课题：椭圆及其标准方程 - 湖北民族学院

课题：椭圆及其标准方程一、内容与内容解析本章的内容是建立在必修课程中平面解析几何初步的基础之上，共分三大块：椭圆、双曲线、抛物线。

这一节的内容是椭圆，学科指导意见指出对椭圆要求有一个较全面的了解，而对双曲线只作一般性了解，对抛物线只作一般性了解，不需要作深入的研究，可见三块内容中以椭圆最为重要。

同时又指出对椭圆、双曲线的第二定义不作要求，体现了与老教材的区别，因此在难度上应当适把握。

建立曲线方程是解析几何的主要内容之一，而通过研究方程来研究曲线的性质又是解析几何的另一个主要内容，这就是解几何通过代数方法研究几何图形性质的特点，也就是坐标法，它是研究几何问题的重要方法，在教学过程中应该绐终贯穿坐标法这一重要思想，不怕重复。

通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现形和数的统一。

椭圆这部分内容分成4个课时，椭圆及其标准方程2个课时，椭圆的简单几何性质2个课时。

它的教学重点为：椭圆的标准方程及几何性质性，和坐标法的基本思想。

二、目标与目标解析基本要求：1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、焦点、焦距等基本概念。

3.掌握椭圆的标准方程，能根据已知条件求出椭圆的标准方程。

4.能求出椭圆上满足某些条件的点的坐标。

发展要求：1.掌握求曲线方程的一些基本方法。

2.掌握利用曲线方程研究曲线的几何性质的基本方法。

3.了解生成椭圆的一些方法。

三、教学问题诊断分析1.经历椭圆形成过程中对其本质特征的提炼。

教师加以引导及时纠错。

2.椭圆标准方程的推导，及其化简。

3.椭圆标准方程中引入及其意义。

本节教学难点是：椭圆标准方程的推导与化简单，坐标法的应用。

四．教学条件支持结合PPT及几何画板五．教学设计（一）创设情境：全班28个同学每2人一组，分给每组一条绳子和一张白纸，让两个学生协作动手画图，（一个固定绳子两端，一个用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在纸上慢慢移动），使其探究性学习，再提出以下问题：师：取一条一定长的细绳，把它的两端固定在纸上，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在纸上慢慢移动，可画出什么？（学生兴趣很高，两人合作好的，一下子就画好了，也有些花了好大劲才画好）生1：椭圆生2：线段师：那你们是怎么画的？生1：我让绳子长大于两定点距离就画出了椭圆。

