甘肃省兰州一中高三数学第三次模拟(兰州一中三模)考试试题 理

甘肃省兰州市高考数学三模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·孝义模拟) 已知集合A={（x，y）|y=x+1，0≤x≤1}，集合B={（x，y）|y=2x，0≤x≤10}，则集合A∩B=（）A . {1，2}B . {x|0≤x≤1}C . {（1，2）}D . ∅2. （2分） (2015高二上·承德期末) 若i为虚数单位，且复数z满足，则复数z的虚部是（）A . 2iB . -2iC . 2D . -23. （2分）在中,则cosC的值为（）A .B . -C .D . -4. （2分） (2019高三上·清远期末) 如图，矩形中曲线的方程分别是，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A .B .C .D .5. （2分）执行下列的程序框图，输出的s=（）A . 9900B . 10100C . 5050D . 49506. （2分）(2018·江西模拟) 设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A . 3B . 4C . 11D . 407. （2分）“”是“” 的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分）(2017·三明模拟) “牟合方盖”是我国古代数学家刘微在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．如图，正边形ABCD是为体现其直观性所作的辅助线，若该几何体的正视图与侧视图都是半径为r的圆，根据祖暅原理，可求得该几何体的体积为（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高一上·淮南月考) 定义在R上的函数f(x)对任意0<x2<x1都有 <1，且函数y＝f(x)的图象关于原点对称，若f(2)＝2，则不等式f(x)－x>0的解集是（）A . (－2,0)∪(0,2)B . (－∞，－2)∪(2，＋∞)C . (－∞，－2)∪(0,2)D . (－2,0)∪(2，＋∞)10. （2分）(2019·景德镇模拟) 已知点在双曲线上，，分别为双曲线的左右焦点，若外接圆面积与其内切圆面积之比为 .则双曲线的离心率为（）A .B . 2C . 或D . 2或311. （2分） (2019高一下·丽水期末) 如图所示，用两种方案将一块顶角为，腰长为的等腰三角形钢板裁剪成扇形，设方案一、二扇形的面积分别为，周长分别为，则（）A . ，B . ，C . ，D . ，12. （2分） (2019高二上·浙江期中) 函数满足，当时都有，且对任意的，不等式恒成立.则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·武汉模拟) （x2+1）（x+a）8的展开式中，x8的系数为113，则实数a的值为________．14. （1分）(2020·苏州模拟) 中，，点O ， G分别为的外心、重心，若，则面积的最大值为________.15. （1分） (2020高二下·长沙期末) 已知实数、、、满足：，，，则的最大值为________.16. （1分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，AB=2，PA= ，E为BC中点，F在棱PD上，AF⊥PD，点B到平面AEF的距离为________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分）(2017·长沙模拟) 设数列{an}的前n项和为Sn ，若点在函数f（x）=﹣x+c的图象上运动，其中c是与x无关的常数，且a1=3．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记，求数列{bn}的前n项和Tn的最小值．18. （5分） (2017高三上·沈阳开学考) 为加快新能源汽车产业发展，推进节能减排，国家对消费者购买新能源汽车给予补贴，其中对纯电动乘用车补贴标准如下表：新能源汽车补贴标准车辆类型续驶里程R（公里）80≤R＜150150≤R＜250R≥250纯电动乘用车 3.5万元/辆5万元/辆6万元/辆某校研究性学习小组，从汽车市场上随机选取了M辆纯电动乘用车，根据其续驶里程R（单次充电后能行驶的最大里程）作出了频率与频数的统计表：分组频数频率80≤R＜15020.2150≤R＜2505xR≥250y z合计M1（Ⅰ）求x，y，z，M的值；（Ⅱ）若从这M辆纯电动乘用车中任选2辆，求选到的2辆车续驶里程都不低于150公里的概率；（Ⅲ）若以频率作为概率，设X为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求X的分布列和数学期望EX．19. （10分） (2018高一下·濮阳期末) 如图，在底面是正方形的四棱锥中，面，交于点，是中点，为上一点．（1）求证：BD⊥FG ．（2）确定点在线段上的位置，使平面，并说明理由．20. （5分）(2017·黑龙江模拟) 已知抛物线E：y2=4x，设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且• = （其中O为坐标原点）（Ⅰ）求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标；（Ⅱ）过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值．21. （10分）已知函数f（x）=﹣x2+4|x|+5．（1）画出函数y=f（x）在闭区间[﹣5，5]上的大致图象；（2）若直线y=a与y=f（x）的图象有2个不同的交点，求实数a的取值范围．22. （10分） (2017高二下·乾安期末) 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为，直线：，直线： .以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系.（1）求直线，的直角坐标方程以及曲线的参数方程；（2）已知直线与曲线交于，两点，直线与曲线交于，两点，求的面积.23. （10分） (2019高二下·珠海期末) 函数 .（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；（2）求证：，时， .参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

