高斯—克吕格投影正反算公式的应用

高斯投影坐大地坐标系由大地基准面和地图投影确定，由地图投影到特定椭圆柱面后在南北两极剪开展开而成，是对地球表面的逼近，各国或地区有各自的大地基准面，我国目前主要采用的基准面为：1.WGS84基准面，为GPS基准面，17届国际大地测量协会上推荐，椭圆柱长半轴a=6378137m，短半轴b=6356752.3142451m；2.西安80坐标系，1975年国际大地测量协会上推荐，椭圆柱长半轴a=6378140m，短半轴b=6356755.2881575m;3.北京54坐标系，参照前苏联克拉索夫斯基椭球体建立,椭圆柱长半轴6度0-6度，角。

值为正，Y增加500公里；反算则是由高斯平面坐标（X，Y）求解大地坐标（L，B）。

二、计算模/***************************************本文直接依据空间立体三角函数关系得出结果。

*****/（一）正算由图表1，由方程式(1),令，可得在图表2中，，则由椭圆方程，令可知：（三、程序代doubleL=(m_L-6.0*L0//换算成弧度doublexita=atan(b*b*tan(B)/a/a/cos(L));doubledxita=0.000001;doublexi=dxita;x=0.0;doublec=a*a/b/b;while(xi<xita){x+=dxita/sqrt(c*sin(xi)*sin(xi)+cos(xi)*cos(xi));xi+=dxita;坐标*&B,do ubledoubledxi=0.000001;doublexi=dxi;doubleX=0.0;doublec=a*a/b/b;while(X<x/a){X+=dxi/sqrt(c*sin(xi)*sin(xi)+cos(xi)*cos(xi));xi+=dxi;}doubler=a/sqrt(c*sin(xi)*sin(xi)+cos(xi)*cos(xi));。

高斯—克吕格投影正反算公式的应用【摘要】高斯-克吕格正算公式是把大地坐标换算成高斯-克吕格投影平面上的直角坐标，而高斯-克吕格反算公式是把高斯-克吕格投影平面直角坐标换算到椭球面上的大地坐标。

为了城市坐标与国家统一坐标取得一致，需要进行城市坐标与国家坐标之间的换算，高斯-克吕格正反算公式为不同投影带之间的坐标换算提供了精确的坐标公式。

【关键词】高斯-克吕格投影坐标中央子午线1 引言目前，大比例尺地形图广泛应用在市政建设、路桥、管道铺设和城市规划等工程建设中。

为了满足城市大比例尺1：500地形测图精度要求，《城市测量规范》要求，控制点之间的投影长度变形不得大于 2.5cm/km。

当控制点之间的长度变形大于2.5cm/km时，要采取适当的措施进行改化，以达到城市大比例尺1：500地形测图精度要求。

国家坐标系是6°带或3°带投影的高斯-克吕格直角坐标系，根据它的变形规律，离中央子午线越远，所产生的投影变形越大。

城市独立坐标系的建立，通常是选择过城市的某国家控制点为地方坐标系的起算点，过这点的经线为其中央子午线并联测国家高等级的控制点建立起来的。

这样，国家坐标系与城市独立坐标系的中央子午线存在一个差值λ。

为了更好的进行数据共享，城市平面控制坐标最理想的是和国家坐标系相统一，这就要进行城市独立坐标与国家坐标之间的坐标换算。

高斯-克吕格投影正反算公式能很好的解决不同投影带之间的坐标换算问题。

其方法是：先将已知的平面坐标，按高斯-克吕格投影反算公式求得其大地坐标（B，L），然后根据大地纬度B和经差λ，再按高斯-克吕格投影正算公式求得其在另一投影带中的平面坐标。

2 高斯-克吕格投影正反算公式2.1 高斯-克吕格投影正算公式：（1）其中：，为中央子午线弧长，其计算公式为：、、、为常数，其计算公式为：2.2 高斯-克吕格投影反算公式：其中：。

（1）、（4）式中的N、的计算公式为：上述诸式中，a、e分别为椭球长半径和第一偏心率，B、L分别为大地经度和大地纬度，L0中央子午线经度，N为卯酋圈曲率半径，B、L、L0单位为弧度。

高斯克吕格投影公式(一)高斯克吕格投影公式高斯克吕格投影公式是一种常用的大规模地图投影方法，常用于地理信息系统和地图制作领域。

下面列举了相关的公式和例子，来解释说明这个投影方法的具体细节和应用。

公式一：高斯克吕格正弦公式公式：Y=a+R 1−cos(B−B0)2+P0R(B−B0)sin(B−B0)解释说明：在该公式中，Y表示投影坐标系中纵坐标的值，a表示一个常数，R表示椭球参数中的平均曲率半径，B表示地理坐标系中的纬度，B0表示投影中心纬度，P0表示投影中心的纵坐标值。