《椭圆及其标准方程》说课稿尊敬的各位评委:大家好！我说课的内容是《椭圆及其标准方程》, 下面, 我将从教材分析, 学情分析, 教学目标, 教学方法, 教学过程设计, 教学设计说明几个方面来进行阐述.一、教材分析1.课标要求:《椭圆及其标准方程》是人教A版普通高中课程选修2-1第二章的第二节内容.课程标准对这部分内容的要求是：“经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程, 掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质”.2.教材地位“椭圆及其标准方程”是《圆锥曲线》第一节的内容；在前面学生已经学习了运用坐标法研究了直线和圆的性质,及曲线与方程的关系,对椭圆概念与方程的研究是坐标法的深入,为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础,因此, “椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用.二、学情分析(1)在学习本课之前学生已学习了直线和圆的方程及其性质, 曲线与方程的关系, 对解析几何有一定的了解, 已有一定的观察、分析、解决问题的能力.这为本节课的学习奠定了必要的知识基础.(2)在日常生活中, 学生对椭圆有了一定的认识, 但仍没有上升到成为“概念”的水平, 将感性认识理性化将会是对他们的一个挑战.含有两个根式的方程的化简也会使学生的探究受阻, 教师要适时加以点拨.三、教学目标分析根据教学内容的地位和作用, 结合学生的实际, 确定了以下教学目标:1.掌握椭圆的定义及其标准方程；通过对椭圆标准方程的探求, 熟悉求曲线方程的一般方法.2.在椭圆概念的形成过程及其标准方程的推导过程中,培养学生的归纳概括能力、动手实践能力、分析问题、解决问题的能力及运算能力.3.在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系, 体会数形美的统一, 激发学生学习数学的兴趣, 培养学生敢于探索, 勇于创新的精神.教学重点和难点:1.重点: 感受建立曲线方程的基本过程, 掌握椭圆的标准方程及其推导方法.为了突出重点, 让学生动手实践, 自主探索, 通过画图揭示椭圆上的点所要满足的条件, 由此得出定义, 推出方程.2.难点: 椭圆标准方程的推导.为了突破难点, 关键是抓住“怎样建立坐标系”和“怎样简化方程”两个环节来进行方程的推导.四、教学方法及准备(一)教学方法本节课采用让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导的教学方法, 并以多媒体手段辅助教学, 使学生经历实践、观察、交流、分析、概括等理性思维的基本过程, 切实改进学生的学习方式, 使学生真正成为学习的主人.（二）教学准备教师准备:多媒体课件学生准备: 一支铅笔、两个图钉(或胶带)、一根细绳、一张硬纸板.五、教学过程设计按照“引入课题——形成概念——推导方程——对比分析——例题讲解——归纳小结——作业布置”这七个环节来组织教学, 层层推进, 实现教学目标.(一)创设情境, 引入课题本节课的开始由多媒体演示“神舟八号”无人飞船与“天宫一号”目标飞行器进行了空间交会对接, 绕地球旋转运行的画面.提出问题: “神州八号”的轨道是什么形状？待学生回答后,请学生叙述生活中见到的椭圆形象, 并用课件展示我所搜集的椭圆形象, 让学生形成椭圆的感性认识, 引入课题.[设计意图] 这一过程充分调动学生的学习兴趣, 激发学生的探究心理,为引出新知做铺垫.通过举例和展示生活中椭圆形的图片, 让学生认识到椭圆和日常生活关系密切.使他们感受数学的应用价值, 同时培养学生学会用数学眼光去观察周围事物的能力.(二)实验探索, 形成概念有了对椭圆的感性认识,如何来研究椭圆呢?提出问题: 曲线可以看作适合某种条件的点的集合或轨迹.椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？这时借助于多媒体演示椭圆的画法, 请学生拿出准备的学具动手画图, 并思考问题.在学生思考的过程中我继续用问题引导: 圆是如何定义的,圆是满足什么条件的点的轨迹呢?学生回答后我继续追问: 在画图的过程中, 哪些量在变, 哪些量保持不变？学生根据自己的实验, 观察回答: “两定点间的距离没变, 绳子的长度没变, 点在运动.”我继续提问：你们能根据刚才画椭圆的过程, 类比圆的定义, 归纳概括出椭圆的定义吗？先让学生独立思考,尝试归纳,然后进行小组合作交流,教师重点关注学困生,适时给予点拨指导.几分钟后,大部分学生都能得到椭圆的定义:“平面内与两个定点的距离之和为常数的点的轨迹叫椭圆.”接着对得到的概念进行剖析, 提出问题: 这个常数是任意的吗？给学生两分钟时间进行思考、讨论、交流, 尝试找出答案, 若有困难, 教师借助于演示实验再次探索观察, 学生不难发现, 这个常数必须大于两定点间的距离.这样, 就得到了完整的椭圆定义：平面内与两个定点、的距离之和等于常数（大于|F F |）的点的轨迹叫做椭圆。

《椭圆及其标准方程》教课方案胥娟一、教材及学情分析1 ．《椭圆及其标准方程》是高中数学选修1-1 （人教版）中的内容，分三课时完成.第一课时讲解椭圆的定义及其标准方程；第二课时讲解运用椭圆的定义及其标准方程解题，牢固求曲线方程的两种基本方法，即待定系数法、定义法；第三课时讲解运用中间变量法求动点轨迹方程的基本思路。

本节是第一课时 .2．本节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线的方程的看法有了必定认识，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学惯用坐标法学习曲线。

