数学类比推理解题技巧

证明： 在△ABC中， 因为CD⊥AB，AC＞ BC 所以AD>BD,
A 于是∠ACD＞∠ BCD。
错因：偷换概念
C
DB
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2、下列几种推理过程是演绎推理的是（ A）
A、5和2 可2 以比较大小；
B、由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质； C、东升高中高二级有15个班，1班有51人，2班有
53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人； D、预测股票走势图。
大前提：刑法规定抢劫罪是以非法占有为目的，使 用暴力、胁迫或其他方法，强行劫取公私财物的行 为。其刑事责任年龄起点为14周岁，对财物的数额 没有要求。
小前提：小明超过14周岁，强行向路人抢取钱财50元。
结论：小明犯了抢劫罪。
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三、演绎推理的特点:
1．演绎推理的前提是一般性原理，演绎所得的 的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实，结 论完全蕴含于前提之中，因此演绎推理是由一般 到特殊的推理；
5
一、演绎推理的定义:
从一般性的原理出发，推出某个特殊情 况下的结论，这种推理称为演绎推理．
二、演绎推理的模式:
“三段论”是演绎推理的一般模式；
M……P（M是P) S……M (S是M) S……P (S是P)
大前提---已知的一般原理； 小前提---所研究的特殊对象； 结论---据一般原理，对特殊 对象做出的判断．
小明是一名高二年级的学生，17岁，迷恋上网络， 沉迷于虚拟的世界当中。由于每月的零花钱不够用，便 向亲戚要钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹 念，强行向路人抢取钱财。但小明却说我是未成年人而 且就抢了50元，这应该不会很严重吧？？？
如果你是法官，你会如何判决呢？小明到底是不 是犯罪呢？

的联系和相似的性质，如对数运算法则、指数方程的解法等。
03
三角函数与反三角函数的类比
三角函数和反三角函数是数学中的重要内容，它们之间有着相似的性质
和图像特征，如周期性、振幅、相位等概念。
03 类比推理在解题中应用举 例
选择题中应用
题目类型识别
通过类比推理，识别题目类型，从而 选择相应的解题方法。例如，对于与 已知题目类似的题目，可以借鉴已知 题目的解题思路和方法。
误区三
机械类比。将不同领域的对象进 行简单的机械类比，忽略它们之 间的内在联系和逻辑关系，导致 推理结果不合理。避免方法：在 类比时注重逻辑性和内在联系， 确保类比的逻辑性和科学性。
拓展延伸：类比推理在其他学科中应用
物理学中的应用
化学中的应用
通过类比已知物理现象和规律，发现新的 物理现象和规律；借助类比推理解决复杂 的物理问题。
判断
在识别出相似关系后，需要进一步判断这种相似关系是否足 以支持类比推理的结论。这需要对相似关系的本质和程度进 行深入分析，以确定类比推理的可行性和可靠性。
相似性与差异性分析
相似性分析
在类比推理中，相似性分析是关键步骤之一。它涉及对两个或多个对象的共同特征和属性进行比较和 归纳，以确定它们之间的相似程度。相似性分析有助于我们找到对象之间的内在联系和规律。
误区警示及避免方法
误区一
过度泛化。将不同领域的对象进 行类比时，容易忽略它们之间的 本质差异，导致错误的推理结果 。避免方法：在类比前深入分析 对象的本质属性和特征，确保类 比的合理性。
误区二
忽视细节。在类比过程中，容易 忽略一些重要的细节差异，导致 推理结果不准确。避免方法：在 类比时关注细节，特别是那些可 能对推理结果产生重要影响的细 节。

文化教育·73·相比于初中数学知识，高中数学对学生的逻辑推理能力、理性分析能力提出更高的要求，尤其在解决不同类型的数学问题时，常常遇到问题属性相似而主题对象却截然不同的情况，这时，学生如果采用类比推理的方法，将两个不同的题型捏合到一起，再进一步进行推演和分析，势必会收到事半功倍的效果。

一、类比推理在数学概念中的灵活应用高中数学概念理论性强，学生掌握起来较为困难，尤其对于数学基础差的学生来说，往往对深奥难懂的数学概念望而却步，因此，运用类比推理的方法，不但可以将复杂的数学概念问题转换为简单的问题，同时激发了学生学习数学的兴趣。

比如在学到“二面角”的知识点时，学生们如果对二面角概念进行习惯性的记忆，反而会加大记忆难度，对概念的理解也不够深入具体，而采用类比推理的方法，可以把“二面角”的概念变得系统化与具体化，这样一来，学生们更易于理解和掌握。

因为学生对“角”的定义掌握得比较扎实，所以教师先以“角”的定义作为出发点，借助类比推理引入二面角定义，即：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形被称之为二面角，而这条直线称为二面角的棱，两个半平面则称为二面角的面。

通过这种由简入繁的方法导入，学生们就能够快速地掌握二面角的定义。

除此之外，教师也可以通过电子白板的模拟形式对二面角进行直观演示，这样不仅使学生的基础知识得到巩固，同时也使学生加深了对二面角的记忆，为后续学习奠定了坚实基础。

在教学过程中，教师也可以将二面角的定义融入现实生活当中，比如我们居住的房屋相邻的两个平面，会形成二面角。

一本翻开的书，两个平面之间形成的角，也属于二面角。

通过这种方法，能够将二面角的理论概念与现实生活结合到一起，在这种情况之下，学生的脑海当中能够出现直观的、具象化的二面角影像，这对解决与二面角相关的实际问题将起到积极地促进作用。

