解析】A 解析：因为{1,2,4,6,8},{1,2,3,5,6,7}M N ==，所以M N ={1,2,6}，所以交集的元素个数为3，则选A.【思路点拨】可先求出两个集合的交集，再判断两个集合交集的元素个数.2．若0a <，0b <，则22b a p a b=+与q a b =+的大小关系为 （ ）A. p q <B. p q ≤C. p q >D. p q ≥【知识点】不等式的性质E1【答案】【解析】B 解析：因为()()2220b a b a b a p q a b a b ab-+-=+--=≤，所以p q ≤，则选B【思路点拨】比较两个实数大小若无基本不等式特征及函数的单调性特征，可考虑利用差值比较法.3．下列函数中，既是偶函数又在),0(+∞上单调递增的函数是( )A. 3x y =B. 12+-=x y C. 1+=x y D. xy -=2【知识点】函数的单调性 偶函数B3 B4【答案】【解析】C 解析：因为函数为偶函数，所以排除A ，又函数在),0(+∞上单调递增，排除B,D ，所以选C.【思路点拨】由函数的性质判断函数解析式，可利用其性质依次排除不满足条件的选项，本题注意利用复合函数的单调性规律进行判断. 【题文】4．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线01=+-y ax 平行，则a =（ ） A ．2B ．2-C ． 12D ． 12-【知识点】导数的几何意义B11 【答案】【解析】D 解析：因为()21221,'111x y y x x x +==+=----，则曲线在点(32)，处的切线斜率为()221231-=--，所以12a =-，则选D.【思路点拨】利用导数的几何意义可知切线的斜率等于曲线在切点处的导数值，由此建立关于a 的方程求解即可.【题文】5．AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD 则===（ ）A ．(1,1)--B ．(3,7)C ．(1,1)D ．(2,4)【知识点】向量的加法与减法F1【答案】【解析】A 解析：因为()()()1,32,41,1AD AC AB =-=-=--,所以选A. 【思路点拨】由向量的加法运算可知AD AC AB =-，再利用向量的坐标运算解答即可. 【题文】6．已知0>t ，若8)22(0=-⎰tdx x ，则t =（ ）A.1B. 4C.-2或4D. -2【知识点】定积分B13【答案】【解析】B 解析：因为()()220022228tt x dx xx t t -=-=-=⎰，解得t=4或t=﹣2，又t ＞0，所以t=4，则选B.【思路点拨】可利用公式先求出定积分，再解方程求t ，注意定积分上下标之间的大小关系.【题文】7．已知变量y x ,满足条件120x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A. 6B.4C.3D.2【知识点】简单的线性规划E5 【答案】【解析】C 解析：不等式组表示的平面区域如图，显然当动直线z=2x+y 经过顶点A时目标函数取得最小值为z=2×1+1=3,所以选C.【思路点拨】由二元一次不等式组，求目标函数的最值，常用数形结合的方法结合目标函数的几何意义进行解答.【题文】8．某三棱锥的三视图如图所示， 该三棱锥的体积是（ ）A ．34B ．38 C ．2 D ．4【知识点】三视图，棱锥的体积G2 G7【答案】【解析】D 解析：由俯视图与侧视图可知三棱锥的底面积为14362⨯⨯=，由侧视图可知棱锥的高为2，所以棱锥的体积为16243⨯⨯=，则选D.【思路点拨】由三视图解答问题，抓住三视图与原几何体的对应关系是解题的关键. 【题文】9．边长为8,7,5的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A ． 120B ． 135C ． 90D ． 150【知识点】余弦定理C8【答案】【解析】A 解析：设边长为7对应的角为α，则有2564491cos 2582α+-==⨯⨯，所以60α=︒，则三角形的最大角与最小角的和是 120，所以选A.【思路点拨】抓住三角形内角和公式，利用余弦定理求出中间的角即可.【题文】10．已知0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值是（ ）A. 3B. 4C. 29D. 211 【知识点】均值不等式E6【答案】【解析】B 解析：因为2282222x y x y xy x y +⎛⎫=++≤++ ⎪⎝⎭，得()()2242320x y x y +++-≥，解得24x y +≥，即y x 2+的最小值是4，所以选B.【思路点拨】观察所给的条件822=++xy y x ，利用基本不等式转化为关于x+2y 的一元二次不等式，解不等式求范围即可.【题文】11．已知函数⎩⎨⎧>-≤+-=1,521,2)(2x ax x x x x f ，若存在12,x x R ∈且12x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. 0<aB. 0≤aC. 3<aD. 30<<a【知识点】分段函数 函数的单调性 B1 B3 【答案】【解析】C 解析：因为当x ≤1时函数f(x)单调递增，则f(x) ≤1，所以当a ≤0时，显然满足条件，当a ＞0时，若存在12,x x R ∈且12x x ≠，使得12()()f x f x =成立，应满足2a ﹣5＜1，得a ＜3，综上知实数a 的取值范围是a ＜3，所以选C.【思路点拨】本题可抓住两段函数的单调性及在分界点处的函数值的关系结合图像特征进行解答.【题文】12．已知函数20134321)(2013432x x x x x x f ++-+-+= ，设)4()(+=x f x F ，且函数)(x F 的零点均在区间[,],(,,)a b a b a b Z <∈内，圆22x y b a +=-的面积的最小值是（ ） A. 4πB. 3πC. πD. 2π【知识点】函数的零点 导数的应用B9 B12【答案】【解析】C 解析：因为f(0)=1＞0，()11110232013f -=----<,所以函数在区间[0,1]有零点，又()2342012'1f x x x x x x =-+-+-+,当x ≤0时，显然f ’(x) ＞0，当0＜x ≤1时，()()()()()2345201020112012'10f x x x x x x x x x =-+-+-++-+>，当x ＞1时，()()()()23420112012'10f x x x x x x x =+-++-+++-+>，综上知f ’(x) ＞0,所以函数f(x)在R 上单调递增，则函数在区间[0,1]有唯一的零点，所以b ﹣a 的最小值为1，则圆22x y b a +=-的面积的最小值是π，所以选C.【思路点拨】一般判断函数的零点所在的区间，通常利用函数的零点存在性定理，本题还应注意判断零点所在区间的唯一性.【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.【题文】13．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若12543=++a a a ，则7S _____________. 【知识点】等差数列D2【答案】【解析】28 解析：因为3454312a a a a ++==，则4744,728a S a ===. 【思路点拨】一般遇到等差数列问题时，可先通过观察其项数判断有无性质特征，能用性质的用性质解答，不能用性质的用公式解答.【题文】14．若不等式2350ax x -+>的解集为{|1}x m x <<，则实数m =_____________. 【知识点】一元二次不等式解法E3 【答案】【解析】52m =-解析：因为不等式2350ax x -+>的解集为{|1}x m x <<，所以a ﹣3+5=0，得a=﹣2，由22350x x --+=解得x=1或52x =-，所以52m =-.【思路点拨】一元二次不等式的解集中的端点值即为对应的一元二次方程的根.【题文】15.已知函数sin()3y x π=+13([0,])6x π∈的图像与直线y m =有且只有两个交点，且交点的横坐标分别为1212,()x x x x <，那么12x x +=_____________. 【知识点】三角函数的图像与性质C3【答案】【解析】73π 解析：因为当x=0时，当136x π=时，y=1，所以若函数sin()3y x π=+13([0,])6x π∈的图像与直线y m =有且只有两个交点，则m=1或1m -<<,此时两焦点显然关于直线76x π=，则1277263x x ππ+=⨯=.【思路点拨】一般遇到两个函数的图像交点个数问题时，可利用数形结合的方法进行解答. 【题文】16．已知函数2)1ln()(x x a x f -+=在区间)1,0(内任取两个实数q p ,，且q p ≠，不等式1)1()1(>-+-+qp q f p f 恒成立，则实数a 的取值范围为_____________．【知识点】函数的单调性，导数的应用B3 B12【答案】【解析】[15,+ ∞) 解析：因为，不妨设，因为，所以，所以在内是增函数，所以在内恒成立，即恒成立，所以的最大值，因为在上的最大值为，所以实数的取值范围为.【思路点拨】结合函数的单调性定义把不等式转化为函数值的大小关系，得到函数的单调性，再利用函数的单调性利用导数解答.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】17. (本小题满分10分)设：p 实数x 满足0)3)((<--a x a x ，其中0>a .：q 实数x 满足⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+-015808622x x x x . （1）若1=a 且q p ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【知识点】基本逻辑联结词，充分条件与必要条件A2 A3 【答案】【解析】（1）32<<x ；（2）21≤≤a . 