江苏省南通市海安县2019-2020学年高二上学期第二次月考数学试卷

2020届高三年级阶段检测（二）数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.设集合{}1,3A =，{}2230B x x x =--<，则A B =I ____________.2.已知z i 12i ⋅=+（i 为虚数单位），则复数z =__________.3.命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______________.4.袋中有形状和大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．现从中一次随机摸出两只球，则这两只球颜色不同的概率为____________.5.“sin cos 0αα+=”是“cos20α=”的__________条件.（填写“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）6.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若28365262a a a a S ==-，，则1a 的值为__________.7.若幂函数()a f x x =的图象经过点)12，则其单调递减区间为___________. 8.若函数()sin f x x x ωω= (x ∈R ，0ω>)满足()()02f f αβ==，，且||αβ-的最小值等于2π，则ω的值为___________. 9.已知函数()2241020ax x x f x x bx c x ⎧--≥⎪=⎨++<⎪⎩，，，是偶函数，直线y t =与函数()y f x =的图象自左向右依次交于四个不同点A ，B ，C ，D .若AB BC =，则实数t 的值为______________.10.设集合{}1 A a =-，，,2a e B e ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭（其中e 是自然对数的底数），且A B ≠∅I ，则满足条件的实数a 的个数为_______________.11.已知过原点O 的直线与函数()3xf x =的图象交于A ，B 两点，点A 在点O ，B 之间，过A 作平行于y轴的直线交函数()9xg x =的图象于C 点，当BC ∥x 轴时，点A 的横坐标为_____________.12.设点P 在函数()1e 2xf x =的图象上，点Q 在函数()()ln 2g x x =的图象上，则线段PQ 长度的最小值为__________________.13.设()f x 为偶函数，且当(]20x ∈-，时，()()2f x x x =-+；当[)2x ∈+∞，时，()()()2f x a x x =--.关于函数()()g x f x m =-的零点，有下列三个命题：①当4a =时，存在实数m ，使函数()g x 恰有5个不同的零点； ②若[]01m ∀∈，，函数()g x 的零点不超过4个，则2a ≤；③对()1m ∀∈+∞，，()4a ∃∈+∞，，函数()g x 恰有4个不同的零点，且这4个零点可以组成等差数列. 其中，正确命题的序号是_________________.14.已知函数()2211x kx f x x x ++=++，若对于任意正实数123,,x x x ，均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边边长的三角形，则实数k 的取值范围是_______________.二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分14分）已知集合{}220A x x x =-->，集合(){}222550B x x k x k =+++<，k R ∈.（1）求集合B ；（2）记M A B =I ，且集合M 中有且仅有一个整数，求实数k 的取值范围. 16.（本小题满分14分） 已知π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，ππ2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，1cos 3β=-，()7sin 9αβ+=.（1）求sin α的值； （2）求()tan +2βα的值.17.（本小题满分14分）设数列{}n a ，{}n b 的各项都是正数，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且对任意N n *∈，都有22n n n a S a =-，1b e =，21n n b b +=，ln n n n c a b =⋅（e 是自然对数的底数）.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n c 的前n 项和n T . 18.（本小题满分16分）已知矩形纸片ABCD 中，6,12AB AD ==，将矩形纸片的右下角沿线段MN 折叠，使矩形的顶点B 落在矩形的边AD 上，记该点为E ，且折痕MN 的两端点M ，N 分别在边,AB BC 上.设,MNB MN l θ∠==，EMN ∆的面积为S .（1）将l 表示成θ的函数，并确定θ的取值范围；（2）求l 的最小值及此时sin θ的值；（3）问当θ为何值时，EMN ∆的面积S 取得最小值？并求出这个最小值.19.（本小题满分16分）已知函数()y f x =.若在定义域内存在0x ，使得()()00f x f x -=-成立，则称0x 为函数()y f x =的局部对称点.（1）若a ，b ∈R 且a ≠0，证明：函数()2f x ax bx a =+-有局部对称点；（2）若函数()2xg x c =+在定义域[]1,1-内有局部对称点，求实数c 的取值范围；（3）若函数()12423xx h x m m +=-⋅+-在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围.20.（本小题满分16分） 已知函数()ln f x x =.（1）求函数()()1g x f x x =-+的零点； （2）设函数()f x 的图象与函数1ay x x=+-的图象交于()11A x y ，，()()1112B x y x x <，两点，求证：121a x x x <-；（3）若0k >，且不等式()()()2211x f x k x --≥对一切正实数x 恒成立，求k 的取值范围.数学Ⅱ21.本大题共两小题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.B.选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵()001a k A k ⎡⎤=≠⎢⎥⎣⎦的一个特征向量为1k α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，A 的逆矩阵1A －对应的变换将点()3,1变为点()1,1.求实数a ，k 的值.A MBNC DEC.（选修4—4：坐标系与参数方程）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=.以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为1212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段长度.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分10分）如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB ==，点M ，N 分别在线段PA 和BD 上，13BN BD =.（1）若13PM PA =，求证：MN AD ⊥； （2）若二面角M BD A --的大小为π4，求线段MN 的长度.23.（本小题满分10分）在一次电视节目的答题游戏中，题型为选择题，只有“A ”和“B ”两种结果，其中某选手选择正确的概率为p ，选择错误的概率为q ，若选择正确则加1分，选择错误则减1分，现记“该选手答完n 道题后总得分为n S ”.（1）当12p q ==时，记3S ξ=，求ξ的分布列及数学期望； （2）当13p =，23q =时，求82S =且()01234i S i ≥=，，，的概率.江苏省海安高级中学2020届第二次学测参考答案数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 1.答案：{}1 2.答案：2z i =- 3.答案：20,210x x x ∀<--≤ 4.