同时，这种理论与实际相结合的方法也可以拓宽学生的视野，延伸学生的知识面，进而对数学概念的理解变得更为透彻、清晰。

类比推理解题技巧引言在解题过程中，类比推理是一种常用的思维方式，它能够帮助我们将已有的知识和经验应用到新的问题上。

类比推理解题技巧是一种能够提高解题效率和准确性的方法。

本文将介绍类比推理解题技巧的基本原理和具体操作方法。

1. 类比推理的基本原理类比推理是基于相似性原理的一种推理方式，它通过找到两个问题之间的相似之处，从已知问题中获得解决未知问题的线索。

类比推理的基本原理可以概括为以下三个步骤：1.1. 发现相似性在解题过程中，首先需要发现两个问题之间的相似之处。

相似之处可以是问题的结构、特征、关系等方面的相似性。

1.2. 迁移知识和经验在发现相似性的基础上，可以将已有的知识和经验应用到新的问题上。

通过迁移已有的解决方案和方法，可以快速地解决新的问题。

1.3. 检验和修正在应用已有的解决方案和方法之后，需要对结果进行检验和修正。

如果结果符合预期，那么可以得出结论；如果结果不符合预期，那么需要重新检查和修正解决方案。

2. 类比推理解题的具体操作方法在实际解题过程中，可以按照以下步骤进行类比推理解题：2.1. 理解和分析问题首先需要理解和分析问题，找出问题的关键要素、特征和关系。

这些关键要素、特征和关系将成为类比推理的基础。

2.2. 寻找相似性在理解和分析问题的基础上，需要寻找两个问题之间的相似之处。

可以通过比较问题的结构、特征、关系等方面，找到相似性所在。

2.3. 迁移知识和经验在找到相似性之后，可以将已有的知识和经验迁移到新的问题上。

可以尝试将已有的解决方案和方法应用到新的问题上，以寻找解决新问题的线索。

2.4. 检验和修正在应用已有的解决方案和方法之后，需要对结果进行检验和修正。

如果结果符合预期，可以得出结论；如果结果不符合预期，需要重新检查和修正解决方案。

3. 类比推理解题的应用场景类比推理解题技巧可以应用于各种问题的解决过程中，特别适用于以下场景：3.1. 数学题在解决数学题的过程中，类比推理可以帮助找到两个数学问题之间的相似之处，从已知问题中获得解决未知问题的线索。

类比推理的三种方法引言类比推理是一种常见的思维方式，通过将不同事物之间的相似性进行比较，从而推理出它们之间的关系。

类比推理在日常生活和学习中都起着重要的作用，能够帮助我们更好地理解和解决问题。

本文将介绍类比推理的三种方法：形式类比、模型类比和推理类比，并对每种方法进行详细阐述。

一、形式类比形式类比是一种基于结构和关系的类比推理方法。

它通过比较事物之间的结构和组成关系，找出它们之间的相似之处，并推断它们之间可能存在的关系。

形式类比常常用于逻辑推理、数学问题和编程等领域。

形式类比的特点•重点关注事物的结构和组成关系•忽略事物的具体内容和特征•强调事物之间的相似性和规律性形式类比的应用场景•解决逻辑问题：形式类比能够帮助我们找出逻辑问题中的共性和规律，从而解决类似的问题。

•设计算法和数据结构：形式类比可以帮助程序员设计更加高效和灵活的算法和数据结构，提高程序的性能和可维护性。

二、模型类比模型类比是一种基于事物共享特征的类比推理方法。

它通过比较事物的特征和属性，找出它们之间的相似之处，并推断它们之间可能存在的关系。

模型类比常常用于科学研究、复杂系统分析和创新思维等领域。

模型类比的特点•关注事物的功能和属性•忽略事物的具体结构和关系•强调事物之间的功能和用途模型类比的应用场景•科学研究：模型类比能够帮助科学家发现事物之间的相似之处，并构建模型来解释自然现象。

•创新思维：模型类比可以激发创新思维，帮助人们从不同领域的模型中获取灵感，解决问题和提出新的观点。

三、推理类比推理类比是一种基于推理和推断的类比推理方法。

它通过比较事物之间的关系和交互方式，找出它们之间的相似之处，并推断它们之间可能存在的关系。

推理类比常常用于认知科学、人工智能和哲学等领域。

推理类比的特点•关注事物之间的关系和交互方式•通过推理和推断找出事物之间的共性和规律•强调事物之间的关联和因果关系推理类比的应用场景•认知科学：推理类比能够帮助人们了解人类认知的机制和模式，推断思维的过程和规律。

⾏测类⽐推理技巧：横纵⽐较 公务员⾏测考试主要是考量⼤家的数学推理能⼒和逻辑分析能⼒，下⾯由店铺⼩编为你精⼼准备了“⾏测类⽐推理技巧：横纵⽐较”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！ ⾏测类⽐推理技巧：横纵⽐较 在公务员的考试⾏测中，类⽐推理的考察较为常⻅，⽽且整体上来说类⽐推理的题⺫难度并不是特别⼤，阅读压⼒也很⼩，是考⽣们⼗分愿意去做的题型。

但是随着历年考试的变化，我们发现考试当中对于类⽐推理的考查变得越来越复杂化，词语之间的关系也不是那么的⼀⺫了然，考⽣也会对很多题⺫选项的选取纠结万分，为了帮助各位考⽣缓解燃眉之急，今天就给⼤家带来“热腾腾”的干货技巧，帮助⼤家解决类⽐推理题⺫。

