线性代数-行列式(完整版)

第一章 行列式

1. 排列与逆序数

(1)排列

把n个不同的元素排成一列， 就叫作这n个元素的全排列，简称排列。 比如231645就是这6个元素的一个排列.

注：不同的n级排列共有n!个。

(2)逆序、逆序数、对换

①在一个n级排列njj1中，若一对数tsjj,，大前小后，即tsjj，则tsjj,构成了一个逆序。一个排列中逆序的总数称为此排列的逆序数，记为)(1njj。如231645的逆序数为4，记作τ(231645)=4，τ(123) =0。

②排列njj1中，交换任两个数的位置，其余不变,则称对排列做了一次对换。

③逆序数为奇(偶)数的排列，称为奇(偶)排列。

注:对换一次改变排列的奇偶性.如r(123) =0,r(321) =3。

2. n阶行列式的定义

行列式是定义在方阵上的一种新的运算法则

niiiiinjjjjjnnnnnnnnijnnnnnaaaaaaaaaaaaaaD1)(1)(212221212111121121)1()1()(

计算步骤;

(1)取数相乘，来自不同行不同列

(2)冠以符号，)(21)1(njjj

(3)全部相加，nnnjjjjjnaa1211)(!)1(、

注：(1)当n=1时，定义11111aaD

(2)nD是一个数值，是n!项的代数和

(3)nnaaa,,,2211所在的对角线称为行列式的主对角线，相应的nnaaa,,,2211称为主对角元。另一条对角线称为行列式的副对角线。

3. 行列式的性质

(1) 转置：行列式行与列互换，行列式的值不变（互换后的行列式叫做行列式的转置） nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa212222111211212221212111

(2) 交换（反对称性质）：行列式的两行(或列)对换，行列式的值变号。

线性代数行列式计算方法总结

在线性代数中，行列式是一个非常重要的概念，它在矩阵运算和线性方程组的求解中起着至关重要的作用。本文将总结一些常见的行列式计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和运用线性代数中的行列式。

1. 代数余子式法。

代数余子式法是一种常见的计算行列式的方法。对于一个n阶矩阵A，它的行列式可以通过以下公式来计算：

det(A) = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n。

其中，a11, a12, ..., a1n是矩阵A的第一行元素，A11, A12, ..., A1n分别是对应元素的代数余子式。代数余子式的计算方法是先将对应元素所在的行和列去掉，然后计算剩下元素构成的(n-1)阶矩阵的行列式，再乘以对应元素的符号（正负交替）。通过递归的方式，可以计算出整个矩阵的行列式。

2. 克拉默法则。

克拉默法则是一种用于求解线性方程组的方法，它也可以用来计算行列式。对于一个n阶方阵A，如果它的行列式不为0，那么可以通过克拉默法则来求解它的逆矩阵。逆矩阵的元素可以通过矩阵A的各个元素的代数余子式和行列式的比值来计算。虽然克拉默法则在实际计算中并不常用，但它对于理解行列式的性质和逆矩阵的计算方法有一定的帮助。

3. 初等行变换法。

初等行变换法是一种通过对矩阵进行一系列行变换来简化行列式计算的方法。这些行变换包括交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行加上另一行的若干倍。通过这些行变换，可以将一个矩阵化简为上三角形矩阵或者对角矩阵，从而更容易计算它的行列式。需要注意的是，进行行变换时要保持行列式的值不变，即每一次行变换都要乘以一个相应的系数。

4. 特征值法。

特征值法是一种通过矩阵的特征值和特征向量来计算行列式的方法。对于一个n阶矩阵A，它的行列式可以表示为其特征值的乘积。通过计算特征值和特征向量，可以得到矩阵A的行列式的值。特征值法在实际计算中比较复杂，但它对于理解矩阵的性质和特征值分解有一定的帮助。

1 第一章 行列式

第一节 行列式的定义.

一 排列的逆序数

将数n,,2,1按照某个顺序排成一行, 称为一个n阶排列. 记作nppp21. 共有!n种不同的n阶排列.

按照从小到大的顺序称为标准顺序. 而排列n12称为标准排列.

定义1.1 如果在一个排列中, 某两个数的先后顺序与标准顺序相反, 则称有一个逆序.

这个排列的逆序的总数称为该排列的逆序数.

在n阶排列中, 标准排列的逆序数最小, 等于0. 而排列1)1(nn的逆序数最大, 等于2/)1(nn.

定义1.2 如果一个排列的逆序数是奇数(偶数), 则称其为奇排列(偶排列).

例如, 共有6个三阶排列, 其中123, 231, 312是偶排列, 而132, 213, 321是奇排列.

定义1.3 在排列中, 将任意两个数对调, 其余数不动, 这种产生新排列的过程称为对换. 将两个相邻的数对换, 称为相邻对换.

定理1.1 一个排列中的任意两个数对换, 排列改变其奇偶性.

证 如果这两个数相邻, 进行对换时, 只改变这两个数的先后顺序. 因此, 逆序数或者增加1, 或者减少1. 即进行相邻对换时, 奇偶性改变.

考虑排列nkiiippppp11, 其中1k. 为完成ip与kip的对换, 其余数不动,可按照下面方式进行. 先将ip与1ip对换, 再将ip与2ip对换, 继续进行, 直至ip与kip相邻. 在这个过程中, ip逐渐向后移动, 而其他数的先后顺序不变. 如此共进行1k次对换, 得到排列nkiiippppp11. 然后将kip与ip对换, 再将kip与1kip对换, 继续进行, 直至kip向前移动到1ip的左边为止. 此时恰好得到排列niikippppp11.如此又进行k次相邻对换. 总计进行12k次相邻对换, 因此, 必然改变奇偶性.

行列式

1. 对角线法则：主对角线的两元素之积减去副对角线两元素之积

2. 全排列：把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列

3. 标准次序：由小到大为标准次序

4. 逆序数：一个排列中所有逆序的总数

5. 偶排列：逆序数为偶数的排列

6. 奇排列：逆序数为奇数的排列

7. 上下三角型行列式：主对角线以上或以下为0的行列式，它的值与对角行列式一样

8. 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性

9. 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数

10. 行列式与它的转置行列式相等

11. 互换行列式的两行或两列，行列式变号

12. 如果行列式有两行（列）相似或者完全相同，则行列式等于0

13. 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一元素k,等于用数k乘此行列式

14. 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则D=D1+D2；

15. 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列），仍不变

16. 余子式和代数余子式：在n阶行列式中，划去除了某元素以外所在的行和列所有元素，得到的n-1阶行列式叫做该元素的余子式，该元素的逆序数与该元素的乘积叫做该元素的代数余子式

17. 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和

18. 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应的代数余子式乘积之和等于0

19. 如果线性方程组的系数行列式不等于0，那么方程组有唯一解

20. 如果线性方程组无解或者有两个不同的解，则行列式为0

21. 如果齐次线性方程组的系数行列式不等于0，则此方程组为没有非零解

22. 如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为0