2021届高考9月份联考试题理科数学试卷附答案解析

2021年河南省九师联盟高考数学联考试卷（理科）一、选接题（共12小题）.1．已知a，b∈R，复数z1＝a+i，z2＝2﹣bi（i为虚数单位），若，则a+b＝（）A．1B．2C．3D．42．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤3〉，B＝{x|x2﹣6x+5≤0}，则（∁R A）∩B＝（）A．[1，3]B．（3，5]C．[3，5）D．[1，3）3．若双曲线的虚轴长为，则其渐近线的方程是（）A．y＝±3x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x4．下列说法正确的是（）A．“”的否定为“”B．“A＞B”是“sin A＞sin B”的必要条件C．若x＜1，则x2＜1的逆命题为真命题D．若“x＞a”是“log2x＞2”的充分条件，则a≤45．已知f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x﹣1．若f（x0）＞﹣1，则x0的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）6．为了计算S＝3+33+333+3333+33333，设计了如图所示的程序框图，则①和②处的框内可以分别填入（）A．S＝S+3×10i﹣1和i＝i+2B．S＝S+（10i﹣1）÷3和i＝i+1C．S＝S+3×10i和i＝i+3D．S＝S+（10i﹣1﹣1）÷3和i＝i+17．“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，这首二十四节气歌，记录了中国古代劳动人民在田间耕作长期经验的积累和智慧．“二四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．我国古代天文学和数学著作《周牌算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则晷长为七尺五寸时，对应的节气为（）A．春分、秋分B．雨水、处暑C．立春、立秋D．立冬、立夏8．函数f（x）＝ln|x+1|﹣x2﹣2x的图象大致为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，，AC＝3，BC＝4，点D，G分别在边AC，BC上，点E，F在AB上，且四边形DEFG为矩形（如图所示），当矩形DEFG的面积最大时，在△ABC 内任取一点，该点取自矩形DEFG内的概率为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，给出下列结论：①A＝2，ω＝1，b＝﹣1；②A＝ω＝2，b＝﹣1；③点（，﹣1）为f（x）图象的一个对称中心；④f（x）在[﹣，﹣]上单调递减．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．③④D．②④11．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线C交于点A，B，与l交于点D，若，|AF|＝4，则p＝（）A．2B．3C．4D．612．《九章算术》卷五《商功》中描述，几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”．现有阳马P﹣ABCD（如图），PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝3，点E，F分别在AB，BC上，当空间四边形PEFD的周长最小时，直线PA与平面PFD所成角的正切值为（）A．B．C．D．2二、填空题（共4小题）.13．已知向量，满足||＝1，||＝2，当|2﹣|＝2时，向量，的夹角为．14．已知（1+x）（2﹣x）9＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a1+a2+…+a9＝．15．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面半径为，高为1，E和F是底面圆周上两点，则圆锥PO的侧面展开图的圆心角为；△PEF面积的最大值为．16．已知数列{a n}是公差为d的等差数列，设，若存在常数m，使得数列{c n+m}为等比数列，则m的值为．三.解答题，共70分。

湖北省 高三9月质量检测数学（理）试卷一、选择题1．已知集合P ＝{x ｜2x －x －2≤0}，Q ＝{x ｜2log (1)x －≤1}，则（C R P ）∩Q 等于（ ）A ．[2，3]B ．（－∞，－1]∪[3，＋∞）C ．（2，3]D ．（－∞，－1]∪（3，＋∞） 2. 已知命题:,2lg p x R x x ∃∈->，命题2:,0q x R x ∀∈>，则（ ） A 、命题p q ∨是假命题B 、命题p q ∧是真命题C 、命题()p q ∧⌝是真命题D 、命题()p q ∧⌝是假命题3. 《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布. A ．12B ．815C ．1631D ．16294.已知两个不同的平面αβ、和两个不重合的直线n m ,，有下列四个命题： ①若//,m n m n αα⊥⊥，则；②若,,//m m αβαβ⊥⊥则； ③若,//,,m m n n αβαβ⊥⊂⊥则； ④若//,//m n m n ααβ⋂=，则.其中正确命题的个数是（ ） （A ）0（B ）1（C ）2（D ）35.定义行列式运算：12142334a a a a a a a a =-.若将函数-sin cos ()1 -3x x f x =的图象向左平移m(0)m >个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是（ ）A ．32πB ．3πC ．π65D ． 6π6.已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为( )（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<7．已知平面向量n m ，的夹角为,6π且2,3==n m ，在ABC ∆中，n m AB 22+=，nm AC 62-=，D 为BC 边的中点，则AD =( ) A.2 B.4 C.6 D.88．一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）A ．433 B ．533C ．23D ．8339. 设()f x 是定义在R 上的恒不为零的函数，对任意实数,x y R∈，都有()()()f x f y f x y ⋅=+，若()()11,2n a a f n n N *==∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是（ ）A. 1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.在以O 为中心，F 1、F 2为焦点的椭圆上存在一点M ，满足|MF 1→|＝2|MO →|＝2|MF 2→|，则该椭圆的离心率为( )A .22B .33C .63D .2411.已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x 若对于满足约束条件的所有y x ,，总有不等式)3(+≤x k y 成立，则实数k 的最小值为（ ）A ．21 B ．32C ．2-D ．0 12．设函数)(x f y =在R 上有定义，对于任一给定的正数p ，定义函数⎩⎨⎧>≤=p x f p px f x f x f p )(,)(),()(，则称函数)(x f p 为)(x f 的“p 界函数”若给定函数2,12)(2=--=p x x x f ，则下列结论不成立．．．的是（ ） A ．[][])0()0(p p f f f f = B ．[][])1()1(p p f f f f =C ．[][])2()2(f f f f p p = D ．[][])3()3(f f f f p p =二、填空题 13.1()1f x ⎧=⎨-⎩ 22x x ≥<，则不等式2()20x f x x ⋅+-≤解集是 ． 14.在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1:2的两部分，则双曲线的离心率为 ．16.定义在R 上偶函数)(x f ，当x x x f x 3-)(03=>时，；奇函数)(x g 当时0>x 11)(--=x x g ，若方程：,0))((,0))((==x g f x f f0))((,0))((==x f g x g g 的实根个数分别为d c b a ,,,则d c b a +++=三、解答题 17.（10分）设命题[]21:1,2,ln 0,2p x x x a ∀∈--≥命题2000:,2860q x R x ax a ∃∈+--≤使得，如果命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围。

浙江省2021届高三数学9月第一次联考试题（含解析）注意事项：1．本试题卷共8页，满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。

3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。

4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项目符合题目要求的。

1.记全集U =R ，集合{}240A x x =-≥，集合{}22xB x =≥，则()UA B =（）A. [)2+∞，B. ØC. [)12， D. ()12， 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元二次不等式和指数不等式，再求补集与交集. 【详解】由240x -≥得2x -≤或2x ≥，由22x ≥得1x ≥，则()[)221UA B =-=+∞，，，，所以()[)12UA B =，，故选C .【点睛】本题考查集合的运算、解一元二次不等式和指数不等式，其一容易把交集看作并集，概念符号易混淆；其二求补集时要注意细节.2.已知复数2-iz 1i=+（i 为虚数单位），则复数z 的模长等于（）A.2 B.2【答案】A【解析】 【分析】先化简复数z,利用模长公式即可求解. 【详解】化简易得13i z 2-=，所以10z 2=，故选A . 【点睛】本题考查复数的基本运算和概念，了解复数的基本概念、运算和共轭复数的概念、模长是解答本题的关键.3.若实数x y ，满足约束条件2032402340x y x y x y ++≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，，，则2z x y =+的最大值为（）A. -2B. 12C. -4D. 8【答案】B 【解析】 【分析】作出可行域,平移目标函数即可求解.【详解】如图中阴影部分所示（含边界），显然当目标函数2z x y =+经过点()44，时有最大值12，故选B .【点睛】本题考查线性规划，准确作出可行域是解答本题的关键.4.在同一直角坐标系中，函数2y ax bx =+，x by a-=（0a >且1a ≠）的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数的图象,以指数函数的底数a 与1的大小分情况讨论，由指数函数图象与y 轴的交点即可得出b 的大小，从而能判断出二次函数图象的正误.【详解】对1a >和01a <<分类讨论，当1a >时，对应A,D:由A 选项中指数函数图象可知，002bb a>∴-<，A 选项中二次函数图象不符，D 选项符合；当01a <<时，对应B,C:由指数函数图象可知，00,02bb a a<∴->>，则B ，C 选项二次函数图象不符，均不正确，故选D . 【点睛】本题易错在于函数图象的分类，从指数函数分类易正确得到函数图象.5.已知直线ml ，，平面αβ，满足l α⊥，m β⊂，则“l m ”是“αβ⊥”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定定理进行判断.【详解】当l m 时，m α⊥，则可知αβ⊥；反之当αβ⊥时，l 与β中的m 不一定平行，故选A .【点睛】本题考查线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理.若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面．6.已知随机变量ξ满足下列分布列，当()01p ∈，且不断增大时，（）A. ()E ξ增大，()D ξ增大B. ()E ξ减小，()D ξ减小C. ()E ξ增大，()D ξ先增大后减小D. ()E ξ增大，()D ξ先减小后增大 【答案】C 【解析】 【分析】由分布列可知，随机变量ξ服从二项分布，根据二项分布的期望、方差公式即可判断. 【详解】由题意可知，随机变量ξ满足二项分布，即~(2,)B p ξ，易得()()()221E p D p p ==-，ξξ，所以当01p <<且不断增大时，()E ξ增大，()D ξ先增大后减小.故选C .【点睛】本题考查二项分布的期望、方差.理解二项分布的期望、方差，会判定和计算二项分布的期望和方差是解答本题的关键.7.已知双曲线()22210y x b b-=>右焦点为F ，左顶点为A ，右支上存在点B 满足BF AF ⊥，记直线AB 与渐近线在第一象限内的交点为M ，且2AM MB =，则双曲线的渐近线方程为（）A. 2y x =±B. 12y x =±C. 4 3y x =±D. 34yx 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意依次求出,A B 点的坐标，求出直线AB 的方程，联立渐近线求出点M 的横坐标，利用向量关系即可得出关系式，进而可求出渐近线方程.【详解】易知()2B c b ，，()10A -，，得直线211b AB y xc =++：（），联立渐近线y bx =，得1M b x c b =+-，又2AM MB =，所以1211b b c c b c b ⎛⎫+=- ⎪+-+-⎝⎭，得12c b -=，又221c b -=，所以34b =，所以双曲线的渐近线方程为34y x ，故选D . 【点睛】本题考查双曲线的渐近线.当双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>时，渐近线方程为by x a=±； 当双曲线的标准方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>时，渐近线方程为a y x b =±.8.已知函数()()()()ln 1212if x x x m i =---=，，e 是自然对数的底数，存在m R ∈（） A. 当1i =时，()f x 零点个数可能有3个 B. 当1i =时，()f x 零点个数可能有4个 C. 当2i =时，()f x 零点个数可能有3个 D. 当2i =时，()f x 零点个数可能有4个 【答案】C 【解析】 【分析】首先将()f x 的零点转化为两个图象的交点，利用以直代曲的思想可以将(ln 1)x -等价为()x e -，根据穿针引线画出草图，即可判断.【详解】将()()()()ln 1212if x x x m i =---=，看成两个函数(),yg x y m ==的交点，利用以直代曲，可以将()g x 等价看成()()()20iy x e x x =-⋅->，利用“穿针引线”易知12i =，时图象如图，所以当1i =时最多有两个交点，当2i =时最多有三个交点.故选C .【点睛】本题考查函数的零点,函数零点个数的3种判断方法(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.9.三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，动点M 在线段1CA 上滑动（包含端点），记BM与11B A 所成角为α，BM 与平面ABC 所成线面角为β，二面角M BC A --为γ，则（）A. ≥≤，βαβγB. ≤≤，βαβγC. ≤≥，βαβγD. ≥≥，βαβγ【答案】B 【解析】 【分析】根据题意找出这三个角，分别在直角三角形中表示出这三个角对应的三角函数值，将角的大小比较转化为线段长度的大小比较即可.【详解】过点M 作MN AC ⊥于N ，则MN ABC ⊥平面，过点M 作MH BC ⊥于H ，连接NH ，则NH BC ⊥,过点M 作MG AB ⊥于G ，连接NG ，则NG AB ⊥． 所以MBA =∠α，MBN =∠β，MHN =∠γ，sin ,sin ,MG MNBM BMαβ== tan ,tan ,MN MNBN HNβγ== 由MG MN ≥可知≤βα（M 位于1A 处等号成立），由BN NH ≥可知≤βγ（当B 为直角时，等号成立），故选B . 【点睛】本题主要考查线线角、线面角、二面角，本题也可以直接用线线角最小角定理（线面角是最小的线线角）和线面角最大角定理（二面角是最大的线面角）判断.10.已知函数()()1121222x x f x f x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩，，，，若函数()()g x x f x a =⋅-(1)a ≥- 的零点个数为2，则（）A. 2837a <<或1a =- B.2837a << C. 7382a <<或1a =-D. 7382a <<【答案】D 【解析】 【分析】 由1()(2)(2)2f x f x x =-->，可知当()2,22()x k k k Z ∈+∈时，()f x 的图象可由()22,2()x k k k Z ∈-∈的图象沿x 轴翻折，并向右平移2个单位长度，纵坐标变为原来的一半，即可作出函数()f x 的图象，将()g x 的零点问题转化为两个函数图象的焦点问题即可. 【详解】如图，可得()f x 的图象.令()0g x =，当0x =时，不符合题意；当0x ≠时，得()a f x x =，若0a >，则满足132178a a ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，，可得7382a <<；若10a -≤<，因左支已交于一点，则右支必然只能交于一点，当10a -<<时，因为(1)11af =-<，所以在()0,2上有两个交点，不合题意舍去，当1a =-时，则需154a <-，解得a Ø∈，故选D .【点睛】本题考查分段函数的图象和零点问题.对函数图象的正确绘制是解答本题的关键.二、选择题：本大题共7小題，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。