解析：依题意知：a x a p 3:<<⎩⎨⎧>--<--0)5)(3(0)4)(2(:x x x x q ，所以⎩⎨⎧<><<3542x x x 或，即32<<x .（1）当1=a 时，31:<<x p 要使q p ∧为真，则须满足⎩⎨⎧<<<<3231x x ，解得：32<<x ；（2） p 是q 的必要不充分条件 ∴)3,()3,2(a a ⊂⎩⎨⎧≥≤∴332a a ，解得：21≤≤a . 【思路点拨】（1）结合真值表由q p ∧为真判断出p,q 的真假，再进行解答；（2）若p 是q 的必要不充分条件，则由q 能推出p ，而由p 不能推出q.【题文】18. (本小题满分12分)设向量a =)1sin (cos --，x x ωω，b =)1sin 2(-，x ω，其中0>ω，R x ∈,已知函数=)(x f a ·b 的最小正周期为π4. （1）求ω的值；（2）若0sin x 是关于t 的方程0122=--t t 的根，且0(,)22x ππ∈-，求0()f x 的值. 【知识点】向量的坐标运算 三角函数的性质C3 F2【答案】【解析】（1）41=ω;（2）2解析：(1) )1,sin 2()1,sin (cos )(-⋅--=⋅=x x x b a x f ωωω x x x x x ωωωωω2cos 2sin 1sin 2cos sin 22+=+-= )42sin(2πω+=x因为 π4=T 所以 πωπ422= 41=ω (2) 方程0122=--t t 的两根为 1,2121=-=t t因为 0(,)22x ππ∈- 所以 0sin (1,1)x ∈-，所以01sin 2x =- 即06x π=-又由已知001()sin()24f x x π=+所以 226sin2)412sin(2)6(==+-=-ππππf【思路点拨】一般研究与三角有关的函数性质，通常先化成一个角的三角函数再进行解答. 【题文】19. (本小题满分12分)已知函数)10(log )(≠>+=a a m x x f a 且的图象过点(8,2)，点(3,1)P -关于直线2x =的对称点Q 在()f x 的图象上． （1）求函数()f x 的解析式；（2）令)1()(2)(--=x f x f x g ，求)(x g 的最小值及取得最小值时x 的值．【知识点】函数解析式的求法，对数函数的性质B1 B7 【答案】【解析】（1）2()1log f x x =-+;（2）当2x =时，函数()g x 取得最小值1． 解析：（1）点(3,1)P -关于直线2x =的对称点Q 的坐标为(1,1)Q -.由(8)2,(1)1,f f =⎧⎨=-⎩得log 82,log 11,a a m m +=⎧⎨+=-⎩解得1m =-，2a =，故函数解析式为2()1log f x x =-+．（2）()2()(1)g x f x f x =--222(1log )[1log (1)]x x =-+--+-22log 11x x =--（1x >），∵22(1)2(1)11(1)224111x x x x x x x -+-+==-++≥+=---， 当且仅当111x x -=-即2x =时，“＝”成立， 而函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增，则222log 1log 4111x x -≥-=-，故当2x =时，函数()g x 取得最小值1．【思路点拨】（1）直接把函数图像所经过的点的坐标代入函数解析式求解即可；（2）可先求函数的定义域，再把函数化成只有一个对数的函数，利用对数的单调性转化为求真数的最值问题.【题文】20. (本小题满分12分)如图，在四棱锥S ABCD -中，侧棱SA ⊥底面ABCD ，//AD BC ,90ABC ∠=，2SA AB BC ===，1AD =．M 是棱SB 的中点． （1）求证：//AM 面SCD ；（2）设点N 是线段CD 上的一点，且AN 在AD 方向上的射影为a ，记MN 与面SAB 所成的角为θ，问：a 为何值时，sin θ取最大值？ 【知识点】直线与平面平行 线面所成的角G10 G11【答案】【解析】（1）略；（2）53a =时，735sin max =θ .解析：（1）以点A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 (000),(020),(220),(100),(002),(011)A B C D S M ，，，，，，，，，，，，则(011),(102),(120)AM SD CD ==-=--，，，，，， 设平面SCD 的法向量是(x y z)n =，，，则0,0,SD n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,20,x z x y -=⎧⎨--=⎩令1z =，则2,1x y ==-，于是(211)n =-，，∵0AM n ⋅=，∴AM n ⊥，∴AM//平面SCD（2）设(,22,0)N a a -，则(,23,1)MN a a =--. 又，面SAB 的法向量为()11,0,0n =，A D C SM B所以2222(,23,1)(1,0,0)1sin 11(23)15121010()12()5a a a a a a a a aθ--===+-+-+-+.当135a =，即53a =时，735sin max =θ【思路点拨】证明线面平行可先考虑线面平行的判定定理，若证明不方便可利用向量解答，对于求角问题一般考虑用向量解答.【题文】21.(本小题满分12分)已知数列{}n a 满足0211=+-+-n n n a a a )2(≥∈*n N n 且，且,21=a 43=a .数列{}n b 的前n 项和为)(12*∈-=N n b S n n . （1）求数列{}{}n n b a ,的通项公式；（2）符号[]x 表示不超过实数x 的最大整数，记[])1(log 2-=n n a c ，n T 为数列{}n c 的前n项和，求n T 2.【知识点】数列的通项公式 数列求和D1 D4【答案】【解析】（1）1n a n =+,12-=n n b ;（2）2(2)22n nT n n =-++ 解析：（1）依题意知数列{}n a 为等差数列 所以2213==-d a a ，即公差1=d . 故 1n a n =+由12-=n n b S 得：1211-=++n n b S 两式相减得：n n b b 21=+所以数列{}n b 为等比数列，令1=n 得1211-=b S ，即11=b 所以12-=n n b .（2）由（1）知1n a n =+，所以[]n c n 2log =.当122+<≤k k n 时，[]k n =2log ，N k ∈.所以[][][][]nnn T 2log )12(log 2log 1log 22222+-+++=[][][][][][])15log 2log ()7log 2log ()3log 2log (232222212+++++++= ++ [][][]))12(log )12(log 2log (21212-++++--n n n []n 2log 2+n n T n n +-++⨯+⨯+=∴-13222)1(23222n n n T n n n 22)1(2)2(222121322+-+-++⨯+⨯=-两式相减得：n n n n T n 2)1(222122---+++=--22)2(2++-=∴n n T n n .【思路点拨】（1）一般遇到数列的前n 项和与通项之间的递推关系，可先利用和与项的关系转化为相邻项的递推公式再进行解答；（2）一般数列求和问题，通常结合其通项公式特征确定求和思路进行求和.【题文】22. (本小题满分12分)已知函数R m m mx x x f ∈+-=,ln )(.（1）是否存在实数m ，使得不等式0)(≤x f 在),0(+∞上恒成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.（2）求证：e nn n<+++⨯+⨯+⨯+-])12)(12(21[)9581)(5341)(3221(1 （其中*n ∈N ，e 是自然对数的底数）．【知识点】导数的综合应用B12 E7【答案】【解析】（1）m=1.;（2）略. 解析：（1）m xx f -=1)(' （i ）当0≤m 时，)(x f 在),0(+∞单调递增.当),1(+∞∈x 时，0)1()(=>f x f ，不合题意. （ii ）当0>m 时，xmxx f -=1)('. 由0)('>x f 得m x 10<<，令0)('<x f 得mx 1>. 所以)1,0(m 单调递增，⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1m 单调递减. 要使0)(≤x f 恒成立，只须max 1()ln 10f x f m m m ⎛⎫==--+≤ ⎪⎝⎭， 令()ln 1g m m m =--+，()111m g m m m-'=-=，所以()0,1m ∈，()0g m '<，()1,m ∈+∞， ()0g m '>，()min (1)0g m g ==，所以m=1.综上，m 的取值范围是m=1.（1） 据（1）知1ln -≤x x 在),0(+∞上恒成立.所以ln(1)x x +≤在区间(1,)-+∞上恒成立又112112()(21)(21)2121n n n n n --=-++++，[来源:] ∵12482ln{(1)(1)(1)[1]}233559(21)(21)nn n -+++⋅⋅+⨯⨯⨯++12482ln(1)ln(1)ln(1)ln[1]233559(21)(21)nn n -=++++++++⨯⨯⨯++12482233559(21)(21)nn n -<++++⨯⨯⨯++ 1111111112[()()()()]2335592121n n -=-+-+-++-++112[()]1221n =-<+，∴12482(1)(1)(1)[1]e 233559(21)(21)nn n -+++⋅⋅+<⨯⨯⨯++．【思路点拨】（1）一般遇到不等式恒成立问题，通常转化为函数的最值问题进行解答；（2）可利用放缩法证明不等式.。

