第七章 一阶线性偏微分方程

一阶偏微分方程教程一、基本概念偏微分方程是指含有多个变量的、涉及未知函数及其偏导数的方程。

一阶偏微分方程是指未知函数的最高阶导数出现在一阶的偏微分方程。

通常用变量x、y表示自变量，用u表示未知函数。

一般形式的一阶偏微分方程为：F(x,y,u,u_x,u_y)=0其中，u_x和u_y分别表示u对x和y的偏导数。

二、解法解一阶偏微分方程的方法主要有特征线法、分离变量法和变换法。

1.特征线法：对于形如P(x,y)u_x+Q(x,y)u_y=R(x,y)的一阶偏微分方程，通过假设u=M(x,y)使得PdM=QdN，解得一条特征线，然后再由特征线的参数表示来求解原偏微分方程。

2.分离变量法：对于形如F(x,y,u)u_x+G(x,y,u)u_y=H(x,y,u)的一阶偏微分方程，可以将原方程化简为两个单变量的常微分方程，再分别求解。

3.变换法：通过引入新的变量或者函数进行变量替换，将原方程转化为另一种形式，使得新形式的方程具有更易求解的性质。

三、应用1.热传导方程：热传导方程描述了物体内部温度分布随时间的变化规律。

它是一个偏微分方程，通过求解热传导方程，可以分析物体的温度变化，从而设计合适的散热装置。

2.波动方程：波动方程描述了机械波在介质中的传播规律。

通过求解波动方程，可以研究地震波、声波等的传播特性，为地震预测和声学设计提供理论基础。

3.稳定性分析：稳定性分析是工程和经济学中一个重要的问题，通过求解偏微分方程，可以研究系统的稳定性，并优化系统的运行。

总结：一阶偏微分方程是数学中重要的研究对象，本教程介绍了一阶偏微分方程的基本概念、解法和应用。

掌握解一阶偏微分方程的方法，对于研究自然界的现象和优化工程设计具有重要意义。

最后，希望读者通过学习本教程可以深入了解一阶偏微分方程，并能够独立解决相关问题。

第七章一阶线性偏微分方程§7.1 首次积分和求解常微分方程组基本概念(,,)ni 1n i 1i u X x x 0x =∂=∂∑(,,)(,,)ni1n1ni 1iuX x x Z x x x =∂=∂∑(,,,)(,,,)ni 1n 1n i 1i uY x x u Z x x u x =∂=∂∑例丨例1解x yu uc0u cu0 x y∂∂+=+=∂∂即例2例2 解(,,)(,,)x y y x u g x y u u g x y u 0-=(,)()()(,)xy x y y x x y u y y x u x x y y u xyu u u v u v u v u g g u u g g u u g u g 0v v x y ∂==-=-⋅--⋅=-⋅=∂(,(,,))((,,))u g x y u 0u g x y u ϕΦ==或特征方程定义•齐次线性偏微分方程特征方程•拟线性偏微分方程特征方程(,,)ni1n i 1iu X x x 0x =∂=∂∑(,,,)(,,,)ni 1n 1n i 1iu Y x x u Z x x u x =∂=∂∑d d d n1212nx x x X X X ===d d d d n 1212n x x x uY Y Y Z====首次积分定义首次积分d (,,,),(),,,6d 0ii 1n i 0i y f x y y y x y i 1nx===（）首次积分彼此独立彼此独立(,,)(,,)n 1111n 1n n 1nny y D D y y y y ψψψψψψ∂∂∂∂=∂∂∂∂n 1111n 11nn x x x x ϕϕϕϕ--∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系d (,)d yf x y 8x=（）d (,)d y f x y 0x y x x yψψψψ∂∂∂∂+=+=∂∂∂∂(,)u u f x y 09x y∂∂+=∂∂（）d d (,)d d u u u y u uf x y 0x x y x x y ∂∂∂∂=+=+=∂∂∂∂定理1定理112n 12nf f f 010x y y y ψψψψ∂∂∂∂++++=∂∂∂∂（）d (,,,),(),,,d 0ii 1n i 0i y f x y y y x y i 1n 6x===（）证(,,,)0001n x y y G∈()(,,,)i i 0y x i 12n ϕ==(,(),,())1n x x x const ψϕϕ=d(,(),,())d 1n x x x 0x ψϕϕ=(,,,)(,,,)(,,,)n00000001n