2014届高三数学(理)第一轮《导数的应用二 》

[第13讲 变化率与导数、导数的运算](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[2013·江西卷] 若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1，0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－1，0) 2．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝2x －3D ．y ＝－2x －23．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－14．y ＝cos x 1－x的导数是( )A ．y ′＝cos x ＋sin x ＋x sin x（1－x ）2B ．y ′＝cos x －sin x ＋x sin x（1－x ）2C ．y ′＝cos x －sin x ＋x sin x1－xD ．y ′＝cos x ＋sin x －x sin x（1－x ）2能力提升5．[2013·沈阳模拟] 若函数y ＝x 33－x 2＋1(0<x <2)的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( )A.π4B.π6C.5π6D.3π46．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 7．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．2158．若曲线y ＝x －12在点⎝⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝( )A ．64B ．32C ．16D ．89．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π10．[2013·深圳模拟] 已知曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0处的切线与曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相平行，则x 0的值为________．11．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________．12．[2013·豫北六校联考] 已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________．13．已知f (x )＝e x －e－x e x ＋e－x ，则f ′(0)＝________．14．(10分)求下列函数的导数：(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ； (2)y ＝e 1－2x＋ln(3－x )；(3)y ＝ln 1－x1＋x.15．(13分)设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b(a ，b ∈Z )，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：函数y ＝f (x )的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．难点突破16．(12分)用导数方法求和：1＋2x＋3x2＋…＋nx n－1(x≠0，1，n∈N*)．课时作业(十三)【基础热身】1．C [解析] f ′(x )＝2x －2－4x >0，即x 2－x －2x>0.∵x >0，∴(x －2)(x ＋1)>0，∴x >2.2．A [解析] ∵y ′＝⎪⎪⎪2（x ＋2）2x ＝－1＝2，∴切线方程为y ＝2x ＋1. 3．A [解析] ∵y ′＝2x ＋a⎪⎪⎪)x ＝0＝a ，∴a ＝1，(0，b )在切线x －y ＋1＝0上，∴b ＝1.4．B [解析] y ′＝－（1－x ）sin x －（－1）cos x （1－x ）2＝cos x －sin x ＋x sin x（1－x ）2. 【能力提升】5．D [解析] y ′＝x 2－2x ，当0<x <2时，－1≤y ′<0，即－1≤tan α<0，故3π4≤α<π，α的最小值为3π4.6．D [解析] f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，即函数f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线的斜率是1，直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率是－a2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2×1＝－1，解得a ＝2.7．C [解析] f ′(x )＝[x ·(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′，所以f ′(0)＝a 1a 2…a 8＝(a 1a 8)4＝84＝212.8．A [解析] y ′＝－12x －32，所以k ＝－12a －32，切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )．令x ＝0，得y ＝32a －12；令y ＝0，得x ＝3a .所以三角形的面积是S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，解得a ＝64.9．D [解析] 由于y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4e x ＋1′＝－4e x（e x ＋1）2，而α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则k ＝tan α＝－4e x （e ＋1）<0.又(e x ＋1)2≥(2e x )2＝4e x ，当且仅当e x＝1，即x ＝0时，取等号，那么k ＝tan α＝－4e x （e x ＋1）2≥－1，即－1≤k <0，那么对应的α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 10．0或－23 [解析] 由题意2x 0＝－3x 20，解得x 0＝0或－23.11．ln2－1 [解析] y ′＝1x ，令1x ＝12得x ＝2，故切点(2，l n2)，代入直线方程，得ln2＝12×2＋b ，所以b ＝ln2－1.12．2 [解析] 函数y ＝ln(x ＋a )的导数为y ′＝1x ＋a ，设切点(x 0，y 0)，则切线方程为y －ln(x 0＋a )＝1x 0＋a (x －x 0)，即y ＝x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝1，ln （x 0＋a ）－x 0x 0＋a＝1，解得a ＝2.13．1 [解析] ∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －e －x e x ＋e －x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x －1e 2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2e 2x ＋1′＝2(e 2x ＋1)－2·e 2x·2＝4e 2x（e 2x ＋1）2，∴f ′(0)＝44＝1. 14．解：(1)y ′＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ′－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ′＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x . (2)y ′＝e 1－2x ·(1－2x )′＋13－x ·(3－x )′＝－2e 1－2x＋1x －3.(3)∵y ＝ln(1－x )－ln(1＋x )，∴y ′＝11－x ·(1－x )′＋11＋x (1＋x )′＝1x －1＋1x ＋1＝2xx 2－1.15．解：(1)f ′(x )＝a －1（x ＋b ）2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋12＋b ＝3，a －1（2＋b ）2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝94，b ＝－83.因为a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋1x －1.(2)证明：已知函数y 1＝x ，y 2＝1x都是奇函数．所以函数g (x )＝x ＋1x也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．而f (x )＝x－1＋1x －1＋1，可知函数g (x )的图象按向量a ＝(1，1)平移，即得到函数f (x )的图象，故函数f (x )的图象是以点(1，1)为中心的中心对称图形．(3)证明：在曲线上任取一点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0－1. 由f ′(x 0)＝1－1（x 0－1）2知，过此点的切线方程为y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1（x 0－1）2(x －x 0)．令x ＝1得y ＝x 0＋1x 0－1，切线与直线x ＝1交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1.令y ＝x 得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 交点为(2x 0－1，2x 0－1)． 直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1，1)．从而所围三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1|2x 0－1－1|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0－1|2x 0－2|＝2.所以，所围三角形的面积为定值2. 【难点突破】16．解：逆用导数公式，把1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1转化为等比数列{x n}的前n 项和的导数，求解和式的导数即可．1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1＝x ′＋(x 2)′＋(x 3)′＋…＋(x n )′＝(x ＋x 2＋x 3＋…＋x n)′ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x （1－x n ）1－x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x n ＋11－x ′ ＝[1－（n ＋1）x n ]（1－x ）＋（x －x n ＋1）（1－x ）21－（n＋1）x n＋nx n＋1＝（1－x）2。

2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第2章《基本初等函数、导数及其应用》（第1课时）（新人教A 版）一、选择题1．下列各组函数中表示同一函数的是( )A ．f (x )＝x 与g (x )＝(x )2B ．f (x )＝|x |与g (x )＝3x 3C ．f (x )＝lne x 与g (x )＝e ln xD ．f (x )＝x 2－1x －1与g (t )＝t ＋1(t ≠1)解析：选D.由函数的三要素中的定义域和对应关系进行一一判断，知D 正确．2．(2011·高考江西卷)若f (x )＝1log 12x ＋，则f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞) 解析：选A.由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＞0log 12x ＋＞0得－12＜x ＜0.3．(2012·高考福建卷)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π 解析：选B.∵g (π)＝0，f (0)＝0，故选B. 4.函数y ＝f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式为( ) A ．y ＝－|x |－1 B ．y ＝|x －1| C ．y ＝－|x |＋1 D ．y ＝|x ＋1|解析：选C.对照函数图象，分别把x ＝0代入解析式排除A ，把x ＝－1代入解析式排除B ，把x ＝1代入解析式排除D ，故选C.5．(2011·高考辽宁卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x， x ≤1，1－log 2x ， x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.当x ≤1时，由21－x≤2，知x ≥0，即0≤x ≤1.当x >1时，由1－log 2x ≤2，知x ≥12，即x >1，所以满足f (x )≤2的x 的取值范围是[0，＋∞)．二、填空题6．已知f (x －1x )＝x 2＋1x2，则f (3)＝________.解析：∵f (x －1x )＝x 2＋1x 2＝(x －1x)2＋2，∴f (x )＝x 2＋2，∴f (3)＝32＋2＝11. 答案：117．已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f 是从A 到B 的映射，f ：x →(x ＋1，x 2＋1)，则A 中元素2的象和B 中元素(32，54)的原象分别为________．解析：把x ＝2代入对应法则，得其象为(2＋1,3)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝32x 2＋1＝54，得x ＝12.所以2的象为(2＋1,3)，(32，54)的原象为12.答案：(2＋1,3)、128．