27.2.3 相似三角形的周长与面积学习目标、重点、难点【学习目标】1．理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．2．能用三角形的性质解决简单的问题．【重点难点】1．相似三角形的性质与运用．2．相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解．知识概览图相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比(相似多边形周长的比等于相似比)相似三角形面积的比等于相似比的平方(相似多边形面积的比等于相似比的平方)新课导引【生活链接】如果两个三角形相似，那么它们的周长之间有什么关系?它们的面积之间有什么关系?两个相似多边形呢?【问题探究】前面我们已经学习了相似图形的性质：相似图形的对应角相等，对应边的比相等．那么相似图形的周长与面积又具有怎样的性质呢?教材精华知识点1 相似三角形对应高的比等于相似比如图27－57所示，如果△ABC∽△A′B′C′，且＝k，那么△ABC与△A′B′C′的相似比为k，过A作AD⊥BC，过A′作A′D′⊥B′C′，垂足分别为D，D′，在△ABD与△A′B′D′中，∠B＝∠B′，∠ADB＝∠A′D′B′＝90°，所以Rt△ABD∽Rt△A′B′D′，所以＝k，即相似三角形对应高的比等于相似比k．知识点2 相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比如图27－58所示，在△ABC和△A′B′C′中，AD，A′D′分别为△ABC和△A′B′C′的中线，BE，B′E′分别为△ABC和△A′B′C′的角平分线，若△ABC∽△A′B′C′，则＝k．知识点3 相似三角形周长的比等于相似比如果△ABC∽△A′B′C′，并且△ABC与△A′B′C′的相似比为k，那么＝k，则AB＝k·A′B′，BC=k·B′C′，AC＝k·A′C′，因此，即相似三角形周长的比等于相似比．例如：已知△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，则这两个三角形的相似比为，且，因为AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，所以A′B′＝18 c m，BC＝20 c m，所以AC＝60－15－20＝25(cm)，A′C′＝72－18－24＝30(cm)．知识点4 相似多边形周长的比等于相似比如果多边形A1A2…A n与多边形A1′A2′…A n′相似，并且多边形A1A2…A n与多边形A1′A2′…A n′的相似比为k，则＝k，∴A1A2＝kA1′A2′，A2A3＝kA2′A3′，…，A n A1＝kAn′A1′，∴A1A2+A2A3+…+A n A1＝k(A1′A2′+A2′A3′+…+A n′A1′)，∴＝k，即相似多边形周长的比等于相似比.知识点5 相似三角形面积的比等于相似比的平方若△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比是k，AD，A′D′分别是BC与B′C′边上的高，则=k·k=k2,即相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识点6 相似多边形面积的比等于相似比的平方对于两个相似的四边形，可以把它们分成两对相似的三角形，可以得出这两个四边形面积的比等于相似比的平方．对于两个相似的多边形，用类似的方法，可以把它们分成若干对相似的三角形，从而得出相似多边形面积的比等于相似比的平方．规律方法小结 (1)如果两个三角形相似，那么它们对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、对应周长的比都等于相似比．(2)相似三角形的面积比等于相似比的平方．(3)类比相似三角形的性质可知，相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．(4)本节内容中求相似三角形对应边的比和面积的比的问题可以互相转化，对于没有指明对应顶点的相似三角形仍然要分类讨论．课堂检测基本概念题1、(1)若两个相似三角形的面积比为1：2，则它们的相似比为；(2)若两个相似三角形的周长比为3：2，则它们的相似比为；(3)若△ABC∽△A′B′C′，且AB＝5，A′B′＝3，△A′B′C′的周长为12，则△ABC 的周长为 .基础知识应用题2、如图27－59所示，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长和面积．3、如图27－60所示，在锐角三角形ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，△ABC 和△BDE的面积分别为18和2，DE＝2，求AC边上的高．4、如图27－61所示，在△ABC与△CAD中，AD∥BC，CD交AB于点E，且AE：E B＝1:2，EF∥BC交AC于点F，且S△ADE＝1，求S△BCE和S△AEF．5、如图27－62所示，AD是△ABC的角平分线，BH⊥AD于点H，CK⊥AD于点K，求证AB·DK＝AC·DH．综合应用题6、如图27－63所示，在梯形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若△COD的面积为a2，△AOB的面积为b2，其中a＞0，b＞0，求梯形ABCD的面积S．探索与创新题7、如图27－64所示， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB延长线上一点，OE 交BC于点F，AB＝a，BC＝b，BE＝c，求BF的长．8、如图27－65所示，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB 相交于点E，EC与AD相交于点F.(1)求证△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长体验中考1、已知△ABC与△DEF相似且面积比为4：25，则△ABC与△DEF的相似比为．2、如图27－67所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF．