离散型随机变量概率分布函数

§2.4 随机变量函数的概率分布

1.随机变量函数的概念：设是已知连续函数，为随机变量，则函数也是一个随机变量，称之为随机变量的函数.

2.离散型随机变量的概率分布

设离散型随机变量的分布律为

则在随机变量的取值,，不同的情况下，其分布律为

但是，若 有相同的情况，则需要合并为一项.

故Y的分布律为

有时我们只求Y=g（X）在某一点y处取值的概率，有

，

即把满足的 所对应的概率相加即可。

3.连续型随机变量函数的概率密度

定理：设为连续型随机变量，其密度函数为 .设是严格单调的可导函数，其值域为，且.记的反函数，则 的概率密度为

.

证明：略

解：利用例2-27所得的结论，fx（x）＝

（1）,则

（2）·

即.

例2-28说明两个重要结论：当 时，,且随机变量称为X的标准化。另外，正态随机变量的线性变换 仍是正态随机变量，即aX+b～，这两个结论十分有用，必须记住。

第二章 小 结

一、内容分布律

二、试题选讲

1.（1016）抛一枚硬币5次，记正面向上的次数为，则＝____________.

【答疑编号：12020308针对该题提问】

答案：

2.（0404）设随机变量的概率密度为则 ＝（ ）. A.

B.

C.

D. 1

【答疑编号：12020309针对该题提问】

答案：A

3.（1004）设随机变量的概率密度为则常数等于（ ）.

A. －1

B.

C.

D. 1

【答疑编号：12020310针对该题提问】

答案：D

4.（1003）设随机变量在区间[2，4]上服从均匀分布，则 ＝（ ）.

A. B. C. D.

【答疑编号：12020311针对该题提问】

答案：C

5.（1015）设随机变量，已知标准正态分布数值，为使，则常数 ___________.

随机变量和分布函数

随机变量是指随机试验结果的某个数值，例如掷骰子可能的结果是1~6，其中每个结果就是一个随机变量。随机变量可以分为离散和连续两类。

离散随机变量的取值有限且可数，例如掷骰子所得点数、对一本书的销售量等等，可以用概率分布函数来描述其概率分布。

连续随机变量的取值是一定区间内的任意实数，例如一个人的身高、一支股票的收盘价等等，可以用密度函数来描述其概率分布。

分布函数是描述随机变量概率分布的一种方式，也称为累积分布函数。对于随机变量X，它的分布函数F(x)定义为：

F(x) = P(X <= x)

即X小于等于x的概率，可以理解为随机变量所有小于等于x的取值的概率之和。对于离散随机变量，分布函数可以表示为：

F(x) = P(X <= x) = ∑ P(X = xi)

其中xi为X的所有取值，对于连续随机变量，分布函数可以表示为：

F(x) = P(X <= x) = ∫ f(t)dt (-∞ < x < ∞)

其中f(t)为X的概率密度函数。分布函数具有以下性质：

1. F(x)是一个非降函数。

2. F(-∞) = 0，F(∞) = 1。

3. F(x)是右连续的。

4. P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a)。

分布函数有时也称为累积分布函数，意思是F(x)可以看作在（-∞，x]上的概率密度的积分，即“累积”概率密度函数。

概率分布函数与概率密度函数

概率分布函数（Probability Distribution Function, PDF）和概率密度函数（Probability Density Function, PMF）是概率论与数理统计中常用的两种描述随机变量分布特征的函数。在实际应用中，它们被广泛用于描述各种不同类型的概率分布。

一、概率分布函数（PDF）

概率分布函数，简称PDF，在统计学中用于描述离散型随机变量的分布概率。设X是一个离散型随机变量，则PDF f(x)定义为：对于任意实数x， f(x) P(X=x)，表示X=x的概率。

通过概率分布函数，我们可以得到随机变量X取不同值的概率。当然，对于离散型随机变量，概率分布函数是一条递增的阶梯函数，因为它可以描述每一个取值点的概率。

二、概率密度函数（PMF）

概率密度函数，简称PMF，在统计学中用于描述连续型随机变量的分布概率。设X是一个连续型随机变量，则PMF f(x)定义为：对于任意实数x1 x2， P(x1 X x2) x1 x2 f(t)dt，表示X的取值在区间(x1,x2)上的概率。

与离散型随机变量的概率分布函数不同，连续型随机变量的概率密度函数不代表某一个具体取值点上的概率，而是代表在某一个区间上的概率密度。因此，概率密度函数是一个连续的函数。 总结起来，概率分布函数和概率密度函数的差别可以从两个方面来看：一是离散型和连续型随机变量的差异，二是描述的对象不同。

在实际应用中，我们常常使用这两种函数来计算随机变量的各种性质，如均值、方差等。另外，通过概率分布函数和概率密度函数，我们可以进行随机变量之间的运算、变换和组合等。

需要注意的是，概率分布函数和概率密度函数的定义域是不同的。对于离散型随机变量，概率分布函数的定义域是变量的所有可能取值点；对于连续型随机变量，概率密度函数的定义域是整个实数轴。

总结：

概率分布函数用于描述离散型随机变量的分布概率，是一条递增的阶梯函数；

分布函数某一点的概率

分布函数是概率论和统计学中一种重要的概念，它是描述随机变量取值的概率分布情况。分布函数在各个学科的研究中都有着广泛的应用，并在实际问题中起着至关重要的作用。本文将围绕“分布函数某一点的概率”展开阐述，以期帮助读者更好地理解分布函数的基本概念和计算方法。

一、什么是分布函数

分布函数也称为累积分布函数，它是定义在实数轴上的，通常用F(x)表示的一种函数。对于任意一个实数x，分布函数F(x)表示x所对应的概率。具体地，分布函数F(x)的定义如下：

F(x)=P(X≤x)

其中，X为随机变量，P(X≤x)表示X小于或等于x的概率。由此可见，分布函数中的一个典型的运算是求解概率，即P(X≤x)。因此，分布函数在概率论和统计学中有着重要的地位，常常被用来描述随机变量的概率分布情况。在实际问题中，我们通常需要根据题目所给出的条件来求解某一点的概率，这即是我们接下来要讨论的主要内容。

二、求解分布函数某一点的概率

1. 离散型随机变量的分布函数

对于离散型随机变量，其概率质量函数（PMF）是随机变量取值的概率，函数形式为p(x)。因此，离散型随机变量的分布函数可以表示为：

F(x)=P(X≤x)=∑p(i)

其中，i代表随机变量取遍的所有可能取值。因此，我们只需要找出随机变量X小于或等于x的所有可能取值，并将它们对应的概率相加，即可求得X≤x的概率。例如，若随机变量X的PMF为：

p(x)=0.2, x=0;

p(x)=0.3, x=1;

p(x)=0.5, x=2; 则其分布函数为：

F(x)=0, x<0;

F(x)=0.2, 0≤x<1;

F(x)=0.5, 1≤x<2;

F(x)=1, x≥2

2. 连续型随机变量的分布函数

对于连续型随机变量，其概率密度函数（PDF）是随机变量取值的概率密度，函数形式为f(x)。因此，连续型随机变量的分布函数可以表示为：