2017——2018学年度下学期期初考试高一数学试卷时间：120分钟 满分：150分第I 卷一、选择题（共12题，每题只有一个正确答案，每小题5分，共60分）1.已知R 为全体实数，集合{}{}(1)(2)0,,41A x x x x Z B x x =-+≤∈=-<<，则集合A B ⋂=()A.{}2,1,0--B.{}21x x -≤< C.{}21x x -≤≤ D.{}2,1,0,1-- 2.若直线()120x m y ++-=和直线240mx y ++=平行，则m 的值为( ) A.1 B.-2 C.1或-2 D.23- 3.已知空间两条不同的直线,m n 和两个不同的平面,αβ，则下列命题正确的是( ) A.若//,,m n αα⊂ 则//m n B.若,,m m n αβ⋂=⊥则n α⊥ C.//,//,//m n m n αα若则 D.若//,,,m m n αβαβ⊂⋂= 则//m n4.执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为( )A.5B.4C.3D.25.已知定点()4,0-A ,O 为坐标原点，以OA 为直径的圆C 的方程是( )A.()4222=++y x B.()16222=++y xC.()4222=++y x D.()16222=++y x6.函数()()2lg 31f x x =+的定义域为( )A.11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭B.1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C.1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭7.运行下面的程序时，while 循环语句的执行次数是( )N=0 A.3 B.4 C.15 D.25 While N<20 N=N+1 N=N*N End N 8.若直线l 经过点()21，A ,且在x 轴上的截距的取值范围是()4,2，则其斜率的取值范围是( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛--2123， B.⎪⎭⎫ ⎝⎛--322，C.()2,23⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭， D.31,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，9.若函数()f x 为奇函数，且在()0,+∞上是增函数，又()20f =，则()()0f x f x x--<的解集为( )A.()(),20,2-∞-B.()(),22,-∞-+∞C.()()2,00,2-D.()()2,02,-+∞ 10.下列大小关系正确的是( )A.0.43＜30.4＜log 40.3 B.0.43＜log 40.3＜30.4C.log 40.3＜0.43＜30.4D.log 40.3＜30.4＜0.4311.利用“长方体1111ABCD A BC D -中，四面体11A BC D ”的特点，求得四面体PMNR (其中PM NR PN MR MN PR =====)的外接球的表面积．．．．．．．为 ( ) A.13π B.14π C.15π D.16π12.已知圆O ：x 2＋y 2－4＝0，圆C ：x 2＋y 2＋2x －15＝0，若圆O 的切线l 交圆C 于A ，B 两点，则△OAB 面积的取值范围是( )A.[27，215]B.[27，8]C.[23，215]D.[23，8]第II 卷二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）13.用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法运算的次数是_______________ 14.已知直线02:1=--y ax l 和直线()012:2=+-+y x a l 互相垂直，则实数a 的值为_______15.已知函数f (x )＝()⎪⎩⎪⎨⎧<-⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-2,1212,2x x x a x 满足对任意的实数x 1≠x 2都有f x 1 －f x 2 x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为16.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为三、解答题（共6题，共70分）17.（10分）三角形ABC 的三个顶点A （－3，0）、B （2，1）、C （－2，3），求： （1）BC 边上中线AD 所在直线的方程； （2）BC 边的垂直平分线DE 的方程．18.（12分）如图C,D 是以AB为直径的圆上的两点，2AB AD AC BC ===,F 是AB 上的一点，且13AF AB =,将圆沿AB 折起，使点C 在平面ABD 的射影E 在BD 上，已知CE =. （1）求证：AD ⊥平面BCE ；（2）求证AD ∥平面CEF ； （3）求三棱锥A-CFD 的体积.19. （12分）经市场调查，某种小家电在过去50天的销售量（台）和价格（元）均为销售时间t （天）的函数，且销售量近似地满足()()N t t t t f ∈≤≤+-=,5012002 前30天价格为()()N t t t t g ∈≤≤+=,3013021后20天价格为()().,503145N t t t G ∈≤≤=（I ）写出该种商品的日销售额S （元）与时间t 的函数关系； （II ）求日销售额S （元）的最大值.20.（12分）如图，在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，已知,221AB AD DD DC ===DC AB DC AD //,⊥.(1) 求证;11AC C D ⊥(2) 设E 是.,//11并说明理由平面的位置，使上一点，试确定BD A E D E DC21.（12分）已知函数g （x ）=ax 2﹣2ax +1+b （a ＞0）在区间[0，3]上有最大值4和最小值0．设()()xx g x f =.（1）求a 、b 的值；（2）若不等式()022≥⋅-xxk f 在x ∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k 的取值范围；22.（12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆C 的方程为422=+y x ，点M ()32-，. （1）求过点M 且与圆C 相切的直线方程；（2）过点M 任作一条直线与圆C 交于A,B 两点，圆C 与x 轴正半轴的交点为P ，求证：直线PA 与PB 的斜率之和为定值.2017——2018学年度下学期期初考试高一数学试卷答案三、选择题【解析】：S △OAB ＝12|AB |·2＝|AB |，设C 到AB 的距离为d ，则|AB |＝242－d 2，又d ∈[1,3]， 7≤42－d 2≤15，所以S △OAB ＝|AB |∈[27，215]．二、填空题（共4题，每小题5分，共20分） 13、 4 14、1- 15 16备注：15题：∵对任意的实数x 1≠x 2都有f x 1 －f x 2x 1－x 2<0成立，∴当x 1<x 2时，f (x 1)>f (x 2)，可得函数f (x )是定义在R 上的减函数，因此，①当x ≥2时，函数f (x )＝(a －2)x 为一次函数且为减函数，有a <2…(*)；②当x <2时，f (x )＝x ⎪⎭⎫ ⎝⎛21－1也是减函数．