高中数学竞赛讲义

精品文档

. 高中数学竞赛资料

一、高中数学竞赛大纲

全国高中数学联赛

全国高中数学联赛〔一试〕所涉及的知识范围不超出教育部2000年【全日制普通高级中学数学教学大纲】中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试

全国高中数学联赛加试〔二试〕与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：

1.平面几何

几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数

周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*

3. 初等数论

同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题

圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

三、高中数学竞赛根底知识

第一章 集合与简易逻辑

一、根底知识

定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x在集合A中，称x属于A，记为Ax，否那么称x不属于A，记作Ax。例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。集合分有限集和无限集两种。

集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数}，}0{xx分别表示有理数集和正实数集。

定义2 子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，那么A叫做B的子集，记为BA，例如ZN。规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，那么称A与B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，那么A叫B的真子集。 精品文档

. 定义3 交集，}.{BxAxxBA且

定义4 并集，}.{BxAxxBA或

定义5 补集，假设},{,1AxIxxACIA且则称为A在I中的补集。

定义6 差集，},{\BxAxxBA且。

定义7 集合},,{baRxbxax记作开区间),(ba，集合

},,{baRxbxax记作闭区间],[ba，R记作).,(

定理1 集合的性质：对任意集合A，B，C，有：

〔1〕);()()(CABACBA 〔2〕)()()(CABACBA；

〔3〕);(111BACBCAC 〔4〕).(111BACBCAC

【证明】这里仅证〔1〕、〔3〕，其余由读者自己完成。

〔1〕假设)(CBAx，那么Ax，且Bx或Cx，所以)(BAx或)(CAx，即)()(CABAx；反之，)()(CABAx，那么)(BAx或)(CAx，即Ax且Bx或Cx，即Ax且)(CBx，即).(CBAx

〔3〕假设BCACx11，那么ACx1或BCx1，所以Ax或Bx，所以)(BAx，又Ix，所以)(1BACx，即)(111BACBCAC，反之也有.)(111BCACBAC

定理2 加法原理：做一件事有n类方法，第一类方法中有1m种不同的方法，第二类方法中有2m种不同的方法，…，第n类方法中有nm种不同的方法，那么完成这件事一共有nmmmN21种不同的方法。

定理3 乘法原理：做一件事分n个步骤，第一步有1m种不同的方法，第二步有2m种不同的方法，…，第n步有nm种不同的方法，那么完成这件事一共有nmmmN21种不同的方法。

二、方法与例题

1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。

例1 设},,{22ZyxyxaaM，求证： 精品文档

. 〔1〕)(,12ZkMk；

〔2〕)(,24ZkMk；

〔3〕假设MqMp,，那么.Mpq

[证明]〔1〕因为Zkk1,，且22)1(12kkk，所以.12Mk

〔2〕假设)(24ZkMk，那么存在Zyx,，使2224yxk，由于yx和yx有相同的奇偶性，所以))((22yxyxyx是奇数或4的倍数，不可能等于24k，假设不成立，所以.24Mk

〔3〕设Zbayxbaqyxp,,,,,2222，那么))((2222bayxpq

22222222aybxbyaaMyaxbybxa22)()(

〔因为ZyaxbZyaxa,〕。

2．利用子集的定义证明集合相等，先证BA，再证AB，那么A=B。

例2 设A，B是两个集合，又设集合M满足

BAMBABAMBMA,，求集合M〔用A，B表示〕。

【解】先证MBA)(，假设)(BAx，因为BAMA，所以MxMAx,，所以MBA)(；

再证)(BAM，假设Mx，那么.BAMBAx1〕假设Ax，那么BAMAx；2〕假设Bx，那么BAMBx。所以).(BAM

综上，.BAM

3．分类讨论思想的应用。

例3 }02{},01{},023{222mxxxCaaxxxBxxxA，假设CCAABA,，求.,ma

【解】依题设，}2,1{A，再由012aaxx解得1ax或1x，

因为ABA，所以AB，所以Aa1，所以11a或2，所以2a或3。

因为CCA，所以AC，假设C，那么082m，即2222m，假设C，那么C1或C2，解得.3m

综上所述，2a或3a；3m或2222m。 精品文档

. 4．计数原理的应用。

例4 集合A，B，C是I={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，〔1〕假设IBA，求有序集合对〔A，B〕的个数；〔2〕求I的非空真子集的个数。

【解】〔1〕集合I可划分为三个不相交的子集；A\B，B\A，IBA,中的每个元素恰属于其中一个子集，10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有310个。

〔2〕I的子集分三类：空集，非空真子集，集合I本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，…，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有1024210个，非空真子集有1022个。

5．配对方法。

例5 给定集合},,3,2,1{nI的k个子集：kAAA,,,21，满足任何两个子集的交集非空，并且再添加I的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求k的值。

【解】将I的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得12n对，每一对不能同在这k个子集中，因此，12nk；其次，每一对中必有一个在这k个子集中出现，否那么，假设有一对子集未出现，设为C1A与A，并设1AA，那么ACA11，从而可以在k个子集中再添加AC1，与矛盾，所以12nk。综上，12nk。

6．竞赛常用方法与例问题。

定理4 容斥原理；用A表示集合A的元素个数，那么,BABABA

CBACBCABACBACBA，需要xy此结论可以推广到n个集合的情况，即

nikjijinkjijiiniiAAAAAAA111.)1(11niinA

定义8 集合的划分：假设IAAAn21，且),,1(jinjiAAji，那么这些子集的全集叫I的一个n-划分。

定理5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。

定理6 抽屉原理：将1mn个元素放入)1(nn个抽屉，必有一个抽屉放有不少于1m个元素，也必有一个抽屉放有不多于m个元素；将无穷多个元素放入n个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。

例6 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数。

【解】 记}）2（2,1001{},100,,3,2,1{xxxxAI记为整除能被且，精品文档

. }5,1001{},3,1001{xxxCxxxB，由容斥原理，31002100CBAACCBBACBACBA7430100151001010061005100，所以不能被2，3，5整除的数有26CBAI个。

例7 S是集合{1，2，…，2004}的子集，S中的任意两个数的差不等于4或7，问S中最多含有多少个元素？

【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，假设S含有这11个数中至少6个，那么必有两个数在同一组，与矛盾，所以S至多含有其中5个数。又因为2004=182×11+2，所以S一共至多含有182×5+2=912个元素，另一方面，当},2004,10,7,4,2,1,11{NkrttkrrS时，恰有912S，且S满足题目条件，所以最少含有912个元素。

例8 求所有自然数)2(nn，使得存在实数naaa,,,21满足：

}.2)1(,,2,1{}1}{nnnjiaaji

【解】 当2n时，1,021aa；当3n时，3,1,0321aaa；当4n时，

1,5,2,04321aaaa。下证当5n时，不存在naaa,,,21满足条件。

令naaa210，那么.2)1(nnan

所以必存在某两个下标ji，使得1njiaaa，所以1111nnnaaaa或21aaann，即12a，所以1,2)1(1nnnaanna或2)1(nnan，12a。