答案：565.答案：充分不必要6.答案：-27.答案：()0,+∞8.答案：19.答案：52-10.答案：2 1l.答案：3log 212.)1ln 2-13.答案：①②③14.答案：1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15.（本小题满分14分）解：（1）因为22(25)50x k x k +++<，所以(25)()0x x k ++<. 当52k -<-即52k >时，5,2B k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；………………………………………………………2分当52k -=-即52k =时，B =∅；………………………………………………………………4分 当52k ->-即52k <时，5,2B k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.……………………………………………………6分 （2）由220x x -->得()(),12,x ∈-∞-+∞U ，…………………………………………8分 当52k -<-即52k >时，M 中仅有的整数为-3， 所以43k -≤-<-，即(]3,4k ∈；………………………………………………………………10分 当52k ->-即52k <时，M 中仅有的整数为-2， 所以23-<-≤时，即[)3,2k ∈-；………………………………………………………………12分 综上，满足题意的k 的范围为[)(]3,23,4-U ………………………………………………14分 16.（本小题满分14分） 解：（1）因为1,,cos 23πβπβ⎛⎫∈=-⎪⎝⎭，所以sin 3β===………………………………………………2分又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故3,22ππαβ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，从而cos()αβ+===，………………………………4分所以sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ=+-=+-+711933⎛⎛⎫=⨯--= ⎪ ⎝⎭⎝⎭……………………………………………………………6分（2）由（1）得，1sin ,0,32παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，故cos 3α===，所以sin tan cos 4ααα==…………………………………………………………8分因为22222222cos sin 1tan 222cos cos sin 22cos sin 1tan 222βββββββββ--=-==++，且1cos 3β=-， 所以221tan 1231tan 2ββ-=-+，解得2tan 22β=， 因为,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,242βππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而tan 02β>，所以tan2β=…………………………………………………………………………12分故tan tan24tan 121tan tan 122βαβαβα+⎛⎫+=== ⎪⎝⎭-⋅-………………………………14分17.（本小题满分14分）解：（1）因为0n a >，22n n n a S a =-，①当1n =时，21112a S a =-，解得11a =；……………………………………………………2分当2n ≥时，有21112n n n a S a ---=-，②由①-②得，()()2211112(2)n n n n n n n n a a S S a a a a n -----=---=+≥.而0n a >，所以11(2)n n a a n --=≥，…………………………………………………………4分 即数列{}n a 是公差为1的等差数列，故n a n =………………………………………………6分又因为21n n b b +=，且0n b >，取自然对数得1ln 2ln n n b b +=，又因为1ln ln 1b e ==，所以1ln 2ln n nb b +=， 所以{}ln n b 是1为首项，以2为公比的等比数列，所以1ln 2n n b -=，即12n n b e -=…………………………………………………………………………8分（2）由（1）知，1ln 2n n n n c a b n -==⨯，………………………………………………………10分 所以1221112(2)3(2)(1)(2)(2)n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L ，③123121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)n n n T n n -⨯=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L ，④③减去④得：2112222n nn T n --=++++-⨯L ，所以(1)21nn T n =-⋅+…………………………………………………………………………14分18.（本小题满分16分）解：（1）,2ENM MNB EMA θθ∠=∠=∠=.故cos ,sin ,cos 2sin cos 2NB l MB ME l AM ME l θθθθθ=====.因为6AM MB +=，所以sin cos2sin 6l l θθθ+=，…………………………………………2分 从而263sin (cos 21)sin cos l θθθθ==+………………………………………………………4分又12BN ≤，6BM ≤，所以124ππθ≤≤，所以23sin cos 124l ππθθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭…………………6分 （2）记()2sin cos ,124f ππθθθθ=≤≤，则224()sin cos f θθθ=.记22212cos ,()(1),,24x f x x x θθ⎡+==-∈⎢⎣⎦.记2()(1)g x x x =-，则2()23g x x x '=-，令212()0,,324g x x ⎡+'==∈⎢⎣⎦.所以()g x 在12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在22,34⎡⎢⎣⎦上单调递减，………………………………8分故当22cos 3x θ==时l 取最小值，此时sin 3θ=，l .………………10分（3）EMN ∆的面积23191sin cos 22sin cos 124S l ππθθθθθ⎛⎫==⨯≤≤ ⎪⎝⎭，从而2268114sin cos S θθ=⨯设21cos ,1242t t ππθθ⎛⎫=≤≤≤≤ ⎪⎝⎭，………………12分 记323()(1),()34f t t t f t t t '=-=-令3()0,4f t t '==.()f t 在1,234⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在2,434⎡+⎢⎣⎦上单调递减，故当23cos 4t θ==，记6πθ=时，面积S 取最小值为15分 答：略…………………………………………………………………………………………16分19.（本小题满分16分）解：（1）由()2f x ax bx a =+-得()2f x ax bx a -=--，代入()()0f x f x -+=得，()()220ax bx a ax bx a +-+--=，………………………………2分 得到关于x 的方程20(0)ax a a -=≠，由于a R ∈且0a ≠，所以1x =±，所以函数()2(0)f x ax bx a a =+-≠必有局部对称点……………………………………………4分（2）方程2220x x c -++=在区间[]1,1-上有解，于是222x x c --=+，设12(11),22x t x t =-≤≤≤≤，所以12c t t-=+…………………………………………………6分 令11(),22s t t t t =+≤≤，则221(1)(1)()1t t s t t t -+'=-=，当1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0s t '<，故函数()s t 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 同理函数()s t 在区间()1,2上单调递增，所以1522t t ≤+≤， 所以514c -≤≤-………………………………………………………………………………10分 （3）12()423xx h x m m --+-=-⋅+-，由于()()0h x h x -+=，所以()1212423423x x x x m m m m --++-⋅+-=--⋅+-于是()()()244222230x x x x m m --+-++-=（*）在R 上有解，……………………12分 令22(2)xxt t -+=≥，则2442x x t -+=-，所以方程（*）变为222280t mt m -+-=在区间[)2,+∞内有解， 需满足条件：()2248402m m ⎧∆=--≥≥即1m m ⎧-≤≤⎪⎨-≤≤⎪⎩得1m ≤≤16分 20.