常见随机方案模型

几种常见的概率模型及应用Common Probability Models and Their Applications.Probability models are mathematical representations of random phenomena that allow us to make predictions and inferences about future events. They are widely used in various fields, including statistics, machine learning, finance, and biology. Here are some of the most commonly used probability models and their applications:1. Binomial Model.The binomial model describes the probability of success in a sequence of independent trials, each of which has a constant probability of success. It is commonly used in situations where we are interested in the number of successes in a fixed number of trials, such as:Counting the number of defective items in a batch of production.Predicting the number of customers visiting a store in a particular day.Estimating the probability of winning a lottery.2. Poisson Model.The Poisson model describes the probability of observing a random number of events occurring over a fixed period of time or distance. It is often used in situations where the occurrence of events is rare and independent of each other, such as:Modeling the number of phone calls received by a call center in an hour.Estimating the number of accidents on a particular highway per week.Predicting the number of mutations in a DNA sequence.3. Normal Distribution.The normal distribution, also known as the Gaussian distribution, is a continuous probability distribution that describes the distribution of continuous variables that are normally distributed, such as:Heights of individuals.Weights of products.Test scores of students.It is widely used in statistical inference, hypothesis testing, and estimation of population parameters.4. Exponential Distribution.The exponential distribution is a continuousprobability distribution that describes the waiting time between events that occur randomly and independently at a constant rate. It is commonly used in situations where thetime between events is of interest, such as:Modeling the time between arrivals of customers in a queue.Estimating the time to failure of a machine.Predicting the lifespan of a light bulb.5. Markov Models.Markov models are a class of stochastic processes that describe the evolution of a system over time. They are defined by the current state of the system and the probability of transitioning to each possible next state. Markov models are widely used in various applications, such as:Modeling speech and language recognition.Simulating financial markets.Predicting customer behavior.中文回答：常见的概率模型及其应用。

05
随机模拟
随机模拟的基本原理
随机模拟是一种基于概率统计的数值计算方法，通过模拟随机事件或过程来求解实 际问题。
随机模拟的基本原理包括抽样、统计推断和误差分析，其中抽样是随机模拟的核心 步骤，通过从概率分布中抽取样本，模拟随机事件的概率特征。
随机模拟的精度取决于样本数量和分布的准确性，样本数量越多，模拟结果越接近 真实情况。
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蒙特卡洛积分
蒙特卡洛积分是一种基于随机抽样的 数值积分方法，通过将积分转化为求 和的形式，利用大数定律和中心极限 定理来估计积分值。
蒙特卡洛积分在金融、物理、工程等 领域有广泛应用，可以用于求解复杂 的高维积分问题。
蒙特卡洛积分的精度与样本数量和积 分的可积性有关，对于不可积的积分， 可以通过增加样本数量来提高估计精 度。
马尔科夫链蒙特卡洛方法
总结词
马尔科夫链蒙特卡洛方法是一种基于马尔科夫链的随机抽样方法，常用于求解复杂数学 问题的不确定性。
详细描述
马尔科夫链蒙特卡洛方法通过构造一个马尔科夫链，使其平稳分布为目标分布，从而通 过抽样得到目标分布的近似解。这种方法在统计学、物理、经济学等领域有广泛应用， 可以用于求解复杂数学问题的不确定性，如概率论中的积分、统计推断中的参数估计等。
描述随机变量取值概率分布的函数称 为随机变量的分布函数。常见的分布 函数有离散型分布和连续型分布，如 二项分布、泊松分布、正态分布等。
03
随机过程
随机过程的定义与分类
定义
随机过程是随机变量在时间或空间上的扩展，描述了一个随机现象在连续时间或 离散时间上的变化。
分类
根据过程的性质和特点，随机过程可以分为平稳随机过程、非平稳随机过程、离 散随机过程和连续随机过程等。