这个公式用于将地理坐标系中的纬度转换为投影坐标系中的纵坐标。

示例：假设一个地理坐标系中的点的纬度为度，投影中心的纬度为度，投影中心的纵坐标值为0，椭球参数中的平均曲率半径为$$ 米，常数a为500000米。

代入公式可以计算得到纵坐标的值为：Y=500000+1−cos()2+()sin()计算结果为Y≈.48米。

公式二：高斯克吕格余弦公式公式：X=X0+R(B−B0)cos(L−L0)解释说明：在该公式中，X表示投影坐标系中横坐标的值，X0表示投影中心的横坐标值，B表示地理坐标系中的纬度，B0表示投影中心纬度，L表示地理坐标系中的经度，L0表示投影中心经度，R表示椭球参数中的平均曲率半径。

这个公式用于将地理坐标系中的经纬度转换为投影坐标系中的横纵坐标。

示例：假设一个地理坐标系中的点的纬度为$$ 度，经度为 $-$ 度，投影中心的纬度为 $$度，经度为−度，投影中心的横坐标值为0，椭球参数中的平均曲率半径为 $$ 米。

代入公式可以计算得到横坐标的值为：X=0+..7749)cos((−.4194))计算结果为X≈.99米。

通过以上列举的高斯克吕格投影公式和示例，我们可以看到这些公式在将地理坐标系转换为投影坐标系时提供了一种简便而有效的方法。

不同的参数组合可以应用于不同的地理区域，以满足各种地图制作和地理信息系统的需求。

VB下高斯坐标变换的实现曾圣陈伟高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影，是一种“等角横切圆柱投影”。

德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl Friedrich Ｇauss，1777一 1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857～1928）于 1912年对投影公式加以补充，故名。

设想用一个圆柱横切于球面上投影带的中央经线，按照投影带中央经线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，将中央经线两侧一定经差范围内的球面正形投影于圆柱面.高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影是横轴墨卡托投影的变种，高斯-克吕格投影是“等角横切圆柱投影”，投影后中央经线保持长度不变，即比例系数为1。

高斯-克吕格投影的东伪偏移是500公里，投影北伪偏移为零。

高斯-克吕格投影正解公式：已知（B,L）值求解(X,Y)，（原点纬度 0，中央经度L0）上面公式中东纬偏移FE = 500000米（本程序中中只设计加500000米的常数，如还要带号的话FE = 500000+ 带号 * 1000000米）；高斯-克吕格投影比例因子k0 = 1高斯-克吕格投影反解公式：已知(X,Y)求解（B,L），（原点纬度 0，中央经度L0）a -- 椭球体长半轴b -- 椭球体短半轴f -- 扁率e -- 第一偏心率e’ -- 第二偏心率N -- 卯酉圈曲率半径R -- 子午圈曲率半径B -- 纬度，L -- 经度，单位弧度(RAD)X -- 纵直角坐标, Y -- 横直角坐标，单位米(M) 关于椭球体参数，我国常用的3个椭球体参数如下：程序实现:'高斯正算求XPublic Function X(ByVal B#, ByVal L#, ByVal L0#) As DoubleDim n#, T#, T2#, m#, m2#, ng2#Dim S#, C#X = A1 * B + A2 * Sin(2 * B) + A3 * Sin(4 * B) + A4 * Sin(6 * B)? '子午线弧长S = Sin(B)C = Cos(B)T = Tan(B)T2 = T * Tn = a / Sqr(1 - e12 * S * S)'卯酉圈曲率半径m = C * (L - L0)m2 = m * mng2 = C * C * e12 / (1 - e12)????X = X + n * T * ((0.5 + ((5 - T2 + 9 * ng2 + 4 * ng2 * ng2) / 24# + (61 - 58 * T2 + T2 * T2) * m2 / 720#) * m2) * m2)?End Function'高斯正算求YPublic Function Y(ByVal B#, ByVal L#, ByVal L0#) As DoubleDim n#, T#, T2#, m#, m2#, ng2#Dim S#, C#S = Sin(B)C = Cos(B)T = Tan(B)T2 = T * Tn = a / Sqr(1 - e12 * S * S)m = C * (L - L0)m2 = m * mng2 = C * C * e12 / (1 - e12)Y = n * m * (1 + m2 * ((1 - T2 + ng2) / 6# + m2 * (5 - 18 * T2 + T2 * T2 + 14 * ng2 - 58 * ng2 * T2) / 120#))Y = Y + Y0End Function'高斯反算求B（纬度)Public Function B(ByVal X#, ByVal Y#) As DoubleDim S#, C#, T#, T2#, n#, ng2#, V#, yN#Dim preB0#, B0#Dim eta#Y = Y - Y0B0 = X / A1DopreB0 = B0B0 = (X - (A2 * Sin(2 * B0) + A3 * Sin(4 * B0) + A4 * Sin(6 * B0))) / A1 If Abs(B0 - preB0) < 0.000000001 Then Exit DoLoopS = Sin(B0)C = Cos(B0)T = Tan(B0)T2 = T * Tn = a / Sqr(1 - e12 * S * S)ng2 = C * C * e12 / (1 - e12)V = Sqr(1 + ng2)yN = Y / nB = B0 - (yN * yN - (5 + 3 * T2 + ng2 - 9 * ng2 * T2) * yN * yN * yN * yN / 12# + (61 + 90 * T2 + 45 * T2 * T2) * yN * yN * yN * yN * yN * yN / 360#) * V * V * T / 2#End Function程序运行界面:检测数据:（1）、已知在北京坐标系下中央子午线：117度，纬度B：28度32分14.5秒，经度L：116度54分12.3秒正算求解北方向X、东方向Y值。

