数学建模试题（2）
牛结核病（Bovine Tuberculosis）是由牛型结核分枝杆菌（Mycobacterium bovis）引起的一种人兽共患的慢性传染病，在我国为二类动物疫病。据不完全统计，世界范围内有5000万头牛感染了结核，造成的经济损失每年达30多亿美元。牛分枝杆菌宿主范围广泛，能感染一系列的宿主，包括野生动物、家畜和人类。奶牛与人类关系密切，人可通过呼吸道或饮用消毒不全的牛奶感染牛结核病。其传播流行不但影响到畜牧业的持续稳定发展,更严重影响着人类的身心健康和社会公共安全。
请调查相关资料，针对牛结核病给牛养殖产业和人类健康带来的危害，基于微分方程动力学方法对牛结核病的传播和控制展开研究，探索结核病在牛群中感染传播的规律和关键因素，对制定和实施牛结核防控措施提供理论基础和数量依据。
请按照“全国大学生数学建模竞赛” 要求答题！
西安交通大学考试题
课 程 数学建模
系 别 考 试 日 期 年 月 日
专业班号
姓 名 学 号 期中 期末
1. 试简要说明数学建模的一般过程或步骤（可以用框图示意）。（10分）
2. 现有5个人，假设认识是相互的，则总能找到3个人互相认识，或3个人互不认识，请问上述结论成立吗？并给出理由。（15分）
3. 在某生物种群的繁殖过程中，其增长速度与现有的种群数目成正比，现已知在3小时内种群的数目为开始时的4倍，问12小时后，细菌的数目为原来的多少倍？（15分）
4. 某工厂计划生产两种产品，生产过程要经过三种不同的工序加工，各种产品所需的加工时间、各工序每天的加工能力及销售单位产品的利润见下表所示：
工序
加工时间
产品 工序1 工序2 工序3
单位产品利润
A
B 1 0 3
0 2 2 3
5
加工能力/天 4 12 18
请建立数学模型制定获取最大利润的生产计划，并给出求解该模型
最优解的MATLAB程序（或Mathematica程序）（15分）
成绩
共 2 页 第 1 页
5. 某地区开始时有1对刚出生的小兔。设每对兔子出生以后在第3、第4、第5个月恰好各生一对小兔子。第6个月不再生育，第6个月末死亡，请给出计算以后各月兔子对数的数学模型。并说明求解的过程。（15分）
6. 某市为方便小学生上学,拟在新建的8个居民小区821,,,AAA中增设若干所小学,经过论证，备选校址有621,,,BBB,它们能够覆盖的居民小区如下表:
数学建模实验报告
1.圆钢原材料每根长5.5米，现需要A，B，C三种圆钢材料，长度分别为3.1m, 2.1m, 1.2m
数量分别为100，200，400根，试安排下料方式，使所需圆钢原材料的总数最少。
一、问题分析
截法如下表表示：
材料
截法 一根5.5m的圆钢原材料能截出A,B,C的量 需要量
一 二 三 四 五 A 3.1m 1 1 0 0 0
100
B 2.1m 1 0 2 1 0 200
C 1.2m 0 2 1 2 0 400
余料（m） 0.3 0 0.1 1 0.7
二、变量说明
设五种截法的数量分别为x1,x2,x3,x4,x5
三、模型建立
x1+x2≥100
x1+2x3+x4≥200
2x2+x3+2x4+4x5≥400
min z=51ixi
xi≥0,i=1,2,3,4,5
四、模型求解
五．结果分析
从以上结果可以得到最优方案：x1=x4=0,x2=x3=100,x5=25;切割方案2和切割方案3各用去100根原钢材料，切割方案5用去25根原钢材料，切割方案1和4没有用，一共用去225根原钢材料，得到最优。
2、住宅小区服务中心选址：某地新建一个生活住宅区，共有20栋住宅楼，小区内所有道路都是东西或南北走向，开发商拟在小区内修建一个服务中心，地址选在离所有楼房的总路程最小的地方。为了保证建筑物之间有足够的空间，服务中心的位置与其它楼房位置之间的距离不能少于30米（已经考虑了所有建筑的占地面积），请你确定服务中心的位置。
设初始点x0=[20, 20], 设（ai,bi）（i=1,…20）为第i栋住宅楼的坐标：
a=[29.74 4.9 69.32 65.0 98.3 55.27 40.0 19.8 62.5 73.3 37.58 0.98 41.98
75.37 79.38 92.0 84.47 36.77 62.08 73.13],
品种编号
红葡萄酒123
酒样品1973.128974.380974.128973.878
酒样品2516.830518.083517.830517.581
酒样品3398.686399.938397.686398.770
酒样品4182.435183.688184.435183.519
酒样品5279.706280.959279.906280.190
酒样品6116.475117.727116.875117.026
酒样品790.17491.42690.87490.825
酒样品8917.604918.856919.604918.688
酒样品9387.414388.667387.214387.765
酒样品10138.601139.853137.687138.714
酒样品1111.27212.52411.71711.838
酒样品1283.49484.74783.99484.079
酒样品13199.552200.804199.885200.080
酒样品14251.318252.571250.822251.570
酒样品15121.902123.154122.719122.592
酒样品16170.746171.999171.761171.502
酒样品17233.784235.037234.439234.420
酒样品1871.38872.64071.67771.902
酒样品19198.299199.552197.993198.614
酒样品2073.89375.14574.09374.377
酒样品21313.104314.357313.892313.784
酒样品22250.483251.736250.833251.017
酒样品23413.297414.550413.974413.940
酒样品24269.687270.939269.699270.108
酒样品25157.804159.057158.845158.569
酒样品26150.707151.960151.774151.481
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第一部分 课后习题
1. 学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
（2）2.1节中的Q值方法。
（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：
1 2 3 4 5 …
A 235 117.5 78.3 58.75 …
B 333 166.5 111 83.25 …
C 432 216 144 108 86.4
将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。
（4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。
2. 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。
3. 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：
身长（cm） 36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1
