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根据三视图求小正方体的个数
作者：朱元生
来源：《初中生·考试》2010年第01期
已知由若干个小立方体组成的几何体的三视图,求出组成这个几何体所需小立方体的个数.
这是我们感到困难的问题,也是中考的热点.
解题的思路是这样的:先根据主视图和左视图确定俯视图中每个小正方形相应位置上的小立方体的个数,再求出组成这个几何体所需小立方体的个数.
现以2009年中考题为例,分类说明这类题的解法,供你学习时参考.
一、由三个视图,求小立方体的个数
例1 如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图,则搭成这个几何体的小正方体的个数是().
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
分析:观察主视图,从左到右每列中的小正方形的个数和依次为2、1、1,将数字2、1、1分别填入俯视图中第一、第二、第三列的小正方形中(图1中带圈的数字).
观察左视图,从左到右每列中的小正方形的个数和依次为1、2,将数字1、2分别填入俯视图中第一、第二行的小正方形中(图1中不带圈的数字).
在图1中,每个小正方形内取较小的一个数(两数相等,取其中1个),得到图2,这些正方体的个数和是1+1+2+1+1=6(个). 选B.
评点:主要考查动手能力和空间想象能力. 按照三个步骤就容易求出小立方体的个数.
二、由两个视图,求小立方体个数的最大值或最小值
例2 如图,是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图,则组成这个几何体的小正方体最多块数是().
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12?摇?摇?摇?摇
分析:由主视图和俯视图可以想象出左视图应是3行3列,最多是由9个小正方形组成,然后用同样的方法,先由主视图、左视图确定出俯视图中每列、每行的小立方体的个数,如图3,再求龙源期刊网
由三视图判断几何体或几何体组成的小正方体个数
1.在一仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱，仓库管理员将这堆货箱的三视图画了出来，如图所示，则这堆正方体货箱共有（ ）。
A．9箱 B．10箱 C．11箱 D．12箱
2.如图是由大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和左视图那么组成这个几何体的小正方体的个数最多为_____。
3.如图，是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，若组成这个几何体的小正方体的块数为n，则n的所有可能的值之和为 。
4.用小立方体搭成一个几何体，使得他的主视图俯视图如图所示。
（1）这样的集合体只有一种吗？它最多需要多少个小立方体？
（2）最少需要多少个立方体？
（3）组成这个几何体的立方体的个数有几种情形？
5.用正方体搭成的几何体，下面三个图分别是它的主视图、俯视图、和左视图，这个几何体是有多少个立方体组成的？
6.由下列图形确定正方体的个数 ______.
主视图 俯视图 侧视图
由三视图,判断小正方体个数问题
通过小正方体组合图形的三视图，确定组合图形中小正方体的个数，在中考或竞赛中经常会遇到。解决这类问题如果没有掌握正确的方法，仅仅依赖空间想象去解决，不仅思维难度很大，还很容易出错。
通过三视图计算组合图形的小正方体的个数，关键是要弄清楚这个小正方体组合图形共有多少行、多少列、每行每列中各有多少层，理清了这些行、列、层的数量，小正方体的个数就迎刃而解了。在三视图中，通过主视图、俯视图可以确定组合图形的列数；通过俯视图、左视图可以确定组合图形的行数；通过主视图、左视图可以确定行与列中的最高层数。
以上方法可简要地概括为：“主俯看列，俯左看行，主左看层，分清行列层，计数不求人。”
一、结果唯一的计数
例1 在一仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱，仓库管理员将这堆货箱的三视图画了出来，如图所示，则这堆正方体货箱共有（ ）。
A．9箱 B．10箱 C．11箱 D．12箱
分析：由三视图可知，这堆货箱共有从前到后3行，从左到右3列。由左视图：第一行均为1层，第二行最高2层，第三行最高3层；由主视图：第一列、第三列均为1层，第二列（中间列）最高为3层。故第二行、第二列为2层，第三行第二列为3层，其余皆为1层。各行、各列小正方体的个数如俯视图中所表示。这堆货箱共有3+1+1+2+1+1=9（箱）。
二、结果不唯一的计数
例2（“希望杯”数学邀请赛试题）如图2，是由若干个（大于8个）大小相同的正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图，则这个几何体的左视图不可能是（ ）。
分析：由给出的主视图、俯视图可以看出，该几何体共有2行，3列。第1列均为1层，第2列最高2层，第3列最高3层。
左视图为A时，第1行、第2行最高均为3层。几何体中，第1列第1行为1层；第2列第1行、第2行均可为1层或2层，，但不能同时为1层；第3列两行均为3层。此时，小正方体的个数如俯视图A所示，最少为1+2+1+3+3=10（个），最多为1+2+2+3+3=11个。
垮 法 怎样由视图求出 由一些大小相同的小立方体组成的几何 体，我们可以画出它的三视图．反过来．如 果已知某个由若干个小立方体组成的几何体 的三视图，能不能求出组成这个几何体所需 小立方体的个数呢？这既是同学们普遍感到 比较困难的问题．也是中考的热点． 解答这个问题的思路是这样的：先根据 主视图和左视图确定出俯视图中每个小正方 形相应位置上的小立方体的个数。再求出组 成这个几何体所需小立方体的个数． 具体方法如下： 第一步：根据主视图．数出每列中的小 正方形个数。在俯视图对应的列中每个小正 方形内填入相应的数字： 第二步：根据左视图．数出每行中的小 正方形个数．在俯视图对应的行中每个小正 方形内也填人相应的数字： 第三步：取俯视图中每个小正方形内填 人的一对数中的较小的一个。并把它们相 加。所得结果就是组成这个几何体所需小立 方体的个数． 例１ 由几个相同的小正方体搭成的几 何体的视图如图１所示．则搭成这个几何体 的小正方体的个数是 （ ） Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７ 小 立方体的个数 解析观察主视 图．从左到右的每列 中的小正方形的个数 依次为３．１，将数 字填入俯视图中从左 到右的每列小正方形 中。如图２： 主视图左视图俯视图 图 ｌ 广 广 图 ２ 图 ３ 观察左视图．从左到右每行中的小正方 形的个数也依次为３．１。将数字填人俯视图 中从上到下的每行小正方形中如图２； 取图中每个小正方形内填入的一对数中 较小的数字，得到俯视图中每个小正方形相 应位置上的小立方体的个数如图３，则该几何 体的小正方体的个数是３＋１＋１＝５。故应选Ｂ． 例２ 如图４是由若干个相同的小正方 体组成的几何体的三视图。则组成这个几何 体的小正方体的个数是 （ ） Ａ．７ Ｂ．８ Ｃ．９ Ｄ．１０ 解析 观察主视 图．从左到右每列中 髑 曲 的小正方形的个数依主视图 次为３，１，’３，将数 字填入俯视图中的从 左到右的每列小正方 形中如图５． 左视图俯视图 图 ４ 囝Ｅ圉 醐删 图 ５ 图 ６ 生 元 朱 一一 口［日 苏 ］