数学知识总结解决实际问题的常用数学模型数学作为一门科学，不仅仅是学科的基础，还是解决实际问题的重要工具。

在工程、物理、经济、生物等领域中，数学模型被广泛运用于解决各种实际问题。

本文将总结一些常用的数学模型，并说明它们在应用中的具体作用。

1. 线性回归模型线性回归模型是一种常见的统计学模型，它用于描述两个变量之间的线性关系。

在实际问题中，我们常常需要通过已知的数据来预测或估计未知的变量。

线性回归模型通过建立一个线性方程，根据已知的数据点进行拟合，并用于预测未知数据点的取值。

这种模型广泛应用于经济预测、市场分析等领域。

2. 概率统计模型概率统计模型是研究随机现象规律性的数学工具。

在实际问题中，我们常常需要确定某个事件发生的可能性。

概率统计模型通过统计分析已有的数据，从而得到事件发生的概率。

根据已有的统计数据，我们可以计算出事件发生的可能性，并做出相应的决策。

例如，在风险评估中，我们可以通过概率统计模型来评估某个投资产品的风险。

3. 最优化模型最优化模型是研究如何找到使某个目标函数取得最优值的数学模型。

在实际问题中，我们常常需要在一定的约束条件下，找到一组满足特定条件的最优解。

最优化模型可以通过建立数学模型，并应用最优化算法来求解。

在工程设计、物流规划等领域中，最优化模型被广泛应用。

4. 图论模型图论模型是研究图的性质和关系的数学工具。

在实际问题中，我们常常需要分析和描述事物之间的关系。

图论模型可以通过构建图来描述和分析事物之间的关系，并帮助我们解决实际问题。

在社交网络分析、交通规划等领域中，图论模型发挥着重要的作用。

5. 随机过程模型随机过程模型是研究随机现象随时间变化规律的数学工具。

在实际问题中，我们常常需要研究某个随机变量随时间的变化趋势，或者某个随机事件在一段时间内的累积概率。

随机过程模型可以通过建立数学模型，对随机现象进行建模和分析。

在金融风险管理、天气预测等领域中，随机过程模型被广泛应用。

四类基本模型1优化模型1.1数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。

1.2微分方程组模型阻滞增长模型、SARS传播模型。

1.3图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题（MST）、旅行商问题（TSP）、图的着色问题。

1.4概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov链模型。

1.5组合优化经典问题多维背包问题（MKP）背包问题：n个物品，对物品i，体积为W i，背包容量为W。

如何将尽可能多的物品装入背包。

多维背包问题：n个物品，对物品i，价值为P i，体积为W i，背包容量为W。

如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。

多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。

该问题属于NP难问题。

二维指派问题（QAP）工作指派问题：n个工作可以由n个工人分别完成。

工人i完成工作j的时间为d j。

如何安排使总工作时间最小。

二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n台机器要布置在n个地方，机器i 与k之间的物流量为f ik，位置j与l之间的距离为d jl，如何布置使费用最小。

二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。

旅行商问题（TSP）旅行商问题：有n个城市，城市i与j之间的距离为d ij，找一条经过n个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。

车辆路径问题（VRP）车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。

TSP问题是VRP问题的特例。

车间作业调度问题（JSP）车间调度问题：存在j个工作和m台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。

c1 c2
则存在唯一的有限的T ,
使 c(T ) (c1 c2 )F (T ) c2 T
T 0 F (t)dt
达到最小，c(T ) (c1 c2 )r(T )
当r(t) 为常数时（寿命服从指数分布）, 不存在预防性更换策略
四、模型的求解
例
设寿命 X ~ (2,1), c1 / c2 3. 是否存在预防性更换策略?
其中平均寿命
0
R (t )dt
且
dh dr
T
R(t)dt
dT dT 0
(因f (T ) r(T )R(T ))
四、模型的求解
结论
由
r(T )
T
R(t)dt F (T )
c2
,
T
h(T ) r(T ) R(t)dt F (T )
0
c1 c2
0
若r(t) 为增函数, 且 r() c1
单位时间的平均损失定义为 c(T ) c L
三、模型的建立
周期的平均长度为 L
T
tdF(t)
TdF (t)
0
T
一个周期内的平均损失为 c c1F(T ) c2 1 F(T )
单位时间的平均损失定义为 c(T ) c L
c(T ) (c1 c2 )F (T ) c2 T T 0 F (t)dt
c1 c2
更换时间满足2eT
3T,
单位时间的平均损失为c(T )
2c2
T T 1
五、模型的评价与推广
按照常识，对于随机失效的零件采取预防性更换策略是合理的。 本模型从平均损失最小的角度出发，
预防性更换策略的存在是有条件限制的.
r() c1 : 平均寿命越长，失效率增长越快