（本小题满分16分）解：（1）令()ln 1g x x x =-+，所以11()1xg x x x-'=-=. 当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 在()0,1上单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 在()1,+∞上单调递减；所以max ()(1)0g x g ==，所以()g x 的零点为1x =………………………………………………2分（2）因为111222ln 1ln 1a x x x a x x x ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，所以211221ln ln 1x x a x x x x ⎛⎫-=⋅- ⎪-⎝⎭，………………………………4分要证121a x x x <-，即证211212121ln ln 1x x x x x x x x x ⎛⎫-⋅-<- ⎪-⎝⎭，即证2112ln 1x x x x ⎛⎫>-⎪⎝⎭，令2111,ln 1x t t x t =>>-……………………………………………………6分 由（1）知ln 1x x ≤-，当且仅当1x =取等，所以11ln 1t t<-，即1ln 1t t>-，所以原不等式成立.…………………………………………………………………8分 （3）不等式()221ln (1)x x k x -≥-对一切正实数x 恒成立. 因为()()222(1)1ln (1)1ln 1k x x x k x x x x -⎡⎤---=--⎢⎥+⎣⎦…………………………………………10分 设222(1)122(1)1()ln ,()1(1)(1)k x k x k x h x x h x x x x x x -+-+'=-=-=+++. 记22()2(1)1,4(1)44(2)x x k x k k k ϕ=+-+∆=--=-， ①当0∆≤，即02k <≤时，()0h x '≥恒成立，故()h x 单调递增.于是当01x <<时，()()10h x h <=，又210x -<，故()221ln (1)x x k x ->-， 当1x >时，()()10h x h >=，又210x ->，故()221ln (1)x x k x ->-， 又当1x =时，()221ln (1)x x k x -=-.因此当02k <≤时，()221ln (1)x x k x -≥-对一切正实数x 恒成立.…………………………12分 ②当0∆>，即2k >时，设22(1)10x k x +-+=的两个不等实根分别为()3434,x x x x <.又()1420k ϕ=-<，于是3411x k x <<-<.故当()1,1x k ∈-时，()0h x '<，从而()h x 在()1,1k -在单调递减；当()1,1x k ∈-时，()()10h x h <=，此时210x ->，于是()21()0x h x -<，即()221ln (1)x x k x -<-，舍去；…………………………………………………………15分 综上，k 的取值范围是02k <≤.…………………………………………………………16分数学Ⅱ21.本大题共两小题，每小题10分，共计20分. B.选修4-2：矩阵与变换 解：设特征向量为1k α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦对应的特征值为λ， 则0111a k k k λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1ak k k λλ-=⎧⎨=⎩， 因为0k ≠，所以2a =.………………………………………………………………………………5分 因为13111A -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以1311A ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即2130111k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以23k +=，解得1k =，综上，2a =，1k =.……………………………………………………………………………………10分 C.（选修4-4：坐标系与参数方程）解：将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2240x y y +-=，即22(2)4x y +-=，它表示以()0,2为圆心，2为半径的圆，…………………………………………4分直线方程l 的普通方程为1y =+，……………………………………………………………………6分 圆C 的圆心到直线l 的距离12d =，……………………………………………………………………8分故直线l 被曲线C 截得的线段长度为=…………………………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 22.（本小题满分10分）证明：连接,AC BD 交于点O ，以OA 为x 轴正方向，以OB 为y 轴正方向，OP 为z 轴建立空间直角坐标系.因为PA AB ==，则(1,0,0), (0,1,0), (0,1,0), (0,0,1)A B D P -.（1）由13BN BD =u u u r u u u r ，得10,,03N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由13PM PA =u u u u r u u u r ，得12,0,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以112,,,(1,1,0)333MN AD ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u u r u u u r . 因为0MN AD ⋅=u u u u r u u u r ，所以MN AD ⊥.…………………………………………………………4分（2）因为M 在PA 上，可设PM PA λ=u u u u r u u u r ，得(,0,1)M λλ-.所以(,1,1),(0,2,0)BM BD λλ=--=-u u u u r u u u r设平面MBD 的法向量(),,n x y z =r ，由00n BD n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r ，得20(1)0y x y z λλ-=⎧⎨-+-=⎩， 其中一组解为1,0,x y z λλ=-==，所以可取(1,0,)n λλ=-r ………………………………………8分因为平面ABD 的法向量为()0,0,1OP =u u u r ， 所以cos 4||||n OP n OP π⋅=r u u u r r u u u r，即2=，解得12λ=， 从而111,0,,0,,0223M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以6MN ==………………………………………………10分 23.（本小题满分10分）解：（1）ξ的取值为3，-1，1，3，又因为12p q ==；……………………………………………1分 故311(3)28P ξ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，311(3)28P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 223113(1)228P C ξ⎛⎫=-=⨯⨯= ⎪⎝⎭；223113(1)228P C ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，…………………………………3分 所以ξ的分布列为：所以1331()(3)(1)308888E ξ=-⨯+-⨯++⨯=；……………………………………………………5分 （2）当82S =时，即答完8题后，正确的题数为5题，错误的题数是3题，…………………6分 又已知0(1,2,3,4)i S i =≥，第一题答对，若第二题回答正确，则其余6题可任意答对3题；若第二题回答错误，第三题回答正确，则后5题可任意答对题，………………………………8分此时的概率为()5333658712308803333P C C ⨯⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（或802187）.……………………10分。