秘密★启用前2021高考浙江省9月联考数学注意事项：1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。

4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合A＝{0，1，4}，B＝{－1，0，1，3}，则A∪B＝A.{0，1，4，3}B.{0，1}C.{－1，0，1，3，4}D.{－1，0，1，4}2.复数z＝11i，则z的虚部为A.－12B.12C.12i D.－12i3.双曲线x2－y2＝m(m>0)的渐近线方程为A.y±x＝0B.y±x＝mC.m y±x＝0D.m x±y＝04.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是A.8＋3πB.10＋3πC.8＋5πD.10＋5π5.当x>0时，“函数y＝(3a－1)－x的值恒小于1”的一个充分不必要条件是A.a<13B.a>23C.a<23D.a>16.若实数x，y满足约束条件x y1x2y1⎧-≤⎪⎨+≤⎪⎩，，则z＝x2＋y2的最大值是A.14B.12C.1D.27.已知边长为1的正三角形ABC，动点P与点A在直线BC异侧，且S△PBC＝32，若AP xAB yAC=+，则x＋y＝A.1B.2C.3D.48.椭圆2221(04)16x ybb+=<<的右顶点为A，已知B(1，0)，若椭圆上存在点P，满足|PA|＝2|PB|，则椭圆离心率e的取值范围是A.[2，1) B.[3，1) C.(0，2] D.(0，3]9.数列{a n}中，已知a1＝a，a n＋1＝a n2＋2a n，则下列命题为真命题的是A.不存在实数a，使得数列{a n}为常数列B.有且只有一个实数a，使得数列{a n}为常数列C.若数列{a n}为递增数列，则实数a>0D.若实数a>0，则数列{a n}为递增数列10.如图，已知三棱锥A－BCD，AB＝AC＝AD＝3，底面是边长为1的正三角形，P，E 分别为线段AC，CD(不含端点)上的两个动点，则PE与平面BCD所成角的正弦值不可能是C.2122D.11 二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。