兰州一中2013届高三第三次模拟考试数学理试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损.5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.第I 卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|，则A B = ( )A .{3,4,5}B .{4,5,6}C .{|36}x x <≤D .{|36}x x ≤< 2．已知i 是虚数单位，则i i+-221等于（ ） A ．i -B ．i -54C ．i 5354-D ．i3．公差不为零的等差数列第2，3， 6项构成等比数列，则这三项的公比为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，设A 表示事件“取到的2个数之和为偶数”，B 表示事件“取到的2 个数均为偶数”，则P （B |A ）=( )A ．101 B ．41 C ．52 D ．21 5.在ABC V 中,已知2AD DB =uuu r uu u r ,且13CD CA CB λ=+u u u r u u r u u r,则λ=( )A.23 B . 13 C . 13- D . 23- 6．执行如右图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．5021- B ． 5121-C ．252(41)3- D ． 262(41)3-7. 某几何体的三视图如下，则几何体的表面积为（ ） A . 28+65 B . 30+65 C . 56+125 D . 60+125 8．函数 f (x )=ln (x -1x)的图象是( )9. 已知函数f (x )=sin ωx +cos ωx (ω>0)，如果存在实数x 1，使得对任意的实数x ，都有11()()(2013)f x f x f x ≤≤+成立，则ω的最小值为( )A ．14026B ．4026πC ．12013D ．2013π10．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD =2AB =6, 则该球的表面积为( )A ．16πB ．24πC ．48πD ． 323π11. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点)0)(0,(>-c c F ，作圆：2224a x y += 的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为( )A .102B .105C . 10D . 212．已知函数32()132x mx m n x y +++=+的两个极值点分别为x 1，x 2，且x 1∈(0, 1)，x 2∈(1, +∞)，记分别以m ，n 为横、纵坐标的点P (m ,n )表示的平面区域为D ，若函数log (4)(1)a y x a =+>的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,3]B ．(1,3)C ． (3,)+∞D ．[3,)+∞第Ⅱ卷(共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分, 共20分．13．某市有A 、B 、C 三所学校共有高三文科学生1500人，且A 、B 、C 三所学校的高三文科学生人数成等差数列，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B 校学生中抽取_____人. 14．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，直线l 与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若AF FB =，36BA BC ⋅=，则抛物线的方程为 .15. 设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令lg n n a x =，则1299a a a +++ 的值为 ． 16．观察下列算式：13 =1, 23 =3+5, 33 = 7+9+1143 =13 +15 +17 +19 ，… …若某数n 3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则n = ．三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. 17. （本题满分12分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a , b , c , 且2(a 2+b 2-c 2)= 3ab . （Ⅰ）求2sin 2A B +；（Ⅱ）若c =2，求△ABC 面积的最大值．在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人.（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分.（i）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这10 人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.19. (本小题满分12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=2，D为AA1中点，BD 与AB1交于点O，CO丄侧面ABB1A1.