高斯投影坐标正反算及程序设计目录1研究背景和意义 (1)2正形投影的特性及其公式 (2)2.1正形投影特性 (2)2.2正形投影的一般条件 (2)3高斯坐标正反算公式 (6)3.1高斯投影正算 (6)3.2高斯坐标反算 (7)4使用matlab编写高斯坐标正反算函数 (10)4.1高斯坐标正算函数编写 (10)4.2高斯坐标反算函数编写 (13)5高斯坐标正反算程序的界面设计 (17)5.1单点换算模块的编写 (17)5.2批量换算模块的编写 (23)总结与讨论 (33)致谢 (34)参考文献 (34)附录A (35)1研究背景和意义高斯投影即高斯-克吕格投影这个投影是在1920年左右被拟定的，拟定者是德国人高斯，一位著名的数学家、物理学家、天文学家[1]，之后有又有一名叫克吕格的测量学家在1912 年对投影公式加以补充，所以这个投影的全称是高斯-克吕格投影，又名"等角横切椭圆柱投影”，是地球椭球面和平面间正形投影的一种。

即高斯投影是正形投影的一种，所以它具有正形投影的特点，即角度不变性、图形相似性以及在某点方向上长度比的同一性[2]。

而为了使投影区域的长度变形不致过大，采用的措施就是分带。

这样既保证了长度变形不致过大，又可以在不同的投影带里用一样的数学公式来进行各种大地问题的计算，且带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行[3]。

正是因为这种特点高斯投影被广泛应用到了测绘工作中。

虽然高斯投影作用非常广泛但是因为其复杂繁琐的计算过程往往需要通过程序设计来达到简化计算，提高效率目的。

本文所使用的MATLAB 软件编程技术广泛应用于测量数据处理领域，MATLAB是matrix&laboratory两个词的组合，意为矩阵工厂（矩阵实验室）。

是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境[4]。

它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，能够开发出界面友好、使用方便的图形界面[5]，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。

高斯投影正算与反算的理论方法与实现代码高斯投影是正形投影的一种，同一坐标系中的高斯投影换带计算公式是根据正形投影原理推导出的两个高斯坐标系间的显函数式。

在同一大地坐标系中(例如1954北京坐标系或1980西安坐标系)，如果两个高斯坐标系只是主子午线的经度不同，那么显函数式前的系数可以根据坐标系使用的椭球元素和主子午线经度唯一确定。