(2012·高考陕西卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ＜0，则f (f (－4))＝________.解析：f (－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16，所以f (f (－4))＝f (16)＝16＝4.答案：4 三、解答题9．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，2x ，－1＜x ＜2，x 22，x ≥2，且f (a )＝3，求a 的值．解：①当a ≤－1时，f (a )＝a ＋2，由a ＋2＝3，得a ＝1，与a ≤－1相矛盾，应舍去． ②当－1＜a ＜2时，f (a )＝2a ，由2a ＝3，得a ＝32，满足－1＜a ＜2.③当a ≥2时，f (a )＝a 22，由a 22＝3，得a ＝±6，又a ≥2，∴a ＝ 6. 综上可知，a 的值为32或 6.10．(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )；(2)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式．解：(1)令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1.(2)x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 以－x 代x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．一、选择题1．(2012·高考山东卷)函数f (x )＝1x ＋＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2,0)∪(0,2] B ．(－1,0)∪(0,2] C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B.x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0x ＋1≠1，4－x 2≥0即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1x ≠0－2≤x ≤2，解得－1＜x ＜0或0＜x ≤2.2．(2012·高考江西卷)下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x解析：选D.当函数以解析式形式给出时，求其定义域的实质就是以使函数的解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．函数y ＝13x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而y ＝1sin x 的定义域为{x |x ∈R ，x ≠k π，k ∈Z }，y ＝ln xx的定义域为(0，＋∞)，y ＝x e x的定义域为R ，y ＝sin x x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．故选D.二、填空题3．下列对应中，①A ＝{x |x 是矩形}，B ＝{x |x 是实数}，f 为“求矩形的面积”； ②A ＝{x |x 是平面α内的圆}，B ＝{x |x 是平面α内的矩形}；f ：“作圆的内接矩形”；③A ＝R ，B ＝{x ∈R |x ＞0}，f ：x →y ＝x 2＋1；④A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x；⑤A ＝{x ∈R |1≤x ≤2}，B ＝R ，f ：x →y ＝2x ＋1. 是从集合A 到集合B 的映射的为________．解析：其中②，由于圆的内接矩形不唯一，因此f 不是从A 到B 的映射；其中④，A 中的元素0在B 中没有对应元素，因此f 不是A 到B 的映射．答案：①③⑤4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧23x －1x x 2 x ＜，若f (a )＜a ，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ≥0时，由23a －1＜a 得a ＞－3取a ≥0.当a ＜0时，由a 2＜a 得，0＜a ＜1，与a ＜0矛盾， 综上可知a 的取值范围是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞) 三、解答题5．下面是一个电子元件在处理数据时的流程图：(1)试确定y 与x 的函数关系式； (2)求f (－3)、f (1)的值； (3)若f (x )＝16，求x 的值．解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥1，x 2＋2，x ＜1.(2)f (－3)＝(－3)2＋2＝11；f (1)＝(1＋2)2＝9.(3)若x ≥1，则(x ＋2)2＝16，解得x ＝2或x ＝－6(舍)；若x ＜1，则x 2＋2＝16，解得x ＝14(舍)或x ＝－14. 即x ＝2或x ＝－14.。

2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编19：函数的极值与导数一、填空题1．（江苏省盐城市2014届高三上学期期中考试数学试题）已知函数()2(1)ln f x f x x '=-,则()f x 的极大值为________.【答案】2ln 22-2 ．（江苏省涟水中学2014届高三上学期（10月）第一次统测数学(理)试卷）设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-,记()()f x g x x=,若函数()g x 至少存在一个零点,则实数m 的取值范围是______. 【答案】21(,]e e -∞+3 ．（江苏省涟水中学2014届高三上学期（10月）第一次统测数学(理)试卷）对于三次函数32()f x ax bx cx d =+++,定义''()y f x =是函数'()y f x =的导函数.若方程''()0f x =有实数解0x ,则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”.有同学发现:任何一个三次函数既有拐点,又有对称中心,且拐点就是对称中心.根据这一发现,对于函数32()26322013sin(1)g x x x x x =-+++-,则 (2011)(2010)(2012)g g g -+-+++…(2013)g 的值为_______________.【答案】4025二、解答题4 ．（江苏省梁丰高级中学2014届第一学期阶段性检测一）已知函数()223241234--++-=x ax x x x f 在区间[]1,1-上单调递减,在区间[]2,1上单调递增.(1)求实数a 的值; (2)若关于x 的方程()m f x =2有三个不同的实数解,求实数m 的取值范围;(3)若函数()[]p x f y +=2log 的图像与x 轴无交点,求实数p 的取值范围.【答案】解:(1)由 ()2101'=⇒=a f 经检验符合 ;(不写检验扣1分) (2)()()()()211'-+--=x x x x f 易知函数在()()()()↓+∞↑↓-↑-∞-,22,11,1,1, 所以,函数有极大值()()382,1251-=-=-f f ,有极小值()12371-=f , 结合图像可知:⎪⎭⎫⎝⎛--∈38,1237m ;(3)若函数()[]p x f y+=2log 的图像与x 轴无交点,则必须有()()⎩⎨⎧=+>+无解有解10p x f p x f ,即()[]()⎩⎨⎧+=>+的值域内不在p x f y p x f 10max 而()[]p p x f +-=+125m ax ,函数()p x f y +=的值域为⎥⎦⎤⎝⎛+-∞-p 125, 所以有:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+->>+-p p 12510125,解之得:1217125<<p5 ．（江苏省宿迁市2014届高三上学期第一次摸底考试数学试卷）已知函数()l n 3()f x a x a x a =--∈R . (1)当0a ＞时,求函数()f x 的单调区间; (2)若函数()y f x =的图象在点(2(2))f ，处的切线的倾斜角为45︒,且函数21()()()2g x x nx mf x m n '=++∈R ，当且仅当在1x =处取得极值,其中()f x '为()f x 的导函数,求m 的取值范围;(3)若函数()y f x =在区间1(3)3，内的图象上存在两点,使得在该两点处的切线相互垂直,求a 的取值范围.【答案】解:(1)(1)()(0)a x f x x x-'=＞,当0a ＞时,令()0f x '＞得01x ＜＜,令()0f x '＜得1x ＞, 故函数()f x 的单调增区间为(01)，，单调减区间为(1)+∞，; (2)函数()y f x =的图象在点(2(2))f ，处的切线的倾斜角为45︒, 则(2)1f '=,即2a =-;所以212()(2)2g x x nx m x=++-，所以322222()m x nx m g x x n x x ++'=++=， 因为()g x 在1x =处有极值,故(1)0g '=,从而可得12n m =--,则322222(1)(22)()x nx m x x mx m g x x x ++---'==，又因为()g x 仅在1x =处有极值, 所以2220x mx m --≥在(0)+∞，上恒成立,当0m ＞时,由20m -＜,即0(0)x ∃∈+∞，,使得200220x mx m --＜, 所以0m ＞不成立,故0m ≤,又0m ≤且(0)x ∈+∞，时,2220x mx m --≥恒成立, 所以0m ≤;(注:利用分离变量方法求出0m ≤同样给满分.)(3)由(1)()(0)a x f x x x-'=＞得(01)，与(1)+∞，分别为()f x 的两个不同的单调区间, 因为()f x 在两点处的切线相互垂直,所以这两个切点一定分别在两个不同单调区间内故可设存在的两点分别为1122(,())(,())x f x x f x ，，其中121133x x ＜＜＜＜,由该两点处的切线相互垂直,得1212(1)(1)1a x a x x x --⋅=-, 即12212111x x x a x -=-⋅-,而111(02)x x -∈，,故2221(02)1x a x -⋅∈-，, 可得222(21)2a x a -＞,由20x ＞得2210a -＞,则222221a x a -＞,又213x ＜＜,则222321a a -＜,即234a ＞，所以a 的取值范围为33()()22-∞-+∞ ，，6 ．（江苏省扬州市扬州中学2014届高三10月月考数学试题）已知函数()ln ,(1,)f x ax x x e =+∈,且()f x 有极值.(1)求实数a 的取值范围; (2)求函数()f x 的值域.【答案】解:(1)由x ax x f ln )(+=求导可得:xa x f 1)('+= 令01)('=+=x a x f ,可得x a 1-=,∵),1(e x ∈,∴)1,1(1e x --∈- ,∴)1,1(ea --∈ 又因为),1(e x ∈所以,)(x f 有极值 所以,实数a 的取值范围为)1,1(e--.(2)由(Ⅰ)可知)(x f 的极大值为)1ln(1)1(aa f -+-=- 又∵ a f =)1(,1)(+=ae e f 由1+≥ae a ,解得e a -≤11 又∵ee 1111-<-<- ∴当ea -≤<-111时,函数)(x f 的值域为)]1ln(1,1(aae -+-+ x )1,1(a - a 1- ),1(e a -)('x f + 0 —)(x f单调递增 极大值 单调递减当e a e 111-<<-时,函数)(xf 的值域为)]1ln(1,(aa -+-. 7 ．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）已知函数2()()x f x ax x e =+,其中e 是自然数的底数,a R ∈.(1) 当0a <时,解不等式()0f x >;(2) 若()f x 在[-1,1]上是单调增函数,求a 的取值范围;(3) 当0a =时,求整数k 的所有值,使方程()2f x x =+在[k,k+1]上有解.【答案】⑴因为e 0x >,所以不等式()0f x >即为20ax x +>,又因为0a <,所以不等式可化为1()0x x a +<,所以不等式()0f x >的解集为1(0,)a-.⑵22()(21)e ()e [(21)1]e x x x f x ax ax x ax a x '=+++=+++,①当0a =时,()(1)e x f x x '=+,()0f x '≥在[11]-，上恒成立,当且仅当1x =-时 取等号,故0a =符合要求;②当0a ≠时,令2()(21)1g x ax a x =+++,因为22(21)4410a a a ∆=+-=+>, 所以()0g x =有两个不相等的实数根1x ,2x ,不妨设12x x >, 因此()f x 有极大值又有极小值.若0a >,因为(1)(0)0g g a -⋅=-<,所以()f x 在(11)-，内有极值点,故()f x 在[]11-，上不单调. 若0a <,可知120x x >>,因为()g x 的图象开口向下,要使()f x 在[11]-，上单调,因为(0)10g =>, 必须满足(1)0,(1)0.g g ⎧⎨-⎩≥≥即320,0.a a +⎧⎨-⎩≥≥所以203a -<≤.综上可知,a 的取值范围是2[,0]3-.⑶当0a =时, 方程即为e 2x x x =+,由于e 0x >,所以0x =不是方程的解,所以原方程等价于2e 10x x --=,令2()e 1x h x x =--,因为22()e 0x h x x '=+>对于()(),00,x ∈-∞+∞ 恒成立, 所以()h x 在(),0-∞和()0,+∞内是单调增函数,又(1)e 30h =-<,2(2)e 20h =->,31(3)e 03h --=-<,2(2)e 0h --=>,所以方程()2f x x =+有且只有两个实数根,且分别在区间[]12，和[]32--，上, 所以整数k 的所有值为{}3,1-.8 ．（江苏省苏州市2013-2014学年第一学期高三期中考试数学试卷）已知函数()ln ,2af x x a x a R =--∈,(I)求函数()f x 的单调区间;(II)若函数()f x 有两个零点12,x x ,(12x x <),求证:2121x a x a <<<<.