(优选)管理运筹学讲义动态规划

1+4
= min 6 = 3 (最短路线为B2→C1 →D) 5
3
C1
2 B1 3
1
A
1 2
3
C2
3
D
4 B2 1
4
C3
第三阶段（ A → B ）： A 到B 有二条路线。
f3(A)1 = d(A, B1 )＋ f2 ( B1 ) ＝2＋4＝6 f3 (A)2 = d(A, B2 )＋ f2 ( B2 ) ＝4＋3＝7
= min 6 = 4
5
(最短路线为B1→C1 →D)
3
C1
2 B1 3
1
A
1 2
3
C2
3
D
4 B2 1
4
C3
d( B2,C1 ) + f1 (C1 ) f2 ( B2 ) = min d( B2,C2 ) + f1 (C2 )
d( B2,C3 ) + f1 (C3 ) 3
2+1 = min 3+3
• 最短路的基本特征
▪ 从始点Q到终点T 的最短路径：Q→ A3→ B1→ C1→T，则 从中点A3 到终点T 的最短路径必为： A3→ B1→ C1→T， 从中点B1 到终点T 的最短路径必为：B1→ C1→T，…。
▪ 推广：从始点Q到终点T 的最短路径： Q → S1→ S2→ … → Sk→ Sk+1→ … → Sn→T，则 从中点Sk 到终点T 的最短路径必为： Sk→ Sk+1→ … → Sn→T。
• 每个阶段选取的路线不同，对应从Q到T就有一系列不同 的运输路线:
▪ 从始点Q到终点T共有3×3×2×1=18条不同路线 ▪ 现在的问题是如何选择一条费用最小的路线？
二、最短路径问题
例一、从A 地到D 地要铺设一条煤气管道,其中需经过 两级中间站，两点之间的连线上的数字表示距离，如 图所示。问应该选择什么路线，使总距离最短？
11,B1 ,B2
4,C1
A1 7
B1 1
3,T
11,A3 2 Q4
4
8,B1
6 4
A2 2
4 7,C2
6 B2
C1 3
0
T
3
4
3
8,B1 4 2
6,C1 3
4,T 4
C2
A3 5
B3 3
阶段1
阶段2
阶段3
阶段4
• 最短路径：Q→ A3→ B1→ C1→T
第一节 多阶段决策问题
三、 多阶段决策的基本特征
▪ 决策变量的取值被限制在某一范围内，此范围称为允许决 策集合Xk(sk)
第二节 动态规划原理
• 策略(policy)
▪ 多阶段决策过程中，每一阶段均有一个决策，依序组合成 一个全过程的决策序列，称为全过程策略。
p1,n(s1)={x1(s1),x2(s2) ,…, xn(sn)} ，简记p1,n ={x1, x2,…, xn} ▪ 从过程的某个阶段开始到最终阶段结束称为后部子过程。
SHUFE
（优选）管理运筹学讲义动态规划
上海电力学院管文
第一节 多阶段决策问题
一、 问题的提出
• 多阶段决策：
▪ 经济管理决策中，有些管理决策问题可以按时序或空间演 变划分成多个阶段 ，呈现出明显的阶段性；
▪ 于是可把这类决策问题分解成几个相互联系的阶段，每个 阶段即为一个子问题；
▪ 原有问题的求解就化为逐个求解几个简单的阶段子问题； ▪ 每个阶段的决策一旦确定，整个决策过程也随之确定，此
3
C1
2 B1 3
1
A
1 2
3
C2
3
D
4 B2 1
4
C3
第二阶段（B →C）： B 到C 有六条路线。
d( B1,C1 ) + f1 (C1 ) f2 ( B1 ) = min d( B1,C2 ) + f1 (C2 )
d( B1,C3 ) + f1 (C3 ) 4
3+1 = min 3+3
1+4
4 C1
城 市
某 公 司
阶段1
阶段2
阶段3
Hale Waihona Puke 阶段4• 从生产厂Q到某公司T选择那条路线,使总运费最低(路程最短)？
第一节 多阶段决策问题
• 这是一个多阶段决策问题，它可分为四个阶段：
▪ 第一阶段：从Q(制造厂)到A(出口港)； ▪ 第二阶段：从A(出口港)到B(进口港)； ▪ 第三阶段：从B(进口港)到C(城市)； ▪ 第四阶段：从C(城市)到T(某公司)。
从第k阶段开始的后部子策略称为第k子过程策略。 pk,n(sk)={xk(sk), xk+1(sk+1) ,…, xn(sn)} ，简记pk,n ={xk, xk+1,…, xn}
第二节 动态规划原理
一、动态规划的基本概念
• 阶段(stage)
▪ 处理多阶段决策，需将全过程划为若干阶段，每个阶段进 行一次抉择。
▪ 各阶段按一定顺序联接在一起组成统一的整体。 ▪ 用k表示阶段变量。 ▪ 阶段编号
• 顺序编号 • 逆序编号
第二节 动态规划原理
• 状态(state)
▪ 状态表示过程发展中某阶段的起始状况。 ▪ 过程的发展可以通过各阶段状态的演变来描述。 ▪ 状态可用一个变量来描述，称为状态变量，用Sk表示。 ▪ 选取的状态变量必须满足无后效性。
• 某阶段的状态给定后，则过程未来发展不受该阶段以前 各阶段状态的影响。
▪ 第 k 阶段可能有若干状态，用Sk 表示阶段k的状态集合，
▪ sk(i)表示第k阶段的第 i 个状态。
第二节 动态规划原理
• 决策(decision)
▪ 从上一阶段某状态演变到下一阶段某状态要作一次选择， 称为决策。
▪ 用变量xk(sk)表示第k阶段状态为sk时的决策，称为决策变 量，简记xk
∴ f3 (A) = min
d(A, B1 )＋ f2 ( B1 ) d(A, B2 )＋ f2 ( B2 )
= min｛6,7｝=6
(最短路线为A→B1→C1 →D)
3
C1
2 B1 3
1
A
1 2
3
C2
3
D
4 B2 1
4
C3
最短路线为 A→B1→C1 →D 路长为 6
第一节 多阶段决策问题
二、动态规划的标号法
类问题称为多阶段决策问题。
• 例如：
▪ 企业生产物流：可分为物料供应、生产制造、分销零售等 阶段。
▪ 最短路问题：可以按空间顺序划分阶段。
第一节 多阶段决策问题
• 最短路问题
2 Q4
3
生 产 商
A1 7 4
6 4 A2 2 4
4 2
A3 5
出 口 港
B1 1 4
6 B2
3
3 B3 3 进 口 港
C1 3 T
3
C1
2 B1 3
1
A
1 2
3
C2
3
D
4 B2 1
4
C3
3
C1
2 B1 3
1
A
1 2
3
C2
3
D
4 B2 1
4
C3
解：整个计算过程分三个阶段，从最后一个阶段开始。 第一阶段（C →D）： C 有三条路线到终点D 。
显然有 f1 (C1 ) = 1 ； f1(C2 ) = 3 ； f1 (C3 ) = 4