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函数的单调性和奇偶性精品讲义

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第三讲函数的单调性、奇偶性一S 知识点归纳 函数的单调性(1) 左义：设函数产fd)的肚义域为I ， 如果对于左义域I 内的某个区间Q 内的任意两 个自变⅛χl ,疋，当為<龙时，都有fg)<f(Q (fg)>fω),那么獄说f(χ)在区间D 上 是增函数(减函数)，区间D 为函数 产f(x)的增区间(减区间)概括起来，即(2) 函数单调性的证明的一般步骤：①设旺，心是区间D 上的任意两个实数，且旺<兀2 ② 作差/(χ1)-∕(χ2),并通过因式分解、配方、通分、有力化等方法使其转化为易于判断 正负的式子：③确⅛/(χ1)-∕(χ2)的符号；④给出结论 证明函数单调性时要注意三点：①州和兀的任意性，即从区间D 中任取"和也，证明单调 性时不可随意用量额特殊值代替：②有序性，即通常规⅛χ1<χ2:③同区间性，即旺和勺 必须属于同一个区间。

(3) 设复合函数y = ∕［g(x)］是泄义区间M 上的函数，若外函数f(x)与内函数g(x)的单调 性相反，则y = ∕k(x)］在区间M 上是减函数：若外函数f(x)与内函数g(x)的单调性相同, 则y =/［g(x)］在区间M 上是增函数。

概括起来，即“同增异减II 号” (4) 简单性质：① /(-V)与Jf(X)单调性相同：f(x)与-/(X)及—单调性相反JW ② 在公共泄义域内：增函数/(X) +增函数g(Λ∙)是增函数：减函数J (X) +减函数g(x)是减函数； 增函数/(X)-减函数g(x)是增函数：减函数/(X)-增函数g(x)是减函数。

(5) 必须掌握特殊函数单调性① _________________________________________________________________ _次函数y = kx+b: _________________________________________________________________同增异减”减函数XIVX2∕U 1)>∕⅛)l∕Uι)>∕U 2)或！ gι∕u 1)<∕u 2)② 二次函数y = ax 2+bx + c ： __________________________________________________ ③ 反比例函数y = -： _________________________________________________________∣ζ④ 双钩函数y =牙+ _ ： _______________________________________________________X 注：数的多个单调区间通常不能用并集联接；②单调区间的端点只要在左义域内就要加上 ③增函数在图像上反映岀来就是"向上”，减函数从图像上反映出来就是“向下” 函数的最值(1) ⅛义：/(x)的最大值：/(x)最大的函数值：/(x)的最小值：/(X)最小的函数值 (2) 求最值方法与求值域方法类似 函数的奇偶性 1. 定义:① 设y=f(x),左义域为A 且A 关于原点对称，如果对于任意x∈A,都有/(-X) = f(x). 称y=f(x)为偶函数。

② 设y=f(x),左义域为A 且A 关于原点对称，如果对于任意x∈A,都有/(-x) = -∕(Λ∙),称*为奇函数。

概括起来，5)为偶函数f育驚对称2. 函数奇偶性的判断的步骤:①求/(X)泄义域，若fM 义域不关于原点对称，则函数/(X) 既不是奇函数也不是偶函数；若/(X)左义域关于原点对称，贝IJ 判断/(X)与/(-X)的关系 ②判断/(X)与/(-Λ)的关系，若/(-X)= JXX),则f(x)为偶函数；若f(-x) = -f(x), 则/(X)为奇函数：若/(→∙) = /M 且/(τ) = -∕(χ),则/(X)既是奇函数又是偶函数: 若/(-对≠ /(X)且/(-X)≠ -/(X),则函数/(X)既不是奇函数也不是偶函数 3・性质:(1)若/(X)为奇函数，则:①f(-x) = -f(x);②于(X)图像关于原点对称;③ O 在f(x) ⅛义域内时有/(O) = 0:④/(Λ∙)在关于原点对称的区间上单调性相同⑤ 几种特殊的奇函数y = χ9 y = X 31 y = — » y = Sin XX(2)若/(X)为偶函数，贝I ］：①f(-x) = /(Λ-):②/(X)图像关于y 轴对称③/(X)在关于 原点对称的区间上单调性相反；④几种特殊的偶函数：y = ∣ψ y = √, y = Cosx X 注：①若二次函数y = ax 2+bx + c 为偶函数，则b = 0;②在同一世义域内，奇 偶=奇，+奇土奇=奇，偶X 偶=偶；③既是奇函数又是偶函数的函数只有一个解析式/(x) = 0/(X)为奇函数O了⑴定义域关于原点对称/(-V) =-/(X)■二、典例例题解析：题型一单调性的定义例1泄义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数Cl,b总有/(“)-八4〉0 ,试判断/(A) a—h单涮性。