【答案】解:(I)依题意有,函数的定义域为(0,)+∞,当0a ≤时,()ln ln 22a a f x x a x x a x =--=--()102a f x x'=->,函数()f x 的单调增区间为(0,)+∞,4 分当0a >时,ln ,2()ln 2ln ,02a x a x x a a f x x a x a a x x x a⎧--≥⎪=--=⎨--<<⎪⎩若x a ≥,2()1022a x a f x x x -'=-=>,此时函数单调递增,若x a <,()102a f x x '=--<,此时函数单调递减, 综上所述,当0a ≤时,函数()f x 的单调增区间为(0,)+∞,当0a >时,函数()f x 的单调减区间为(0,)a ,单调增区间为(,)a +∞ (II)由(I)知,当0a ≤时,函数()f x 单调递增,至多只有一个零点,不合题意; 则必有0a >,此时函数()f x 的单调减区间为(0,)a ,单调增区间为(,)a +∞, 由题意,必须()ln 02a f a a =-<,解得1a >由(1)1ln1102a f a a =--=->,()0f a <,得1(1,)x a ∈而22()ln (1ln )f a a a a a a a a =--=-- 下面证明:1a >时,1ln 0a a -->设()1ln g x x x =--,(1x >),则11()10x g x x x -'=-=>所以()g x 在1x >时递增,则()(1)0g x g >= 所以22()ln (1ln )0f a a a a a a a a =--=--> 又因为()0f a <,所以22(,)x a a ∈ 综上所述,2121x a x a <<<<9 ．（江苏省南莫中学2014届高三10月自主检测数学试题）已知函数2()(1)xf x e x ax =++.(Ⅰ)若曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线与x 轴平行,求a 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的极值.【答案】(1)22()(12)[(2)1]xxf x e x ax x a e x a x a '=++++=++++.因为曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线与x 轴平行,所以 (2)0f '=,即2(2)[42(2)1]0f e a a '=++++= 所以 3a =-(2)()(1)(1)xf x e x a x '=+++,令()0f x '=,则1--=a x 或1-=x ①当11a +=,即0a =时,2()(1)0xf x e x '=+≥, 函数()y f x =在()-∞+∞，上为增函数,函数无极值点; ②当(1)1a -+<-,即0a >时.x(1)a -∞--，1a --(11)a ---，1-(1)-+∞，()f x '+-+()f x↗极大值↘极小值↗所以 当1x a =--时,函数有极大值是1(2)a e a --+,当1x =-时,函数有极小值是2ae-; ③当(1)1a -+>-,即0a <时.x(1)-∞-，1-(11)a ---，1a --(1)a --+∞，()f x '+0 - 0 +()f x↗极大值↘极小值↗所以 当1x =-时,函数有极大值是2ae-,当1x a =--时,函数有极小值是1(2)a e a --+综上所述,当0a =时函数无极值;当0a >时,当1x a =--时,函数有极大值是1(2)ae a --+,当1x =-时,函数有极小值是2a e -;当0a <时,当1x =-时,函数有极大值是2ae-,当1x a =--时,函数有极小值是1(2)a e a --+10．（江苏省灌云县陡沟中学2014届高三上学期第一次过关检测数学试题）已知1x =是()2ln bf x x x x =++的一个极值点.(Ⅰ) 求b 的值;(Ⅱ) 求函数()f x 的单调递减区间;(Ⅲ)设3()()g x f x x =-,试问过点(2,5)可作多少条直线与曲线()y g x =相切?请说明理由.【答案】。

江苏省2014届一轮复习数学试题选编33：导数的应用（单调性、极值与最值）填空题1 ．（2009高考(江苏)）函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为___★___.2 ．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）已知函数f (x )=3(21)34,,a x a x tx x x t -+-≤⎧⎨->⎩，无论t 取何值，函数f (x )在区间(-∞，+∞)总是不单调．则a 的取值范围是__▲___．3 ．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）分别在曲线xy e =与直线1y ex =-上各取一点M 与N ,则MN 的最小值为_____.4 ．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）关于x 的不等式(21)ln 0ax x -≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立,则实数a 的值为_____.5 ．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）已知函数xmx x f -=ln )((R m ∈)在区间],1[e 上取得最小值4,则=m ____. 6 ．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）已知f (x )＝x 3，g (x )＝－x 2＋x －29a ，若存在x 0∈[－1，a3](a ＞0)，使得f (x 0)＜g (x 0)，则实数a 的取值范围是 ．解答题7 ．（2010年高考（江苏））设)(x f 使定义在区间),1(+∞上的函数,其导函数为)('x f .如果存在实数a 和函数)(x h ,其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0,使得)1)(()('2+-=ax x x h x f ,则称函数)(x f 具有性质)(a P .(1)设函数)(x f )1(12)(>+++=x x b x h ,其中b 为实数 ①求证:函数)(x f 具有性质)(b P ②求函数)(x f 的单调区间(2)已知函数)(x g 具有性质)2(P ,给定为实数，设m x x x x ,),,1(,2121<+∞∈21)1(x m mx -+=α,21)1(mx x m +-=β,且1,1>>βα,若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|,求m 的取值范围8 ．（江苏省姜堰市2012—2013学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) ）已知常数0>a,函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥+=,2,449,2,3243a x x a ax x a x x f (Ⅰ)求()x f 的单调递增区间;(Ⅱ)若20≤<a ,求()x f 在区间[]2,1上的最小值()a g ; (Ⅲ)是否存在常数t ,使对于任意⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫⎝⎛-∈222,2a t a t ax 时,()()()()()[]()t f x t f x f t fx t f x f -+≥+-222恒成立,若存在,求出t 的值;若不存在,说明理由.9 ．（江苏海门市2013届高三上学期期中考试模拟数学试卷）已知x=12是()2ln bf x x x x=-+的一个极值点(Ⅰ)求b 的值;(Ⅱ)求函数()f x 的单调增区间; (Ⅲ)设1()()g x f x x=-,试问过点(2,5)可作多少条曲线y=g(x )的切线?为什么?10．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）已知实数a ,b ,c R ∈,函数32()f x ax bx cx =++满足(1)0f =,设()f x 的导函数为()f x ',满足(0)(1)0f f ''>.(1)求ca的取值范围; (2)设a 为常数,且0a >,已知函数()f x 的两个极值点为1x ,2x ,11(,())A x f x ,22(,())B x f x ,求证:直线AB 的斜率2,96a a k ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦.11．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）已知函数2()ln f x x ax x =--,a ∈R .⑴若函数()y f x =在其定义域内是单调增函数,求a 的取值范围;⑵设函数()y f x =的图象被点(2,(2))P f 分成的两部分为12,c c (点P 除外),该函数图象在点P 处的切线为l ,且12,c c 分别完全位于直线l 的两侧,试求所有满足条件的a 的值.12．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）已知函数22()1x f x x x =-+,对一切正整数n ,数列{}n a 定义如下:112a =, 且1()n n a f a +=,前n 项和为n S . (1)求函数()f x 的单调区间,并求值域; (2)证明{}{}()(())x f x x x f f x x ===; (3)对一切正整数n ,证明:○1 1n n a a +<;○21n S <.13．（2013江苏高考数学）本小题满分16分.设函数ax x x f -=ln )(,ax e x g x-=)(,其中a 为实数.(1)若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数,且)(x g 在),1(+∞上有最小值,求a 的取值范围; (2)若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数,试求)(x f 的零点个数,并证明你的结论.14．（江苏省苏州市五市三区2013届高三期中考试数学试题 ）已知函数||ln )(2x x x f =,(1)判断函数)(x f 的奇偶性; (2)求函数)(x f 的单调区间;(3)若关于x 的方程1)(-=kx x f 有实数解,求实数k 的取值范围.15．（江苏省南京市四校2013届高三上学期期中联考数学试题）已知函数2()(1)x f x e x ax =++.(Ⅰ)若曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线与x 轴平行,求a 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的极值.16．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））设函数()1,()(1)2(x f x e g x e x e =+=-+是自然对数的底数).(1)判断函数()()()H x f x g x =-零点的个数,并说明理由; (2)设数列{}n a 满足:11(0,1),()(),n n a f a g a n N ++∈=∈且; ①求证:01n a <<;②比较a 与1(1)n e a +-的大小,17．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修历史））已知函数322()39(0)f x x ax a x a =--≠.(1)当a=l 时,解不等式()0f x >;(2)若方程2()12169f x nx ax a a =---在【l,2】恰好有两个相异的实根,求实数a 的取值范围(注:1n2≈0.69):(3)当a>0时,若()f x 在【0,2】的最大值为h(a),求h(a)的表达式.18．（江苏海门市2013届高三上学期期中考试模拟数学试卷）设函数2()ln f x ax b x =+,其中0ab ≠.证明:当0ab >时,函数()f x 没有极值点;当0ab <时,函数()f x 有且只有一个极值点,并求出极值.19．（南京市四星级高级中学2013届高三联考调研考试（详细解答）2013年3月 ）已知函数2233()[(log )(log )](log )(log )a x a x f x k x a x a =+--,2()(3)(log log )a x g x k x a =-+,(其中1a >),设log log a x t x a =+.(Ⅰ)当(1,)(,)x a a ∈⋃+∞时,试将()f x 表示成t 的函数()h t ,并探究函数()h t 是否有极值;(Ⅱ)当(1,)x ∈+∞时,若存在0(1,)x ∈+∞,使00()()f x g x >成立,试求k 的范围.20．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）(本小题满分16分)已知函数()ln a f x x x =+,21()222g x bx x =-+,,a b ∈R . ⑴求函数()f x 的单调区间;⑵记函数()()()h x f x g x =+,当0a =时,()h x 在(0,1)上有且只有一个极值点,求实 数b 的取值范围;⑶记函数()()F x f x =,证明:存在一条过原点的直线l 与()y F x =的图象有两个切点.21．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）已知函数()ln f x x x =-, ()ln ag x x x=+,(0a >). (1)求函数()g x 的极值;(2)已知10x >,函数11()()()f x f x h x x x -=-, 1(,)x x ∈+∞,判断并证明()h x 的单调性;(3)设120x x <<,试比较12()2x x f +与121[()()]2f x f x +,并加以证明.22．