逻辑联结词

逻辑联结词“或”、“且”、“非”

1．逻辑联结词“或”、“且”、“非”

【或】

一般地，用连接词“或”把命题 和命题 连接起来，就得到一个新命题，记作 pⅤq，读作“p 或 q”．

规定：当 p，q 两个命题中有一个命题是真命题时，pⅤq 是真命题；当 p，q 两个命题都是假命题时，pⅤq 是假命

题．

例如：“2≤2”、“27 是 7 或 9 的倍数”等命题都是 pⅤq 的命题．

解题方法点拨：三个逻辑连接词“或”、“且”、“非”中，对于“或”的理解是难点．p 或 q 表示两个简单命题

至少有一个成立，它包括①p 真 q 假②q 真 p 假③p 真 q 真，这一点可以结合两个集合的并集来理解．类似地，p

或 q 或 r 表示三个简单命题至少有一个成立，同样我们可以结合三个集合的并集来理解．

“正难则反”的转化思想在解题中的效果往往好于直接解答，有时起到比繁就简的作用．正确理解“或”，特别

是与日常生活中的“或”的区别．

命题方向：一般与集合、函数的定义域、函数的单调性联合命题，小题为主．

【且】

一般地，用连接词“且”把命题 p 和命题 q 连接起来，就得到一个新命题，记作 p∧q 读作“p 且 q”．

规定：当 p，q 都是真命题时，p∧q 是真命题；当 p，q 两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q 是假命题．“且”

作为逻辑连接词，与生活用语中“既…”相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用“和”，“与”

代替． 例 1：将下列命题用“且”连接成新命题，并判断它们的真假：

（1）p：正方形的四条边相等，q：正方形的四个角相等；

（2）p：35 是 15 的倍数，q：35 是 7 的倍数；

（3）p：三角形两条边的和大于第三边，q：三角形两条边的差小于第三边．

解题方法点拨：：逻辑连接词“且”，p 且 q 表示两个简单命题两个都成立，就是 p 真并且 q 真．一般解题中，注

意两个命题必须去交集，不可以偏概全解答．

第4课时 简单的逻辑联结词

1.理解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.

2.会判断含“且”“或”“非”的命题的真假及相关应用.

前面我们讲过一个故事:一位文艺批评家在路上,遇到歌德走来,不仅没有相让,反而卖弄聪明,一边高傲地往前走,一边大声说道:“我从来不给傻子让路!”面对如此尴尬局面,只见歌德笑容可掬,谦恭地闪在一旁,一边有礼貌地回答道:“呵呵,我可恰恰相反.”

问题1: 歌德表达的意思是

,对一个命题p的结论的否定 ,就得到一个新命题,记作

,读作“非p”,即是“p的否定”.

问题2: 常见的逻辑联结词有“或”“且”“非”.不含逻辑联结词的命题叫 ,含有逻辑联结词的命题叫

.

(1)用联结词“或”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作

,读作“p或q”.

(2)用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作 ,读作“p且q”.

问题3: 命题的否定与否命题的区别

(1)命题的否定是否定命题的 ,而命题的否命题是对原命题的 和 同时进行否定.

(2)命题的否定的真假与原命题的真假总是 的,即一真一假;而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系.

问题4: (1)复合命题是由简单命题与逻辑联结词构成的,简单命题的真假决定了复合命题的真假,复合命题的真假用真值表来判断.

p q p∨q p∧q

真 真

真 假 真 假

真 真 假

假 假 假

p p

真

真

(2)常见关键词及其否定形式附表如下:

关键词

否定词

等于(=) 不等于(≠)

大于(>) 不大于 (≤)

小于(<) 不小于(≥)

是 不是

能 不能

都是 不都是

没有 至少有一个

至多有一个 至少有两个

至少有一个 一个都没有

至少有n个 至多有n-1个

至多有n个 至少有n+1个

命题与逻辑联结词

一、命题与逻辑联结词

1、命题定义

可以判断真假的语句叫“命题”

2、分类

简单命题

复合命题（由简单命题与逻辑联结词构成）

p或q：qp

p且q：qp

非p：p（命题p的否定）

3、判断复杂命题的真假

一真或真，一假且假.

4、四种命题

（1）原命题.

若p，则q.

（2）逆命题

若q，则p.

（3）否命题

若p，则q.

（4）逆否命题

若q，则p.

5、四种命题关系

（1）原命题与逆否命题同真同假.

（2）逆命题与否命题同真同假.

6、命题的否定与否命题.

（1）命题的否定：（只否定结论）.

p表示命题，非p叫做命题的否定；

若p则q，则命题的否定为：若p则q

（2）否命题（既否定条件，又否定结论）

若p则q的否命题为： 若p则q.

二、充分条件与必要条件.

1、充分条件

若qp，则p是q的充分条件（q的充分条件p）

2、必要条件

若qp，则q是p的充分条件（p的充分条件q）

3、充要条件

若qp且pq（或qp）则p是q的充要条件。

4、充分条件与必要条件判定

（1）数轴法

（2）集合法 （3）等价法

三：全称量词与存在量词

1、 全称量词：“所有的”.“任意一个”.“每个”，用“”表示。

存在量词：“存在一个”.“至少有一个”.“有些”，用“”表示.

2、 全称命题（含有全称量词的命题）：;,xpMx

特称命题（含有存在量词的命题）：.,00xpMx

3、含有一个量词的命题的否定.

命题 命题的否定

XPMx, 00,xpMx

00,xpMx xpMx,

4、一些常用正面描述的词语的否定形式：

正面词语 = > < 是 都是 一定

否定词语    不是 不都是 不一定

正面词语 至多有一个 至少有一个 至多有n个 至少有n个 P或q P且q

简单的逻辑联结词以及全称量词和存在量词

一 复合命题“pq”，“ pq”， p

已知p和q是两个单独的命题，则：

pq：用联结词“且”把命题p和命题q联结起来得到的新命题.记作pq，读作p且q.

pq：用联结词“并”把命题p和命题q联结起来得到的新命题.记作pq，读作p或q.

p：对于一个命题p全盘否定得到的新命题.记作p，读作非p.

二 复合命题的真假性判断

（1）命题pq的真假性判断（真值表）

p q pq

真 真 真

真 假 假

假 真 假

假 假 假

注：有假则假，无假则真.

（2）命题pq的真假判断（真值表）

p q pq

真 真 真

真 假 真

假 真 真

假 假 假

注：有真则真，无真则假. （3）命题p的真假性判断（真值表）

p p

真 假

假 真

注：真假相反.

三 由复合命题的真假求参数的取值范围

逻辑联结词“或”，“且”，“非”与集合中的并集，交集，补集有着密切关系，因此求参数的取值范围问题可转化为集合关系来处理.

例 已知p：函数21yxmx在(1,)上单调递增，q：函数24yx

4(2)10mx恒成立.若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围.

[3,)(1,2)

练习1 已知命题p：方程210xmx有两个不相等的正实数根，命题q：方程244(2)10xmx无实数根.若” p或q”为真命题，求实数m的取值范围.

(,1)

练习2 已知0c，设:p函数xyc在R上单调递减，q：曲线22144()12yxcxc与x轴交于不同的两点，如果p和q有且仅有一个为真命题，求c的取值范围. 1(0,][1,)2

四 全称命题与特称命题的形式