(Ⅰ )证明：BC丄AB1；(Ⅱ)若OC=OA,求二面角C1-BD-C的余弦值.如图，已知椭圆22143x y +=的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于D 、E 两点．（Ⅰ）若点G 的横坐标为14-，求直线AB 的斜率；（Ⅱ）记△GFD 的面积为S 1，△OED （O 为原点）的面积为S 2．试问：是否存在直线AB ，使得S 1=S 2？说明理由．21．（本小题满分12分） 已知函数1ln(1)()(0)x f x x x++=>． （Ⅰ）函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数还是减函数？证明你的结论； （Ⅱ）当0x >时，()1kf x x >+恒成立，求整数k 的最大值； （Ⅲ）试证明：23(112)(123)(134)(1(1))n n n e-+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++> .请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，已知P A 与⊙O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于B 、C 两点，弦CD ∥AP ，AD 、BC 相交于点E ，F 为CE 上一点，且DE 2 = EF ·EC . （Ⅰ）求证：CE ·EB = EF ·EP ；（Ⅱ）若CE :BE = 3:2，DE = 3， EF = 2，求P A 的长.23. (本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=ty t x 541531(t 为参数）.若以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为)4sin(2πθρ+=.(Ⅰ) 求曲线C 的直角坐标方程; (Ⅱ) 求直线l 被曲线C 所截得的弦长.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲．设函数f (x )=|2x -1|+|2x -3| , x ∈R. (Ⅰ)解不等式f (x )≤5； (Ⅱ)若mx f x g +=)(1)(的定义域为R ，求实数m 的取值范围.2013年兰州一中高考三模参考答案数学理科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分, 共20分．。

甘肃兰州一中2009年高三年级模拟考试数 学 试 题考生注意： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分， 共150分，考试时间120分钟。

所有试题均在答题卡上作答。

其中，选择题用2B 铅笔填涂，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔作答。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P (A +B )=P (A )+P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么 P (A ·B )=P (A )·P (B ) 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(球的表面积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径 球的体积公式 334R V π=其中R 表示球的半径第Ⅰ卷 （选择题， 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合},{},2,3{b a N M a ==，若}2{=N M ，则=N M （ ）A ．{1，2，3}B ．{0，2，3}C ．{0，1，2}D ．{0，1，3} 2．（理科）已知i ibia Rb a +=-+∈21,,，则b a += （ ）A ．-2B ．2C ．-4D ．4（文科）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若17017=S ，则1197a a a ++的值为（ ） A ．10 B ．20 C ．25 D ．303．已知31)3sin(=-πα，则)6cos(πα+的值为（ ）A ．332 B ．332-C ．31-D ．31 4．已知,516sin,8,3log 7.02π===-c b a 则c b a ,,的大小关系是 （ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．a b c >>5．设b a ,是两条不同直线，βα,是两个不同平面，则b a ⊥的一个充分条件是 （ ）A ．βαβα∥，⊥⊂b a ,B ．βαβα∥,,⊥⊥b aC ．βαβα⊥⊥,,∥b aD ．βαβα⊥⊂,,∥b a6．（理科）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布),0)(,1(2>σσN 若ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，则ξ在]2,(--∞内取值的概率为 （ ）A ．0.2B ．0.9C ．0.8D ．0.1（文科）圆4)(22=+-y a x 被直线1=+y x 所截得的弦长为22，则实数a 的值是（ ）A ．0或4B ．1或3C ．-2或6D ．-1或3 7．函数123-=x y （-1≤x ＜0)的反函数是（ ）A ．)31(log 13≥+=x x y B ．)31(log 13≥+-=x x yC ．)131(log 13≤<+=x x yD ．)131(log 13≤<+-=x x y8．