安徽省“江南十校”2012届高三3月联考数学(理科)

一、教学目标 1.经历算术平方根概念的形成过程，了解算术平方根的概念. 2.会求某些正数（完全平方数）的算术平方根并会用符号表示. 二、重点和难点 1.重点：算术平方根的概念. 2.难点：算术平方根的概念. 三、自主探究 学校要举行美术作品比赛，小鸥很高兴.他想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少分米？ （一）说这块正方形画布的边长应取多少分米？你是怎么算出来的？ 答：因为52＝25，所以这个正方形画布的边长应取5分米。

（二） （自主完成下表） 正方形的面积916361边长这个实例中的问题、填表中的问题实际上是一个问题，什么问题？它们都是已知正方形面积求边长的问题.通过解决这个问题，我们就有了算术平方根的概念. 正数3的平方等于9，我们把正数3叫做9的算术平方根. 正数4的平方等于16，我们把正数4叫做16的算术平方根. 说说6和36这两个数？说说1和1这两个数？ 同桌之间互相说一说5和25这两个数.（同桌互相说） 说了这么多，同学们大概已经知道了算术平方根的意思.那么什么是算术平方根呢？还是先在小组里讨论讨论，说说自己的看法. （三）什么是算术平方根呢？如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的算术平方根 请大家把算术平方根概念默读两遍.（生默读） 如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的算术平方根.为了书写方便，我们把a的算术平方根记作（板书：a的算术平方根记作）. （指准上图）看到没有？这根钓鱼杆似的符号叫做根号，a叫做被开方数，表示a的算术平方根. 精讲精练 1、 求下列各数的算术平方根： (1)； (2)0.0001. （要注意解题格式，解题格式要与课本第40页上的相同） 精练 2、填空： (1)因为_____2=64，所以64的算术平方根是______，即＝______； (2)因为_____2=0.25，所以0.25的算术平方根是______，即＝______； (3)因为_____2=，所以的算术平方根是______，即＝______. 3、求下列各式的值： (1)＝______； (2)＝______； (3)＝______； (4)＝______； (5)＝______； (6)＝______. 4、根据112＝121，122＝144，132＝169，142＝196，152＝225，162＝256，172＝289，182＝324，192＝361，填空并记住下列各式： ＝_______， ＝_______， ＝_______， ＝_______， ＝_______， ＝_______， ＝_______， ＝_______， ＝_______. （学生记住没有，教师可以利用卡片进行检查，并要求学生课后记熟） 5、辨析题：卓玛认为，因为(－4)2＝16，所以16的算术平方根是－4.你认为卓玛的看法对吗？为什么？ 五、课堂小结：《6.1平方根》教学案 （第2课时） 课型：新授课 主备：肖小东 审核：七年级数学组 时间：______ 1.通过由正方形面积求边长，让学生经历的估值过程，加深对算术平方根概念的理解，感受无理数，初步了解无限不循环小数的特点. 2.会用计算器求算术平方根. 二、重点和难点1.重点：感受无理数.2.难点：感受无理数. 三、自主探究 1.填空：如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的_______________，记作_______. 2.填空： (1)因为_____2＝36，所以36的算术平方根是_______，即＝_____； (2)因为(____)2＝，所以的算术平方根是_______，即＝_____； (3)因为_____2＝0.81，所以0.81的算术平方根是_______，即＝_____； (4)因为_____2＝0.572，所以0.572的算术平方根是_______，即＝_____. （二）（看下图） 这个正方形的面积等于4，它的边长等于多少？ 谁会用算术平方根来说这个正方形边长和面积的关系？ 这个正方形的面积等于1，它的边长等于多少？ 用算术平方根来说这个正方形边长和面积的关系？ （指准图）这个正方形的边长等于面积1的算术平方根，也就是边长＝，等于多少？ （看下图）这个正方形的面积等于2，它的边长等于什么？ 因为边长等于面积的算术平方根，所以边长等于 （板书：边长＝）.（上面三个图的位置如下所示） ＝2，＝1，那么等于多少呢？求等于多少，怎么求？ 在1和2之间的数有很多，到底哪个数等于呢？我们怎么才能找到这个数呢？我们可以这样来考虑问题，等于的那个数，它的平方等于多少？ 第一条线索是那个数在1和2之间，第二条线索是那个数的平方恰好等于2.根据这两条线索，我们来找等于的那个数. 我们在1和2之间找一个数，譬如找1.3，（板书：1.32＝）1.3的平方等于多少？（师生共同用计算器计算）1.69不到2，说明1.3比我们要找的那个数小.1.3小了，那我们找1.5，1.5的平方等于多少？（师生共同用计算器计算）2.25超过2，说明1.5比我们要找的那个数大.找1.3小了，找1.5又大了，下面怎么找呢？大家用计算器，算一算，找一找，哪个数的平方恰好等于2？ 等于1.41421356点点点，可见是一个小数，这个小数与我们以前学过的小数相比有点不同，有什么不同呢？第一，这个小数是无限小数（板书：无限）. 是无限小数，又是不循环小数，所以是一个无限不循环小数. 除了，还有别的无限不循环小数吗？无限不循环小数还有很多很多，、、、都是无限不循环小数（板书：、、、都是无限不循环小数）. 那怎么求、、、这些无限不循环小数的值呢？我们可以利用计算器来求. 四、精讲精练 1、 用计算器求下列各式的值： (1)（精确到0.001）； (2). （按键时，教师要领着学生做；解题格式要与课本上的相同） 2、填空： (1)面积为9的正方形，边长＝＝ ； (2)面积为7的正方形，边长＝≈ （利用计算器求值，精确到0.001）. 3、用计算器求值： (1)＝ ；(2)＝ ；(3)≈ （精确到0.01）. 4、选做题： (1)用计算器计算，并将计算结果填入下表： ………25… (2)观察上表，你发现规律了吗？根据你发现的规律，不用计算器，直接写出下列各式的值： ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ .《6.1平方根》教学案 （第3课时） 课型：新授课 主备：肖小东 审核：七年级数学组 时间：______ 一、教学目标 1、经历平方根概念的形成过程，了解平方根的概念，会求某些正数（完全平方数）的平方根. 2、经历有关平方根结论的归纳过程，知道正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根. 二、重点和难点 1、重点：平方根的概念. 2、难点：归纳有关平方根的结论. 三、自主探究 （一）基本训练，巩固旧知 1、填空：如果一个 的平方等于a，那么这个 叫做a的算术平方根，a的算术平方根记作 . 2、填空： (1)面积为16的正方形，边长＝＝ ； (2)面积为15的正方形，边长＝≈ （利用计算器求值，精确到0.01）. 3、填空： (1)因为1.72＝2.89，所以2.89的算术平方根等于 ，即＝ ； (2)因为1.732＝2.9929，所以3的算术平方根约等于 ，即≈ . （二）什么是平方根呢？大家先来思考这么一个问题. （三） 如果一个正数的平方等于9，这个正数是多少？ 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？和算术平方根的概念类似，（指准32＝9）我们把3叫做9的平方根，（指准(-3)2＝9）把－3也叫做9的平方根，也就是3和－3是9的平方根。

2023年安徽省江南十校高考数学联考试卷1. 已知集合，，则( )A. B.C. D.2. 设i为虚数单位，复数，则z在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知平面向量的夹角为，且，则( )A. B. C. D.4. 安徽徽州古城与四川阆中古城、山西平遥古城、云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体已知该正方体中，点E，F分别是棱，的中点，过，E，F三点的平面与平面ABCD的交线为l，则直线l与直线所成角为( )A. B. C. D.5. 为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲、乙、丙、丁、戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有种.( )A. 40B. 24C. 20D. 126. 已知函数，则下列说法正确的是( )A. 点是曲线的对称中心B. 点是曲线的对称中心C. 直线是曲线的对称轴D. 直线是曲线的对称轴7. 在三棱锥中，底面ABC，，，则三棱锥外接球的表面积为( )A. B. C. D.8. 已知，则a，b，c的大小关系为( )A.B. C.D.9. 已知函数，则( )A. 是奇函数B. 的单调递增区间为和C. 的最大值为D.的极值点为10.在平行六面体中，已知，，则( )A. 直线与BD 所成的角为B. 线段的长度为C.直线与所成的角为D. 直线与平面ABCD 所成角的正弦值为11. 已知O 为坐标原点，点，，线段AB 的中点M 在抛物线C ：上，连接OB 并延长，与C 交于点N ，则( )A. C 的准线方程为B. 点B 为线段ON 的中点C. 直线AN 与C 相切D. C 在点M 处的切线与直线ON 平行12. 