2017苏教版高一数学等比数列2.doc

2.3.1等比数列的概念【教学思路】：一、创设情景，揭示课题引入：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。

”；细胞分裂模型；计算机病毒的传播；印度国王奖赏国际象棋发明者的实例等都是等比数列的实例。

再看下面的例子： ①1，2，4，8，16， (1)12，14，18，116，… ③1，20，220，320，420，…④10000 1.0198⨯，210000 1.0198⨯，310000 1.0198⨯，410000 1.0198⨯，510000 1.0198⨯，……观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？ 共同特点：（1）“从第二项起”，“每一项”与其“前一项”之比为常数)(q（2）隐含：任一项00≠≠q a n 且 （3）1≠q 时，}{n a 为常数 二、研探新知 1．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，（注意：等比数列的公比和项都不为零）． 注意：（1）“从第二项起”与“前一项”之比为常数)(q ,}{n a 成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,0≠q ）（2）隐含：任一项00≠≠q a n 且,“n a ≠0”是数列}{n a 成等比数列的必要非充分条件． （3）1=q 时，}{n a 为常数。

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 （教材45P 例1）判断下列数列是否为等比数列：（1）1,1,1,1；（2）0,1,2,4,8；（3）1618141211，，，，--解：（1）所给的数列是首项为1，公比为1的等比数列． （2）因为0不能作除数，所以这个数列不是等比数列．例2 （教材46P 例2）求出下列等比数列中的未知项：（1）2,,8a ； （2）14,,,2b c -． 解：（1）由题得82a a=，∴4a =或4a =-． （2）由题得 412b c b c c b⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪⎩，∴2b =或1c =-．四、巩固深化，反馈矫正 1. 教材49P 练习第1，2题 2. 教材49P 习题第1，2题五、归纳整理，整体认识本节课主要学习了等比数列的定义，即：)0(1≠=-q q a a n n；等比数列的通项公式：11-⋅=n n q a a 及推导过程。