函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的最小正周期为π，若其图象向左平移6π个单 位后得到的函数为奇函数，则函数)(x f 的图象（ ）A ．关于点（12π，0）对称 B ．关于点（125π，0）对称C ．关于直线125π=x 对称D ．关于直线12π=x 对称9．四张卡片上分别标有数字“2”、“0”、“0”、“9”，其中“9”可当“6”用，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为 （ ） A ．6 B ．12 C ．18 D ．2410．如图，平面内向量，b a ,的夹角为120°，c a ,的 夹角为30°，且32||,1||,2||===c b a ，若b ac 2+=λ，则λ等于（ ） A ．1 B ．-1 C ．-2D ．211．（理科）如图，正三棱锥ABCD 内接于球O ，底面边 长为3，侧棱长为2，则球O 的表面积为（ ）A ．364πB ．332πC ．316πD ．38π（文科）四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且CD=2， 3=AB ，在外接球面上A 、B 两点间的球面距离是（ ）A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 12．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的点到焦点的最小距离为1，以其右焦点F 为圆心的圆过椭圆的上顶点),0(b B ，且与直线033:=++y x l 相切，则椭圆的离心率是（ ）A ．32 B ．21 C ．22 D ．31第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上。

甘肃省兰州一中201 5届高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x﹣|≤}，B={x|y=lg（4x﹣x2）}，则A∩B等于（）A．（0，2] B．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知函数，若存在a∈（0，π），使得f（x+a）=f（x ﹣a）恒成立，则a的值是（）A．B．C．D．4．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S n=，S m=（m≠n），则S m+n﹣4的符号是（）A．正B．负C．非负D．非正5．（5分）从平行六面体的8个顶点中任取5个顶点为顶点，恰好构成四棱锥的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）设f（x）=（1+x）6（1﹣x）5，则导函数f′（x）中x2的系数是（）A．0 B．15 C．12 D．﹣157．（5分）设直线x+y=1与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB，则△OA B的面积为（）A．1 B．C．D．28．（5分）某几何体的三视图如图所示，当a+b取最大值时，这个几何体的体积为（）A．B．C．D．9．（5分）如图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是（）A．n＞2 B．n＞3 C．n＞4 D．n＞510．（5分）已知双曲线，被方向向量=（6，6）的直线截得的弦的中点为（4，1），则该双曲线离心率的值为（）A．B．C．D．211．（5分）函数f（x）=（x﹣a）e x在区间（2，3）内没有极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，3]∪C．（﹣∞，3] D．上的最小值及相应的x值；（Ⅱ）若存在x∈，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）设AB为圆O的直径，AB=10．E为线段AO上一点，OE=AB．过E作一直线交圆O 于C，D两点，使得∠CEA=45°．试求CE2+ED2的值．【选修4-4：坐标系与参数方程．】（共1小题，满分0分）23．设直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．若实数a，b满足ab＞0，且a2b=4，若a+b≥m恒成立．（Ⅰ）求m的最大值；（Ⅱ）若2|x﹣1|+|x|≤a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．甘肃省兰州一中2015届高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x﹣|≤}，B={x|y=lg（4x﹣x2）}，则A∩B等于（）A．（0，2] B．，由B中y=lg（4x﹣x2），得到4x﹣x2＞0，即x（x﹣4）＜0，解得：0＜x＜4，即B=（0，4），则A∩B=（0，2]．故选：A．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，那么复数对应的点位于复平面内的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：由图求得z，代入后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：由图知，z=2+i，∴，则对应的点的坐标为（），位于复平面内的第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（5分）已知函数，若存在a∈（0，π），使得f（x+a）=f（x ﹣a）恒成立，则a的值是（）A．B．C．D．考点：正弦函数的对称性．专题：计算题．分析：由题意可得=，再由a∈（0，π），可得=+2π，解方程求出 a 的值．解答：解：由f（x+a）=f（x﹣a）恒成立，可得=，再由a∈（0，π），可得 0＜2a＜2π，故有=+2π，∴a=．故选D．