例2若/(x)在区间⑺")上是增函数，在区间(〃,c)上也是增函数，则函数/(x)在区间(a.b)[)(b,c) Jt()A.必是增函数B.必是减函数C.是增函数或减函数D.无法确定单调性变式训练下列说法中正确的有______________ 个①若χ1,χ2∈ I,当X l<χ2时，.广(xjc/g)，则y = f M在/上是增函数②函数y = F在R上是增函数：③函数V =-丄在定义域上是增函数：④y =丄的单调区间X ■ X是(YC.0) U(O,+∞)题型二单调性的证明例1证明函数y = x + -∕±区间(OJ)上为减函数例2证明函数/(x) = √PTT-x在英左义域内是减函数例3已知函数y =∕ (x)在(0,+S)上为增函数，且ΛX)<0(Λ∙>0),试判断F(X) = 丄在f(x) (0∙+oo)上的单调性，并给出证明过程题型三利用单调性求函数值域和最值 例1求下列函数的最值① /(X)= Jl - 2x — X ;② /(X)= y/3 + Λ — y∣3 — X :③ j (X) = JX + ] — ∖[x ~~ 1变式如果函数/(x) = √-X 2-Z V + 3 ,求f(x)的单调区间和值域例2已知/(x) = F 一2(1 -α)x + 2在(-αo.4],上是减函数，求α的取值范幅I变式1已知∕ω = x 2-2(l-u)Λ∙÷2的减区间是(Y >4,求d 的值变式2函数f(x)=x 2+ 3x +2在区间(・5,5)上的最大值、最小值分别为A. 42J2B. 42,丄 C 、12, --D 、无最大值，最小值丄444•变式3函数y=2√—("一 l)x+3在(一8, 1]内递减，在(1, +oo)内递增，则“的值是 ( )A ・1 B.3 C.5 D.-1 例3若f(x)≈-在区间(2+00)上是减函数，求d 的的取值范用x + 2变式1函数y = /(Λ∙)的图彖如图所示：则g(Q = f Iog I X 的单调 减区间是()/(x) = √x -2-1 + x√Γ,x∈[l,+oc)A(OJ) B(01］ C,［lljD ∙［討题型四抽象函数的单调性例1已知函数y =/(x)是(YO ∙÷∞)上的增函数，且/(2x-3)>∕(5x+6),求X 的取值范围变式 已知函数y = f(x)的立义域为［-2,2］,且/(X)在区间［-2,2］上是增函数且f(l-m)<f(m)9求加的取值范围例2已知函数y = ∕(Λ∙)在［(λ+∞)上是减函数，比较/上)与∕ω2-π + l)的大小例3已知泄义在区间(0,÷oo)±的函数/(x)满足f(-) = f(χ)-f(y),且当X>l 时/(X) < O y ① 求/⑴的值：②判定/(X)的单调性:③若/(3) = -1,求/(X)在［2,9］上的最小值变式 已知左义在区间(O.+o□)上的增函数/(x)满足f(-) = f(χ)-f(y)f /(2) = 1,解不 y 等式 ∕ω-∕⅛≤2C.(O,1］和［√Σ,+S )D (YO ,1］和［√2,+oo)变式 2(3d-l)x + 4d IOgd V("I)(A ∙≥1)是R 上的减函数，那么"的取值范用是(例4函数f(x)是圧义在(0, +8)上的减函数，对任意的X, y∈(0, +8),都有f (χ + y)=f(x)+f(y)-l,且 f(4)=5.(1)求f⑵的值：(2)解不等式f (m—2) ≤3变式已知函数f(x) Zk义域为R,且对FnjlE R •恒有f(nι + n) = f(m) + f(n)-∖, fi∕(-l) = O> 当X〉一丄时，/(x) >O2 2① 求/(*)②证明：/(JV)在R上为增函数函数的例1下列说法中错误的个数为()①图像关于坐标原点对称的函数是奇函数②图像关于y轴对称的函数是偶函数③奇函数的图像一定过坐标原点④偶函数的图像一泄与y轴相交A.4B. 3C.2D. 0变式下列判断正确的是()A.定义在R上的函数y∙(Λ-),若/(—1) = ∕(1),且/(-2) = /(2),则/(x)是偶函数B.定义在/?上的函数/3满足/(2) > /(1),则f(x)在R上是增函数C.左义在R上的奇函数/(x)在区间(-8,0］上是减函数，则在区间(0,+oo］上也是减函数D.既是奇函数又是偶函数的函数只有一个题型六函数奇、偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性(定义法)⑤心T ② /(x) —(X — 1) + "③ f (X) - I④/(X)-X2+2X-1⑤/(x) =∣-v+2∣-|x—2∣ ⑥/(X) = _ 1 + Jl_f ⑦/(X)= ⑧f(x) = lg(l-x) + Ig(I + x)例2判断下列函数奇偶性(定义法或图像法)f x(x-l), x≥0① ∕w= ( H nI-X(X-1), XVo ② fW = <— 2x + 3O-X2 _ 2x _ 3x>0X = OXVo2Λ+12t-l③ /(x) = 2,x∈{-2,-l,0,l,2}例3判断下列函数奇偶性(抽象函数)① F(X) = f(x) + f(-x)② F(x) = ∕(x)-∕(-x)③F(X) =/(x)-∣∕(-x)∣,其中于(兀)为奇函数④函数/(x) 义域为/?,并且对任意Λ∖y∈∕?均满足f(χ+y) = f(χ)+f(y)>判断/S)奇偶性，并证明。