2014-2015学年江西省吉安市白鹭洲中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共有12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，则集合B可能是（）A．{1，2}B．{x|x≤1}C．{﹣1，0，1}D．R2．（5分）已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，下列四个命题：①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；④若m∥α，α∩β=n，则m∥n．其中正确命题的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3．（5分）要得到y=3sin（2x+）的图象只需将y=3sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位4．（5分）若直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，那么a的值等于（）A．1 B．﹣ C．﹣ D．﹣25．（5分）已知焦点在y轴上的椭圆+=1的长轴长为8，则m等于（）A．4 B．6 C．16 D．186．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值等于（）A．7 B．8 C．10 D．117．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=（）A．31 B．32 C．63 D．648．（5分）直线x﹣y+m=0与圆x2+y2﹣2x﹣1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是（）A．﹣3＜m＜1 B．﹣4＜m＜2 C．0＜m＜1 D．m＜19．（5分）若直线l过点A（0，a），斜率为1，圆x2+y2=4上恰有1个点到l的距离为1，则a的值为（）A．3 B．±3C．±2 D．±10．（5分）已知函数f（x）是R上的可导函数，f（x）的导数f′（x）的图象如图，则下列结论正确的是（）A．a，c分别是极大值点和极小值点B．b，c分别是极大值点和极小值点C．f（x）在区间（a，c）上是增函数D．f（x）在区间（b，c）上是减函数11．（5分）设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率e为（）A．B．C．D．12．（5分）若直线l：y=﹣+m与曲线C：y=有且仅有三个交点，则m的取值范围是（）A． B．（1，）C．（1，+1） D．（2，+1）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是斜边AB上的一个三等分点，则=．14．（5分）若某几何体的三视图如图，该几何体的体积为2，则俯视图中的x=15．（5分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2=1（a＞0）与直线y=3x相交于P，Q 两点，则当△CPQ的面积最大时，此时实数a的值为．16．（5分）下列说法：①“∃x∈R，使2x＞3”的否定是“∀x∈R，使2x≤3”；②函数y=sin（2x+）sin（﹣2x）的最小正周期是π，③命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f′（x0）=0”的否命题是真命题；④f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，x＞0时的解析式是f（x）=2x，则x＜0时的解析式为f（x）=﹣2﹣x其中正确的说法是．三、解答题：（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知直线l=1．（1）若直线的斜率小于2，求实数m的取值范围；（2）若直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O是坐标原点，求△AOB 面积的最值及此时直线的方程．18．（12分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD 沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM=2．（1）求证：OM∥平面ABD；（2）求证：平面DOM⊥平面ABC；（3）求三棱锥B﹣DOM的体积．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，点（a n，S n）在直线上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d n的等差数列，（Ⅱ）在a n与a n+1求数列的前n项和T n．20．（12分）已知函数f（x）=e x（x2+ax﹣a+1），其中a是常数．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）在定义域内是单调递增函数，求a的取值范围．21．（12分）已知焦点在y轴，顶点在原点的抛物线C1经过点P（2，2），以抛物线C1上一点C2为圆心的圆过定点A（0，1），记M，N为圆C2与x轴的两个交点．（1）求抛物线C1的方程；（2）当圆心C2在抛物线上运动时，试判断|MN|是否为一定值？请证明你的结论；（3）当圆心C2在抛物线上运动时，记|AM|=m，|AN|=n，求+的最大值．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.选修4-1，几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.选修4-5；不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．2014-2015学年江西省吉安市白鹭洲中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共有12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，则集合B可能是（）A．{1，2}B．{x|x≤1}C．{﹣1，0，1}D．R【解答】解：∵集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，∴B⊆A，观察备选答案中的4个选项，只有{1，2}⊆A．故选：A．2．（5分）已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，下列四个命题：①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；④若m∥α，α∩β=n，则m∥n．其中正确命题的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：①正确，课本例题的结论；②正确，同垂直与一条直线的两个平面平行；③正确，由m⊥α，m∥n得，n⊥α，又因n⊂β，所以α⊥β．④不对，由线面平行的性质定理得，当m⊂β时成立；否则不一定成立．即正确的有①②③．故选：D．3．（5分）要得到y=3sin（2x+）的图象只需将y=3sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：∵，∴只需将y=3sin2x的图象向左平移个单位故选：C．4．（5分）若直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，那么a的值等于（）A．1 B．﹣ C．﹣ D．﹣2【解答】解：直线ax+2y+1=0的斜率k1=﹣，直线x+y﹣2=0的斜率k2=﹣1．∵直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，∴k1•k2=﹣1．∴，解得a=﹣2．故选：D．5．（5分）已知焦点在y轴上的椭圆+=1的长轴长为8，则m等于（）A．4 B．6 C．16 D．18【解答】解：∵焦点在y轴上的椭圆+=1的长轴长为8，∴2=8，解得m=16．故选：C．6．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值等于（）A．7 B．8 C．10 D．11【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B（4，2）时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，此时z=2×4+2=10，故选：C．7．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=（）A．31 B．32 C．63 D．64【解答】解：S2=a1+a2，S4﹣S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6﹣S4=a5+a6=（a1+a2）q4，所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，即3，12，S6﹣15成等比数列，可得122=3（S6﹣15），解得S6=63故选：C．8．（5分）直线x﹣y+m=0与圆x2+y2﹣2x﹣1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是（）A．﹣3＜m＜1 B．﹣4＜m＜2 C．0＜m＜1 D．