三角形正弦定理公式大全

高中数学

解三角形

1.内角和定理：在ABC中，ABC；sin()ABsinC；cos()ABcosC，cos2ABsin2C

2.面积公式: ①ABCS=21aha＝21bhb＝21chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；

②ABCS＝21absinC＝21bcsinA＝21acsinB； ③ABCS＝2R2sinAsinBsinC.（R为外接圆半径）

④ABCS＝Rabc4； ⑤ABCS＝))()((csbsass,)(21cbas；

⑥ABCS＝r·s,( r为△ABC内切圆的半径)

3.三角形中常见的不等式：

①BABAsinsin,则若(任意三角形)

②锐角三角形中，BAcossin

4．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.

形式一：RCcBbAa2sinsinsin (解三角形的重要工具)

形式二：CRcBRbARasin2sin2sin2 (边角转化的重要工具)

4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..

形式一：2222cosabcbcA

2222cosbcacaB (解三角形的重要工具)

2222coscababC

形式二：cosAbcacb2222 ； cosBcabac2222 ； cosC=abcba2222

考点1: 运用正、余弦定理求角或边

题型1.求三角形中的某些元素

例1.已知：A.B.C是ABC的内角，cba,,分别是其对边长，向量1cos,3Am，1,2cosAn，nm.

（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若,33cos,2Ba求b的长.

利用正弦定理、余弦定理求解三角形基础题

1

正弦定理

小陈去里约看奥运会，住在宾馆A处，青年体育馆B处与德奥多罗水上运动中心C处相距2公里，三处位置大致如下图所示，能否利用数学知识算出AB,AC的距离？

1 正弦定理

2 三角形的元素与解三角形

(1)三角形的元素

把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．

(2)解三角形

已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．

2

答疑

1 对正弦定理的理解

(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．

(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与其对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．

(4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化．

2 正弦定理的变形公式

3

练习

1 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)正弦定理不适用于直角三角形．( )

(2)在△ABC中必有asin A＝bsin B．( )

(3)在△ABC中，若A>B，则必有sin A>sin B．( )

(4)在△ABC中，若sin A>sin B，则必有A>B.( )

(5)在△ABC中，若A>B，则必有cos A>cos B．( )

4

定理的应用

探究1

一直两角及一边，解三角形

探究2

已知两边及一边的对角，求三角形

探究3

判断三角形的形状

5

总结归纳

6

深化拓展

余弦定理

1．对余弦定理的四点说明

(1)勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．

(2)与正弦定理一样，余弦定理揭示了三角形的边角之间的关系，是解三角形的重要工具之一．

(3)余弦定理的三个等式中，每一个都包含四个不同的量，它们是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入等式，就可以求出第四个量．

第6讲 正弦定理、余弦定理及解三角形

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、填空题

1．(2014·北京西城区模拟)在△ABC中，若a＝4，b＝3，cos A＝13，则B＝________.

解析 因为cos A＝13，所以sin A＝1－19＝223，由正弦定理，得4sin

A＝3sin B，所以sin B＝22，又因为b＜a，所以B＜π2，B＝π4.

答案 π4

2．(2015·南通模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为32，则BC的长为________．

解析 因为S＝12×AB×ACsin A＝12×2×32AC＝32，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3，所以BC＝3.

答案 3

3．(2015·苏北四市模拟)△ABC中，有sin A＝2sin Bcos C，a，b，c是角A，B，C的对边，且满足a＋b＋cb＋c－a＝3cb，则△ABC的形状为________三角形(填“等腰”、“等边”、“等腰直角”)．

解析 利用正弦定理和余弦定理sin A＝2sin Bcos C变形为a2R＝2b2R·a2＋b2－c22ab，化简得b＝c，代入a＋b＋cb＋c－a＝3cb，化简得a＝c，所以该三角形是等边三角形．

答案 等边

4．(2014·惠州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tan B＝3ac，则角B的值为________． 解析 由余弦定理，得a2＋c2－b22ac＝cos B，结合已知等式得cos B·tan B＝32，∴sin B＝32，∴B＝π3或2π3.

答案 π3或2π3

5．(2014·南京模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，A＝60°，c＝33，则△ABC的面积为________．

解析 由正弦定理可得asin A＝csin C，代入数据解得sin C＝12.又a＞c，所以A＞ C，所以C＝30°，B＝90°，所以△ABC的面积为12acsin B＝36.

正弦定理与余弦定理(解三角形)

1、 公式默写

（1）正弦定理________________________________________________;

（2）余弦定理

形式一 形式二

2a

cosA

2b cosB

2c cosC

（3）三角形的面积公式

公式一：12S×底×____； 公式二：1sin2SabC_____________________

（4）三角形的内角和定理：____________________________

（5）三角形中：大角对______；大边对________；

（6）利用余弦定理判断三角形的形状：设角C是ABC中的最大角，若

①cosC___0，则ABC是锐角三角形； ②cosC___0，则ABC是直角三角形；

③cosC___0，则ABC是钝角三角形；

2、已知ABC中，::1:2:3ABC，则该三角形三边的比::abc（

）

A、3:4:5 B、1:2:3 C、1:3:2 D、1:2:3

3、在ABC中，已知2AC，那么sin3sinCC（ ）

A、ab B、ba C、bc D、ca

4、（08-19）在ABC中，,,ABC的对边分别为,,abc。若60,21,4oAab，则c_______。

5、（09-19）在ABC中，,,ABC的对边分别为,,abc，且满足等式222acbac，则B____。

6、在ABC中，已知7,5,3cba，则C的度数是（ ）

A、o30 B、o60 C、o120 D、o150

7、在ABC中，若abbac222，则角C等于（ ）

A、o30 B、o60 C、o120 D、o150

8、在ABC中，若260,0Ccab，则此三角形是（ ）