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教育信息熵第二章

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3第二章2-熵的性质

3第二章2-熵的性质
i =1 i =1 q q
∑ P(a ) = 1
i =1 i
q
•定义自信息的数学期望为平均自信息量H(X)，称为信息熵： 定义自信息的数学期望为平均自信息量 信息熵： 定义自信息的数学期望为平均自信息量 ，称为信息熵
我们用概率矢量 来表示 率分布P(x)： 来表示概 我们用概率矢量P来表示概率分布 ：
4、扩展性 、
lim H q +1 ( p1 , p 2 ,..., p q − ε , ε ) = H q ( p1 , p 2 ,..., p q )
ε →0
因为
ε →0
lim H q +1 ( p1, p2 ,⋅ ⋅ ⋅, pq − ε , ε )
= lim{−∑ pi log pi − ( pq − ε ) log( pq − ε ) − ε log ε }
∑p
i =1
n
i
= 1,
∑q
j =1
m
j
=1
∑∑ p q
i =1 j =1 i
n
m
j
=1
p ( xi y j ) = p ( xi ) p ( y j ) = pi q j
可加性是熵函数的一个重要特性。 可加性是熵函数的一个重要特性。
证明： 证明：
H nm ( p1 q1 , p1 q 2 ,..., p1 q m , p 2 q1 ,..., p n q m )
q −1 i =1
= −∑ pi log pi =H q ( p1 , p2 ,⋅ ⋅ ⋅, pq )
i =1
ε →0 q
lim ε log ε = 0
ε →0
所以， 所以，上式成立
性质说明：信源的取值数增多时， 性质说明：信源的取值数增多时，若这些取值对应的概率 很小(接近于零 则信源的熵不变。 接近于零)， 很小 接近于零 ，则信源的熵不变。

第二章-信息量和熵

第二章-信息量和熵

H XY EX ,Y I (xi , y j )
EY EX I (xi , y j )
2.平均自信息量--熵 联合熵H（XY）与熵H（X）及条件熵H
（X/Y）之间存在下列关系 ：
H（XY）＝H（X）＋H（Y／X） H（XY）＝H（Y）＋H（X／Y）
三维联合符号集合XYZ上的共熵H(XYZ):
I(xi; yj ) [lbp(xi )][lbp(xi | yj )] I(xi ) I(xi | yj )
1.互信息量
即互信息量为后验概率与先验概率比值的对数 :
I ( xi; y j )
lb
p ( xi / y j ) p ( xi )
p(xi) ——先验概率：信源发xi的概率 p(xi/yj)——后验概率：信宿收到yj后，推测信源发xi的概率
2.平均自信息量--熵
熵的性质
(4).条件熵不大于信源熵(无条件熵)
H(X/Y) ≤ H(X) H(Y/X) ≤ H(Y)
当且仅当Y和X相互独立时，式取等
物理含义：从平均意义上讲，条件熵在一般情形下总是小于无条件熵。从直 观上说，由于事物总是联系的，因此对随机变量X的了解平均讲总能使Y 的不确定性减少。同样，对Y的了解也会减少X的不确定性。
(1) yj对xi的互信息 I(xi;yj)
I(xi;yj)= I(xi)- I(xi/yj) [含义] 互信息I(xi;yj) =自信息I(xi) - 条件自信息I(xi/yj)
＊I(xi) -----信宿收到yj之前，对信源发xi的不确定度 ＊ I(xi/yj) -----信宿收到yj之后，对信源发xi的不确定度 ＊ I(xi;yj) -----收到yj而得到(关于xi )的互信息
相应地，在给定随机变量X的条件下，Y集合的条件

教育信息处理课后习题解答全

教育信息处理课后习题解答全

《教育信息处理》作业第二章 教育信息熵1．试结合某一实际的教学系统，说明该系统中信息熵的意义。

熵的大小可用于表示概率系统的不确定程度。

假设教师在安排座位时不了解学生的情况，那么每个同学被安排坐到第一组第一排的几率是相等的，对于这样的系统，我们很难预测那个同学会被安排坐到第一组第一排，这种系统的不确定性最大。

该系统的信息熵具有最大值。

但如果教师对这个班的学生非常了解，并且打算将较调皮捣蛋的学生安排一个坐到第一组第一排，那么该系统的不确定程度就会大大减少；而如果大家都知道会安排最调皮的那个学生坐在第一组第一排，那么这个系统就是一个确定系统，不确定度为0。

2．针对某一简单的教学系统，计算该系统的信息熵。

设某一系统具有四种状态A1、A2、A3、A4,其产生的概率分布为：p1=21、p2=41、p3=81、p4=81该系统中任一状态产生时所给予的平均信息量为： H=－∑=ni pi 1log 2pi =－21log 221 － 41log 241 － 81log 281 － 81log 281=1.75(bit) 3．试说明熵的性质。

信息熵具有一下的基本性质：（1）单峰性；（2）对称性；（3）渐化性；（4）展开性；（5）确定性。

6．通过实例，计算测试问题的信息熵和等价预选项数。

设某一多重选择题的应答分布实测值为（51，52，101，201，41），则该分布具有的熵为：H =－∑=ni pi 1log2pi =－51log 251 － 52log 252 － 101log 2101 － 201log 2201 － 41log 241= 0.46+0.53+0.33+0.22+0.5=2.04(bit)与之熵等价的预选项数为： K= 2H = 22.04 = 4.1125第三章 教材分析1．什么是教材分析？教材分析的目的是什么？应基于怎样的基本思想对教材进行分析。