已知函数和及其导函数和的定义域均为R ，若，，且为偶函数，则( )A. B. 函数的图象关于直线对称C. 函数的图象关于直线对称D.13.的展开式中，常数项为______ 用数字作答14. 已知圆C ：，直线l ：是参数，则直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为______ .15. 已知直线l 与椭圆交于M ，N 两点，线段MN 中点P 在直线上，且线段MN 的垂直平分线交x 轴于点，则椭圆E 的离心率是______ .16. 若过点有3条直线与函数的图象相切，则m 的取值范围是______ .17. 在平面直角坐标系Oxy 中，锐角、的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 的交点分别为P ，已知点P 的纵坐标为，点Q 的横坐标为求的值；记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，请从下面两个问题中任选一个作答，如果多选，则按第一个解答计分.①若，且，求周长的最大值.②若，，且，求的面积.18. 已知在递增数列中，，为函数的两个零点，数列是公差为2的等差数列.求数列的通项公式；设数列的前n 项和为，证明：19. 渔船海上外出作业受天气限制，尤其浪高对渔船安全影响最大，二月份是某海域风浪最平静的月份，浪高一般不超过某研究小组从前些年二月份各天的浪高数据中，随机抽取50天数据作为样本，制成频率分布直方图：如图根据海浪高度将海浪划分为如下等级：浪高海浪等级微浪小浪中浪大浪海事管理部门规定：海浪等级在“大浪”及以上禁止渔船出海作业.某渔船出海作业除受浪高限制外，还受其他因素影响，根据以往经验可知：“微浪”情况下出海作业的概率为，“小浪”情况下出海作业的概率为，“中浪”情况下出海作业的概率为，请根据上面频率分布直方图，估计二月份的某天各种海浪等级出现的概率，并求该渔船在这天出海作业的概率；气象预报预计未来三天内会持续“中浪”或“大浪”，根据以往经验可知：若某天是“大浪”，则第二天是“大浪”的概率为，“中浪”的概率为；若某天是“中浪”，则第二天是“大浪”的概率为，“中浪”的概率为现已知某天为“中浪”，记该天的后三天出现“大浪”的天数为X，求X的分布列和数学期望.20. 如图，四棱锥中，为等腰三角形，，，，证明：；若，点M在线段PB上，，求平面DMC与平面PAD夹角的余弦值.21. 我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，点M，N分别为椭圆的左、右顶点.求双曲线的方程；设过点的动直线l交双曲线右支于A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为，试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；求的取值范围.22. 已知函数若在定义域上具有唯一单调性，求k的取值范围；当时，证明：答案和解析1.【答案】C【解析】解：，，，则，，，，，故选：分别将两个集合中的元素表示出来，再求补集，交集．本题考查集合的运算，考查二次不等式的解法，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：因为，所以复数对应的点为在第四象限，故选：利用复数的运算性质化简复数z，求出对应的点的坐标，由此即可求解．本题考查了复数的运算性质，涉及到复数的实际意义，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：已知平面向量的夹角为，且，则，则，故选：由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解即可．本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．4.【答案】A【解析】解：如图所示，在平面中，连接与DA交于H，则，在平面中，连接与DC交于G，则，则GH为平面与平面ABCD的交线l，且，而在等边中AC与所成的角为，故l与直线所成角为故选：作出平面与平面ABCD的交线l，再求l与直线所成角．本题考查异面直线所成的角的求法，属基础题．5.【答案】B【解析】解：由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有种，故选：根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解．本题考查了排列组合的应用，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：，当，则，此时，则函数关于对称，故A错误，当，则，此时，则函数关于对称，故B错误，当，则，此时，则函数关于对称，故C正确，当，则，此时，则函数关于点对称，故D错误，故选：利用辅助角公式进行化简，然后分别利用对称性进行判断即可．本题主要考查三角函数对称性的判断，根据辅助角公式进行化简是解决本题的关键，是中档题．7.【答案】B【解析】解：在三棱锥中，底面ABC，如图所示：在中，，，利用余弦定理：，解得：，设的外接圆的半径为R，利用正弦定理，解得，过点E作的垂线和AP的垂直平分线交于点O，即点O为三棱锥外接球的球心，设球的半径为r，故；所以故选：首先利用正弦定理和余弦定理求出三棱锥的外接球的半径，进一步利用球的表面积公式求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，求和三棱锥的关系，球的表面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．8.【答案】D【解析】解：，，，，设，，所以在上单调递减，因为，所以，所以，，令，，，所以在上单调递增，又，所以，所以，所以，故选：，，，则，设，，求导分析单调性，即可得出b与a的大小关系；，令，，求导分析单调性，即可得出b与c的大小关系，即可得出答案．本题考查函数的单调性，数的大小，属于基础题．9.【答案】AB【解析】解：对于A，因为对，，所以是R上的奇函数，故A正确；对于B，由得或，所以的单调递增区间为和，故B正确；对于C，因为时，，所以无最大值，故C错误；对于D，由得，经检验是函数的极大值点，是函数的极小值点，极值点是实数，故D错误，故选：根据奇偶性的定义可判断A；对函数求导，令可得函数的增区间，即可判断B；根据时，，所以无最大值，即可判断C；由得，检验可得为函数的极值点，即可判断本题主要考查了三次函数的性质，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：在平行六面体中，取，，，，，，，对于A：，，，则，故直线与BD所成的角为，故A正确；对于B：，则，即，故B错误；对于C：，故，即，故直线与所成的角为，故C正确；对于D：在平行六面体中，四边形ABCD是菱形，则，又，，平面，平面，平面，又平面ABCD，则平面平面ABCD，连接AC交BD于点O，过点作于点E，如图所示：平面平面，平面，平面ABCD，直线与平面ABCD所成角为，，则，即，在中，，故D错误，故选：在平行六面体中，取，，，利用空间向量的线性运算，逐一分析选项，即可得出答案．本题考查直线与平面的夹角、异面直线的夹角，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11.【答案】BCD【解析】解：对A，根据中点公式得，将其代入C：得，则，所以抛物线C：的准线方程为，故A错误；对B，因为，则直线OB的斜率为a，则直线OB的方程为，将其代入C：得，解得或舍去，此时，则，所以B为ON中点，故B正确；对C，C：，即，则，故抛物线C在点N处的切线的斜率为，故切线方程为，令得，所以直线AN为C的切线，故C正确；对D，抛物线C：在处的切线方程的斜率为，而直线ON的斜率为a，则两直线的斜率相等，且两直线显然不可能重合，所以C在点M处的切线与直线ON平行．故选：将代入抛物线得，则得到其准线方程，则可判断A，联立直线OB的方程与抛物线方程即可得到，即可判断B，利用导数求出抛物线C在点N处的切线方程，令，则可判断C，再次利用导数求出抛物线在处的切线斜率，则可判断本题考查了抛物线的性质，属于中档题．12.【答案】ABC【解析】解：对于A，由为偶函数得，即有，则的图象关于直线对称，对两边同时求导得：，令，得，故A正确；对于B，由关于直线对称得，由，得，所以，即的图象关于直线对称，故B正确；对于C，对两边同时求导得，由，得，则，即，所以的图象关于直线对称，故C正确；对于D，由，得，结合C选项可知，，即，所以，所以4是函数的一个周期，由，得4也是函数的一个周期，由，得，所以，故D错误．故选：根据为偶函数，可得，两边求导即可判断A；由关于直线对称得，结合，即可判断B；根据，两边同时求导得，从而可判断C；先求出函数和的周期，再结合函数的对称性即可判断本题考查了复合函数的奇偶性、周期性、对数性及复合函数的求导、导数的对称性及奇偶性，属于中档题．13.【答案】60【解析】解：的展开式的通项公式为，，1，，当，即时，；当时，无解；展开式中的常数项为，故答案为：当前边括号取3时，后边括号取常数项；当前边括号取x时，后边括号取项，无解；由此计算出常数项即可．本题考查二项式展开式的应用，考查学生计算能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：圆C：的圆心坐标为，半径为由直线l：，得，联立，解得直线l过定点，又，点在圆内部，则当直线l与线段PC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小．此时直线l被圆C截得的弦长的最小值为故答案为：由圆的方程求出圆心坐标与半径，由直线方程可得直线过定点，求得，再由垂径定理求得直线l被圆C截得的弦长的最小值．