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函数的奇偶性与单调性word精品文档13页

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函数的奇偶性与单调性一.知识总结1.函数的奇偶性（首先定义域必须关于原点对称）(1)为奇函数;为偶函数;(2)奇函数在原点有定义(3)任一个定义域关于原点对称的函数一定可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和即（奇）（偶）.2.函数的单调性(注:①先确定定义域;②单调性证明一定要用定义)(1)定义:区间上任意两个值,若时有,称为上增函数,若时有,称为上减函数.(2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同;偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.判断函数单调性的方法:①定义法,即比差法;②图象法;③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）;④复合函数单调性判断法则.3.周期性:周期性主要运用在三角函数及抽象函数中,是化归思想的重要手段.求周期的重要方法:①定义法;②公式法;③图象法;④利用重要结论:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a≠b,则T=2|a-b|.二.例题精讲【例1】已知定义域为的函数是奇函数.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围.解析：（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0，即又由f（1）= -f（-1）知（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又由题设条件得：即：，整理得上式对一切均成立，从而判别式【例2】设函数在处取得极值－2,试用表示和,并求的单调区间.解：依题意有而故解得从而。

令，得或。

由于在处取得极值，故，即。

（1）若，即，则当时，；（2）当时，；当时，；从而的单调增区间为；单调减区间为若，即，同上可得，的单调增区间为；单调减区间为【例3】(理)设函数,若对所有的,都有成立,求实数的取值范围.(文)讨论函数的单调性（理）解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝e a－1－1，(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax．(ii)当a＞1时，对于0＜x＜e a－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，e a－1－1)是减函数，又g(0)＝0，所以对0＜x＜e a－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上，a的取值范围是（－∞，1]．解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝e a－1－1，当x＞e a－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，当－1＜x＜e a－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数，所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为e a－1－1≤0．由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]．（文）解：设，则当时，，则为增函数当时，，则为减函数当时，为常量，无单调性【例4】(理)已知函数,其中为常数.(Ⅰ)若,讨论函数的单调性;(Ⅱ)若,且=4,试证:.(文)已知为定义在上的奇函数，当时，，求的表达式.（理）（文）解：∵为奇函数，∴当时，∵为奇函数∴三.巩固练习1.已知是上的减函数,那么的取值范围是( )A. B. C.D.2.已知是周期为2的奇函数,当时,,设则( )A. B. C. D.3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A. B. C.D.4.若不等式对于一切(0,)成立,则的取值范围是A.0B.–2 C.-D.-35.设是上的任意函数,则下列叙述正确的是( )A.是奇函数B.是奇函数C.是偶函数D.是偶函数6.