线性代数复习题及答案2

线性代数（试卷一）一、 填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。

2. 若122211211=a a a a ，则=16030322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则1B -= 。

4. 若A 为n m ⨯矩阵，则非齐次线性方程组AXb =有唯一解的充分要条件是_________5. 设A 为86⨯的矩阵,已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_6. 设A 为三阶可逆阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1230120011A，则=*A 7.若A 为n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。

10.若()Tk11=α与()T121-=β正交，则=k二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r =Ｂ．s r ≤Ｃ．r s ≤Ｄ．r s <2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A)Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34Ｄ．34-3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R <Ｃ．)()(A R B R =Ｄ．)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。

5. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____。

)(A AC AB = 则 C B = )(B 0=AB ,则0=A 或0=B 三、计算题（本题总计60分。

线性代数考试练习题带答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。

(A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．(A )1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥．4．初等矩阵（A ）；(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,,,n ααα线性无关，则（C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；D. 以上都不对。

二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t7．设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为 。

9．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。

线性代数复习题2一. 填空题（每小题4分，共28分） 1. 若240,32k k -=+ 则 k = .2. 设含参数λ的方程组 000x y z x y z x y z λλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩只有零解, 则 λ应满足的条件是 .3. 设 44⨯ 矩阵 234234(,,,),(,,,),A B αγγγβγγγ== 且已知行列式 1A =，4.B = 则行列式 A B += .4. 已知方阵A 满足 220,A A I +-= 其中 I 是与 A 同阶的单位阵, 则()1A I -+= .5. 设20001013A a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与400020002B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似，则a = .6. 设 111022,003A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦*A A 是伴随矩阵, 则 ()1*A -= . 7. 设四阶矩阵A 的元素全为1, 则 A 的非零特征值为 .二. 选择题（每小题4分，共32分）1. 设A 是n 阶可逆矩阵, 则下列叙述不正确的是 ( ) A. 0A ≠ B. ()r A r n =<C. 存在n 阶矩阵 B 使得 .A B I =D. A 必能表为有限个初等矩阵的乘积.2. 设A 是n 阶方阵，其秩 ,r n < 则在A 的 n 个行向量中 （ ） A ．必有 r 个行向量线性无关. B. 任意 r 个行向量线性无关.C. 任意 r 个行向量都构成极大线性无关组.D. 任意一个行向量都可由其他 r 个行向量线性表出. 3. 设A 为三阶方阵, 且 3,A =- 则 2A -= ( )A. 24B. 6C. --24D. --64. 若向量组 ,,αβγ 线性无关, 而向量组 ,,αβδ 线性相关. 则 ( ) A. 向量 α 必可由向量组 ,,βγδ 线性表示. B. 向量 β 必不能由向量组 ,,αγδ 线性表示. C. 向量 δ必可由向量组 ,,αβγ线性表示. D. 向量 δ必不能由向量组 ,,αβγ线性表示.5. 设A, B 为同阶方阵, 则 ()2222A B A AB B +=++ 成立的充要条件是 ( )A. A I =B. 0B =C. A B =D. AB BA =6. 已知 0011205010,1236,2002015P PA ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭则 ()r A = ( )A. 1B. 2C. 3D. 47. 设 010100001A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 则 2010A = ( )A. 010100001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭B. 100010001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭C. 020*******00002010-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ D. 201000020100002010-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭8. 设 ,,A B AB I -是同阶可逆矩阵, 则 ()()1111A BA------=( )A. BAB I -B. ABA I -C. ABA A -D. BAB B -三. (本题满分10分) 设 1234511133,325422221146523D = D 的 (),i j 元的代数余子式为 ij A . 试求 (1) 313233;A A A ++ (2) 3435.A A +四. (本题满分10分) 求下列向量组的秩和一个极大线性无关组, 并将其余向量用极大线性无关组线性表示.123451110002401,,,,.1115101252ααααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭五．(本题满分10分) 设 1102,1/2,0,,,108T TA B αβγαββα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中 T β 是β的转置， 求解方程组 22428.B A x Ax B x γ=++六．(本题满分10分) 已知向量 111X ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是矩阵 2125312A a b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭ 的一个特征向量. (1) 求参数 ,a b X 及对应的特征值. (2) 试判断矩阵 A 是否可对角化.线性代数复习题2答案一. 填空题 (每小题4分, 共28分)1. 4±2. 1λ≠3. 404. 12A5. 36. 1/61/61/601/31/3001/2⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭7. 4二. 选择题 (每小题4分, 共32分)三. (本题满分10分)解: 将D 中第三行换成 1, 1, 1, 3, 3, 行列式的值等于0, 则有 ()()313233343530,A A A A A++++=…………………………………………4分 同理将D 中第三行的元素换成第四行的对应元素, 按第三行展开, 则有 ()313233343520,A A A A A ++++=……………………………………………8分 联立上面两式, 解得 31323334350,0.A A A A A ++=+=………………………………………..10分四. (本题满分10分) 解: 将12345,,,,ααααα 为列向量作成矩阵, 并施以行初等变换11100024011115101252A --⎛⎫⎪ ⎪=⎪--⎪⎝⎭………………………………………………2分 111000100000251000103--⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭ 10001/40100000101/40013/10⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭………………..6分 故向量组12345,,,,ααααα 的秩为 4, 且 1234,,,αααα 为向量组 12345,,,,ααααα 的极大线性无关组……………………………………………………………………………..8分 5134113.4410αααα=++……………………………10分五．(本题满分10分)解: ()111/20211/20210,111/20TA αβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………………2分 ()111/2022,1TB βα⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭………………………………………………4分而 ()22.T T T TA A αβαβαβαβ===………………………………………5分代入方程, 可得 ()82,A I x γ-=……………………………………………….6分 从而有线性方程组121212310,220,121,2x x x x x x x ⎧-+=⎪⎪-=⎨⎪⎪+-=⎩可求得其对应齐次线性方程组的基础解系为 12,1⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭………………………………8分而 001/2⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭ 为方程组 ()82A I x γ-= 的一个特解,…………………………9分故原方程组的通解为 0102,1/21x k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭其中 k 为任意常数………… 10分六. (本题满分10分) 解: (1) 设0λ 为特征向量 X 对应的特征值, 则0212115311,1211a b λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭………………………………………………2分 即 000,1,2,1a b λλλ⎧=-⎪+=⎨⎪+=-⎩故01,3,0.a b λ=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩……………………………………………....5分 (2) 由(1)得 212533102A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭, 所以()321253310,12I A λλλλλ---=-+-=-+=+ 因此 1- 是A 的三重特征值……………………………………………………….7分 解齐次方程组 ()0,I A x --= 因其系数矩阵 ()I A -- 的秩为2, ………….9分 故 ()dim 13N I A --=<. 所以 A 不能对角化………………………………10分。