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）已知函数f(x)=(x-a)2()x b -,a,b 为常数,(1)若a b ≠,求证:函数f(x)存在极大值和极小值(2)设(1)中 f(x) 取得极大值、极小值时自变量的分别为12,x x ,令点 A11(,()x f x ),B 22(,()x f x ),如果直线AB 的斜率为12-,求函数f(x)和/()f x 的公共递减区间的长度(3)若/()()f x mf x ≥对于一切x R ∈ 恒成立,求实数m,a,b 满足的条件2012~2013学年度第一学期期末考23．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）已知函数3211()33f x x mx x m =--+,其中m ∈R.(1)求函数y =f (x )的单调区间;(2)若对任意的x 1,x 2∈[-1,1],都有12|()()|4f x f x ''-≤,求实数m 的取值范围; (3)求函数()f x 的零点个数.24．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）已知函数f (x )=12m (x -1)2-2x +3+ln x ,m ∈R.(1)当m =0时,求函数f (x )的单调增区间;(2)当m >0时,若曲线y =f (x )在点P (1,1)处的切线l 与曲线y =f (x )有且只有一个公共点,求实数m 的值.25 ．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）设()f x 是定义在(0 )+∞，的可导函数,且不恒为0,记()()()n n f x g x n x=∈*N .若对定义域内的每 一个x ,总有()0n g x <,则称()f x 为“n 阶负函数”;若对定义域内的每一个x ,总有[]()0n g x '≥,则称()f x 为“n 阶不减函数”([]()n g x '为函数()n g x 的导函数).(1)若31()(0)a f x x x x x =-->既是“1阶负函数”,又是“1阶不减函数”,求实数a 的取值范围;(2)对任给的“2阶不减函数”()f x ,如果存在常数c ,使得()f x c <恒成立,试判断()f x 是否为“2阶负函数”?并说明理由.26 ．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x(1) 求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程;(2) 求函数)(x f 单调区间;(3) 若存在]1,1[,21-∈x x ,使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数),求实数a 的取值范围.27 ．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）某地区注重生态环境建设,每年用于改造生态环境总费用为x 亿元,其中用于风景区改造为y 亿元.该市决定建立生态环境改造投资方案,该方案要求同时具备下列三个条件:①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加;②每年改造生态环境总费用至少a 亿元,至多b 亿元;③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的15%,但不得每年改造生态环境总费用的22%. (1)若2a =, 2.5b =,请你分析能否采用函数模型y =31(416)100x x ++作为生态环境改造投资方案;(2)若a 、b 取正整数,并用函数模型y =31(416)100x x ++作为生态环境改造投资方案,请你求出a 、b 的取值.28 ．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）记函数()()*1,n n f x a x a R n =⋅-∈∈N 的导函数为()n f x ',已知()3212f '=.(Ⅰ)求a 的值.(Ⅱ)设函数2()()ln n n g x f x n x =-,试问:是否存在正整数n 使得函数()n g x 有且只有一个零点?若存在,请求出所有n 的值;若不存在,请说明理由.(Ⅲ)若实数0x 和m (0m >,且1m ≠)满足:()()()()0101n n n n f x f m f x f m ++'=',试比较0x 与m 的大小,并加以证明.第二部分(加试部分)29 ．（江苏省苏南四校2013届高三12月月考试数学试题）已知函数()()f x ax bx x a b ∈323R ＝＋－，在点()(11)f ，处的切线方程为20.y ＋＝(1)求函数()f x 的解析式;(2)若对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值x x 12，，都有()()||f x f x c ≤12－，求实数c 的最小值.30 ．（江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市2013届高三第二次调研（3月）测试数学试题）设b >0，函数2111()(1)ln 2f x ax x bx ab b b =+-+，记()()F x f x '=（()f x '是函数()f x 的导函数），且当x = 1时，()F x 取得极小值2． （1）求函数()F x 的单调增区间；（2）证明[]()*()()22nn n F x F x n --∈N ≥．31 ．（2011年高考（江苏卷））已知a ,b 是实数,函数32(),(),f x x ax g x x bx =+=+ )(x f '和)(x g '是()f x 和()g x 的导函数,若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立,则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性一致.(1)设0>a ,若函数)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致,求实数b 的取值范围;(2)设,0<a 且b a ≠,若函数)(x f 和)(x g 在以a ,b 为端点的开区间上单调性一致,求||a b -的最大值32 ．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）已知函数f (x )=x 3+x 2-ax (a ∈R).(1)当a =0时,求与直线x -y -10=0平行,且与曲线y =f (x )相切的直线的方程; (2)求函数g (x )=f (x )x-a ln x (x >1)的单调递增区间; (3)如果存在a ∈[3,9],使函数h (x )=f (x )+f '(x )(x ∈[-3,b ])在x =-3处取得最大值,试求b 的最大值.33 ．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD 版）经观察,人们发现鲑鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能量为E =kv 3t ,其中v 为鲑鱼在静水中的速度,t 为行进的时间(单位:h),k 为大于零的常数.如果水流的速度为3 km/h,鲑鱼在河中逆流行进100 km.(1)将鲑鱼消耗的能量E 表示为v 的函数; (2)v 为何值时,鲑鱼消耗的能量最少?34．（2013届江苏省高考压轴卷数学试题）已知函数32()2f x x ax x =--+.(a R ∈).(1)当1=a 时,求函数)(x f 的极值;(2)若对x R ∀∈,有4'()||3f x x ≥-成立,求实数a 的取值范围.(满分40分,答卷时间30分钟)35．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD 版）设t >0,已知函数f(x )=x 2(x -t )的图象与x 轴交于A ､B 两点. (1)求函数f (x )的单调区间;(2)设函数y =f (x )在点P (x 0,y 0)处的切线的斜率为k ,当x 0∈(0,1]时,k ≥-12恒成立,求t的最大值;(3)有一条平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y =f (x )的图象有两个不同的交点C ,D ,若四边形ABCD 为菱形,求t 的值.36．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）已知函数()(0ln x f x ax x x=->且x ≠1).(1)若函数()f x 在(1,)+∞上为减函数,求实数a 的最小值;(2)若212,[e,e ]x x ∃∈,使f (x 1)≤2()f x a '+成立,求实数a 的取值范围.37．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）已知函数f (x )=(m -3)x3+ 9x .(1)若函数f (x )在区间(-∞,+∞)上是单调函数,求m 的取值范围; (2)若函数f (x )在区间[1,2]上的最大值为4,求m 的值.38．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）已知函数f(x)=ax 2+1,g(x)=x 3+bx,其中a>0,b>0.(Ⅰ)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点P(2,c)处有相同的切线(P 为切点), 求a,b 的值;(Ⅱ)令h(x)=f(x)+g(x),若函数h(x)的单调递减区间为[,23a b --],求: (1)函数h(x)在区间(一∞,-1]上的最大值M(a);(2)若|h(x)|≤3,在x∈[-2,0]上恒成立,求a 的取值范围.39．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）已知()()x x x g e x x ax x f )ln()(),0,(,ln --=-∈--=,其中e 是自然常数,.a R ∈(1)讨论1a =-时, ()f x 的单调性.极值; (2)求证:在(1)的条件下,21)(|)(|+>x g x f ;(3)是否存在实数a ,使()f x 的最小值是3,如果存在,求出a 的值;如果不存在,说明理由.40．（江苏省泰兴市2013届高三上学期期中调研考试数学试题）已知函数2()21(),()()f x x ax a f x f x '=++∈R 是的导函数.(1)若[2,1]x ∈--,不等式()()f x f x '≤恒成立,求a 的取值范围; (2)解关于x 的方程()|()|f x f x '=;(3)设函数(),()()()(),()()f x f x f x g x f x f x f x ''⎧=⎨'<⎩≥,求()[2,4]g x x ∈在时的最小值41．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）设0>a ，函数|1ln |)(2-+=x a x x f .(1) 当1=a 时,求曲线)(xf y =在1=x 处的切线方程; (2) 当),1[+∞∈x 时,求函数)(x f 的最小值.42．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）已知函数f(x)=12x 2+1nx. (Ⅰ)求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值、最小值; (Ⅱ)设g(x)=f(x),求证:[()]()22()nnng x g x n N +-≥-∈.43．（江苏省无锡市2013届高三上学期期中考试数学试题）为了保护环境,某化工厂在政府部门的支持下,进行技术改造:每天把工业废气转化为某种化工产品和符合排放要求的气体,经测算,该工厂每天处理废气的成本y (元)与处理废气量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为:[)[]⎪⎩⎪⎨⎧∈+-∈+=70,40,5000130240,10,100016123x x x x x y ,且每处理1吨工业废气可得价值为50元的某种化工产品.(1)当工厂日处理废气量[]70,40∈x 时,判断该技术改进能否获利?如果能获利,求出最大利润;如果不能获利,为了保证工厂在生产中没有亏损现象出现,国家至少每天财政补贴多少元?(2)若国家给予企业处理废气阶梯式财政补贴,当日废气处理量不足40吨时,给予每顿80元补贴,废气处理量不少于40吨时,超过40吨的部分再增加每顿55元的补贴,当工厂的日处理量为多少吨时,工厂处理每顿废气的平均收益最大?44．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）已知函数()ln ()ln ,xf x x x h x x =-=.(1)求()h x 的最大值;(2)若关于x 的不等式2()212xf x x ax ≥-+-对一切()0,x ∈+∞恒成立,求实数a 的取值范围;(3)若关于x 的方程()3220f x x ex bx -+-=恰有一解,其中e 为自然对数的底数,求实数b 的值.45．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）某商店经销一种奥运会纪念品,每件产品的成本为30元,并且每卖出一件产品需向税务部门上交a 元(a 为常数,2≤a≤5 )的税收.设每件产品的售价为x 元(35≤x≤41),根据市场调查,日销售量与xe (e 为自然对数的底数)成反比例.已知每件产品的日售价为40元时,日销售量为10件.(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x 元的函数关系式;(2)当每件产品的日售价为多少元时,该商品的日利润L(x)最大,并求出L(x)的最大值.46．（苏州市第一中学2013届高三“三模”数学试卷及解答）已知函数f (x )=13x 3+1－a2x 2-ax -a ,x ∈R,其中a >0. (1)求函数f (x )的单调区间;(2)若函数f (x )在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a 的取值范围;(3)当a =1时,设函数f (x )在区间[t ,t +3]上的最大值为M (t ),最小值为m (t ),记g (t )=M (t )-m (t ),求函数g (t )在区间[-3,-1]上的最小值.47．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）设函数b ax x x f n n ++-=3)((*N n ∈,R b a ∈,).