对于设定的教学目标，学习要素的数量有一个最小的限度。

教育信息处理课后答案

教育信息处理课后答案

第一章教育信息概述1、试举例说明什么是信息，什么是数据和知识，彼此间有什么关系。

简单地讲，通过信息，可以告诉我们某件事情，可以使我们增加一定的知识。

信息被定义为熵的减少，即信息可以消除人们对事物认识的不确定性，并将消除不确定程度的多少作为信息量的量度。

比如我们在每天都会收看电视节目预报，在掌握了当天晚上的电视节目的信息后。

我们对于当晚要看什么电视，在哪个电台看等一些认识的不确定性就得以消除，而消除的程度就取决于我们对电视节目了解的多少即信息量的多少。

数据是信息的素材，是在各种现象和事件中收集的。

当我们根据一定的利用目的，采取相应的形式对数据进行处理后，就可得到新的信息（制作出新的信息）。

比如天气预报中的气温，天气情况多云、阴等。

知识是一种信息，是在对数据、信息理解的基础上，以某种可利用的形式，高度民主组织化后的可记忆的信息。

比如说，我们在看完书后，我们将书中的故事情节有机的组合，在加上自身对于故事的理解，将整个故事重新阐述，记忆在大脑中。

2、试从信息的特点说明信息产业与其他产业相比较，有什么特点由于信息不具大小，无论怎样小的空间，都可存放大量的信息，无论怎样狭窄的通道，都能高速地传递大量的信息。

信息产业是一种省空间、省能源的产业。

信息由于没有重量，在处理时，不需要能量。

信息产业是一种省能源产业。

信息一旦产生，很容易复制，它有利于大量生产。

3、说明教育信息数量化的特点和方法教育信息的数量化特点：不连续性和不可加性。

比如人的IQ4、从教育信息、教育信息所处理的对象和教育信息的结构化特点出发，说明用于教育信息处理的方法。

（1）加强与其他学科的交流。

教育信息处理是一种跨多门学科的综合性学科领域。

它涉及教育学、心理学、认知科学、信息科学等多门学科的研究。

教育信息处理应努力与这些学科进行交流，学习他们的思想、方法，学习它们的理论、技术，努力地完善自己，在实践的基础上，确立自己的理论和方法。

（2）从行为向认知变换。

4第二章3-熵的计算

4第二章3-熵的计算

q
q
（3）根据概率关系，可以得到联合熵与条件熵的关系： 根据概率关系，可以得到联合熵与条件熵的关系： 联合熵与条件熵的关系
H ( X1 X 2 ) = −∑∑ P(ai a j ) logP(ai a j )
i =1 j =1
q q
q
qபைடு நூலகம்
= −∑∑ P (ai a j ) log( P (ai )P (a j | ai ))
得：
H ( X ) = −∑ P(ai ) logP(ai ) = 1.542( Bit / Symbol)
i =1 3
H ( X 2 / X 1 ) = −∑∑ P(ai a j ) logP(a j / ai ) = 0.87(Bit / Symbol)
i =1 j =1 3
3
3
H ( X 1 X 2 ) = −∑∑ P(ai a j ) logP(ai a j ) = 2.41( Bit / Symbols)
0.71比特/符号
•
从另一角度（来研究信源X的信息熵的近似值） 从另一角度（来研究信源X的信息熵的近似值）：
（ 1 ） 由于信源 X 发出的符号序列中前后两个符号之间有依 由于信源X 赖性，可以先求出在已知前面一个符号X 已知前面一个符号 赖性， 可以先求出在已知前面一个符号Xl＝ai时，信源输出 下一个符号的平均不确定性 的平均不确定性： 下一个符号的平均不确定性：
0.71比特/符号
二维平稳信源X：
条件熵H(X2|X1） 平均符号熵H2(X) 简单信源X符号熵H(X)
H(X2|X1) ≤H2(X) ≤H(X) H(X1X2)=H(X1)+H(X2|X1)=2H2(X)
有记忆平稳信源的联合熵、条件熵、 有记忆平稳信源的联合熵、条件熵、平均符号熵 与无记忆信源熵之间的定量关系。 与无记忆信源熵之间的定量关系。

第二章 信源和信息熵

第二章 信源和信息熵

第二章 信源和信息熵
2.1 信源的数学模型及分类
通信系统模型及信息传输模型：
第二章 信源和信息熵
一、离散无记忆信源
例：扔一颗质地均匀的正方体骰子，研究其下落后， 朝上一面的点数。每次试验结果必然是1点、2点、3点、 4点、5点、6点中的某一个面朝上。每次试验只随机出 现其中一种消息，不可能出现这个集合以外的消息， 考察此事件信源的数学模型。
• 平均符号熵就是信源符号序列中平均每个信 源符号所携带的信息量。
• 条件熵≤无条件熵；条件较多的熵≤条件较少 的熵，所以：
第二章 信源和信息熵
离 散 平 稳 信 源 性 质（H1(X)<∞时）：
• 条件熵随N的增加是递减的； • 平均符号熵≥条件熵； • 平均符号熵HN(X)随N增加是递减的； • 极限熵
且：I(X1;X2)＝I(X2;X1)
第二章 信源和信息熵
注意：任何无源处理总是丢失信息的，至多保持原来 的信息，这是信息不可增性的一种表现。
二、离散平稳信源的极限熵 设信源输出一系列符号序列X1,X2, ‥XN 概率分布： 联合熵：
定义序列的平均符号熵＝总和/序列长度，即：
第二章 信源和信息熵
即：收信者所获得的信息量应等于信息传输前 后不确定性的减少的量。
例：设一条电线上串联8个灯泡，且损坏的可 能性为等概，若仅有一个坏灯泡，须获知多少 信息量才可确认？
第二章 信源和信息熵
例解：
测量前，P1(x)＝1/8，存在不确定性： I(P1(x))＝log8＝3bit
第一次测量获得信息量： 第二次测量获得信息量： 第三次测量获得信息量： 每次测量获得1bit信息量，需三次测量可确定坏灯泡
例：运用熵函数的递增性，计算熵函数 H（1/3,1/3,1/6,1/6）的数值。

