因式分解法解一元二次方程典型例题

实用标准文案

文档 典型例题一

例 用因式分解法解下列方程：

(1)y2＋7y＋6＝0； (2)t(2t－1)＝3(2t－1)； (3)(2x－1)(x－1)＝1．

解：（1）方程可变形为(y＋1)(y＋6)＝0

y＋1＝0或y＋6＝0

∴y1＝－1，y2＝－6

(2)方程可变形为t(2t－1)－3(2t－1)＝0

(2t－1)(t－3)＝0，2t－1＝0或t－3＝0

∴t1＝21，t2＝3．

(3)方程可变形为2x2－3x＝0

x(2x－3)＝0，x＝0或2x－3＝0

∴x1＝0，x2＝23

说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．

(2)应用因式分解法解形如(x－a)(x－b)＝c的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x－e)(x－f)＝0的形式，这时才有x1实用标准文案

文档 ＝e，x2＝f，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：

原方程变形为：2x－1＝1或x－1＝1．∴x1＝1，x2＝2．

(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t－1)，请同学们思考

典型例题二

例 用因式分解法解下列方程

6223362xxx

解：把方程左边因式分解为：

0)23)(32(xx

∴032x或023x

∴ 32,2321xx

说明: 对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式，均可用因式分解法求出方程的解。

典型例题三

例 用因式分解法解下列方程。

1522yy

解: 移项得：01522yy

把方程左边因式分解

得：0)3)(52(yy 实用标准文案

文档 ∴052y或03y

∴.3,2521yy

说明: 在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式都为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。

典型例题四

例 用因式分解法解下列方程

（1）021362xx；

（2）0)23(9)12(322xx；

分析：一元二次方程化为一般形式后，在一般情况下，左边是一个二次三项式，右边是零.二次三项式，通常用因式分解的方法，可以分解成两个一次因式的积，从而可求出方程的根.但有些问题，可直接用因式分解法求解，例如（2）符合平方差公式的结构特征.

解：（1）原方程可变形为

,0)2)(16(xx

016x或02x，

∴2,6121xx.

（2）原方程可化为

0)633()332(22xx， 实用标准文案

文档 即 0)633332)(633332(xxxx，

∴0)363)(6335(xx，

∴06335x或0363x，

∴321,513221xx.

说明：因式分解将二次方程化为一次方程求解，起到了降次的作用.这种化未知为已知的解题思想，是数学中的“化归思想”.事实上，将多元方程组化为一元方程，也是此法.

典型例题五

例 用因式分解法解方程：

（1）03652xx；

（2）0)32(3)32(22xx；

（3）0223)222(2xx；

（4）066)2332(2xy.

分析：用因式分解法解一元二次方程时，应将方程化为0BA的形式，然后通过0A或0B，求出21,xx.

解：（1）0)4)(9(xx，

09x或04x.

.4,921xx

（2）0)364)(32(xx，

即 0)94)(32(xx. 实用标准文案

文档 ∴032x或094x，

∴.49,2321xx

（3）0)223()1(xx，

即 01x或0)223(x.

∴223,121xx.

（4）0)23)(32(yy，

即 032y或023y，

∴23,3221yy.

说明：有些系数或常数是无理数的一元二次方程，只要熟悉无理数的分解方法，也可将之和因式分解法求解.

典型例题六

例 用适当方法解下列方程：

（1）0522x； （2）)21()1(2252xxxx；

（3）14)1(2)3(222xxx； （4）

010342xx

（5）04732xx（用配方法）

解：（1）移项，得

522x，

方程两边都除以2，得

252x， 实用标准文案

文档 解这个方程，得

25x，

1021x，

即

10211x，.10212x

（2）展开，整理，得

.042xx

方程可变形为

0)14(xx

0x 或014x，

∴ .41,021xx

（3）展开，整理，得

0151642xx，

方程可变形为

0)52)(32(xx

032x或052x

∴ .25,2321xx

（4）∵ ,10,34,1cba

081014)34(422acb，

∴ .23222234128)34(x

∴ 2321x, 2322x 实用标准文案

文档 （5）移项，得

4732xx，

方程各项都除以3，得

.34372xx

配方，得

222)67(34)67(37xx，

361)67(2x

解这个方程，得

6167x,

即

341x，.12x

说明:当一元二次方程本身特征不明显时，需先将方程化为一般形式02cbxax(0a)，若0b，a、c异号时，可用直接开平方法求解，如（l）题．若0a，0b,0c 时，可用因式分解法求解，如（2）题．若a、b、c均不为零，有的可用因式分解法求解，如（3）题；有的可用公式法求解，如（4）题．配方法做为一种重要的数学方法也应掌握，如（5）题．

而有些一元二次方程有较明显特征时，不一定都要化成一般形式，如方程04)3(2x可用直接开平方法或因式分解法求解．又如方程)2)(1()14)(2(xxxx也不必展开整理成一般形式，因为方程两边都有，移项后提取公因式，得0)]1()14)[(2(xxx，用因式分解法求解，得32,221xx，对于这样的方程，一定注意不能把方程两边都除以)2(x，这会丢掉一个根2x．也就是方程两边不能除以含有未知数的整式． 实用标准文案

文档

典型例题七

例 解关于x的方程031120222nmnxxm（0m）

解法一：原方程可变形为

0)34)(5(nmxnmx

05nmx或034nmx

∵ 0m，

∴ .43,521mnxmnx

解法二：∵220ma，mnb11，23nc，acb422)11(mn2204m)3(2n

036122nm，

又 0m，

∴.40191120236112222mmnmnmnmmnx

∴ .43,521mnxmnx

说明 解字母系数方程时，除了要分清已知数和未知数，还要注意题目中给出的条件，要根据条件说明方程两边除以的代数式的值不等于零．

对于字母系数的一元二次方程同样可以有几种不同的解法，也要根据题目的特点选用较简单的解法，本题的解法一显然比解法二要简单．

典型例题八

例 已知12m，试解关于x的方程).1)(1(2)2(xxxmx 实用标准文案

文档 分析 由12m，容易得到3m或1m．整理关干x的方程，得032)1(2mxxm．题目中没有指明这个方程是一元二次方程，因此对二次项系数要进行讨论，当01m-时，方程是一元一次方程；当01m时，方程是一元二次方程。

解：由12m，得

12m,

∴ .1,321mm

整理)1)(1(2)2(xxxmx，得

.032)1(2mxxm

当3m时，原方程为03622xx，

解得

233,23321xx

当1m时，原方程为032x，

解得

.23x

∴ 当3m时，233,23321xx

当1m时，.23x

填空题

1．方程)2()2(2xx的根是

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文档 2．方程46)1)(3(xxx的解是

3．方程02)12(3)12(2yy的解是

答案：1．3221xx， 2．212121xx， 3．23121yy，.

解答题

1． 用因式分解法解下列方程：

（1）42)2(2xx； （2）0)3()3(42xxx；

（3）0611102xx； （4）22)1(4)2(9xx。

（5）02xx；（6）03522xx；

（7）01072xx；（8）01892xx；

（9）0611102xx；（10）071162xx.

2. 用因式分解法解下列方程：

（1）5)1)(3(xx；（2）065)4(9)4(142xx；

（3）02)21(5)21(32xx。

3．用因式分解法解下列关于x的一元二次方程：

（1）022xkxx；（2）02222nmmxx；

（3）054322mmxx；（4）018171522mxxm)0(m；

（5）0)(222abxbaabx)0(ab

4．用适当的方法解下列方程：

（1）04942x；（2）0942xx；