椭圆的学习可认为后边学习双曲线、抛物线供给基本模式和理论基础 . 所以这节课有承前启后的作用，是本章和本节的要点内容之一。

3．运用多媒体形象地给出椭圆，经过让学生自已着手作图，“定性”地画出椭圆，再经过坐标法“定量”地描述椭圆，使之从感性到理性抽象归纳，形式看法，推出方程。

二、教课目标分析1.知识与技术目标：掌握椭圆的定义和标准方程；明确焦点、焦距的看法；理解椭圆标准方程的推导。

2.过程与方法目标：经过让学生踊跃参加、亲自经历椭圆定义和标准方程的获取过程；体验坐标法在办理几何问题中的优胜性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形联合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。

3.感情态度与价值观目标：经过主动研究、合作学习，相互交流，感觉研究的乐趣与成功的愉悦，养成脚踏实地的科学态度和契而不舍的研究精神。

三、学习者特色分析1．在此以前，学生已学过坐标法解决几何问题，学过圆的定义与标准方程，但掌握不够，2．从研究圆到研究椭圆，跨度较大，学生思想上存在阻碍.3．在求椭圆标准方程时，会遇到比较复杂的根式化简问题，而这些在目前初中代数中都没有详细介绍，初中代数不可以完整满足学习本节的需要。

4．该班学生是高二文科生，数学基础整体较差。

5．经过近一学期的指引、鼓舞，学生学习数学的踊跃性较高。

谈论：对学习者知识基础、运算能力、学习兴趣和认知特色分析较到位，能和相应的教课方法激发学生的兴趣、锻炼提高运算能力和学生学习过程的踊跃性。

《椭圆及其标准方程》教学设计一、学习对象分析本节课是高二数学课程内容，经过前期学习，学生已具备探究有关点的轨迹问题的知识基础和学习能力。

这个阶段的学生还以抽象逻辑思维为主要发展趋势，但仍需要依赖一定具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。

本节内容对学生的分析能力要求较高。

二、教学目标1知识与技能目标1 掌握椭圆的定义（理解椭圆、椭圆的焦点和焦距的定义）及其标准方程；2 通过对椭圆标准方程的探求，进一步感受曲线方程的概念，增强运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力，体会数形结合的数学思想；3 会根据条件写出椭圆的标准方程。

2过程与方法目标1 学生通过动手画椭圆、讨论探究椭圆定义、自主推导椭圆标准方程的过程，提高动手能力、合作学习能力和运用知识解决实际问题的能力；2 通过对实际问题分析，培养学生利用数形结合思想解决问题、将抽象转化为具体、归纳知识、逻辑思维以及建模方面的能力；3情感态度与价值观目标1 在引入椭圆概念的过程中，让学生亲自动手画图，让学生体会知识产生的全过程，帮助学生树立运动、变化的辩证唯物主义思想。

2 在椭圆定义的分析中，还可借助计算机实践操作，拓展知识面，激发学生学习数学的兴趣，通过小组积分的方式贯穿课堂，增强学生的竞争意识和合作意识。

3 通过椭圆方程的建模过程，体会数学的简洁美、对称美及其理性和严谨，帮助学生形成严谨的科学态度。

三、学习重、难点1重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的定义及标准方程。

突破重点关键：运用道具演示椭圆的形成，使学生从感性认识上升到理性认识。

2难点：椭圆标准方程的建立和应用。

突破难点关键：掌握建立坐标系与应用的方法。

四、教法、学法设计1教法新课标的理念倡导“以人为本”，强调“以学生发展为核心”。

由于高三1班的重点班学生思维比较活跃，又有相应的知识基础，所以本节课主要采用探究式、启发式相结合的教学方法，并充分利用多媒体、计算机软件和自制教具辅助教学，体现多媒体快捷、形象、大容量的优势与自制教具直观、实用优势的结合。

