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第二章 随机信号的时域分析
在实际通信和信息系统中，将承载信息的、随时间、空间或其他几个参量变化的物理量
（如声、光、电）抽象为信号，用确定时间函数来表示—确定信号。信号与系统等课程分析的
就是确定信号。
而实际通信信号显然是不确定的，具有随机性，是随机信号。但正如前章所述，随机并
不意味着无规律，随机信号与随机变量一样，其特性服从某种统计规律，这就是本课程的研究
目的。
研究思路：统计规律Þ
用统计方法处理，将时间t
作为常量。因此完全可以借鉴随机变
量的处理方法，但需要考虑随机信号的时间函数特性！
2.1 随机信号的基本概念与统计特性
2.1.1随机信号的基本概念
1、引例
当对接收机的噪声电压作“单次”观察时，可以得到波形
1()xt
，也可能得到波形
2()xt
，
3()xt
等等，每次观测的波形的具体形状，虽然事先不知道，但肯定为所有可能的波形中的一个。而
这些所有可能的波形集合
1()xt
，
2()xt
，
3()xt
，…，()
mxt
，…..，就构成了随机过程()Xt
。
如图2.1.1所示。
tX(t,ξ
1)
0
tX(t,ξ
2)
0t
0
t
0X(t
0,ξ
2)X(t
0,ξ
1)
t
0
X(t
0,ξ
5)
X(t
0,ξ
4)X(t
0,ξ
3)
X(t
0,ξ
6,7)
在确定的t
0时，是一随
机变量X(t
0,ξ)ξ=ξ
1 的样本时间函数（波形）
图2.1.1 噪声电压的起伏波形
说明：①样本函数：每次试验的结果：
1()xt
，
2()xt
，
3()xt
，…，()
nxt
，都是时间的函数，
称为样本函数。 2－ 2 / 13
②随机性：一次试验，随机过程必取一个样本函数，但所取的样本函数带有随机性。随
机性使得每一次观测到不同的电压波形
12(),(),xtxt×××
。因此，噪声电压为无限多可能
波形中的一种，噪声电压信号为一族随机的时间波形函数。
2、定义
令随机试验的概率空间为{}
,,FPW
，若对于样本空间W
中的任何一个样本点
ixÎW
，总有一个确知函数(,)
第2章
信号的分析与处理
学习目标
1.掌握常用的信号时域、频域分析方法的基本原理和应用；
2.了解数字信号处理的基础知识，能够正确地选择采样频率和窗函数。
学习难点
迭混和采样定理，泄漏与窗函数的关系。功率谱分析的原理和应用。快速傅里叶变换原理。
内容概述
本章简要介绍了时域幅值参数的统计分析方法。主要叙述信号相关分析、功率谱分析的原理及应用。介绍相干分析、倒谱分析的概念和应用。说明数字信号处理的基本步骤，采样和加窗的原理和方法，快速傅里叶变换的原理。
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2.1 信号的时域分析
信号的时域分析包括信号的均值、绝对均值、均方值、均方根值和方差以及幅值域的概率密度函数和概率分布函数 。
2.1.1 特征值分析
(1) 信号的均值x：对确定性的连续信号，x表示信号x(t)在0～T时间内的中心趋势，也称x为信号x(t)的静态分量或直流 分量，表示为：
（2.1）
在实际测试中，均值x可以取样本在足够长时间内的积分平均作为其估计值，记作：
对于离散信号，若x(t)在0～T时间内，离散点数为N，离散值为xn，则均值x表示为：
对于随机信号，均值应以总体平均，即数学期望来表示：
对于平稳随机信号，由于其统计特征与时间起点无关，故其数学期望也与时间无关，则:
对于各态历经平稳随机信号，可由其样本函数的时间平均值代替其总体平均，即式（2.1）。
在均值计算时，为防止计算机溢出，常采用递推算法。N项序列{xn}前n项的均值xn的计算公式如下：
第二章 确定信号分析
2-1图E2.1中给出了三种函数。
图 E2.1
①证明这些函数在区间（-4，4）内是相互正交的。
②求相应的标准正交函数集。
③用（2）中的标准正交函数集将下面的波形展开为标准正交级数：
为其它值ttts,040,1)(
④利用下式计算（3）中展开的标准正交级数的均方误差：
44231])()([dttuatskkk
⑤对下面的波形重复（3）和（4）：
为其它值tttts,044),41cos()(
⑥图E2.1中所示的三种标准正交函数是否组成了完备正交集？
解：
①证明：由正交的定义分别计算，得到
12()()0ututdt，23()()0ututdt，31()()0ututdt，得证。 )(1tu
)(2tu
)(3tu -4
-4
-4 4
4
4 1
1
-1
1
-1 ②解：424()8,kCutdtk，对应标准正交函数应为1()(),1,2,3kkqtutkC
因此标准正交函数集为123123111{(),(),()}{(),(),()}222222qtqtqtututut
③解：用标准正交函数集展开的系数为40()(),1,2,3kkastqtdtk，由此可以得到
411014()()22222astutdt，
422014()()22222astutdt，
43301()()022astutdt。
所以，121211()2()2()()()22stqtqtutut
④解：先计算得到312111()()()()()()022kkktstautstutut
⑤解：用标准正交集展开的系数分别为
441144111()()cos()042222astutdttdt，
第2章 信号与噪声分析
知识点及层次
1. 确知信号时－频域分析
(1) 现代通信系统周期信号的傅氏级数表示和非周期信号的傅氏积分。
(2) 几个简单且常用的傅氏变换对及其互易性。
(3) 信号与系统特征－卷积相关－维钠－辛钦定理。
2. 随机过程统计特征
(1) 二维随机变量统计特征。
(2) 广义平稳特征、自相关函数与功率谱特点。
(3) 高斯过程的统计特征。
3. 高斯型白噪声统计特征
(1) 理想白噪声及限带高斯白噪声特征。
(2) 窄带高斯白噪声主要统计特征。
以上三个层次是一个层层深入的数学系统，最终旨在解决信号、系统及噪声性能分析，是全书各章的基本理论基础，也是系统分析的最主要的数学方法。
第2章 信号与噪声分析
知识点及层次
1. 确知信号时－频域分析
（1）现代通信系统周期信号的傅氏级数表示和非周期信号的傅氏积分。
（2）几个简单且常用的傅氏变换对及其互易性。
（3） 信号与系统特征－卷积相关－维钠－辛钦定理。
2. 随机过程统计特征
（1）二维随机变量统计特征
（2） 广义平稳特征、自相关函数与功率谱特点。
（3） 高斯过程的统计特征。
3. 高斯型白噪声统计特征
（1）理想白噪声及限带高斯白噪声特征。
（2）窄带高斯白噪声主要统计特征。
以上三个层次是一个层层深入的数学系统，最终旨在解决信号、系统及噪声性能分析，是全书各章的基本理论基础，也是统分析的最主要的数学方法。 傅里叶分析是从时域、频域描述信号的有效方法。狭义而言，通信过程更是信号与传输信道在频域相适应的过程。往往信号和系统的频域特征分析更有利于解决传输问题。
第二章 信号与噪声分析 经典例题
[例 2-1] 求图2-1所示信号f(t)的频谱 。
解：
这一结果表明，频谱是两部分构成，为虚轴上奇对称于原点。证实了奇对称实信号的频谱为虚频谱奇对称形式。