m＜1【解答】解：联立直线与圆的方程得：，消去y得：2x2+（2m﹣2）x+m2﹣1=0，由题意得：△=（2m﹣2）2﹣8（m2﹣1）=﹣4（m+1）2+16＞0，变形得：（m+3）（m﹣1）＜0，解得：﹣3＜m＜1，∵0＜m＜1是﹣3＜m＜1的一个真子集，∴直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是0＜m＜1．故选：C．9．（5分）若直线l过点A（0，a），斜率为1，圆x2+y2=4上恰有1个点到l的距离为1，则a的值为（）A．3 B．±3C．±2 D．±【解答】解：由题意可得，直线l的方程为y=x+a，即x﹣y+a=0．圆x2+y2=4上恰有1个点到l的距离为1，可得圆心（0，0）到直线l的距离等于半径加1，即圆心（0，0）到直线l的距离等于3，故有=3，求得a=，故选：B．10．（5分）已知函数f（x）是R上的可导函数，f（x）的导数f′（x）的图象如图，则下列结论正确的是（）A．a，c分别是极大值点和极小值点B．b，c分别是极大值点和极小值点C．f（x）在区间（a，c）上是增函数D．f（x）在区间（b，c）上是减函数【解答】解：对于A，在x=a处导数左负右正，为极小值点，在x=c处导数左正右正，不为极值点，故A错；对于B，在x=b处导数不为0，在x=c处导数左正右正，不为极值点，故B错；对于C，f（x）在区间（a，c）上的导数大于0，则f（x）在区间（a，c）上是增函数，故C对；对于D，f（x）在区间（b，c）上的导数大于0，则f（x）在区间（b，c）上是增函数，故D错．故选：C．11．（5分）设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率e为（）A．B．C．D．【解答】解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|=2=4b根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=；∴e====．故选：D．12．（5分）若直线l：y=﹣+m与曲线C：y=有且仅有三个交点，则m的取值范围是（）A． B．（1，）C．（1，+1） D．（2，+1）【解答】解：由题意作图象如下，y=的图象由椭圆的一上部分与双曲线的上部分构成，故直线l：y=﹣+m与曲线C：y=有且仅有三个交点的临界直线有，当y=﹣+m过点（2，0）时，即0=﹣1+m，故m=1；当直线y=﹣+m与椭圆的上部分相切，即y′==﹣，即x=，y=时，此时，m=．故选：B．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是斜边AB上的一个三等分点，则=4．【解答】解：由题意可建立如图所示的坐标系可得A（2，0）B（0，2），P（，）或P（，），故可得=（，）或（，），=（2，0），=（0，2），所以+=（2，0）+（0，2）=（2，2），故==（，）•（2，2）=4或=（，）•（2，2）=4，故答案为：414．（5分）若某几何体的三视图如图，该几何体的体积为2，则俯视图中的x= 2【解答】解：该几何体为四棱锥，S=h=2则V=解得，x=2．15．（5分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2=1（a＞0）与直线y=3x相交于P，Q两点，则当△CPQ的面积最大时，此时实数a的值为．【解答】解：圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2=1（a＞0）的圆心（a，a）半径为1，圆心到直线的距离d=，半弦长为：=，∴△CPQ的面积S===，当a2=时10a2﹣4a4取得最大值，最大值为：，∴△CPQ的面积S的最大值为：=．此时a=故答案为：．16．（5分）下列说法：①“∃x∈R，使2x＞3”的否定是“∀x∈R，使2x≤3”；②函数y=sin（2x+）sin（﹣2x）的最小正周期是π，③命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f′（x0）=0”的否命题是真命题；④f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，x＞0时的解析式是f（x）=2x，则x＜0时的解析式为f（x）=﹣2﹣x其中正确的说法是①④．【解答】解：对于①，根据含量词的命题的否定是量词互换，结论否定，故①对对于②，，所以周期T=，故②错对于③，“函数f（x）在x=x0处有极值，则f′（x0）=0”的否命题为“函数f（x）在x=x0处没有极值，则f′（x0）≠0”，例如y=x3，x=0时，不是极值点，但是f′（0）=0，所以③错对于④，设x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=2﹣x，∵f（x）为奇函数，∴f（x）=﹣2﹣x，故④对故答案为①④三、解答题：（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知直线l=1．（1）若直线的斜率小于2，求实数m的取值范围；（2）若直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O是坐标原点，求△AOB 面积的最值及此时直线的方程．【解答】解：（1）直线l过点（m，0），（0，4﹣m），则2，解得m＞0或m＜﹣4且m≠4．∴实数m的取值范围是m＞0或m＜﹣4且m≠4；（2）由m＞0，4﹣m＞0得0＜m＜4，则，则m=2时，S有最大值为2，直线l的方程为x+y﹣2=0．18．（12分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD 沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM=2．（1）求证：OM∥平面ABD；（2）求证：平面DOM⊥平面ABC；（3）求三棱锥B﹣DOM的体积．【解答】解：（1）∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM∥AB．又∵OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，∴OM∥平面ABD．（2）∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，∴在三棱锥B﹣ACD中，OD⊥AC．在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=60°，可得BD=4．∵O为BD的中点，∴DO=BD=2．∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM=AB=2．因此，OD2+OM2=8=DM2，可得OD⊥OM．∵AC、OM是平面ABC内的相交直线，∴OD⊥平面ABC．∵OD⊂平面DOM，∴平面DOM⊥平面ABC．（3）由（2）得，OD⊥平面BOM，所以OD是三棱锥D﹣BOM的高．=×OB×BM×sin60°=，由OD=2，S△BOM=V D﹣BOM=S△BOM=×DO=×=．所以V B﹣DOM19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，点（a n，S n）在直线上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d n的等差数列，（Ⅱ）在a n与a n+1求数列的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由题设知，﹣1，得﹣1（n∈N*，n≥2），两式相减得：，即a n=3a n﹣1（n∈N*，n≥2），又S1=得a1=2，所以数列{a n}是首项为2，公比为3的等比数列，所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，=a n+（n+1）d n，所以，因为a n+1所以=，令，则①，②，①﹣②得﹣==，∴；20．（12分）已知函数f（x）=e x（x2+ax﹣a+1），其中a是常数．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）在定义域内是单调递增函数，求a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=e x（x2+ax﹣a+1）可得f′（x）=e x[x2+（a+2）x+1]．当a=1时，f（1）=2e，f′（1）=5e故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣2e=5e（x﹣1），即5ex﹣y﹣3e=0；（2）由（1）知f′（x）=e x[x2+（a+2）x+1]，若f（x）是单调递增函数，则f′（x）≥0恒成立，即x2+（a+2）x+1≥0恒成立，∴△=（a+2）2﹣4≤0，﹣4≤a≤0，故a的取值范围为[﹣4，0]．21．（12分）已知焦点在y轴，顶点在原点的抛物线C1经过点P（2，2），以抛物线C1上一点C2为圆心的圆过定点A（0，1），记M，N为圆C2与x轴的两个交点．（1）求抛物线C1的方程；（2）当圆心C2在抛物线上运动时，试判断|MN|是否为一定值？请证明你的结论；（3）当圆心C2在抛物线上运动时，记|AM|=m，|AN|=n，求+的最大值．【解答】解：（1）由已知，设抛物线方程为x2=2py，22=2p×2，解得p=1．所求抛物线C1的方程为x2=2y；（2）法1：设圆心C2（a，），则圆C2的半径r=，圆C2的方程为（x﹣a）2+（y﹣）2=a2+（﹣1）2．令y=0，得x2﹣2ax+a2﹣1=0，得x1=a﹣1，x2=a+1，|MN|=|x1﹣x2|=2（定值）；法2：设圆心C2（a，b），因为圆过A（0，1），所以半径r=，因为C2在抛物线上，a2=2b，且圆被x轴截得的弦长|MN|=2=2=2（定值）（3）由（2）知，不妨设M（a﹣1，0），N（a+1，0），m===，n===，则===2a=0时，=2；a≠0时，+=2≤2．故当且仅当a=时，+取得最大值2．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.选修4-1，几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.选修4-5；不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）∵2a +3b ≥2=2，当且仅当2a=3b 时，取等号． 而由（1）可知，2≥2=4＞6，故不存在a ，b ，使得2a +3b=6成立．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 图象定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式x(0,1)O1y =x(0,1)O 1y =log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。