本题考查直线与圆的位置关系，考查了垂径定理的应用，属中档题．15.【答案】【解析】解：根据题意设MN中点，又，直线的斜率为，又，直线MN的斜率为，设，，则，两式相减可得：，，，椭圆E的离心率，故答案为：根据直线垂直的条件，点差法，方程思想，化归转化思想，即可求解．本题考查椭圆的离心率的求解，点差法的应用，方程思想，属中档题．16.【答案】【解析】解：设切点为，则，过点P的切线方程为，代入点P坐标化简为，即这个方程有三个不等根即可，令，求导得到，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，又，当时，，要使方程有三个不等实数根，则，的取值范围是：故答案为：求出函数的导函数，可得函数的最值，即可求得实数m的取值范围．本题考查的是导数的几何意义的应用，将函数的切线条数转化为切点个数问题，最终转化为零点个数问题是解决此题的关键，是中档题．17.【答案】解：因为，是锐角，所以P，Q在第一象限，又因为P，Q在单位圆上，点P的纵坐标为，点Q的横坐标为，所以，所以故选①：由中结论可得，又，，由余弦定理可得，即，，，，当时，等号成立，，即当为等边三角形时，周长最大，最大值为选②：由可知，则，由正弦定理，可得，故，则【解析】先利用三角函数的定义与同角的平方关系求得，，，，再利用余弦的和差公式即可得解；选①：先结合中条件得到，再利用余弦定理与基本不等式推得，从而得解；选②：先结合中条件求得，再利用正弦定理求得a，b，从而利用三角形面积公式即可得解．本题考查了正余弦定理、三角函数的定义以及基本不等式的应用，属于中档题．18.【答案】解：在递增数列中，，为函数的两个零点，可得，，公差，则数列是首项为5，公差为2的等差数列，则，则；证明：，则，因为，所以【解析】令，解方程可得，，再由等差数列的通项公式和数列的恒等式，等差数列的求和公式，计算可得所求通项公式；求得，再由数列的裂项相消求和，结合不等式的性质可得证明．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．19.【答案】解：记这天浪级是“微浪”为事件，浪级是“小浪”为事件，浪级是“中浪”为事件，浪级是“大浪”为事件，该渔船当天出海作业为事件B ，则由题意可知：，，，所以依题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，所以，，，，则X 的分布列为：X 0123P所以【解析】根据频率分布直方图计算频率即可估计二月份的某天各种海浪等级出现的概率；根据全概率公式可求得该渔船在这天出海作业的概率；依题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率，即可得出分布列，根据期望公式求出期望．本题主要考查概率的求法，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．20.【答案】证明：取AD的中点O，连接OP，OC，如图，因为，则，又，即有，而，于是四边形ABCO为平行四边形，又，则，又，PO，平面POC，所以平面POC，又，因此平面POC，而平面POC，所以；解：因为，，且，AD，平面PAD，则平面PAD，又，则平面PAD，分别以OC，OP，OD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，又，则，，又，则，所以，，，，，则，，设平面DMC的法向量为，则，令，得，又平面PAD的一个法向量为，则，所以平面DMC与平面PAD夹角的余弦值为【解析】根据给定条件，取AD的中点O，利用线面垂直的判定证明平面POC即可推理作答；以O为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答．本题考查了线线垂直的证明和二面角的计算，属于中档题．21.【答案】解：由题意可设双曲线：，则，解得，双曲线的方程为；设，，直线AB的方程为，由，消去x得，则，，且，，；设直线AM：，代入双曲线方程并整理得，由于点M为双曲线的左顶点，此方程有一根为，，解得，点A在双曲线的右支上，，解得，即，同理可得，由，，【解析】由题意可设双曲线：，利用，可求b；设，，直线AB的方程为，与双曲线联立方程组可得，，进而计算可得为定值．设直线AM：，代入双曲线方程可得，进而可得，，进而由可得，进而求得的取值范围．本题考查椭圆和双曲线的标准方程与离心率，双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，渐近线与双曲线的位置关系，属中档题．22.【答案】解：由题意得的定义域为，，若在定义域上单调递增，则恒成立，即在上恒成立，又，；若在定义域上单调递减，则恒成立，即在上恒成立，而这样的k不存在；综上所述：在定义域上单调递增，且，所以k的取值范围为；证明：要证成立，只需证，只需证，只需证，只需证，当时，，原不等式即证，由知在上单调递增，，，又，则，原不等式成立．【解析】求导后若在定义域上单调递增，则恒成立，若在定义域上单调递减，则恒成立，利用恒成立知识即可求解；，再根据的单调性即可得证．本题考查了导数的综合应用，属于中档题．。

安徽省江南十校2013届高三下学期3月联考数学理试题本试卷分第I 卷（选择题50分）和第II 卷（非选择题100分）两部分.全卷满分150 分，考试时间120分钟.考生注意事项：1.答通前，务必在试趙卷、答題卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。

2.选择超每小趙选出答案后，用2B 铅笔把答題卡对应趙目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；答在试卷上的无效。

3.非选择超必须用O.5毫米的黑色墨水签字笔在等琴卞士作答，要求字体工整、笔迹清 晰。

不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答“答案无效.必须在題号所指示的答 通区域作答，超出答规区城书写的答案无效，在试M 卷、草稿纸上答趙无效。

参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么P(A +B) = P(A)+P(B); 如果事件A 与B 相互独立，那么P(AB) = P(A)P(B); 第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本大題共10小題，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.(1) 若a+ bi=i 215+ (i 是虚数单位，a ，b ∈R),则ab=(A) -2 (B) -i (C) i (D) 2 (2) 一次数学测验后，从甲、乙两班各抽取9名同学的成绩进行统计分析，绘成茎叶图如右图.据此估计两个班成绩的中位数的差的绝对值为 (A) 8 (B) 5 (C) 4 (D) 2(3)已知正项等差数列{an}满足：)2(211≥=+-+n a a a n n n 等比数列{bn}满足：)2(211≥=-+n b b b n n n ， 则log2(a2+b2)=(A) -1或 2 (B) 0或 2 (C) 2 (D) 1(4) 己知正四棱柱ABCd-A1B1C1D1底面是边长为1的正方形，若平开始 面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A1的距离为1,则异面直线AA1 , BC1所成的角为(A) 6π (B) 4π (C) 3π (D) 125π(5) 右图是寻找“徽数”的程序框图.其中“S mod l0表示自然 数S 被10除所得的余数，“S \ 10”表示自然数S 被10除所 得的商.则根据上述程序框图，输出的“徽数S ”为(A) 18 (B) 16 (C) 14 (D) 120)(>'x f ，0)(>'x g 则当x<0时，有 (A) 0)(,0)(<'<'x g x f(B) 0)(,0)(<'>'x g x f(C) 0)(,0)(>'>'x g x f (D) 0)(,0)(>'<'x g x f(7) 已知直线/过抛物线y2=4x 的焦点F,交抛物线于A 、B 两点，且点A 、B 到y 轴 的距离分别为m,n 则m+ n+ 2的最小值为(A)24 (B) 26 (C) 4 (D) 6 (8) 若9922109)1(...)1()1()2(+++++++=++x a x a x a a m x ，且(a1+a3+...+a9)2-(a0+a2+...+a8=39,则实数m 的值为 (A) 1或-3 (B) -1或3 (C) 1 (D) -3 (9) 如图，ΔABC 中，A ∠ = 600, A ∠的平分线交BC 于D,若AB = 4,且)则AD 的长为(A) 22 (B) 23(C) 24(D) 25 (10) 已知函数，，，若,且当时，恒成立，则的最大值为(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 52013年安徽省“江南十校”高三联考 数学（理科） 第II 卷（非选择題 共100分） 二、填空题(11) 在极坐标系中，直线01sin cos =+-θρθρ与圆θρsin 2=的位置关系是______(12) 设动点P(x,y)在区域Ω:⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥40y x x y x 上（含边界)，过点P 任作直线l,设直线l 与区域Ω的公共部分为线段Ab ，则以 AB 为直径的圆的面积的最大值为______. (13) 一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为_______.