但如果两个高斯坐标系除了主子午线的经度不同以外，还存在其他线性系，则将线性变换公式代入换带计算的显函数式中，仍然可以得到严密的坐标变换公式。

此时显函数式前的系数等价于使用两个坐标系主子午线的经度和线性变换参数联合求解得到的，可以唯一确定。

//6度带宽 54北京坐标系//高斯投影由大地坐标(Unit:Metres)反算经纬度(Unit:DD)void GaussProjInvCal(double X, double Y, double *longitude, double *latitude) {int ProjNo; int ZoneWide; ////带宽double longitude1,latitude1, longitude0,latitude0, X0,Y0, xval,yval;double e1,e2,f,a, ee, NN, T,C, M, D,R,u,fai, iPI;iPI = 0.0174532925199433; ////3.1415926535898/180.0;a = 6378245.0; f = 1.0/298.3; //54年北京坐标系参数////a=6378140.0; f=1/298.257; //80年西安坐标系参数ZoneWide = 6; ////6度带宽ProjNo = (int)(X/1000000L) ; //查找带号longitude0 = (ProjNo-1) * ZoneWide + ZoneWide / 2;longitude0 = longitude0 * iPI ; //中央经线X0 = ProjNo*1000000L+500000L;Y0 = 0;xval = X-X0; yval = Y-Y0; //带内大地坐标e2 = 2*f-f*f;e1 = (1.0-sqrt(1-e2))/(1.0+sqrt(1-e2));ee = e2/(1-e2);M = yval;u = M/(a*(1-e2/4-3*e2*e2/64-5*e2*e2*e2/256));fai = u+(3*e1/2-27*e1*e1*e1/32)*sin(2*u)+(21*e1*e1/16-55*e1*e1*e1*e1/32)*sin( 4*u)+(151*e1*e1*e1/96)*sin(6*u)+(1097*e1*e1*e1*e1/512)*sin(8*u);C = ee*cos(fai)*cos(fai);T = tan(fai)*tan(fai);NN = a/sqrt(1.0-e2*sin(fai)*sin(fai));R = a*(1-e2)/sqrt((1-e2*sin(fai)*sin(fai))*(1-e2*sin(fai)*sin(fai))*(1-e2*sin (fai)*sin(fai)));D = xval/NN;//计算经度(Longitude) 纬度(Latitude)longitude1 = longitude0+(D-(1+2*T+C)*D*D*D/6+(5-2*C+28*T-3*C*C+8*ee+24*T*T)*D *D*D*D*D/120)/cos(fai);latitude1 = fai -(NN*tan(fai)/R)*(D*D/2-(5+3*T+10*C-4*C*C-9*ee)*D*D*D*D/24+(61+90*T+298*C+45*T*T-256*ee-3*C*C)*D*D*D*D*D*D/720);//转换为度 DD*longitude = longitude1 / iPI;*latitude = latitude1 / iPI;}//高斯投影由经纬度(Unit:DD)正算平面坐标(含带号，Unit:Metres)void GaussProjCal(double longitude, double latitude, double *X, double *Y) {int ProjNo=0; int ZoneWide; ////带宽double longitude1,latitude1, longitude0,latitude0, X0,Y0, xval,yval;double a,f, e2,ee, NN, T,C,A, M, iPI;iPI = 0.0174532925199433; ////3.1415926535898/180.0;ZoneWide = 6; ////6度带宽a=6378245.0; f=1.0/298.3; //54年北京坐标系参数////a=6378140.0; f=1/298.257; //80年西安坐标系参数ProjNo = (int)(longitude / ZoneWide) ;longitude0 = ProjNo * ZoneWide + ZoneWide / 2;longitude0 = longitude0 * iPI ;latitude0=0;longitude1 = longitude * iPI ; //经度转换为弧度latitude1 = latitude * iPI ; //纬度转换为弧度e2=2*f-f*f;ee=e2*(1.0-e2);NN=a/sqrt(1.0-e2*sin(latitude1)*sin(latitude1));T=tan(latitude1)*tan(latitude1);C=ee*cos(latitude1)*cos(latitude1);A=(longitude1-longitude0)*cos(latitude1);M=a*((1-e2/4-3*e2*e2/64-5*e2*e2*e2/256)*latitude1-(3*e2/8+3*e2*e2/32+45*e2*e2 *e2/1024)*sin(2*latitude1)+(15*e2*e2/256+45*e2*e2*e2/1024)*sin(4*latitude1)-(35 *e2*e2*e2/3072)*sin(6*latitude1));xval = NN*(A+(1-T+C)*A*A*A/6+(5-18*T+T*T+72*C-58*ee)*A*A*A*A*A/120);yval = M+NN*tan(latitude1)*(A*A/2+(5-T+9*C+4*C*C)*A*A*A*A/24+(61-58*T+T*T+600*C-330*ee)*A*A*A*A*A*A/720);X0 = 1000000L*(ProjNo+1)+500000L;Y0 = 0;xval = xval+X0; yval = yval+Y0;*X = xval;*Y = yval;}NN卯酉圈曲率半径，测量学里面用N表示M为子午线弧长，测量学里用大X表示fai为底点纬度，由子午弧长反算公式得到，测量学里用Bf表示R为底点所对的曲率半径，测量学里用Nf表示。