第二章教育信息熵

第二章教育信息熵
H=-6[（1/6）log（1/3）]=log3 于是条件熵H为log3 。
在不知道结局为单双数时，掷一次骰子的结局 的不确定性为log6 ，在仅告诉你结局是单数或 者双数时是没有全部解除你对结局的疑惑，但 是它确实给了一些信息，这个信息（以I表示） 就用无条件熵与条件熵的差来计量。于是有
I=log6-log3=log6/3=log2
这里的无条件熵就是log6 ，而已经知道结局 是单数或者双数的条件熵可以根据前面的条件 熵公式计算。
➢ 肯定是单点（双点）时它是各个点的概率 ( 条件概率）
123456 单数 1/3 0 1/3 0 1/3 0 双数 0 1/3 0 1/3 0 1/3
公式中的p(yj)有两种情况，一个指单数的出 现概率，一个是双数的出现概率。它们显然 都是1/2 ，因此
通过A、B系统信息熵的计算，有
H(Pa)=1(bit) H(Pb)=2(bit) 由此判定系统B的不确定程度是系统A的两倍。
四、信息熵的基本性质
1．单峰性 设某一系统包含两个事件A、B，其产生 的概率分别为P和1-P。该系统的熵为：
当p为0时，H=0 当p为1时，H=0 当p为1/2时，H有极大值 若系统中每一事件产生的概率相同，均为 1／n，这种系统的H为最大值。
我们称之为信息熵，简称为熵（entropy）。
设某一系统具有四种状态A1、A2、A3、A4，其率 分别为：
p1=1/2, p2=1/4, p3=1/8, p4=1/8 该系统的平均信息量为：
4
H pilo g2pi i1
1 2
lo g2
1 2
1 4
lo g2
1 4
1 8
l
o
g2
1 8

第二章教育信息熵

第二章教育信息熵

它满足的两个关系：
（1） 不确定性与概率的关系；
（2） 可加性的要求。
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5
二 信息熵
1 平均信息量（信息熵）
一般情况下
状态空间： X： x1 , x2 …………… xn
概率分布：P(x):P(x1),P(x2) ……… P(xn) ,
且
n
P(xi ) 1
i 1
这里一 联合熵
1 信源
现有两个信源：X，Y
X：x1 , x2 … xn
Y: y1 , y2,…… ym
P(x):P(x1),P(x2)… P(xn) P(y):P(y1),P(y2)… P(ym)
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27
联合空间： X.Y: x1y1, x1y2,………… x1ym
……………. xny1, xny2,………… xnym P(x.y):P(x1,y1),P(x1,y2)………P(x1,ym) …………. P(xn,y1),P(xn,y2)……… P(xn,ym)
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28
其中P（xi,yj）为xi和yj的联合概率 且P(xi,yj)=P(xi)*P(yj/xi)=P(yj)*P(xi/yj) 当：xi和yj相互独立时
最大值，即
H≤ Hmax = log n 实例：
1）英语字母的使用并非是相互独立的，字母 间存在相关性；
2）英语字母并非等概率使用(表2.1：P33)
故：英语字母的熵通常远小于4.76（有人计
算≈1.4）
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23
三 相对熵
我们定义：h= H / Hmax 为相对熵， 它便于比较两个不同事件数目的系统的 信息熵。
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第2章信源与信息熵

第2章信源与信息熵

7
称为符号x 的先验概率，信源数学模型表示为： 称为符号 i的先验概率，信源数学模型表示为：
X x1 P = p( x ) 1 x2 p( x 2 ) x3 L p( x 3 ) L xn p( x n )
n
称为概率空间， 称为概率空间，其中
长江大学电信学院
长江大学电信学院
12
X
概率论知识复习
1）条件概率
p ( xi | y j ) = p ( xi y j ) p( y j ) , p ( y j | xi ) = p( xi y j ) p( xi )
13
2）联合概率
p ( xi y j ) = p ( y j ) p ( xi | y j ), p( xi y j ) = p ( xi ) p ( y j | xi )
16
长江大学电信学院
X
2.2 离散信源熵和互信息
如果信源具有更多的消息，例如发10个 【例2.3 】如果信源具有更多的消息，例如发 个 数字0,1…..9(例如采用 位十进制树的中文电报 ， 例如采用4位十进制树的中文电报 数字 例如采用 位十进制树的中文电报)， 而且假定这是个消息是等概率分布的，均为0.1， 而且假定这是个消息是等概率分布的，均为 ， 这时信宿仅凭猜测的话，就更难猜了。 这时信宿仅凭猜测的话，就更难猜了。因为信源 发送什么消息更加不确定。 发送什么消息更加不确定。 现在讨论一种极端的情况， 【例2.4 】现在讨论一种极端的情况，信源只发送 一种消息，即永远只发送1或者只发送 或者只发送0， 一种消息，即永远只发送 或者只发送 ，从这样 的信源中我们就不能从中获取任何信息， 的信源中我们就不能从中获取任何信息，也就是 说信源的不确定性为0。 说信源的不确定性为 。

