北师大版七年级下册4.4用尺规做三角形

4.4 用尺规作三角形

〖教学目标〗

1．知识与技能：掌握利用尺规作三角形的基本方法。

2．过程与方法：(1)经历在给定条件下(两角夹边、两边夹角和三边)，利用尺规作出三角形的过程；(2)能结合三角形全等的条件与同伴交流作图过程和结果的合理性。

3．情感与态度：在利用尺规作图的过程中，培养自信心、动手能力和探索精神。

〖教学设计〗

(一)巧设现实情境，引入新课

师：在第二章我们已学习过用尺规作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角。现在回忆一下用尺规作图的一般步骤。

生：用尺规作图的步骤有：已知、求作。

师：他的回答对吗?

生：他的回答不完整，应该还有分析、作法。

(点评：让学生在倾听其他同学发言的过程中，培养学生的批判意识和怀疑精神。)

师：很好。下面大家来作一条线段等于已知线段。

生：(小组讨论后一位同学回答)已知：线段a。求作：一条线段，使它等于a。

图1

作法：(1)作射线AC； (2)在射线AC上截取AB=a。

则线段AB就是所求作的线段。

图2

(点评：教师让学生分组讨论，有意识地培养他们合作学习的能力。)

师：好，那如何作一个角等于已知角呢?

生：已知：∠AOB。求作：一个角，使它等于∠AOB。

图3

作法：(1)作射线O′A′；

(2)以O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；

(3)以O′为圆心，以OC的长为半径画弧，交O′A′于点C′；

(4)以点C′为圆心，以CD的长为半径画弧，交前弧于点D′；

(5)过D′作射线O′B′。

则∠A′O′B′就是所求作的角。

.

. 4．4 用尺规作三角形

1．已知两边及其夹角会作三角形；(重点，难点)

2．已知两角及其夹边会作三角形．(重点，难点)

3．已知三边会作三角形．(重点，难点)

一、情境导入

小明在一个工程施工图上看到一个三角形，他想用直尺和圆规画一个与这个三角形全等的三角形，应当怎样画？

二、合作探究

探究点：用尺规作三角形

【类型一】 已知两边及其夹角作三角形

如图，已知∠α和线段m，n.求作△ABC，使∠B＝∠α，BA＝n，BC＝m.

解：作法：1.作∠MBN＝α；

2．在射线BN，BM上分别截取BC＝m，BA＝n；

3．连接AC，则△ABC就是所求作的三角形．

方法总结：已知两边及其夹角作三角形的理论依据是判定三角形全等的“SAS”，作图时可先作一个角等于已知角，再在角的两边分别截取已知线段长即可．

【类型二】 已知两角及其夹边作三角形

已知∠α，∠β，线段c.求作△ABC，使得∠ABC＝∠α，∠ACB＝∠β，BC＝c.

解：作法：1.作线段BC＝c； .

. 2．在BC的同旁，作∠DBC＝∠α，作∠ECB＝∠β，DB与EC交于点A.则△ABC就是所求作的三角形．

方法总结：已知两角及其夹边作三角形的理论依据是判定三角形全等的“ASA”，作图时可先作一条边等于已知边，再在这条边的同侧，以边的两个端点为顶点作两个角分别等于已知角即可．

【类型三】 已知三边作三角形

已知三条线段a、b、c，用尺规作出△ABC，使BC＝a，AC＝b、AB＝c.

解：作法：1.作线段BC＝a；

2．以点C为圆心，以b为半径画弧，再以B为圆心，以c为半径画弧，两弧相交于点A；

3．连接AC和AB，则△ABC即为所求作的三角形，如图所示．

方法总结：已知三角形三边的长，根据全等三角形的判定“SSS”，知三角形的形状和大小也就确定了．作三角形相当于确定三角形三个顶点的位置．因此可先确定三角形的一条边(即两个顶点)，再分别以这条边的两个端点为圆心，以已知线段长为半径画弧，两弧的交点即为另一个顶点．