3.1.1《椭圆及其标准方程》一、教学内容分析本节课是高中新课程人教A版数学选择性必修第一册第三章3.1《椭圆》的第一节《椭圆及其标准方程》.继学习圆之后，继续采用坐标法，在探究圆锥曲线集合特征的基础上，建立它们的坐标，得到方程。

从知识上说，它是对前面所学的运用坐标法研究曲线的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础. 因此，这节课有承前启后的作用，是本节乃至本章的重点. 课标要求：“经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义及标准方程.”二、三维目标（1）知识与技能：①了解椭圆的实际背景，经历从具体情景中抽象出椭圆模型的过程；②理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过程.（2）过程与方法：①亲身经历椭圆定义和标准方程的获取过程，掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想；②会用运动变化的观点研究问题，提高坐标法解决几何问题的能力.（3）情感态度与价值观：①通过主动探究、合作学习，感受探索的乐趣与成功的喜悦；培养认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索创新的科学精神.②通过椭圆知识的学习，进一步体会到数学知识的和谐美，几何图形的对称美；提高学生的审美情趣.三、学习者特征分析从生活经验储备来看：高二学生对椭圆实物实例有所了解，但只限于感性认识，缺少理性分析；从知识储备来看：已经掌握曲线和方程的关系，求曲线方程的方法和步骤，具备一定的观察能力和分析问题的能力. 学生认识了椭圆的实物，却无法像“圆”一样，定性、定量分析，产生概念；从学习心理方面来看：已具备了对几何图形的一定水平层次的想象能力，已具备一定的逻辑推理能力和分析问题的能力。

这个阶段的学生还以抽象逻辑思维为主要发展趋势，他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。

从年龄特征上来看：高二学生身体和心理正趋于成熟，骨子里有一种敢创敢拼的冲劲，对新生事物敢于发表自己的见解和观点。

课题：椭圆及其标准方程教材：普通高中课程标准试验教科书——《数学》选修2-1 一、教材分析：《椭圆及其标准方程》是高中数学新教材选修2—1第二章第二节的第一课时。

从知识上说，它是运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础；所以说，无论从教材内容，还是从教学方法上都是起着承上启下的作用，它是学好本章内容的关键。

因此搞好这一节的教学，具有非常重要的意义。

二、教学目标分析：（一）知识与技能目标: 准确理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程及其推导.（二）过程与方法目标: 通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学生观察、辨析、归纳问题的能力.（三）情感态度与价值观目标：（1）通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣.（2）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识.三、教学重点、难点：（一）．重点：椭圆定义及其标准方程（二）．难点：椭圆标准方程的推导四、教学方法与教学手段采用启发和探究式教学相结合的教学模式，即在教师的引导下，创设情境，学生利用课前准备的工具亲自动手画出椭圆，并讨论椭圆上的点满足的条件，以此来充分调动学生学习的主动性和积极性，发展学生数形结合，等价转换等思想，培养学生综合运用知识解决问题的能力。

教学手段：计算机课件辅助教学。

五、教学过程：（一）认识椭圆，探求规律:1．对椭圆的感性认识.通过演示课前老师准备的有关椭圆的图片，让学生从感性上认识椭圆.2．通过演示动画，展示椭圆的形成过程，使学生认识到椭圆是点按一定“规律”运动的轨迹.（二）动手实验，亲身体会用上面所总结的规律，指导学生互相合作（主要在于动手），体验画椭圆的过程（课前准备细绳），并以此了解椭圆上的点的特征.请两名同学上黑板画（三）归纳定义，完善定义我们通过动画演示，实践操作，对椭圆有了一定的认识，下面由同学们归纳椭圆的定义.椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F =2c ）的点的轨迹叫做椭圆。

课题：2.2.1 椭圆及其标准方程（第一课时）【课标要求】1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程． 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．【考纲要求】（1）掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程。