点评：本题考查了三角函数的周期性，要注意a∈（0，π）的范围，属于基础题．4．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S n=，S m=（m≠n），则S m+n﹣4的符号是（）A．正B．负C．非负D．非正考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的求和公式，求出d=，a1=，再确定S m+n﹣4的符号．解答：解：∵S n=na1+d=，S m=ma1+d=，解得d=，a1=．∵S m+n﹣4=（m+n）a1+d﹣4=＞0（∵m≠n）．故选：A．点评：本题考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，确定d=，a1=是关键．5．（5分）从平行六面体的8个顶点中任取5个顶点为顶点，恰好构成四棱锥的概率为（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：总的基本事件为个，可得符合题意的有12×4个，由概率公式可得．解答：解：由题意可知四棱锥的底面可由6个侧面和6个对角面构成，每个底面对应4个四棱锥，故所求概率为P=．故选：D．点评：本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．6．（5分）设f（x）=（1+x）6（1﹣x）5，则导函数f′（x）中x2的系数是（）A．0 B．15 C．12 D．﹣15考点：二项式定理的应用；简单复合函数的导数．专题：二项式定理．分析：f′（x）中x2的系数，即f（x）中x3的系数的3倍，求得（x）中x3的系数，即可得出结论．解答：解：f′（x）中x2的系数，即f（x）中x3的系数的3倍．由于f（x）=（1+x）（1﹣x2）5=（1﹣x2）5+x（1﹣x2）5，x3的系数为0﹣=﹣5，∴f（x）的解析式中含x3的项为﹣5x3，故函数f′（x）中x2的系数是﹣15，故选：D．点评：本题主要考查二项式定理的应用，函数的导数，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，体现了转化的数学思想，属于基础题．7．（5分）设直线x+y=1与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB，则△OAB的面积为（）A．1 B．C．D．2考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：联立直线和抛物线方程，化为关于y的一元二次方程后运用求根公式，求得A，B的坐标，由OA⊥OB，可得x1x2+y1y2=0，求得p，由两点的距离公式可得OA，OB的长，利用三角形的面积公式计算即可得到．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由x+y=1与抛物线y2=2px，得y2+2py﹣2p=0，解得y1=﹣p+，x1=1+p﹣，y2=﹣p﹣，x2=1+p+，由OA⊥OB得，x1x2+y1y2=0，即+=0，化简得2p=1，即p=，从而A（，），B（，），|OA|2=x12+y12=5﹣2，|OB|2=x22+y22=5+2，△OAB的面积S=|OA|•|OB|==．故选B．点评：本题考查直线和抛物线的位置关系，考查直线方程和抛物线方程联立，求得交点，运用两点的距离公式，考查运算能力，属于中档题．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，当a+b取最大值时，这个几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：三视图复原几何体是长方体的一个角，设出棱长，利用勾股定理，基本不等式，求出最大值．解答：解：如图所示，可知AC=，BD=1，BC=b，AB=a．设CD=x，AD=y，则x2+y2=6，x2+1=b2，y2+1=a2，消去x2，y2得a2+b2=8≥，所以（a+b）≤4，当且仅当a=b=2时等号成立，此时x=，y=，所以V=××1××=．故选D．点评：本题是基础题，考查几何体的三视图，几何体的表面积和体积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键．9．（5分）如图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是（）A．n＞2 B．n＞3 C．n＞4 D．n＞5考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：由框图的顺序，S=0，n=1，S=（S+n）n=（0+1）×1=1；n=2，依次循环S=（1+2）×2=6，n=3；n=3，依次循环S=（6+3）×3=27，n=4，此刻输出S=27．故判断框①处应填入的条件是n＞3，故选B．点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．（5分）已知双曲线，被方向向量=（6，6）的直线截得的弦的中点为（4，1），则该双曲线离心率的值为（）A．B．C．D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：设l与双曲线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减，得，由此能求出a，b的关系，最后求得双曲线的离心率即可．解答：解：设l与双曲线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减，得，由直线方向向量=（6，6）得k AB=1，截得的弦的中点为（4，1），得x1+x2=4，y1+y2=2，∴，a2=4b2得双曲线的离心率=故选A．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质、直线与圆锥曲线的综合问题．本题考查双曲线的中点弦的求法，解题时要注意点差法的合理运用．11．