(14) 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数， 那么就称它们为一个逆序.一个排列中逆序的总数就称作这个排列的逆序数.如排列 1,3,5,4,2中，3，2 ; 5,4 ; 5,2 ; 4,2为逆序，逆序数是4.现有从1〜101这101个自然数的排列:1，3，5，7，…,99 ,101 ,100 ,98，…,6,4,2 ,则此排 列的逆(15) 已知Δ的内角A 、B, C 成等差数列，且A,B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 则下列命题中正确的有______(把所有正确的命题序号都填上).①B=3π②若a,b 、c 成等比数列，则ΔABC 为等边三角形； ③若a= 2c,则ΔABC 为锐角三角形；④若CB CA BC BA AC AB AB (2)++=，则3A = C; ⑤若tanA tanC +3>0,则ΔABC 为钝角三角形；三、解答题：本大颶共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(16) (本小题满分12分）将函数:y= sin:C 的图像向右平移3π个单位，再将所得的图像上各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的4倍，这样就得到函数/(X)的图像，若3cos )()(+=x x f x g(I)将函数g(x)化成. B x A ++)sin(ϕω（其中]2,2[,0,ππϕω-∈>A ）的形式；(II)若函数g(x)在区间上的最大值为2,试求θ0的最小值.(17) (本小題满分12分）某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了m 位校友(m>8且 *N n ∈),其中女校友6位，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机 从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合(I )若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于21，求n 的最大值；(II)当n =12时，设选出的2位校友中女校友人数为ξ，求ξ的分布列和ξE(18) (本小題满分12分）如图,直角梯形ABCD 中，090=∠=∠B A ，AD = AB = 2， BC = 3，E ，F 分别是AD,BC 上的两点，且AE =BF ＝1，G 为AB 中点,将四边形ABFE 五沿EF 折起到(如图2)所示的位置，使得EG 丄GC ，连接 AD 、BC 、AC 得(图2)所示六面体. (I )求证：EG 丄平面CFG;(II)求二面角A —CD-E 的余弦值.(19) (本小超满分13分）已知函数x x ax x f ln 32)(--=，其中a 为常数.(I )当函数f(x)图象在点))32(,32(f 处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在]3,23[上的最小值； (II)若函数f(x)在区间(0，∞)上既有极大值又有极小值，求a 的取值范围；(III)在（I)的条件下，过点P(1，-4)作函数F(x)=x2[f(x)+3lnx-3]图象的切线，试问这样的切线有几条？并求出这些切线方程.(20) (本小《满分13分）己知数列{an}满足：a1=1,且成等差数列. 又正项数列{bn}满足b1=e,且是bn 与bn+1的等比中项.(1)求证：{2n-1an}为等差数列，并求出数列{an}的通项 (II)求证：都有.(21) (本小题满分13分）已知椭圆)0(12222>>=+babyax与双曲线)30(1322222<<=-+mnymx有公共的焦点，过椭圆E的右顶点及任意作直线l,设直线l交抛物线:y2=2x于M、N两点,且OM丄ON.(I) 求双曲线的焦点坐标和椭圆E的方程；(II)设P是椭圆E上第一象限内的点，点P关于原点0的对称点为A、关于x轴的对称点为Q,线段PQ与x轴相交于点C,点D为CQ的中点，若直线AD与椭圆E 的另一个交点为B,试判断直线PA、PB是否相互垂直？并证明你的结论.2013年安徽省“江南十校”高三联考数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．（1）A ． （2）D ． （3）C ． （4）B. （5）D ． （6）A ． （7）C ． （8）A ． （9）B. （10）D ． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．（11）相交． （12）π4． （13）π34． （14）2500． （15）①②④ 三、解答题：本大题共6小题，共75分． （16）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题可得)3sin(4)(π-=x x f …………………………………………………2分3cos )3sin(4)(+-=∴x x x g π……………………………………………………3分3)cos 3cos (sin 2 3cos )cos 23sin 21(4 2+-=+-=x x x x x x)32sin(2 π-=x ………………………………………………………………6分（Ⅱ）方法1：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈0,12θπx ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈-∴32,2320πθππx ………………………8分 要使函数)(x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,12θπ上的最大值为2，当且仅当2320ππθ≥-， 解得1250πθ≥………………………………………………………………………11分故0θ的最小值为125π…………………………………………………………………12分方法2：设223222πππππ+≤-≤-k x k ，解得)(12512Z k k x k ∈+≤≤-ππππ得函数)(x g 的增区间为)](125,12[Z k k k ∈+-ππππ ………………………………8分取0=k 得)(x f 的一个增区间]125,12[ππ-，此时)(x f 的从2-增加到2 ………10分由题可得0θ的最小值为125π…………………………………………………………12分（17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题可知，所选两人为“最佳组合”的概率)1()6(1221616--==-n n n C C C n n ………3分 则21)1()6(12≥--n n n …………………………………………………………………4分 化简得0144252≤+-n n ，解得169≤≤n ，故n 的最大值为16 …………… 6分 （Ⅱ）由题意得，ξ的可能取值为0，1，2 …………………………………………7分则,2250(21226===C C P ）ξ,116)1(2121616===C C C P ξ225)2(21226===C C P ξ∴1225211612250=⨯+⨯+⨯=ξE …………………………………………………12分（18）（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）F 、E 分别是BC AD ,上的两点，1==BF AE∴四边形ABFE 为矩形∴折叠后BF EF FC EF ⊥⊥,，即⊥EF 平面BFC连接GF ︒=∠∴===902,1,1EGF AB BF AE GC EG ⊥⊥∴EG 平面CFG …………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知EG FC ⊥EF FC ⊥⊥∴FC 平面ABFEBF FC ⊥∴ ………………………………………7分方法一：如图建系xyz F -则A （1,0,2）C （0,2,0）D （0,1,2）设1n =()z y x ,,为平面ACD 的法向量，)2,1,0(),0,1,1(-=-=CD AD⎩⎨⎧=+-=+-∴020z y y x 得⎩⎨⎧==z y x y 2．则令1=z 得)1,2,2(1=n …………………9分 又)0,0,1(2=n 为平面CDEF 的法向量，设二面角E CD A --为θ，则321442=++=，即32cos =θ …12分方法二：延长CD 与FE 的延长线交于P 点，过E 作DP EH ⊥垂足为H连结EH 、AH ，则EHA ∠为二面角E CD A --的平面角，设二面角E CD A --为θ，由DE =1，得EP =2，则EH =52，53,1=∴=AH AE =∠∴AHE cos 32即32cos =θ……………12分（19）（本小题满分13分）解:（Ⅰ）由题可知1)32(='f ，解得1=a ………1分 故x x x x f ln 32)(--=，2)2)(1()(x x x x f --='∴，由0)(='x f 得2=x ………2分………………………………………………………3分 于是可得：2ln 31 )2()(-==f x f 小……………………………………………………4分解（Ⅱ）)0(2332)(222>+-=-+='x x x ax x x a x f ………5分由题可得方程0232=+-x ax 有两个不等的正实根，不妨设这两个根为21x x 、，并令23)(2+-=x ax x h则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=>=+>-=∆020********a x x a x x a （也可以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>⇒>-->-=∆0)0(0023089h a a a ） ………………………………7分解得890<<a ………8分解（Ⅲ）由（Ⅰ）x x x x f ln 32)(--=，故)0(23)(23>--=x x x x x F ，)0(263)(2>--='x x x x F …………9分设切点为T),(00y x ，由于点P 在函数)(x F 的图像上，（1）当切点T 不与点)4,1(-P 重合，即当10≠x 时．