（2）了解圆锥曲线的初步应用。

编写者试图通过本节教材，使学生系统地掌握坐标法并进一步激活数形结合的数学思想。

【教学目标叙写】根据学生在日常生活中的经验积累，对椭圆形状有了初步的认识。

通过典故的课堂引入及从圆和相关的图片引入着手学生亲自体验画椭圆，激发学习的兴趣和研究椭圆定义的求知欲，去发现椭圆定义的本质，探索图形变化规律，掌握椭圆的概念。

从而推导出椭圆标准方程并会利用待定系数法求椭圆标准方程。

【使用说明与学法指导】1.阅读探究课本P38-P40的基础知识，自主高效预习；2.阅读导学案预习案部分的内容，自主自主完成各项要求；3.结合课本基础知识和例题及预习案，完成预习自测题；对合作探究部分认真审题，做不好的上课时组内讨论。

4.本导学案中题号后凡标明A ，B ，C 的只要求相应层次的学生完成即可。

5.将预习中不能解决的问题标识出来，并写到后面“我的疑惑”处，准备课上讨论质疑。

【预习案】一. 温故夯基1．圆心为O ，半径为r 的圆上的点M 满足集合P ＝{M||MO|＝r}，其中r>0. 2．求曲线方程的基本方法有：_________，_________，__________ 二．知新益能1．课堂引入：这是一个发生在古希腊的故事：西西里岛的一个岩洞里，被关押的犯人不堪忍受这非人的待遇，他们偷偷聚集在岩洞的最里面，小声议论越狱和暴动的办法。

但是，他们商量好的计划很快就被看守人员掌握了，看守人员提前采取了措施，使商量好的计划无法实行，犯人们开始互相猜疑，认为一定是出了叛徒，但是不管怎么查找，也找不到告密者是谁，这究竟是怎么回事呢？原来，并没有人当叛徒去告密，当然找不到告密者了。

椭圆及其标准方程说课稿
椭圆及其标准方程说课稿可以分为以下几个部分：
一、教材分析
1. 椭圆及其标准方程是高中《解析几何》第二章第七节内容，是本书的重点内容之一，也是历年高考、会考的必考内容。

2. 椭圆在日常生活、生产和科学技术中都有着广泛的应用，其几何性质具有重要意义。

二、教学目标
1. 知识目标：掌握椭圆的定义和标准方程。

2. 能力目标：培养学生通过坐标法研究曲线的几何性质的能力。

3. 素养目标：培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

三、教学重点与难点
1. 椭圆的定义及其性质。

2. 椭圆标准方程的求法。

3. 椭圆几何性质的应用。

四、教学方法
1. 讲授法：讲解椭圆的定义、性质及标准方程求法。

2. 演示法：通过几何图形展示椭圆的性质。

3. 练习法：引导学生动手求解椭圆标准方程，培养学生的实际操作能力。

五、教学过程
1. 引入：通过生活实例引入椭圆及其在实际中的应用。

2. 讲解：详细讲解椭圆的定义、性质及标准方程求法。

3. 演示：利用几何图形展示椭圆的性质。

4. 练习：引导学生动手求解椭圆标准方程。

5. 总结：回顾本节课的重点内容，强调椭圆几何性质的应用。

六、课后作业
1. 求解给定条件的椭圆标准方程。

2. 利用椭圆性质解决实际问题。

七、教学反思
1. 学生掌握椭圆定义、性质及标准方程的情况。

2. 学生动手求解椭圆标准方程的能力。

3. 针对学生反馈，调整教学方法，提高教学效果。

《椭圆及其标准方程》教学设计（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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课题：椭圆及其标准方程（—）教材: 人教版高中数学选修2-1第二章第一节《椭圆及其标准方程》一、教材分析(一) 教材的地位和作用圆锥曲线是一个重要的几何模型，有许多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用。

同时，圆锥曲线也是体现数形结合思想的重要素材。

在本章中，椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。

因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一。

(二) 教学目标1. 知识与技能目标：掌握椭圆的定义和标准方程，理解椭圆标准方程的推导。

2. 过程与方法目标：通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学生观察、辨析、归纳问题的能力。

3. 情感态度与价值观目标：通过实验、观察、推理、类比、归纳等教学活动，使学生体验到数学学习活动充满着探索和创造,提高了学生的学习热情并体会数学的简洁美、对称美。