概率计算常见模型概率计算是一项非常重要的数学工具，广泛应用于各个领域，包括统计学、金融、自然语言处理、机器学习等。

概率计算模型是用来描述和计算不确定性的工具，可以帮助我们理解和解决各种问题。

本文将介绍几种常见的概率计算模型，包括贝叶斯网络、隐马尔可夫模型、条件随机场和朴素贝叶斯分类器。

一、贝叶斯网络贝叶斯网络是一种用图表示概率模型的工具。

它由一组随机变量和他们之间的依赖关系组成的有向无环图来表示，节点表示随机变量，边表示变量之间的依赖关系。

贝叶斯网络可以用来表示和计算概率分布，以及进行推断和预测。

通过贝叶斯网络，我们可以计算给定一些证据的情况下，某个节点的概率分布。

这使得我们可以通过观察一些已知信息来预测未知的变量。

二、隐马尔可夫模型隐马尔可夫模型是一种描述随机序列的统计模型。

它由一个随机序列和一个相对应的观察序列组成。

在隐马尔可夫模型中，随机序列是不可见的，而观察序列是可见的。

隐马尔可夫模型可以用来描述和计算两个序列之间的概率。

通过观察已有的观察序列，我们可以推断出随机序列的概率分布。

这使得我们可以通过观察一些已知的序列来预测未知的序列。

三、条件随机场条件随机场是一种判别模型，用于对给定输入随机变量的条件下，建立输出随机变量的条件概率分布模型。

条件随机场常用于序列标注、语音识别、自然语言处理等领域。

条件随机场可以通过定义特征函数和定义求和项的方式，来建立输入和输出之间的条件概率关系。

通过采用最大似然估计或其他方式，可以对模型进行参数估计，从而完成对未知序列的预测。

四、朴素贝叶斯分类器朴素贝叶斯分类器是一种简单而常用的分类模型，它基于贝叶斯定理和特征条件独立性假设。

朴素贝叶斯分类器常用于文本分类、垃圾邮件过滤、情感分析等任务。

朴素贝叶斯分类器可以通过训练集中已有的特征和相应的标签，来计算特征和标签之间的条件概率分布。

通过计算给定特征下每个标签的概率，可以确定最有可能的标签，从而完成对未知样本的分类。

研究Pn(t)旳变化规律；得到X(t)旳期望和方差
模型假设
若X(t)=n, 对t到t+t旳出生和死亡概率作下列假设
1)出生一人旳概率与t成正比，记bnt ; 出生二人及二人以上旳概率为o(t).
2)死亡一人旳概率与t成正比，记dnt ; 死亡二人及二人以上旳概率为o(t).
3)出生和死亡是相互独立旳随机事件。
为拟定s，从工人考虑还是从挂钩考虑，哪个以便？
• 若求出一周期内每只挂钩非空旳概率p，则 s=mp
怎 设每只挂钩为空旳概率为q，则 p=1-q
样 求
设每只挂钩不被一工人触到旳概率为r，则 q=rn
概 设每只挂钩被一工人触到旳概率为u，则 r=1-u
率 一周期内有m个挂钩经过每一工作台旳上方
u=1/m
优化模型：求m 使J(m) 最小（已知l , ）
求解 J (m) m
P(m)
y
xm,
m,
l
J ()
( )
P(m)
l
p( x)dx
p(x)
1
e
(
xm)
2 2
2
2
z
(
z)
z
(
y)dy
(y)
1
y2
e2
2
J () ( )
J (z) ( z)
(z)
求 z 使J(z) 最小（已知 ）
• 能够用一种周期内传送带运走旳产品数占产品 总数旳百分比，作为衡量传送带效率旳数量指标。
• 工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产 完一件产品旳时刻不会一致，能够以为是随机旳， 而且在一种周期内任一时刻旳可能性相同。
模型假设
1）n个工作台均匀排列，n个工人生产相互独立， 生产周期是常数；