江苏省海安高级中学2019-2020学年度第一学期第二次阶段检测高二数学试卷一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，两个都选对但不全的得2分，有选错或只选一个或不选的不得分． 1． 命题“0x ∀＞，20x x +≥”的否定是（ ）A ．0x ∀＞，20x x +＜B ．0x ∀＞，20x x +≤C ．00x ∃＞，2000x x +＜D ．00x ∃＞，2000x x +≤2． 在△ABC 中，AC ＝3，AB ＝4，BC ＝6，则△ABC 的最大内角的余弦值为（ ）A ．4348B ．14-C ．712-D ．1124-3． 若{}n a 是首项为1的等比数列，则“869a a ＞”是“23a ＞”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4． 已知函数()11f x x +＝，则()12f '-＝（ ）A ．4B ．1C ．－4D ．14-5． 若数列{}n a 的通项公式是()()132nn a n --＝，则1210a a a +++＝（ ）A ．15B ．12C ．－12D ．－156． 已知椭圆22195y x +＝的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（ ）A B C ． D ．27． 已知△ABC 的顶点分别为()1,1,2A -，()5,6,2B -，()1,3,1C -，则AC 边上的高BD 等于（ ）A ．5BC ．4D ．8． 直三棱柱111ABC A B C -中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，BC ＝CA ＝1CC ，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）A ．110B ．25C D9． 已知1F 、2F 是双曲线C ：22221y x a b-＝（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若直线y 与双曲线C 在第一象限交于点P ，过P 向x 轴作垂线，垂足为D ，且D 为2OF （O 为坐标原点）的中点，则该双曲线离心率为（ ）A B C 1 D 1+10．设函数()m f x x ax +＝的导数为()21f x x '+＝，则数列()1f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（n *∈N ）的前n 项和是（ ）A ．1n n +B ．21n n ++C ．1n n -D ．1n n +11．下列结论正确的是（ ）A ．若22a b ＞，则11a b ＜B ．若x ＞0，则44x x+≥C ．若a ＞b ＞0，则lg lg a b ＞D ．若ab ＞0，a ＋b ＝1，则114a b+≥12．在正方体1111ABCD A B C D -中，下列直线或平面与平面1ACD 平行的是（ ）A ．直线1AB B ．直线1BBC ．平面11A DCD ．平面11A BC 【答案】AD13．若函数()e 1x f x -＝与()g x ax ＝的图象恰有一个公共点，则实数a 可能取值为（ ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．－1若函数()322f x x ax -＝（a ＜0）在()6,23a a +上有最大值，则a 的取值可能为（ ）A ．－6B ．－5C ．－4D ．－3二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中的横线上．14．若0＜x ＜1，则181x x+-的最小值为 ▲ ．已知等差数列{}n a 满足：2355a a a +＝＝，n *∈N ，则数列sin π2na⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭的前2019项和等于 ▲ ．15．设函数()e ln x f x a b x +＝，且()1e f '＝，()12f 'a ＋b ＝ ▲ ．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积S ，222sin sin sin sin sin A B C A B ++＝，则c 的取值范围为 ▲ ．16．已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝2，则三棱锥P －ABC 的外接球与内切球的半径比为 ▲ ．17．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则自上而下的第1节的容积为 ▲ ，这9节竹子的总容积为 ▲ ． 三、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）已知命题p ：“11x ∀-≤≤，不等式20x x m --＜成立”是真命题． （1）求实数m 的取值范围；（2）若q ：－4＜m －a ＜4是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分14分）设函数()1f x ax x b++＝（a ，b ∈Z ），曲线()y f x ＝在点()()2,2f 处的切线方程为y ＝3．（1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x ＝上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．20．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231n n S a -＝． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()()1311nn n n b a a +++＝，求{}n b 的前n 项和n T ，并比较n T 与1316的大小．AB()C H ()D G EF图1 B C D EFHGA 图2图1是由菱形ABCD ，平行四边形ABEF 和矩形EFGH 组成的一个平面图形，其中AB BE ＝EH ＝1，π3ABC ∠＝，π4ABE ∠＝，将其沿AB ，EF 折起使得CD 与HG 重合，如图2．（1）证明：图2中的平面BCE ⊥平面ABEF ； （2）求图2中点F 到平面BCE 的距离； （3）求图2中二面角E －AB －C 的余弦值．22．（本小题满分14分）已知抛物线C ：22x py ＝（0＜p ＜2）的焦点为F ，()02,M y 是C 上的一点，且52MF ＝．（1）求C 的方程；（2）直线l 交C 于A 、B 两点，2OA OB k k ⋅-＝且△OAB 的面积为16，求直线l 的方程．已知椭圆C：22214yxa+＝（a＞2），直线l：y＝kx＋1（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点（O为坐标原点）．（1）若直线l与直线OD的斜率之积为12-，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M，使得当k变化时，总有AMO BMO∠∠＝．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．某市城郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别用x表示y及S的函数关系式，并给出定义域；（2）请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积S最大，并求出最大值江苏省海安高级中学2019-2020学年度第一学期第二次阶段检测高二数学试卷1． 【答案】C 2． 【答案】D 3．【答案】B 4． 【答案】C 5． 【答案】A 6．【答案】A 7．【答案】A 8． 【答案】C 9． 【答案】D 10．【答案】A 11．【答案】BCD 12．【答案】AD 13．【答案】BCD若函数()322f x x ax -＝（a ＜0）在()6,23a a +上有最大值，则a 的取值可能为（ ）A ．