2021届百万联考高三9月联考数学试题一、单选题1．已知集合{}24120A x x x =--≤，{}440B x x =->，则A B =（ ）A ．{}12x x <≤ B ．{}2x x ≥- C ．{}16x x <≤ D ．{}6x x ≥-【答案】C【解析】根据不等式的解法，求得集合{}26A x x =-≤≤，{}1B x x =>，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}{}2412026A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}4401B x x x x =->=>，根据集合交集的概念与运算，可得{}16A B x x ⋂=<≤. 故选：C. 【点睛】本题考查集合的交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查运算求解能力，属于基础题. 2．已知复数1iz i=+，则=z （ ） A ．1122i + B ．1122i -C ．1122-+i D ．1122i -- 【答案】B【解析】利用复数的除法运算化简z ，由此求得z . 【详解】()()()1111111222i i i i z i i i i ⋅-+====+++⋅-，则1122z i =-. 故选：B 【点睛】本题考查复数的除法运算、共轭复数，考查运算求解能力.3．某年1月25日至2月12日某旅游景区A 及其里面的特色景点a 累计参观人次的折线图如图所示，则下列判断正确的是（）A．1月29日景区A累计参观人次中特色景点a占比超过了1 3B．2月4日至2月10日特色景点a累计参观人次增加了9700人次C．2月6日至2月8日景区A累计参观人次的增长率大于特色景点a累计参观人次的增长率D．2月8日至2月10日景区A累计参观人次的增长率小于2月6日到2月8日的增长率【答案】D【解析】根据折线图逐个计算各选项中的数据，从而得到正确的选项.【详解】1月29日景区A累计参观人次中特色景点a的占比为1717152513<=，故A错误；2月4日至2月10日特色景点a累计参观人次增加了980060003800-=人次，故B 错误；2月6日至2月8日特色景点a累计参观人次的增长率为0.880.7470.7437-=，2月6日至2月8日景区A累计参观人次的增长率为1.88 1.67211.67167-=，因为7212137111167=>，所以C错误；2月8日至2月10日景区A累计参观人次的增长率为2.09 1.88211.88188-=，因为2121188167<，所以D正确.故选：D.【点睛】本题考查统计图表及其应用，考查学生的数据处理能力和计算能力，本题属于基础题.4．“23sin sin cos 20ααα--=”是“tan 2α=”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】先解方程，再根据解的情况可判断两者之间的条件关系. 【详解】因为23sin sin cos 20ααα--=，所以22sin sin cos 2cos 0αααα--=，即()()sin 2cos sin cos 0αααα-+=，sin 2cos 0αα-=或sin cos 0αα+=，若cos 0α=，则sin 0α=，这与22sin cos 1αα+=矛盾，故cos 0α≠，所以tan 2α=或tan 1α=-，故“23sin sin cos 20ααα--=是“tan 2α=”的必要不充分条件. 故选：C. 【点睛】本题考查三角恒等变换与必要不充分条件，考查推理论证能力和运算求解能力，本题属于基础题. 5．函数()22sin 1x f x x -=的部分图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】首先判断出()f x 为偶函数，然后结合06x π<<时，()f x 为负数，确定正确选项. 【详解】因为()()()222sin 12sin 1x x f x f x x x ----===-，所以()f x 是偶函数，则()f x 的图象关于y 轴对称，排除C ，D ；当06x π<<时，()0f x <，排除B.故选：A 【点睛】本题考查函数图象，考查推理论证能力.6．在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为CD ，BC 的中点，则AE =（ ）A ．3142AD AF + B ．1122AD AF + C ．1324AD AF +D ．12AD AF +【答案】A【解析】根据平面向量的加法法则运算可得解. 【详解】由题意可得12AE AD DE AD AB =+=+，12AB AF FB AF AD =+=-， 则3142AE AD AF =+. 故选：A. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力.属于基础题.7．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD 内部为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为同一片“风叶”的概率为（ ）A ．37B ．47C ．314D ．1114【答案】A【解析】由从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点，得到基本事件的个数为28C 种，这两个顶点取自同一片“风叶”的基本事件有234C 种，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点的基本事件有2828C =种，其中这两个顶点取自同一片“风叶”的基本事件有234C 12=， 根据古典概型的概率计算公式，可得所求概率123287P ==. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了古典概型的概率计算，以及组合的概念及组合数的计算，其中解答中正确理解题意，根据组合数的计算公式求得基本事件的总数及所求事件所含有的基本事件的个数是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线C交于A ，B 两点，且120AFB ∠=︒，延长AF ，交双曲线C 于点M ，若2MF AF =，则双曲线C 的离心率为（ ） A．B ．73CD ．3【答案】B【解析】设AF m =，结合已知条件和双曲线的定义求得MF ，AF '，MF '，利用余弦定理列方程，解方程求得,a c ，由此求得离心率. 【详解】如图，设双曲线C 的左焦点为F '，连接AF '，BF '.设AF m =，则2MF m =，2AF a m '=+，22MF a m '=+.由双曲线的对称性可知四边形AFBF '是平行四边形，且60F AF '∠=︒，则2222222cos 2cos FF AF AF AF AF F AF MF AM AF AM AF F AM⎧=+-⋅⋅∠⎪⎨=+-⋅''''''⋅∠''⎪⎩，即()()()()()()222222422223232c m a m m a ma m m a m m a m⎧=++-+⎪⎨+=++-+⎪⎩，解得310710a mc m⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故73cea==. 故选：B【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查运算求解能力.二、多选题9．下列不等式不一定成立的是（）A．若a b>，则22a b>B．若0a b>>，则b b ma a m+<+C．若4ab=，则4a b+≥D．若22ac bc>，则a b>【答案】ABC【解析】利用不等式的性质，用排除法逐项排除.【详解】对于A，当1a=-，2b=-时，22a b<，故A不一定成立；对于B，()()()()()b a m a b m b a mb b ma a m a a m a a m+-+-+-==+++，因为0a b>>，所以0b a-<，当0a m+>，0m<时，()()0b a ma a m->+，即b b ma a m+>+，故B不一定成立；对于C ，当0a <，0b <时，4a b +≤-，故C 不一定成立； 对于D ，因为22ac bc >，所以20c >，所以a b >，故D 一定成立. 故选：ABC. 【点睛】本题考查不等式的性质，考查推理论证能力.10．已知,M N 是函数())2cos 04f x x πωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭的图象与x 轴的两个不同的交点，若MN 的最小值是4π，则（ ） A ．2ω=B ．()f x 在5,08π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 的图象关于直线8x π=-对称D ．()f x 在[]0,3π上有6个零点 【答案】AC【解析】根据题设条件，结合三角函数的图象与性质，求得函数()2cos 24f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.【详解】设()f x 的最小正周期为T ，由三角函数的图象与性质，可得min 1||4MN T =，即1244ππω⨯=，解得2ω=，则()2cos 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由()222,4k x k k Z ππππ-≤+≤∈，解得()5,88k x k k Z ππππ-≤≤-∈， 当0k =时，588x ππ-≤≤-， 因为55,0,888πππ⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在5,08π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调， 由()2,4x k k Z ππ+=∈，解得(),28k x k Z ππ=-∈， 即()f x 的对称轴方程是(),28k x k Z ππ=-∈， 当0k =时，8x π=-，则()f x 的图象关于直线8x π=-对称，因为[0,3]x π∈，所以252,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由()0f x =，即2cos(2)42x π+=，可得244x ππ+=，7915172325,,,,,444444ππππππ， 即37110,,,,2,,3444x ππππππ=，故()f x 在[]0,3π上有7个零点. 故选：AC. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中根据题意求得函数的解析式，熟练应用三角函数的图象与性质，逐项判定是解答的关键，着重考查推理论证能力，属于中档试题.11．在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥平面ABCD ，PD AB =，四边形ABCD 是正方形，点E 是棱PB 的中点，则（ ） A ．PD ⊥平面ABCD B ．//PD 平面ACE C ．2PB AE = D ．PC AE ⊥【答案】BC【解析】对于A ，因为PD 与AD 不一定垂直，所以PD 不一定垂直平面ABCD ，故A 错误.对于B ，根据//OE PD 可得//PD 平面ACE ，故B 正确.对于C ，根据侧面PAD ⊥平面ABCD ，可推得AB PA ⊥，从而可得2PB AE =，故C 正确.对于D ，通过计算可知，只有PD ⊥平面ABCD ，才能得到PC AE ⊥，故D 错误. 【详解】如图，对于A ，因为PD 与AD 不一定垂直，所以PD 不一定垂直平面ABCD ，故A 错误.对于B ，连接BD ，记ACBD O =，连接OE .因为四边形ABCD 是正方形，所以O为BD 的中点.因为,O E 分别为BD ，BP 的中点，所以//OE PD ，又PD ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ，则//PD 平面ACE ，故B 正确.对于C ，因为四边形ABCD 是正方形，所以CD AD ⊥，因为侧面PAD ⊥平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD .因为//AB CD ，所以AB ⊥平面PAD .因为PA ⊂平面PAD ，所以AB PA ⊥，则2PB AE =，故C 正确.对于D ，取BC 的中点F ，连接,EF AF .因为,E F 分别为BP ，BC 的中点，所以//EF PC .假设PC AE ⊥，则EF AE ⊥.设2PD AB ==，则1122EF PC ===AF ==.因为EF AE ⊥，所以AE ==PB =.因为2PD =，PB =，BD =222PD BD PB +=，所以PD BD ⊥，则PD ⊥平面ABCD .因为PD 与平面ABCD 不一定垂直，所以D 错误. 故选：BC. 【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理，考查了平面与平面垂直的性质定理，空间两点之间的距离，考查空间想象能力与推理论证能力.属于基础题.12．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：（1）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；（2）曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列结论正确的是（ ）A ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:sin C y x =B ．直线:33l y x =-+在点()1,0P 处“切过曲线32:32C y x x =-+ C ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:x C y xe =D ．直线33212:2l y x e e =-+在点32323,2P e e ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭处“切过”曲线ln : x C y x = 【答案】ABD【解析】分别求得曲线的导数，可得切线的斜率，得到切线方程，分别判断切点附近曲线的是否在直线两侧， 即可得到结论. 【详解】对于A ，由sin y x =，得cos y x '=，则01x y ='=从而可得曲线sin y x =在点()0,0P 处的切线为y x =. 当02x π-<<时，sin x x <，当02x π<<时，sin x x >，则曲线sin y x =在点()0,0P 附近位于直线l 的两侧，故A 正确.对于B ，由3232y x x =-+，得236y x x '=-，则13x y ='=-，从而可得曲线3232y x x =-+在点()1,0P 处的切线为33y x =-+.因为()()33232331x x x x -+--+=-，故当1x <时，323233x x x -+<-+，当1x >时，323233x x x -+>-+， 则曲线3232y x x =-+在点()1,0P 附近位于直线l 的两侧，故B 正确.对于C ，由x y xe =，得()1xy x e '=+，则01x y ='=，从而可得曲线x y xe =在点()0,0P 的切线为y x =.因为()10xxy xe x x e =-=-≥，所以x xe x ≥，则曲线xy xe =在点()0,0P 附近位于直线l 的同侧，故C 错误.对于D ，由ln x y x =得21ln x y x -'=，则32312x e y e ==-'，从而可得曲线ln x y x=在点32323,2P e e ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭处的切线为332122y x e e =-+.令()33212ln 2x x F e ex x -+-=，则320F e ⎛⎫= ⎪⎝⎭且()3211ln 2x e F x x ---'=， ()3211ln 2x e x g x ---=，故33223311ln =02e e e e g ⎛⎫= ⎪⎝⎭---且()232ln g x x x -'=， 当320x e <<时，()0g x '>；当32x e >时，()0g x '<，故()g x 在320,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数，在32,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数，故在320,e ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0g x <，在32,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0g x <故()0F x '<当且仅当32x e =时等号成立，故当320x e <<时，()0F x >，当32x e >时，()0F x <， 故当32x e<时，33212ln 2e e x x x -+>，当32x e >，33212ln 2e e x x x -+<，则曲线ln xy x =在点32323,2P e e ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭附近位于直线l 的两侧，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查新定义的理解，考查转化思想与抽象思维能力，考查运算能力，属于综合题题.三、填空题13．若抛物线()2:20C y px p =>的焦点在直线:230l x y +-=上，则p =______.【答案】6【解析】将抛物线的焦点坐标代入直线方程可求得实数p 的值. 【详解】由题意可得抛物线C 的焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，则302p -=，解得6p.故答案为：6. 【点睛】本题考查利用抛物线的焦点坐标求参数，考查计算能力，属于基础题. 14．若()202022020012202012x a a x a x a x +=++++，则32020122320202222a a a a -+-++=______. 【答案】1-【解析】令()()202012f x x =+，利用赋值法可得()32020122320201022222a a a a f f ⎛⎫-+-++=-- ⎪⎝⎭，即可得解. 【详解】 令()()202012f x x =+，则()001a f ==，320201202320201022222a a a a a f ⎛⎫-+-++=-= ⎪⎝⎭，因此，()320201223202010122222a a a a f f ⎛⎫-+-++=--=- ⎪⎝⎭. 故答案为：1-. 【点睛】本题考查利用赋值法计算项的系数和，考查计算能力，属于基础题.15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()()23log 1f x x x =++，若()5f m ≥，则m 的取值范围是______. 【答案】](),22,⎡-∞-⋃+∞⎣【解析】根据函数的奇偶性和对数函数的性质，得到函数()f x 在()0,∞+和(),0-∞上单调递增，且()25f =，()25f -=-，结合不等式()5f m ≥，即可求解. 【详解】由题意，当0x >时，()()23log 1f x x x =++，根据对数函数的性质，可得()f x 在()0,∞+上单调递增，且()25f =，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在(),0-∞上单调递增，且()25f -=-， 又由()5f m ≥，即()5f m ≥或()5f m ≤-，所以2m ≥或2m ≤-. 即实数m 的取值范围是](),22,⎡-∞-⋃+∞⎣. 【点睛】本题主要考查了函数基本性质的应用，其中解答中熟记对数函数的单调性，以及函数的奇偶性，合理转化不等式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.四、双空题16．已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为144，点P 是正方形1111D C B A 的中心，点,,,,P A B C D 都在球O 的球面上，其中球心O 在长方体1111ABCD A B C D -的内部.已知球O 的半径为R ，球心O 到底面ABCD 的距离为2R，则R =______.过AB 的中点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是______. 【答案】4 6π【解析】根据长方体1111ABCD A B C D -的体积可求得4R =，分析可知，当OE ⊥截面时，截面面积达到最小，根据勾股定理求出OE =r =用圆的面积公式可求得结果. 【详解】由题意可知正方形ABCD 的对角线长为=，则正方形ABCD ，故长方体1111ABCD A B C D -的体积为2314422R⎛⎫= ⎪ ⨯⎪⎝⎭，解得4R =.当OE ⊥截面时，截面面积达到最小，此时OE ==则截面圆的半径r ==故截面圆的面积为26r ππ=. 故答案为：4；6π. 【点睛】本题考查简单几何体及其外接球，考查空间想象能力，考查了长方体的体积公式，属于基础题五、解答题17．在①18a =-，27a =-，()11,n n a ka n k ++=+∈∈N R ；②若{}n a 为等差数列，且36a =-，72a =；③设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()211722n S n n n +=-∈N 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.在数列{}n a 中，______.记123n n T a a a a =++++，求20T .【答案】选择①，102；选择②，102；选择③，102.【解析】若选择①，由递推公式求出通项公式；若选择②，有等差数列的性质求通项公式；若选择③，由1n n n a S S -=-求出数列通项公式，再根据通项公式得出()()()()2012389101120T a a a a a a a a =-+-+-++-+++++()()12389101120a a a a a a a a =-+++++++++由等差数列前n 项和的求法即可求解.【详解】 若选择①，因为11n n a ka +=+，所以211a ka =+，即817k -+=-，解得1k =， 则11n n a a +-=，从而数列{}n a 是首项为-8，公差为1的等差数列， 故()119n a a n d n =+-=-； 若选择②，因为36a =-，72a =-，所以126a d +=-，162a d +=-， 解得18a =-，1d =， 故()119n a a n d n =+-=-； 若选择③，因为211722n S n n =-，所以11117822a S ==-=-， 当2n ≥时，()()2211171191192222n S n n n n -=---=-+， 则()192n n n a S S n n -=-=-≥， 因为18a =也满足上式，所以9n a n =-. 由0n a ≥，得9n ≥故()()()()2012389101120T a a a a a a a a =-+-+-++-+++++()()12389101120a a a a a a a a =-+++++++++()()8180111222--⨯+⨯=-+102=.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法，以及等差数列的性质，考查学生的运算求解能力，和逻辑思维能力.18．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且22cos 32BB =. （1）求角B ；（2）若D 是AC 的中点，且b =BD =ABC 的周长.【答案】（1）3B π=；（2）周长为10+【解析】（1）根据22cos32B B +=，化简得sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求解；（2）分别在ABD △和BCD 中，应用余弦定理，结合cos cos 0ADB BDC ∠+∠=，求得2252a c +=，再在ABC 中，再结合余弦定理求得a c +的值，即可求解. 【详解】（1）由题意，因为22cos 32BB =，可得cos 13B B +=. 所以2sin 26B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为0B π<<，所以62B ππ+=，所以3B π=.（2）因为D 为AC 的中点，所以AD CD ==在ABD △中，因为AD =BD =2cosADB ∠=.在BCD 中，因为CD =BD =2cosBDC ∠=因为ADB BDC π∠+∠=，所以cos cos 0ADB BDC ∠+∠=， 即227197190c a +-++-=，即2252a c += ①在ABC 中，由余弦定理可得222b a c ac =+-，即24ac =②联立①②，解得10a c +==.故ABC 的周长为10a b c ++=+【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.19．如图，在三棱锥P ABC -中，ABC 是等边三角形，PA PB =.（1）证明：AB PC ⊥.（2）若7PA PC =23AB =A PC B --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（237. 【解析】（1）要证明AB PC ⊥，只需证明AB ⊥平面PCD ，将证明线线垂直转化为证明线面垂直，即可求得答案；（2）以D 为原点，DB ，DC 的方向分别为,x y 轴的正方向，垂直平面ABC 向上为z 轴的正方向，建立的空间直角坐标系D xyz -，分别求得平面PBC 的法向量n 和平面PAC 的法向量m ，根据cos ,n m n m n m⋅=，即可求得答案.【详解】取AB 的中点D ，连接PD ，CD .PA PB =， ∴AB PD ⊥.底面ABC 是等边三角形，∴AC BC =， ∴AB CD ⊥PD CD D ⋂=，∴AB ⊥平面PCD .PC ⊂平面PCD ， ∴AB PC ⊥.（2）由（1）可知AB ⊥平面PCD ，则以D 为原点，DB ，DC 的方向分别为,x y 轴的正方向，垂直平面ABC 向上为z 轴的正方向，建立的空间直角坐标系D xyz -.23AB =7AP =，∴3AD BD ==∴3CD =，732PD =-=.则4971cos 2232PDC ∠+-==⨯⨯，从而(3P ，()3,0,0A -，)3,0,0B，()0,3,0C ，故(0,2,3PC =-，)3,3,0AC =，()3,3,0BC =-.设平面PBC 的法向量为()111,,n x y z =，则1111230330n PC y z n AC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令13x =，得()3,3,2n =--， 设平面PAC 的法向量为()222,,m x y z =，则2222230330m PC y z m BC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令23x =，得()3,3,2m = 从而9341cos ,448n m n m n m⋅--===⨯.故二面角A PC B --的正弦值为378. 【点睛】本题主要考查了异面直线垂直和二面角的余弦值，解题关键是掌握将线线垂直转化为线面垂直的证法和向量法求二面角的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率是12，且椭圆C 经过点33,2P ⎫⎪⎪⎭，过椭圆C 的左焦点F 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若2MF FN =，求直线l 的方程.【答案】（1）22143x y +=；（220y ±+=. 【解析】（1）依题意得到方程组222221,2331,4,c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得即可； （2）设直线l 的方程为1x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由2MF FN =，可得122y y -=，从而求出参数的值， 【详解】解：（1）设椭圆C 的半焦距为c .由题意可得222221,2331,4,c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩解得24a =，23b =.故椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）可得()1,0F -当直线l 的斜率为0时，()2,0M -，()20N ，或()20M ，，()2,0N -， 此时2MF FN ≠，不符合题意.当直线l 的斜率不为0时，可设直线l 的方程为1x my =-，()11,M x y ，()22,N x y .联立221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2234690m y my +--=，则1212229,63434y y y y m m m ==-+++， 因为2MF FN =，所以122y y -=.从而1222634my y y m +=-=+，21221222269,23434m y y y y y y m m +=-==-=-++， 则2226923434m m m ⎛⎫-⨯=- ⎪++⎝⎭，解得m =.故直线l 20y ±=. 【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于中档题.21．生活垃圾分类工作是一项复杂的系统工程，须坚持“政府推动､部门联运､全面发动､全民参与”原则.某小学班主任为了让本班学生能够分清干垃圾和湿垃圾，展开了“垃圾分类我最行”的有奖竞答活动.班主任将本班学生分为,A B 两组，规定每组抢到答题权且答对一题得1分，未抢到答题权或抢到答题权且答错得0分，将每组得分分别逐次累加，当其中一组得分比另一组得分多3分或六道题目全部答完时，有奖竞答活动结束，得分多的一组的每一位学生都将获得奖品一份.设每组每一道题答对的概率均为23，A 组学生抢到答题权的概率为12. （1）在答完三题后，求A 组得3分的概率；（2）设活动结束时总共答了X 道题，求X 的分布列及其数学期望()E X . 【答案】（1）127；（2）分布列答案见解析，数学期望509. 【解析】（1）算出A 组得1分的概率后可得答完3题后A 组得3分的概率.（2）X 的可能取值为3，4，5，6，利用二项分布可求X 的分布列，再利用公式可求数学期望. 【详解】（1）由题意可知每道题A 组得1分的概率为121233⨯=， 故答完3题后，A 组得3分的概率311327P ⎛⎫== ⎪⎝⎭（2）由A 组学生抢到答题权的概率为12，可知B 组学生抢到答题权的概率为11122-=， 则每道题的答题结果有以下三种： ①A 组得1分，B 组得0分，此时的概率为121233⨯=；②A 组得0分，B 组得1分，此时的概率为121233⨯=； ③A 组得0分，B 组得0分，此时的概率为1111333--=. 由题意可知X 的可能取值为3，4，5，6.()31232327P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()223111242C 33327P X ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， ()224231411111252C C 3333327P X ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()2227612727279P X ==---=， 则X 的分布列为故222750345627272799EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、期望，计算分布列时要弄清随机变量取某值时对应的随机事件的含义并确定合理的概率计算方法.必要时可借助于常见的分布列来帮助计算（如0-1分布、二项分布、超几何分布等）. 22．已知函数()()21x f x e a x ex =---. （1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 参考数据： 2.72e ≈，ln 20.69≈.【答案】（1）减区间为(),1-∞，增区间为()1,+∞；（2）(],1-∞.【解析】（1）当0a =时，求得()xf x e e '=-，分析导数的符号变化，由此可求得函数()y f x =的单调递增区间和递减区间；（2）由()00f ≥可得1a ≤，可得出()()21xf x e x ex ≥---，构造函数()()21x g x e x ex =---，利用导数证明出()0g x ≥对一切0x ≥恒成立，由此可求得实数a 的取值范围.第 1 页 共 6 页 【详解】（1）当0a =时，()x f x e ex =-，则()xf x e e '=-. 令()0f x '<，得1x <；令()0f x '>，得1x >.故函数()y f x =的单调递减区间为(),1-∞，调递增区间为()1,+∞；（2）因为当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，且()10f =，由()010f a =-≥，可得1a ≤.因为1a ≤，所以()()()2211x x f x e a x ex e x ex =---≥---，设()()21x g x e x ex =---，则()()21x g x e x e '=---. 设()()()21x h x g x e x e '==---，则()2xh x e '=-. 令()0h x '>，得ln 2x >；令()0h x '<，得0ln 2x <<.故函数()y h x =在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，因为()()0030h g e '==->，()()ln 2ln 242ln 20h g e '==--<，()()110h g '==，所以存在()00,ln 2x ∈，使()00g x '=.当00x x <<或1x >时，()0g x '>；当01x x <<时，()0g x '<.则函数()y g x =在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 因为()()010g g ==，所以()0g x ≥对一切的0x ≥恒成立.故a 的取值范围为(],1-∞.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.。