已知定义在上的奇函数满足,则的值为( )A.－1 B.0 C.1D.27.已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称,记.若在区间上是增函数,则实数的取值范围是( )A. B. C.D.8.(理)如果函数在区间上是增函数,那么实数的取值范围是( )Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.9.对于上可导的任意函数,若满足,则必有( )A. B. C.D.10.已知,则( )A. B.C. D.11.已知函数,若为奇函数,则.12.已知函数是定义在上的偶函数. 当时,,则当时,.13.是定义在上的以3为周期的偶函数,且,则方程=0在区间（0,6）内解的个数的最小值是( )A.5B.4C.3D.214.下列函数既是奇函数,又在区间上单调递减的是( )A. B. C. D.15.若函数, 则该函数在上是( )A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值16.若函数在区间内单调递增,则的取值范围是( )A. B.C. D.17.设是定义在上的奇函数,且的图象关于直线对称,则______.18.设函数在上满足,,且在闭区间［0，7］上,只有.(Ⅰ)试判断函数的奇偶性;(Ⅱ)试求方程=0在闭区间［-2005,2005］上的根的个数,并证明你的结论.19. (理)已知,函数(1)当为何值时,取得最小值？证明你的结论;(2)设在[ -1，1]上是单调函数,求的取值范围.(文)已知为偶函数且定义域为,的图象与的图象关于直线对称,当时,,为实常数,且.(1)求的解析式;(2)求的单调区间;(3)若的最大值为12,求.20.已知函数的图象过点（0,2）,且在点处的切线方程为.(1)求函数的解析式;(2)求函数的单调区间.21.已知向量若函数在区间（－1,1）上是增函数,求的取值范围.22. (理)已知函数,,.若,且存在单调递减区间,求的取值范围.(文)已知函数在区间上是减函数,且在区间上是增函数,求实数的值.巩固练习参考答案1. C2. D3. A4. C5. D6. B7. D8. B9. C 10. A 11.a=12. -x-x4 13. B 14. D 15. A 16. B 17. 018 .解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(II)由(II) 又故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数在[-2005,2005]上有802个解.19. (理) 解：（I）对函数求导数得令得［+2(1－)－2］=0从而+2(1－)－2=0解得当变化时，、的变化如下表+0－0+递增极大值递减极小值递增∴在=处取得极大值，在=处取得极小值。

函数的奇偶性和单调性-课件

函数的奇偶性和单调性-课件


性质
偶函数的图像关于y轴对称 。
例子
$f(x)=x^2$，$f(-x)=(x)^2=x^2=f(x)$，所以 $f(x)=x^2$是偶函数。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
02
函数的单调性
单调增函数
定义
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上， 对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$I$上单 调增。
举例
应用
在经济学、生物学等领域中，单调增 函数常用于描述随着自变量增加，因 变量也增加的情况。
$f(x) = x^2$在区间$(0, +infty)$上 单调增。
单调减函数
定义
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$ 上，对于任意$x_1 < x_2$，都有 $f(x_1) > f(x_2)$，则称$f(x)$在
通过已知的函数性质和函数关系，可以求 解未知的函数解析式。
利用奇偶性和单调性研究函数图 像
通过奇偶性和单调性，我们可以研究函数 的图像性质，如对称轴、单调区间等。
奇偶性与单调性的实际应用举例
经济领域应用
在经济学中，奇偶性和单调 性可以用于研究经济数据的 趋势和周期性变化，如GDP 、就业率等。
自然科学应用
如果对于函数$f(x)$的定 义域内任意$x$，都有$f(x)=-f(x)$，则称$f(x)$为 奇函数。
性质
奇函数的图像关于原点对 称。
例子
$f(x)=x^3$，$f(-x)=x^3=-f(x)$，所以 $f(x)=x^3$是奇函数。
偶函数
定义
2023届高考数学函数微专题——单调性与奇偶性综合+讲义