2014-2015学年江西省吉安市白鹭洲中学高三（上）周考数学试卷（5）（尖子班）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．集合p={x|x=i n﹣i﹣n，i是虚数单位，n∈N*}的子集的个数为（）A．4 B．8 C．16 D．无数个2．已知两条直线l1：y=x，l2：ax﹣y=0，其中a为实数，当这两条直线的夹角在（0，）内变动时，a的取值范围是（）A．（0，1）B．（，）C．（，1）∪（1，）D．（1，）3．函数的一个单调增区间是（）A．B．C．D．4．阅读如图的程序框图．若输入m=4，n=6，则输出的a，i分别等于（）A．12，2 B．12，3 C．24，2 D．24，35．（理科）已知不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是，则实数m的取值范围是（）A．B．∅ C．D．6．（5分）△ABC中，cosAcosBcosC的最大值是（）A．B．C．1 D．7．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（）甲的成绩环数7 8 9 10频数5 5 5 5乙的成绩环数7 8 9 10频数6 4 4 6丙的成绩环数7 8 9 10频数4 6 6 4A．s3＞s1＞s2 B．s2＞s1＞s3 C．s1＞s2＞s3 D．s2＞s3＞s18．连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为θ，则的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）当x∈[﹣4，0]时，a+≤x+1恒成立，则a的一个可能的值是（）A．5 B．C．D．﹣510．已知椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）如果f（x）的定义域为R，f（x+2）=f（x+1）﹣f（x），且f（1）=lg3﹣lg2，f （2）=lg3+lg5，则f（2008）=（）A．1 B．﹣1 C．lg2﹣lg3 D．﹣lg3﹣lg512．有一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a，现用一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．定义运算=ad﹣bc，则符合条件=0的复数对应的点位于复平面内的第象限．14．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x的公共焦点为F，其中一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的离心率为．15．设A、B、C、D是半径为2的球面上的四个不同点，且满足，，，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ABD、△ACD的面积，则S1+S2+S3的最大值是．16．某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则AP+PF=f（x）．请你参考这些信息，推知函数f（x）的图象的对称轴是；函数g（x）=4f（x）﹣9的零点的个数是．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．17．（12分）已知函数f（x）=log a x（a＞0且a≠1），若数列：2，f（a1），f（a2），…，f（a n），2n+4（n∈N*）成等差数列．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）若a=2，令b n=a n•f（a n），对任意n∈N*，都有b n＞f﹣1（t），求实数t的取值范围．18．（12分）（2012•湖南）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．一次性购物量1至4件5 至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）x 30 25 y 10结算时间（分钟/人）1 1.5 2 2.5 3已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）19．（12分）（2005•重庆）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点，PE⊥EC．已知，求（Ⅰ）异面直线PD与EC的距离；（Ⅱ）二面角E﹣PC﹣D的大小．20．（12分）已知抛物线Ω的顶点是坐标原点O，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线l 与抛物线交于M、N两点且满足•=﹣3．（1）求抛物线Ω的方程；（2）若直线y=x与抛物线Ω交于A、B两点，在抛物线Ω上是否存在异于A，B的点C，使得经过A，B，C三点的圆和抛物线Ω在切点处有相同的切线？若存在，求出点C坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知f（x）=kx3﹣x2+x﹣5在R上单调递增，记△ABC的三内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若a2+c2≥b2+ac时，不等式恒成立．（1）求实数k的取值范围；（2）求角cosB的取值范围；（3）求实数m的取值范围．【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分10分）22．（10分）（2011•黑龙江校级一模）已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），定点，F1，F2是圆锥曲线C的左，右焦点．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F1且平行于直线AF2的直线l的极坐标方程；（2）在（I）的条件下，设直线l与圆锥曲线C交于E，F两点，求弦EF的长．【选修】共1小题，满分0分）23．（2014•正定县校级三模）在平面直角坐标系中，定义点P（x1，y1）、Q（x2，y2）之间的直角距离为L（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，点A（x，1），B（1，2），C（5，2）（1）若L（A，B）＞L（A，C），求x的取值范围；（2）当x∈R时，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立，求t的最小值．2014-2015学年江西省吉安市白鹭洲中学高三（上）周考数学试卷（5）（尖子班）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．集合p={x|x=i n﹣i﹣n，i是虚数单位，n∈N*}的子集的个数为（）A．4 B．8 C．16 D．无数个考点：子集与真子集；集合中元素个数的最值．专题：计算题．分析：先判断集合集合p中的元素的个数，再利用子集的个数公式进行进行求解；解答：解：∵集合p={x|x=i n﹣i﹣n，n∈N*}，取n=1，2，3，4••∴p={i﹣，﹣1，﹣i+，0}，一共有4个元素，∴集合p的子集的个数为：24=16，故选C；点评：本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个．2．已知两条直线l1：y=x，l2：ax﹣y=0，其中a为实数，当这两条直线的夹角在（0，）内变动时，a的取值范围是（）A．（0，1）B．（，）C．（，1）∪（1，）D．（1，）考点：两直线的夹角与到角问题．专题：计算题；数形结合．分析：首先求得直线l1的倾斜角，进而判断出两条直线的夹角在（0，）内变动时l2的倾斜角的取值范围，进而即可求得a的取值范围．解答：解：直线l1：y=x的倾斜角为，令直线l2：ax﹣y=0的倾斜角为θ，则有a=tanθ∴过原点的直线l1：y=x，l2：ax﹣y=0的夹角在（0，）内变动时，可得直线l2的倾斜角的范围是（，）∪（，）．∴l2的斜率的取值范围是（，1）∪（1，），即a∈（，1）∪（1，），故选C．点评：本题主要考查了两直线的夹角与到角的问题．解题时要注意夹角的范围和到角的方向性．3．函数的一个单调增区间是（）A．B．C．D．考点：复合三角函数的单调性．专题：计算题；压轴题；转化思想；换元法．分析：化简函数为关于cosx的二次函数，然后换元，分别求出单调区间判定选项的正误．解答：解．函数=cos2x﹣cosx﹣1，原函数看作g（t）=t2﹣t﹣1，t=cosx，对于g（t）=t2﹣t﹣1，当时，g（t）为减函数，当时，g（t）为增函数，当时，t=cosx减函数，且，∴原函数此时是单调增，故选A点评：本题考查三角函数的单调性，考查发现问题解决问题的能力，是中档题．