其实很多考⽣对于有些复杂的类⽐推理⽆从下⼿，根本原因是⼤家没有⼀个很好的做题习惯，或者说是做题顺序，很多考⽣做题可能⼀上来就从词性⼊⼿去排除选项，这样的思路是很有问题的，很容易误选，所以今天⼩编重点和⼤家聊⼀聊做这种题⺫时的解题顺序。

解题顺序-先横后纵 什么叫做先横后纵，其实很简单，就是先横向去⽐较词项间的关系，如果横向确定不出正确答案，我们再纵向对⽐筛选答案。

此外，纵向对⽐我们可以从词性，感情⾊彩和事物特征三个⾓度去进⾏分析。

先来看⼀道例题。

团扇：⽻⽑扇：舞蹈扇 A.宣纸：餐⼱纸：铜版纸 B.圈椅：实⽊椅：办公椅 C.排球：⽻⽑球：乒乓球 D.墨镜：⽼花镜：显微镜 【解析】B。

这道题⺫横向间的关系其实还是很简单的，团扇，⽻⽑扇，和舞蹈扇都属于扇⼦，但是如果只考虑这⼀关系的话，四个选项也都符合！答案选不出来，所以我们还要再去考虑⼀下更为细微的关系，虽然团扇，⽻⽑扇，和舞蹈扇都属于扇⼦，但是它们的命名⽅式确是不同的，团扇是根据形状命名，⽻⽑扇是根据材料命名，舞蹈扇是根据功能命名。

那我们再纵向通过以上的规律去对⽐排除错误选项。

A，宣纸，餐⼱纸，铜版纸分别是根据产地、功能、硬度来命名的，与题干关系不⼀致。

类比推理问题—高考命题新亮点类比是常见而重要的一种数学思想方法，它是指在新事物与已知事物之间的某些方面作类似的比较，把已经获得的知识、方法、理论迁移到新事物中，从而解决新问题。

类比不仅是一种富有创造性的方法，而且更能体现数学的美感。

（一）不同知识点之间的类比数学中的不同知识点在教材中是相对分散的，知识点之间的联系需要教师通过自己的数学设计展示给学生，从而使得学生的概念图网络更加丰富和结构化。

它不仅可以在知识复习中使用，也可以在新知识的学习中进行。

1、立体几何中的类比推理【例1】若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、N 2，则三角形面积之比为：若从点O所作的不在同一个平面内的三条射线OP、OQ和OR上分别有点P1、P2与点Q1、Q2和R1、R2，则类似的结论为：。

【分析】在平面中是两三角形的面积之比，凭直觉可猜想在空间应是体积之比，故猜想（证明略）评注本题主要考查由平面到空间的类比。

要求考生由平面上三角形面积比的结论类比得出空间三棱锥体积比的相应结论。

【例2】在中有余弦定理：拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明。

【分析】根据类比猜想得出其中为侧面为与所成的二面角的平面角。

证明：作斜三棱柱的直截面DEF，则为面与面所成角，在中有余弦定理：，同乘以，得即评注本题考查由平面三角形的余弦定理到空间斜三角柱的拓展推广，因为类比是数学发现的重要源泉，因此平时的教学与复习中更要注意类比等思想方法的学习。

【例3】在平面几何中有“正三角形内任一点到三边的距离之和为定值”，那么在立体几何中有什么结论呢？解析“正三角形”类比到空间“正四面体”，“任一点到三边距离之和”类比到空间为“任一点到四个面的距离之和”，于是猜想的结论为：正四面体内任一点到其各面距离之和为定值。

图1如图1，设边长为的正三角形内任一点到其三边的距离分别为、、，将分割成三个小三角形，则有，即距离之和为正三形的高（定值）图2类似地，如图2,设棱长为的正四面体内任一点到四个面的距离分别为、、、，将正四面体分割成以为顶点，以四个面为底面的小三棱锥，则有，于是所以为定值【例4】在平面几何中，有勾股定理：设的两边、互相垂直，则。

㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１５６㊀类比法在数学解题中的应用类比法在数学解题中的应用Һ陈镇伟㊀（福建仙游华侨中学，福建㊀莆田㊀３５１２００）㊀㊀ʌ文摘ɔ类比是两事物在一些方面相同或类似去推知在另外一些方面也相同或类似，但这种合情推理的结论可能正确，也可能错误，它还要靠逻辑推理去证明正确与否．类比法的关键就在于善于从新问题联想到旧问题，并把新旧问题进行类比．在具体应用中，我们一般可以根据四个原则进行类比解题，把新旧问题相类比，把简单与复杂问题相类比，把直观与抽象问题相类比，把学科间的问题相类比．有意识地培养应用类比法解题可提高思维能力和创造力，是获得新思路新发现的一条重要途径，并且能有效巩固和保持已有的知识．ʌ关键词ɔ类比；合情推理；数学问题；新旧问题；核心素养在瀚如浩海的初等数学题中，有大量的题目可用一种特殊的数学解题方法 类比法解决．什么是类比法呢？著名教育家波利亚说过， 在解答一个显然难以求解的问题时，提出一个适当的辅助问题，并加以解答，以找到解决原来问题的途径．这是一个最独特的智力活动 一个辅助问题，只要和原来问题相似，而且较为容易，它就可以给予方法论方面的意义 ．实际上类比法的实质就是如此．它是根据新旧问题在某些方面相似或相同，推导出它们在其他方面也可能相似或相同的方法，如果我们从逻辑上来看待类比法，它的形式就是数学推理中的类比推理，用符号表示即为：研究对象㊀㊀㊀㊀属性ȵ甲㊀㊀㊀㊀㊀ＡＢＣＤ㊀乙㊀㊀㊀㊀㊀ＡＢＣʑ乙也有属性Ｄ．类比推理是一种或然推理，因而应用类比法所推得的结论是不确定的，我们不能把类比法作为一种严格的数学推理方法．但是，当我们面对一道数学题束手无策时，我们若考虑用类比法来打开思路，则往往能激发我们的思维火花，使我们找到解题线索，为解决问题描出一个大概的过程和轮廓．正如康德所说的： 每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进． 应用类比法解题，首先必须全面㊁细致地审清题意，在审清题意的基础上，在脑海中闪现出与此类似的旧问题及相关的理论，并深刻分析问题的实质所在，把未知问题和已知问题加以对照，从而根据已知结论对未知问题的结论做出预测，解决新问题．类比法的关键就在于善于从新问题联想到旧问题，并把新旧问题进行类比．在具体应用中，我们一般可以根据四个原则来进行类比解题，把新旧问题相类比，把简单与复杂问题相类比，把直观与抽象问题相类比，把学科间的问题相类比．一㊁把新问题和旧问题相类比已有的知识㊁经验和方法往往对我们所要解决的问题有着重要的指导意义，适当地把新问题和旧问题相类比，能开阔我们的思路，使我们寻得解题方法．例１㊀解方程ｘ３＋（１＋２）ｘ２－２＝０．分析㊀这是以ｘ为未知数的三次方程，学生对三次方程的解法较为陌生，但对一元二次方程的解法则是掌握的，因此，我们可考虑把三次方程转化为一元二次方程，观察原方程结构特点，若把ｘ视为 已知数 ，把 ２ 看作未知数，则原方程便可以看作关于 ２ 的一元二次方程．解㊀设ｙ＝２，则原方程可化为ｙ２－ｘ２ｙ－（ｘ３＋ｘ２）＝０，解方程得：ｙ＝－ｘ或ｙ＝ｘ２＋ｘ，ʑｘ＝－２或ｘ２＋ｘ－２＝０，ʑｘ１＝－２，ｘ２＝－１＋１＋４２２，ｘ３＝－１－１＋４２２是原方程的解．例２㊀已知ｘ，ｙ，ｚ均为实数，且ｘｙʂ－１，ｙｚʂ－１，ｚｘʂ－１，求证：ｘ－ｙ１＋ｘｙ＋ｙ－ｚ１＋ｙｚ＋ｚ－ｘ１＋ｚｘ＝ｘ－ｙ１＋ｘｙ㊃ｙ－ｚ１＋ｙｚ㊃ｚ－ｘ１＋ｚｘ．分析㊀此题若用代数方法证明，则很冗繁，由于这道题的结论形式是三个代数式和等于它们三者之积，因此我们可以回忆一下所解过的类似问题，如下题：在әＡＢＣ中，求证：ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ＋ｔａｎＣ＝ｔａｎＡ㊃ｔａｎＢ㊃ｔａｎＣ．这道题的证法是：ȵＡ＋Ｂ＋Ｃ＝π，ʑＡ＋Ｂ＝π－Ｃ，等式两边取正切得：ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ１－ｔａｎＡ㊃ｔａｎＢ＝－ｔａｎＣ，去分母整理得：ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ＋ｔａｎＣ＝ｔａｎＡ㊃ｔａｎＢ㊃ｔａｎＣ．要将该题的证法进一步移植到原题中，还必须使：ｔａｎＡ＝ｘ－ｙ１＋ｘｙ，ｔａｎＢ＝ｙ－ｚ１＋ｙｚ，ｔａｎＣ＝ｚ－ｘ１＋ｚｘ．经过分析研究，证法如下：令ｘ＝ｔａｎα，ｙ＝ｔａｎβ，ｚ＝ｔａｎγ，Ａ＝α－β，Ｂ＝β－γ，Ｃ＝γ－α，则ｔａｎＡ＝ｔａｎ（α－β）＝ｔａｎα－ｔａｎβ１＋ｔａｎα㊃ｔａｎβ＝ｘ－ｙ１＋ｘｙ，同理ｔａｎＢ＝ｙ－ｚ１＋ｙｚ，ｔａｎＣ＝ｚ－ｘ１＋ｚｘ，ȵＡ＋Ｂ＋Ｃ＝（α－β）＋（β－λ）＋（λ－α）＝０，ʑＡ＋Ｂ＝－Ｃ，取正切得ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ１－ｔａｎＡ㊃ｔａｎＢ＝－ｔａｎＣ，ʑｔａｎＡ＋ｔａｎＢ＋ｔａｎＣ＝ｔａｎＡ㊃ｔａｎＢ㊃ｔａｎＣ，即ｘ－ｙ１＋ｘｙ＋ｙ－ｚ１＋ｙｚ＋ｚ－ｘ１＋ｚｘ＝ｘ－ｙ１＋ｘｙ㊃ｙ－ｚ１＋ｙｚ㊃ｚ－ｘ１＋ｚｘ．二㊁把复杂问题和简单问题相类比面对复杂的问题，可把它简单化并解决之，从而获得解决原问题的启示和依据．例３㊀已知角α，β，γ，θ都是锐角，且α＋β＋γ＋θ＝π，求ｙ＝ｓｉｎα㊃ｓｉｎβ㊃ｓｉｎγ㊃ｓｉｎθ的最大值．分析㊀这里的ｙ是多个角的三角函数的积，较复杂，求解难以入手，不妨先来探讨一个相似的简单问题：已知角α，β都是锐角，α＋β＝Ａ（Ａ为定值且０＜Ａ＜π），求ｙ＝ｓｉｎα㊃ｓｉｎβ的最大值．