教育信息处理课复习提纲201106

教育信息处理课复习提纲201106

教育信息处理课复习提纲第一章：教育信息概述1 教学过程是一种信息的传递和信息处理过程。

在这一过程中有效地应用信息技术，有利于实现教学过程最优化。

教学设计是在信息收集、分析、加工、处理的基础上，实现创造信息的操作过程；教学实施是信息的呈现、传递、处理和控制的阶段；教学评价是收集、分析、处理信息的阶段。

2 教育信息的获取：可利用（网络）调查（量表、问卷）、（网络）考试、（网络）交流工具、文献检索（书、杂志、光盘、搜索引擎）、访谈、观察、实地考察、实验等。

教育信息的处理：可利用教材分析（图、ISM）、教学分析（逐语记录、分类、时序、S－T）、结构分析（S－P表、IRS图）、多元分析（回归、聚类）、生物信息分析等方法，可用Excel、SPSS及专门软件等。

教育信息的表达和传送：可利用word、Powerpoint、Authorware、Frontpage等软件，网络、传统媒体等途径。

3 信息论的奠基者香农（C.E.Shannon）将信息定义为熵的减少，即信息可以消除人们对事物认识的不确定性，并将消除不确定程度的多少作为信息量的量度。

信息的价值因人而异。

是否是信息，不是由传者，而是由受者所决定。

4 教育信息表现的结构形式：矩阵、时间序列、图5教育数据数量化的尺度有四种，分别是名义尺度(nominal scale)、序数尺度(ordinal scale) 、等距尺度(interval scale,equal unit scale)、比例尺度(ratio scale)。

第二章：教育信息熵1 信息量：以2为底的对数，单位为字位（bit）。

若对数是以e或10为底,H的单位为nat或dit。

2 信息熵，简称为熵(entropy)。

熵的意义：熵的大小可用于表示概率系统的不确定程度。

设概率系统中有n个事件，每一事件产生的概率为：p i（i=1~n）当事件I产生后，给予我们的信息量为对于n个事件构成的概率系统，每一事件产生的平均信息量为：H为信息熵信息熵的基本性质：单峰性、对称性、渐化性、展开性、确定性3 相对信息熵h信息熵的计算与系统中事件数的多少有关，它不利于我们对不同系统的熵进行比较。

第二章 信源与信息熵

第二章 信源与信息熵

南通大学
2019/11/11
16
第2章 信源与信息熵
对于高阶马尔可夫链，我们可通过分析系统状
态在输入符号作用下的转移情况，使高阶马尔可夫 链过程转化为一阶马尔可夫链过程。
对于m阶马尔可夫信源，将该时刻以前出现的m
个符号组成的序列定义为状态si，即
s i x i 1 , x i 2 ,, x i m x i 1 , x i 2 ,, x i m A a 1 , a 2 ,, a n
1 时间连续函数f(t)，频带受限 0 f fm，不失真的
采样频率 fs 2 fm ,若时间也受限 ，0 t tB ，则采
样点数为 2 f m t B 时,即可恢复原信号
这样就变成了时间离散，幅度连续的样值序列
2 频率连续函数f(t)，时间受限 0 t tB ，若频率也
受限 0 f fm。因为在 0 2 的数字域上，不失 真采样点L须满足 LT tB ，T为采样周期，则采样 点数 LtB/TtBfs2 tBfm。
南通大学
2019/11/11
3
第2章 信源与信息熵
离散信源又可以细分为： （1）离散无记忆信源：所发出的各个符号之间是相互
独立的，发出的符号序列中的各个符号之间没有统计 关联性，各个符号的出现概率是它自身的先验概率。 （2）离散有记忆信源：发出的各个符号之间不是相互 独立的，各个符号出现的概率是有关联的。
信源输出用Ｌ维随机序列（随机矢量）
X X 1 ,X 2 , ,X l, ,X L 来描述信源输出的消息，用
联合概率分布来表示信源特性。在上述随机矢量中，
若每个随机变量
Xi(i1,2,都,是L)离散的，则可
用L重离散概率空间来描述这类信源。

第二章信源信息熵(第二讲)

第二章信源信息熵(第二讲)

第二章 信源与信息熵（第二讲）（2课时）主要内容：（1）信源的描述（2）信源的分类 重点：信源的分类，马尔可夫信源。

难点：信源的描述，马尔可夫信源。

作业：2.1, 2.2, 2.3说明：本堂课推导内容较多，枯燥平淡，不易激发学生兴趣，要注意多讨论用途。

另外，注意，解题方法。

多加一些内容丰富知识和理解。

2．1 信源的描述与分类在通信系统中收信者在未收到消息以前对信源发出什么消息是不确定的，是随机的，所以可用随机变量、随机序列或随机过程来描述信源输出的消息，或者说用一个样本空间及其概率测度——概率空间来描述信源。