4.4用尺规作三角形

三维目标：

1. 知识与技能目标：在分别给出两边夹角，两角夹边和三边的条件下，能够用尺规作出三角形，进一步学习尺规作图的步骤。

2. 数学思考目标：经历用尺规按照一定条件作三角形的过程，感受不同的人作出的三角形完全重合这个几何直观，体验满足一定条件的两个三角形全等。

3. 问题解决目标：会用尺规作出符合条件要求的三角形。

4. 情感态度目标：经历动手、动脑过程，激发学习兴趣。 批 注

重点难点：

教学重点：用尺规作出满足两边夹角，两角夹边和三边条件的三角形。

教学难点：用尺规作图语言描述作图步骤。

教具准备：直尺、圆规

教学方法：

教 学 过 程

教学环节设计：

一、复习旧知，提出新问题

1、复习用尺规作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角

2、提出问题：边和角是三角形的基本元素，你能根据一些特殊的边角关系用尺规作出三角形吗？

二、动手操作，动脑思考

例1．已知三角形的两边及夹角，求作这个三角形。

（1）明晰“两边及其夹角”是怎样的一种位置关系

（2）写出已知和求作

（3）分析作法

预计学生有两种思路：一是先作角，然后在角的两条边上截取线段等于已知线段；二是先作出一条边，然后以这边为角的一边作角，最后在角的另一边上截取另一条已知线段。

（4）选取其中的一种进行示范

已知：线段a、c、∠α

求作：⊿ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠α

作法：① 作一条线段BC=a

② 以B为顶点，以BC为一边，作∠DBC=∠α acαACB③ 在射线BD上截取线段BA=c

④ 连接AC，⊿ABC就是所求作的三角形

（5）将你所作的三角形与同学作出的三角形比较，它们全等吗？

例2．已知三角形及其夹边，求作这个三角形。

类比例1的教学完成例2。

例3．已知三角形的三条边，求作这个三角形。

类比例1的教学完成例3。

例4．已知三角形的三个角，求作这个三角形。

【此例的意图：学生通过操作，观察，比较作出的该三角形是否全等可归纳出不是满足三个基本要素条件的三角形都可以全等】

4．4 用尺规作三角形

1．已知两边及其夹角会作三角形；(重点，难点)

2．已知两角及其夹边会作三角形．(重点，难点)

3．已知三边会作三角形．(重点，难点)

一、情境导入

小明在一个工程施工图上看到一个三角形，他想用直尺和圆规画一个与这个三角形全等的三角形，应当怎样画？

二、合作探究

探究点：用尺规作三角形

【类型一】 已知两边及其夹角作三角形

如图，已知∠α和线段m，n.求作△ABC，使∠B＝∠α，BA＝n，BC＝m.

解：作法：1.作∠MBN＝α；

2．在射线BN，BM上分别截取BC＝m，BA＝n；

3．连接AC，则△ABC就是所求作的三角形．

方法总结：已知两边及其夹角作三角形的理论依据是判定三角形全等的“SAS”，作图时可先作一个角等于已知角，再在角的两边分别截取已知线段长即可．

【类型二】 已知两角及其夹边作三角形

已知∠α，∠β，线段c.求作△ABC，使得∠ABC＝∠α，∠ACB＝∠β，BC＝c.

解：作法：1.作线段BC＝c；

2．在BC的同旁，作∠DBC＝∠α，作∠ECB＝∠β，DB与EC交于点A.则△ABC就是所求作的三角形．

方法总结：已知两角及其夹边作三角形的理论依据是判定三角形全等的“ASA”，作图时可先作一条边等于已知边，再在这条边的同侧，以边的两个端点为顶点作两个角分别等于已知角即可．

【类型三】 已知三边作三角形

已知三条线段a、b、c，用尺规作出△ABC，使BC＝a，AC＝b、AB＝c.

解：作法：1.作线段BC＝a；

2．以点C为圆心，以b为半径画弧，再以B为圆心，以c为半径画弧，两弧相交于点A；

3．连接AC和AB，则△ABC即为所求作的三角形，如图所示．

方法总结：已知三角形三边的长，根据全等三角形的判定“SSS”，知三角形的形状和大小也就确定了．作三角形相当于确定三角形三个顶点的位置．因此可先确定三角形的一条边(即两个顶点)，再分别以这条边的两个端点为圆心，以已知线段长为半径画弧，两弧的交点即为另一个顶点．