《线性代数》第6讲-第2章第1-2节

30
a b c d
于是得
B
0 0 0
a 0 0
b a 0
c b a
，其中a ,
b,
c,
d
为任意数。
31
从前例
2 3
46
2 1
42
0 0
00 ,
还可看出，矩阵乘法不满足消去律：
AB O A O 或 B O ;
A(B C) O
AB AC , A O B C . 左消去律不成立；
9 3
84 ,
显然， AB BA 。
23
矩阵乘法的运算规律：
(1) ( AB)C A(BC) ; 矩阵乘法满足结合律！ (2) A(B C) AB AC , (B C)A BA CA ; 分配律
(3) k( AB) (kA)B A(kB) (其中k为数);
(4) AO O, OA O ; (5) AE EA A . 注意：交换律不成立。
4
例如 1 0 3 5 是一个 2 4 矩阵, 9 6 4 3
2 3 5 9 是一个 1 4 矩阵,
1 2
是一个 3 1 矩阵。
4
3 4
6 2
2 2
是一个 3 3 矩阵。
5
0
2
5
如果矩阵A=(aij)的行数与列数都等于n，则称A为 n 阶 矩阵 (或称 n 阶方阵 ) 。
.
kam1 kam2 kamn
14
数乘矩阵的运算规律： （设A、B 为 m n矩阵，k, l 为数）
(1) k( A B) kA kB ; (2) (k l)A kA lA ; (3) k(lA) (kl)A ; (4) 1A A，0A O . 加法和数乘合称为矩阵的线性运算。

线性代数知识点总结第二章 矩阵及其运算第一节 矩阵 定义由m n ⨯个数()1,2,,;1,2,,ija i m j n ==L L 排成的m 行n 列的数表111212122212nn m m mna a a a a a a a a LL M M M L称为m 行n 列矩阵。

简称m n ⨯矩阵，记作111212122211n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭L L L L L L L，简记为()()m n ij ij m nA A a a ⨯⨯===，,m n A ⨯这个数称为的元素简称为元。

说明 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。

扩展几种特殊的矩阵：方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A 。

记作：A n 。

行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。

也称行(列)向量。

同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。

相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。

记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵：不在主对角线上的元素都是零。

单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引起混淆时，也可表示为E )（课本P29—P31）注意 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。

第二节 矩阵的运算矩阵的加法 设有两个m n ⨯矩阵()()ij ij A a B b ==和，那么矩阵A 与B 的和记作A B +，规定为111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++⎛⎫⎪+++ ⎪+=⎪⎪+++⎝⎭L L L L L LL说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。

（课本P33） 矩阵加法的运算规律()1A B B A +=+；()()()2A B C A B C ++=++()()1112121222113,()n n ij ij m nm n m m mn a a a a a a A a A a a a a ⨯⨯---⎛⎫⎪--- ⎪=-=-= ⎪⎪---⎝⎭L L L L L L L设矩阵记，A -称为矩阵A 的负矩阵()()()40,A A A B A B +-=-=+-。

第六章
二次型
二次型的研究起源于解析几何. 在平 面析几何中，我们常常需要把一个二次 曲线方程化为标准方程. 例如方程
ax 2 + 2bxy + cy 2 = d
代表一个中心在原点的有心二次曲线,它的 左边每项都是关于x,y的二次项,而右边只 有常数项. 经过旋转变换,它可化为左边只 含x2,y2的式子.从代数学的观点看,这种变 化过程就是通过变量的线性替换化简一个
二次齐次多项式,使之只含各个变量的平 方项. 这类问题称为二次型化简,它在数 学的各个分支及物理、力学中都有重要应 用. 本章以矩阵为工具讨论二次型的化简 问题,主要涉及二次型的概念及其矩阵表 示,化二次型为标准形的方法,正定二次型 及正定矩阵等内容.

a 21 D ai 1 a i1 a n1 a 22 a2n ai 2 a a in a i2 in an 2 a nn
则行列式D等于下列两个行列式之和：
a11 a 21 D ai 1 a n1 a12 a 22 ai 2 an 2 a1n a11 a 2 n a 21 a in a i1 a nn a n1 a12 a1n a 22 a 2 n a a i2 in a n 2 a nn
i j r[ j i ( k )] a j 2 a jn (a j 1 ka i 1 ) (a j 2 ka i 2 ) (a jn ka in ) an 2 a nn a n1 an 2 a nn
例 计算四阶行列式
1 1
M 11 a11 A11
an 3 ann
对一般情形，只要适当交换D的行与列的位置， 即可得到结论。
定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain ( i 1,2, , n) 或 D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
a11 a12 a13 a 23 0 0 a 21 a 22 D a 31 a 32 a41 0
n n 1 2
a1na2,n1 an1, 2an1
a14 0 a14a 23a 32a41 0 0
§3 对 换
定义5 排列中，将某两个数对调，其余的数不动， 这种对排列的变换叫对换，将相邻两数对换，叫做 相邻对换（邻换）。 定理1 一个排列中的任意两数对换， 排列改变奇偶性。