（5分）函数f（x）=（x﹣a）e x在区间（2，3）内没有极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，3]∪C．（﹣∞，3] D．考点：函数在某点取得极值的条件．专题：导数的概念及应用．分析：由函数f（x）=（x﹣a）e x在区间（2，3）内没有极值点，可得f′（x）≥0或f′（x）≤0在区间（2，3）内恒成立，进而可得实数a的取值范围．解答：解：∵f（x）=（x﹣a）e x，∴f′（x）=（x+1﹣a）e x，∵函数f（x）=（x﹣a）e x在区间（2，3）内没有极值点，∴x+1﹣a≥0或x+1﹣a≤0在区间（2，3）内恒成立，即a≤x+1或a≥x+1在区间（2，3）内恒成立，∴a≤3或a≥4．故实数a的取值范围是（﹣∞，3]∪12．（5分）两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和O2的表面积之和的最小值为（）A．3（2﹣）πB．4（2﹣）πC．3（2+）πD．4（2+）π考点：球内接多面体．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：设出球O1与球O2的半径，求出面积之和，利用相切关系得到半径与正方体的对角线的关系，通过基本不等式，从而得出面积的最小值．解答：解：∵AO1=R1，C1O2=R2，O1O2=R1+R2，∴（+1）（R1+R2）=，R1+R2=，球O1和O2的表面积之和为4π（R12+R22）≥4π•2（）2=2π（R1+R2）2=3（2﹣）π．故选：A．点评：本题是中档题，考查球与正方体相切关系的应用，考查基本不等式求解最值问题，考查计算能力，空间想象能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）6个儿童分坐两行，每行3人面对着做游戏，其中甲、乙二人既不对面，又不相邻的坐法有384种．（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：由于甲、乙是特殊元素，可先安排甲、乙，分两种情况：甲坐两端，或甲在中间两个位上找一个位子坐下，根据分类计数原理可得答案．解答：解：由于甲、乙是特殊元素，可先安排甲、乙，分两种情况：（1）甲坐两端，可从四个位中选一个坐下，有种，由于乙不与甲坐对面和相邻，在其他3个位中选一个坐下有种，其余4人有种，此类有种方法．（2）甲在中间两个位上找一个位子坐下，有种，乙应在其他两个位上找一个位子坐下有种，其余4人有种坐法．此类坐法有种．所以满足条件的坐法共有=384（种）．故答案为：384．点评：本题考查了分类和分步计数原理，特殊元素优先安排原则，属于中档题．14．（5分）△ABC外接圆的圆心为O，且，则cos∠BAC=．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由题意，设BC中点M，得到，结合已知，得到∠BOM=∠BAC．解答：解：设BC边中点为M，则，由题设，∴A、O、M共线，且AO=4OM，而∠BOM=2∠BAM，∴∠BOM=∠BAC，即cos∠BAC=．故答案为：．点评：本题考查了向量共线性质的运用；关键是明确A，O与BC中点三点共线，得到∠BOM=∠BAC．15．（5分）如果双曲线x2﹣y2=a2经过圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=5的直径AB的两个端点，则正实数a的值等于2．考点：双曲线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设点，代入作差，可得AB的方程为y=3x﹣8，与圆方程联立，利用a2=（x+y）（x﹣y）=（4x﹣8）（8﹣2x）=8﹣8（x﹣3）2，即可求出正实数a的值．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入双曲线方程作差得（x1+x2）（x1﹣x2）=（y1+y2）（y1﹣y2），∵x1+x2=6，y1+y2=2，=3，∴AB的方程为y=3x﹣8，与圆方程联立得10（x﹣3）2=5，∴（x﹣3）2=，∴a2=（x+y）（x﹣y）=（4x﹣8）（8﹣2x）=8﹣8（x﹣3）2=4．∴a=2．故答案为：2．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（5分）关于x的不等式有唯一整数解x=1，则的取值范围是（，1）．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：将不等式进行等价转化，利用根与系数之间的关系建立不等式组，利用线性规划的知识进行求解即可．解答：解：∵⇔x2+ax+2b＜0，∴依题意方程x2+ax+2b=0只有唯一的整数解x=1，∴方程x2+ax+2b=0一根在内，即函数f（x）=x2+ax+2b的图象与x轴在内各有一个交点．∴，作出可行域，如图所示：∵为可行域内的点（a，b）与定点P（1，2）的连线的斜率，由图可知，k PA＜＜k PB，其中点A（﹣3，1），B（﹣1，0），∴k PA=，k PB=1，故的取值范围是（，1）．故答案为：（，1）．点评：本题主要考查线性规划的应用，根据不等式的性质结合一元二次函数根与系数之间的关系进行转化是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=，a=1，求边AC上的中线BD的长．考点：余弦定理的应用．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用正弦定理，条件化为2sinAcosB+sinA=0，即可求角B的大小；（Ⅱ）利用三角形的面积公式，求出c，利用余弦定理求出b，进而可求边AC上的中线BD的长．解答：解：（Ⅰ）由，可得2sinAcosB+sin（B+C）=0，…（2分）即2sinAcosB+sinA=0，…（4分）而sinA≠0，所以cosB=﹣，B=．…（6分）（Ⅱ）解：因S=acsinB，又S=，a=1，sinB=，则c=4．