三角形正弦定理和余弦定理公式

正弦定理：

定义：直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为三角形外接圆的半径） 正弦定理(Sine theorem)

（1）已知三角形的两角与一边，解三角形

（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形

（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系

证明

步骤1 在锐角△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到

a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC 步骤2. 证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 作直径BD交⊙O于D. 连接DA. 因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度 因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠ACB. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。

意义

正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。也就是任意三角形的边角关系。

扩展

余弦定理（第二余弦定理）

定义：直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

余弦定理性质

对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质—— a^2 =

1

【例1】(11北京)

曲线C是平面内与两个定点F1(-1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹.给出下列三个结论：

①曲线C过坐标原点；

②曲线C关于坐标原点对称；

③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于212a。

其中，所有正确结论的序号是_____。

【例2】

已知AD是△ABC的角平分线，且AC＝2，AB＝3，∠A＝60°.求AD的长。

【例3】(11北约)

已知平行四边形的两条邻边长分别是3和5，一条对角线长是6，求另一条对角线的长。

【例4】(09北大)

一个圆的内接四边形边长依次为1，2，3，4，求这个圆的半径。

【例5】(10上海)

某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为111,,13115，则此人将( )

A．不能作出满足要求的三角形

B．作出一个锐角三角形

C．作出一个直角三角形

D．作出一个钝角三角形 正弦定理、余弦定理、

三角形面积公式的妙用

2

【例6】(11北大保送)

L为△ABC内一点，满足ACLBCLCBLBAL。求证：△ABC的三边长成等比。

【例7】(11全国课标)

△ABC中，∠B＝60°，3AC，则AB＋2BC的最大值为_______。

【例8】(11北约)

在△ABC中，a＋b≥2c，求证：∠C≤60°。

正弦定理和余弦定理

一：基础知识理解

1 ． 正弦定理

分类 内容

定理

＝ ＝ ＝2 R ( R 是 △ ABC 外接圆的半径 )

变形

公式 ① a ＝ 2 R sin _ A ， b ＝ 2 R sin _ B ， c ＝ 2 R sin _ C ，

② sin A ∶ sin B ∶ sin C ＝ a ∶ b ∶ c ，

③ sin A ＝ ，sin B ＝ ，sin C ＝

解决的

问题 ① 已知两角和任一边，求其他两边和另一角，

② 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角

2 ． 余弦定理

分类 内容

定理 在 △ ABC 中，有 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 －2 bc cos _ A ；

b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 －2 ac cos _ B ； c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 －2 ab cos _ C

变形

公式 cos A ＝ ；cos B ＝ ；

cos C ＝

解决的

问题 ① 已知三边，求各角；

② 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角

3 ． 三角形中常用的面积公式

( 1 ) S ＝ ah ( h 表示边 a 上的高 )；

( 2 ) S ＝ bc sin A ＝ ac sin B ＝ ab sin C ；

( 3 ) S ＝ r ( a ＋ b ＋ c )( r 为三角形的内切圆半径 )．

二：基础知识应用演练

1 ．( 2012·广东高考 ) 在 △ ABC 中 ， 若 ∠ A ＝ 60° ， ∠ B ＝ 45° ， BC ＝ 3 ，

则 AC ＝( )

A ． 4 B ． 2

2 ． 在 △ ABC 中 ， a ＝ ， b ＝ 1 ， c ＝ 2 ， 则 A 等于 ( )

A ． 30° B ． 45°

中考考点正弦定理余弦定理正切定理的计算与应用

正弦定理、余弦定理和正切定理是三角函数中常用的计算公式，也是中考数学考试中的重要考点。它们能够帮助我们计算和解决与三角形相关的各种问题。本文将介绍正弦定理、余弦定理和正切定理的基本公式及其应用。

一、正弦定理

在任意三角形ABC中，设三条边的长度分别为a、b、c，且对应的角为A、B、C，则正弦定理可以表示为：

a/sinA = b/sinB = c/sinC

根据正弦定理，我们可以计算未知边长或角度的值。例如，已知两条边和夹角的情况下，可以通过正弦定理来计算第三条边的长度或第三个角的大小。

例题1：

已知三角形ABC，AB=8cm，AC=6cm，∠B=60°，求∠A和BC的长度。

解：

根据正弦定理可得：

8/sinA = 6/sin60° sinA = 8*sin60°/6

A = arcsin(8*sin60°/6) ≈ 54.6°

又根据三角形内角和为180°的性质可得∠C = 180° - ∠A - ∠B =

180° - 54.6° - 60° = 65.4°

再利用正弦定理求得BC的长度：

BC/sin65.4° = 6/sin60°

BC = 6*sin65.4°/sin60° ≈ 6.87cm

所以，∠A ≈ 54.6°，BC ≈ 6.87cm。

二、余弦定理

在任意三角形ABC中，设三条边的长度分别为a、b、c，且对应的角为A、B、C，则余弦定理可以表示为：

c² = a² + b² - 2ab*cosC

根据余弦定理，我们可以计算任意一个角的余弦值或者未知边长的长度，进而解决与三角形相关的各种问题。

例题2：

已知三角形ABC，AB=7cm，AC=5cm，∠B=60°，求∠A和BC的长度。

解：

根据余弦定理可得： BC² = 7² + 5² - 2*7*5*cos60°

= 49 + 25 - 70*0.5

= 61

所以，BC ≈ √61 ≈ 7.81cm