第6章命题

7.制裁规范与行为规范不同。此处，行为规 范即第一性法律关系（第一性权利义务关 系），制裁规范即第二性法律关系（第二 性权利义务关系）。且主体有时有不同 （制裁规范是对行政、司法机关作出的指 示） 如：场内禁止吸烟，违者罚款50元。 前者是行为规范，后者是制裁规范。 制裁规范的主体是制裁执行者。





二、真值模态命题的特征及其分类 （一）必然命题：断定事物情况具有必然性的命题。 1.模态词通常为：必然、一定、必定、必将、总是等 2.分类： 2.1必然肯定命题：S必然是P==“S是P”是“必然”的 ==表示相等，=表示赋值 符号表达：□p 读作：必然p 2.2必然否定命题：S必然不是P==“S不是P”是“必然”的 必然不=“不”的必然≠不必然 符号表达：□～p 读作：必然非p



3.规范命题的完整结构：承受者（针对的人， 主体对象）；假定；行为；执行方式（模 态词） 例如：课本p139，两个例子 4.规范命题的分类： 4.1个别规范（承受者为具体某人）；一般 规范（承受者为一类人） 4.2具体规范（假定是一次有效的）；抽象 规范（假定是多次有效的）





（二）或然命题： 1.模态词通常为：可能、也许、大概等 2分类： 2.1肯定或然命题：S可能是P==“S是P”是“可能” 的 符号表达：◇p 读作：可能p 2.2否定或然命题：S可能不是P==“S不是P”是“可 能”的 可能不=“不”的可能≠不可能 符号表达：◇～p 读作：可能非p





三、规范命题的组成 1. “某人具有特征（T），并且出现情况（W）”都归属于 行为规定，可以用X代替。 所以：（T∧W）→（m）C，可以简化为：（m）（X→C） 或（X→C）（m） 2. （X→C）可以进一步简化为A，即“某人具有特征 （T），并且出现情况（W），作出C行为”=A 3.模态词可以抽取： 所以“A”是必须（可以、禁止）的=“必须（可以、禁止） A” 4.所以，规范模态命题的基本组成为：行为规定（以A代 替）和执行方式（即规范模态词），即（m）A。 前者是变量，后者是常量。

6.4数学归纳法例题精讲【例1】用数学归纳法证明22>n n ,5n N n ∈≥,则第一步应验证n = ． 【参考答案】n =5（注：跟学生说明0n 不一定都是1或2，要看题目）【例2】设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”． 那么，下列命题总成立的是（ ）A ．若1)1(<f 成立，则100)10(<f 成立；B ．若4)2(<f 成立，则1)1(<f 成立；C ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立；D ．若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立． 【参考答案】B【例3】用数学归纳法证明命题：若n 是大于1的自然数，求证：n n <-++++12131211Λ，从k 到+1k ，不等式左边添加的项的项数为 ．【参考答案】当k n =时，左边为1214131211-+++++k Λ． 当1+=k n 时，左边为1212211212112141312111-+++++++-++++++k k k k k ΛΛ．左边需要添的项为121221121211-+++++++k k k k Λ，项数为k k k 212121=+--+．【例4】用数学归纳法证明：422135n n +++能被14整除*n N ∈（）．【参考答案】当=1n 时，8545353361224=+=+++n n 能被14整除．假设当k n =时原命题成立，即422135n n +++能被14整除*n N ∈（）． 当1+=k n 时，原式为4(1)22(1)1442221353355k k k k +++++++=⋅+⋅4422121423(35)5(35)k k k +++=+--44221213(35)565k k k +++=+-⋅．422135n n +++能被14整除，56也能被14整除，所以上式能被14整除，所以当1+=k n 时原命题成立． 综上所述，原命题成立．【例5】是否存在常数,a b 使得()()2112233413n n n an bn +⨯+⨯+⨯+++=+L 对一切正整数n 都成立？证明你的结论．【参考答案】先用1n =和2n =探求1,2a b ==，再用数学归纳法证明【例6】若*n N ∈,求证:23sin coscoscoscos 22222sin2n n nαααααα=L ．【参考答案】① 1n =时,左=cos2α, 右=sin cos22sin2ααα=,左=右② 设n k =时, 23sin coscoscoscos 22222sin2k k kαααααα=L1n k =+时, 2311sin (coscoscoscos )cos cos2222222sin2k k k k kαααααααα++⋅=⋅L=111111sin sin cos22sincos2sin222k k k k k k αααααα++++++⋅=过关演练1． 等式22222574123 (2)n n n -+++++=（ ）．A ． n 为任何正整数时都成立B ． 仅n ＝1，2，3时成立C ． n ＝4时成立，n ＝5时不成立D ． n ＝4时不成立，其他成立． 2． 用数学归纳法证明22111...(1)1n n a a a a a a++-++++=≠-，在验证1n =时，左端计算所得项为 ．3．利用数学归纳法证明“对任意偶数*()n n N ∈，nna b -能被a b +整除”时，其第二步论证应该是 ．4． 若*1111...()23n S n N n =++++∈，用数学归纳法证明*21(2,)2n nS n n N >+≥∈，n 从k 到1k +时，不等式左边增加的项为 ． 5． 若21*718,,n m m n N -+=∈，则21718n m ++=+ ．6． 利用数学归纳法证明22nn >，第一步应该论证 ． 7． 数学归纳法证明：111111111......234212122n n n n n-+-++-=+++-++（*n N ∈）时，当n 从k 到1k +时等式左边增加的项为 ；等式右边增加的项为 ． 8． 用数学归纳法证明：221(1)n n a a ++++可以被21a a ++整除（*n N ∈）．9． 用数学归纳法求证: （1）(1)123 (2)n nn +++++=； （2）222123+++ (2)1(1)(21)6n n n n +=++； （3）333123+++ (3)221(1)4n n n +=+． 10． 在数列{}n a 中，已知111,6(123...)1n a a n +==+++++，*n N ∈，若数列{}n a 前n项和为n S ，求证：3n S n =．6.5数学归纳法的运用例题精讲【例1】已知11=a ，)(*2N n a n S n n ∈=（1）求5432,,,a a a a ；（2）猜想它的通项公式n a ，并用数学归纳法加以证明【参考答案】 解：（1）151,101,61,315432====a a a a （2）)1(2+=n n a n ， 证明：（1）当n=1时，11=a 成立；（2）当n>1时，假设n=k 时，命题成立，即)1(2+=k k a k ，则当n=k+1时，⇒+=++121)1(k k a k S )2)(1(2222]1)1[(2221122++=+•+=+=⇒-+=++k k k k k k k k a k a a k a k k k k k 综上所述，对于所有自然数*N n ∈，)1(2+=n n a n 成立。