－6B ．－5C ．－4D ．－3 【答案】ABC14．若0＜x ＜1，则181x x+-的最小值为 ▲ ．【答案】9+已知等差数列{}n a 满足：2355a a a +＝＝，n *∈N ，则数列sin π2na⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭的前2019项和等于 ▲ ．【答案】015．设函数()e ln x f x a b x +＝，且()1e f '＝，()12f 'a ＋b ＝ ▲ ．【答案】1在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积S ，222sin sin sin sin sin A B C A B ++＝，则c 的取值范围为 ▲ ．【答案】c ≥216．已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝2，则三棱锥P －ABC 的外接球与内切球的半径比为 ▲ ．【答案】)31217．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则自上而下的第1节的容积为 ▲ ，这9节竹子的总容积为 ▲ ．【答案】1322升 20122升18．（本小题满分12分）已知命题p ：“11x ∀-≤≤，不等式20x x m --＜成立”是真命题． （1）求实数m 的取值范围；（2）若q ：－4＜m －a ＜4是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知30A ＝，a ＝8，b ＝ （1）求tan B ；（2）若△ABC 不是直角三角形，求△ABC 的面积． 【答案】19．（本小题满分14分）设函数()1f x ax x b++＝（a ，b ∈Z ），曲线()y f x ＝在点()()2,2f 处的切线方程为y ＝3．（1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x ＝上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值． 【答案】(1)f ′(x )＝a －1(x ＋b )2，于是⎩⎨⎧2a ＋12＋b ＝3，a －1(2＋b )2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，或⎩⎨⎧a ＝94，b ＝－83.因为a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋1x －1. (2)证明：在曲线上任取一点⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋1x 0－1，由f ′(x 0)＝1－1(x 0－1)2知，过此点的切线方程为y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎡⎦⎤1－1(x 0－1)2(x －x 0)．令x ＝1，得y ＝x 0＋1x 0－1，切线与直线x ＝1的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1；令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)；直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)，从而所围成的三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1|2x 0－1－1|＝12⎪⎪⎪⎪2x 0－1|2x 0－2|＝2.所以所围成的三角形的面积为定值2.已知函数()e ax f x x a -⋅＝（a ＞0）．（1）求曲线()y f x ＝在点()()0,0f 处的切线方程； （2）若()0f x ＜恒成立，求a 的取值范围． 【答案】20．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231n n S a -＝．AB()C H ()D G EF图1BC DEFHGA图2（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()()1311n n n n b a a +++＝，求{}n b 的前n 项和n T ，并比较n T 与1316的大小．【答案】21．（本小题满分14分）图1是由菱形ABCD ，平行四边形ABEF 和矩形EFGH 组成的一个平面图形，其中AB BE ＝EH ＝1，π3ABC ∠＝，π4ABE ∠＝，将其沿AB ，EF 折起使得CD 与HG 重合，如图2．（1）证明：图2中的平面BCE ⊥平面ABEF ； （2）求图2中点F 到平面BCE 的距离； （3）求图2中二面角E －AB －C 的余弦值．【答案】（1）由题知，在BEC ∆中：222BC EC BE =+ 所以BE CE ⊥ ····································· 2分又在矩形EFGH 中：EF CE ⊥ ······· 3分 且E BE EF =所以⊥CE 平面ABEF ······················· 4分 又因为⊂CE 平面BCE所以平面⊥BEC 平面ABEF ············ 5分 （2）由（1）知：⊥CE 平面ABEF ，所以CE AE ⊥因为菱形ABCD 中的3ABC π∠=，所以ABC ∆为等边三角形，AC AB ==， 所以在Rt AEC ∆中：222||=||||1,1AE AC CE AE -== ······················································ 6分所以在AEB ∆中，222||=||||,AB AE BE AE BE +⊥ ······························································ 7分 又因为平面⊥BCE 平面ABEF ，且平面 BCE 平面BE ABEF =所以AE ⊥平面BCE ············································································································· 8分又因为//AF 平面BCE ，所以点F 到平面BCE 的距离为||1AE = ································· 9分 （3）以E 为坐标原点，分别以EA EC EB 、、为z y x 、、轴建立空间直角坐标系E xyz - 所以)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,0(A C B E ······································································· 10分 由（1）知平面ABE 的法向量为(0,1,0)m EC ==, ························································ 11分 设平面ABC 的法向量(,,)n x y z =，因为(1,0,1)BA =-，(1,1,0)BC =- 由00n BA n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得⎩⎨⎧=+-=+-00y x z x ，取1x =得，(1,1,1)n = ············································· 12分 所以||3cos ||||m n m n θ⋅==，即二面角C AB E -- 14分22．（本小题满分14分）已知抛物线C ：22x py ＝（0＜p ＜2）的焦点为F ，()02,M y 是C 上的一点，且52MF ＝． （1）求C 的方程；（2）直线l 交C 于A 、B 两点，2OA OB k k ⋅-＝且△OAB 的面积为16，求直线l 的方程【答案】（1）将M （2，y 0）代入x 2＝2py 得y 0＝，又|MF|＝y0﹣（﹣）＝+＝，∴p＝1，∴抛物线的方程为x2＝2y，-------5分（2）直l的斜率显然存在，设直线l：y＝kx+b，A（x1，y1）、B（x2，）由得：x2﹣2kx﹣2b＝0∴x1+x2＝2k，x1x2＝﹣2b由，k OA k OB＝•＝＝﹣＝﹣2，∴b＝4∴直线方程为：y＝kx+4，所以直线恒过定点（0，4），原点O到直线l的距离d＝，∴S OAB＝×d|AB|＝ו＝＝2＝16，∴4k2+32＝64，解得k＝±2所以直线方程为：y＝±2x+4．---------14分23．