⑴若1==b a ,求)(3x f 在[]2,0上的最大值和最小值;⑵若对任意]1,1[,21-∈x x ,都有1)()(2313≤-x f x f ,求a 的取值范围; ⑶若)(4x f 在]1,1[-上的最大值为21,求b a ,的值.48．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）已知a 为正的常数,函数2()ln f x ax x x =-+.(1)若2a =,求函数()f x 的单调增区间; (2)设()()f x g x x=,求函数()g x 在区间[]1,e 上的最小值.49．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）(1)设1x >-,试比较ln(1)x +与x 的大小;(2)是否存在常数N a ∈,使得111(1)1n kk a a n k=<+<+∑对任意大于1的自然数n 都成立?若存在,试求出a 的值并证明你的结论;若不存在,请说明理由.50．（2011年高考（江苏卷））请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A B C D 、、、四个点重合于图 中的点P ,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E F 、在AB 上,是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点, 设AE FB x cm ==(1)某广告商要求包装盒侧面积2()S cm 最大,试问x 应取何值?x 60x E F AB CD P⇒(2)某广告商要求包装盒容积3()V cm 最大,试问x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.51．（江苏省南京市四校2013届高三上学期期中联考数学试题）已知函数x x x x x f 2)1ln()1(2)(2--++=,[)+∞∈,0x ,求)(x f 的最大值.52．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）已知函数32()2f x x ax x =--+.(a R ∈).(1)当1=a 时,求函数)(x f 的极值;(2)若对x R ∀∈,有4'()||3f x x ≥-成立,求实数a 的取值范围.53．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）必做题, 本小题10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.设b >0,函数2111()(1)ln 2f x ax x bx ab b b =+-+,记()()F x f x '=(()f x '是函数()f x 的导函数),且当x = 1时,()F x 取得极小值2. (1)求函数()F x 的单调增区间;(2)证明[]()*()()22nn n F x F x n --∈N ≥.54．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）某商场对A 品牌的商品进行了市场调查，预计2012年从1月起前x 个月顾客对A 品牌的商品的需求总量)(x P 件与月份x 的近似关系是：1()(1)(412)(12)2P x x x x x x N *=+-≤∈且(1) 写出第x 月的需求量()f x 的表达式；(2)若第x 月的销售量22()21,17,()1(1096),712,3x f x x x x N g x x x x x x N e **⎧-≤<∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩且且 （单位：件），每件利润()q x 元与月份x 的近似关系为：10()x eq x x= ，问：该商场销售A 品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？（6403e ≈）55．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知函数()ln f x x x a x =--.(1)若a =1,求函数()f x 在区间[1,]e 的最大值; (2)求函数()f x 的单调区间;(3)若()0f x >恒成立,求a 的取值范围.56．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题 ）某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线2()1(0)f x ax a =->的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ,交曲线于点P ,设(,())P t f t (1)将OMN ∆(O 为坐标原点)的面积S 表示成t 的函数()S t ; (2)若在12t =处,()S t 取得最小值,求此时a 的值及()S t 的最小值.57．（江苏省海门市四校2013届高三11月联考数学试卷 ）设函数f (x )= e x-ax -2(Ⅰ)求f (x )的单调区间(Ⅱ)若a =1,k 为整数,且当x >0时,(x -k ) f´(x )+x +1>0,求k 的最大值OxyMNP58．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）已知函数22()ln ()a f x x a x a x=+-∈R .(1)讨论函数()y f x =的单调区间;(2)设2()24ln 2g x x bx =-+-,当a =1时,若对任意的x 1,x 2∈[1,e](e 是自然对数的底数),12()()f x g x ≥,求实数b 的取值范围.59．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）设函数2()(2)ln f x x a x a x =---.(1)求函数()f x 的单调区间;(2)若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数a 的值; (3)若方程()f x c =有两个不相等的实数根12,x x ,求证:12()02x x f +'>.60．（江苏省无锡市2013届高三上学期期中考试数学试题）已知函数x a x x f ln )()(-=,(0≥a ).(1)当0=a 时,若直线m x y +=2与函数)(x f y =的图象相切,求m 的值; (2)若)(x f 在[]2,1上是单调减函数,求a 的最小值;(3)当[]e x 2,1∈时,e x f ≤)(恒成立,求实数a 的取值范围.(e 为自然对数的底).61．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题 ）已知函数f (x )=a x +x 2-x ln a (a >0,a ≠1).(1)当a >1时,求证:函数f (x )在(0,+∞)上单调递增; (2)若函数y =|f (x )-t |-1有三个零点,求t 的值;(3)若存在x 1,x 2∈[-1,1],使得|f (x 1)-f (x 2)|≥e -1,试求a 的取值范围.62．（江苏省南京市四校2013届高三上学期期中联考数学试题）已知函数()ln f x x x =.(I)求函数()f x 的单调递减区间;(II)若2()6f x x ax ≥-+-在(0,)+∞上恒成立,求实数a 的取值范围; (III)过点2(,0)A e --作函数()y f x =图像的切线,求切线方程.江苏省2014届一轮复习数学试题选编33：导数的应用（单调性、极值与最值）参考答案 填空题1. 【答案】(1,11)-；【解析】2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。

2014届高三数学理科第一轮复习单元过关(4)考查：导数与积分 时间：90分钟一、选择题：1．某质点的运动方程是2)12(--=t t S ，则在t=1s 时的瞬时速度为 （ ）A ．－1B ．－3C ．7D ．132、函数xxy ln 1ln 1+-=的导数为（ ）A. ()2ln 12x y +-=¢ B.()2ln 12x x y +=¢ C.()2ln 11x x y +-=¢ D.()2ln 12x x y +-=¢ 3、若函数f(x)在区间（a ，b ）内函数的导数为正，且f(b)≤0，则函数f(x)在（a ， b ）内有（ ） A f(x) 〉0 B f(x)〈 0 C f(x) = 0 D 无法确定4、曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）A.( 1 , 0 )B.( 2 , 8 )C.( 1 , 0 )或(－1, －4)D.( 2 , 8 )和或(－1, －4) 5、已知32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A ．12a -<< B ．36a -<< C ．1a <-或2a > D ．3a <-或6a >6、函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f ¢在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个 7、若⎰=-k20)32(dx x x ，则k 等于 ( )A 0B 1C 0或1D 不确定8、设函数322()3(1)1f x kx k x k =+--+在区间(0,4)上是减函数，则k 的取值范围是（ ）6A ．13k <B ．103k <≤C ．103k ≤<D ．13k ≤二、填空题：9、y=sin(3x+1)的导数是 。

A [第14讲 导数在研究函数中的应用](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1的单调减区间为( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(－∞，0) D ．(0，2)2．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0，3) C ．(1，4) D ．(2，＋∞) 3．若函数y ＝f (x )的导函数．．．在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )4．[2013·潍坊模拟] 函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5能力提升5．设a ∈R ，若函数f (x )＝e ax＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a >－3 B ．a <－3C ．a >－13D ．a <－136．[2013·陕西卷] 设函数f (x )＝x e x，则( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点7．[2013·重庆卷] 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图K14－2所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)8．对函数f (x )＝2x ＋1x 2＋2，下列选项正确的是( )A ．函数有极小值f (－2)＝－12，极大值f (1)＝1B ．函数有极大值f (－2)＝－12，极小值f (1)＝1C ．函数有极小值f (－2)＝－12，无极大值D ．函数有极大值f (1)＝1，无极小值9．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，若f (x )在区间(－1，0)上单调递减，则a 2＋b 2的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，94C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫95，＋∞D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，95 10．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．11．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________．12．函数f (x )＝x ln x 的单调递增区间是________．13．函数f (x )＝sin x2＋cos x的单调递增区间是________．14．(10分)[2013·昌平二模] 已知函数f (x )＝4ln x ＋ax 2－6x ＋b (a ，b 为常数)，且x ＝2为f (x )的一个极值点．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)若函数y ＝f (x )有3个不同的零点，求实数b 的取值范围．15．(13分)设a >0，求函数f (x )＝x －ln(x ＋a )，x ∈(0，＋∞)的单调区间．难点突破16．(12分)已知函数f (x )＝(x 2＋ax －2a 2＋3a )e x(x ∈R )，其中a ∈R 且a ≠23，求函数f (x )的单调区间与极值．课时作业(十四)B [第14讲 导数在研究函数中的应用](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[2013·合肥质检] 已知函数f (x )的导函数的图象如图K14－3所示，若△ABC 为锐角三角形，则一定成立的是( )图K14－3A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (s in A )>f (sin B )D ．f (cos A )<f (cos B )2．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( ) A ．f (0)＋f (2)<2f (1) B ．f (0)＋f (2)≤2f (1) C ．f (0)＋f (2)≥2f (1) D ．f (0)＋f (2)>2f (1)3．若f (x )＝－12(x －2)2＋b ln x 在(1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1)4．