(三) 教学的重点与难点1. 教学重点：椭圆的定义及其标准方程。

2. 教学难点：椭圆标准方程的推导。

在学习本课《椭圆及其标准方程》前，学生已学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解与运用的经验，用坐标法研究几何问题也有了初步的认识。

但由于学生学习解析几何时间还不长、学习程度也较浅，学生对坐标法解决几何问题掌握还不够。

另外，学生对含有两个根式之和（差）等式化简的运算生疏，去根式的策略选择不当等是导致“标准方程的推导”成为学习难点的直接原因。

二、学情分析学生对曲线和方程的思想方法有了一些了解和运用的经验，对坐标法研究几何问题也有了初步的认识，因此，学生已经具备探究有关点的轨迹问题的知识基础和学习能力，但由于学生学习解析几何时间还不长、学习程度也较浅，并且还受到高二这一年龄段学习心理和认知结构的影响，在学习过程中难免会有些困难．如：由于学生对运用坐标法解决几何问题掌握还不够，因此从研究圆到椭圆，学生思维上会存在障碍．三、教法和学法(一) 教法：在教法上，主要采用探究性教学法和启发式教学法。

数学教案－椭圆及其标准方程1数学教案－椭圆及其标准方程11．知识结构2．重点难点分析重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式．难点是椭圆标准方程的建立和推导．关键是掌握建立坐标系与根式化简的方法．椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容：一是椭圆的定义；二是椭圆的标准方程．椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中首先遇到的，所以教材把对椭圆的研究放在了重点，在双曲线和抛物线的教学中稳固和应用．先讲椭圆也与第七章的圆的方程衔接自然．学好椭圆对于学生学好圆锥曲线是非常重要的．（1）对于椭圆的定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的条件，即椭圆上点的几何性质，可以比照圆的定义来理解．另外要注意到定义中对“常数”的限定即常数要大于．这样规定是为了防止出现两种特殊情况，即：“当常数等于时轨迹是一条线段；当常数小于时无轨迹”．这样有利于集中精力进一步研究椭圆的标准方程和几何性质．但讲解椭圆的定义时注意不要忽略这两种特殊情况，以保证对椭圆定义的准确性．（2）根据椭圆的定义求标准方程，应注意下面几点：①曲线的方程依赖于坐标系，建立适当的坐标系，是求曲线方程首先应该注意的地方．应让学生观察椭圆的图形或根据椭圆的定义进行推理，发现椭圆有两条互相垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴，不但可以使方程的推导过程变得简单，而且也可以使最终得出的方程形式整齐和简洁．②设椭圆的焦距为，椭圆上任一点到两个焦点的距离为，令，这些措施，都是为了简化推导过程和最后得到的方程形式整齐、简洁，要让学生认真领会．③在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简，这既是我们今后在求轨迹方程时经常遇到的问题，又是学生的难点．要注意说明这类方程的化简方法：①方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移至另一侧；②方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两侧，并使其中一侧只有一项．④教科书上对椭圆标准方程的推导，实际上只给出了“椭圆上点的坐标都适合方程“而没有证明，”方程的解为坐标的点都在椭圆上”．这实际上是方程的同解变形问题，难度较大，对同学们不作要求．（3）两种标准方程的椭圆异同点中心在原点、焦点分别在轴上，轴上的椭圆标准方程分别为：，．它们的相同点是：形状相同、大小相同，都有，．不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同．椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大；椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大．另外，形如中，只要，同号，就是椭圆方程，它可以化为．（4）教科书上通过例3介绍了另一种求轨迹方程的常用方法——中间变量法．例3有三个作用：第一是教给学生利用中间变量求点的轨迹的方法；第二是向学生说明，如果求得的点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆；第三是使学生知道，一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆．教法建议例如，我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的轨道——椭圆上运行，太阳系的其他行星也如此，太阳那么位于椭圆的一个焦点上．如果这些行星运动的速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行．人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵循这个原理．相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一个物体的运动，不可能有任何其他的轨道．因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的根本形式，另外，工厂通气塔的外形线、探照灯反光镜的轴截面曲线，都和圆锥曲线有关，圆锥曲线在实际生活中的价值是很高的．（2）安排学生课下切割圆锥形的事物，使学生了解圆锥曲线名称的来历为了让学生了解圆锥曲线名称的来历，但为了节约课堂时间，教学时应安排让学生课后亲自动手切割圆锥形的萝卜、胶泥等，以加深对圆锥曲线的认识．（3）对椭圆的定义的引入，要注意借助于直观、形象的模型或教具，让学生从感性认识入手，逐步上升到理性认识，形成正确的概念。