15
ARCH类模型
事实上，现实中的金融资产的收益变化和分布主要呈现出 以下基本特征： 金融资产的收益变化和分布表现出明显的非线性特点； 与正态分布相比，金融资产的收益分布的尾部通常较厚， 方差小的变量绝大多数集中在均值附近，而方差大的变量 则多集中于分布的尾部； 收益的波动性有时很大，有时却很小，而且有关波动性 的冲击常常要持续一段时间才会消失，即同时呈现出集聚 性和持久性，这表明资产收益序列具有条件异方差的特性； 金融资产收益呈现出明显的自相关性； 金融市场尤其是股票市场，价格运动与波动性是常为负 相关的，也就是负的回报要比正的回报导致更大的条件方 差，即具有非对称的杠杆效应。
13
混合自回归—移动平均过程 若时间序列{t }在t时刻，不仅与其以前的自身值 有关，而且与以前时刻的冲击或扰动存在着一定的 依存关系，则称为混合自回归—移动平均过程，其 一般形式（记作ARMA(m，n)）为 t =a1t -1+ a2t -2+…+ amt -m+t +b1t -1+
b2t -2+…+ bn t –n
16
k!
k 0,1,2,
0
则称{t }t≥0为参数为(ts)的Poission过程。
直接计算可知，Et =Vt =t，即，所以表示单 位时间内事件出现的平均次数，因而也常被称为 发生率或强度。
9
白噪声过程 随机过程{t}t≥0称为白噪声过程，若Et=0，且
2, j 0
E(
t
t
j
)
0,
j
0
显然，白噪声过程一个平稳的纯粹随机过程，在金 融研究中主要用于模型无法解释的波动。
4
显然，在t +t 时刻，股票的期望价格为

天气预报
天气预报基于大量的气象数据和随机过程模型。
03
随机变量的分布
随机变量的定义与性质
随机变量
在随机试验中，每个样本点被赋予一个实数值，这个 实数值称为随机变量的值。
随机变量的性质
随机变量可以是离散的、连续的、有限的、无限的。
随机变量的分类
根据不同的性质，随机变量可以分为离散型和连续型。
随机变量的分布函数
随机数学模型的重要性
预测不确定性和风
险
随机数学模型能够预测不确定性 和风险，帮助决策者制定更加科 学和合理的决策。
提高决策效率
通过随机数学模型，决策者可以 快速了解系统的动态变化和趋势， 提高决策效率。
优化资源配置
在资源有限的情况下，随机数学 模型可以帮助决策者优化资源配 置，实现资源的最优利用。
随机数学模型的求解方法
解析法
通过数学公式和定理，直接求解模型的解。
数值法
通过数值计算方法，如迭代法、有限差分法等，求解模型的近似 解。
模拟法
通过模拟随机过程，生成样本点，然后对样本点进行分析和统计。
随机数学模型的实例分析
随机游走模型
描述随机行走的数学模型，可以应用于金融市场分析、物理系统模 拟等领域。
仿真优化
随机数学模型用于仿真 优化工程设计，降低实 验成本和风险。
在社会科学领域的应用
01
人口统计学
随机数学模型用于预测人口发展趋势，分析人口结构变化对社会的影响。
02
经济学
随机数学模型在经济学中用于分析市场行为、预测经济趋势和评估政策
效果。
03
社会网络分析
随机数学模型用于分析社会网络的结构和动态，研究人际关系和社会影

• 确定关系： – 牙膏销售量——价格、广告投入
• 内部规律复杂数据统计分析 – 常用模型回归模型数学原理软件
• 30个销售周期数据： – 销售量、价格、广告费用、同类产品均价
销售周期 公司价 (元) 它厂价 (元) 广告(百万元)
1
3.85
3.80
5.50
2
3.75
4.00
6.75
…
…
…
…
29
3.80
Pn (t t) Pn1 (t)bn1t Pn1 (t)dn1t Pn (t)(1 bnt dnt) o(t) 10
建模
ห้องสมุดไป่ตู้
微分方程
dPn dt
bn1Pn1 (t) d P n1 n1 (t) (bn
dn )Pn (t)
bn=n，dn=n
dPn dt
(n 1)Pn1(t) (n 1)Pn1(t) ( )nPn (t)
• 价格差 x1=0.1 • 价格差 x1=0.3
yˆ x10.1 30.2267 7.7558x2 0.6712x22 yˆ x10.3 32.4535 8.0513x2 0.6712x22
x1 x2 7.5357 yˆ x10.3 yˆ x10.1
18
销售量预测
yˆ ˆ0 ˆ1x1 ˆ2 x2 ˆ3x22
价差x1=它厂价x3-公司价x4 控制x1 估计x3，调整x4
预测y
控制价格差 x1=0.2元，投入广告费 x2=6.5 百万元
yˆ ˆ0 ˆ1 x1 ˆ2 x2 ˆ3 x22 8.2933(百万支)
销售量预测区间为 [7.8230，8.7636]（置信度95%） 上限用作库存管理的目标值 下限用来把握公司的现金流