（本小题满分14分）已知椭圆C：22214yxa+＝（a＞2），直线l：y＝kx＋1（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点（O为坐标原点）．（1）若直线l与直线OD的斜率之积为12-，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M，使得当k变化时，总有AMO BMO∠∠＝．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）由得，显然，设，，，则，，∴，.∴.∴.所以椭圆方程为.-------6分（2）假设存在定点，且设，由得.∴.即，∴.由（1）知，，∴.∴.所以存在定点使得.------14分某市城郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别用x表示y及S的函数关系式，并给出定义域；（2）请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积S 最大，并求出最大值【答案】（1）由已知30003000,,xy y x=∴=其定义域是(6,500).……………2分 (4)(6)(210),S x a x a x a =-+-=-150015000(210)(3)30306S x x x x∴=--=--,其定义域是(6,500).……………6分 （2）150003030(6)3030303023002430,S x x x x =-+≤-=-⨯=………9分当且仅当15000=6x x，即50(6,500)x =∈时，上述不等式等号成立， 此时，max 5060,2430.x y S ===，………………………………………11分答：设计50m 60m x y ，== 时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米. ……12分 已知函数)(1ln )(R a xx a x f ∈-=。

2020年江苏省南通市海安高级中学高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若a<b<0，c>d>0，则一定有()A.>B.<C.>D.＜参考答案：D2. 已知集合A={0，1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则A∩B=（）A．{0，2} B．{1，0} C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】化简集合B，求出A∩B即可．【解答】解：集合A={0，1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0}={x|﹣1＜x＜2}，所以A∩B={0，1}．故选：B．3. 已知正四棱柱中，=，为中点，则异面直线与所形成角的余弦值为( )（A） (B) (C) (D) .参考答案：C略4. 已知的二项展开式中常数项为1120，则实数a的值是（）A －1 B. 1 C. －1或1 D. 不确定参考答案：C【分析】列出二项展开式的通项公式，可知当时为常数项，代入通项公式构造方程求得结果.【详解】展开式的通项为：令，解得：，解得：本题正确选项：C【点睛】本题考查根据二项展开式指定项的系数求解参数值的问题，属于基础题.5. 如果满足∠ABC=60 , AC=12, BC=k的△ABC恰有一个, 那么k的取值范围是(A)k=8(B)0＜k≤12(C)k≥12(D)0＜k≤12或k=8参考答案：D6. 平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2， ?=4，点P在边CD上，则?的取值范围是（）A．[﹣1，8] B．[﹣1，+∞）C．[0，8] D．[﹣1，0]参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先根据向量的数量积的运算，求出A=60°，再建立坐标系，得到?=x（x﹣4）+3=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，构造函数f（x），利用函数的单调性求出函数的值域m，问题得以解决．【解答】解：∵AB=4，AD=2， ?=4，∴||?||cosA=4，∴cosA=，∴A=60°，以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂线为y轴，建立如图所示的坐标系，∴A（0，0），B（4，0），D（1，），设P（x，），则1≤x≤5，∴=（﹣x，﹣），=（4﹣x，﹣），∴?=x（x﹣4）+3=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，设f（x）=（x﹣2）2﹣1，∴f（x）在[1，2）上单调递减，在[2，5]上单调递增，∴f（x）min=f（2）=﹣1，f（x）max=f（5）=8，∴?的取值范围是[﹣1，8]，故选：A．7. 设，且，则下列结论中正确的是（）A. B. C.D.参考答案：A8. 等差数列{a n}前n项和为S n，公差d=﹣2，S3=21，则a1的值为（）A．10 B．9 C．6 D．5参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【分析】直接运用等差数列的求和公式，计算即可得到所求值．【解答】解：公差d=﹣2，S3=21，可得3a1+×3×2×（﹣2）=21，解得a1=9，故选：B．【点评】本题考查等差数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．9. 若抛物线的焦点是的一个焦点，则p=（）A. 2B. 4C. 6D. 8参考答案：D【分析】根据焦点定义形成等式解得答案.【详解】若抛物线的焦点是的一个焦点故答案选D【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的焦点，属于基础题型.10. 已知正三棱锥P﹣ABC的高PO为h，点D为侧棱PC的中点，PO与BD所成角的余弦值为，则正三棱锥P﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】利用异面直线所成的角，得到底面边长与高h的关系，易求，V P﹣ABC===．【解答】解：设底面边长为a，连接CO交AB于F，过点D作DE∥PO交CF于E，连接BE，则∠BDE即PO与BD所成角，∴cos∠BDE=，∵PO⊥面ABC，∴DE⊥面ABC，∴△BDE是直角三角形，∵点D为侧棱PC的中点，∴DE=h，∴BE=h，在正三角形ABC中，BF=a，EF=CF=a，在Rt△BEF中，BE2=EF2+BF2，∴，∴V P﹣ABC===故选：C．【点评】本题考查了异面直线所成的角，三棱锥的体积，充分利用线面的位置关系，考查空间想象能力，计算能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 对于平面上的点集，如果连接中任意两点的线段必定包含于，则称为平面上的凸集。

江苏省海安高级中学2019-2020学年度第一学期第二次阶段检测高二数学试卷一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，两个都选对但不全的得2分，有选错或只选一个或不选的不得分． 1． 命题“0x ∀＞，20x x +≥”的否定是（ ）A ．0x ∀＞，20x x +＜B ．0x ∀＞，20x x +≤C ．00x ∃＞，2000x x +＜D ．00x ∃＞，2000x x +≤2． 在△ABC 中，AC ＝3，AB ＝4，BC ＝6，则△ABC 的最大内角的余弦值为（ ）A ．4348B ．14-C ．712-D ．1124-3． 若{}n a 是首项为1的等比数列，则“869a a ＞”是“23a ＞”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4． 已知函数()11f x x +＝，则()12f '-＝（ ）A ．4B ．1C ．－4D ．14-5． 若数列{}n a 的通项公式是()()132nn a n --＝，则1210a a a +++＝（ ）A ．15B ．12C ．－12D ．－156． 已知椭圆22195y x +＝的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（ ）A B C ． D ．27． 已知△ABC 的顶点分别为()1,1,2A -，()5,6,2B -，()1,3,1C -，则AC 边上的高BD 等于（ ）A ．5BC ．4D ．8． 