信源：产生随机变量、随机序列和随机过程的源。

信源的基本特性：具有随机不确定性。

信源的分类离散信源：文字、数据、电报——随机序列 连续信源：话音、图像——随机过程离散信源：输出在时间和幅度上都是离散分布的消息。

消息数是有限的或可数的，且每次只输出其中一个消息，即两两不相容。

发出单个符号的无记忆信源离散无记忆信源： 发出符号序列的无记忆信源离散信源离散有记忆信源： 发出符号序列的有记忆信源发出符号序列的马尔可夫信源 概率论基础：无条件概率，条件概率和联合概率的性质和关系： 非负性0()()(/)(/)()1i j j i i j i j p x p y p y x p x y p x y ≤≤，，，， 完备性111111()1,()1,(/)1,(/)1,()1n m nijiji j i mm nji i j j j i p x p y p x y p yx p x y ===========∑∑∑∑∑∑11()(),()()n mijjijii j p x y p y p x y p x ====∑∑联合概率()()(/)()(/)()()()(/)()(/)()i j i j i j i j i j i j j i j i j i p x y p x p y x p y p x y X Y p x y p x p y p y x p y p x y p x =====当与相互独立时，，贝叶斯公式11()()(/)(/)()()i j i j i j j i nmijiji j p x y p x y p x y p y x p x y p x y ====∑∑，2.1.1 无记忆信源：例如扔骰子，每次试验结果必然是1～6点中的某一个面朝上。

第二章 教育信息熵 习题

第二章 教育信息熵 习题

第二章教育信息熵习题
填空：
1、对于n个事件构成的概率系统，设每一事件产生的概率为pi(i=1～n)，则每一事件产生的平均信息量为：＿＿＿＿＿＿＿，我们称之为＿＿＿＿＿＿＿，简称＿＿＿＿＿＿。

它的大小可用于表示概率系统的。

它所具有的基本性质有＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿。

2、基于联合熵H(X,Y) 和条件熵H(X︱Y)、H(Y︱X)，互信
息量I（X，Y）= ＿＿＿＿＿＿＿= ＿＿＿＿＿＿＿。

3、最大熵原理是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

熵模型是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

4、熵模型方法的基本流程图为＿＿＿＿＿＿＿，其目的函数为
＿＿＿＿＿＿。

5、学习者对4道多重选择问题的应答概率分布为：
1( 0.5 , 0.5 , 0 , 0 , 0 )
2( 0.5 , 0.25 , 0.25 )
3( 0.5 , 0.125 , 0.125 , 0.125 , 0.125 )
4( 0.5 , 0.25 , 0.125 , 0.125 )
请算出: 每道题的应答信息熵:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿;
每道题的等价选项数: ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿;
每道题的相对信息熵:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿及冗余度＿＿＿＿＿＿; 及这4道题的平均相对熵:＿＿＿＿＿＿。

2 教育信息熵

2 教育信息熵
i 1
1 1 1 1 1 1 1 1 log log log log 2 2 4 4 8 8 8 8 1 1 1 1 log 2 log 4 log 8 log 8 2 4 8 8 1 1 1 2 2 3 2 4 8
=1.75(bit)
二、信息熵
一、信息量的表示


现有A、B、C、D、E五名学生，以他们作为候选 人，需从中选出一名学生作为学生代表。 选拔的结果是A被选中。当我们得到了A被选 中的消息后，我们对五选一系统的知识从不完全 到完全，对五选一系统的认识从不确定到确定。 它表明“A当选”的消息使我们的知识量增加了， 即它具有一定的信息量。
第二章 教育信息熵
学习要点



教育是一种信息系统。教学过程是一种信息的传递和信息 的处理过程。有关教育系统的研究，其实质是教育系统中 的信息、信息传递和信息处理的研究。 信息理论中，信息熵是一个十分重要的核心概念。同样， 教育系统中，信息量的计算，信息熵的计算，对教育系统 的分析、评价有着重要的意义。教育信息熵是教育信息科 学，教育信息处理中的一个十分重要的概念。 本章在对信息熵与熵技术全面介绍的基础上，讨论信息 熵在教学中的应用。通过一些信息熵在教学中应用实例的 介绍，我们将对如何利用熵技术处理教育信息、分析教育 过程有进一步的理解。
一、信息量的表示


概率与信息量之间的关系： 由于信息的大小与信源的不确定性有关，因此， 研究信息的度量就变成了研究信源的不确定性的 度量。 信源输出的消息可以看作是随机事件，它的不确 定度可根据其出现的概率来衡量：概率大，出现 机会多，不确定程度就小；反之，概率小，出现 的机会少，不确定程度就大。
② loga(xy) = loga(x) + loga(y) ，这反映了可加

教育信息处理[2]

教育信息处理[2]