线性代数大学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间的基是该空间的一组向量，它们满足以下哪些条件？A. 线性无关B. 向量空间中的任何向量都可以由基向量线性组合得到C. 向量空间中的任何向量都可以由基向量线性表示D. 所有选项答案：D2. 矩阵A的秩是指：A. A的行向量组的秩B. A的列向量组的秩C. A的转置矩阵的秩D. 所有选项答案：D3. 下列哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 任何2x2的对角矩阵，对角线上的元素不全为零C. 任何3x3的单位矩阵D. 任何4x4的对称矩阵答案：B4. 线性变换可以用矩阵表示，当且仅当：A. 该变换是线性的B. 该变换是可逆的C. 变换的基向量线性无关D. 变换的输出空间是有限维的答案：C5. 特征值和特征向量是线性变换的基本概念，其中特征向量是指：A. 变换后长度不变的向量B. 变换后方向不变的向量C. 变换后保持不变的向量D. 变换后与原向量成比例的向量答案：D6. 矩阵的迹是：A. 矩阵主对角线上元素的和B. 矩阵的行列式的值C. 矩阵的秩D. 矩阵的逆的转置答案：A7. 以下哪个矩阵是正交矩阵？A. 单位矩阵B. 任何对称矩阵C. 任何对角矩阵D. 任何行列式为1的方阵答案：A8. 矩阵的行列式可以用于判断矩阵的：A. 可逆性B. 秩C. 特征值D. 迹答案：A9. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 系数矩阵是可逆的B. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩C. 方程的个数等于未知数的个数D. 所有选项答案：B10. 以下哪个矩阵是对称矩阵？A. 单位矩阵B. 对角矩阵C. 任何方阵的转置D. 任何方阵与其转置的乘积答案：D二、填空题（每题2分，共10分）1. 矩阵的______是矩阵中所有行（或列）向量生成的子空间的维数。

答案：秩2. 如果矩阵A和B可交换，即AB=BA，则称矩阵A和B是______的。

答案：可交换3. 一个向量空间的维数是指该空间的______的个数。