椭圆及其标准方程教案湖北郧阳中学梁学文教学目标:使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及标准方程的推导过程培养学生运用坐标解决集合问题的能力培养学生发现规律、寻求规律、认识规律和用规律解决问题的能力教学重点：椭圆的定义及标准方程的推导教学难点：椭圆定义的理解教学方法;探索法教具准备：细绳一根教学过程：课前引入部分：一、明确教学目标：告诉大家开始新的章节：圆锥曲线，思考：为什么这三类曲线叫做圆锥曲线？二、教具演示：在黑板用细绳演示到定点距离和等于定长的点的轨迹，请同学帮忙。

分三类：绳长小于两点距；等于；大于。

三、探索总结：师生共同归纳得到：绳长等于点距，得到线段；绳长大于点距，得到椭圆；绳长小于点距，不能得到图形。

定义及方程推导：一、定义引导：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：(1)将穿有粉笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内”．(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”．即两定点的距离。

二、方程推导1．标准方程的推导由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．(1)建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)．设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．(2)点的集合由定义不难得出椭圆集合为：P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代数方程(4)化简方程化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教师巡视，适当给予提示：①原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3说明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，下节课还要(a＞b＞0)．关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a2-b2．2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2；-c)、F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到．教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．(三)例题与练习例题平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程．解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示．取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．∵2a=10，2c=8．∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3因此，这个椭圆的标准方程是请大家再想一想，焦点F1、F2放在y轴上，线段F1F2的垂直平分练习1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：练习2 下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是[ ]由学生口答，答案为D．(四)小结1．定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．3．图形如图2-15、2-16．4．焦点：F1(-c，0)，F2(c，0)．F1(0，-c)，F2(0，c)．五、布置作业课后习题。

课题：椭圆及其标准方程一、教学目标学习椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程。

二、教学重点、难点（1）教学重点：椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程。

（2）教学难点：椭圆标准方程的建立和推导。

三、教学过程（一）创设情境，引入概念2（三）研讨探究，推导方程1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是【学情预设】学生可能会建系如下几种情况：方案一：把F1、F2建在x轴上，以F1F2的中点为原点；方案二：把F1、F2建在x轴上，以F1为原点；方案三：把F1、F2建在x轴上，以F2为原点；（学生观察椭圆的几何特征（对称性），如何建系能使方程更简洁？） 经过比较确定方案一.2．推导标准方程．选取建系方案,让学生动手，尝试推导.按方案一：以过1F 、2F 的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分或线为y 轴，建立平面直角坐标系．设)0(221>=c c F F ，点),(y x M 为椭圆上任意一点，则 {}a MF MF M P 221=+=，∴得a ，c 于是得22a x b +．方法：按步骤列出方程，利用两方程结构的异同（结构相同，只是字母x ，y 交换了位置），直接得到方程()222210y x a b a b+=>>． 图1 图34．归纳概括，掌握特征．（1）椭圆标准方程形式：它们都是二元二次方程，左边是两个分式的平方和，右边是1；（2）椭圆标准方程中三个参数a , b , c 的关系：222c a b -=)0(>>b a ；（3）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定.（四）归纳概括，方程特征1、观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴；（2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；（3）椭圆标准方程中三个参数a,b,c 关系：（4）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定；（5）求椭圆标准方程时，可运用待定系数法求出a,b 的值。