设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x )( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均有零点B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点能力提升5．[2013·瑞安质检] 已知函数f ′(x )，g ′(x )分别是二次函数f (x )和三次函数g (x )的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图K14－4所示，设函数h (x )＝f (x )－g (x )，则( )图K14－4A ．h (1)<h (0)<h (－1)B ．h (1)<h (－1)<h (0)C ．h (0)<h (－1)<h (1)D ．h (0)<h (1)<h (－1)6．函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象如图K14－5所示，则x 21＋x 22等于( )A.89B.109C.169D.457．[2013·吉林质检] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则a b的值为( )A ．－23B ．－2C ．－2或－23D ．不存在8．[2013·绥化一模] 已知函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立(其中f ′(x )是f (x )的导函数)，若a ＝(30.3)·f (30.3)，b ＝(logπ3)·f (log π3)，c ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 319·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 319，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．c >a >b C ．c >b >a D ．a >c >b9．[2013·太原三模] 已知函数f (x ＋1)是偶函数，且x >1时，f ′(x )<0恒成立，又f (4)＝0，则(x ＋3)f (x ＋4)<0的解集为( )A ．(－∞，－2)∪(4，＋∞)B ．(－6，－3)∪(0，4)C ．(－∞，－6)∪(4，＋∞)D ．(－6，－3)∪(0，＋∞)10．已知函数f (x )的自变量取值区间为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为f (x )的保值区间．若g (x )＝x ＋m －ln x 的保值区间是[2，＋∞)，则m 的值为________．11．[2013·安徽示范高中联考] 若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1对任意x 1，x 2∈R 满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则实数m 的取值范围是________．12．函数f (x )＝xln x 的单调递减区间是________．13．若函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是________．14．(10分)[2013·邯郸一模] 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2ax ＋1a e ax(a >0)．(1)当a ＝1时，求函数f (x )的图象在点A (0，f (0))处的切线方程；(2)讨论函数f (x )的单调性．15．(13分)[2013·朝阳二模] 设函数f (x )＝a ln x ＋2a2x(a ≠0)．(1)已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线l 的斜率为2－3a ，求实数a 的值； (2)讨论函数f (x )的单调性；(3)在(1)的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x ，都有f (x )≥3－x .难点突破16．(12分)[2013·吉林质检] 设函数f (x )＝(x －1)2＋m ln x ，其中m 为常数．(1)当m >12时，判断函数f (x )在定义域上的单调性；(2)若函数f (x )有极值点，求实数m 的取值范围及f (x )的极值点；(3)当n ≥3，n ∈N 时，证明不等式1n 2<ln(n ＋1)－ln n <1n.课时作业(十四)A【基础热身】1．D [解析] 令f ′(x )＝3x 2－6x <0，解得0<x <2，故选D.2．D [解析] f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x， 令f ′(x )>0，解得x >2，3．A [解析] 因为函数y ＝f (x )的导函数．．．y ′＝f ′(x )在区间[a ，b ]上是增函数，即在区间[a ，b ]上各点处的斜率k 是递增的，由图易知选A.4．D [解析] 因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，且f (x )在x ＝－3时取得极值，所以f ′(－3)＝3×9＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5，故选D.【能力提升】 5．B [解析] f ′(x )＝3＋a e ax ，若函数在x ∈R 上有大于零的极值点，即f ′(x )＝3＋a e ax ＝0有正根．当有f ′(x )＝3＋a e ax ＝0成立时，由于e ax>0，显然有a <0，此时x ＝1a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a .由x >0得到参数a 的范围为a <－3.6．D [解析] f ′(x )＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)，因为e x >0恒成立，当f ′(x )>0时，x >－1，函数f (x )为单调增函数；当f ′(x )<0时，x <－1，函数f (x )为单调减函数．所以x ＝－1为极小值点．故选D.7．D [解析] 在x ＝－2左侧附近时，由图象知，y ＝(1－x )·f ′(x )＞0，则f ′(x )＞0，在x ＝－2右侧附近时，由图象知，y ＝(1－x )f ′(x )＜0，则f ′(x )＜0，所以函数在x ＝－2处取得极大值；在x ＝1左侧附近时，由图象知，y ＝(1－x )f ′(x )＜0，f ′(x )＜0，在x ＝1右侧附近时，由图象知，y ＝(1－x )f ′(x )＞0，则f ′(x )＜0，所以函数在x ＝1处没有极值；在x ＝2左侧附近时，由图象知，y ＝(1－x )f ′(x )＞0，则f ′(x )＜0，在x ＝2右侧附近时，由图象知，y ＝(1－x )f ′(x )＜0，则f ′(x )＞0，所以函数在x ＝2处取得极小值．8．A [解析] 令f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 2＋2′＝－2（x ＋2）（x －1）（x 2＋2）2＝0，得x ＝－2或x ＝1.当x <－2时f ′(x )<0，当－2<x <1时f ′(x )>0，当x >1时f ′(x )<0，故x ＝－2是函数的极小值点且f (－2)＝－12，x ＝1是函数的极大值点且f (1)＝1.9．C [解析] 根据三次函数的特点，函数f (x )在(－1，0)上单调递减等价于函数f (x )的导数f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 在区间(－1，0)上小于或等于零恒成立，即3－2a ＋b ≤0且b ≤0，把点(a ，b )根据a 2＋b 2的几何意义得，3－2a ＋b ＝0的距离的平方，即(a 2＋b 2)min ＝95.10．(－1，11) [解析] f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)， 由(x －11)(x ＋1)<0得f (x )的单调减区间为(－1，11)．11．3 [解析] f ′(x )＝2x （x ＋1）－（x 2＋a ）（x ＋1）2，f ′(1)＝3－a4＝0⇒a ＝3. 12.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ [解析] 由f ′(x )＝ln x ＋1>0得x >1e ，故f (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞. 13.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋2π3(k ∈Z ) [解析] f ′(x )＝（2＋cos x ）cos x －sin x （－sin x ）（2＋cos x ）2＝2cos x ＋1（2＋cos x ）2>0，即cos x >－12，结合三角函数图象或单位圆中的三角函数线知道，2k π－2π3<x <2k π＋2π3(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋2π3(k ∈Z )． 14．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．∵f ′(x )＝4x＋2ax －6，∴f ′(2)＝2＋4a －6＝0，则a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝4ln x ＋x 2－6x ＋b ，∴f ′(x )＝4x＋2x －6＝2x 2－6x ＋4x ＝2（x －2）（x －1）x，由f ′(x )>0可得x >2或0<x <1，由f ′(x )<0可得1<x <2. ∴函数f (x )的单调递增区间为(0，1)和(2，＋∞)，单调递减区间为(1，2)．(3)由(2)可知，函数f (x )在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，且当x ＝1或x ＝2时，f ′(x )＝0.∴f (x )的极大值为f (1)＝4ln1＋1－6＋b ＝b －5，f (x )的极小值为f (2)＝4ln2＋4－12＋b ＝4ln2－8＋b ，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝b －5>0，f （2）＝4ln2－8＋b <0.则5<b <8－4ln2.15．解：f ′(x )＝12x －1x ＋a (x >0)．当a >0，x >0时，f ′(x )>0⇔x 2＋(2a －4)x ＋a 2>0，f ′(x )<0⇔x 2＋(2a －4)x ＋a 2<0.(1)当a >1时，Δ＝(2a －4)2－4a 2＝16－16a <0，对∀x >0，有x 2＋(2a －4)x ＋a 2>0，即f ′(x )>0，此时f (x )在(0，＋∞)内单调递增．(2)当a ＝1时，对x ≠1，有x 2＋(2a －4)x ＋a 2>0，即f ′(x )>0，仅仅在x ＝1处导数等于零，故函数f (x )在(0，＋∞)内单调递增．(3)当0<a <1时，令f ′(x )>0，即x 2＋(2a －4)x ＋a 2>0，解得x <2－a －21－a 或x >2－a ＋21－a .而在0<a <1时，2－a －21－a >0，因此，函数f (x )在区间(0，2－a －21－a )内单调递增，在区间(2－a ＋21－a ，＋∞)内也单调递增，在区间(2－a －21－a ，2－a ＋21－a )内单调递减．综上，当a ≥1时，函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)；当0<a <1时，函数的单调递增区间是(0，2－a －21－a )和(2－a ＋21－a ，＋∞)，单调递减区间是(2－a －21－a ，2－a ＋21－a )．【难点突破】16．解：f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x －2a 2＋4a ]e x，令f ′(x )＝0解得x ＝－2a 或x ＝a －2.由a ≠23知－2a ≠a －2.以下分两种情况讨论．(1)若a >23，则－2a <a －2.以函数f (x )在x ＝－2a 处取得极大值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e －2a，函数f (x )在x ＝a －2处取得极小值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2.(2)若a <23，则－2a >a －2，所以函数f (x )在x ＝a －2处取得极大值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2；在x ＝－2a 处取得极小值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e －2a.课时作业(十四)B【基础热身】1．A [解析] 由导函数图象可知，x >0时，f ′(x )>0，即f (x )单调递增，又△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2，即π2>A >π2－B >0，故sin A >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B >0，即sin A >cos B >0，故f (sin A )>f (cos B )，选A.2．C [解析] 依题意，当x >1时，f ′(x )≥0，函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数(或常数函数)；当x <1时，f ′(x )≤0，f (x )在(－∞，1)上是减函数(或常数函数)，故f (0)≥f (1)，f (2)≥f (1)，故f (0)＋f (2)≥2f (1)．3．C [解析] 由题意可知f ′(x )＝－(x －2)＋bx≤0在x ∈(1，＋∞)上恒成立，即b ≤x (x －2)在x ∈(1，＋∞)上恒成立，由于φ(x )＝x (x －2)＝x 2－2x 在(1，＋∞)上的值域是(－1，＋∞)，故只要b ≤－1即可．