Y : y1 , y2 ,, y j ,, ym
P( X ) : P( x1 ), P( x2 ), , P( xi ), , P( xn ) P(Y ) : P( y1 ), P( y2 ), , P( y j ), , P( ym )
X Y x1 y1 , , x1 y j , , x1 ym , P( X Y ) P( x1 y1 ), , P( x1 y j ), , P( x1 ym ), xi y1 , , xi y j , , xi ym , xn y1 , , xn y j , , xn ym
s 1 t '1
r
c
>0.3772（基于MDL规范化），圆圈内的数据为
>0.1649（基于AIC规范化），
第七节 CAI课件中的信息熵 1. 多重选择题信息熵的运算? 2. 课件评价的度量? 3. 学习状态的信息描述？ 2.7.1 多重选择问题的信息熵 对多重选择问题应答分布的信息熵进行计算。
…10……………...迪特 （dit） 1 dit = 2.303 nat
2.1.2
信息熵
每个状态平均含有的不确定性
X： x1,x2,……,xn P(X): P(x1), P(x2), ,……, P(xn)
P( X ) log( 1 / P( X ))
i 1 i i
n
H ( X ) P( X i ) log P( X i )
（1/2，1/2）
H=1(bit)
（1/2，1/4，1/4） （1/2，1/4，1/8，1/8）
H=1.5(bit) H=1.75(bit) H=2(bit)
h H / H max
（1/4，1/4，1/4，1/4）

第2章信源与信息熵

第2章信源与信息熵

1. 非负性 2. 对称性
n
pi 1,
i 1
pi 0
(i 1, 2,..., n)
3. 确定性
4. 连续性
5. 扩展性
6. 最大熵定理
7. 条件熵小于无条件熵
熵函数的非负性
H ( X ) H ( p1, p2 , , pn ) 0
0 pi 1, log pi 0
pi log pi 0
i
熵的物理意义
H(X)表示信源发出任何一个消息状态所携带的平均信 息量
也等于在无噪声条件下，接收者收到一个消息状态所获 得的平均信息量
熵的本意为热力学中表示分子状态的紊乱程度 信息论中熵表示信源中消息状态的不确定度 信源熵与信息量有不同的意义
H(X)表示信源X每一个状态所能提供的平均信息量 H(X)表示信源X在没有发出符号以前，接收者对信源的
第2章 信源与信息熵
主要内容 1. 信源的分类与描述 2. 离散信源的信息熵和互信息 3. 离散序列信源的熵 4. 连续信源的熵与互信息 5. 冗余度
2.1 信源的分类与描述
信源的定义
产生消息（符号）、消息序列和连续消息的来源。
信源的基本特性是具有随机不确定性
分类
1. 时间
离散
2. 幅度
离散
3. 记忆
有
பைடு நூலகம்
连续 连续 无
介绍三类信源
➢ 单符号离散信源 ➢ 符号序列信源（有记忆和无记忆） ➢ 连续信源
单符号离散信源
单符号离散信源：用随机变量X来描述
X的概率空间
X p(xi
)
X
x1, p1,
X x2, p2 ,
, X xn
,
pn

第2章.信源与信息熵

第2章.信源与信息熵
p( x1 , x2 ,, xL ) p( xL | x1 , x2 ,, xL 1 ) p( x1 , x2 ,, xL 1 ) p( xL | xL m , , xL 1 ) p( x1 , x2 ,, xL 1 ) p( xL | xL m , , xL 1 ) p( xL 1 | x1 , x2 ,, xL 2 ) p( x1 , x2 ,, xL 2 ) p( xL | xL m , , xL 1 ) p( xL 1 | xL m1 ,, xL 2 ) p( x1 , x2 ,, xL 2 )
P中第i行元素对应于从某一个状态si 转移到所有状态s j ( s j S )的 第j列元素对应于从所有状态si ( si S )转移到同一个状态s j的转移 概率，列元素之和不一定为1。
29
转移概率。矩阵中的每一行元素都是非负的，且每行之和均为1。
2.1.3 马尔可夫信源
切普曼· 柯尔莫郭洛夫方程 ( k步转移概率pijk )与l (l k )步和k - l步转移概率之间有所谓
表述的复杂度将随着序列长度的增加而增加。 然而实际上信源发出的符号往往只与前若干个符号有较 强的依赖关系，随着长度的增加依赖关系越来越弱，因 此可以根据信源的特征和处理时的需要限制记忆的长度， 使分析简化。
18
2.1.3 马尔可夫信源
马尔可夫信源 当信源的记忆长度为m+1时，该时该发出的符号与前m 个符号有关联性，而与更前面的符号无关。这种有记忆 信源叫做m阶马尔可夫信源，可以用马尔可夫链来描述。
30
2.1.3 马尔可夫信源
切普曼· 柯尔莫郭洛夫方程 由前递推关系式可知，对于齐次马尔可夫链，一步转移 概率完全决定了k步转移概率。 为了确定无条件概率，引入初始概率，令：

