精心制作仅供参考 鼎尚出品
鼎尚出品
四 角三角形的射影定理
1．射影
(1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影．
(2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段．
(3)射影：点和线段的正射影简称为射影．
2．射影定理
(1)文字语言：
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．
(2)图形语言：
如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，
则有CD2＝AD·BD，
AC2＝AD·AB，
BC2＝BD·AB.
射影定理的有关计算
如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，若AD＝2 cm，DB＝6 cm，求CD，AC，BC的长．
在直角三角形内求线段的长度，可考虑使用勾股定理和射影定理．
∵CD2＝AD·DB＝2×6＝12，∴CD＝12＝23(cm)．
∵AC2＝AD·AB＝2×(2＋6)＝16，∴AC＝16＝4(cm)．
∵BC2＝BD·AB＝6×(2＋6)＝48，∴BC＝48＝43(cm)．
故CD，AC，BC的长分别为23 cm,4 cm，43 cm.
(1)在Rt△ABC中，共有AC，BC，CD，AD，BD和AB六条线段，已知其中任意两条，便可求出其余四条． 精心制作仅供参考 鼎尚出品
鼎尚出品 (2)射影定理中每个等积式中含三条线段，若已知两条可求出第三条．
1.如图，在△ABC中，AB＝m，∠BAC∶∠ABC∶∠ACB＝1∶2∶3，CD⊥AB于点D.求BD，CD的长．
解：设∠BAC的度数为x，
则由∠BAC∶∠ABC∶∠ACB＝1∶2∶3，
得∠ABC的度数为2x，∠ACB的度数为3x.
因为∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
所以x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°.
所以∠ABC＝60°，∠ACB＝90°.
因为AB＝m，
1 第一节 平行线等分线段定理
课前导引
情景导入
假若你手中有一把无刻度直尺和一副圆规,你能把一条线段三等分、五等分、七等分吗?你当然熟悉三角形、梯形的中位线定理,但它们的逆命题是否仍旧成立呢?这些都离不开本节定理――平行线等分线段定理.
知识预览
1.平行线等分线段定理.
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
2.两个推论:
推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.
推论2:经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线平分另一腰.
说明:(1)本节重点为平行线等分线段定理及其两个推论.两个推论是“定理”的特殊情况.
(2)猜想和证明是探究问题的两个必不可少的方法,只有猜想,得到的结论是不可靠的,必须通过严格的数学证明才能得到正确的、具有一般意义的结论.
(3)证明应从语言、图形、符号三个方面有机结合进行.
(4)猜想往往是对特例的观察和概括.
第一讲 集合的概念与运算
教学目的： 理解集合、子集、交集、并集、补集的概念。了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能正确进行“集合语言”、“数学语言”“图形语言”的相互转化.
教学重点： 交集、并集、补集的定义与运算.
教学难点： 交集、并集、补集的定义及集合的应用.
【知识概要】
新课标教学目标：
1．集合的含义与表示
（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；
2．集合间的基本关系
（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；
3．集合的基本运算
（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
知识点1 集合
某些指定的对象集在一起就成为一个集合。集合中每个对象叫做这个集合的元素
点评：（1）集合是数学中不加定义的基本概念．构成集合的元素除了常见的数、式、点等数学对象之外，还可以是其他任何对象．
（2）集合里元素的特性
确定性：集合的元素，必须是确定的．任何一个对象都能明确判断出它是或者不是某个集合的元素．
互异性：集合中任意两个元素都是不相同的，也就是同一个元素在集合中不能重复出现．
无序性：集合与组成它的元素顺序无关．如集合{a, b, c}与{c, a, b}是同一集合．
（3）元素与集合的关系
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA（或aA）．
（4）集合的分类
集合的种类通常可分为有限集、无限集、空集（用记号φ表示）．
有限集：含有有限个元素的集合 （单元素集：只有一个元素的集合叫做单元素集。）
司马红丽高中数学必修一第一讲集合的概念
摘要：
一、集合的概念引入
1.集合的起源与发展
2.集合在数学中的重要性
二、集合的基本概念
1.集合的表示方法
2.集合的元素与性质
3.空集与全集
三、集合间的基本关系
1.子集与真子集
2.集合的相等与包含关系
3.集合的补集与交集
四、集合运算的基本方法
1.并集与交集
2.补集与差集
3.笛卡尔积与对称差集
五、集合的应用实例
1.数轴与区间的表示
2.函数与映射的关系
3.集合在解决实际问题中的应用 正文：
司马红丽高中数学必修一第一讲集合的概念
集合是数学中的一个基本概念，它具有悠久的历史，可以追溯到古希腊时期。随着数学的发展，集合的概念和方法不断得到完善，如今已成为数学中的核心内容。在高中数学阶段，集合作为必修一的第一讲，具有举足轻重的地位。
首先，我们需要了解集合的基本概念。集合用大写字母表示，如 A、B、C
等。集合的元素用小写字母表示，如 a、b、c 等。集合的表示方法有列举法、描述法和图示法。此外，集合具有无序性、确定性和互异性等性质。空集是集合的一种特殊形式，表示没有任何元素的集合。全集则是包含所有元素的集合。
接着，我们要学习集合间的基本关系。子集是指一个集合中的所有元素都属于另一个集合，而真子集则是指一个集合中的元素都属于另一个集合，但这两个集合不相等。集合的相等是指两个集合具有相同的元素，而包含关系则是指一个集合中的元素都属于另一个集合。此外，我们还要学习集合的补集与交集。
在此基础上，我们来探讨集合运算的基本方法。并集是指两个集合中所有元素的集合，交集则是指两个集合中共有的元素的集合。补集是指一个集合中所有不属于另一个集合的元素的集合，差集则是指一个集合中去掉所有属于另一个集合的元素的集合。笛卡尔积与对称差集是集合运算中的特殊方法，它们在解决实际问题时具有重要意义。