卜人入州八九几市潮王学校仁寿一中等西南四八校2021届高三数学9月份联考试题理〔含解析〕一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。

{}24A x x =<，{}2,1,0,1B =--，那么AB =〔〕A.{}0,1B.{}1,0,1-C.{}2,1,0--D.{}2,1,0,1--【答案】B 【解析】 【分析】先计算得到集合A ，再计算A B 得到答案.【详解】{}{}24=-22A x x x x =<<<故答案选B【点睛】此题考察了集合的交集，属于根底题型. 2.()()131i i +-=〔〕A.42i +B.24i +C.22i -+D.22i -【答案】A 【解析】 【分析】把复数乘积展开，化简为a +bi 〔a 、b ∈R 〕的形式，可以判断选项． 【详解】∵〔1+3i 〕〔1-i 〕＝1+3+3i-i ＝4+2i 应选：A ．【点睛】此题考察复数代数形式的运算，是根底题．x ∈R ，那么“21x <〞是“31x <〞的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】求出不等式的等价形式，结合充分条件和必要条件的定义进展判断即可． 【详解】由2x<1得x<0，由“x 3<1〞得x ＜1，x<0是x ＜1的充分不必要条件 那么“2x<1〞是“x 3<1〞的充分不必要条件， 应选：A ．【点睛】此题主要考察充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决此题的关键．p ：0x ∀>，lg 0x >，那么p ⌝是〔〕A.0x ∀>，lg 0x ≤B.00x ∃>，0lg 0x < C.0x ∀>，lg 0x < D.00x ∃>，0lg 0x ≤【答案】D 【解析】 【分析】p ：∀x ＞0，总有lgx ＞0， p 为：∃x 0＞0，使得lg x 0≤0，应选：D ．{}n a 中，242a a +=，53a =，那么{}n a 的前6项和为〔〕A.6B.9C.10D.11【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列{a n }通项公式列方程组求出a 1，d ，由此能求出{a n }的前6项和． 【详解】∵在等差数列{a n }中，a 53=，a 2+a 4＝2，∴1111433242a d a d a d a d +=⎧⎨+++=+=⎩，解得a 11=-，d 1=， ∴{a n }的前6项和S 6的值：616562S a d ⨯=+=61⨯-+（）15×19=． 应选B ．【点睛】此题考察等差数列的前n 项和的公式，考察等差数列的通项公式的应用，考察运算求解才能，是根底题．()()506f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的局部图像，假设AB 4=，那么()1f -=〔〕A.-1B.1C.32-D.32【答案】D 【解析】 【分析】 由图可设A 〔a，那么B 〔a 2T +，AB =〔2T，，利用向量模的坐标运算，求得T 2πω==4，从而可得ω的值，代入x=-1计算可得结果．【详解】设A 〔a，函数f 〔x〕=〔ωx +56π〕的周期为T ，那么B 〔a 2T+，，∴AB =〔2T ，224T =+12=16， ∴T 2＝16， ∴T 2πω==4，解得：ω2π=．∴f 〔x 〕=〔2πx +56π〕，∴f 〔-1〕32=， 应选：D ．【点睛】此题考察函数y ＝A sin 〔ωx +φ〕的图象解析式确实定及应用，涉及向量模的坐标运算及其应用，属于中档题．7.()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.假设(1)2f =，那么(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=〔〕A.50-B.0C.2D.50【答案】C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=, 因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++，因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考察求值问题，常利用奇偶性及周期性进展变换，将所求函数值的自变量转化到解析式的函数定义域内求解．8.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A.10B.20C.40D.80【答案】C 【解析】分析：写出103152r rr r T C x -+=，然后可得结果详解：由题可得()5210315522rrrr r rr T Cx C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭令103r 4-=,那么r 2=所以22552240rr C C =⨯=应选C.点睛：此题主要考察二项式定理，属于根底题。