i 01n 01n i 1i x y y f x y y x y y 0x y ψψ=∂∂+=∂∂∑(,,,)0001n x y y G ∈12n 12nf f f 010x y y y ψψψψ∂∂∂∂++++=∂∂∂∂（）(),,,d(,(),,())d i i 1n 12n y x 12n i 12nx x x f f f 0xxy y y ϕψψψψψϕϕ==⎛⎫∂∂∂∂=++++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭(,(),,())1n x x x constψϕϕ=d (,,,),(),,,d 0ii 1n i 0i y f x y y y x y i 1n 6x===（）§7.3 利用首次积分求解常微分方程组定理2d(,,,),,,dii1nyf x y y i1n11x==（）(,,,),,,i1n ix y y c i1n12ψ==（），证(,,,)(,,,)12n 12n 0y y y ψψψ∂≠∂(,,,),,,i 1n i x y y c i 1n 12ψ==（）(,,,),,,i 1n i x y y c i 1n 13ϕ==（）(,(,,,),,(,,,)),,,j 11n n 1n j x x c c x c c c j 12n ψϕϕ==d (,,,)(,,,),,,d n i j 1n j 1n i 1ix x 0j 12nxy xϕψϕϕψϕϕ=∂∂+⋅==∂∂∑,,,,j j j1n 1nf f 0j 12n 14x y y ψψψ∂∂∂+++==∂∂∂（）(,,,),,,nj ii 1n d f x 0j 12ny dxψϕϕϕ∂⎡⎤-==⎢⎥∂⎣⎦∑(,,,)(,,,)(,,,),,,nj 1n i 1n j 1n i 1i x f x x 0j 12n x y ψϕϕϕϕψϕϕ=∂∂+⋅==∂∂∑d (,,,),,,d ii 1n y f x y y i 1n 11x==（）(,,,),,,i 1n i x y y c i 1n 12ψ==（）(,,,)(,,,)12n 12n 0y y y ψψψ∂≠∂d (,,,),,,d ii 1n f x j 12nx ϕϕϕ==(,,,),,,,i i 1n y x c c i 12nϕ==(,,,,),,,,i i 01n y x x y y i 12nϕ==(,,,)(,,,)i i 01n c x y y i 12n ψ==(,,,)(,,,)i i 1n y x c c i 12n ϕ==(,,,,)(,,,)(,,,)i 001n i i 01n x x y y y x c c i 12n ϕϕ===(,,,)(,,,,),,,,i 1n i 01n x c c x x y y i 12n ϕϕ==(,,,,)(,,,)i i 01n y x x y y i 12n ϕ==(,,,)(,,,)i i i 01n c c x y y i 12n ψ===，d (,,,),,,d ii 1n y f x y y i 1n 11x==（）求首次积分方法(,)(,,)x c y x c 00c cϕψ∂∂≠≠∂∂或d d d d n12012ny y y x g g g g ====(,,)i 0i g g f i 1n ==,,,01nμμμ,d d d d 0011n n 011n n g g g 0x y y μμμμμμϕ+++=+++=d (,,,),,,d ii 1n y f x y y i 1n 11x==（）例1 求解方程组d d d d 222222y2xy x x y z z 2xz x x y z ⎧=⎪--⎪⎨⎪=⎪--⎩d d d 222x y zx y z 2xy 2xz==--d d y z yz=1y c z=d d d d ()222x x y y z z yx x y z 2xy++=++2222x y zc y++=12222yc z x y z c y ⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩例2 求方程组的通积分d d d x y z xz yz xy==,,012g xz g yz g xy===,,012y x 2z μμμ===-001122g g g 0μμμ++=()2012dx dy dz d xy z μμμ++=-21xy z c -=2xc y=212xy z c x cy ⎧-=⎪⎨=⎪⎩。