4．阅读如图的程序框图．若输入m=4，n=6，则输出的a，i分别等于（）A．12，2 B．12，3 C．24，2 D．24，3考点：设计程序框图解决实际问题；程序框图．专题：常规题型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求输出m，n的公倍数a及相应的i值．解答：解：根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求输出m，n的公倍数及相应的i值∵m=4，n=6∴a=12则a=12=4×3故i=3故答案为B点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．5．（理科）已知不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是，则实数m的取值范围是（）A．B．∅ C．D．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：本题先把绝对值不等式化为m﹣1＜x＜m+1，再把充要条件的判断转化为不等式组的求解．解答：解：不等式|x﹣m|＜1可化为﹣1＜x﹣m＜1，即m﹣1＜x＜m+1记集合P={x|m﹣1＜x＜m+1}，记集合Q={x|＜x＜}，不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是＜x＜等价于Q⊂P，由数轴可知，解得﹣≤m≤，故选C点评：本题为充要条件的判断与不等式的解法，属基础题．6．（5分）△ABC中，cosAcosBcosC的最大值是（）A．B．C．1 D．考点：两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用．分析：设y=cosAcosBcosC，运用积化和差和二次方程有实根，判别式不小于0，解不等式结合余弦函数的值域，即可得到最大值．解答：解：设y=cosAcosBcosC，则2y=[cos（A+B）+cos（A﹣B）]cosC，∴cos2C﹣cos（A﹣B）cosC+2y=0，构造一元二次方程x2﹣cos（A﹣B）x+2y=0，则cosC是一元二次方程的根，由cosC是实数知：△=cos2（A﹣B）﹣8y≥0，即8y≤cos2（A﹣B）≤1，∴，当A=B=C=60°时，取得最大值．故选B．点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查积化和差和余弦函数的图象和性质，考查不等式的解法，属于中档题．7．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（）甲的成绩环数7 8 9 10频数5 5 5 5乙的成绩环数7 8 9 10频数6 4 4 6丙的成绩环数7 8 9 10频数4 6 6 4A．s3＞s1＞s2 B．s2＞s1＞s3 C．s1＞s2＞s3 D．s2＞s3＞s1考点：极差、方差与标准差．专题：压轴题．分析：分别求出甲、乙、丙三名射箭运动员这次测试成绩的平均值和标准差，进行比较即可．解答：解：∵，，，，，，由s22＞s12＞s32得s2＞s1＞s3，故选B．点评：本题考查用样本的平均数、方差来估计总体的平均数、方差，属基础题，熟记样本的平均数、方差公式是解答好本题的关键．8．连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为θ，则的概率是（）A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角；等可能事件的概率．专题：计算题；压轴题．分析：由题意知本题是一个古典概型，根据分步计数原理可以得到试验发生包含的所有事件数，满足条件的事件数要通过列举得到，题目大部分内容考查的是向量的问题，这是一个综合题．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件数6×6，∵m＞0，n＞0，∴=（m，n）与=（1，﹣1）不可能同向．∴夹角θ≠0．∵θ∈（0，】•≥0，∴m﹣n≥0，即m≥n．当m=6时，n=6，5，4，3，2，1；当m=5时，n=5，4，3，2，1；当m=4时，n=4，3，2，1；当m=3时，n=3，2，1；当m=2时，n=2，1；当m=1时，n=1．∴满足条件的事件数6+5+4+3+2+1∴概率P==．故选C．点评：向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点．9．（5分）当x∈[﹣4，0]时，a+≤x+1恒成立，则a的一个可能的值是（）A．5 B．C．D．﹣5考点：函数恒成立问题．专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：由题意可得≤x+1﹣a，分别作出函数y=和函数y=x+1﹣a的图象，当直线y=x+1﹣a和半圆相切时，由d=r，求得a，再由直线平移，可得a的范围．解答：解：当x∈[﹣4，0]时，a+≤x+1恒成立，即为≤x+1﹣a，分别作出函数y=和函数y=x+1﹣a的图象，当直线y=x+1﹣a和半圆相切时，有圆心（﹣2，0）到直线的距离为2，由直线和圆相离可得≥2，解得a≤﹣5或a≥，由x=0时，截距为1﹣a＞0，则a≥舍去．故选：D．点评：本题考查函数恒成立问题，主要直线和圆的位置关系，通过数形结合的思想方法是解题的关键．10．已知椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过椭圆的定义可得PF1、PF2，利用勾股定理及离心率公式计算即得结论．解答：解：由题可知：2=，即PF2=2PF1，又PF2+PF1=2a，∴PF1=，PF2=，由勾股定理可知：，即：，∴e====，故选：A．点评：本题考查求椭圆的离心率，涉及到三角函数的定义、勾股定理等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．11．（5分）如果f（x）的定义域为R，f（x+2）=f（x+1）﹣f（x），且f（1）=lg3﹣lg2，f （2）=lg3+lg5，则f（2008）=（）A．1 B．﹣1 C．lg2﹣lg3 D．﹣lg3﹣lg5考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据条件求得函数的周期即可．解答：解：∵f（x+2）=f（x+1）﹣f（x），∴f（x+3）=f（x+2）﹣f（x+1）=f（x+1）﹣f（x）﹣f（x+1）=﹣f（x），则f（x+6）=﹣f（x+3）=f（x），即函数的周期是6，则f（2008）=f（334×6+4）=f（4）=f（3）﹣f（2）=f（2）﹣f（1）﹣f（2）=﹣f（1）=lg2﹣lg3，故选：C点评：本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数周期是解决本题的关键．12．有一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a，现用一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：将四棱锥的四个侧面沿底面展开，观察展开图的形状形可得包装纸的对角线处在如图所示的P'P位置时，包装纸面积最小，由此结合正三角形和正方形的性质加以计算，即可获得问题的解答．解答：解：由题意，得将正四棱锥沿底面将侧面都展开，得到如右图所示的平面展开图可得当以P'P为正方形的对角线时所需正方形的包装纸的面积最小，相应地，此时包装纸的边长也最小．设包装纸正方形的边长为x，可得P'P2=2x2，又∵P'P=a+2×，∴P'P2=（a+a）2=2x2，解之得：x=故选：B点评：本题给出正方形纸片将正四棱锥完全包住，求包装纸的最小边长考．着重考查了四棱锥的侧面展开图、正方形和正三角形的性质等知识，属于中档题．同时考查了图形的观察和分析能力、空间想象能力和空间问题平面化的思想，是一道值得同学们体会反思的好题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．定义运算=ad﹣bc，则符合条件=0的复数对应的点位于复平面内的第一象限．考点：二阶行列式的定义；复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：根据定义，将已知转化，可以得出z（1+i）﹣（1﹣i）（1+2i）=0，再利用复数的除法运算法则求出复数z，得到共轭复数对应点即可．解答：解：根据定义，可知=0，即z（1+i）﹣（1﹣i）（1+2i）=0，∴z====2﹣i．复数=2+i对应的点（2，1）位于复平面内的第一象限．故答案为：一．点评：本题考查了复数的代数运算，利用所给的定义将已知转化为z（1+i）﹣（1﹣i）（1+2i）=0是关键．14．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x的公共焦点为F，其中一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的离心率为2．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知条件推导出设双曲线方程为，且过P（3，），由此能求出双曲线的离心率．解答：解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x的公共焦点为F，∴双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），∵双曲线﹣=1与抛物线y2=8x的一个交点为P，|PF|=5，∴x P=5﹣2=3，y P==，∴设双曲线方程为，把P（3，）代入，得解得a2=1，或a2=36（舍），∴e==2．