2021-2022学年河北省高三（上）大联考数学试卷（9月份）一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}，B＝{1，2，3，4，5}，则A∩B＝（）A．{5}B．{4，5}C．{3，4，5}D．{2，3，4，5} 2．下列四个向量中，与向量＝（﹣2，3）共线的是（）A．（3，2）B．（3，﹣2）C．（4，﹣6）D．（4，6）3．2021年7月，中国青年报社社会调查中心通过问卷网，对2047名14～35岁青少年进行的专项调查显示，对于神舟十二号航天员乘组出征太空，98.9%的受访青少年都表示了关注．针对两个问题“关于此次神舟十二号飞行乘组出征太空，你有什么感受（问题1）”和“青少年最关注哪些方面（问题2）”，问卷网统计了这2047名青少年回答的情况，得到如图所示的两个统计图，据此可得到的正确结论为（）A．对于神舟十二号太空之旅，只有极少的受访青少年关注航天员是怎样选的B．对于神舟十二号飞行乘组出征太空，超过七成的受访青少年认为开启空间站新时代，“中国速度”令人瞩目C．对于神舟十二号太空之旅，青少年关注最多的是航天员在太空的工作和生活D．对于神舟十二号飞行乘组出征太空，超过八成的受访青少年充分感受到我国载人航天事业取得大发展、大进步4．若虚数z满足2i＝z2，则|z|＝（）A．B．2C．4D．0或25．已知函数f（x）＝，g（x）＝x2﹣2x，则（）A．f（x+1）为奇函数，g（x﹣1）为偶函数B．f（x+1）为奇函数，g（x+1）为偶函数C．f（x+）为奇函数，g（x﹣1）为偶函数D．f（x+）为奇函数，g（x+1）为偶函数6．若tan（α+2β）＝3，tan（α﹣β）＝2，则tan（α+5β）＝（）A．B．C．D．7．含有海藻碘浓缩液的海藻碘盐，是新一代的碘盐产品．海藻中的碘80%为无机碘，10%～20%为有机碘，海藻碘盐兼备无机碘和有机碘的优点．某超市销售的袋装海藻碘食用盐的质量X（单位：克）服从正态分布N（400，4），某顾客购买了4袋海藻碘食用盐，则至少有2袋的质量超过400克的概率为（）A．B．C．D．8．已知F1，F2分别是椭圆C：的左、右焦点，点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且PF1∥QF2．若|PF1|+|QF2|≥b，则C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若直线3x+4y+n＝0（n∈N*）与圆C：（x﹣2）2+y2＝a n2（a n＞0）相切，则（）A．a1＝B．数列{a n}为等差数列C．圆C可能经过坐标原点D．数列{a n}的前10项和为2310．“端午节”为中国国家法定节假之一，已被列入世界非物质文化遗产名录，吃粽子便是端午节食俗之一．全国各地的粽子包法各有不同．如图，粽子可包成棱长为6cm的正四面体状的三角粽，也可做成底面半径为cm，高为6cm（不含外壳）的圆柱状竹筒粽．现有两碗馅料，若一个碗的容积等于半径为6cm的半球的体积，则（）（参考数据：π≈4.44）A．这两碗馅料最多可包三角粽35个B．这两碗馅料最多可包三角粽36个C．这两碗馅料最多可包竹筒粽21个D．这两碗馅料最多可包竹筒粽20个11．设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象经过A（﹣，0），B（﹣，﹣1），C（，0），D（，1）这四个点中的三个点，则（）A．φ＝﹣B．φ＝﹣C．ω＝2D．ω＝312．设a＝ln，b＝，c＝ln，d＝0.42.1，则（）A．c＞a B．b＞c C．a＞b D．a＞d三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．y2（x﹣y）8的展开式中，x5y5的系数为．14．已知双曲线C：（m＞0）的渐近线方程为y＝±x，F1，F2分别是C的左、右焦点，P为C右支上一点．若|PF1|＝m﹣1，则|PF2|＝．15．曲线y＝x3在点A（﹣1，﹣1）处的切线与曲线y＝x3的另一个公共点为B（m，n），则m+n＝．16．在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱BC，CC1，AA1上一点，BE＝2CF，且EF∥平面B1D1G．当三棱锥C﹣DEF的体积取得最大值时，三棱锥C﹣DEF 的侧面积为，B1G与平面BDD1B1所成角的正切值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知a＝4，ab sin A sin C＝c sin B．（1）若bc＝16，求b2+c2；（2）若B＝2A，求b．18．甲、乙、丙三台机床同时生产种零件，在10天中，甲、乙机床每天生产的次品数如表所示：第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天第9天第10天甲010*******乙2411021101（1）若从这10天中随机选取1天，设甲机床这天生产的次品数为X，求X的分布列；（2）已知丙机床这10天生产次品数的平均数为1.4，方差为1.84．以平均数和方差为依据，若要从这三台机床中淘汰一台，你应该怎么选择？这三台机床你认为哪台性能最好？19．如图，在底面为矩形的四棱锥P﹣ABCD中，E为棱AD上一点，PE⊥底面ABCD．（1）证明：AB⊥PD．（2）若AE＝2，AB＝DE＝PE＝3，求二面角B﹣PC﹣D的大小．20．已知数列{a n}，{b n}满足a1＝﹣2b1＝4，且{a n}是公差为1的等差数列，{a n+b n}是公比为2的等比数列．（1）求{a n}，{b n}的通项公式；（2）求{|b n|}的前n项和T n．21．已知函数f（x）＝（x﹣2a）lnx+a．（1）从①a＝3，②a＝﹣1这两个条件中选择一个，求f（x）零点的个数；（2）若a＞0，讨论函数y＝xf（x）的单调性．22．已知抛物线E的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且直线y＝x+1与E相切．（1）求E的方程．（2）设P为E的准线上一点，过P作E的两条切线，切点为A，B，直线AB的斜率存在，且直线PA，PB与y轴分别交于C，D两点．①证明：PA⊥PB．②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}，B＝{1，2，3，4，5}，则A∩B＝（）A．{5}B．{4，5}C．{3，4，5}D．{2，3，4，5}解：因为A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}＝{x|（x+2）（x﹣3）＞0}＝{x|x＜﹣2，或x＞3}，所以A∩B＝{4，5}．故选：B．2．下列四个向量中，与向量＝（﹣2，3）共线的是（）A．（3，2）B．（3，﹣2）C．（4，﹣6）D．（4，6）解：由向量共线的性质得：与向量＝（﹣2，3）共线的是（4，﹣6）．故选：C．3．2021年7月，中国青年报社社会调查中心通过问卷网，对2047名14～35岁青少年进行的专项调查显示，对于神舟十二号航天员乘组出征太空，98.9%的受访青少年都表示了关注．针对两个问题“关于此次神舟十二号飞行乘组出征太空，你有什么感受（问题1）”和“青少年最关注哪些方面（问题2）”，问卷网统计了这2047名青少年回答的情况，得到如图所示的两个统计图，据此可得到的正确结论为（）A．对于神舟十二号太空之旅，只有极少的受访青少年关注航天员是怎样选的B．对于神舟十二号飞行乘组出征太空，超过七成的受访青少年认为开启空间站新时代，“中国速度”令人瞩目C．对于神舟十二号太空之旅，青少年关注最多的是航天员在太空的工作和生活D．对于神舟十二号飞行乘组出征太空，超过八成的受访青少年充分感受到我国载人航天事业取得大发展、大进步解：A、由青少年最关注哪些方面（问题2）的统计图可知：青少年关注航天员是怎样选的有46.6%，故A错误；B、由关于此次神舟十二号飞行乘组出征太空，你有什么感受（问题1）的统计图可知：受访青少年认为开启空间站新时代，“中国速度”令人瞩目占64.6%，不足七成，故B 错误；C、由青少年最关注哪些方面（问题2）的统计图可知：青少年关注航天员在太空的工作和生活占74.4%，是关注最多的项目，故C正确；D、由关于此次神舟十二号飞行乘组出征太空，你有什么感受（问题1）的统计图可知：有75.3%的受访青少年充分感受到我国载人航天事业取得大发展、大进步，不足八成，故D错误．故选：C．4．若虚数z满足2i＝z2，则|z|＝（）A．B．2C．4D．0或2解：因为2i＝z2，所以，所以，即2|z|＝|z|2，解得|z|＝2．故选：B．5．已知函数f（x）＝，g（x）＝x2﹣2x，则（）A．f（x+1）为奇函数，g（x﹣1）为偶函数B．f（x+1）为奇函数，g（x+1）为偶函数C．f（x+）为奇函数，g（x﹣1）为偶函数D．f（x+）为奇函数，g（x+1）为偶函数解：因为函数f（x）＝，g（x）＝x2﹣2x，所以f（x+）＝，f（x+1）＝，g（x+1）＝x2﹣1，g（x﹣1）＝（x﹣2）2﹣1，则f（x+）为奇函数，g（x+1）为偶函数，f（x+1）和g（x﹣1）均为非奇非偶函数．故选：D．6．若tan（α+2β）＝3，tan（α﹣β）＝2，则tan（α+5β）＝（）A．B．C．D．解：∵tan（α+2β）＝3，∴tan（2α+4β）＝＝＝﹣，∴tan（α+5β）＝tan[（2α+4β）﹣（α﹣β）]＝＝＝，故选：B．7．含有海藻碘浓缩液的海藻碘盐，是新一代的碘盐产品．海藻中的碘80%为无机碘，10%～20%为有机碘，海藻碘盐兼备无机碘和有机碘的优点．某超市销售的袋装海藻碘食用盐的质量X（单位：克）服从正态分布N（400，4），某顾客购买了4袋海藻碘食用盐，则至少有2袋的质量超过400克的概率为（）A．B．C．D．解：由X服从正态分布N（400，4），可知每袋的质量超过400克的概率为，所以某顾客购买了4袋海藻碘食用盐，则至少有2袋的质量超过400克的概率为：p＝．故选：A．8．已知F1，F2分别是椭圆C：的左、右焦点，点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且PF1∥QF2．若|PF1|+|QF2|≥b，则C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解：如图，延长PF1，交椭圆C于M，根据椭圆的对称性可知，|QF2|＝|F1M|，则|PF1|+|QF2|＝|PF1|+|MF1|＝|PM|，因为焦点弦|PM|的最小值为，由题意可知，，所以，则．所以C的离心率的取值范围．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若直线3x+4y+n＝0（n∈N*）与圆C：（x﹣2）2+y2＝a n2（a n＞0）相切，则（）A．a1＝B．数列{a n}为等差数列C．圆C可能经过坐标原点D．数列{a n}的前10项和为23解：因为直线3x+4y+n＝0（n∈N*）与圆C：（x﹣2）2+y2＝a n2（a n＞0）相切，所以a n＝，则，故选项A错误；数列{a n}是首项为，公差为的等差数列，故选项B正确；因为a n＝，所以{a n}的前10项和为，故选项D正确；又a4＝2，所以当n＝4时，圆C可能经过坐标原点，故选项C正确．故选：BCD．10．“端午节”为中国国家法定节假之一，已被列入世界非物质文化遗产名录，吃粽子便是端午节食俗之一．全国各地的粽子包法各有不同．如图，粽子可包成棱长为6cm的正四面体状的三角粽，也可做成底面半径为cm，高为6cm（不含外壳）的圆柱状竹筒粽．现有两碗馅料，若一个碗的容积等于半径为6cm的半球的体积，则（）（参考数据：π≈4.44）A．这两碗馅料最多可包三角粽35个B．这两碗馅料最多可包三角粽36个C．这两碗馅料最多可包竹筒粽21个D．这两碗馅料最多可包竹筒粽20个解：根据题意，一个碗的容积等于半径为6cm的半球的体积，则其体积V＝×π×63＝144πcm2，故馅料的体积之和2V＝288πcm2，三角粽为棱长为6cm的正四面体，其体积V1＝×（×36）×2＝18cm2，圆柱状竹筒粽的底面半径为cm，高为6cm，其体积V2＝π×（）2×6＝，又由＝8π≈35.52，则这两碗馅料最多可包三角粽35个；＝≈21.33，则这两碗馅料最多可包竹筒粽21个；故选：AC．11．设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象经过A（﹣，0），B（﹣，﹣1），C（，0），D（，1）这四个点中的三个点，则（）A．φ＝﹣B．φ＝﹣C．ω＝2D．ω＝3解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象经过A（﹣，0），B（﹣，﹣1），C（，0），D（，1），所以，，所以ω＝3，由于点B（﹣，﹣1）在曲线上，所以φ）＝﹣1，又|φ|＜，所以φ＝﹣．故选：AD．12．设a＝ln，b＝，c＝ln，d＝0.42.1，则（）A．c＞a B．b＞c C．a＞b D．a＞d解：∵＞，∴＞，∵c＝ln＝ln，a＝ln，∴c＞a，∴A正确，∵＞e，∴＞，∴a＝ln＞ln＝＞，∴a＞b，∴C正确，∵c＞a，a＞b，∴c＞b，∴B错误，∵d＝0.42.1＜0.42＝0.16，∴a＞d，∴D正确，故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．y2（x﹣y）8的展开式中，x5y5的系数为﹣56．解：y2（x﹣y）8的展开式中，x5y5的系数为（﹣1）5＝﹣56．故答案为：﹣56．14．已知双曲线C：（m＞0）的渐近线方程为y＝±x，F1，F2分别是C的左、右焦点，P为C右支上一点．若|PF1|＝m﹣1，则|PF2|＝3．解：因为双曲线C：（m＞0）的渐近线方程为y＝±x，所以，解得m＝8，因为P为C右支上一点．|PF1|＝m﹣1＝7，由|PF1|﹣|PF2|＝2a＝4，可得|PF2|＝3．故答案为：3．15．曲线y＝x3在点A（﹣1，﹣1）处的切线与曲线y＝x3的另一个公共点为B（m，n），则m+n＝10．解：y＝x3的导数为y′＝3x2，曲线y＝x3在点A（﹣1，﹣1）处的切线的斜率为3，切线的方程为y+1＝3（x+1），即y＝3x+2，联立，可得x3﹣3x﹣2＝0，即为（x+1）2（x﹣2）＝0，解得x＝﹣1或2，所以B（2，8），m+n＝10．故答案为：10．16．在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱BC，CC1，AA1上一点，BE＝2CF，且EF∥平面B1D1G．当三棱锥C﹣DEF的体积取得最大值时，三棱锥C﹣DEF 的侧面积为，B1G与平面BDD1B1所成角的正切值为．解：设CF＝x，则BE＝2x，因为0＜CF＜3，0＜BE＜3，所以0＜x＜，三棱锥C﹣DEF的体积，当且仅当x＝时，等号成立，此时三棱锥C﹣DEF的体积取得最大值，其侧面积为，因为EF∥平面B1D1G，又EF⊂平面EFD1G，平面EFD1G∩平面B1D1G＝D1G，所以EF∥D1G，则△CEF与△A1D1G相似，因为，所以G为棱AA1的中点，取BD1的中点H，连接GH，HB1，所以GH⊥平面BDD1B1，则B1G与平面BDD1B1所成的角为∠GB1H，所以tan∠GB1H＝＝．故答案为：，．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知a＝4，ab sin A sin C＝c sin B．（1）若bc＝16，求b2+c2；（2）若B＝2A，求b．解：（1）由正弦定理知，＝，∵ab sin A sin C＝c sin B，∴abc sin A＝bc，∴sin A＝＝，∴cos A＝±＝±，由余弦定理知，cos A＝＝＝±，∴b2+c2＝16±8，∵b2+c2＝16﹣8＜0，∴b2+c2＝16+8．（2）由（1）知，sin A＝，cos A＝±，∵B＝2A，∴B＞A，∴cos A＝，∴sin B＝sin2A＝2sin A cos A＝2××＝，由正弦定理知，＝，∴＝，解得b＝2．18．甲、乙、丙三台机床同时生产种零件，在10天中，甲、乙机床每天生产的次品数如表所示：第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天第9天第10天甲010*******乙2411021101（1）若从这10天中随机选取1天，设甲机床这天生产的次品数为X，求X的分布列；（2）已知丙机床这10天生产次品数的平均数为1.4，方差为1.84．以平均数和方差为依据，若要从这三台机床中淘汰一台，你应该怎么选择？这三台机床你认为哪台性能最好？解：（1）由题意可得，X的所有可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝P（X＝2）＝，P（X＝1）＝P（X＝3）＝，故X的分布列为：X0123P0.30.20.30.2（2）＝1.4，＝，3×（0﹣1.4）2+2×（1﹣1.4）2+3×（2﹣1.4）2+2×（3﹣1.4）2]＝1.24，＝+2×（2﹣1.3）2+（4﹣1.3）2]＝1.21，∵，，∴次品数的平均数最小的是以，稳定性最好的也是乙，稳定性最差的是丙，故应淘汰丙机床，乙机床的性能最好．19．如图，在底面为矩形的四棱锥P﹣ABCD中，E为棱AD上一点，PE⊥底面ABCD．（1）证明：AB⊥PD．（2）若AE＝2，AB＝DE＝PE＝3，求二面角B﹣PC﹣D的大小．【解答】（1）证明：∵PE⊥底面ABCD，∴PE⊥AB，在矩形ABCD中，AB⊥AD，∵AD∩PE＝E，∴AB⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD．（2）解：以E为为坐标原点，分别以ED、EP所在直线为y、z轴建立空间直角坐标系．则P（0，0，3），B（3，﹣2，0），C（3，3，0），D（0，3，0），，，，设平面PCD的法向量，由，取y＝1，得；设平面PBC的法向量为，由，取x1＝1，得．∴cos＜＞＝．由图可知，二面角B﹣PC﹣D为钝角，∴二面角B﹣PC﹣D的大小为．20．已知数列{a n}，{b n}满足a1＝﹣2b1＝4，且{a n}是公差为1的等差数列，{a n+b n}是公比为2的等比数列．（1）求{a n}，{b n}的通项公式；（2）求{|b n|}的前n项和T n．解：（1）由题意可得：a n＝4+n﹣1＝n+3，a n+b n＝（4﹣2）×2n﹣1＝2n．∴b n＝2n﹣n﹣3．（2）∵b n+1﹣b n＝2n+1﹣（n+1）﹣3﹣（2n﹣n﹣3）＝2n﹣1≥1＞0，n∈N*，∴b n+1＞b n，∴数列{b n}单调递增，∵b1＝2﹣1﹣3＝﹣2，b2＝22﹣2﹣3＝﹣1，b3＝23﹣3﹣3＝2，∴n≥3时，b n＞0，∴n＝1时，T1＝2；n＝2时，T2＝2+1＝3；n≥3时，T n＝3+b3+b4+…+b n＝3+（23+24+…+2n）﹣[6+7+…+（n+3）]＝3+﹣＝2n+1﹣5﹣．∴T n＝．21．已知函数f（x）＝（x﹣2a）lnx+a．（1）从①a＝3，②a＝﹣1这两个条件中选择一个，求f（x）零点的个数；（2）若a＞0，讨论函数y＝xf（x）的单调性．解：（1）若选①：因为a＝3，所以f（x）＝（x﹣6）lnx+3，则f'（x）＝lnx+1﹣，令h（x）＝lnx+1﹣，则h'（x）＝，故h（x）在（0，+∞）上单调递增，又h（2）＜0，h（3）＞0，因此方程f'（x）＝0有唯一解，不妨设f'（x0）＝0，2＜x0＜3，当x∈（0，x0）时，f'（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f'（x）＞0，所以f（x）min＝f（x0）＜f（3）＝3（1﹣ln3）＜0，又因为f（1）＝f（6）＝3＞0，所以f（x）在（1，x0）和（x0，6）内各有一个零点，故f（x）零点的个数为2；若选②：因为a＝﹣1，所以f（x）＝（x+2）lnx﹣1，则f'（x）＝lnx+1+，令h（x）＝lnx+1+，则h'（x）＝，当x∈（0，2）时，h'（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，h'（x）＞0，因此h（x）min＝h（2）＝ln2+2＞0，所以f'（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，又因为f（1）＝﹣1＜0，f（e）＝e+1＞0，所以f（x）在（1，e）内存在唯一零点，故f（x）零点的个数为1；（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），令函数g（x）＝xf（x）＝（x2﹣2ax）lnx+ax，x＞0，则g'（x）＝（2x﹣2a）lnx+x﹣a＝（x﹣a）（2lnx+1），令g'（x）＝0，解得x＝或x＝a，当0＜a＜时，由g'（x）＞0，可得x∈（0，a）∪（，+∞），由g'（x）＜0，可得x∈（a，），故g（x）在（0，a）和（，+∞）上单调递增，在（a，）上单调递减；当a＝时，g'（x）≥0恒成立，故g（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞时，由g'（x）＞0，可得x∈（0，）∪（a，+∞），由g'（x）＜0，可得x∈（，a），故g（x）在（0，）和（a，+∞）上单调递增，在（，a）上单调递减．综上所述，当0＜a＜时，函数y＝xf（x）在（0，a）和（，+∞）上单调递增，在（a，）上单调递减；当a＝时，函数y＝xf（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞时，函数y＝xf（x）在（0，）和（a，+∞）上单调递增，在（，a）上单调递减．22．已知抛物线E的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且直线y＝x+1与E相切．（1）求E的方程．（2）设P为E的准线上一点，过P作E的两条切线，切点为A，B，直线AB的斜率存在，且直线PA，PB与y轴分别交于C，D两点．①证明：PA⊥PB．②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解：（1）设抛物线的方程y2＝2px（p＞0），与直线y＝x+1联立，可得x2+（2﹣2p）x+1＝0，由△＝（2﹣2p）2﹣4＝0，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x；（2）①证明：设P（﹣1，m），切线的方程为y﹣m＝k（x+1），与抛物线y2＝4x联立，可得ky2﹣4y+4k+4m＝0，由△＝0，即16﹣16（k+m）k＝0，可得k2+km﹣1＝0，所以k1k2＝﹣1，k1+k2＝﹣m，即PA⊥PB；②设直线PA的斜率为k1，k1＞0，倾斜角为θ1，直线PB的斜率为k2，k2＜0，倾斜角为θ2，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的斜率为k，倾斜角为θ，则k＝tanθ＝＝＝，由y2＝4x两边对x求导，可得2yy′＝4，即y′＝，可得k1＝，即y1＝，同理可得y2＝，所以k＝＝＝＝，因为tan∠PCD＝tan（﹣θ1）＝，tan∠PBA＝tan（θ2﹣θ）＝＝＝，所以tan∠PBA﹣tan∠PCD＝﹣＝＝＝0，则tan∠PBA＝tan∠PCD，即∠PBA＝∠PCD，又PA⊥PB，所以Rt△PBA∽Rt△PCD，所以＝，即有问＝1．。

解能力!
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1&#&!!则*##$在#1&!$上单调递减&在#!&)<$上单调递增&且*#1$$1&*#!$$
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!高三数学试卷"参考答案!第!! 页#共"页$理科%

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卜人入州八九几市潮王学校五大联盟2021届高三数学9月份联考试题理〔含解析〕一、选择题 1.集合，，那么中的元素的个数为()A.0B.1 C.2D.3 【答案】C 【解析】因为或者，所以，应选答案C 。

