2019_2020学年高中数学第2章2.2.2第2课时椭圆的标准方程及性质的应用学案新人教A版选修2_1

- 1 - 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用

学 习 目 标 核 心 素 养

1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点)

2.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点) 1.通过直线与椭圆位置关系的判断，培养学生的逻辑推理核心素养.

2.通过弦长、中点弦问题及椭圆综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养.

- 2 - 1．点与椭圆的位置关系

点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系：

点P在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；

点P在椭圆内部⇔x20a2＋y20b2<1；

点P在椭圆外部⇔x20a2＋y20b2>1．

2．直线与椭圆的位置关系

直线y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系：

联立y＝kx＋m，x2a2＋y2b2＝1，消去y得一个关于x的一元二次方程．

位置关系 解的个数 Δ的取值

相交 两解 Δ>0

相切 一解 Δ＝0

相离 无解 Δ<0

思考：(1)过原点的直线和椭圆相交，两交点关于原点对称吗？

(2)直线y＝kx＋1与椭圆x24＋y23＝1有怎样的位置关系？

[提示] (1)根据椭圆的对称性知，两交点关于原点对称．

(2)直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，点(0，1)在椭圆x24＋y23＝1的内部，因此直线与椭圆相交． - 3 -

1．直线y＝x＋1与椭圆x2＋y22＝1的位置关系是( )

A．相离 B．相切

C．相交 D．无法确定

C [联立y＝x＋1，x2＋y22＝1，消去y，得3x2＋2x－1＝0，

Δ＝22＋12＝16＞0，

∴直线与椭圆相交．]

2．直线x＋2y＝m与椭圆x24＋y2＝1只有一个交点，则m的值为( )

A．22 B．±2

C．±22 D．±2

C [由x＋2y＝m，x2＋4y2＝4，消去y并整理得

2x2－2mx＋m2－4＝0.

由Δ＝4m2－8(m2－4)＝0，得m2＝8.

∴m＝±22.]

3．若点A(a，1)在椭圆x24＋y22＝1的内部，则a的取值范围是________．

(－2，2) [∵点A在椭圆内部，

∴a24＋12＜1，∴a2＜2，∴－2＜a＜2.]

4．如果椭圆x236＋y29＝1的一条弦被点(4，2)平分，那么这条弦所在直线的斜率是________． - 4 - －12 [设此弦的两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则有x2136＋y219＝1，x2236＋y229＝1，

两式相减，得（x1＋x2）（x1－x2）36＋（y1＋y2）（y1－y2）9＝0，

又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，

∴y1－y2x1－x2＝－12，

即此弦所在直线斜率为－12.]

直线与椭圆的位置关系

【例1】 对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆x24＋y2＝1的位置关系． - 5 - 思路探究：联立两个方程―→消去y得到关于x的一元二次方程―→

求Δ―→讨论Δ得结论

[解] 联立方程组y＝x＋m， ①x24＋y2＝1. ②

将①代入②得：x24＋(x＋m)2＝1，

整理得：5x2＋8mx＋4m2－4＝0.③

Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．

当Δ＞0，即－5＜m＜5时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；

当Δ＝0，即m＝±5时，方程③有两个相等的实数根，代入①得一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；

当Δ＜0，即m＜－5或m＞5时，方程③无实根，此时直线与椭圆相离．

代数法判断直线与椭圆的位置关系

判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则

Δ>0⇔直线与椭圆相交；

Δ＝0⇔直线与椭圆相切；

Δ<0⇔直线与椭圆相离．

提醒：注意方程组的解与交点个数之间的等价关系． - 6 -

1．(1)若直线y＝kx＋2与椭圆x23＋y22＝1相切，则斜率k的值是( )

A.63 B．－63 C．±63 D．±33

C [由y＝kx＋2，x23＋y22＝1得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，

由题意知Δ＝144k2－24(3k2＋2)＝0，

解得k＝±63.]

(2)直线y＝kx－k＋1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆x25＋y2m＝1总有公共点，则m的取值范围是________． - 7 - 54，5 [直线y＝k(x－1)＋1恒过定点P(1，1)，直线与椭圆总有公共点等价于点P(1，1)在椭圆内或在椭圆上．所以125＋12m≤1，即m≥54，又0

故m∈54，5.]