(1)求证EF∥BC；(2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析 (1)∵两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴k2＝，且k＞0，∴k＝．(2)∵相似三角形的周长比等于相似比，且周长比为3:2，∴相似三角形的相似比为3：2．(3)∵相似比5：3，∴.又∵△A′B′C′的周长为12，∴＝，∴△ABC的周长为20．答案：(1)：2 (2)3：2 (3)20【解题策略】解决此类题时，可直接应用相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系来求解．2、分析先说明△ABC∽△DEF，再运用相似三角形的性质——相似三角形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方进行求解．解：在△ABC和△DEF中，∵AB=2DE，AC=2DF，∴又∵∠D＝∠A，∴△DEF∽△ABC，且相似比为．∴.即，∴△DEF的周长为12．∴，即，∴S△DEF＝12．即△DEF的周长为12，面积为12．【解题策略】解决此类问题时，可利用相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方来求解．3、分析若求AC边上的高，就要把AC边上的高作出来，由于△ABC的面积为18，因此只要求出AC边的长，就可以求出AC边上的高．解：过点B作BF⊥AC，垂足为点F．∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CE B＝90°，又∵∠ABD＝∠CBE，∴Rt△ADB∽Rt△CE B．∴,即，且∠ABC=∠DBE，∴△EBD∽△CBA，∴，又∵DE＝2，∴AC＝6．∵S△ABC＝AC·BF＝18，∴BF＝6．【解题策略】解决此题的关键是根据已知条件说明△EBD∽△CBA．4、分析由AD∥BC，可得△ADE∽△BCE，求S△BCE比较容易，而求S△AEF不易利用相似三角形的面积关系来求解．由DA∥EF可知△AEF与△EAD是两个高相等的三角形，所以这两个三角形的面积比就等于底边长的比，求出EF：AD就可以求出△AEF的面积．解：∵AD∥BC，∴△ADE∽△BCE，∴S△ADE：S△BCE＝AE2：BE2．又∵AE:BE＝1：2，∴S△ADE:S△BCE＝1:4，∵S△ADE＝1，∴S△BCE＝4．又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EF:BC＝AE：AB＝1:3．又∵△ADE∽△BCE，∴AD：BC＝AE：BE＝1：2，∴BC＝2AD，∴EF：AD＝2：3．又∵AD∥EF，∴△ADE与△AEF等高．∴S△AEF：S△ADE＝EF：AD＝2：3．∵S△ADE=1，∴S△AEF＝.【解题策略】利用相似三角形的性质进行有关面积的计算时，有时会用到等底等高的三角形面积相等、同底(或等底)三角形的面积之比等于对应高之比、同高(或等高)三角形的面积之比等于对应底边长之比等等．5、分析由已知易证△BHD∽△CKD，△ABH∽△ACK，从而易得,即AB·DK=AC·DH．证明：∵BH⊥AD，CK⊥AD，∴BH∥CK，∴△BHD∽△CKD，∴．①∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2．又∵∠BHA=∠CKA=90°，∴Rt△ABH∽Rt△ACK,∴．②由①②可知，∴AB·DK＝AC·DH．【解题策略】在本题中，利用把和联系起来，通常把这里的叫做中间比，它起到桥梁的作用．6、分析梯形的面积等于4个三角形的面积之和，而△AOB和△COD的面积都已用a，b表示出来，因此关键是求出△AOD和△BOC的面积．由图可知△AOD和△BOC的面积相等，而△AOD和△COD在AC边上的高是同一条高，因此△AOD和△COD的面积比就等于AO：OC，这样就可以求出△AOD的面积．解：∵AB∥CD，∴△COD∽△AOB，∴∴又∵S△ABC＝S△ABD，∴S△ABC－S△AOB＝S△ABD－S△AOB，即S△BOC＝S△AOD．又∵=，∴S△AOD=·S△COD=·a2=ab．∴S△COB＝S△AOD＝ab．∴梯形ABCD的面积S＝a2+ab+ab+b2＝(a+b)2．【解题策略】底在同一条直线上，高相同的两个三角形面积的比等于底边长的比，而相似三角形面积的比等于对应边的比的平方，要注意区别这两个性质．7、分析显然所求线段BF与已知线段BE在同一个三角形中，如果能找到一个与△BEF 相似且有已知边的三角形，问题便可解决，但在图中不能直接找到，如果过O作OC∥BC交AB于G，就能得到△EBF∽△EGO，此题可解．解：过点O作OG∥BC交AB于G，则△EBF∽△EGO．∵ABCD的对角线相交于点O，∴OA＝OC，AG＝G B．又∵△EBF∽△EGO，∴.∵AG＝GB＝AB，∴OG＝BC．又∵AB＝a，BC＝b，BE＝c，∴OG＝b，GB＝a，GE=a+c．∴，∴BF=.【解题策略】解决此类题的关键是构造相似图形，而构造相似图形的一般方法是作平行线．8、分析由E D⊥BC，D是BC的中点，可得∠B＝∠1，由AD＝AC，可得∠2＝∠ACD，从而相似可证．过A作AM⊥BC,垂足为M，求DE的长可以在ED∥A M的基础上利用比例线段求得．证明：(1)∵DE⊥BC，D是BC的中点，∴EB＝EC，∴∠B＝∠1．又∵AD＝AC，∴∠2＝∠ACB，∴△ABC∽△FCD．解：(2)过点A作AM⊥BC，垂足为M，∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，∴==4．又∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20．∵S△ABC＝BC·AM，且BC＝10，∴20=×10·AM，∴AM＝4．又∵DE∥AM，∴．∵BM＝BD+DM，BD＝BC＝5，DM＝DC＝，∴BM＝5+＝，∴．∴DE=.体验中考1、分析相似三角形的面积之比等于相似比的平方．故填2：5．2、证明：(1)∵C F平分∠ACB，∴∠1＝∠2．又∵DC＝AC，∴CF是△ACD的中线，∴点F是AD的中点．又∵点E是AB的中点，∴EF∥BD，即EF∥BC解：(2)由(1)知，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD，∴．又∵AE＝AB，S△AEF＝S△ABD－S四边形BDFE＝S△ABD－6，∴，∴S△ABD＝8，∴△ABD的面积为8．。