常用随机分配方法在许多领域的研究和实践中，随机分配方法都发挥着重要作用。

它能够有效地消除偏差，确保结果的可靠性和公正性。

接下来，让我们一起了解一些常用的随机分配方法。

首先要提到的是简单随机分配。

这是一种最基本也最直观的方法。

想象一下，我们有一个装有所有参与者名字或编号的“大箱子”，然后通过随机抽取的方式，将他们分配到不同的组中。

比如说，要研究某种药物的效果，把患者随机地分到用药组和对照组。

实现简单随机分配可以使用随机数生成器，比如常见的计算机程序或在线工具，它们能够快速生成随机数，然后根据这些随机数来决定参与者的分组。

这种方法的优点是操作简单，容易理解。

但也存在一定的局限性，如果样本量较小，可能会导致分组不均衡，影响实验结果的准确性。

分层随机分配是对简单随机分配的一种改进。

在进行分层随机分配之前，我们先根据一些重要的特征，比如年龄、性别、病情严重程度等，将参与者分层。

然后在每一层内进行随机分配。

这样做的好处是能够保证各层之间的特征分布相对均衡，从而提高实验的精度。

举个例子，如果我们研究的是青少年和成年人对某种教育方法的反应，就可以先把参与者按年龄分为两层，再在每一层内随机分组。

区组随机分配也是一种常用的方法。

在这种方法中，我们将参与者按照一定的顺序分成若干个区组，每个区组内的人数是固定的。

然后在每个区组内进行随机分配。

这样可以保证在一段时间或一定范围内，分组的均衡性。

比如说，在临床试验中，每天新入组的患者可以组成一个区组，然后在这个区组内随机分配治疗方案。

动态随机分配则更加灵活。

在实验过程中，根据不断更新的信息和条件来实时调整分组的概率。

这种方法适用于情况较为复杂、需要不断适应变化的研究。

但由于其复杂性，在实际应用中需要更高级的技术和计算资源支持。

还有一种叫做最小化随机分配的方法。

它的目标是在分组过程中，使各个组之间的重要协变量尽可能地平衡。

通过不断计算和比较不同分组方案下协变量的不平衡程度，选择不平衡程度最小的分组方案。

常见随机方案随机方案是在实验设计或决策过程中常用的一种方法。

通过随机抽取或生成随机数，可以使实验或决策结果具有一定的随机性和代表性。

下面，介绍几种常见的随机方案。

1. 简单随机抽样简单随机抽样是最常用的一种随机抽样方案。

其思想是从总体中随机选择若干个样本，使得每个样本具有相同的被选中的概率。

简单随机抽样常用于民调、调查研究等领域，可以有效保证样本的代表性。

2. 系统抽样系统抽样也是一种常见的随机抽样方案。

它的思想是在总体中选择一个随机开始的位置，然后按照固定的间隔选择样本。

例如在一条街道上进行调查，可以从某个起始点开始，每隔一定数量的房屋选择一个样本。

系统抽样相对于简单随机抽样可以提高调查的效率，并且仍具有一定的随机性。

3. 分层抽样分层抽样是一种将总体划分为若干层次，然后从每个层次中进行随机抽样的方法。

分层抽样可以有效保证样本的多样性和代表性。

例如，在一项教育调查中，可以按照不同年级划分层次，然后从每个年级中进行随机抽样。

这样可以确保每个年级的样本数量均衡，并且能够覆盖到各个层次的特征。

4. 簇抽样簇抽样又称作群体抽样，它是将总体划分为若干个相互独立的群体，然后从每个群体中抽取所有样本的方法。

簇抽样常用于地理学调查、社会学调查等领域。

例如在一项城市调查中，可以将城市划分为多个区域，然后从每个区域中随机选择一个样本点进行调查。

5. 整群抽样整群抽样是将总体划分为若干个群体，然后从每个群体中随机选择一个或多个群体作为样本的方法。

与簇抽样不同的是，整群抽样不需要对每个群体进行全面抽样，而是选择部分群体作为样本。

这种抽样方式在一些大规模调查中常用，例如在国家或地区层面的统计调查中，可以将各个省份或城市作为群体进行抽样。

总结起来，以上介绍了几种常见的随机方案，包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样、簇抽样和整群抽样。