2023届高考数学函数微专题——单调性与奇偶性综合+讲义

2023届函数微专题——单调性与奇偶性综合函数的单调性、奇偶性是函数的重要性质，几乎是每年必考的内容，奇偶性和单调性结合，提高了综合性和创造性．典例精讲类型一：比较大小例1.若()f x 是偶函数，且对任意12,x x ∈(0,)+∞且12x x ≠，都有()()21210-f x f x x x -<，则321()()()432f f f -、、的大小关系 。

例 2.已知定义在R 上的函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，(2)()0f x f x ++-=，且函数()y f x =在(0,1)上单调递增，则( ) A ．171()()()242f f f -<-< B ．711()()()422f f f -<-< C ．117()()()224f f f -<<- D ．171()()()242f f f <-<-自主练习1.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(8)()f x f x +=，关于2x =对称且在区间[0，2]上单调递增，则( ) A ．(25)(11)(80)f f f -<< B ．(80)(11)(25)f f f <<- C ．(11)(80)(25)f f f <<- D ．(25)(80)(11)f f f -<<2．若函数()f x 是偶函数，且在[0,2]上是增函数，在[2)+∞，上是减函数，则(2)(3)(4)f f f --、、的大小关系 。

类型二：解抽象不等式例1.已知偶函数()f x 在(],0-∞上单调递增，则满足()1212f x f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（ ）A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．31,,44⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．31,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭例2.已知函数()()()ln 11,011ln 1,0x x e x x f x x x e⎧++-≥⎪=⎨---<⎪⎩，若()()2120x xf e f e -+≤，则实数x 的取值范围为（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)ln 2,-+∞D ．(],ln 2-∞-例3.偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，且()01f =-，()10f -=，则满足()120f x -≤-≤的x 取值范围是 。

函数的单调性和奇偶性-PPT

函数的单调性和奇偶性-PPT

一、函数的单调性
❖ 1.增函数 （1）定义
如果函数y f (x)在数集I上满足：对于任意x1, x2 I , 当x1 x2时，f (x1) f (x2 ),则称y f (x)在数集I上单调増， 也称y f (x)在数集I上是增函数。
如果函数y f (x)在某个区间上是增函数，就称该区间
如果函数y= f(x)的定义域关于原点O对称，并且 对定义域内的任意一个值x,都有f(-x)=-f(x), 我们 就称函数y= f(x) 为奇函数.
（2）图象特点
奇函数图象关于原点O成中心对称
二、函数的奇偶性
❖ 2.偶函数 （1）定义
如果函数y= f(x)的定义域关于原点O对称，并且 对定义域内的任意一个值x,都有f(-x)=f(x), 我们 就称函数y= f(x) 为偶函数.
C.y x2 2
D.y 2x2 -1
）
）
4、函数y 3的单调减区间为 x
（）
A.(,0)
B.[0,)
C.(,0), (0,) D.R
5、函数y (x 2)2的单调增区间为 ————————
6、函数y 3 2x的单调减区间为 ————————
二、函数的奇偶性
❖ 1.奇函数
（1）定义
如果函数y f (x)在某个区间上是减函数，就称该区间
为函数y f (x)的单调减区间。 y
（2）图象特点
自左向右逐渐下降
o
x
一、函数的单调性
❖ 函数单调性的判别方法
1.借助于函数的图像。 2.根据单调性的定义来判定。
基础训练
1、判断函数y=4x-2的单调性．
观察函数图像
结论：一次函数y=kx+b(k≠0)的单调性
观察函数图像