一阶线性偏微分方程与解法一阶线性偏微分方程是微分方程中的一类重要方程，它具有广泛的应用领域和解法。

本文将介绍一阶线性偏微分方程的基本形式、解法和具体应用。

一、基本形式一阶线性偏微分方程的一般形式可以表示为：\[ a(x,t)\frac{\partial u}{\partial x} + b(x,t)\frac{\partial u}{\partial t} = c(x,t,u) \]其中，\( u = u(x,t) \) 是未知函数， \( a(x,t), b(x,t), c(x,t,u) \) 是给定函数。

二、解法（1）变量可分离法如果方程可以表示为 \( f(x)dx + g(t)dt = 0 \)，其中 \( f(x) \) 和 \( g(t) \) 是关于 \( x \) 和 \( t \) 的函数，那么方程可以通过变量可分离法解析地求解。

具体求解方法是分离变量并进行积分：\[ \int f(x)dx + \int g(t)dt = \int 0 \]求出积分后的结果，并将 \( u(x,t) \) 表示出来。

（2）特征线法特征线法适用于方程为线性齐次的情况，即 \( c(x,t,u) = 0 \)。

使用特征线法可以将一阶线性偏微分方程转化为一阶常微分方程。

求解一阶常微分方程后，再通过特征线反解得到原方程的解。

具体求解步骤如下：1. 确定特征曲线的参数方程，通过 \( \frac{dx}{a(x,t)} =\frac{dt}{b(x,t)} \) 可以得到参数方程。

2. 将未知函数按照参数方程表示，得到 \( u = u(\phi) \)，其中 \( \phi \) 是参数。

3. 对上式两边求导，得到 \( \frac{du}{d\phi} = \frac{\partialu}{\partial x}\frac{dx}{d\phi} + \frac{\partial u}{\partial t}\frac{dt}{d\phi} \)。

一阶偏微分方程的解法偏微分方程是数学里一个广泛应用的领域。

其中，一阶偏微分方程是最为基础的一类，也是最常见的一类偏微分方程。

本文将介绍一阶偏微分方程的解法，希望能够对学习和应用偏微分方程的人们提供一定的帮助。

一、基础概念在介绍一阶偏微分方程的解法之前，我们需要先了解一些基础概念。

偏微分方程中的“偏”表示该方程与多个变量有关，微分方程表示该方程中包含有未知函数的导数项，即该方程描述了一个函数在不同变量下的变化。

一阶偏微分方程中，未知函数的偏导数项最高只有一次，且只涉及到一个变量。

方程中的未知函数只依赖于某一个变量，它的解也只涉及到一个变量。

因此，一阶偏微分方程通常可以写成以下的形式：$$ F(u_x, u_y, u_{xx}, u_{yy}, u_{xy}, x, y) = 0 $$其中，$u_x, u_y, u_{xx}, u_{yy}, u_{xy}$分别表示未知函数在不同变量下的偏导数，$x, y$是独立变量。

为了解决该方程，需要找到一个函数 $u(x,y)$，使得它满足该方程。

二、解法分析接下来，我们将介绍一阶偏微分方程的解法。

我们将着重介绍三种解法，分别是：特征线法、变换法和分离变量法。

1. 特征线法特征线法是一种经典的解法，适用于一些特殊的偏微分方程。

特征线法的基本思路是寻找一些特殊的曲线，这些曲线上的函数值保持不变，可以将函数沿这些曲线推进求解。

以以下方程为例：$$ u_x + u_y = x $$我们可以通过特征线法求解。

我们先假设存在某个变换，将$x,y$变为$\xi,\eta$，使得方程能够写成：$$ u_\xi + u_\eta = 1 $$这时，可以通过对$\xi, \eta$求偏导数，得到：$$ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial \xi} +\frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial x} $$$$ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial \eta} $$接着，我们可以找到一条特殊的曲线$\xi = \eta$，使得沿着该曲线推进方程不变：$$ \frac{du}{d\xi} = \frac{\partial u}{\partial \xi} + \frac{\partial u}{\partial \eta} = 1 $$在这个方程中，$u$ 只与$\xi$有关，因此可以直接求解得到：$$ u = \frac{1}{2}\xi^2 + C $$将$\xi,\eta$变回$x,y$，得到：$$ u = \frac{1}{2}(x-y)^2 + C $$2. 变换法变换法是一种寻求自变量的新变换，使得原方程可以转化为一些已知的方程的方法。