由于切线过点)4,1(-P ，则2631402000--=-+x x x y所以)263)(1(423020002030---=+--x x x x x x ， 化简得013302030=-+-x x x ，即0)1(30=-x ，解得10=x （舍去）……12分 )4,1(-P 1=x则切线的斜率5)1(-='=F k ，于是切线方程为015=-+y x综上所述，满足条件的切线只有一条，其方程为015=-+y x ……………13分（注：若没有分“点T 是否与点P 重合”讨论，只要过程合理结论正确，本小题只扣1分）（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）证明：由题可知11212-++=n n n a a则nn n a a 21211=-+ ………………………………………………………………2分 12211=-∴-+n n n n a a故数列{}n n a 12-是首项和公差都为1的等差数列 ………………………………4分na n n =∴-1212-=∴n n na ………………………………………………………………6分（Ⅱ）由12-=n n na 可知，只需证：12ln ln ln 21-≥+++nn b b b ………………7分证明：（1）当1=n 时，左边1122=-=a ，右边1ln ==e ，则左边≥右边；（2）当2≥n 时，由题可知n n n b b b +=+21和0>n b ， 则n n n n b b b b ln 2ln ,121>∴>++ ……………………………………………………………10分 则1112212ln 2ln 2ln 2ln ----=>>>>n n n n n b b b b …………………………………11分1221)21(1221ln ln ln 121-=--=+++>+++∴-n n n n b b b综上所述，当+∈N n 时，原不等式成立 ………………………………………………13分 （21）（本小题满分13分） 解:（Ⅰ）（1）由题可知3322=-+=m m c 双)0,3()0,3(21F F 、- ……………………………2分（2）设点M ),(11y x 、N ),(22y x ，设直线l ：a x ty -=，代入x y 22=并整理得 0222=--a ty y ，所以⎩⎨⎧-==+a y y t y y 222121 ……………………………………3分02 2)2)(1( )()1( ))((222222121221212121=-=++-+=++++=+++=+=⋅a a a at a t a y y at y y t y y a ty a ty y y x x 故解得2=a ……………………………………………………………………………5分由（1）得3=c ，所以椭圆E 的方程为1422=+y x …………………………6分（Ⅱ）判断结果：PB PA ⊥恒成立.................7分证明：设P ),(00y x ，则A ),(00y x --，D )21,(00y x -，442020=+y x …………8分 将直线AD 的方程0000)(4y x x x y y -+=代入椭圆方程并整理得01696)4(20202020022020=-+-+x y x x y x x y x ，. ..... ...... ..... ..... ...... ..... ..... ...... ......9分由题可知此方程必有一根为0x -．于是解得020*******x y x y x x B ++=， 所以2020020300020202000042)246(4y x y x y y x y x y x x y y B +-=-++= ………………………11分 所以020002020202000202002030664642y x y x y x y x y x y y x y x y k PB -=-=+-+-= ………………………………12分故10000-=⨯-=x y y x k k PB PA ，即PB PA ⊥ ………………………………………13分解法2：判断结果：PB PA ⊥恒成立 ………………………………………………7分证明：过点P 作直线AP 的垂线，得与椭圆的另一个交点为B '，所以，要证PB PA ⊥，只要证A 、D 、B '三点共线．设P ),(00y x ，则A ),(00y x --， D )21,(00y x -，442020=+y x ..................8分 将直线B P '的方程0000)(y x x y x y +--=代入椭圆方程并整理得04)(4)(8)4(20220202020022020=-+++-+y y x x y x x x y x ............ ...... ................10分由题可知此方程的一根为0x ，解得20202003002020202004744)(8y x y x x x y x y x x x B ++=-++='， 所以202002030020202003000042)474(y x y x y x y x y x x y x y y B +-=-++⨯-=' …………………………11分 则0020200020300020202020002020020304)(822)4)(8()42(x y y x x y x y x x y x y x x y y x y x y k B A =++=+-++÷++-='…………12分 又000000421x y x x y y k AD =++-=，所以B A AD k k '=，故B D A '、、三点共线．∴PB PA ⊥ ……………………………………………………………………………13分解法3：判断结果：PB PA ⊥恒成立................7分证明：设),(),(0011y x P y x B 、，则),(00y x A --，14,1420202121=+=+y x y x ，两式相减得4120212021-=--x x y y ，故412021************-=--=--⋅++=⋅x x y y x x y y x x y y k k BPBA ……………………10分又000000421x y x x y y k k AD AB =++-==，代入上式可得0000441y x x y k PB -=÷-= …12分 所以1)(0000-=-=y x x y k k PB PA ，即PB PA ⊥ ………………………………………13分。

2024届安徽省“江南十校”联考数学（答案在最后）姓名__________座位号__________注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}221,10x A x B x x =≥=->∣∣，则A B ⋃=（）A.{}11x x -<< B.{}01x x ≤< C.{}1x x >- D.{}0x x ≥【答案】C 【解析】【分析】根据指数函数的单调性，结合一元二次不等式的解法、集合并集的定义进行求解即可.【详解】因为{}{}{}{}2210,1011xA x x xB x x x x =≥=≥=->=-<<，所以A B ⋃={}1x x >-，故选：C2.已知复数z 满足()12i 43i z +=+，则z =（）A.2i + B.2i- C.2i 5-+ D.2i 5--【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法和共轭复数的概念即可得到答案.【详解】()()()()43i 12i 43i 105i2i 12i 12i 12i 5z +-+-====-++-,所以2i z =+.故选：A.3.已知向量,a b 满足()()1,,3,1a b m a b +=-= .若//a b ，则实数m =（）A.13-B.13C.3D.-3【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，求出,a b的坐标，再利用向量共线的坐标表示计算即得.【详解】由()()1,,3,1a b m a b +=-= ，得11(2,),(1,)22m m a b +-==- ，由//a b，得112022m m -+⋅+=，所以13m =.故选：B4.已知函数π()3sin(2)(||)2f x x ϕϕ=+<的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数()g x 的图象.若()g x 是偶函数，则ϕ为（）A.π6B.π6-C.π3D.π3-【答案】B 【解析】【分析】利用给定的图象变换求出()g x 的解析式，再利用正弦函数的奇偶性列式计算即得.