线性代数初步-行列式(1)

考研辅导《线性代数》教案-1

- 1 - 第一章 行列式

◆ 基础知识概要

1.n阶行列式的定义

二阶行列式

2112221122211211aaaaaaaa.

三阶行列式.

333231232221131211aaaaaaaaa112233122331132132112332122133132231aaaaaaaaaaaaaaaaaa.

对角线法则：

n阶行列式的定义

1212111212122212,,,121...nnntnjjnjjjjnnnnaaaaaaDaaaaaa,

它是取自不同行不同列的n个数的乘积1212...njjnjaaa的代数和（共!n项），其中各项的符号为1t，t代表排列12,,,njjj的逆序数，简记为detija.

n阶行列式也可定义为121212,,,1...nntiiiniiiDaaa，其中t为行标12,,,niii排列的逆序数.

例1.1 计算行列式

（1）12n；

（2）12n. 考研辅导《线性代数》教案-1

- 2 -

练习：计算下列行列式

（1）2341342013004000；

（2）111212220nnnnaaaaaa（上三角形行列式）；

（3）112122120nnnnaaaaaa（下三角形行列式）.

2. 行列式的性质与计算

2.1行列式的性质

（1）行列式与其转置行列式相等；

（2）互换行列式的某两行(列)得到新行列式则新行列式应反号；

特别地：若行列式中有两行(列)对应元素相等，则行列式等于零；

（3）行列式中某一行(列)的所有元素的公因数可以提到行列式的外面；

即以数k乘以行列式等于用数k乘以行列式的某一行或某一列；

特别地：若行列式中有一行(列)的元素全为零，则行列式等于零；

线性代数

湖北汽车工业学院[2011-2012-1]2010级·线性代数7班严钦容的线性代数课件仅用于网络课堂

1 二阶与三阶行列式的引入

2n阶行列式的定义

3行列式的性质

4余子式与代数余子式

5行列式的展开定理

6线性方程组的Gramer 法则[线性代数]第一章

行列式

7典型例题回顾线性代数

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用消元法解二元线性方程组:





,,

22221211212111

bxaxabxaxa

:

2x消去◇二阶行列式

21

22211211

bb

aaaa

,)(

212221121122211baabxaaaa

:

1x消去,)(

211211221122211abbaxaaaa

时，当0

21122211aaaa

，

21122211212221

1aaaabaab

x



.

21122211211211

2aaaaabba

x



1.二阶与三阶行列式的引入线性代数

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22211211

aaaa[定义1]

22211211

aaaa

21122211aaaa:记号

主对角线

副对角线[二阶行列式计算:对角线法则]

2211aa

2112aa

22211211

aaaa:224列的数表行个数排成设有1. 二阶与三阶行列式的引入

，

21122211212221

1aaaabaab

x



.

21122211211211

2aaaaabba

x





21122211aaaa代数式称为该数表所确定的二阶行列式.线性代数

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,

22211211

aaaa

D



.,

22221211212111

bxaxabxaxa

二元方程组:

[系数行列式][二元方程组的Gramer法则]

线性代数计算行列式

行列式是线性代数中的一个重要概念，用于刻画矩阵的性质和运算。行列式可以看做是一个线性变换对体积的放缩比例，它可以用来描述矩阵的可逆性、线性相关性、多项式方程的根等。本文将从行列式的定义、性质、计算方法以及一些应用等方面详细介绍线性代数中行列式的相关知识。

首先，我们来定义什么是行列式。给定一个n阶矩阵A = [a_ij]（其中i表示行数，j表示列数），则A的行列式记作，A，或det(A)，它是一个标量，表示一个n维线性变换的放缩比例。根据矩阵的行列数不同，行列式可以分为一阶行列式、二阶行列式、三阶行列式等。

一阶行列式就是一个数本身，即，a，=a。

二阶行列式的计算公式如下：，A，=a_11*a_22-a_12*a_21

三阶行列式的计算公式如下：，A，=a_11*a_22*a_33+a_12*a_23*a_31+a_13*a_21*a_32-a_13*a_22*a_31-a_11*a_23*a_32-a_12*a_21*a_33

根据行列式的定义，我们可以推导出一些重要的性质：

1. 行列式与转置：对于任意的n阶矩阵A，有det(A) = det(A^T)。

2. 行列式的性质：如果A的行元素全为0，则det(A) = 0。如果A的两行元素相同，则det(A) = 0。如果A的行元素与另一行元素成比例，则det(A) = 0。

3. 行列式的性质：行列式的值不变，当交换A的两行或两列的顺序时。即det(A) = det(A')，其中A'是A的两行或两列交换后得到的矩阵。 4. 行列式的性质：如果A的行元素加上行元素的k倍得到B，则det(B) = det(A)。

有了这些性质，我们可以通过行列式的性质进行计算，并进行一些变换，使得计算行列式的过程更加简单。

下面，我们来介绍一些行列式的计算方法：

1.二阶行列式的计算：根据二阶行列式的计算公式，直接计算即可。

2.三阶及以上的行列式的计算：一般采用代数余子式和按行展开的方法。代数余子式是指删去行和列中其中一个元素后，剩余元素按原来的次序组成的矩阵的行列式。按行展开的方法是将行列式按矩阵的一行展开求和。根据代数余子式和按行展开的方法，我们可以递归地计算三阶及以上的行列式。

1 线性代数———第1章：n阶行列式

一、解题指导

1、单项选择题

目前电大的考试中的选择题，一般都是四选一，即四个答案中只有一个答案是正确的，因此解答这样的试题准确程度要高，选对了就得分，选错了不得分，多选少选也不得分。

（1）．设3133212333312321333231232221131211,,aaaaNaaaaMaaaaaaaaaD，则12a的余子式（ ）

（A）是M （B）是N （C）是M和N （D）不是M和N

解：本题主要是考查行列式的数余子式的概念。

设有n阶行列式

nnnnnnnaaaaaaaaaD212222111211

元素ija为的余子式ijM，它是由nD划去第i行和第j列后余下元素构成的1n阶行列式，即

nnnjnjnnijijiinijijiinijijijaaaaaaaaaaaaaaaaM1111111111111111111111

因为12a的余子式为3331232121)1(aaaa，所以A正确。

（2）．行列式701215683的元素21a的代数余子式21A的值为（ ）

（A）33 （B）-33 （C）56 （D）-56

解：本题主要是考查行列式的代数余子式的概念。ija的代数余子式为

ijjiijMA1

ijM为ija的余子式。要注意，元素ija的余子ijM式与代数余子式ijA之间仅仅相差一个代数符号

因为元素21a的代数余子式567068)1(1221A，所以结论D正确。

（3）．下列等式成立的是（ ），其中dcba,,,为常数。

（A）acbddcba （B）111111cbdadcba 2 （C）dcbadcba22222 （D）111111cbdadcba