故答案为：2．点评：本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线、双曲线的简单性质的灵活运用．15．设A、B、C、D是半径为2的球面上的四个不同点，且满足，，，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ABD、△ACD的面积，则S1+S2+S3的最大值是8．考点：球内接多面体．专题：计算题．分析：由题意可知，三棱锥的顶点的三条直线AB，AC，AD两两垂直，可以扩展为长方体，对角线为球的直径，设出三度，表示出面积关系式，然后利用基本不等式，求出最大值．解答：解：设AB=a，AC=b，AD=c，因为AB，AC，AD两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以a2+b2+c2=4R2=16S1+S2+S3=（ab+ac+bc ）≤（a2+b2+c2）=8，当且仅当a=b=c时取等号，即最大值为：8故答案为8．点评：本小题主要考查球内接多面体、基本不等式、长方体的特征等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力、化归与转化思想．属于基础题．16．某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则AP+PF=f（x）．请你参考这些信息，推知函数f（x）的图象的对称轴是；函数g （x）=4f（x）﹣9的零点的个数是2．考点：函数最值的应用．分析：从运动的观点看，当点P从C点向点B运动的过程中，在运动到BC的中点之前，PA+PF的值渐渐变小，过了中点之后又渐渐变大，可得函数f（x）的图象的对称轴；函数g（x）=4f（x）﹣9的零点的个数就是f（x）=的解的个数．解答：解：由题意可得函数f（x）=AP+PF，从运动的观点看，当点P从C点向点B运动的过程中，在运动到BC的中点之前，PA+PF的值渐渐变小，过了中点之后又渐渐变大，∵当点P在BC的中点上时，即C、B、P三点共线时，即P在矩形ADFE的对角线AF上时，PA+PF取得最小值；当P在点B或点C时，PA+PF取得最大值∴函数f（x）的图象的对称轴是；g（x）=4f（x）﹣9=0，即f（x）=．故函数g（x）=4f（x）﹣9的零点的个数就是f（x）=的解的个数．而由题意可得f（x）=的解有2个，故答案为：；2点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，考查化归与转化的数学思想，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．17．（12分）已知函数f（x）=log a x（a＞0且a≠1），若数列：2，f（a1），f（a2），…，f（a n），2n+4（n∈N*）成等差数列．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）若a=2，令b n=a n•f（a n），对任意n∈N*，都有b n＞f﹣1（t），求实数t的取值范围．考点：数列的函数特性；对数的运算性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用数列的单调性即可得出．解答：解：（1）由2n+4=2+（n+2﹣1）d，解得d=2，∴f（a n）=2+（n+1﹣1）•2=2n+2，∴．（2），，∴{b n}为递增数列．b n中的最小项为，∴t＜6．点评：本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性，属于基础题．18．（12分）（2012•湖南）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．一次性购物量1至4件5 至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）x 30 25 y 10结算时间（分钟/人）1 1.5 2 2.5 3已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：应用题．分析：（Ⅰ）由已知得25+y+10=55，x+30=45，故可确定，y的值，将频率视为概率，故可求相应的概率，由此可得X的分布列与数学期望；（Ⅱ）记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2.5分钟，X i（i=1，2）为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则P（A）=P（（X1=1且X2=1）+P（（X1=1且X2=1.5）+P（（X1=1.5且X2=1），由于各顾客的结算相互独立，且X i（i=1，2）的分布列都与X的分布列相同，故可得结论．解答：解：（Ⅰ）由已知得25+y+10=55，x+30=45，所以x=15，y=20；将频率视为概率可得P（X=1）==0.15；P（X=1.5）==0.3；P（X=2）==0.25；P（X=2.5）==0.2；P（X=3）==0.1X的分布列X 1 1.5 2 2.5 3P 0.15 0.3 0.25 0.2 0.1X的数学期望为E（X）=1×0.15+1.5×0.3+2×0.25+2.5×0.2+3×0.1=1.9（Ⅱ）记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2.5分钟，X i（i=1，2）为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则P（A）=P（（X1=1且X2=1）+P（（X1=1且X2=1.5）+P（（X1=1.5且X2=1）由于各顾客的结算相互独立，且X i（i=1，2）的分布列都与X的分布列相同，所以P（A）=0.15×0.15+0.15×0.3+0.3×0.15=0.1125故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为0.1125．点评：本题考查学生的阅读能力，考查概率的计算，考查离散型随机变量的期望，属于中档题．19．（12分）（2005•重庆）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点，PE⊥EC．已知，求（Ⅰ）异面直线PD与EC的距离；（Ⅱ）二面角E﹣PC﹣D的大小．考点：与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算．专题：计算题．分析：（Ⅰ）先寻找异面直线PD与EC的公垂线，由三垂直线定理的逆定理知EC⊥DE，从而DE是异面直线PD与EC的公垂线，最后根据△DAE∽△CED，求出DE，从而求出异面直线PD与EC的距离；（Ⅱ）过E作EG⊥CD交CD于G，作GH⊥PC交PC于H，连接EH．根据二面角平面角的定义可知∠EHG为二面角的平面角，在直角三角形EHG中求出此角即可得到二面角E﹣PC﹣D的大小．解答：解：（Ⅰ）因PD⊥底面AD，故PD⊥DE，又因EC⊥PE，且DE是PE在面ABCD内的射影，由三垂直线定理的逆定理知EC⊥DE，因此DE是异面直线PD与EC的公垂线．设DE=x，因△DAE∽△CED，故x：=2：x．从而DE=1，即异面直线PD与EC的距离为1．（Ⅱ）过E作EG⊥CD交CD于G，作GH⊥PC交PC于H，连接EH．因PD⊥底面AD，故PD⊥EG，从而EG⊥面PCD．因GH⊥PC，且GH是EH在面PDC内的射影，由三垂线定理知EH⊥PC．因此∠EHG为二面角的平面角．在面PDC中，PD=，CD=2，GC=，因△PDC∽△GHC，故，又，故在，即二面角E﹣PC﹣D的大小为．点评：本题主要考查了异面直线的距离的度量，以及二面角的度量，同时考查了推理能力和计算能力，属于中档题．20．（12分）已知抛物线Ω的顶点是坐标原点O，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线l 与抛物线交于M、N两点且满足•=﹣3．（1）求抛物线Ω的方程；（2）若直线y=x与抛物线Ω交于A、B两点，在抛物线Ω上是否存在异于A，B的点C，使得经过A，B，C三点的圆和抛物线Ω在切点处有相同的切线？若存在，求出点C坐标；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设抛物线方程为：x2=2py，焦点为（0，），直线l：y=kx+，联立抛物线方程，消去y，运用两根之积，再由向量的数量积的坐标公式，得到方程，解出即可；（2）求出点A，B，假设抛物线L：x2=4y上存在点C（t，）（t≠0且t≠4），使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线．设圆的圆心坐标为N（a，b），由圆的半径相等，得到a，b用t表示，再由切线的斜率与导数的关系，及两直线垂直的关系，得到a，b，t的方程，再将a，b代入，得到t的方程，解出t，即可得到结论．解答：解：（1）设抛物线方程为：x2=2py，焦点为（0，），直线l：y=kx+，代入抛物线方程，得到x2﹣2pkx﹣p2=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1x2=﹣p2，y i y2==，由于=﹣3，即有x1x2+y1y2=﹣3，即有﹣p2=﹣3，解得p=2，即有抛物线方程为x2=4y；（2）由y=x和抛物线方程．联立求得A（0，0），B（4，4）．假设抛物线L：x2=4y上存在点C（t，）（t≠0且t≠4），使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线．设圆的圆心坐标为N（a，b），∵，∴，解得，∵抛物线L在点C处切线的斜率为k=y′|x=t=，而t≠0，且该切线与NC垂直，∴=﹣1，即2a+bt﹣2t﹣t3=0．将代入上式，得t3﹣2t2﹣8t=0．即t（t﹣4）（t+2）=0．