命题点3 an＋1＝pan＋qn(p≠0,1，q≠0,1) 例3 在数列{an}中，a1＝－1，an＋1＝2an＋4·3n－1，求数列{an}的通项 公式.
方法一 原递推式可化为
an＋1＋λ·3n＝2(an＋λ·3n－1).
①
比较系数得λ＝－4，①式即是
an＋1－4·3n＝2(an－4·3n－1). 则数列{an－4·3n－1}是首项为a1－4·31－1＝－5，公比为2的等比数列， ∴an－4·3n－1＝－5·2n－1，即an＝4·3n－1－5·2n－1. 方法二 将 an＋1＝2an＋4·3n－1 的两边同除以 3n＋1，得a3nn＋＋11＝23·a3nn＋342， 令 bn＝3ann，则 bn＋1＝23bn＋94，
思维升华
(2)递推公式 an＋1＝αan＋β 的推广式 an＋1＝αan＋β×γn(α≠0,1， β≠0，γ≠0,1)，两边同时除以 γn＋1 后得到aγnn＋＋11＝αγ·aγnn＋βγ，转化 为 bn＋1＝kbn＋βγ(k≠0,1)的形式，通过构造公比是 k 的等比数 列bn－γ1－β k求解.
思维升华
两边同时取倒数转化为an1＋1＝ps·a1n＋pr的形式，化归为 bn＋1＝ pbn＋q 型，求出a1n的表达式，再求 an.
跟踪训练 3 (1)已知函数 f(x)＝3x＋x 1，数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝ f(an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为_a_n_＝__3_n_1－__2_(n_∈__N__*)_.
又a1＝5，所以{an－2}是以a1－2＝3为首项，3为公比的等比数列， 所以an－2＝3n，所以an＝3n＋2.
命题点2 an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0) 例2 已知数列{an}满足an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，求数列{an}的 通项公式.

所以n＋3 1an－1＝n－3 1an(n≥2)， 所以aan－n 1＝nn＋ －11(n≥2)， 所以aa21·aa32·…·aann－ －12·aan－n1＝31×42×53×…·n－n 2·nn＋ －11＝nn＋ 2 1(n≥2)， 所以 an＝nn＋ 2 1(n≥2)， 又 a1＝1 也满足上式， 所以 an＝nn＋ 2 1(n∈N*).
(2)第 1 步：取等差数列{bn}的前 3 项，再利用 bn＝n2a＋n n，得 a1 与 d 的关系式
因为 bn＝n2a＋n n，且{bn}为等差数列， 所以 2b2＝b1＋b3，即 2×a62＝a21＋1a23， 所以a1＋6 d－a11＝a1＋6 2d，所以 a21－3a1d＋2d2＝0， 解得a1＝d或a1＝2d.(7分)
第3步：求数列{an}的通项公式 所以{an}的通项公式为an＝2n＋3.(提示：等差数列的通项公式为an ＝a1＋(n－1)d)(5分)
(2)证明：第1步：结合(1)求Sn 由(1)知an＝2n＋3， 所以 Sn＝n[5＋22n＋3]＝n2＋4n.(提示：等差数列{an}的前 n 项和公 式为 Sn＝na1＋ 2 an)(6 分)
[解析] (1)第1步：利用等差数列的通项公式得到首项与公差的关系 式
因为3a2＝3a1＋a3，所以3(a2－a1)＝a1＋2d， 所以3d＝a1＋2d，所以a1＝d， 第2步：得an与d的关系式 所以an＝nd.(1分) 第3步：利用bn与an的关系式得到bn与d的关系式 因为 bn＝n2a＋n n，所以 bn＝n2n＋d n＝n＋d 1，(2 分)
第2步：对a1＝d或a1＝2d分类讨论，求bn，利用S99－T99＝99，得到 关于d的方程，解方程得到d的值
①当 a1＝d 时，an＝nd，所以 bn＝n2a＋n n＝n2n＋d n＝n＋d 1， S99＝99a12＋a99＝99d＋2 99d＝99×50d，