信息熵2

信息熵2

I Pi log2 Pi
i 1
N
1 P 1 P 2 P N N 1 1 1 1 1 1 I log2 log2 log2 N N N N N N
log 2 1 log 2 N N
'
I I I log2 N log2 M
另一种是运动粒子的无序 显然，对于热 运动来说，热运动越剧烈，即温度越高， 就越是无序。 • 而熵的变化与温度有关。相同情况下 温度升高，熵增加。
•
在相同温度下，气体要比液体无序，液体 又要比固体无序。 • 在密闭容器的气体中，若有一部分变为液 体，即其中部分分子密集于某一区域呈液体 状态，这时无序度变小。 • 其逆过程，液体蒸发为气体，无序度变大。 • 液体在等温条件下蒸发为气体时要吸收气 化热，这是一个可逆等温过程，熵要增加。 l 理想气体在等温膨胀从 V1 增加到 V2 • 过程中，熵增加。
•
信息论研究的不是信息的具体内容， 它抛弃信息的内容而研究信息的数量以 及信息的转换、贮存、传输所遵循的规 律. (三)信息量 信息的转换、贮存、传输中的一 个突出问题是要给出有个量的比较的标 准 信息常需要以语言文字或数学公 式图表作为载体予以表达，显然，要对 采用不同载体所表达信息的数量进行比 较是很难的。
•
•
玻耳兹曼是统计物理学的泰斗，其贡献十分 突出，以他的英名命名的方程、公式很多， 也都很重要。 • 但是，在他的墓碑上没有墓志铭， 唯有玻耳 兹曼关系式镌刻在他的胸像上面的云彩中。
• 第二部分香农熵（信息熵） • （一）信息与信息量 • (1)信息 现在人人都会用“信息”这一名词， 但信息是什么 ? 却不一定人人能给出确 切的解释。 早年的信息仅不过是消息的同义词。 现今人们通常把信息看作由语言、 文字、图象表示的新闻、消息或情报。 维纳说：“信息就是我们适应外部世界 和控制外部世界过程中，同外部世界进 行交换的内容的名称”。
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2 两种不同的单位
上面的定义式中，没有考虑对数的底a, 当它取不同的底时（常取2或e），信息 熵的单位为比特(bits)和奈特(nats)。
1比特=0.693奈特
1奈特=1.443比特
此外，还有一个哈特（以10为底），是 取人名哈特莱（Hartley）,他提出了熵 定义式中的对数，且1哈特=3.32比特。
H = -Σ Pi logPi
讨 论 ： 某 一 个 Pi=1, 其 它 选 项 无 人 选 ， 此 时 ： H=0，分散程度最小
每一个Pi=1/m，每个选项均匀分布，此 时：H=log m（最大）分散程度最大。
如图所示
图2-8 等价预选项目的数据
由于H是熵（平均信息量）
设H与回答均匀地分布于K个（不是m个，而 是小于或等于m个）选项时的信息量相等 （原来是m个答案非均匀的分布）
2）英语字母并非等概率使用(表2.1：P33)
故：英语字母的熵通常远小于4.76（有人计算 ≈1.4）。
三 相对熵
我们定义：h= H / Hmax 为相对熵， 它便于比较两个不同事件数目的系统的 信息熵 。
四 冗余度
定义：r=1-h=1-H/Hmax= (Hmax -H)/Hmax 冗余度的含义：在传递信息时，不必要的 冗长部分的比例，即为了表示某一定量的信 息量，我们需要用更多的事件数。
…………. P(xn,y1),P(xn,y2)……… P(xn,ym)
其中P（xi,yj）为xi和yj的联合概率 且P(xi,yj)=P(xi)*P(yj/xi)=P(yj)*P(xi/yj) 当：xi和yj相互独立时：
P（yj/ xi）= P（yj） P（xi/ yj）= P（xi）
2 二元联合信源的熵： H（X，Y）= -ΣΣP(xi,yj) log P(xi,yj) 当每个信源相互独立时：
n i1
P( Xi)
log(1/
P( Xi))
/
n i1
P( Xi)
n
[
P(
xi)
log(
P
1 (x
i)
)]
i 1
信息熵（平均信息量）：
n
n
H (X )
P( xi)
log(
) 1
P( xi)
P(xi) log P(xi)
i 1
i 1
也可以简写为：
n
H Pi log Pi H ( p1, p2, , , pn) i 1
第二章 教育信息熵
• 熵的最早提出（1865年）与热力学 • 熵在信息论中的地位
第一节 熵的概述
一 信息量的表示 1 信息的多少与信源的不确定性有关 实例：5个学生比赛选拔出1人为冠军
2 信息量的度量与信源的不确定性
实例1：5个学生水平相差不多（接近等概率）； 实例2：5个学生水平相差大（不等概率），
4 互信息 定义 I（X，Y）=H（X）+ H（Y）- H（X，Y）
为信源X和信源Y的互信息。
通过变换，可得： I（X，Y）=H（X，Y）- H（X|Y）- H（Y|X）
5 关于几个熵的关系： H(X) H(Y) H(X,Y) H(Y/X) H(X/Y) I(X;Y)
三 Kullback信息量（略）
（2）如果X和Y独立，则 H（Y/X）=H（Y） 这时H（X，Y）=H（X）+H（Y）
（3）反之，若Y完全由X决定，因而已知X 即可确定Y，不再有任何不确定性， 则 H（Y/X）=0 这时H（X，Y）=H（X）
（4）一般情况下 0<= H(Y/X)<= H（Y） 即条件熵永远小于或等于无条件熵
（5） 由于X与Y之间存在的 对称性 ，可得 H（X，Y）=H（Y）+H（X/Y）
一般系统介于上述两种极端情况之间。
四 信息熵的基本性质 1 单峰性（极值性）