【详解】依题意，()ππ3sin 263g x f x x ϕ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()g x 是偶函数，得πππ,Z 32k k ϕ-+=+∈，而π||2ϕ<，则π1,6k ϕ=-=-.故选：B5.酒驾严重危害交通安全.为了保障交通安全，交通法规定：机动车驾驶人每100ml 血液中酒精含量达到2079mg 为酒后驾车，80mg 及以上为醉酒驾车.若某机动车驾驶员饮酒后，其血液中酒精含量上升到了1.2m g /m l .假设他停止饮酒后，其血液中酒精含量以每小时20%的速度减少，则他能驾驶需要的时间至少为（）（精确到0.001.参考数据：lg20.3010,lg30.4771≈≈）A.7.963小时B.8.005小时C.8.022小时D.8.105小时【答案】C 【解析】【分析】根据题意列出指数不等式，根据对数运算法则即可计算.【详解】由已知得：1.20.80.2x ⨯<，所以lg 6lg 2lg 313lg 213lg 2x +>=--，即0.30100.47710.77818.022130.30100.0970x +>=≈-⨯，所以8.022x >故选：C.6.已知函数()1ln f x x x=-在点()1,1-处的切线与曲线()212y ax a x =+--只有一个公共点，则实数a 的取值范围为（）A.{}1,9 B.{}0,1,9 C.{}1,9-- D.{}0,1,9--【答案】B 【解析】【分析】求出切线方程，再对a 分0a =和0a ≠讨论即可.【详解】由211()f x x x'=+得(1)2f '=，所以切线方程是2(1)123y x x =--=-，①若0a =，则曲线为2y x =--，显然切线与该曲线只有一个公共点，②若0a ≠，则223(1)2x ax a x -=+--，即2(3)10ax a x +-+=，由2(3)40a a ∆=--=，即21090a a -+=，得1a =或9a =，综上:0a =或1a =或9a =.故选：B.7.已知圆22:8120C x y x +-+=，点M .过原点的直线与圆C 相交于两个不同的点,A B ，则||MA MB +的取值范围为（）A.2)-+B.2]+ C.4)-+ D.4]+【答案】D 【解析】【分析】取线段AB 的中点P ，求出点P 的轨迹方程，再利用平面向量数量积的运算律及圆的性质求解即得.【详解】圆22:(4)4C x y -+=的圆心(4,0)C ，半径为2，取线段AB 的中点P ，连接CP ，当P 与圆C 的圆心C 不重合时，CP OP ⊥，点P 在以线段OC 为直径的圆在圆C 内的圆弧上，当P 与C 重合时，也在此圆弧上，因此点P 的轨迹是以线段OC 为直径的圆在圆C 内的圆弧，圆弧所在圆心为()2,0，方程为22(2)4(34)x y x -+=<≤，显然|||2|M MA MB P += ，过点M 与点(2,0)的直线斜率12k =-，过点M与点3(,的直线斜率23k =-，显然21k k <，即过点M 与点(2,0)的直线与该圆弧相交，因此max ||22MP == ，点M与点的距离为3，则||3MP > ，所以||MA MB +的取值范围为4]+.故选：D8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且111,1,1n n n n a S n a b a +=+==+，则使得n T M <恒成立的实数M 的最小值为（）A.1B.32 C.76D.2【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出数列{}1n a +的通项，再利用等比数列前n 项和公式求出n T 即可得解.【详解】数列{}n a 中，11a =，1n n a S n +=+，当2n ≥时，11n n a S n -=+-，两式相减得11n n n a a a +-=+，即121n n a a +=+，整理得112(1)n n a a ++=+，而211112a S a =+=+=，因此数列{}(2)1n a n +≥是首项为3，公比为2的等比数列，2132n n a -+=⨯，11a =不满足上式，则111112b a ==+，当2n ≥时，21132n n b -=⨯，1211111211721232332612n n n T ---=+⨯=+-⨯<-，而111726T b ==<，依题意，76M ≥，所以实数M 的最小值为76.故选：C【点睛】思路点睛：给出n S 与n a 的递推关系，求n a ，常用思路是：一是利用1n n n S S a +-=转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a .二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.箱线图是用来表示一组或多组数据分布情况的统计图，因形似箱子而得名.在箱线图中（如图1），箱体中部的粗实线表示中位数；中间箱体的上､下底，分别是数据的上四分位数（75%分位数）和下四分位数（25%分位数）；整个箱体的高度为四分位距；位于最下面和最上面的实横线分别表示最小值和最大值（有时候箱子外部会有一些点，它们是数据中的异常值）.图2为某地区2023年5月和6月的空气质量指数（AQI ）箱线图.AQI 值越小，空气质量越好；AQI 值超过200，说明污染严重.则（）A.该地区2023年5月有严重污染天气B.该地区2023年6月的AQI 值比5月的AQI 值集中C.该地区2023年5月的AQI 值比6月的AQI 值集中D.从整体上看，该地区2023年5月的空气质量略好于6月【答案】ACD 【解析】【分析】根据给定信息，结合图示，逐项判断即得.【详解】对于A ，图2所示中5月份有AQI 值超过200的异常值，A 正确；对于B ，C ，图2中5月份的箱体高度比6月份的箱体高度小，说明5月的AQI 值比6月的AQI 值集中，B 错误，C 正确；对于D ，虽然5月有严重污染天气，但从图2所示中5月份箱体整体上比6月份箱体偏下且箱体高度小，AQI 值整体集中于较小值，说明从整体上看，该地区2023年5月的空气质量略好于6月，D 正确.故选：ACD10.已知抛物线2:2E y px =的焦点为F ，从点F 发出的光线经过抛物线上的点P （原点除外）反射，则反射光线平行于x 轴.经过点F 且垂直于x 轴的直线交抛物线E 于,B C 两点，经过点P 且垂直于x 轴的直线交x 轴于点Q ；抛物线E 在点P 处的切线l 与,x y 轴分别交于点,M N ，则（）A.2||PQ BF QF=⋅ B.2||PQ BC OQ=⋅C.PF MF = D.FN l⊥【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，得到各线段的长度，从而判断AB ，利用抛物线光学性质，结合抛物线的定义判断CD.【详解】对于AB ，设点(,)P x y ，则(,0)Q x ，y =，则||PQ =,2pBF p QF x ==-，所以2||22pPQ px px BF QF =≠-=⋅，故A 错误；又||2,||BC p OQ x ==，则2||2PQ px BC OQ ==⋅，故B 正确；对于C ，如下图所示，过点P 作x 轴的平行线RH ，与抛物线E 的准线KH 交于点H ，又题意所给抛物线的光学性质可得SPR MPF ∠=∠，又SPR PMF ∠=∠，所以MPF PMF ∠=∠，从而||||PF MF =，故C 正确；对于D ，因为SPR HPM ∠=∠，所以MPF HPM ∠=∠，即PM 为HPF ∠的角平分线，又由抛物线定义知PH PF =，结合||||PF MF =，可得四边形MFPH 为菱形，而y 轴经过线段FH 中点，从而PM 与y 轴的交点即为点N ，所以FN l ⊥，故D 正确.故选：BCD.11.已知点,,,S A B C均在半径为的球面上，ABC是边长为的等边三角形，SA BC ⊥，SA =，则三棱锥S ABC -的体积可以为（）A.3B.C.D.【答案】BC 【解析】【分析】利用线线垂直构造面面垂直结合三棱锥的外接球特征分类讨论计算即可.【详解】取,BC SA 的中点,D F ，设三棱锥S ABC -的外接球球心为O，半径R =作⊥EO AD 于E ，连接,,AO AD OF ，易知,,AD BC AS AD A AS AD ⊥⋂=⊂、平面ADS ，因为SA BC ⊥，所以BC ⊥平面ADS ，又BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC⊥平面ADS ，作⊥SG AD 于G 点，平面ABC ⋂平面ADS AD =，则SG ⊥平面ABC ，故三棱锥S ABC -的体积为211334ABC V S SG AB SG =⋅=⨯⨯⨯= ，由题意可知22,1,32AE AD OA OE OF ===⇒===，即11tan ,tan 23OAE OAF ∠=∠=，若S 在直线AO 的下方，则()111323tan tan 1175123SAD EAO FAO SG -∠=∠-∠====+⨯，若S 在直线AO 的上方，则()1123tan tan 1311123SAD EAO FAO SG +∠=∠+∠====-⨯，综上所述V =或335.故选：BC【点睛】思路点睛：先根据条件得出球心与S 点所在平面垂直于底面ABC ，再根据三棱锥的外接球性质及勾股定理计算夹角,OAE OAF ∠∠，最后分类讨论S 点的位置计算三棱锥的高即可.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.从0,2,4,6中任意选1个数字，从1,3,5中任意选2个数字，得到没有重复数字的三位数.在所组成的三位数中任选一个，则该数是偶数的概率为__________.【答案】411【解析】【分析】根据两个计数原理及古典概型计算即可.