ｙ＝ｓｉｎα㊃ｓｉｎβ＝ｓｉｎα㊃ｓｉｎ（Ａ－α）＝１２ｃｏｓ（２α－Ａ）－ｃｏｓＡ[]，㊀㊀㊀解题技巧与方法１５７㊀㊀依题设条件可知：当且仅当α＝Ａ２，即α＝β＝Ａ２时，ｙ取得最大值ｓｉｎＡ２()２．这个简单问题的解决给了我们什么启示呢？它使我们自然会猜想原问题正确的结论也许是：当且仅当α＝β＝γ＝θ＝π４时，ｙ取得最大值ｓｉｎπ４()４，这个结论果真正确吗？需要证明，直接证明此结论似难入手，正难则反，试证若α，β，γ，θ不都相等，则ｙ＝ｓｉｎα㊃ｓｉｎβ㊃ｓｉｎγ㊃ｓｉｎθ的值就无法取到最大．有了前面对简单问题的探究，此命题是很容易解决的，事实上，若α，β，γ，θ不都相等，不妨设αʂβ，我们暂且固定γ，θ的值不变，而让α，β值变化．则有α＋β＝π－（γ＋θ）为定值，且０＜π－（γ＋θ）＜π．ȵαʂβ，ʑｓｉｎα㊃ｓｉｎβ的值不是最大，从而ｙ＝ｓｉｎα㊃ｓｉｎβ㊃ｓｉｎγ㊃ｓｉｎθ的值也不是最大，所以我们对原问题的猜想是正确的，问题得以顺利解决．例４㊀解方程组ｘ＋ｙ＋ｚ＝３，（１）ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝３，（２）ｘ３＋ｙ３＋ｚ３＝３．（３）{分析㊀粗看之下，很难入手，若用代入消元法，则计算十分繁杂，因此先考虑方程组ｘ＋ｙ＝３，（４）ｘ２＋ｙ２＝５，（５）{虽然这两个方程组的元数，次数均不相同，但仍有不少与原题相似的地方，如每一方程未知数的次数都是一样的，都是关于未知数的轮换式，都没有不同未知数乘积的项等．根据ｘ＋ｙ＝３，再由（４）２－（５）２，求出ｘｙ＝２，根据韦达定理得方程ｘ２－３ｘ＋２＝０，ʑｘ＝１或２，ʑ方程组的解为ｘ１＝１，ｙ１＝２，{或ｘ２＝２，ｙ２＝１．{类比于上述解法，在原方程组中已知ｘ＋ｙ＋ｚ＝３，同样设法求ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ和ｘｙｚ的值，最后用韦达定理求解．具体解法是：由（１）２－（２）２得ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝３２－３２＝３，由（１）３－（３）得（ｘ＋ｙ＋ｚ）３－（ｘ３＋ｙ３＋ｚ３）＝２４，ʑ（ｘ＋ｙ）（ｙ＋ｚ）（ｚ＋ｘ）＝８，即（３－ｚ）（３－ｘ）（３－ｙ）＝８，ʑｘｙｚ＝１．根据韦达定理得ｕ３－３ｕ２＋３ｕ－１＝０，ʑ（ｕ－１）３＝０．从而可知ｘ＝１，ｙ＝１，ｚ＝１是原方程组的解．三㊁把抽象的问题和直观的问题相类比直观图形有助于挖掘问题的本质东西，帮助我们理清条序，迅速解题．图１例５㊀已知ａ＞０，ｂ＞０且ａ＋ｂ＝１，求证ａ－１ａ()２＋ｂ－１ｂ()２ȡ９２．分析㊀我们注意到左边两个平方项有相同的结构，可以类比联想到具有这种结构的函数ｆ（ｘ）＝ｘ－１ｘ()２，利用导数性质容易断定此函数图像是凹的．如图１所示，ʑｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）２ȡｆａ＋ｂ２()，ʑａ－１ａ()２＋ｂ－１ｂ()２ȡ９２．四㊁把这一学科的问题和邻近学科的问题相类比数学各门分科并不截然孤立，而是有着千丝万缕的联系的．正是由于这种学科间的相互联系，相互渗透使我们得以根据类比思想方法创造性解决问题，使思维得到更高层次发展．例６㊀从四面体的四个顶点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ分别向所对的平面引垂线，其长分别为ｈａ，ｈｂ，ｈｃ，ｈｄ，Ｐ为四面体内任一点，从Ｐ向Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四点所对的平面作垂线，垂线长分别为ｐａ，ｐｂ，ｐｃ，ｐｄ，求证：ｐａｈａ＋ｐｂｈｂ＋ｐｃｈｃ＋ｐｄｈｄ＝１．分析㊀立体几何问题一般可以和平面几何问题相类比，故可考虑如下的一平面几何题以获得启发．设әＡＢＣ的三边ＡＢ，ＡＣ，ＢＣ的高分别为ｈｃ，ｈｂ，ｈａ，并且三角形内任一点Ｐ到这三边的距离分别为ｐｃ，ｐｂ，ｐａ．求证：ｐａｈａ＋ｐｂｈｂ＋ｐｃｈｃ＝１．图２证法为：如图２，连接ＰＢ，ＰＣ，ｐａｈａ＝１２ＢＣ㊃ｐａ１２ＢＣ㊃ｈａ＝ＳәＰＢＣＳәＡＢＣ．同理ｐｂｈｂ＝１２ＡＣ㊃ｐｂ１２ＡＣ㊃ｈｂ＝ＳәＰＡＣＳәＡＢＣ，ｐｃｈｃ＝１２ＡＢ㊃ｐｃ１２ＡＢ㊃ｈｃ＝ＳәＰＡＢＳәＡＢＣ，ʑｐａｈａ＋ｐｂｈｂ＋ｐｃｈｃ＝ＳәＰＢＣ＋ＳәＰＡＣ＋ＳәＰＡＢＳәＡＢＣ＝１．原题与上题类比可得证法如下：ｐａｈａ＝１３ＳәＢＣＤ㊃ｐａ１３ＳәＢＣＤ㊃ｈａ＝ＶＰ－ＢＣＤＶＡ－ＢＣＤ，同理ｐｂｈｂ＝ＶＰ－ＡＣＤＶＡ－ＢＣＤ，ｐｃｈｃ＝ＶＰ－ＡＢＤＶＡ－ＢＣＤ，ｐｄｈｄ＝ＶＰ－ＡＢＣＶＡ－ＢＣＤ，ʑｐａｈａ＋ｐｂｈｂ＋ｐｃｈｃ＋ｐｄｈｄ＝ＶＰ－ＡＣＤ＋ＶＰ－ＡＢＣ＋ＶＰ－ＢＣＤ＋ＶＰ－ＡＢＤＶＡ－ＢＣＤ＝１．可以说，在数学中类比法可解决许多难题，它的应用范围较为广泛，使用类比法解题要求我们首先要有扎实的知识基础，其次要善于联想，善于分析，合情推理，挖掘事物间本质㊁必然的联系，以经过论证的事实为依据，去推测出问题的结论．正是由于类比法的这种特征，所以教师有意识地培养学生应用类比法解题可提高学生思维能力和创造力，并且使其巩固和保持已有的知识，这是获得新思路新发现的一条重要途径．ʌ参考文献ɔ［１］吴卓．类比推理在高中生物新课程教学中的应用研究［Ｄ］．长春：东北师范大学，２０１１．［２］陈慧敏．把握问题结构叩开解决问题大门 用连除解决问题 教学思考［Ｊ］．教育界：基础教育研究（中），２０１６（０６）：５７－５９．。