弦长及中点弦问题

【例2】 过椭圆x216＋y24＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分．

(1)求此弦所在的直线方程；

(2)求此弦长．

思路探究：(1)法一：联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解．

法二：点差法．

(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用弦长公式求解．

[解] (1)法一：设所求直线方程为y－1＝k(x－2)．代入椭圆方程并整理，得

(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.

又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1，x2是方程的两个根，

于是x1＋x2＝8（2k2－k）4k2＋1.

又M为AB的中点，∴x1＋x22＝4（2k2－k）4k2＋1＝2，

解得k＝－12.

故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. - 8 - 法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．

又M(2，1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.

又A，B两点在椭圆上，

则x21＋4y21＝16，x22＋4y22＝16.

两式相减得(x21－x22)＋4(y21－y22)＝0.

于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.

∴y1－y2x1－x2＝－x1＋x24（y1＋y2）＝－12，

即kAB＝－12.

又直线AB过点M(2，1)，

故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.

(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由x＋2y－4＝0，x216＋y24＝1，得x2－4x＝0，

∴x1＋x2＝4，x1x2＝0，

∴|AB|＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2

＝1＋－122·42－4×0＝25.

1．直线与椭圆相交弦长的求法

(1)直接利用两点间距离公式：当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．

(2)弦长公式：当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式． - 9 - 设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有|AB|＝

（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝（1＋k2）（x1－x2）2

＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2

＝1＋1k2（y1－y2）2

＝1＋1k2·（y1＋y2）2－4y1y2(k为直线斜率)．

提醒：如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．

2．解决椭圆中点弦问题的两种方法

(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；

(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则

x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1， ①②

由①－②，得1a2(x21－x22)＋1b2(y21－y22)＝0，变形得y1－y2x1－x2＝－b2a2·x1＋x2y1＋y2＝－b2a2·x0y0，即kAB＝－b2x0a2y0.

- 10 -

2．(1)已知点P(4，2)是直线l被椭圆x236＋y29＝1所截得的线段的中点，则直线l的方程为________．

x＋2y－8＝0 [由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，

而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.

将直线方程代入椭圆方程有

(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.设直线l与椭圆的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，

所以x1＋x2＝8k（4k－2）4k2＋1＝8，所以k＝－12.所以直线l的方程为y－2＝－12(x－4)，即x＋2y－8＝0.]

(2)已知点P(4，2)是直线l：x＋2y－8＝0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点，则该椭圆的离心率为________．

32 [设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，

直线x＋2y－8＝0与椭圆交于A，B两点，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

x21a2＋y21b2＝1， ①x22a2＋y22b2＝1， ②

①－②得（x1－x2）（x1＋x2）a2＋（y1－y2）（y1＋y2）b2＝0，

即y1－y2x1－x2＝－b2（x1＋x2）a2（y1＋y2）.

因为kAB＝－12，AB中点为(x0，y0)，x0＝4，y0＝2， - 11 - 所以－12＝－2b2a2，即a2＝4b2.

所以该椭圆的离心率为e＝1－b2a2＝32.]

(3)已知动点P与平面上两定点A(－2，0)，B(2，0)连线的斜率的积为定值－12.

①试求动点P的轨迹方程C；

②设直线l：y＝kx＋1与曲线C交于M，N两点，当|MN|＝423时，求直线l的方程．

[解] ①设动点P的坐标是(x，y)，由题意得，kPA·kPB＝－12.

∴yx＋2·yx－2＝－12，

化简整理得x22＋y2＝1.

故P点的轨迹方程C是x22＋y2＝1(x≠±2)．

②设直线l与曲线C的交点M(x1，y1)，N(x2，y2)，

由y＝kx＋1，x22＋y2＝1，得(1＋2k2)x2＋4kx＝0.

∴x1＋x2＝－4k1＋2k2，x1·x2＝0.

|MN|＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1·x2＝423，

整理得k4＋k2－2＝0，

解得k2＝1或k2＝－2(舍)．

∴k＝±1，经检验符合题意．

∴直线l的方程是y＝±x＋1，即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.