高中数学 2.2椭圆定义标准方程及简单的几何性质导学案 新人教A版选修2-1

2.2椭圆定义、标准方程及简单的几何性质

一、知识要点

定义 1.平面内到两个定点12,FF的距离之 等于常数 （12FF）的点的轨迹；

2. 平面内到定点F与到定直线l的距离之比等于常数e0,1的点的轨迹.

标准

方程

图

形

范围

对称性

顶点

轴

离心率

准线

方程

焦半径

1.掌握常见的距离：

（1）焦点到相应顶点的距离caFAAF2211；caFAAF2121. （2）焦准距：焦点到相应准线的距离，用P表示，则.22cbccaP

（3）通径：过焦点且垂直长轴的弦称为椭圆的通径，通径长为.2221abHH

2.注意两个特殊三角形

（1）焦点三角形：椭圆上一点),(yxP与两焦点21,FF构成的三角形12PFF△的面积：122tan2PFFSb△（12FPF，b为短半轴长）,周长为)(2ca.

(2)特征三角形：椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成的直角三角形的边长满足.222cba

3．参数方程cossinxayb 应用：求最值.

椭圆有“四线”（两条对称轴、两条准线），“六点”（两个焦点，四个顶点），“两形”（中心，焦点以及短轴端点构成的三角形、椭圆上一点和两焦点构成的三角形）.要注意它们之间的位置关系（如准线垂直于长轴所在的直线、焦点在长轴上等）及相互间的距离.

一、 椭圆及其标准方程

例1、(1)椭圆1422yx的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则||2PF=( )A.23 B.3 C.27 D.4

(2) 椭圆192522yx上一点M到焦点1F的距离为2，N是1MF的中点，则ON( )

A.2 B.4 C.6 D.23 y

A1 B2 O A2

B1 F1 F2

x y

A2

B1 O A1 B2

F2 F1 （巩固练习）设椭圆14922yx的两焦点12FF，，P为椭圆上一点，则21PFPF的最大值是 ．

例2、若方程22123xykk表示焦点在y轴上的椭圆，k的取值范围是

变式：（1）若方程22123xykk表示椭圆，k的取值范围是

（2）若方程22123xykk表示焦点在y轴上的椭圆，k的取值范围是

例3、根据下列条件求椭圆的标准方程：

(1)已知ABC三边CAAB、、BC的长成等差数列，且CAAB，点C、B的坐标)0,1(),0,1(，求点A的轨迹方程;

(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1（6，1）、P2（-3，-2），求椭圆的方程；

（3）经过点)6,2(M，且与椭圆455922yx具有共同的焦点.

（巩固练习）过点)2,3(，且与椭圆369422yx有相同的焦点的椭圆方程是( )

A. 1101522yx B. 110022522yx C.1151022yx D. 122510022yx

【规律方法总结】1.运用椭圆定义解题：“回到定义中去”是一个很重要的思想方法；

2.求椭圆方程的方法：定义法、待定系数法、代入法（相关点法）等.

三、课时作业

1.动点M到1F(0,－2), 2F(0,2)是距离的和为4的两定点，则M点的轨迹是( )

A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆

（变式）设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P(x，y)满足条件|PF1|＋|PF2|＝a(a＞0)，则动点P的轨迹是( )

A.椭圆 B.线段 C.椭圆或线段或不存在 D.不存在

2.方程2222)2()2(yxyx=10,化简的结果是( )

A.1162522yx B. 1212522yx C. 142522yx D. 1212522xy

3.已知方程12322kykx表示椭圆，则k的取值范围为( )

A. 3k且21k B. 23k且21k C. 2k D. 3k 4.椭圆2214xym的焦距为2，则m的值等于( )

A.5或3 B.5 C.8 D.16

5. 椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是（0，2），那么k等于( )

A.－1 B.1 C.5 D. －5

6.如果方程2kyx22表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )

A. （0，+∞） B. （0，2） C. （1，+∞） D. （0，1）

7.设M (－5,0)，N (5,0)，△MNP的周长为36，则△MNP的顶点P的轨迹方程( )

A. )0(11692522xyx B. )0(116914422xyx

C.)0(12516922yyx D. )0(114416922yyx

8.已知椭圆)0(1x2222babya，F1、F2是它的焦点，AB是过F1的直线与椭圆交于A、B两点，则△ABF2的周长为 ．

（巩固练习）已知12FF，为椭圆221259xy的两个焦点，过1F的直线交椭圆于AB，两点，若2212FAFB，则AB ．

9.已知椭圆的焦距是2，且焦距是椭圆上一点到两焦点的等差中项，则椭圆的标准方程为_____________.

10.已知P为椭圆1204522yx上的点，12FF，为左右焦点，，21PFPF

(1)求21PFFS；(2)求P点坐标.

（巩固练习）已知椭圆13422yx的焦点为21FF、，点P在椭圆上，且02160PFF，则21PFFS= ．

11. (1)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5,3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程；

(2)一动圆与圆22430xyx外切，同时与圆224600xyx内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线.

12. 设1F,2F是椭圆22194xy的两个焦点，P为椭圆上一点.已知P, 1F,2F是一个直角三角形的三个顶点且12PFPF,求12PFPF的值.

【小结与反思】

二、

椭圆的简单几何性质

例1、分别求出椭圆9x2＋25y2＝225和9x2＋y2＝81的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.

例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：

(1)经过点P(－3,0)、Q(0,－2)； (2)长轴长等于20，离心率53；

⑶焦点在x轴上，焦距等于4，并且过点P（3，62-）.

例3、如图所示， “神舟”载人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心2F为一个焦点的椭圆，近地点A距地面200km，远地点B距地面350km，已知地球的半径6371Rkm．建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程.

例4、(1)设椭圆)0(12222babyax的左右焦点分别为1F、2F，线段21FF被点（0,2b）分成3:5的两段，则此椭圆的离心率为( ) 1716.A17174.B54.C552.D

(2)椭圆)0(12222babyax的右焦点为F，A（a,0）,B(0,b)是两个顶点，如果F到直线AB的距离为7b,则椭圆的离心率为( ) A. 777 B.

777 C. 21 D.54

(3),,,)0(1212222PFFbabyax若椭圆上存在一点的两焦点为设椭圆

.,021的范围求椭圆离心率使ePFPF

【规律方法总结】有关离心率的计算:根据已知条件列出含a,b,c的等式（a,b,c次数相同），若方程中存在b,则利用b2=a2-c2消去b，进而转化为关于离心率的方程后再求解e.

三、课时作业

1. “0mn”是“方程221mxny”表示焦点在y轴上的椭圆”的( )

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D. 既不充分也不必要条件

2. 在下列方程所表示的曲线中，关于x轴、y轴都对称的是( )

A.x2＝y B.x2＋2xy＋y＝0 C.x2－4y2＝5x D.9x2＋y2＝4

3.椭圆122myx的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为( )

A. 21 B.2 C.41 D.4

4.椭圆122myx的离心率为23，则m的值为( ) A. 2或21B. 2 C. 41或4 D. 41

5. 已知F1，F2为椭圆12222byax(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆离心率 e=23，则椭圆的方程为( )

A.13422yx B.131622yx C.1121622yx D.141622yx

6.已知椭圆221169xy左右两焦点分别为12,FF，点P在椭圆上，若12,,PFF是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴距离为( ) A.95 B.3 C.977 D.94