直三棱柱111ABC A B C -中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，BC ＝CA ＝1CC ，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）A ．110B ．25C D9． 已知1F 、2F 是双曲线C ：22221y x a b-＝（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若直线y 与双曲线C 在第一象限交于点P ，过P 向x 轴作垂线，垂足为D ，且D 为2OF （O 为坐标原点）的中点，则该双曲线离心率为（ ）A B C 1 D 1+10．设函数()m f x x ax +＝的导数为()21f x x '+＝，则数列()1f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（n *∈N ）的前n 项和是（ ）A ．1n n +B ．21n n ++C ．1n n -D ．1n n +11．下列结论正确的是（ ）A ．若22a b ＞，则11a b ＜B ．若x ＞0，则44x x+≥C ．若a ＞b ＞0，则lg lg a b ＞D ．若ab ＞0，a ＋b ＝1，则114a b+≥12．在正方体1111ABCD A B C D -中，下列直线或平面与平面1ACD 平行的是（ ）A ．直线1AB B ．直线1BBC ．平面11A DCD ．平面11A BC 【答案】AD13．若函数()e 1x f x -＝与()g x ax ＝的图象恰有一个公共点，则实数a 可能取值为（ ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．－1若函数()322f x x ax -＝（a ＜0）在()6,23a a +上有最大值，则a 的取值可能为（ ）A ．－6B ．－5C ．－4D ．－3二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中的横线上．14．若0＜x ＜1，则181x x+-的最小值为 ▲ ．已知等差数列{}n a 满足：2355a a a +＝＝，n *∈N ，则数列sin π2na⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭的前2019项和等于 ▲ ．15．设函数()e ln x f x a b x +＝，且()1e f '＝，()12f 'a ＋b ＝ ▲ ．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积S ，222sin sin sin sin sin A B C A B ++＝，则c 的取值范围为 ▲ ．16．已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝2，则三棱锥P －ABC 的外接球与内切球的半径比为 ▲ ．17．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则自上而下的第1节的容积为 ▲ ，这9节竹子的总容积为 ▲ ． 三、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）已知命题p ：“11x ∀-≤≤，不等式20x x m --＜成立”是真命题． （1）求实数m 的取值范围；（2）若q ：－4＜m －a ＜4是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分14分）设函数()1f x ax x b++＝（a ，b ∈Z ），曲线()y f x ＝在点()()2,2f 处的切线方程为y ＝3．（1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x ＝上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．20．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231n n S a -＝． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()()1311nn n n b a a +++＝，求{}n b 的前n 项和n T ，并比较n T 与1316的大小．AB()C H ()D G EF图1 B C D EFHGA 图2图1是由菱形ABCD ，平行四边形ABEF 和矩形EFGH 组成的一个平面图形，其中AB BE ＝EH ＝1，π3ABC ∠＝，π4ABE ∠＝，将其沿AB ，EF 折起使得CD 与HG 重合，如图2．（1）证明：图2中的平面BCE ⊥平面ABEF ； （2）求图2中点F 到平面BCE 的距离； （3）求图2中二面角E －AB －C 的余弦值．22．（本小题满分14分）已知抛物线C ：22x py ＝（0＜p ＜2）的焦点为F ，()02,M y 是C 上的一点，且52MF ＝．（1）求C 的方程；（2）直线l 交C 于A 、B 两点，2OA OB k k ⋅-＝且△OAB 的面积为16，求直线l 的方程．已知椭圆C：22214yxa+＝（a＞2），直线l：y＝kx＋1（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点（O为坐标原点）．（1）若直线l与直线OD的斜率之积为12-，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M，使得当k变化时，总有AMO BMO∠∠＝．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．某市城郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别用x表示y及S的函数关系式，并给出定义域；（2）请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积S最大，并求出最大值江苏省海安高级中学2019-2020学年度第一学期第二次阶段检测高二数学试卷1． 【答案】C 2． 【答案】D 3．【答案】B 4． 【答案】C 5． 【答案】A 6．【答案】A 7．【答案】A 8． 【答案】C 9． 【答案】D 10．【答案】A 11．【答案】BCD 12．【答案】AD 13．【答案】BCD若函数()322f x x ax -＝（a ＜0）在()6,23a a +上有最大值，则a 的取值可能为（ ）A ．－6B ．－5C ．－4D ．－3 【答案】ABC14．若0＜x ＜1，则181x x+-的最小值为 ▲ ．【答案】9+已知等差数列{}n a 满足：2355a a a +＝＝，n *∈N ，则数列sin π2na⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭的前2019项和等于 ▲ ．【答案】015．设函数()e ln x f x a b x +＝，且()1e f '＝，()12f 'a ＋b ＝ ▲ ．【答案】1在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积S ，222sin sin sin sin sin A B C A B ++＝，则c 的取值范围为 ▲ ．【答案】c ≥216．已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝2，则三棱锥P －ABC 的外接球与内切球的半径比为 ▲ ．【答案】)31217．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则自上而下的第1节的容积为 ▲ ，这9节竹子的总容积为 ▲ ．【答案】1322升 20122升18．（本小题满分12分）已知命题p ：“11x ∀-≤≤，不等式20x x m --＜成立”是真命题． （1）求实数m 的取值范围；（2）若q ：－4＜m －a ＜4是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知30A ＝，a ＝8，b ＝ （1）求tan B ；（2）若△ABC 不是直角三角形，求△ABC 的面积． 【答案】19．（本小题满分14分）设函数()1f x ax x b++＝（a ，b ∈Z ），曲线()y f x ＝在点()()2,2f 处的切线方程为y ＝3．（1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x ＝上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值． 