【详解】根据题意可知：若从0,2,4,6中任意选1个不为0的数字有13C 3=种选法，从1,3,5中任意选2个数字有23C 3=种选法，由选出的3个数字组成三位数有3！种组法，共333!54⨯⨯=种方法，其中偶数有1233C A 18⨯=个；若从0,2,4,6中选0，再从1,3,5中任意选2个数字有23C 3=种选法，由选出的3个数字组成三位数有12C 2!4⨯=种组法，共13412⨯⨯=种方法，其中偶数有23A 6=个；所以该数为偶数的概率为1864541211P +==+.故答案为：41113.若函数()2f x +为偶函数，()15y g x =+-是奇函数，且()()22f x g x -+=，则()2023f =__________.【答案】3-【解析】【分析】根据抽象函数的奇偶性、对称性、周期性计算即可.【详解】由题意可知()f x 关于2x =轴对称，()g x 关于()1,5中心对称，()()()()()()2221022228f x g x f x g x f x g x -+=⇒-+--=⇒---=-，所以()()8f x g x -=-，故()()()()262f x f x f x f x +-=-=++，所以()()()()2464f x f x f x f x +++=-⇒=+，即4T =是()f x 的一个正周期，则()()()202331f f f ==由()()()()26136f x f x f f -+=-⇒-+=-，且()()13f f -=，则()13f =-，故答案为：3-14.过双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点F 的直线分别在第一､第二象限交E 的两条渐近线于,M N 两点，且OM MN ⊥.若23OM MN ON a +-=，则双曲线E 的离心率为__________.【答案】【解析】【分析】根据渐近线的斜率与倾斜角的关系，结合正切二倍角的公式、正切的定义、勾股定理、双曲线离心率的公式进行求解即可.【详解】由题意可知该双曲线的渐近线方程为by x a=±，如图所示：令MOF θ∠=，于是有tan b aθ=，由双曲线和两条渐近线的对称性可得：π2MON θ∠=-，因为OM MN ⊥，所以ππππ00π22242MON θθ<∠<⇒<-<⇒<<，即tan 1bb a aθ=>⇒>，在直角三角形MOF 中，设()tan 0,MF bm m MF bm OM am OMaθ===>⇒==，根据勾股定理可得：222222222221MF OM OF b m a m c c m c m +=⇒+=⇒=⇒=，或1m =-舍去，即,MF b OM a ==，在直角三角形MON 中，()222222tan tan π2tan 21bNM NM aba MONb b a OM a a θθ∠=-=-=-===--2222a bNM b a⇒=-，由勾股定理可知：22222222222a b ac ON NM OM a b a b a ⎛⎫=+=+= ⎪--⎝⎭，因为23OM MN ON a +-=，所以()2222222222222226306303a b ac a a b a ab c b a ab a b b a b a +-=⇒-+-=⇒-+-+=--2223230202b bb b a ab a a a ⎛⎫⇒+-=⇒-+=⇒= ⎪⎝⎭，或1b a =舍去，由222222224455b b c a c e a a a a-=⇒=⇒=⇒=⇒=，故答案为：5【点睛】关键点睛：本题的关键是利用二倍角的正切公式、由已知等式化简成为,a b 的齐次方程，进而求出双曲线的离心率.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知,,a b c 分别是ABC 三个内角,,A B C 3sin cos c A a C b c +=+.（1）求A ；（2）若2BC =，将射线BA 和CA 分别绕点,B C 顺时针旋转15 ，30 ，旋转后相交于点D （如图所示），且30DBC ∠= ，求AD .【答案】（1）π3A =（2）63【解析】【分析】（1）根据正弦定理实现边角转化，结合两角和的正弦公式、辅助角公式进行求解即可；（2）根据正弦定理，结合余弦定理、两角和的正弦公式进行求解即可.【小问1详解】根据正弦定理，由3sin cos 3sin sin cos sin sin c A a C b c C A A C B C+=+⇒+=+()3sin sin cos sin πsin C A A C A C C ⇒+=--+()3sin sin cos sin sin C A A C A C C⇒+=++3sin sin cos sin cos cos sin sin C A A C A C A C C ⇒+=++3sin cos sin sin C A A C C ⇒=+，因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，π3sin cos sin sin 3sin cos 12sin 16C A A C C A A A ⎛⎫=+⇒=+⇒-= ⎪⎝⎭π1sin 62A ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭，因为因为()0,πA ∈，所以ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，因此πππ663A A -=⇒=.【小问2详解】由（1）可知π3A =，由题意可知ππ,126ABD ACD ∠=∠=，而π6DBC ∠=，所以πππ5π5ππ7ππ,4341212612ABC ACB BCD ∠=⇒∠=--=⇒∠=+=π7πππ6124BDC ⇒∠=--=，在ABC中，由正弦定理可知：1232632,π5πππ22223sin sin sin 3126422BC AB AC AB ⎛=⇒=⇒=⨯⨯= ⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭在DBC △中，由正弦定理可知：11π7πππ222222sin sin sin 4123422BC BD AC BD ⎛=⇒=⇒=⨯⨯= ⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，在DBA中，由余弦定理可知：AD =.3=16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，1,2,60PB AB AD PD BAD ∠=====.（1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若二面角P BD A --的大小为120 ，点E 在棱PD 上，且2PE ED =，求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）65【解析】【分析】（1）根据余弦定理求出BD =，再利用勾股定理逆定理和面面垂直的判定即可；（2）建立合适的空间之间坐标系，求出相关法向量，根据线面角的空间向量求法即可.【小问1详解】证明:由余弦定理得BD =所以222222,AD AB BD PD PB BD =+=+，因此,AB BD PB BD ⊥⊥，又因为,,AB PB B AB PB ⋂=⊂平面PAB ，所以BD ⊥面PAB ，又因为BD ⊂平面ABCD ，故平面PAB ⊥平面ABCD .【小问2详解】由于,AB BD PB BD ⊥⊥，所以二面角P BD A --的平面角为PBA ∠，即120PBA ︒∠=，在平面PAB 内过点B 作AB 的垂线，交AP 于F ，由平面PAB ⊥平面ABCD ，且BF ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，得BF ⊥平面ABCD ，以B 为坐标原点，,,BA BD BF为x ，y ，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，则1(0,0,0),(,0,22B D C P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，由于1(,0,22BC BP ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ 则00n BC n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即013022x x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令x =，则1y z ==，所以n =设直线CE 与平面PBC 所成角为θ，2533,,3636CE CP PE CP PD ⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，63sin cos ,5CE n CE n CE nθ⋅∴===⋅，因此直线CE 与平面PBC所成角的正弦值为5.17.某产品的尺寸与标准尺寸的误差绝对值不超过4mm 即视为合格品，否则视为不合格品.假设误差服从正态分布且每件产品是否为合格品相互独立.现随机抽取100件产品，误差的样本均值为0，样本方差为4.用样本估计总体.（1）试估计100件产品中不合格品的件数（精确到1）；（2）在（1）的条件下，现出售随机包装的100箱该产品，每箱均有100件产品.收货方对每箱产品均采取不放回地随机抽取方式进行检验，箱与箱之间的检验相互独立.