4．D [解析] 由题得f ′(x )＝13－1x ＝x －33x，令f ′(x )>0得x >3；令f ′(x )<0得0<x <3；f ′(x )＝0得x ＝3，故函数f (x )在区间(0，3)上为减函数，在(3，＋∞)上为增函数，在点x ＝3处有极小值1－ln3<0.又f (1)＝13，f (e)＝e 3－1<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝13e＋1>0.故选D.【能力提升】5．D [解析] 取特殊值，令f (x )＝12x 2，g (x )＝13x 3，则h (0)<h (1)<h (－1)．6．C [解析] 从函数图象上可知x 1，x 2为函数f (x )的极值点，根据函数图象经过的三个特殊点求出b ，c ，d .根据函数图象d ＝0，且f (－1)＝－1＋b －c ＝0，f (2)＝8＋4b ＋2c＝0，解得b ＝－1，c ＝－2，故f ′(x )＝3x 2－2x －2.x 1，x 2是f ′(x )＝0的两个根，则x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝49＋43＝169. 7．A [解析] 由题f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9满足题意，故a b ＝－23，选A.8．B [解析] 因为函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，所以f (x )关于(0，0)中心对称，为奇函数，所以xf (x )为偶函数．又当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，故xf (x )在(－∞，0)上为减函数．由偶函数的性质得函数xf (x )在(0，＋∞)上为增函数，又⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 319>30.3>log π3>0，所以c >a >b . 9．D [解析] 函数f (x ＋1)是偶函数，其图象关于y 轴对称，这个函数图象向右平移1个单位得函数y ＝f (x )的图象，可得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，x >1时，f ′(x )<0恒成立，说明函数在(1，＋∞)上单调递减，根据对称性可得函数在(－∞，1)上单调递增．根据f (4)＝0可得当x >4时，f (x )<0，根据对称性可得当x <－2时，f (x )<0，当－2<x <1或1<x <4时，f (x )>0.不等式(x ＋3)f (x ＋4)<0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，f （x ＋4）<0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，f （x ＋4）>0.当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，f （x ＋4）<0时，⎩⎪⎨⎪⎧x >－3，x ＋4>4或x ＋4<－2， 解得x >0；当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，f （x ＋4）>0时，⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，－2<x ＋4<1或1<x ＋4<4， 解得－6<x <－3.故不等式(x ＋3)f (x ＋4)<0的解集为(－6，－3)∪(0，＋∞)．10．ln2 [解析] g ′(x )＝1－1x＝x －1x，当x ≥2时，函数g (x )为增函数，因此g (x )的值域为[2＋m －ln2，＋∞)，因此2＋m －ln2＝2，故m ＝ln2.11.13，＋∞ [解析] 由题意知，函数f (x )是R 上的单调增函数，∴f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ≥0在R 上恒成立，即Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥13.12．(0，1)，(1，e) [解析] 令f ′(x )＝ln x －1ln 2x<0，解得0<x <e ，但函数的定义域是x >0且x ≠1，故函数f (x )＝xln x的单调递减区间是(0，1)，(1，e)． 13.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ [解析] f ′(x )＝2mx ＋1x －2，函数f (x )在其定义域(0，＋∞)内为增函数的充要条件是2mx ＋1x －2≥0在(0，＋∞)内恒成立，即2m ≥－1x ＋2x在(0，＋∞)内恒成立，由于函数φ(x )＝－1x 2＋2x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12＋1≤1，故只要2m ≥1即可，即m ≥12.14．解：(1)a ＝1时，f (x )＝(x 2－2x ＋1)e x， f ′(x )＝(x 2－1)e x ，于是f (0)＝1，f ′(0)＝－1，所以函数f (x )的图象在点A (0，f (0))处的切线方程为y －1＝－(x －0)，即x ＋y －1＝0.(2)f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2a e ax ＋⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2ax ＋1a ·a ·e ax＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2a ＋ax 2－2x ＋1e ax ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋a －2a e ax ，∵a >0，e ax >0，∴只需讨论ax 2＋a －2a的符号．①当a ＞2时，ax 2＋a －2a＞0，这时f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数．②当a ＝2时，f ′(x )＝2x 2e 2x≥0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数．③当0＜a ＜2时，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2－a a ，x 2＝2－aa.函数．15．解：(1)f (x )的定义域为{x |x >0}，f ′(x )＝a x －2a 2x2.根据题意，f ′(1)＝2－3a ，所以a －2a 2＝2－3a ，即a 2－2a ＋1＝0， 解得a ＝1.(2)f ′(x )＝a x－2a 2x 2＝a （x －2a ）x2. ①a <0时，因为x >0，所以x －2a >0，a (x －2a )<0， 所以f ′(x )<0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ②当a >0时，若0<x <2a ，则a (x －2a )<0，f ′(x )<0，函数f (x )在(0，2a )上单调递减； 若x >2a ，则a (x －2a )>0，f ′(x )>0，函数f (x )在(2a ，＋∞)上单调递增．综上所述，当a <0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a >0时，函数f (x )在(0，2a )上单调递减，在(2a ，＋∞)上单调递增．(3)由(1)可知f (x )＝ln x ＋2x.设g (x )＝f (x )－(3－x )，即g (x )＝ln x ＋2x＋x －3.g ′(x )＝1x －2x 2＋1＝x 2＋x －2x 2＝（x －1）（x ＋2）x 2(x >0)．当xx ＝1是g (x )g (x )的最小值点． 可见g (x )最小值＝g (1)＝0，所以g (x )≥0，即f (x )－(3－x )≥0，所以对于定义域内的每一个x ，都有f (x )≥3－x . 【难点突破】16．解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2(x －1)＋m x＝2x 2－2x ＋m x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋m －12x(x >0)．当m >12时，f ′(x )>0对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴函数f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数．(2)由(1)知，当m >12时，函数f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，没有极值点．当m ＝12时，f ′(x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122x≥0，函数f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，没有极值点．当m <12时，令f ′(x )＝0得，x 1＝1－1－2m 2，x 2＝1＋1－2m 2.①当m ≤0时，x 1＝1－1－2m 2≤0∉(0，＋∞)，则x 2＝1＋1－2m 2≥1∈(0，＋∞)，当x 变化情况如下表：②当0<m <12时，0<x 1<x 2<1，列表：综上，当m ≤0时，f (x )有唯一极小值点x 2＝1＋1－2m2；当0<m <12时，f (x )有极大值点x 1＝1－1－2m 2和极小值点x 2＝1＋1－2m2.(3)证明：由(2)知，m ＝－1时，函数f (x )＝(x －1)2－ln x ，此时，函数f (x )有唯一极小值点x ＝1＋1－2m 2＝1＋32，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋32时，f ′(x )<0，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋32上是减函数，∵n ≥3时，0<1<1＋1n ≤43<1＋32，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n <f (1)，即1n2－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n <0，∴n ≥3时，1n2<ln(n ＋1)－ln n .令函数h (x )＝(x －1)－ln x (x >0)，则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x，当x >1时，h ′(x )>0，h (x )在(1，＋∞)上是增函数，∵n ≥3时，1<1＋1n，∴h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n >h (1)，即1n－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n >0，∴n ≥3时，ln(n ＋1)－ln n <1n.综上，当n ≥3，n ∈N 时，不等式1n 2<ln(n ＋1)－ln n <1n恒成立．。

高三数学一轮复习 16.导数的应用（二）极值与最值学案【学习目标】理解极值的概念，会用导数求多项式函数的极大值、极小值及闭区间上的最大值、最小值或以极值、最值为载体求参数的范围.预习案1．函数的极值(1)设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x) f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有的点，都有f(x) f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值．(2)当函数f(x)在x0处连续时，判别f(x0)是极大(小)值的方法：如果x<x0有f′(x) 0，x>x0有f′(x) 0，那么f(x0)是极大值；如果x<x0有f′(x) 0，x>x0有f′(x) 0，那么f(x0)是极小值．2．求可导函数f(x)极值的步骤(1) ； (2) ；(3)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得．3．函数的最值的概念设函数y＝f(x)在上连续，在内可导，函数f(x)在[a，b]上一切函数值中的最大(最小)值，叫做函数y＝f(x)的最大(最小)值．4．求函数最值的步骤设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最值，可分两步进行：(1) ；(2) ．【预习自测】1．已知函数f(x)＝x3＋a x2＋bx＋c，下列结论中错误的是 ( ) A．∃x0∈R，f(x0)＝0 B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)上单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝02．若函数y＝e x＋mx有极值，则实数m的取值范围 ( )A．m>0 B．m<0 C．m>1 D．m<13．函数y＝ln2xx的极小值为________．4．已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＝________，n＝________. 5．若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为________．探究案题型一利用导数求函数极值例1. 设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．(1)确定a的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值．探究1：已知a∈R，求函数f(x)＝x2·e ax的单调区间与极值．题型二利用极值求参数值例2：(1)函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]有极大值又有极小值，则a的取值范围是________．(2)已知f(x)＝ax5－bx3＋c(a>0)．若f(x)在x＝±1处有极值，且极大值为4，极小值为1，则 a= ，b= ，c=（3）已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.①设a＝2，求f(x)的单调区间；②设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围题型三利用导数求函数最值:例3：已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间； (2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．题型四利用最值求参数值例4：设f(x)＝－13x3＋12x2＋2ax.(1)若f(x)在(23，＋∞)上存在单调递增区间，求a的取值范围；(2)当0<a<2时，f(x)在[1,4]上的最小值为－163，求f(x)在该区间上的最大值．我的学习总结：（1）我对知识的总结 . （2）我对数学思想及方法的总结。