任何一个随机系统，其信息熵都有一个极大值（单 峰），即各状态出现为等概率时，熵为最大：
H(p1，p2，，，pn)≤H(1/n，1/n，，，1/n) = log n
实例：一个二事件系统，概率分别为p和1-p 该系统的熵为：H=-[plogp+(1-p) log(1-p)] 其H—P图具有单峰性(图2.1)
通过信息熵的计算，我们能够得到这些测试问题的难 易程度和学生的学习能力倾向，可以作为测试问题的 评价及其指标。
二 等价预选项数
题目分析：难度，区分度
这里主要讨论选择题：除了难度与区分度， 还有一个问题：就是对题目各备选项的 有效性作出评价。
1 等价预选项数 令 i=1,2,3………m 为 选 择 题 的 一 个 选 项 ， Pi 为考生选择第i项的概率，则该选择题的熵：
图2-1 两个事件H-P图
2 对称性
H(p1 ， p2 ， p3) = H(p1 ， p3 ， p2) = H(p3，p2，p1)
1）这是由于加法满足交换率； 2）这也说明熵反映了该系统的整体特性。
3 渐化性（递增性） 设某系统共有n个事件，现在第n个事件分裂
成两个事件，概率分别为q、r 即 pn = q+r 该系统的熵变为：
= 2.157
显然 H（X，Y）<= H（X）+H（Y）
2．157
2.522
二 条件熵 1 概率关系 把联合概率P(xi,yj）=P（xi）*P（yj/xi）代入 H(X，Y)= -ΣΣ P(xi,yj)log[P(xi)*P(yj/xi)]
= -ΣΣ P(xi,yj)logP(xi) -ΣΣ P(xi,yj)logP(yj/xi)
（比特/事件）
（3) H(X，Y)= -[P(x1,y1)logP(x1,y1) + P(x1,y2)logP(x1,y2) +P(x1,y3)logP(x1,y3) +P(x2,y1)logP(x2,y1) +P(x2,y2)logP(x2,y2) +P(x2,y3)logP(x2,y3)]
= -[(1/20)log(1/20)+(7/20)log(7/20) +(1/10)log(1/10)+(7/20)log(7/20) +(1/20)log(1/20)+(1/10)log(1/10)]
三 熵的意义
1 熵的大小表示某概率系统的不确定程度 实例1：某一概率系统的概率分布如下： （1，0，0，，，0） 这是一个确定性系统，计算其信息熵H=0，
即该系统不确定性为0。
实例2：某一概率系统的概率分布为等概率： （1/n，1/n，，，1/n）,设该系统共有n个
状态（事件）； 这是一个最不确定系统，计算其信息熵H为
2/5
2/5
1/5
（1） 先求出 Px(x1)=1/2 Px(x2)=1/2 Py(y1)=2/5 Py(y2)=2/5 Py(y3)=1/5 （2） 求出 H（X）= -[(1/2)log(1/2)+
(1/2)log(1/2)] = 1 同理 H（Y）=1.522 而 H（X）+H（Y）=2.522
证明（利用熵函数的表达式）：作为习题
4 展开性（扩展性）
H(p1，p2，，，pn) = H(p1，p2，，，pn，0) = H (p1，p2，，，pn，0，，，0)
说明：某系统的事件数增加了，但这些事 件的出现概率为0时，该系统的熵不变。
5 确定性 H(1，0) = H(0，1)=H（1，0，，，0） = H（0，0，，，0，1）=0
= -Σ P(xi)logP(xi) -ΣΣ P(xi,yj)logP(yj/xi)
= H（X）+H（Y/X）
2 条件熵 上式中的 H(Y/X)=-ΣΣ P(xi,yj)logP(yj/xi)
叫做给定X时关于Y的条件熵 它表示：已知X时关于Y还保留的平均不确定性
3 讨论：
（1）联合熵表示将XY作为一个整体看待时， 总的平均不确定性H（X，Y）等于X的不确 定性与已知X后关于Y的不确定性H（Y/X） 的和。
其中A的水平高超；
哪一组比赛悬念更大（获得的信息量多）?
3 小结：信源输出的消息可以看作是随机事件 事件出现的概率大，出现机会多，不确定程度小 事件出现的概率小，出现机会少，不确定程度大
即 Pi大， f(Pi)小 Pi小， f(Pi)大
即 f(Pi)应是Pi的单调减函数 f(pi)=∽(1/pi)
6 非负性
H(p1,p2,…,pn) ≥0 (只针对离散信源)
小结：熵是一种描述系统总体特性的统计量
第二节 相对熵与冗余度
一 最大熵 任何一个随机系统（共有n个状态），各状 态出现为等概率时，且各个状态无相关性， 其信息熵都有一个最大值： Hmax = log n
实例：英语用来传输信息，使用26个字母，加 上一个空格，共27个符号。
二 信息熵
1 平均信息量（信息熵）
一般情况下
状态空间： X： x1 , x2 …………… xn
概 率 分 布 ： P(x):P(x1),P(x2) ……… P(xn),
且
n
P(xi) 1
i 1
这里假定各状态是相互独立的.
出现Xi的不确定性: log(1/P(xi)) 该信源每个状态的平均（加权平均）不确定性：
实例：（英语字母），为了表示某一内容 的文章，我们需要用更多的字母。
五 关于冗余度的讨论 1 冗余度使得信息传递的效率降低
实例：英语字母使用中的冗余度达到70%-80%， 所以英语是一种传递效率不高的语言。
2 冗余度可以提高信息传递中的抗干扰能力 实例：传输“中华人民共和国”与传输“中国”，效
果是一样的，因此有一定的冗余度。 但前者在传输时，抗干扰能力更高。 中文（汉字）的冗余度
第四节 熵模型 （略）
第五节 测试问题信息量
一 测试问题信息熵的计(1，0，0，0，0)，