2.，为虚数单位，，那么()A.9B.C.24D.【答案】A 【解析】因为，所以，那么，应选答案A 。

3.幂函数的图象过点，那么函数在区间上的最小值是()A.B.0C.D.【答案】B 【解析】由题设，故在上单调递增，那么当x =12时取最小值g(12)=2−2=0，应选答案B 。

4.a =40.3，b =813，c =log0.3，这三个数的大小关系为()A.b <a <cB.a <b <cC.c <a <bD.c <b <a 【答案】C【解析】因为0<0.3<1⇒c =log 20.3<0,1<a =40.3=20.6<2=b =813，所以c <a <b ，应选答案C 。

5.设等比数列{a n}的前n项和为S n，且a4=2a2，那么S8S4=()A.4B.5C.8D.9【答案】B【解析】由题设q2=a4a2=2，S8=S4+q4S4=(1+4)S4=5S4，所以S8S4=5，应选答案B。

6.设x,y满足约束条件{y≥0x−y+1≥0x+y−3≤0，那么z=x−3y的最大值为()A.3B.−5C.1D.−1【答案】A【解析】画出不等式组{y≥0x−y+1≥0x+y−3≤0表示的区域如图，那么问题转化为求动直线y=13x−13z在y上的截距−13z的最小值的问题，结合图形可知：当动直线y=13x−13z经过点P(3,0)时，z max=3−3×0=3，应选答案A。

7.函数f(x)=Acos(ωx+φ)+1(A>0,ω>0,0<ω<π)的最大值为3，y=f(x)的图象的相邻两条对称轴间的间隔为2，与y轴的交点的纵坐标为1，那么f(13)=()A.1B.−1C.√32D.0【答案】D【解析】由题设条件可得A=2,T2=2⇒T=4，那么ω=2π4=π2，所以f(x)=2cos(π2x+φ)+1，将点P(0,1)代入可得f(x)=2cos(0+φ)+1=1⇒cosφ=0，即φ=kπ+π2,k ∈Z ，又0<φ<π⇒φ=π2，所以f(x)=2cos(π2x +π2)+1=2cos2π3+1=0，应选答案D 。

2021届河南省名校联盟高三9月质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}20x x x M =-≤，{}1,0,1,2N =-，则MN =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}1,0-C ．{}1,2D ．{}0,1【答案】D【解析】由集合描述求M 的集合，应用集合交运算求交集即可. 【详解】因为{}{}2001M x x x x x =-≤=≤≤，所以{}0,1M N =．故选：D ． 【点睛】本题考查了集合的基本运算，根据集合交运算求集合，属于简单题. 2．设11iz i=-+（i 为虚数单位），则在复平面内z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】由复数的运算求出z ，得出对应点的坐标后可得象限． 【详解】 因为()()1111111111222i i i z i i i i i --=-====-+++-，所以在复平面内z 所对应的点为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭，在第四象限． 故选：D ． 【点睛】本题考查复数的综合运算，复数的几何意义，解题方法是由复数运算化复数为代数形式，然后由复数的几何意义得出结论．3．某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，某月生产这三种产品的数量之比依次为2::3a ，现用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本，已知B 种型号产品抽取了60件，则a =（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】利用样本容量与总体容量比值相等可得． 【详解】由题意，605120a a =+，解得5a =． 故选：C ． 【点睛】本题考查分层抽样，解题根据是样本容量与总体容量比值相等． 4．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ） A ．15 B ．17C ．18D ．19【答案】C【解析】模拟程序运行，观察变量值的变化，判断循环条件可得结论． 【详解】第一次运行时，8412S =+=，3i =； 第二次运行时．12315S =+=，2i =； 第三次运行时，15217S =+=，1i =； 第四次运行时，17118S =+=， 此时满足判断条件1i =． 则输出S 的值为18． 故选：C ． 【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题方法是模拟程序运行，观察变量值的变化，从而得出结论．5．圆C ：2240x y y +-=被直线l 10y --=所截得的弦长为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】求出圆心到直线的距离，圆的半径，利用垂径定理得弦长． 【详解】圆C 的圆心为()0,2C ，半径为2R =，C 到直线l 的距离为d ==所以所截得的弦长为2==． 故选：B ． 【点睛】本题考查求直线与圆相交弦长，解题方法是几何法，求出圆心到直线的距离后由勾股定理得弦长．6．2019年北京世园会的吉祥物“小萌芽”“小萌花”是一对代表着生命与希望、勤劳与美好、活泼可爱的园艺小兄妹．造型创意来自东方文化中百子图的“吉祥娃娃”，通过头饰、道具、服装创意的巧妙组合，被赋予了普及园艺知识、传播绿色理念的特殊使命．现从4张分别印有“小萌芽”“小萌花”“牡丹花”“菊花”的这4个图案的卡片（卡片的形状、大小、质地均相同）中随机选取2张，则2张恰好是“小萌芽”和“小萌花”卡片的概率为（ ） A ．12B ．16C ．112D ．15【答案】B【解析】4个图案的卡片编号后用列举法写出任选2张的所有可能事件，而2张恰好是“小萌芽”和“小萌花”卡片方法恰有1种，计数后可得概率． 【详解】给“小萌芽”“小萌花”“牡丹花”“菊花”编号分别为1，2，3，4．从中选2个基本事件为：12，13．14，23，24，34共6个，所以2张恰好是“小萌芽”和“小萌花”卡片的概率为16． 故选：B ． 【点睛】本题考查古典概型，解题方法是列举法．7．函数()2421x f x x =+的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由奇偶性排除A ，C ，再求出0x >时函数有最值可排除D ，从而得正确选项． 【详解】由()()()()22442211x x f x f x x x --===+-+，所以()f x 偶函数，可排除A ，C ；当0x >时，()242222111x f x x x x ==≤=++，即当且仅当1x =时，()max 1f x =，可排除D ．故选：B ． 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法是排除法，通过研究函数的性质如奇偶性、单调性、对称性等排除一些选项，再由特殊的函数值、函数值的正负，函数值的变化趋势，图象的特殊点等排除一些选项，最终得出正确选项．8．将函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向左平移π4个单位长度，若所得图象与原图象关于x 轴对称，则π4f ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A． B ．0C．2D【答案】A 【解析】由题意得π4等于半个周期+周期的整数倍，求出()()412k k ω=+∈Z ，求出解析式，再利用诱导公式即可求解. 【详解】 由题意得π4等于半个周期+周期的整数倍，即()()ππ124k k ω=+∈Z ，解得()()412k k ω=+∈Z ．所以()()πsin 4124f x k x ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦． 则π5πsin 2π44f k ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以π42f ⎛⎫=-⎪⎝⎭． 故选：A ． 【点睛】本题考查了三角函数的平移变换、诱导公式，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 9．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，异面直线a 和b 分别在上底面A 1B 1C 1D 1和下底面ABCD 上运动，且a b ⊥，若1A D 与b 所成角为60°时，则a 与侧面ADD 1A 1所成角的大小为（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°【答案】B【解析】建立适当的空间直角坐标系，根据题意设出直线,a b 的方向向量，利用空间向量，根据异面直线所成的角的公式求得b 的方向向量的坐标关系，进而利用线面所成角的向量公式求得直线a 与平面侧面ADD 1A 1所成角的大小. 【详解】以D 为原点，以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，如图所示：直线,a b 分别在上下底面内且互相垂直，设直线a 的方向向量为(),,0u m n =,则直线b 的方向向量可以为(),,0v n m =-,直线1A D 的方向向量为()11,0,1DA =, 侧面ADD 1A 1的法向量()0,1,0DC =,1A D 与b 所成角为60°,11··60DA v DA v cos ∴=︒，即12n =，2·cos ,1?DC v n DC v DC v m ∴===, 故a 与侧面ADD 1A 1所成角的大小为45°. 故选：B. 【点睛】本题考查利用空间向量研究异面直线所成的角和线面所成的角问题，属创新题，难度一般.关键是建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量进行有关计算.10．“跺积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、三角垛等．现有100根相同的圆柱形铅笔，某同学要将它们堆放成横截面为正三角形的垛，要求第一层为1根且从第二层起每一层比上一层多1根，并使得剩余的圆形铅笔根数最少，则剩余的铅笔的根数是（ ） A ．9 B ．10C ．12D ．13【答案】A【解析】设只能堆放n 层，由已知得从最上层往下，每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列，且余下的铅笔数小于1n +，根据等差数列的前n 项和公式可求得选项．【详解】设只能堆放n 层，则从最上层往下，每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列，且余下的铅笔数小于1n +， 于是()11002n n +≤，且()110012n n n +-<+，解得13n =，剩余的根数为131410092⨯-=． 故选：A. 【点睛】本题考查数列的实际应用，关键在于将生活中的数据，转化为数列中的基本量，属于中档题.11．在ABC 中，3tan 4C =，H 在边BC 上，0AH BC ⋅=，AC BC =，则过点B 以A ，H 为两焦点的双曲线的离心率为（ ）A B ．43C D 【答案】D【解析】设3AH x =，求出,,,CA CH BA BH ，由双曲线的定义表示出2a ，2c AH =，再由离心率定义可得离心率．【详解】在ABC 中，0AH BC ⋅=，所以AH 为边BC 上的高，CA CB =．又3tan 4C =，令3AH x =，则|4CH x =，5AC CB x ==，BH x =，所以AB ==，所以过点B 以A 、H 为两焦点的双曲线中，)21a BA BH x =-=，23c AH x ==，所以过点B 以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为22c c e a a====故选：D ． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题方法是设3AH x =，根据双曲线的定义用x 表示出,a c 得离心率．12．3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用3D 打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，．打印所用原料密度为31 g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（ ）（取π 3.14=，精确到） A ．609.4g B ．447.3gC ．398.3gD ．357.3g【答案】C【解析】作出圆锥的轴截面，截正方体得对角面，由这个轴截面中可计算出正方体的棱长和圆锥的高，再由体积公式计算出体积．体积乘密度即得质量． 【详解】如图，是几何体的轴截面，因为圆锥底面直径为，所以半径为OB =．因为母线与底面所成角的正切值为tan B =10cm PO =．设正方体的棱长为a，DE =1010a -=，解得5a =．所以该模型的体积为(()2331500ππ105125cm 33V =⨯⨯-=-． 所以制作该模型所需原料的质量为()500π500π1251125398.3g 33⎛⎫-⨯=-≈ ⎪⎝⎭． 故选：C ． 【点睛】本题考查求组合体的体积，掌握圆锥与正方体的体积公式是解题关键． 二、填空题13．设向量()2,21a m m =-+，()1,3b =-，若a b ⊥，则m =_______． 【答案】1-【解析】0a b ⋅=可计算出m 值． 【详解】因为a b ⊥，所以()()2,211,32630a b m m m m ⋅=-+⋅-=-++=，解得1m =-． 故答案为：1-． 【点睛】本题考查向量垂直与数量积的关系，考查数量积的坐标表示，属于基础题．14．已知实数x ，y 满足不等式组24020x y y x y --≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则26z y x =-的最小值为_______．【答案】44-【解析】根据线性约束条件作出可行域，利用z 的几何意义即可求解. 【详解】作出不等式组所表示的平面区域如下图中阴影部分所示： 由26z y x =-，可得32zy x =+，作直线0:3l y x =， 将其沿着可行域的方向平移，由图可知， 当直线32zy x =+过点B 时，z 取得最小值． 由240,2,x y y --=⎧⎨=⎩解得8,2,x y =⎧⎨=⎩即()8,2B ，所以min 226844z =⨯-⨯=-． 故答案为：44-. 【点睛】本题主要考查了根据简单的线性规划求最值，理解目标函数的几何意义最关键，属于基础题15．曲线()320y x x x=-+>的一条切线的斜率为4，则该切线的方程为_______． 【答案】440x y --=【解析】利用切线的斜率求得切点坐标，然后利用点斜式可得出所求切线的方程. 【详解】设切点坐标为()00,x y ，其中00x >， 对函数32y x x=-+求导得231y x '=+，所以切线的斜率020314x x y x ='=+=，因为00x >，解得01x =，则02310y =-+=，切点为()1,0，则该切线的方程为()41y x =-，即所求切线方程为440x y --=． 故答案为：440x y --=． 【点睛】本题考查利用导数求解函数的切线方程，同时也考查了利用切线的斜率求切点的坐标，考查计算能力，属于基础题.16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且364n n S a =-，若()*11,,m k a a m k m k N ⋅=≤≤∈，则k 的取值集合是_______．【答案】{}4,5【解析】利用已知n S 求n a 的法，求出数列314n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，可知{}n a 是递减数列，所以151a a =，241a a =，31a =，结合1m k ≤<，即可求得k 的取值集合.【详解】当1n =时，11364a a =-，解得116a =；当2n ≥时，364n n S a =-和11364n n S a --=-两式相减， 得13n n n a a a -=-，即114n n a a -=， 则数列{}n a 是首项为16、公比为14的等比数列， 所以13111644n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，{}n a 是递减数列，即各项依次为16，4，1，14，116，164，…， 所以151a a =，241a a =，31a =，结合1m k ≤<，得k 的取值集合是{}4,5． 【点睛】本题主要考查了已知n S 求n a ，利用递推公式求数列通项，考查了等比数列的定义，属于中档题. 三、解答题17．某网校推出试听的收费标准为每课时100元，现推出学员优惠活动，具体收费标准如下（每次听课1课时）：现随机抽取100位学员并统计它们的听课次数，得到数据如下：假设该网校的成本为每课时50元． （1）估计1位学员消费三次及以上的概率；（2）求一位学员听课4课时，该网校所获得的平均利润． 【答案】（1）310；（2）平均利润为25（元）． 【解析】（1）根据听课课时数表和古典概率公式可求得所求的概率．（2）分别计算出第1课时、第2课时、第3课时、第4课时听课利润，从而可求出这4个课时听课获得的平均利润． 【详解】解：（1）根据听课课时数表．估计1位学员听课三次及以上的概率1020310010P +==． （2）第1课时听课利润1000.95040⨯-=（元）； 第2课时听课利润1000.85030⨯-=（元）； 第3课时听课利润1000.75020⨯-=（元）； 第4课时听课利润1000.65010⨯-=（元）， 这4个课时听课获得的平均利润为40302010254+++=（元）．【点睛】本题考查由频数计算概率，统计的数字特征求实际问题中的平均利润，属于中档题. 18．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积为S ，且222b c a S +-=． （1）求角A 的大小；（2）若4sin sin 3B C ⋅=且2a =，求ABC 的面积S ．【答案】（1）π3；（2 【解析】()1已知等式利用余弦定理及三角形面积公式化简，整理求出tan A 的值，即可确定出A 的度数；()2由正弦定理和三角形的面积公式可求得答案．【详解】解：（1）由2223b c a S +-=，得12cos sin 32bc A bc A =⋅，所以cos A A =，所以tan A =()0,πA ∈， 所以π3A =．（2）由正弦定理，得2sin sin sin bc a R B C A ，解得R = 由正弦定理得2sin b R B =，2sin c R C =，所以2213sin 2sin sin sin 224S bc A R A B C ===⋅=⎝⎭ 【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．19．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长2的菱形，PAB △和PBC 都是正三角形，且平面PBC ⊥平面PAB ．（1）求证：AC PD ⊥；（2）求三棱锥P ABD -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）1．【解析】（1）先证明PB ⊥平面AOC ，得到AC PB ⊥，再证明AC BD ⊥，则可证明AC ⊥平面PBD ，根据线面垂直的性质可得AC PD ⊥；（2）由原几何体的特点可知P ABD D PAB V V --=，而点D 到底面PAB 的距离等于点C 到底面PAB 的距离，即13D PAD PAB V CO S -∆=⋅⋅. 【详解】（1）证明：取PB 的中点O ，连接OA 和OC ．因为PBC 是正三角形，所以CO PB ⊥．同理OA PB ⊥．又CO OA O =，CO ，AO ⊂平面AOC ，所以PB ⊥平面AOC ．又AC ⊂平面AOC ，所以AC PB ⊥，因为四边形ABCD 是边长2的菱形，所以AC BD ⊥，又PB BD B ⋂=，PB ，BD ⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ．因为PD ⊂平面PBD ，所以AC PD ⊥．（2）因为//CD AB ，AB 平面PAB ，CD ⊄平面PAB ，所以//CD 平面PAB ，所以D 到平面PAB 的距离就是C 到平面PAB 的距离，即CO =，所以三棱锥P ABD -的体积为22112133P ABD D PAB V V CO AB --====． 【点睛】本题考查空间垂直关系的判定及证明，考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，考查棱锥体积的求解，难度一般.20．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，短轴长等于焦距，且经过点()0,1P ．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线与E 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，D 是y 轴上一点，且CD AB ⊥，求证：线段CD 的中点在x 轴上．【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）由已知得1b =； 1c =，从而得椭圆E 的方程．（2）设直线l 的方程为()10x ty t =+≠，()11,A x y ，()11,B x y ，()00,C x y ．直线l 与椭圆的方程联立得()222210t y ty ++-=，由题意，得>0∆，且12222t y y t +=-+，12212y y t =-+，表示点222,22t C t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．设()0,D u ，根据直线的垂直关系得22t u t =+．可得证． 【详解】解：（1）由椭圆E 经过点()0,1P ，得1b =；由短轴长等于焦距，得22b c =，则1c =，所以a =故椭圆E 的方程为2212x y +=． （2）设直线l 的方程为()10x ty t =+≠，()11,A x y ，()11,B x y ，()00,C x y ． 由221,22,x ty x y =+⎧⎨+=⎩得()222210t y ty ++-=，由题意，得>0∆，且12222t y y t +=-+，12212y y t =-+， 则120222y y t y t +==-+，002212x ty t =+=+，即222,22t C t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． 设()0,D u ，由CD AB ⊥，得，2212122tu t t t ++⋅=--+，解得22t u t =+． 所以00y u +=，所以002y u +=，故线段CD 的中点在x 轴上． 【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系之交点问题，属于中档题.21．已知函数3()f x x ax =+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()()ln g x f x x x =-在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）114ln 2,ln 222⎡⎤-+--⎢⎥⎣⎦【解析】（1）先求导，对a 分类讨论，利用导函数的正负可得f （x ）的单调性.（2）将已知进行转化，得到3ln 0x ax x x +-=在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，分离参数a ，构造函数，求导求得值域，可得a 的范围.【详解】（1）因为()3f x x ax =+，所以()23f x x a ='+.①当0a ≥时，因为()230f x x a '=+≥，所以()f x 在R 上单调递增； ②当0a <时，令()0f x '>，解得x <x >令()0f x '<，解得x <<， 则()f x在,3⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭，3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；在⎛ ⎝⎭上单调递减. （2）因为()()ln g x f x x x =-，所以()3ln g x x ax x x =+-， ()()ln g x f x x x =-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，等价于关于x 的方程()0g x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，即3ln 0x ax x x +-=在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解. 因为3ln 0x ax x x +-=，所以2ln a x x =-+. 令()2ln h x x x =-+，则()21212x h x x x x =-'-=-+.令()0h x '<，122x ≤≤2x <≤；令()0h x '>，122x ≤≤，解得122x ≤<，则()h x 22⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递减，在1,22⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增， 因为2111ln 222h ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1ln24--，()222ln24ln2h =-+=-+， 所以()115224h h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 152ln2204->->，则()()min 24ln2h x h ==-+，()max 1ln 222h x h ⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎝⎭ 11ln222=--， 故a 的取值范围为114ln2,ln222⎡⎤-+--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与零点问题，考查了函数的最值的求法，考查了等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2,x u y u =⎧⎨=⎩（u 为参数）；以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()πsin 03a a ρθ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭． （1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，直线OA ，OB ，AB 的斜率分别为1k ，2k ，k ，求证：12k k k +=．【答案】（1）直线l 20y a -+=，曲线C 的直角坐标方程为2x y =；（2）证明见解析．【解析】（1）由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入πsin 3a ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭中，可得直线l 的直角坐标方程，消参可得曲线C 的直角坐标方程．（2）将曲线C 的参数方程2,x u y u =⎧⎨=⎩代入直线l 20y a -+=，得220u a -=．由一元二次方程的根与系数的关系和参数的意义可得证．【详解】（1）解：由πsin 3a ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1sin cos 22a ρθρθ⋅-⋅=，则直线l 20y a -+=；曲线C 的直角坐标方程为2x y =．（2）证明：将2,x u y u=⎧⎨=⎩20y a -+=，得220u a -=． 由直线l 和曲线C 交于A 、B 两点且0a >，得380a ∆=+>；设方程220u a -=的两根分别为1u ，2u ，则12u u += 而y u x=表示曲线C 上的点(),x y 与原点O 连线的斜率，所以11k u =，22k u =，所以1212k k u u +=+=又直线l 的斜率为k =12k k k +=．【点睛】本题考查极坐标方程向直角坐标方程转化，参数方程向普通方程转化，以及直线与抛物线的位置关系之交点问题，注意理解参数的意义，属于中档题.23．已知函数()f x x x a =++．（1）当1a =-时，解不等式()3f x ≥．（2）若对任意的x ∈R ，总存在[]1,1a ∈-，使得不等式()22f x a a k ≥-+成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）(][),12,-∞-⋃+∞；（2）(],4-∞．【解析】（1）当1a =-时，()3f x ≥，即为13x x +-≥．分0x ≤，01x <≤，1x >三种情况分别求解不等式，可得原不等式的解集；（2）将问题转化为()2min 2f x a a k ≥-+．①，即总存在[]1,1a ∈-，使得22a a a k ≥-+成立，由不等式的恒成立的思想可求得实数k 的取值范围．【详解】解：（1）当1a =-时，()3f x ≥，即为13x x +-≥．当0x ≤时，不等式变为13x x -+-≥，解得1x ≤-；当01x <≤时，不等式变为13x x +-≥，无解；当1x >时，不等式变为13x x +-≥，解得2x ≥．綜上，不等式的解集是(][),12,-∞-⋃+∞．（2）要使对任意的x ∈R ，不等式()22f x a a k ≥-+成立，只需()2min 2f x a a k ≥-+．①而()()f x x x a x x a a =++≥-+=， 所以①可转化为22a a a k ≥-+．②即总存在[]1,1a ∈-，使得22a a a k ≥-+成立， 即总存在[]1,1a ∈-，使得()211a a k --+≥成立． 而当1a =-时，()2max113a ⎡⎤--=⎣⎦；当1a =±时，max 1a =， 所以当1a =-时，()2max 114a a ⎡⎤--+=⎣⎦， 所以4k ≤，故实数k 的取值范围是(],4-∞．【点睛】本题考查运用分类讨论的方法解绝对值不等式，不等式的恒成立问题，属于中档题.。