每箱按以下规则判断是否接受该箱产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒绝该箱产品；如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受该箱产品，否则拒绝该箱产品.若该箱产品通过检验后生产方获利1000元；该箱产品被拒绝，则亏损89元.求100箱该产品利润的期望值.附：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P Z μσμσ-+≈≤≤，()()220.9545,330.9973.P Z P Z μσμσμσμσ-≤≤+≈-≤≤+≈【答案】（1）约为5件；（2）89330元.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用正态分布的概率求出这批产品的合格率即可得估计值.（2）利用互斥事件的概率及条件概率公式求出一箱产品通过的概率，再利用二项分布的期望公式及期望的性质计算即得.【小问1详解】分别用样本均值和样本标准差估计正态分布的参数μ和σ，得产品的尺寸误差2)~(0,2X N ，(||4)(22)0.9545P X P X μσμσ≤=-≤≤+≈，因此估计这批产品的合格率为95.45%，样本的不合格品率为10.95450.0455-=，所以估计100件产品中有1000.0455 4.555⨯=≈件不合格品.【小问2详解】设1A =“抽检的第1件产品不合格”，2A =“抽检的第2件产品不合格”，则一箱产品被拒绝的事件为112)(A A A ，因此1121121121))())((((()(|))P A A A P A P A A P A P A P A A =+=+ 59559710010099990=+⨯=，设100箱产品通过检验的箱数为Y ，则893~(100,990Y B ，因此100箱利润1000(89)(100)10898900W Y Y Y =+--=-，所以平均利润893()(10898900)1089()890010891008900990E W E Y E Y =-=-=⨯⨯89330=（元）.18.已知矩形ABCD 中，,,,AB BC E F G H ==分别是矩形四条边的中点，以矩形中心O 为原点，HF 所在直线为x 轴，EG 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.直线,HF BC 上的动点,R S 满足(),OR OF CS CF λλλ==∈R.（1）求直线ER 与直线GS 交点P 的轨迹方程；（2）当3λ=-时，过点R 的直线m （与x 轴不重合）和点P 轨迹交于,M N 两点，过点N 作直线:3l x =-的垂线，垂足为点Q .设直线MQ 与x 轴交于点K ，求KMN △面积的最大值.【答案】（1）221(62x y +=不含点(0,；（2）34.【解析】【分析】（1）根据给定条件，借助向量共线用λ表示点,R S ，再求出直线,ER GS 的方程，联立消去参数λ即得.（2）设出直线m 的方程，与点P 的轨迹方程联立，借助韦达定理求出点K 坐标，再建立三角形面积的函数关系，并求出最大值即得.【小问1详解】依题意，(()0,,,,E G FC ，设点)(,),(,0),R S P x y R x S y ，由OR OF λ=，得R x =，即,0)R ，由CS CF λ=，得)S y λ=-，即))S λ-，当0λ≠时，直线:ER y x =，直线:GS y x =+，联立消去参数λ得21(3y y x +-=-，即221(0)62x y x +=≠，当0λ=时，得交点P ，满足上述方程，所以直线ER 与直线GS 交点P 的轨迹方程:221(62x y +=不含点(0,.【小问2详解】当3λ=-时，点(2,0)R -，过点R 的直线m可设为2(x ty t =-≠，由22236x ty x y =-⎧⎨+=⎩消去x 得：22(2)36ty y -+=，即22(3)420t y ty +--=，设1112)(,,)(,M x y N x y ，则12122242,33t y y y y t t -+==++，依题意，2()3,Q y -，直线1221:(3)3y y MQ y y x x --=++，令0y =，得点K 横坐标()212111212333K y x y x y x y y y y -+--=-=--，又111212)2,2(x ty ty y y y =-=-+，则122112211122112121212155(23(2)32352222)Ky y y y y y y ty y ty y y y x y y y y y y y y ++--+----+-=====-----，因此直线MQ 过定点5(,0)2K -，显然1212||11||||24KMN S KR y y y y =-=- ，而12||y y-===，令21(1)n t n=+≥，12y y-==≤=当且仅当2n=，即1t=±取等号，此时4KMNS=，所以KMN△面积的最大值为4.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.19.已知函数()()()e,,xf x x a x a f x=--∈'R是()f x的导函数.（1）证明：()f x'在(),-∞+∞上存在唯一零点x；（2）设函数()()2211e12xg x x ax x x⎛⎫=-+-++⎪⎝⎭.①当e4,2a∞-⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭时，求函数()g x的单调区间；②当e4,2a∞-⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，讨论函数()g x零点的个数.【答案】（1）证明见解析；（2）①答案见解析；②只一个零点.【解析】【分析】（1）对函数求导，构造()()1e xh x x a-=-+-利用其单调性结合零点存在性定理计算即可证明；（2）①先求导函数，构造()()1e xh x x a-=-+-，利用其单调性及()10h-<，得出1x>-，从而判定单调区间；②利用（1）、①的结论，分类讨论函数的单调性，极大值与0的关系判定零点个数即可.【小问1详解】由题意可知()()1e 1xf x x a +'=--，由()01e 0xf x x a -+'=⇒--=，令()1e xh x x a -=-+-，易知()y h x =在R 上单调递增，又11(1)0e a h a --=-<，若0a ≥，由于11a a +>-且11(1)20ea h a ++=->；若a<0，由于1a a ->-且11()12120e e a ah a a a --⎛⎫-=--=-->⎪⎝⎭；所以在(),-∞+∞上存在唯一零点0x ，使得()00h x =，即()f x '在(),-∞+∞上存在唯一零点0x ；【小问2详解】①当e 4,2a ∞-⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭时，易知()()()()221e 1x g x x a x a x =+-+--+'()()11e e x xx x a -⎡⎤=+-+-⎣⎦，由（1）知()1e xh x x a -=-+-单调递增，且只存在一个零点0x ，注意到()3e 41e 02h a --=--≤-<，所以01x >-，可得在区间(),1-∞-和()0,x +∞上，()0g x '>，即此时()g x 单调递增，在()01,x -上，()0g x '<，即此时()g x 单调递减；②易知()00g =，即()g x 的一个零点为0x =，（i ）当e 4e,2a -⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，由上可知()1e 0h a -=--<，即01x >-，此时在区间(),1-∞-和()0,x +∞上，()0g x '>，()g x 单调递增，在()01,x -上，()0g x '<，()g x 单调递减，则=1x -时取得极大值()24e102ea g +--=<，又()()()22252e 59e e 50g a =-->-->，即此时()g x 的零点只一个为0x =；（ii ）当a e =-时，易知01x =-，此时()0g x '≥，则()g x 在R 上单调递增，所以此时()g x 的零点只一个为0x =；（iii ）当e a <-时，易知01x <-，此时在区间()0,x -∞和()1,-+∞上，()0g x '<，()g x 单调递增，在()0,1x -上，()0g x '<，()g x 单调递减，则0x x =时取得极大值()()()002222000000000111e 1e 1e 122xx g x x ax x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-++<++-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为01x <-，所以()()2200111111022x x ++>⨯-+-+>，若200e 10x x ++≤，则()02200001e 1e 102xx x x x ⎛⎫++-++<⎪⎝⎭，若200e 10x x ++>，则()02200001e 1e 12xx x x x ⎛⎫++-++⎪⎝⎭()22000011e 11e 2x x x x ⎛⎫<++⨯-++ ⎪⎝⎭()()0220000e 2111e 110222x x x x x --⎛⎫<++⨯-++=< ⎪⎝⎭，所以()00g x <，同上此时()g x 的零点只一个为0x =；综上所述：()g x 的零点只一个为0x =.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.。