3.1．差异法的涵义
差异法（method of difference ），亦称求异 法：就是在被研究现象出现和不出现的正反 两个场合中，其余相关因素都相同，只有一 个相关因素不同，进而确定这一不同的相关 因素与被研究现象之间具有因果联系的逻辑 方法。
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3.2．差异法的运用过程（公式）
场 合 （不同的场景） 某甲 正面场合 某乙 反面场合 相关因素 （可能的原因） A B C D ～A B C D 被纳推理是简单枚举归纳推理 的发展和深化。它不仅考察了一类事物 对象具有某种属性，在考察中没有出现 反例，而且进一步探索、揭示了对象与 属性之间的因果关系，证明它们之间具 有必然性联系。因此，科学归纳法比简 单枚举法的结论要可靠得多。科学归纳 推理就在于要对事物对象与属性之间的 因果联系进行科学分析。
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三、科学归纳推理
科学归纳推理又叫因果关系归纳推理，是通过分析出一 类事物对象所以具有某种属性的原因，从而推出该类事物对 象都具有该种属性的归纳推理。 科学归纳推理的逻辑形式： S1是P， S2是P， S3是P， ∶ Sn是P， （S1……Sn是S类的部分对象，，且S、P之间具有因果系） 所以，所有S是P。 人死亡后2-4小时内会出现尸僵，因为人死后肌肉内的磷酸 腺苷会不断分解减少，使得肌肉脱水凝固而形成尸僵。
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科学归纳法与简单枚举法的不同：
简单枚举法 推理的根据 科学归纳法
前提中不出现 对象与属性之 反例 间具有因果联 系 非决定性 前提数量对结 决定性 论的意义 结论的可靠性 不高，或然性 高，或然性小 大
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四、弥尔方法
弥尔方法（Mill’s methods），国内通称“穆勒五 法”或“弥尔五法”，是探求因果联系的最简单 的逻辑方法，也是传统归纳逻辑的主要内容。 弥尔方法，最早是由英国逻辑学家l在“A Logical System : Ratiocinative and inductive ” （严复译为《穆勒名学》）中总结概括出来的逻 辑方法。