2021年高三9月阶段考数学理试题 含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项. 1．已知集合{}{}1,1A x R y x B y R y x =∈=-=∈=-，则A.B. C. D.2. 若命题p ：，则p 是A ．B ．C ．D ． 3．函数的零点位于A ．B ．C ．D ．4．“”是“”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5． 设，函数的图像可能是6. 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)(ω＞0)的最小正周期为4π，则 A ．函数f (x )的图像关于点对称； B ．函数f (x )的图像关于直线x ＝π3对称；C ．函数f (x )的图像向右平移π3个单位后，图像关于原点对称； D ．函数f (x )在区间上单调递增.7. 设函数的反函数是.如果，则有A . B .C .D .8．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是A ．[－5，－3] B.⎣⎡⎦⎤－6，－98 C ．[－6，－2] D ．[－4，－3]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．请将答案填在答题卡相应位置. 9．已知函数则 . 10. 如图是函数()sin(),(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><在一个周期内的的图象，则函数的解析式是 . （第10题图） 11. 已知函数，则方程解的个数为 . 12. 如图,由0,,0.,ln ,x xx e y y e y x y e ======六条曲线共同围成的面积为 ． （第12题图）13．如果函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图像关于直线x ＝－π8对称，则实数a 的值为 .14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2， x ≥0.则不等式的解集为 ．三、解答题:本题共有6个小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，格式要规范．15.（本小题满分12分）完成下列各题：（Ⅰ）求函数的定义域；（Ⅱ）求函数的值域； 16. （本小题满分12分）求y ＝(sin x －2)(cos x －2)的最大值和最小值.xy π6π35π63- 3O17. （本小题满分14分）已知函数.（Ⅰ） 求函数的最小正周期和单调递增区间．（Ⅱ）将的图像向右平移π12个单位长度，得到函数的图像；再将得到函数的图像向下平移1个单位，同时将周期扩大1倍，得到函数的图像，分别写出函数与解析式；18. （本小题满分14分）已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,. （Ⅰ）证明:且时; （Ⅱ）证明: 在R 上单调递减;（Ⅲ）设A=,B={},若= ,试确定的取值范围.19. （本小题满分14分） 已知，其中是自然常数， （Ⅰ）讨论时, 的单调性、极值； （Ⅱ）当时，求证：;（Ⅲ）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.20. （本小题满分14分）已知函数 （I ）求函数的单调区间； （II ）若函数的取值范围；（III ）当.2)()(34:,10,1<--<≤<≤-=ba b f a f a b m 证明时且珠海一中xx 届高三阶段考试数学（理）试题参考答案一、选择题：1-8 C D B B C C C C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．请将答案填在答题卡相应位置. 9．. 10. . 11. 2. 12.．13．-1. 14．．三、解答题:本题共有6个小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，格式要规范．15.解：（Ⅰ）由3－tan x ≥0，得tan x ≤3， ……………………………………3分.∴k π－π2x ≤k π＋π3(k ∈Z)，∴的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π＋π3(k ∈Z)．……………………………6分.（Ⅱ）由y ＝1＋sin x3＋cos x得sin x －y cos x ＝3y －1，∴y 2＋1sin(x ＋φ)＝3y －1，这里cos φ＝11＋y 2， sin φ＝－y 1＋y 2.…………………………………8分.∵|sin(x ＋φ)|≤1，∴|3y －1|≤y 2＋1， ………………………………………10分.解得0≤y ≤34，∴原函数的值域为． ………………………………………12分. 16.解：原函数可化为y ＝sin x cos x －2(sin x ＋cos x )＋4. ……………………………2分. 令sin x ＋cos x ＝t (|t |≤2)，则sin x cos x ＝t 2－12，……………………………………4分. ∴y ＝t 2－12－2t ＋4 ……………………………………………………………6分. ＝12(t －2)2＋32 ………………………………………………………………7分. ∵t ＝2∉[－2，2]，且函数在[－2，2]上为减函数， ……………………………8分. ∴当t ＝2，即x ＝2k π＋π4(k ∈Z)时，y min ＝92－22； ……………………………10分. 当t ＝－2，即x ＝2k π－3π4(k ∈Z)时，y max ＝92＋2 2. …………………………12分.17.解：（Ⅰ）1)62sin(21)2cos 212sin 23(212cos 2sin 3)(++=++=++=πx x x x x x f ……3分 的最小正周期为。