「高斯投影坐标正反算公式及适合电算的高斯投影公式」高斯投影坐标正反算公式是用于计算高斯投影坐标的数学公式。

高斯投影坐标是一种地理坐标系统，常用于测量和测绘工作中。

高斯投影坐标正算是指已知一个点的经纬度坐标，通过公式计算出该点的高斯投影坐标。

而高斯投影坐标反算是指已知一个点的高斯投影坐标，通过公式计算出该点的经纬度坐标。

一、高斯投影坐标正算公式：已知一个点的经纬度坐标(φ,λ)，其中φ为纬度，λ为经度，以及椭球体参数a、f和中央经线经度L0，可以通过以下步骤计算出该点的高斯投影坐标(X,Y)：1.计算扁率f'：f'=(a-b)/a其中，b=a*(1-f)是椭球体的短半轴。

2.计算黄赤交角ε：ε = atan(b / a)3.计算辅助量t：t = tan(π/4 - φ/2) / [(1 - f' * sin²φ)⁰.⁵ * (1 + e' *sinφ)⁰.⁵]其中，e'=f'*(2-f')是椭球体的第一偏心率。

4.计算辅助量η：η = e'^2 * cos²φ5.计算系数A、B、C和D：A = (L - L0) * cosφC = (L - L0) * cos⁵φ * (5 - tan²φ + 9e'^² + 4e'^⁴ - 24e'^² * tan²φ - 45e'^⁴ * tan²φ)D = (L - L0) * cos⁷φ * (61 - 58tan²φ + tan⁴φ + 270e'^² - 330e'^² * tan²φ)6.计算高斯坐标X和Y：X=k0*a*(A+B/2+C/4+D/6)Y=k0*a*(C/2+D/8)其中，k0是比例系数，一般情况下取1二、高斯投影坐标反算公式：已知一个点的高斯投影坐标(X,Y)，以及椭球体参数a、f、中央经线经度L0、比例系数k0和起始经度L1，可以通过以下步骤计算出该点的经纬度坐标(φ,λ)：1.计算扁率f'：f'=(a-b)/a其中，b=a*(1-f)是椭球体的短半轴。

计算器计算高斯投影坐标程序的编辑与应用摘要本文主要介绍多功能计算器计算高斯投影坐标程序串的编辑和应用,此文对广大贫困地区的广大工程技术人员一定有所裨益和帮助。

关键词高斯投影;正算反算;程序串;应用高斯投影,又称高斯-克吕格投影,也称横轴椭圆柱等角投影,就是将椭球面元素归算至高斯平面,其计算过程虽然比较复杂,随着计算机技术广泛使用,尤其是微型计算机技术和多功能函数计算器技术的广泛应用,解决这类数学问题,已是非常容易,本文将围绕多功能计算器讨论解算高斯投影坐标问题,电子计算机等计算内容不与涉及,虽然多功能计算器内存低,但若将其计算公式在一定的范围内进行适当的化简就可取代计算机而进行相同精度的计算,多功能计算器其优势为体积小,轻便,计算简捷,价格低等(200~500元/台)。

1 高斯投影正反算公式1.1 高斯投影正算即由大地坐标(B、L),计算平面坐标(x、y)(本文采用克拉索夫基斯椭球参数),正算公式如下:B为纬度,L为经度,N:卯酉圈曲率半径。

该公式的计算精度,即平面坐标可达0. 001m1.2 高斯投影反算即由平面坐标(x,y)计算大地坐标(B,L)(采用克拉索夫斯基椭球参数)。

反算公式如下:该公式的计算精度,即大地坐标可达0.0001″2 高斯投影坐标程序串编写由于多功能电子计算器内存一般较小,为利用实际内存,减少字节量输入,本文只把大地坐标(B、L)或平面坐标(X、Y)数据互列函数,其他除了所求平面坐标(X、Y)或大地坐标(B、L)外,其它均设为过渡函数,按要求分配到计算器的各个子程序中(考虑到计算器的功能和字母表示的意义,各个不同字母所表示的字符串的意义不同)。

2.1 高斯投影坐标正算程序串2.2 高斯投影坐标反算程序串3 高斯投影坐标计算程序的应用(以CASIO-fx-4500PA为例)3.1 正算已知B=31°04′41.68″L=111°47′24.90″求得x=3439978.970Y=19575412.872。