方程未知数等式类比推理方程未知数等式类比推理是一种常见的数学思维方法，它通过将一个问题中的方程、未知数、等式与另一个问题中的相似部分进行类比，从而得到解决问题的思路和方法。

这种方法在数学竞赛、物理竞赛、化学竞赛等各类科技竞赛中都有广泛应用。

本文将深入探讨方程未知数等式类比推理的主要内容和应用。

一、方程未知数等式在代数学中，方程、未知数和等式是三个基本概念。

其中，方程是指两个表达式之间用等号连接起来的算术关系；未知数是指在方程中出现但其具体取值尚不确定的量；而等式则是指两个表达式相同的关系。

例如，在以下方程中：2x + 3 = 72x - 1 = x + 42x^2 + 3x - 5 = 0其中，x就是未知数，而左边和右边之间用等号连接起来的算术关系就是等式。

二、类比推理类比推理是指通过发现两个或多个事物之间的相似点，从而得出它们之间可能存在其他共同点或关系的一种思维方法。

在数学中，类比推理常常被用来解决一些复杂的问题，特别是那些需要创造性思维的问题。

例如，在以下两个问题中：问题1：一个矩形的长是宽的3倍，它的面积是24平方米，求它的长和宽分别是多少？问题2：一个三角形的底边是高的3倍，它的面积是18平方米，求它的底边和高分别是多少？我们可以发现这两个问题有很多相似之处。

首先，它们都涉及到了一个图形和其属性（矩形或三角形、长或底边、宽或高、面积）。

其次，在两个问题中都存在一个数值关系（长与宽之间的3:1关系、底边与高之间的3:1关系），而这种数值关系可以用等式来表示。

因此，我们可以将这两个问题进行类比推理，并得到以下解法：设矩形的长为3x，宽为x，则有：3x * x = 24化简得：x^2 = 8因此，x = 2矩形的长为6，宽为2。

设三角形的底边为3x，高为x，则有：(1/2) * 3x * x = 18化简得：x^2 = 12因此，x = 2√3三角形的底边为6√3，高为2√3。

通过这个例子，我们可以看到，类比推理在解决数学问题时具有很大的优势。

数学类比推理解题技巧（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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小数加减法类比推理过程
小数加减法是数学中常见的运算，类比推理过程可以帮助我们更好地理解这些运算的原理和规则。

让我们从几个角度来进行类比推理过程：
1. 类比于整数加减法，我们可以将小数加减法类比于整数加减法。

整数加减法是指在整数之间进行加法和减法运算，小数加减法也是类似的，只不过是在小数之间进行运算。

我们可以用整数加减法的规则和性质来帮助理解小数加减法的运算规则。

2. 类比于分数加减法，另一个类比的角度是将小数看作分数的形式进行加减法运算。

在分数加减法中，我们需要找到它们的公共分母，然后进行加减运算。

类似地，对于小数加减法，我们也可以将小数转化为分数形式，然后进行相应的运算。

3. 类比于实际应用，小数加减法在日常生活中有很多应用，比如在购物、计算金钱、测量等方面。

我们可以通过类比实际应用的场景来理解小数加减法的过程，比如在购物中计算找零的过程，或者在测量中计算长度、重量等方面的运算。

4. 类比于图形表示，我们还可以通过图形的方式来类比推理小数加减法的过程。

比如，可以通过图形表示小数的大小和关系，然后进行加减法运算，这样有助于直观地理解小数加减法的规则和原理。

通过以上多个角度的类比推理过程，我们可以更全面地理解小数加减法的规则和原理，从而更好地掌握这一数学运算。

分母除数类比推理
除数类比，一种比较有效的解决方法。

往往，它能让我们尽快把复杂的问题变得简单可行，并在极短的时间内求出有用的结果。

以数学中的除数类比为例。

例如，当我们想要解决一个除法问题，用除数来把它分解，使我们能够用更少的时间找到有用的结果。

对于学生来说，除数分析同样有用。

当面对复杂的学习内容时，可以把它们分割成细节，然后以它们之间的联系以及比较关系来了解它们。

同样，除数分析也可以帮助我们快速捕捉学习内容的重点，更好地做出决策。

除数分析的应用远不止于此，它的概念也可以应用到其他领域。

它能很好地帮助我们解决复杂的问题，并尽可能地快速找到有用的结果，比如自然灾害，人文关系，经济状况以及政治热点等等。

综上所述，除数分析是一种独特而有效的方法，它能帮助我们把复杂的问题变得简单可行，在极短的时间内尽可能地求出有用的结果。

如果我们能在实践中充分发挥它的作用，那么它将为我们带来更大的帮助。

巧用类比推理，强化高中数学教学
类比推理是指通过比较两个或多个事物的相似之处，从而推断出它们之间的相似性质或关系。

在高中数学教学中，巧用类比推理可以使学生更加深入地理解概念和原理，提高学习效果。

以下是几个巧用类比推理加强高中数学教学的例子：
1. 集合与向量的类比
可以将集合和向量进行类比，因为它们都具有类似的概念和性质，比如元素、交集、并集、子集、向量的加法和数量乘法等。

引导学生比较两者之间的相似之处，从而更好地理解向量的性质和运算。

2. 函数与曲线的类比
可以将函数和曲线进行类比，因为它们都反映了变量之间的关系，在数学中都有重要的地位。

通过将函数图像与曲线进行对比，可以帮助学生更好地理解函数性质和方程的解法。

3. 应用题与数学模型的类比
可以将解决实际问题的应用题和建立数学模型进行类比，因为它们都涉及实际问题的转化和求解。

引导学生通过分析和归纳实际问题的特征，建立相应的数学模型，从而解决实际问题。

4. 三角函数与周期函数的类比
可以将三角函数和周期函数进行类比，因为它们都具有周期性的特点，而且三角函数也可以用周期函数来表示。

引导学生比较两者之间周期的性质和运算规律，从而更好地理解三角函数的性质和应用。

总之，通过巧用类比推理，可以帮助学生更好地理解数学概念和原理，提高数学思维和创新能力。

类比推理题答题技巧
1. 准确∶精确
A. 讨厌∶厌恶
B. 提升∶提拔
C. 渴望∶奢望
D. 接收∶接受
2. 数学家∶华罗庚
A. 文学家∶海顿
B. 历史学家∶梅特涅
C. 音乐家∶肖伯纳
D. 画家∶展子虔
3. 跆拳道∶韩国
A. 足球∶美国
B. 瑜珈∶泰国
C. 排球∶美国
D. 乒乓球∶中国
4. 蜂鸟∶鸵鸟
A. 梵蒂冈∶加拿大
B. 北冰洋∶大西洋
C. 马尔马拉海∶珊瑚海
D. 鄱阳湖∶青海湖
5. 蜿蜒∶固定
A. 鸳鸯∶蜻蜓
B. 垃圾∶根本
C. 照顾∶葡萄
D. 颤抖∶慵懒
1. A［解析］题干是两个同义词，选项中只有A项符合题意，C项感情色彩不符合，B和D 项中词的意思不一致。