【答案】(1)f ′(x )＝a －1(x ＋b )2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋12＋b ＝3，a －1(2＋b )2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，或⎩⎨⎧a ＝94，b ＝－83.因为a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋1x －1.(2)证明：在曲线上任取一点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0－1，由f ′(x 0)＝1－1(x 0－1)2知，过此点的切线方程为y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(x 0－1)2(x －x 0)．令x ＝1，得y ＝x 0＋1x 0－1，切线与直线x ＝1的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1；令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)；直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)，从而所围成的三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1|2x 0－1－1|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0－1|2x 0－2|＝2. 所以所围成的三角形的面积为定值2.已知函数()e ax f x x a -⋅＝（a ＞0）．（1）求曲线()y f x ＝在点()()0,0f 处的切线方程； （2）若()0f x ＜恒成立，求a 的取值范围． 【答案】20．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231n n S a -＝． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()()1311nn n n b a a +++＝，求{}n b 的前n 项和n T ，并比较n T 与1316的大小．【答案】21．（本小题满分14分）图1是由菱形ABCD ，平行四边形ABEF 和矩形EFGH 组成的一个平面图形，其中AB BE ＝EH ＝1，π3ABC ∠＝，π4ABE ∠＝，将其沿AB ，EF 折起使得CD 与HG 重合，如图2．（1）证明：图2中的平面BCE ⊥平面ABEF ； （2）求图2中点F 到平面BCE 的距离；AB()C H ()D G EF图1BC DEFHGA图2（3）求图2中二面角E －AB －C 的余弦值．【答案】（1）由题知，在BEC ∆中：222BC EC BE =+ 所以BE CE ⊥ ····································· 2分又在矩形EFGH 中：EF CE ⊥ ······· 3分 且E BE EF =所以⊥CE 平面ABEF ······················· 4分 又因为⊂CE 平面BCE所以平面⊥BEC 平面ABEF ············ 5分（2）由（1）知：⊥CE 平面ABEF ，所以CE AE⊥ 因为菱形ABCD 中的3ABC π∠=，所以ABC ∆为等边三角形，AC AB ==，所以在Rt AEC ∆中：222||=||||1,1AE AC CE AE -== ······················································ 6分 所以在AEB ∆中，222||=||||,AB AE BE AE BE +⊥ ······························································ 7分 又因为平面⊥BCE 平面ABEF ，且平面 BCE 平面BE ABEF =所以AE ⊥平面BCE ············································································································· 8分 又因为//AF 平面BCE ，所以点F 到平面BCE 的距离为||1AE = ································· 9分 （3）以E 为坐标原点，分别以EA EC EB 、、为z y x 、、轴建立空间直角坐标系E xyz - 所以)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,0(A C B E ······································································· 10分 由（1）知平面ABE 的法向量为(0,1,0)m EC ==, ························································ 11分 设平面ABC 的法向量(,,)n x y z =，因为(1,0,1)BA =-，(1,1,0)BC =-由00n BA n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得⎩⎨⎧=+-=+-00y x z x ，取1x =得，(1,1,1)n = ············································· 12分 所以||3cos ||||m n m n θ⋅==，即二面角C AB E -- 14分22．（本小题满分14分）已知抛物线C ：22x py ＝（0＜p ＜2）的焦点为F ，()02,M y 是C 上的一点，且52MF ＝． （1）求C 的方程；（2）直线l 交C 于A 、B 两点，2OA OB k k ⋅-＝且△OAB 的面积为16，求直线l 的方程【答案】（1）将M （2，y 0）代入x 2＝2py 得y 0＝，又|MF |＝y 0﹣（﹣）＝+＝，∴p ＝1，∴抛物线的方程为x 2＝2y ，-------5分（2）直l 的斜率显然存在，设直线l ：y ＝kx +b ，A （x 1，y 1）、B （x 2，）由得：x 2﹣2kx ﹣2b ＝0∴x 1+x 2＝2k ，x 1x 2＝﹣2b由，k OA k OB ＝•＝＝﹣＝﹣2，∴b ＝4∴直线方程为：y ＝kx +4，所以直线恒过定点（0，4），原点O到直线l的距离d＝，∴S OAB ＝×d |AB |＝ו＝＝2＝16，∴4k 2+32＝64，解得k ＝±2所以直线方程为：y ＝±2x +4．---------14分23．（本小题满分14分）已知椭圆C：22214yxa+＝（a＞2），直线l：y＝kx＋1（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点（O为坐标原点）．（1）若直线l与直线OD的斜率之积为12-，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M，使得当k变化时，总有AMO BMO∠∠＝．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）由得，显然，设，，，则，，∴，.∴.∴.所以椭圆方程为.-------6分（2）假设存在定点，且设，由得.∴.即，∴.由（1）知，，∴ . ∴. 所以存在定点使得.------14分某市城郊有一块大约500m ×500m 的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S 平方米．（1）分别用x 表示y 及S 的函数关系式，并给出定义域；（2）请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积S 最大，并求出最大值【答案】（1）由已知30003000,,xy y x=∴=其定义域是(6,500).……………2分 (4)(6)(210),S x a x a x a =-+-=-150015000(210)(3)30306S x x x x∴=--=--,其定义域是(6,500).……………6分 （2）150003030(6)3030303023002430,S x x x x =-+≤-=-⨯=………9分当且仅当15000=6x x，即50(6,500)x =∈时，上述不等式等号成立， 此时，max 5060,2430.x y S ===，………………………………………11分答：设计50m 60m x y ，== 时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米. ……12分已知函数)(1ln )(R a xx a x f ∈-=。