第七章一阶线性偏微分方程研究对象一阶线性齐次偏微分方程0),,,(),,,(),,,(2122121211=∂∂++∂∂+∂∂nn n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X 1基本概念 1）一阶线性齐次偏微分方程形如0),,,(),,,(),,,(2122121211=∂∂++∂∂+∂∂nn n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X （7.1） 的方程，称为一阶线性齐次偏微分方程，其中n x x x ,,,21 是自变量，u 是n x x x ,,,21 的未知函数，n X X X ,,,21 是域nR D ⊂内的已知函数，并设n X X X ,,,21 在域D 内不同时为零。

2）一阶拟线性偏微分方程形如 );,,,();,,,();,,,(21211211z x x x Z x z z x x x Y x z z x x x Y n nn n n =∂∂++∂∂（7.2） 的方程，称为一阶拟线性偏微分方程，其中Z Y Y Y n ;,,,21 是1+n 个变元z x x x n ;,,,21 的已知函数。

n Y Y Y ,,,21 在其定义域1+⊂'n R D 内不同时为零。

所谓“拟线性”是指方程仅对未知函数的各个一阶偏导数是线性的，以下总设n Y Y Y ,,,21 和Z 在域D '内连续可微。

3）特征方程组常微分方程组nn X dx X dx X dx === 2211（7.3） 称为一阶线性齐次偏微分方程（7.1）的特征方程组。

常微分方程组Zdz Y dx Y dx Y dx n n ==== 2211（7.4） 称为一阶拟线性偏微分方程（7.2）的特征方程组。

4）首次积分对一般的常微分方程组),,2,1)(,,,(1n i y y x f dxdy n i i ==（7.5） 其中，右端函数n f f f ,,,21 都在某个域1+⊂'n RD 内连续，设),,,,(21n y y y x Φ=Φ在域D 内连续可微，并且不是常数。

第七章 一阶线性偏微分方程例7-1 求方程组 ()()()yzB A Cdzxz A C Bdy yz C B Adx -=-=- 通积分，其中C B A ,,为互不相等的常数。

解 由第一个等式可得xyzydyA C Bxyz xdx C B A -=-，即有0=---ydy AC B xdx C B A ， 两边积分得方程组的一个首次积分 122,C y AC Bx C B A z y x Φ=---=),(。

由第二个等式可得xyzzdzB AC xyz ydy A C B -=-，即有0=---zdz BA C ydy A CB ，两边积分得方程组的另一个首次积分 222,C z BA Cy A C B z y x Ψ=---=),(。

由于，雅可比矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂ψ∂∂ψ∂∂ψ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂=∂ψΦ∂z B A Cy A C B y A C B x C B A y yxz y xz y x 002),,(),( 的秩为2，这两个首次积分相互独立，于是原方程组的通积分为122C y A C B x C B A =--- 222C z BA Cy A C B =--- 。

评注：借助于方程组的首次积分求解方程组的方法称为首次积分法。

要得到通积分需要求得n 个独立的首次积分，n 为组成方程组的方程个数。

用雅可比矩阵的秩来验证首次积分的独立性。

例7-2 求方程组 ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+--=-+-=11d 2222y x y x dtdy y x x y dtx 的通解。

解 由原方程组可得 )1)((2222-++-=+y x y x dtdy y dt dx x 即dt y x y x y x d )1)((2)(222222-++-=+这个方程关于变量t 和22y x +是可以分离的，因此易求得它的通积分为1222221),,(C e yx y x t y x t=+-+=Φ 这是原方程组的一个首次积分。