…（8分）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得b=，…（10分）由cosC=，得，解得BD=．…（12分）点评：本题考查正弦定理、余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=CA=AA1=2，侧棱AA1⊥面ABC，D、E分别是棱A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且AF=AB．（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC1；（Ⅱ）求二面角E﹣BC1﹣D的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：空间角；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）利用直线和平面平行的判定定理，只需要证明EF∥BD，即可证明EF∥平面BDC1；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的大小．解答：解：（Ⅰ）证明：取AB的中点M，∵AF=AB．∴F为AM的中点，又∵E为AA1的中点，∴EF∥A1M，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为A1B1、AA1的中点，∴A1D∥BM，且A1D=BM，则四边形A1DBM为平行四边形，∴A1M∥BD，∴EF∥BD，又∵BD⊂平面BC1D，EF⊄平面BC1D，∴EF∥平面BC1D．（Ⅱ）连接DM，分别以MB，MC，MD所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系，则B（1，0，0），E（﹣1，0，1），D（0，0，2），C1（0，），∴=（﹣1，0，2），=（﹣2，0，1），=（﹣1，）．设面BC1D的一个法向量为，面BC1E的一个法向量为，则由，得，取，又由，得，取，则，故二面角E﹣BC1﹣D的余弦值为．点评：本题主要考查空间直线和平面平行的判定，以及求二面角的大小，要求熟练掌握相应的判定定理．建立空间直角坐标系，利用向量坐标法是解决此类问题比较简洁的方法．19．（12分）已知袋内有标有1～6数字的小球6个，球除标号不同外完全相同，甲、乙两人玩“摸球赢枣”的游戏，由丙做裁判，游戏规定由丙从袋中有放回的摸三次球，记第1、2、3次摸到的球的标号分别为a，b，c，然后将所得的数代入函数f（x）=ax2+bx+c，若所得到的函数无零点，则甲输一个枣给乙，若所得到的函数有零点，则乙输四个枣给甲．（Ⅰ）记函数的零点的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）根据两人得枣的数学期望，该游戏公平吗？若不公平，谁吃亏？考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（I）利用判别式得出当△=0时，P（ξ=1）=．当△≥0时，P（ξ=2）=．P（ξ=0）=1﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=2）=．求解概率分布问题．（II）利用分布列得出甲得枣的数学期望，乙得枣的数学期望，判断即可．解答：（Ⅰ）解：ξ的可能取值为0，1，2．f（x）=ax2+bx+c的判别式△=b2﹣4ac，当△=0时，b为偶数，b=2时，a=1，c=1；b=4时，a=1，c=4或a=2，c=2或a=4，c=1；b=6时，a=3，c=3，∴P（ξ=1）=．有b≥3，b=3时，ac≤2，有3种；b=4时，ac≤4，有9种；b=5时，ac≤6，有14种；b=6时，ac≤9，有17种，共计43种．∴ξ=1的情形有43﹣5=38种，∴P（ξ=2）=．P（ξ=0）=1﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=2）=．∴ξ的分布列为：ξ0 1 2P数学期望Eξ=．（Ⅱ）甲得枣的数学期望是，乙得枣的数学期望是．∴该游戏不公平，甲吃亏．点评：本题考查古典概型概率的求法，古典概型在实际问题中应用，结合函数的性质判断概率的求解类别，方法，公平与否要看概率是否相等，属于中档题20．（12分）如图，椭圆C：（a＞b＞0）的离心率e=，左焦点为F，A，B，C为其三个顶点，直线CF与A B交于点D，若△ADC的面积为15．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在分别以AD，AC为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的圆心坐标；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由椭圆的性质离心率和焦点顶点等求得椭圆方程．（Ⅱ）当圆M和圆N是两个相外切的等圆时，一定有A，M，N在一条直线上，且AM=AN．则M、N关于点A对称，设M（x1，y1），则N（﹣x1，8﹣y1），点M在线段AD的垂直平分线y﹣=﹣（x+）上，可求得x1=﹣，继而求得坐标．解答：（Ⅰ）解：设左焦点F的坐标为（﹣c，0），其中c=，∵e=，∴a=c，b=c…（1分）∴A（0，c），B（﹣c，0），C（0，﹣c），…（2分）∴AB：，CF：，…（3分）联立解得D点的坐标为（﹣c，c）…（4分）∵△ADC的面积为15，∴|x D|•|AC|=15，即•c•2•c=15，解得c=3，∴a=5，b=4，∴椭圆C的方程为…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A点的坐标为（0，4），D点的坐标为（﹣，1）…（7分）假设存在这样的两个圆M与圆N，其中AD是圆M的弦，AC是圆N的弦，则点M在线段AD的垂直平分线上，点N在线段AC的垂直平分线y=0上…（8分）当圆M和圆N是两个相外切的等圆时，一定有A，M，N在一条直线上，且AM=AN．∴M、N关于点A对称，设M（x1，y1），则N（﹣x1，8﹣y1），…（9分）根据点N在直线y=0上，∴y1=8．