每种随机方案都有其适用的场景和应用领域。

在实际应用中，可以根据具体需求选择合适的随机方案，确保实验或决策结果的可靠性和代表性。

主要内容
Brown运动或Wiener过程 二项过程 Poission过程 白噪声过程
自回归过程
移动平均过程 混合自回归移动平均过程 利率期限结构或均值回复模型 ARCH类模型与GARCH类模型
1
Brown运动或Wiener过程
引言
Brown运动是1827年英国生物学家Brown在研究 花粉运动时被发现的。
10
1965年，法玛 （Fama）提出了著名 的效率市场假说。该 假说认为，证券价格 对新的市场信息的反 应是迅速而准确的， 证券价格能完全反应 全部信息。
有效 市场 三个 层次
1、弱式效率市场假说 2、半强式效率市场假说 3、强式效率市场假说
根据众多学者的 实证研究，发达国 家的证券市场大体 符合弱式效率市场 假说。一般认为， 弱式效率市场假说 与马尔可夫随机过 程（Markov Stochastic Process）是内在一 致的。因此我们可 以用数学来刻画股 票的这种特征。
维纳过程的性质
z (T ) z (0) i t
i 1
n
[z (T ) – z (0)]也是正态分布 均值等于 0 方差等于T 标准差等于 T 方差可加性
9
为何使用布朗运动？
正态分布的使用：经验事实证明，股票价格 的连续复利收益率近似地服从正态分布 数学上可以证明，具备特征1 和特征2的维 纳过程是一个马尔可夫随机过程 维纳过程在数学上对时间处处不可导和二次 变分（Quadratic Variation）不为零的性质， 与股票收益率在时间上存在转折尖点等性质 也是相符的
特别地，当a(S,t)=Su， b(S,t)=S 时， (3.1)式变为
dS udt dw S

第三章 随机数学模型§3.1 多元回归与最优逐步回归一、数学模型设可控或不可控的自变量x x x p 12,,, ；目标函数y y y m 12,,, ，已测得的n 组数据为： },,,,,,,{2121m p y y y x x x αααααα(1.1)其中y j m n j αα,,,,,,,,==1212 是系统的测试数据，相当于如下模型：设多目标系统为：为简化问题，不妨设该系统为单目标系统，且由函数关系y f x x x p =(,,,)12 ，可以设：y x x p p =+++βββ011(1.2)可得如下线性模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++++=+++++=+++++=n np p n n n p p p p x x x y x x x y x x x y εββββεββββεββββ 22110222222211021112211101 (1.3)εεε12,,, n 为测量误差，相互独立，εσi N ～(,)0。

令Y y y y X x x x x x x x x x n p p n n np p n =⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪=⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪121112121222120112111 ββββεεεε可得Y X =+βε(1.4)(1.4) 称为线性回归方程的数学模型。

y 1y 2y mx 1x 2x p利用最小二乘估计或极大似然估计，令 ∑=----=ni ip p i ix x yQ 12110][βββ 使Q Q =min ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧==p i Qi ,,2,1,00 ∂β∂(1.5)可得系数βββ01,,, p 的估计。

令 A X X p T =+设()1方阵可逆，由模型Y X =β 可得： X Y X X A T T ==ββ即有 β=-A X Y T 1 (1.6)可以证明(1.6)与(1.5)是同解方程组的解，它是最优线性无偏估量，满足很多良好的性质，另文补讲。

有人再买； （3） 每份报纸在当天什么时候卖出是无
关紧要的； （4） 报童除了从邮局买报所需费用以外,
其它费用一概不计。
三 、 模型建立
随机变量
卖出报纸的数量 X
分布律为 P(X i) pi (i 1,2,)
分析：每天从邮局订购Q份报纸，每卖出一份报纸能挣k分钱； 每退回邮局一份报纸，得赔h分钱。
1、供过于求: 0 X Q
Q
平均损失费为 h(Q i) pi i0
三 、 模型建立
2、供不应求: X Q