课时作业(十五) [第15讲 导数的应用(二)](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( ) A ．π－1 B.π2－1C ．πD ．π＋12．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围为( ) A ．0≤a <1 B ．0<a <1 C ．－1<a <1 D ．0<a <123．函数f (x )＝e xcos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( ) A ．0 B.π4C ．1 D.π24．函数f (x )＝x 3－3x 2－a 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是________________． 能力提升5．已知f (x )＝12x 2－cos x ，x ∈[－1，1]，则导函数f ′(x )是( )A ．仅有最小值的奇函数B ．既有最大值，又有最小值的偶函数C ．仅有最大值的偶函数D ．既有最大值，又有最小值的奇函数6．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，若对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为( )A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)7．做一个圆柱形锅炉，容积为V ，两个底面的材料每单位面积的价格为a 元，侧面的材料每单位面积的价格为b 元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( )A.a bB.a 2bC.b aD.b 2a8．对于R 上可导的任意函数f (x )，满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( ) A ．f (0)＋f (2)＜2f (1) B ．f (0)＋f (2)≤2f (1) C ．f (0)＋f (2)≥2f (1) D ．f (0)＋f (2)＞2f (1)9．[2012·浙江卷] 设a >0，b >0，e 是自然对数的底数( ) A ．若e a ＋2a ＝e b＋3b ，则a >b B ．若e a ＋2a ＝e b＋3b ，则a <b C ．若e a －2a ＝e b－3b ，则a >b D ．若e a －2a ＝e b－3b ，则a <b10．[2012·荆州模拟] 设动直线x ＝m 与函数f (x )＝x 3，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则|MN |的最小值为________．11．若函数f (x )＝－x 3＋mx 2＋1(m ≠0)在(0，2)内的极大值为最大值，则m 的取值范围是________．12．若a >3，则方程x 3－ax 2＋1＝0在(0，2)上恰有________个实根．13．[2012·南京一模] 若关于x 的方程kx ＋1＝ln x 有解，则实数k 的取值范围是________．14．(10分)已知a 为实数，函数f (x )＝(x 2＋1)(x ＋a )，若f ′(－1)＝0，求函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1上的最大值和最小值．15．(13分)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (L)关于行驶速度x (km/h)的函数解析式可以表示为：y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0＜x ≤120)．已知甲、乙两地相距100 km.(1)当汽车以40 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？难点突破16．(12分) [2012·石家庄二模] 己知函数f(x)＝(x2－ax＋a)e x(a<2，e为自然对数的底数)．(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若存在x∈[－2，2]，使得f(x)≥3a2e2，求实数a的取值范围．课时作业(十五)【基础热身】1．C [解析] f ′(x )＝1－cos x ≥0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数，所以f (x )的最大值为f (π)＝π－sin π＝π，故选C.2．B [解析] f ′(x )＝3x 2－3a ，－3a <0得a >0，令f ′(x )＝0，可得a ＝x 2.又x ∈(0，1)，所以0<a <1.3．B [解析] f ′(x )＝(e x cos x )′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′＝e x cos x ＋e x(－sin x )＝e x (cos x －sin x )，则函数f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率k ＝f ′(0)＝e 0＝1，故切线的倾斜角为π4，故选B.4．(－∞，－4)∪(0，＋∞) [解析] f ′(x )＝3x 2－6x .令f ′(x )＝0有x ＝0或x ＝2. 当x <0时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，f (x )是减函数；当x >2时，f ′(x )>0，f (x )是增函数．因为f (x )有且只有一个零点，所以f (0)<0或f (2)>0，得a >0或a <－4.【能力提升】5．D [解析] f ′(x )＝x ＋sin x ，显然f ′(x )是奇函数，令h (x )＝f ′(x )，则h (x )＝x ＋sin x ，求导得h ′(x )＝1＋cos x .当x ∈[－1，1]时，h ′(x )>0，所以h (x )在[－1，1]上单调递增，有最大值和最小值．所以f ′(x )是既有最大值又有最小值的奇函数．6．B [解析] 令g (x )＝f (x )－2x －4，则g ′(x )＝f ′(x )－2＞0，所以由g (x )在R 上递增．又g (－1)＝f (－1)－2＝0.所以由g (x )＞0，得x ＞－1.故选B.7．C [解析] 如图，设圆柱的底面半径为R ，高为h ，则V ＝πR 2h .造价为y ＝2πR 2a ＋2πRhb ＝2πaR 2＋2πRb ·V πR 2＝2πaR 2＋2bV R，所以y ′＝4πaR －2bV R 2.由题意，令y ′＝0，得2R h ＝ba.8．C [解析] 由(x －1)f ′(x )≥0，得x ≥1时，f ′(x )≥0；x ≤1时，f ′(x )≤0， ①函数y ＝f (x )在(－∞，1]上单调递减，f (0)＞f (1)；在[1，＋∞)上单调递增，f (2)＞f (1)．所以f (0)＋f (2)＞2f (1)．②函数y ＝f (x )可为常数函数，则f (0)＋f (2)＝2f (1)．故选C.9．A [解析] 由e a＋2a ＝e b＋3b ，有e a＋3a >e b＋3b ，令函数f (x )＝e x＋3x ，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∵f (a )>f (b )，∴a >b ，A 正确，B 错误；由e a－2a ＝e b－3b ，有e a－2a <e b－2b ，令函数f (x )＝e x－2x ，则f ′(x )＝e x－2，函数f (x )＝e x －2x 在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增，当a ，b ∈(0，ln2)时，由f (a )<f (b )，得a >b ，当a ，b ∈(ln2，＋∞)时，由f (a )<f (b )得a <b ，故C ，D 错误．10.13(1＋ln3) [解析] 由题意知|MN |＝|x 3－ln x |，设h (x )＝x 3－ln x ，h ′(x )＝3x 2－1x ，令h ′(x )＝0，得x ＝313，易知当x ＝313时，h (x )取得最小值，h (x )min ＝13－13ln 13＝131－ln 13>0，故|MN |min ＝131－ln 13＝13(1＋ln3)． 11．(0， 3) [解析] f ′(x )＝－3x 2＋2mx ＝x (－3x ＋2m )．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2m 3.因为x ∈(0，2)，所以0<2m3<2，所以0<m <3.12．1 [解析] 设f (x )＝x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝3x 2－2ax ＝x (3x －2a )，由于a >3，则在(0，2)上f ′(x )<0，f (x )为减函数，而f (0)＝1>0，f (2)＝9－4a <0，则方程x 3－ax 2＋1＝0在(0，2)上恰有1个实根．13．－∞，1e 2 [解析] 因x >0，所以分离参数可得k ＝ln x －1x ，因为方程kx ＋1＝ln x有解，所以k 的取值为函数f (x )＝ln x －1x 的值域．又f ′(x )＝1x ·x －（ln x －1）x 2＝2－ln xx2，令f ′(x )＝0，则x ＝e 2.当x ∈(0，e 2)时，f ′(x )>0；当x ∈(e 2，＋∞)时，f ′(x )<0.所以f (x )max ＝f (e 2)＝1e 2，故实数k 的取值范围是－∞，1e2.14．解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1.因为f ′(－1)＝0，∴3－2a ＋1＝0，即a ＝2.所以f ′(x )＝3x 2＋4x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13(x ＋1)．由f ′(x )≥0，得x ≤－1或x ≥－13；由f ′(x )≤0，得－1≤x ≤－13.因此，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1上的单调递增区间为－32，－1和－13，1，单调递减区间为－1，－13.所以f (x )在x ＝－1取得极大值f (－1)＝2，f (x )在x ＝－13取得极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝5027.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝138，f (1)＝6，且5027>138，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1上的最大值为f (1)＝6，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝138.15．解：(1)当x ＝40 km/h 时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5 h ．要耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫1128 000×403－380×40＋8×2.5＝17.5 L. 所以当汽车以40 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5 L. (2)当速度为x km/h 时，汽车从甲地到乙地行驶100xh ，设耗油量为h (x )升，依题意得h (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8·100x ＝11 280x 2＋800x －154(0＜x ≤120)．h ′(x )＝x640－800x ＝x 3－803640x(0＜x ≤120)，令h ′(x )＝0，得x ＝80，当x ∈(0，80)时，h ′(x )＜0，h (x )是减函数； 当x ∈(80，120]时，h ′(x )＞0，h (x )是增函数． 所以当x ＝80时，h (x )取得极小值h (80)＝11.25. 因此h (x )在(0，120]上只有一个极值，也是它的最小值．所以，当汽车以80 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25 L. 【难点突破】16．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝(x 2－x ＋1)e x，切点为(1，e)， 于是有f ′(x )＝(x 2＋x )e x，k ＝f ′(1)＝2e ， 所以切线方程为y ＝2e x －e. (2)f ′(x )＝x (x －a ＋2)e x，令f ′(x )＝0，得x ＝a －2<0或x ＝0， ①当－2≤a －2<0，即0≤a <2时，当0≤a <2时，有f (2)≥f (a －2)，若存在x ∈[－2，2]使得f (x )≥3a 2e 2，只需e 2(4－a )≥3a 2e 2，解得－43≤a ≤1，所以0≤a ≤1.②当a －2<－2，即a <0时，因为e －2(4＋3a )<e 2(4－a )， 所以f (2)>f (－2)，若存在x ∈[－2，2]使得f (x )≥3a 2e 2，只需e 2(4－a )≥3a 2e 2， 解得－43≤a ≤1，所以－43≤a <0.综上所述，有－43≤a ≤1.。