∴M（x1，8），N（﹣x1，0），而点M在线段AD的垂直平分线y﹣=﹣（x+）上，可求得x1=﹣…（10分）故存在这样的两个圆，且这两个圆的圆心坐标分别为M（﹣，8），N（，0）…（12分）点评：本题主要考查利用椭圆的性质求得椭圆方程和直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题型，在2015届高考中经常考到．21．（12分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实数）．（Ⅰ）求函数f（x）在区间上的最小值及相应的x值；（Ⅱ）若存在x∈，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）先求出导函数f'（x），然后讨论a研究函数在上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值；（Ⅱ）若存在x∈，f（x）≤（a+2）x成立，即a（x﹣lnx）≥x2﹣2x，构造函数g（x）=（x∈），可将问题转化为一个函数成立问题，由此求出函数的最小值，即可得到结论．解答：（Ⅰ）解：f（x）=alnx+x2的定义域为（0，+∞），f′（x）=+2x=，当x∈时，2x2∈，若a≥﹣2，f′（x）在上非负（仅当a=﹣2，x=﹣1时，f′（x）=0），故f（x）在上单调递增，此时f（x）min=f（1）=1；若﹣2e2＜a＜﹣2，令f′（x）＜0，解得1≤x＜，此时f（x）单调递减；令f′（x）＞0，解得＜x≤e，此时f（x）单调递增，∴f（x）min=f（）=；若a≤﹣2e2，f′（x）在上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f′（x）=0），故f（x）在上单调递减，此时f（x）min=f（e）=a+e2，综上所述，得a≥﹣2时，f（x）min=1，相应的x=1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）min=，相应的x=；当a≤﹣2e2时，f（x）min=a+e2，相应的x=e；（Ⅱ）解：不等式f（x）≤（a+2）x可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．∵x∈，∴lnx≤1≤x且等号不能同时成立，∴lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而a≥，x∈，令g（x）=（x∈），则g′（x）=，当x∈时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），∴g（x）在上是增函数，故g（x）min=g（1）=﹣1，∴实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求闭区间上函数的最值，同时考查不等式存在性问题的解法，属于中档题．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）设AB为圆O的直径，AB=10．E为线段AO上一点，OE=AB．过E作一直线交圆O 于C，D两点，使得∠CEA=45°．试求CE2+ED2的值．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：利用垂径定理，求出CD，再利用相交弦定理，即可求CE2+ED2的值．解答：解：∵AB=10，OE=AB．作OH⊥CD于H，则OH=OE，CD=2==AB…（5分）由相交弦定理知CE•ED=AE•EB=（AB﹣AB）（AB+AB）=AB2．∴CE2+ED2=（CE+ED）2﹣2CE•ED=AB2﹣AB2=AB2=50…（10分）点评：本题考查垂径定理、相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．【选修4-4：坐标系与参数方程．】（共1小题，满分0分）23．设直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．考点：圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）由ρ=得ρsin2θ=6cosθ，ρ2sin2θ=6ρcosθ，可得直角坐标方程，可指出曲线是抛物线；（Ⅱ）利用参数的几何意义，即可求|AB|．解答：解：（Ⅰ）由ρ=得ρsin2θ=6cosθ，ρ2sin2θ=6ρcosθ，∴y2=6x．∴曲线C表示顶点在原点，焦点在x上的抛物线…（5分）（Ⅱ）将化为，代入y2=6x得t2﹣4t﹣12=0（*），由（*）式解得t1=6，t2=﹣2，|AB|=|t1﹣t2|=8．…（10分）点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用参数的几何意义解决问题．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．若实数a，b满足ab＞0，且a2b=4，若a+b≥m恒成立．（Ⅰ）求m的最大值；（Ⅱ）若2|x﹣1|+|x|≤a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．考点：二分法求方程的近似解．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）先求出a＞0，b＞0，根据基本不等式求出m的最大值即可；（Ⅱ）问题转化为2|x﹣1|+|x|≤3，解出即可．解答：解：（Ⅰ）由题设可得b=＞0，∴a＞0，∴a+b=a+=≥3，当a=2，b=1时，a+b取得最小值3，∴m的最大值为3；（Ⅱ）要使2|x﹣1|+|x|≤a+b对任意的a，b恒成立，须且只须2|x﹣1|+|x|≤3，①x≥1时，2x﹣2+x≤3，解得：1≤x≤，②0≤x＜1时，2﹣2x+x≤3，解得：0≤x＜1，③x＜0时，2﹣2x﹣x≤3，解得：x≥﹣，∴实数x的取值范围是﹣≤x≤．点评：本题考察了基本不等式的性质问题，考察解不等式问题，求出a+b的最小值是解题的关键，本题是一道中档题．。