2021年高三上学期9月质量检测考试数学（理）试题 含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.5．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为（ ）A ．B ．C ．D ．6、若正数满足,则的最小值是（ ）A ．B ．5C ．D ．67．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－π2C ．8－πD ．8－π48、将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1,2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( ) A ．52种 B ．36种 C ． 20种 D ．10种 9、在△ABC 中，内角的对边分别是，若，，则（ ）A ．B ．C ．D ．10．执行如右图的程序框图，若输出的，则输入的值可以为( ) A ． B ． C ． D ．11．二项式展开式中含有项，则可能的取值是 （ ）A ．8B ．7C ．6D ．512．设函数在上存在导数，，有，在上，若，则实数的取值范围为（ ） A ． B ． C ． D ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13. 若函数f (x )=为偶函数，则=14. 一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 . 15.若满足约束条件：；则的取值范围为16. 是定义在R 上的函数，且，，，则 ．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）已知数列满足，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求．.18.（本小题满分１2分）如图，在长方体中，==1，，点E 是线段AB 的中点．(1)求证：;(2)求二面角的大小的余弦值．19．名同学的语文、英语成绩如下表所示：（第10题图）BA 1CD B 1C 1D 1E（1）根据表中数据，求英语分y 对语文分x 的线性回归方程；（2）要从4名语文成绩在90分（含90分）以上的同学中选出2名参加一项活动，以表示选中的同学的英语成绩高于90分的人数，求随机变量的分布列及数学期望． （线性回归方程中，，，其中为样本平均值，，的值的结果保留二位小数.）20．(本小题满分12分) 已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1()a >b >0的右焦点与抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点F 重合，椭圆C 1与抛物线C 2在第一象限的交点为P ，||PF ＝53．(1)求椭圆C 1的方程；(2)过点A ()－1，0的直线与椭圆C 1相交于M 、N 两点，求使FM →＋FN →＝FR →成立的动点R 的轨迹方程．21. （本小题满分12分）已知函数，其中a 为常数，且．（1）当时，求的单调区间；（2）若在处取得极值，且在上的最大值为，求a 的值.选做题：请考生从第22、23、24题中任选一题做答，并按要求在答题卷上注明题号．多答按所答的首题进行评分．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲。

2021年高三上学期9月月考数学理试卷 Word 版含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，集合B ＝{－2，－1，0，1，2}，则（∁R A)∩B=（ ）A ．{0,1,2}B ．{-2,-1}C ．{0}D ．{-2,-1,0}2．已知命题:,,那么命题为（ ） A ． B ． C ．D ．3．下列函数中，既是奇函数，又是在区间（0，1）上单调递增的函数是（ ） A ．B ．C ．D ．4．已知，则的值等于 A ．B ．C ．D ．5．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是（ ）6．已知函数为定义在R 上的奇函数，当时，为常数），则的值是( ) A ． B ． C ． D ． 7．若)0)(sin(3)(:;,22:≠+=∈+=ωϕωππϕx x f q Z k k p 是偶函数，则p 是q 的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件8．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝3x -2，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为()B.A ．－12B ．1C ．4D ．59．在△ABC 中，若2cos B ·sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是 A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 10．若,则值为（ ） A ．3 B ． C ． D ． 11．已知为R 上的可导函数，当时，，则关于x 的函数的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或 2 12．定义在上的函数，当时，．若，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞c ＞a D ．c ＞b ＞a第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分 ，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．）13．设函数 则的单调减区间为___________． 14．函数,（均为常数）,且,则 ．15．定义在R 上的偶函数在[0，)上是增函数，则方程的所有实数根的和为 ． 16．给出下列命题：①若是锐角的内角,则；②存在实数,使；③直线是函数图象的一条对称轴；④函数的图象向右平移个单位,得到的图象．其中正确的命题是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）已知函数()⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-=x x x x f 4sin 4sin 223cos πππ， （I ）求函数的最小正周期；（II ）求函数在区间上的最值及相应的x 的值．18．（本小题满分12分）设命题p ：函数f (x )＝lg(ax 2－12x ＋116a )的定义域为R ；命题q ：不等式(12)x +1－a <0对均成立．(I)如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；(II)如果命题“p 或q ”为真命题，且“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）在中，内角对边的边长分别是，已知．(I)若的面积等于，求；(II)若，求的面积．20．（本小题满分12分）某大桥长3150米，通过大桥的车速不能超过30米/秒，一个由10辆同一车型组成的车队匀速通过该大桥．设车队的速度为x米/秒，根据安全的需要，相邻两车至少保持米的距离，其中为常数且．从第一辆车上桥到最后一辆车下桥（不记车长）所用时间为y（秒）．（I）若大桥限制最低速度为20米/秒，则两车之间的最低安全距离为多少？（II）求车队通过大桥所用时间取最小值时，车队的速度．21．（本小题满分12分）设点、是函数的图象上的任意两点，且角的终边经过点P．当时，的最小值为．（I）求函数的解析式；（II）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．22．（本小题满分12分）已知f(x)＝ln(x＋1)，g(x)＝ax2＋12bx(a，b∈R)．(I) 若b＝6且h(x)＝f(x－1)－g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；(II)若a＝0，b＝2，求证：当x∈(－1，＋∞)时，f(x)－g(x)≤0恒成立；(III)利用(II)的结论证明：若x>0，y>0，x≠y，则x ln x＋y ln y>(x＋y)ln x＋y 2.郴州市二中xx届高三9月月考答卷数学（理科）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，）13.______________________; 14.___________________________;15.______________________; 16.___________________________.三、解答题（本大题共6小题，共70分．）17.（本小题满分10分）19.（本小题满分12分）21.（本小题满分12分）郴州市二中xx 届高三9月月考试卷数学（理科）参考答案二、填空题（本大题共4小题，每小题5分 ，共20分，）13. ; 14. 2; 15.4; 16. ①③.三、解答题（本大题共6小题，共70分．）17．解：(I)()⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-=x x x x f 4sin 4sin 223cos πππ ()()x x x x x x sin cos sin cos 2sin 232cos 21-+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=32sin 32cos 2sin 232cos 21πx x x x ． ． …………………………………………………………5分(II) ,． 所以，，此时，即；，此时，即．…………………………………………………………10分18．解：(I)若命题p 为真，即ax 2－12x ＋116a >0对任意x 恒成立．(ⅰ)当a ＝0时，不合题意；(ⅱ)当a ≠0时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，14－14a 2<0，解得a >1.所以实数a 的取值范围是(1，＋∞)．……………………………………………6分 (II) 命题q ：不等式(12)x +1－a <0对均成立．即(12)x < a －1，所以 a －1>[(12)x ]max =2， 因此，若命题q 为真，则a >3.由命题“p 或q ”为真且“p 且q ”为假，得命题p 、q 一真一假．所以实数a 的取值范围是(1,3]． ……………………………………………12分 19．解：(I )由余弦定理及已知条件得，又因为的面积等于，所以，得．联立方程组解得．……………………………………………………………5分(II )由题意得B A B A B A B A B B sin cos cos sin sin cos cos sin cos sin 4+=+-， 即， ……………………………………………7分 当时，，当时，得，由正弦定理得，联立方程组解得．………………10分所以,不论如何，的面积．…………………12分20.解：（I ）两车之间的安全距离：2211()50()5024g x ax x a x a a=++=++-，时，是增函数．（米） …………………………………5分 （II ）车队通过大桥所用时间：29(50)3150360099(030)ax x y ax x x x+++==++<≤ ……………8分当时，22236009(400)(0,30],'90ax x y a x x-∈∴=-=< 时， ………………………………10分当时，360099y ax x =++≥=当且仅当时，取得最小值． ……………………………12分21.解：(I)角ϕ的终边经过点P(，-1)，∵，∴ϕ=. 由于=，且的最小值为， 所以T=，即，∴ω=3，∴ ………………………………5分 (II) 当时，，，…………………7分 ①当时，因为，所以，可化为所以，由，可知；…………………9分 ②当时，因为，可化为所以，由，可知．……………11分因此，实数的取值范围是或． …………………………12分22.解：(I)当b ＝6时，h (x )＝ln x －ax 2－3x∴h ′(x )＝1x －2ax －3.∵h (x )有单调减区间，∴h ′(x )<0有解，即1－2ax 2－3xx <0 ∵x >0，∴2ax 2＋3x －1>0有解． (ⅰ)当a ≥0时符合题意；精品文档实用文档 (ⅱ)当a <0时，Δ＝9＋8a >0，即a >－98，所以，－98<a <0. 综上所述，a 的取值范围是(－98，＋∞)． …………………………………………4分(II)当a ＝0，b ＝2时，设φ(x )＝f (x )－g (x )＝ln(x ＋1)－x ，∴φ′(x )＝1x ＋1－1＝－x x ＋1. ∵x >－1，讨论φ′(x )的正负得下表： ↗ ↘ ∴当x ＝0∴当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )－g (x )≤0恒成立．…………………………………8分 (III)证明：∵x >0，y >0，∴x ln x ＋y ln y －(x ＋y )ln x ＋y 2＝x ⎝⎛⎭⎫ln x －ln x ＋y 2＋y ⎝⎛⎭⎫ln y －ln x ＋y 2 ＝x ln 2x x ＋y ＋y ln 2y x ＋y＝－x ln x ＋y 2x －y ln x ＋y 2y ＝－x ln ⎝⎛⎭⎫1＋y －x 2x －y ln ⎝⎛⎭⎫1＋x －y 2y . ∵x >0，y >0，x ≠y ，∴y －x 2x +1=y +x 2x >0, y －x 2x >－1,且y －x 2x ≠0，由(2)有ln ⎝⎛⎭⎫1＋y －x 2x <y －x 2x 同理ln ⎝⎛⎭⎫1＋x －y 2y <x －y 2y . ∴ －x ln ⎝⎛⎭⎫1＋y －x 2x －y ln ⎝⎛⎭⎫1＋x －y 2y >－x ·y －x 2x －y ·x －y 2y ＝0 ∴ x ln x ＋y ln y >(x ＋y )lnx ＋y 2. …………………………………………12分 20933 51C5 凅27630 6BEE 毮30756 7824 砤HIEk21379 5383 厃31649 7BA1 管|0(W21741 54ED 哭。

2021高三年级9月联考卷数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集为R，集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{x|x2－x－2>0}，则A∩(RB)＝A.{0}B.{2}C.{0，2}D.{x|0≤x≤2}2.若z＝2－i，则|z2＋z|＝A.2 25 D.503.sin152°·cos17°＋sin62°·sin17°的值为A.122334.新冠病毒是一种传染性极强的病毒，在不采取保护措施的情况下，每天的累计感染人数是前一天的累计感染人数的1.2倍，某国在5月1日时确诊的累计新冠病毒感染总人数为200人，如果不采取任何措施，从多少天后该国总感染人数开始超过100万?(lg1.2＝0.0790，lg5＝0.6990)A.43B.45C.47D.495.已知两条不重合的直线m，n和平面α，若m⊄α，n⊂α，则“m//n”是“m//α”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.某学校高三(5)班要从8名班干部(其中5名男生，3名女生)中选取3人参加学校优秀班干部评选，事件A：男生甲被选中，事件B：有两名女生被选中，则P(B|A)＝A.18B.17C.38D.377.已知4a＝5，b＝log34，1.5c＝2，则A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b8.某市园林局设计了一款给城市道路中间花草浇水的装置，设计图如图所示，AB为道路，CD 为花草，EF为固定仪器，FG为喷杆，在点G处有个可以转动的喷头(假定喷水口只能在竖直平面转动)，已知EF⊥AB，∠EFG＝23π，且喷射角∠MGN＝4π，EF＝2，FG＝1，则该喷水装置喷在该道路的花草上的宽度MN的最小值为2－5 2 3 5 3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学上学期9月第二次联考试题理〔含解析〕一、选择题:在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。

A ={x |x <1}，B ={x |31x<}，那么A.{|0}A B x x =<B.A B R =C.{|1}A B x x =>D.AB =∅【答案】A 【解析】 ∵集合{|31}x B x =<∴{}|0B x x =<∵集合{|1}A x x =<∴{}|0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=<应选A2.i 为虚数单位，假设1i(,)1ia b a b =+∈-R ，那么b a =〔〕A.1C.2D.2【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算得到1112i a bi i +==+-，再由复数相等的概念得到参数值，进而得到结果. 【详解】i 为虚数单位，假设1(,)1a bi a b R i =+∈-，1112ia bi i +==+-根据复数相等得到1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.121()22b a ==故答案为：C.【点睛】这个题目考察了复数除法运算，以及复数相等的概念，复数a bi +与i c d +相等的充要条件是a c =且b d =．复数相等的充要条件是化复为实的主要根据，多用来求解参数的值或者取值范围．步骤是：分别别离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程〔组〕求解． 3.5log 2a=，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，那么,,a b c 的大小关系为〔〕A.a c b <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】利用10,,12等中间值区分各个数值的大小。

【详解】551log 2log 2a =<，0.50.5log 0.2log 0.252b =>=， 10.20.50.50.5<<，故112c <<， 所以a c b <<。

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3. 2020年7月，我国湖北、江西等地连降暴雨，造成严重的地质灾害某地连续7天降雨量的平 均值为26. 5厘米，标准差为6. 1厘米现欲将此项统计资料的单位由厘米换为毫米，则标准
差变为
A. 6. 1毫米
B. 32. 6毫米
4.若O<b<I, 则"a>胪 ”是"a> b"的
C. 61毫米
D. 610毫米
高 2021届
数学
考生注意：
1. 本试卷分笫I卷（选择题）和笫l1卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟． 2. 请将各题答案填写在答题卡上． 3. 本试卷主要考试内容：新高考全部内容．
第I卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．


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