2. D［解析］这是一个关于人物与其职业的题目，海顿是音乐家，梅特涅是政治家，肖伯纳是文学家，展子虔是画家，所以答案选D。

3. C［解析］这是一个关于运动与其起源国家的题目。

近代足球起源于英国，瑜珈起源于印度，乒乓球起源于英国。

4. C［解析］题干中蜂鸟是最小的鸟，鸵鸟是最大的鸟，而C项中马尔马拉海是最小的海，珊瑚海是最大的海，与题干相似，所以选C。

A项梵蒂冈是最小的国家，但加拿大不是最大的国家；B项北冰洋是最小的洋，但最大的洋是太平洋；D项鄱阳湖是最大的淡水湖，青海湖是最大的咸水湖。

5. B［解析］题干中前一个词是连绵词，后一个是同义复合词，A项两个都是连绵词，C项前一个是同义复合词，后一个是连绵词，D项两个都是同义复合词。

有理数负整数类比推理有理数是由整数和分数共同组成的数，其中，分数分为正分数和负分数，整数也是可以分为正整数和负整数。

在数学的学习中，常常会用到有理数的负整数类比推理，这也是数学中的基础推理方法之一。

因此，在本文中，我们将详细讲述有理数的负整数类比推理。

一、有理数的定义在讲解有理数的负整数类比推理之前，我们首先需要了解有理数的定义。

有理数是可以表示为两个整数之比的数，其中，分母不能为0。

而且，由于整数也可以表示为分母为1的分数，因此可以将整数看作是有理数的一种特殊情况。

有理数可以分为正数和负数。

其中，正数表示大于0的数，负数表示小于0的数。

在数轴上，正数位于0的右侧，负数位于0的左侧。

二、负整数的定义在数学中，负整数是指带有负号的整数，例如：-1、-2、-3…等等。

和正整数不同的是，负整数不是大于0的数，而是小于0的数。

在数轴上，负整数位于0的左侧，而且负整数的绝对值越大，则数轴上距离0的距离越远。

例如-2比-1距离0更远。

负数与正数的比较也同样适用于负整数与正整数的比较。

例如-3小于0，-2小于-1，-1小于1，1小于2.三、有理数的负整数类比推理有理数的负整数类比推理，是通过了解一个已有的负整数的性质，来判断另一个负整数的性质的一种推理方法。

也就是说，我们可以通过对已知的负整数进行观察和推理，从而推断出其他负整数的性质和规律。

在有理数的负整数类比推理中，最基本的方法就是使用数轴进行推理。

因为数轴能够将所有的数展现出来，并清晰地表示数值的相对大小。

以数集{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}为例，它是由正负整数组成的一个数集。

假设现在我们已经知道-3是负整数中的一个数，那么通过“类比推理”，我们可以得出以下结论：1. -3是负整数，因此大于-3的所有负整数也都是负整数。

例如-2是一个负整数，因此我们可以推得-2也是负整数。

2. 在已知负整数-3和推得负整数-2的情况下，我们可以推出-3和-2之间的负整数也都是负整数。

小学生数学思维能力训练（19）——数学推理思维能力训练（类比推理二）既然类比推理在小学数学中有大量的运用，可见其地位的重要性。

于是，训练孩子的类比推理能力也是势在必行。

如：在12张球桌上同时进行乒乓球比赛，双打的比单打的多6人。

进行双打和单打比赛的乒乓球桌各有几张？家长：如果把条件“双打的比单打的多6人”改为“双打和单打的总人数为34人”，你会解答吗？孩子：那么改后问题中的数量关系，就与“鸡兔同笼”问题中的数量关系相同，可以采用假设的方法解答。

（今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？）家长：是的，都是在已经知道两种事物的两个总数量，去求这两种事物的。

但这道题只告诉了一个总数量和人数之间的关系，还能不能类比“鸡兔同笼”的方法来解答呢？孩子：可以试一试！家长：假设全是双打，你会得到什么？孩子：双打的人数为12×4=48人，单打人数就为0。

家长：此时，双打与单打相差48人，与条件相差6人不符，怎么办？孩子：从12桌双打中抽出一桌变为单打，那么双打人数就为11×4=44人，单打人数为1×2=2人。

这时双打与单打相差44-2=42人，也与条件不符。

家长：这样一桌一桌的调整，是可以找到符合条件的答案的。

但是，我们回头看一看刚才调整一桌双打为单打，人数之间的差值就减少6人（48-42=6），那么人数差从48减少到6，要减少几个6呢？说说你的发现。

孩子：从人数差48到人数差为6，要减少42，42÷6=7，所以人数差从48减少到6要减少7个6，也就是要减少7桌双打，变为单打。

这样双打就有5桌，单打就有7桌。

“鸡兔同笼”问题，是已知总头数和总足数，求鸡与兔的只数。

而本题中的乒乓球桌子数相当于总头数，单打与双打的总人数就相当于总足数。

所以与“鸡兔同笼”问题有着相同的数量关系，是完全可以类比其解法进行解答的。

难点就在于，这个总人数是未知的，只告诉了人数之间的关系。