常微分方程一阶线性偏微分方程7.1基本概念对于自变量 x_1、x_2、…x_n（n\geq2）与未知函数 u 的一阶偏导数 \frac{\alpha u}{\alpha x_1}、\frac{\alpha u}{\alpha x_2}、…\frac{\alpha u}{\alpha x_n}一阶偏微分方程：F(x_1,x_2,…x_n;u,\frac{\alphau}{\alpha x_1},\frac{\alpha u}{\alphax_2},…\frac{\alpha u}{\alpha x_n})=0 （7.1）一阶线性偏微分方程：\sum_{i=1}^{n}{X_i(x_1,x_2,…x_n)\frac{\alphau}{\alpha x_i}}=X(x_1,x_2,…x_n)（7.2）a一阶齐次线性偏微分方程：\sum_{i=1}^{n}{X_i(x_1,x_2,…x_n)\frac{\alphau}{\alpha x_i}}=0 （7.2）b一阶拟线性偏微分方程：\sum_{j=1}^{n}{Y_j(x_1,x_2,…x_n;z)\frac{\alphaz}{\alpha x_j}}=Z(x_1,x_2,…x_n;z)（7.3）解 u=\varphi(x_1,x_2,…x_n)可以想象为在空间(x_1,x_2,…x_n,u)中的一张n维曲面，通常称为偏微分方程（7.1）的积分曲面。

称\frac{dx_1}{X_1}=\frac{dx_2}{X_2}=…=\frac{dx_n}{X_n} （7.5）为（7.2）b的特征方程。

（7.3）的求解问题则可化为（7.2）b的方程类型来处理。

7.2 一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系考虑初值问题（p344）首次积分：n个首次积分称为彼此独立的：常微分方程组与一阶线性偏微分方程之间的关系：7.3 利用首次积分求解常微分方程组考虑方程组通积分：方程组（7.11）的n个彼此独立的首次积分的全体（7.12）称为（7.11）的通积分。

偏微分方程(Partial Differential Equations)許多物理規律、物理過程和物理狀態都可以用微分方程描述。

當物理過程和狀態只由一個因素決定時，往往提出常微分方程。

例如質點的運動，通過解常微分方程就能得到質點的運動規律。

例：()()()()mu t cu t ku t P t++=(質點運動方程式)當物理問題由多個因素決定時，就會涉及到偏微分方程，偏微分方程為應用數學中重要的課題之一，物理問題之數學模式與偏微分方程式有關，許多數學理論與方法的發展往往肇因於求解偏微分方程。

例：222u uat x∂∂=∂∂(熱傳導方程式)22222u uat x∂∂=∂∂(波動方程式)2222u ux y∂∂+=∂∂(拉普拉斯方程式)u uut x∂∂+=∂∂(衝擊波方程式)33u u uut x xσ∂∂∂++=∂∂∂(KdV方程式)1. 偏微分方程的定義與解設()12,,,n u x x x =為自變數12,,,n x x x 之函數，任何包含其偏導數之關係式21211,,,,,,,0n n u u f x x x x x x ⎛⎫∂∂= ⎪∂∂∂⎝⎭(1)稱為偏微分方程式(簡稱P.D.E.)。

基本名詞：(1) 階數(order)：P.D.E.中所含最高階偏導數之階數。

(2) 線性(linear)：P.D.E.中，其未知函數以及其偏導數均滿足 (i)次數均為一次。

(ii)無互相的乘項。

(iii)無非線性函數。

則稱為線性P.D.E.。

(3) 擬線性(quasi-linear)：P.D.E.中，其最高階的偏導數之次數為1次，且彼此無互乘項，則稱為擬線性P.D.E.。

(4) 非線性(non-linear)：若P.D.E.不為線性或擬線性，則稱為非線性P.D.E.。

解之分類：(1) 通解(general solution)：滿足P.D.E.且包含任意函數之解。

(2) 全解(complete solution)：滿足P.D.E.且包含任意常數之解。