平均损失费为 k(i Q) pi i Q 1
总的平均损失费用
Q

C(Q) h (Q i) pi k (i Q) pi
i0
i Q 1
t0 时间内的最大缺货量 Q0 S0
2C1C3 R C2 (C1 C2 )
五 、 模型的分析与推广
这里的模型是在假定需求是连续均匀的， 且需求速度为常数.
事实上在大多实际问题中需求速度是随机的， 这样模型的使用受到了一定的局限．
不允许缺货例题
例 一鞋店平均每天卖出110双鞋，批发手续为 每次200元，每双鞋每存储一天的费用为0.01元， 问该鞋店多少天批发一次最好，进货量为多少？
于是得最佳订货量 Q
五、 模型的分析及推广
从报童赢利的最大期望出发，求得最佳 订购量 Q
定期定量定货 一般情况，上一阶段未出售的货物可以
在第二阶段继续出售，这时只要将第一 阶段未出售的货物数量作为第二阶段初 的存储量，仿照上述方法可求得最佳存 储策略．
从报童赢利的最大期望出发，求得最佳 订购量 Q
p21
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超市服务方案的随机模型(doc 13页)超市服务方案的随机模型数学系01数本2001141120 刘晨凡指导老师：周天明摘要：为了提高超市服务效率，我们根据超市顾客到达及服务问题的基本规律，建立了超市服务系统的随机模型，并由此得出最佳服务方案，并对所建立的模型进行仿真模拟，验证了所得模型的合理性。

本方案可以用于超市服务方案的确定。

关键词：随机摸拟；随机数字；随机变量；仿真摸拟；Poisson分布；指数分布；随机模型０、引言超级市场门口排列着若干收款台，顾客携带着采购的商品在收款台前排队等候验货付款。

若在顾客少时，就能只接付款离开；若在购物高峰期，顾客就得排队等待。

作为顾客，我们所关心的是何时能付款后离开，作为超市记()10a f =≥，则11n f a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此对于任意正整数m 及n 成立1mmn m f f a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦（4）这样，我们已证得（4）对一切有理数成立，再用利用无理数的性质及函数的连续性可以证明对无理数也成立，从而证明了引理。

引理2：用ξ表示 [0,]t 内到达的顾客数，则ξ服从参数为t λ的Poisson 分布，即()()()!nt n t P t P n e n λλξ-===。

证明：对0t ∆>，考虑[]0,t t +∆中来到n 个顾客的概率是()n P t t +∆，由独立性增量性及全概率公式得()()()()()()()0110n n n n P t t P t P t P t P t P t P t -+∆=∆+∆+⋅⋅⋅+∆ （5）特别地()()()000P t t P t P t +∆=∆，()0P t 表示在长度为t 的时间间隔中没有来顾客的概率，因此它关于t 单调下降，由引理知()0tP t a =。

其中0a ≥，若0a =，则()00P t ≡，这说明不管怎么短的时间间隔内都要来顾客，这种情形不在我们考虑之列。

概率计算中的常用概率模型与分布在概率计算中，常用的概率模型和分布是非常重要的工具，能够帮助我们研究和解决各种问题。

本文将介绍几种常见的概率模型和分布，并论述它们在实际应用中的作用和特点。

一、二项分布二项分布是最基础的离散概率分布之一，适用于一系列独立重复实验中成功次数的概率问题。

其概率质量函数为：P(X=k)=C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中n为实验次数，k为成功次数，p为每次实验成功的概率。

二项分布在统计学和实验设计中被广泛运用，如市场调研中对不同观众群体的喜好偏好进行调查和分析。

二、泊松分布泊松分布是一种描述单位时间或单位空间内事件发生次数的离散概率分布。

其概率质量函数为：P(X=k)=(e^(-λ) * λ^k) / k!，其中λ为单位时间或单位空间内事件的平均发生率。

泊松分布常被用于模拟和预测罕见事件的发生概率，例如自然灾害、交通事故等。

三、正态分布正态分布又称为高斯分布，是连续型概率分布中最为重要和常用的分布之一。

其概率密度函数为：f(x)=(1 / (σ * √(2π))) * e^(-(x-μ)^2 /(2*σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差。

正态分布在自然和社会科学中应用广泛，如模拟金融市场变动、研究人类身高体重等。

四、指数分布指数分布是连续型概率分布中描述时间间隔的常用分布。

其概率密度函数为：f(x)=λ * e^(-λx)，其中λ为事件的平均发生率。

指数分布在可靠性工程、排队论以及金融学等领域有广泛的应用，如分析设备的寿命、计算服务的响应时间等。

五、贝塔分布贝塔分布是常用的连续型概率分布，用于描述一个随机事件成功的概率。

其概率密度函数为：f(x)= (x^(α-1) * (1-x)^(β-1)) / (B(α, β))，其中α和β为正参数，B(α, β)为贝塔函数。

贝塔分布在产品质量控制、医学统计和生物学研究中有着重要的应用，如药物疗效的评估、疾病发病率的研究等。