同时，还需满足：2(a －2)≤221⎪⎭⎫⎝⎛－1，解之得a ≤138，再结合(*)可得实数a 的取值范围是：⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-813,16题：由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由主视图和左视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的.在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示. 在图(1)中，V 棱柱ABC －A 1B 1C 1＝S △ABC ·AA 1＝12×4×3×5＝30，V 棱锥P －A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·PB 1＝13×12×4×3×3＝6.故几何体ABC －PA 1C 1的体积为30－6＝24..三、解答题（共6题，共70分）17、解：（1）线段BC 中点D （0，2）， ············2分 所求 直线方程为 2x -3y +6=0；············5分（2）所求直线的方程为2x -y +2+0.···········10分18、（1）证明：依题意：⊥AD BD⊥CE 平面ABD ∴⊥CE ADBD E CE = ∴⊥AD 平面BCE ． ………………4分（2）证明：BCE Rt ∆中，2=CE ，6=BC ∴2=BEABD Rt ∆中，32=AB ，3=AD ∴3=BD ．∴32==BD BE BA BF ． ∴EF AD // AD 在平面CEF 外，EF 在平面CEF 内，∴//AD 平面CEF ． ………………8分（3）解：由（2）知EF AD //，⊥AD ED ，且1=-=BE BD ED ∴F 到AD 的距离等于E 到AD 的距离为1． 231321=⋅⋅=∆FAD S ． ⊥CE 平面ABD∴662233131=⋅⋅=⋅⋅==∆--CE S V V FAD AFD C CFD A ． ………………12分19、（1）当301≤≤t 时，由题知，.600040)3021()2002()()(2++-=+⋅+-=⋅=t t t t t g t f S当5031≤≤t 时，由题知，900090)2002(45)()(+-=+-=⋅=t t t G t f S . 所以日销售额S与时间t的函数关系为;5031,900090301,6000402⎩⎨⎧≤≤+-≤≤+-=t t t t t S ......................................5分（2）当301≤≤t ，Nt ∈时，,6400)20(2+--=t S 当.640020max 元时，==S t ..............8分当5031≤≤t ，Nt ∈时，.6210319000-90max 元时，是减函数，当==+=S t t S ....11分.6400,64006210元的最大值为则S < ...............................................................................12分20、(1)证明 在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，连接C 1D ， ∵DC ＝DD 1，∴四边形DCC 1D 1是正方形，∴DC 1⊥D 1C 又AD ⊥DC ，AD ⊥DD 1，DC ∩DD 1＝D ，∴AD ⊥平面DCC 1D 1，D 1C ⊂平面DCC 1D 1，∴AD ⊥D 1C∵AD ，DC 1⊂平面ADC 1，且AD ∩DC 1＝D ， ∴D 1C ⊥平面ADC 1，........................................5分又AC 1⊂平面ADC 1，∴D 1C ⊥AC 1...............................................................................6分 (2)解当E 是DC 的中点时，可使D 1E ∥平面A 1BD ................................................7分证明：连接AD 1，连接AE ，设AD 1∩A 1D ＝M ，BD ∩AE ＝N ，连接MN ，E 是DC 的中点，∴AB＝DE 且//AB DCABED ∴∴四边形为平行四边形,N 为AE 的中点.，.M 为AD 1的中点，//MN DE ∴..............................................10分111MN A BD D E A BD ⊂⊄ 平面，平面∴D 1E ∥平面A 1BD (1)2分21、解：（1）函数g （x ）=ax 2﹣2ax +b +1=a （x ﹣1）2+1+b ﹣a ，····························1分因为a ＞0，所以g （x ）在区间[2，3]上是增函数，故()()⎩⎨⎧==4301g g ，即⎩⎨⎧=++=++-41301b a b a ，解得．····················································4分（2）由已知可得f （x ）=x +﹣2，所以，不等式f （2x ）﹣k •2x ≥0可化为 2x+﹣2≥k •2x，可化为 1+（）2﹣2•≥k ，令t =，则 k ≤t 2﹣2t +1．因 x ∈[﹣1，1]，故 t ∈[，2]．故k ≤t 2﹣2t +1在t ∈[，2]上恒成立．记h （t ）=t 2﹣2t +1，因为 t ∈[，2]，故 h （t ）min =h （1）=0， 所以k 的取值范围是（﹣∞，0]． ················································12分22、解：（1）若过点M 的直线斜率不存在，则直线2=x 与圆相切；·····································1分 若过点M 的直线斜率存在，设为k ，则切线方程为()23-=+x k y ，整理得， 032=---k y kx ，由21322=+--k k ，得125-=k . 则直线方程为：026125=++y x 综上，切线方程为2=x 或026125=++y x ················································4分（2）由题意知，直线的斜率存在，设为m ，联立⎩⎨⎧=+--=43222y x k kx y ，得()()051246412222=++++-+k k x k k x k .⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++=++=+≥∆22212221151241640k k k x x k k k x x()()()42124342232232222121212122112211++-++++-=---+---=-+-=+x x x x k x x k x kx x k kx x k kx x y x y k k PB PA44128512412128818122416102482222322323++--++++++----++=k k k k k k k k k k k k k k k34912==·············································12分。
