随机变量函数的概率分布

第三章 多维随机变量及其概率分布

1． 二维随机变量),(YX

),(YX的分布函数),(),(yYxXPyxF

X的分布函数),(),(lim)(1xFyxFxFy

Y的分布函数),(),(lim)(2yFyxFyFx

),(lim0),(limyxFyxFyx

2． 离散型),(YX的分布律ijP

ijijiiijPyYxXPP10),( （与KKKPP10比较）

jijiiPxXPP)(

iijijPyYPP)(

例１ 设),(YX的分布律为

求（1）?a

（2）)0(XP

（3）)2(YP

（4）)2,1(YXP

（5）)(YXP

解：（1）由1ijijP知1031131211030201)(ijijPPPPPPP125.025.03.01.01.0a

解得0a （2）300102031(0)0.10.10.30.5jjPXPPPP

（3）10210121)2()1()2(iiiiPPPPYPYPYP45.0)01.0()25.01.0(

（4）2.01.01.0)2,0()1,0()2,0()2,1(0201PPYXPYXPYXPYXP

（5）25.0)(11PYXP

3． 连续型),(YX的分布密度

设D为平面上的区域，),(yxf为),(YX的分布密度，则其满足：1),(0),(dxdyyxfyxf

dxdyyxfDYXPD),()),((

特别，xydudvvufyYxXPyxF),(),(),(

),(),(2yxfyxyxF

若X，Y相互独立，则有)()(),(21yFxFyxF，)()(),(21yfxfyxf，其中)(),(11xfxF分别为X的边缘分布函数和分布密度，)(),(22yfyF分别为Y的边缘分布函数和分布密度。

§2.4 随机变量函数的概率分布

1.随机变量函数的概念：设是已知连续函数，为随机变量，则函数也是一个随机变量，称之为随机变量的函数.

2.离散型随机变量的概率分布

设离散型随机变量的分布律为

则在随机变量的取值,，不同的情况下，其分布律为

但是，若 有相同的情况，则需要合并为一项.

故Y的分布律为

有时我们只求Y=g（X）在某一点y处取值的概率，有

，

即把满足的 所对应的概率相加即可。

3.连续型随机变量函数的概率密度

定理：设为连续型随机变量，其密度函数为 .设是严格单调的可导函数，其值域为，且.记的反函数，则 的概率密度为

.

证明：略

解：利用例2-27所得的结论，fx（x）＝

（1）,则

（2）·

即.

例2-28说明两个重要结论：当 时，,且随机变量称为X的标准化。另外，正态随机变量的线性变换 仍是正态随机变量，即aX+b～，这两个结论十分有用，必须记住。

第二章 小 结

一、内容分布律

二、试题选讲

1.（1016）抛一枚硬币5次，记正面向上的次数为，则＝____________.

【答疑编号：12020308针对该题提问】

答案：

2.（0404）设随机变量的概率密度为则 ＝（ ）. A.

B.

C.

D. 1

【答疑编号：12020309针对该题提问】

答案：A

3.（1004）设随机变量的概率密度为则常数等于（ ）.

A. －1

B.

C.

D. 1

【答疑编号：12020310针对该题提问】

答案：D

4.（1003）设随机变量在区间[2，4]上服从均匀分布，则 ＝（ ）.

A. B. C. D.

【答疑编号：12020311针对该题提问】

答案：C

5.（1015）设随机变量，已知标准正态分布数值，为使，则常数 ___________.

§2.4 随机变量函数的概率分布

1.随机变量函数的概念：设是已知连续函数，为随机变量，则函数也是一个随机变量，称之为随机变量的函数.

2.离散型随机变量的概率分布

设离散型随机变量的分布律为

则在随机变量的取值,，不同的情况下，其分布律为

但是，若 有相同的情况，则需要合并为一项.

故Y的分布律为

有时我们只求Y=g（X）在某一点y处取值的概率，有

，

即把满足的 所对应的概率相加即可。

3.连续型随机变量函数的概率密度

定理：设为连续型随机变量，其密度函数为 .设是严格单调的可导函数，其值域为，且.记的反函数，则 的概率密度为

.

证明：略

解：利用例2-27所得的结论，fx（x）＝

（1）,则

（2）·

即.

例2-28说明两个重要结论：当 时，,且随机变量称为X的标准化。另外，正态随机变量的线性变换 仍是正态随机变量，即aX+b～，这两个结论十分有用，必须记住。

第二章 小 结

一、容分布律

二、试题选讲

1.（1016）抛一枚硬币5次，记正面向上的次数为，则＝____________.

【答疑编号：12020308针对该题提问】

答案：

2.（0404）设随机变量的概率密度为则 ＝（ ）.

A.

B.

C.

D. 1

【答疑编号：12020309针对该题提问】

答案：A

3.（1004）设随机变量的概率密度为则常数等于（ ）.

A. －1

B.

C.

D. 1

【答疑编号：12020310针对该题提问】

答案：D

4.（1003）设随机变量在区间[2，4]上服从均匀分布，则 ＝（ ）.

A. B. C. D.

【答疑编号：12020311针对该题提问】

答案：C

5.（1015）设随机变量，已知标准正态分布数值，为使，则常数 ___________.

1 概率论与数理统计练习题

系 专业 班 姓名 学号

第三章 多维随机变量及其分布（一）

一、填空题：

1、设二维随机变量(,)XY的联合密度函数为2,01,01(,)0,Axyxyfxy其他，则常数A

6 。

2、设二维随机变量(,)XY的联合分布函数为arctanarctan,0,0(,)0,AxyxyFxy其他，则常数A24。

二、计算题：

1．在一箱子中装有12只开关，其中2只次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种实验：

（1）放回抽样；（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下：

01X若第一次出的是正品若第一次出的是次品 ， 01Y若第二次出的是正品若第二次出的是次品

试分别就（1），（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。

（1）放回抽样

（2）不放回抽样

Y 0 1

X

0 25/36 5/36

1 5/36 1/36

Y 0 1

X

0 15/22 5/33

1 5/33 1/66

2 2．设二维离散型随机变量的联合分布见表：试求

（1）13{,04}22PXY， （2）{12,34}PXY

123411/4001/1621/161/401/4301/161/160

（1）1/4

（2）5/16

3．设随机变量(,)XY的联合分布律如表：

求：（1）a值； （2）(,)XY的联合分布函数(,)Fxy

（3）(,)XY关于X，Y的边缘分布函数()XFx和()YFy

（1）a=1/3

（2）0x<1y<-1112,1045(,)2,10121120212,0xyFxyxyxyxy或，