∵t≠0且t≠4，∴t=﹣2．故满足题设的点C存在，其坐标为（﹣2，1）．点评：本题考查抛物线方程和性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的切线，考查学生的综合能力，难度较大．21．（12分）已知f（x）=kx3﹣x2+x﹣5在R上单调递增，记△ABC的三内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若a2+c2≥b2+ac时，不等式恒成立．（1）求实数k的取值范围；（2）求角cosB的取值范围；（3）求实数m的取值范围．考点：余弦定理的应用；函数最值的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：（1）对函数f（x）进行求导，利用函数的单调性判断出f′（x）＞0恒成立进而判断出导函数的开口向上判断出k＞0，判别式小于0求得k的范围．（2）利用余弦定理和题设的不等式求得cosB的范围，进而求得B的范围．（3）利用函数的单调性和题设的不等式建立不等式求得m的范围．解答：解：（1）由f（x）=kx3﹣x2+x﹣5知f′（x）=3kx2﹣2x+1，∵f（x）在R上单调递增，∴f′（x）＞0恒成立，∴3k＞0且△＜0，即k＞0且4﹣12k＜0，∴，当△=0，即时，f′（x）=3kx2﹣2x+1=（x﹣1）2，∴x＜1时f′（x）＞0，x＞1时，f′（x）＞0，即当时，能使f（x）在R上单调递增，∴．（2）∵a2+c2≥b2+ac，由余弦定理：，∴，（3）∵f（x）在R上单调递增，且，所以==，故，即，，即，即0≤m＜16．点评：本题主要考查了余弦定理的应用，利用导函数研究函数的单调性以及函数．考查了基础知识的综合理解和应用．【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分10分）22．（10分）（2011•黑龙江校级一模）已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），定点，F1，F2是圆锥曲线C的左，右焦点．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F1且平行于直线AF2的直线l的极坐标方程；（2）在（I）的条件下，设直线l与圆锥曲线C交于E，F两点，求弦EF的长．考点：椭圆的参数方程；直线与圆锥曲线的关系；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：（1）将曲线的参数方程化为普通方程，由椭圆的标准方程确定相关点的坐标，再由点斜式写出直线l的直角坐标方程，最后转化为极坐标方程即可（2）将直线方程与椭圆标准方程联立，利用韦达定理和弦长公式计算相交弦EF的长即可解答：解：（1）圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），所以普通方程为C：∴∴∴直线l极坐标方程为：即（2）将直线代入椭圆标准方程，得5x2+8x=0，设E（x1，y1），F（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=0∴点评：本题考查了椭圆的参数方程，标准方程及其互化，直线的直角坐标方程及与其极坐标方程的互化，直线与椭圆的位置关系，求相交弦长的方法．【选修】共1小题，满分0分）23．（2014•正定县校级三模）在平面直角坐标系中，定义点P（x1，y1）、Q（x2，y2）之间的直角距离为L（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，点A（x，1），B（1，2），C（5，2）（1）若L（A，B）＞L（A，C），求x的取值范围；（2）当x∈R时，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立，求t的最小值．考点：进行简单的合情推理．专题：新定义；不等式的解法及应用；推理和证明．分析：（1）根据定义写出L（A，B），L（A，C）的表达式，最后通过解不等式求出x的取值范围；（2）当x∈R时，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立即当x∈R时，不等式|x﹣1|≤|x﹣5|+t恒成立，运用分离变量，即有t≥|x﹣1|﹣|x﹣5|恒成立，可用去绝对值的方法或绝对值不等式的性质，求得右边的最大值为4，令t不小于4即可．解答：解：（1）由定义得|x﹣1|+1＞|x﹣5|+1，即|x﹣1|＞|x﹣5|，两边平方得8x＞24，解得x＞3，（2）当x∈R时，不等式|x﹣1|≤|x﹣5|+t恒成立，也就是t≥|x﹣1|﹣|x﹣5|恒成立，法一：令函数f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣5|=，所以f（x）max=4，要使原不等式恒成立只要t≥4即可，故t min=4．法二：运用绝对值不等式性质．因为|x﹣1|﹣|x﹣5|≤|（x﹣1）﹣（x﹣5）|=4，所以t≥4，t min=4．故t的最小值为：4．点评：本题考查新定义：直角距离的理解和运用，考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，转化为求函数的最值，属于中档题．。

江西省吉安市白鹭洲中学2015-2016学年度高三上学期数学第四次周考（理）考试时间:120分钟 试卷满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}22A x x =-<<，{}220B x x x =-≤，则A B 等于（ ） A ．()0,2 B ．(]0,2 C ．[)0,2 D ．[]0,22.(i 是虚数单位)对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在△ABC 中，“sin A >是“3πA >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.已知向量(1,1)a =- ，(3,)b m = ，//()a a b +，则m =（ ）A ． 2B ．2-C ．3-D ．3 5．函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω= 的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）A )48sin(4π+π-=x y B )48sin(4π-π=x y C )48sin(4π-π-=x y D )48sin(4π+π=x y6．直线y x b =+与曲线x =有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是 （ ）A ．||bB ．11b -<≤或b =C ．1b -≤≤D 1b <7．非零向量a 、b 满足|||a b = ，若函数321()||3f x x a x =+ 21a bx +⋅+在R 上有极值，则,a b 〈〉的取值范围是（ ）A ．[0,]6πB ．(0,]3πC ．[,]62ππD ．(,]6ππ8. 若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点与抛物线ax y 82=的焦点重合，则该双曲线的离心率等于（ ） A.2 B.3 C. 2 D. 39．函数,),(D x x f y ∈=若存在常数C ，对任意的,1D x ∈存在唯一的D x ∈2使得,)()(21C x f x f =则称函数)(x f 在D 上的几何平均数为 C ．已知],2,1[,)(3∈=x x x f 则函数3)(x x f =在[1,2]上的几何平均数为（ ）A ．2B ．2C ．4D ．2210.如图所示，在ABC ∆中，AD DB =，F 在线段CD 上，设AB a = ，AC b =，AF xa yb =+ ，则14x y+的最小值为(A. B. 93 C. 9 D. 226+11、已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()f x 的导函数1()2f x '<，则1)(2+<x x f 的解集为（ ）A.{}11x x -<<B.{}1x x <-C.{}11x x x <->或D.{}1x x >12. 已知函数)0()0()1(12)(>≤⎩⎨⎧--=-x x x f x f x ，若函数2)(ax x f y --=恰有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. (0,2)B. (－∞，2)C.(－∞，2]D.[0，＋∞)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f （x ）满足,1)2()(=+⋅x f x f 且f （1）=2，则f （2011）= _______ 14. 在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．15. 已知函数()()sin cos 0,,f x x x x ωωω=+>∈R 若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为 ． 16．下列命题：①命题[]0:1,1p x ∃∈-，满足2001x x a ++>，使命题p 为真的实数a 的取值范围是3a <；②代数式24sin sin()sin()33x x x ππ++++的值与x 无关； ③121(1)13tx dt t +=+⎰ ④已知数列{}n a 满足：1221,,()n n n a m a n a a a n N *++===-∈，记123...n n S a a a a =++++则2011S m =；其中正确的命题的序号是______________.三、解答题: 本大题共6小题，共70分。