等比数列及其前n 项和1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：a na n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数). (2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G ＝±ab . 2.等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1；通项公式的推广：a n ＝a m qn －m.(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ） 1－q ＝a 1－a n q1－q.3.等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和.(1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n. 【微点提醒】1.若数列{a n }为等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等比数列.2.由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3.在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)等比数列公比q 是一个常数，它可以是任意实数.( ) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列.( )2.(必修5P53A1(2)改编)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A.－12B.－2C.2D.123.(必修5P54A8改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________.4.(2019·天津和平区质检)已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3·a 5＝4(a 4－1)，则a 7的值为( ) A.2 B.4C.92D.65.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A.32f B.322f C.1225f D.1227f6.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和.若S n ＝126，则n ＝________.考点一 等比数列基本量的运算【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________. (2)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.【训练1】 (1)等比数列{a n }中各项均为正数，S n 是其前n 项和，且满足2S 3＝8a 1＋3a 2，a 4＝16，则S 4＝( ) A.9B.15C.18D.30(2)(2017·北京卷)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.考点二 等比数列的判定与证明【例2】 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.【训练2】 (2019·广东省级名校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4. (1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n .考点三 等比数列的性质及应用【例3】 (1)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ) A.12B.10C.8D.2＋log 35(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( ) A.40 B.60 C.32 D.50【训练3】 (1)(2019·菏泽质检)在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是( ) A.－2B.－ 2C.± 2D. 2(2)(一题多解)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________.类型1 等差数列两个性质的应用在等差数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和： (1)S 2n －1＝(2n －1)a n ；(2)设{a n }的项数为2n ，公差为d ，则S 偶－S 奇＝nd .【例1】 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________. (2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d＝________.类型2 等比数列两个性质的应用在等比数列{a n }中，(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a n ·a m ＝a p ·a q ；(2)当公比q ≠－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等比数列(n ∈N *).【例2】 (1)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A.6B.5C.4D.3(2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B.－18C.578D.558类型3 等比数列前n 项和S n 相关结论的活用(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a n }中，公比为q . 若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q .(2)分段求和：S n ＋m ＝S n ＋q nS m (q 为公比).【例3】 (1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.(2)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________.【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( ) A.8 B.9 C.10 D.112.已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则2a 7＋a 11的最小值为( ) A.16 B.8 C.2 2 D.43.(2019·上海崇明区模拟)已知公比q ≠1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 3＝3a 3，则S 5＝( )A.1B.5C.3148 D.11164.(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏5.(2019·深圳一模)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·3n －1＋b ，则ab＝( )A.－3B.－1C.1D.3二、填空题6.等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 13＋a 14a 14＋a 15＝________.7.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N *)，则通项a n ＝________.8.(2018·南京模拟)已知数列{a n }中，a 1＝2，且a 2n ＋1a n＝4(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则其前9项的和S 9＝________.三、解答题9.(2018·全国Ⅲ卷)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和.若S m ＝63，求m .10.已知数列{a n }中，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上，且首项a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T 1>1的n 的最小值为( ) A.4 B.5 C.6 D.712.数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( ) A.(3n －1)2 B.12(9n －1) C.9n－1 D.14(3n －1)13.(2019·华大新高考联盟质检)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3a 11＝2a 25，且S 4＋S 12＝λS 8，则λ＝______.14.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋λ(λ为常数). (1)试探究数列{a n ＋λ}是不是等比数列，并求a n ； (2)当λ＝1时，求数列{n (a n ＋λ)}的前n 项和T n .15.(创新思维)已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝e a 1＋a 2＋a3.若a 1>1，则下列选项可能成立的是( )A.a 1<a 2<a 3<a 4B.a 1＝a 2＝a 3＝a 4C.a 1>a 2>a 3>a 4D.以上结论都有可能成立答 案1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)等比数列公比q 是一个常数，它可以是任意实数.( ) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)× 【解析】 (1)在等比数列中，q ≠0.(2)若a ＝0，b ＝0，c ＝0满足b 2＝ac ，但a ，b ，c 不成等比数列. (3)当a ＝1时，S n ＝na .(4)若a 1＝1，q ＝－1，则S 4＝0，S 8－S 4＝0，S 12－S 8＝0，不成等比数列. 【教材衍化】2.(必修5P53A1(2)改编)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A.－12B.－2C.2D.12【答案】 D【解析】 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，即q ＝12.3.(必修5P54A8改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________. 【答案】 27，81【解析】 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81. 【真题体验】4.(2019·天津和平区质检)已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3·a 5＝4(a 4－1)，则a 7的值为( ) A.2B.4C.92D.6【答案】 B【解析】 根据等比数列的性质得a 3a 5＝a 24，∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，解得a 4＝2. 又∵a 1＝1，a 1a 7＝a 24＝4，∴a 7＝4.5.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A.32f B.322f C.1225f D.1227f【答案】 D【解析】 由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f ，公比为122的等比数列，设此数列为{a n }，则a 8＝1227f ，即第八个单音的频率为1227f .6.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和.若S n ＝126，则n ＝________. 【答案】 6【解析】 由a n ＋1＝2a n ，知数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比q ＝2的等比数列，由S n ＝2（1－2n）1－2＝126，解得n ＝6. 【考点聚焦】考点一 等比数列基本量的运算【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________. (2)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.【答案】 (1)－8 (2)32【解析】 (1)由{a n }为等比数列，设公比为q . 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝－1，①a 1－a 1q 2＝－3，②显然q ≠1，a 1≠0，②①得1－q ＝3，即q ＝－2，代入①式可得a 1＝1， 所以a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.(2)设数列{a n }首项为a 1，公比为q (q ≠1)，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1（1－q 3）1－q ＝74，S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2， 所以a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.【规律方法】 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.【训练1】 (1)等比数列{a n }中各项均为正数，S n 是其前n 项和，且满足2S 3＝8a 1＋3a 2，a 4＝16，则S 4＝( ) A.9B.15C.18D.30(2)(2017·北京卷)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________. 【答案】 (1)D (2)1【解析】 (1)设数列{a n }的公比为q (q >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2S 3＝2（a 1＋a 1q ＋a 1q 2）＝8a 1＋3a 1q ，a 1q 3＝16， 解得q ＝2，a 1＝2，所以S 4＝2（1－24）1－2＝30.(2){a n }为等差数列，a 1＝－1，a 4＝8＝a 1＋3d ＝－1＋3d ，∴d ＝3，∴a 2＝a 1＋d ＝－1＋3＝2.{b n }为等比数列，b 1＝－1，b 4＝8＝b 1·q 3＝－q 3，∴q ＝－2，∴b 2＝b 1·q ＝2，则a 2b 2＝22＝1.考点二 等比数列的判定与证明【例2】 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.【答案】见解析 【解析】(1)证明 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1， 得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n ， 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)解 由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n. 由S 5＝3132，得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.【规律方法】 1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n ＝1的情形进行验证.【训练2】 (2019·广东省级名校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4. (1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n . 【答案】见解析【解析】(1)证明 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， 所以S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)， 则S n ＝2S n －1－n ＋4(n ≥2)，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2](n ≥2)， 又由题意知a 1－2a 1＝－3， 所以a 1＝3，则S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2等比数列. (2)解 由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n＝4（1－2n）1－2＋n （n ＋1）2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82.考点三 等比数列的性质及应用【例3】 (1)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ) A.12B.10C.8D.2＋log 35(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( ) A.40B.60C.32D.50【答案】 (1)B (2)B【解析】 (1)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9，则原式＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝10.(2)数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4，8，S 9－S 6，S 12－S 9是首项为4，公比为2的等比数列，则S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝16，S 12－S 9＝a 10＋a 11＋a 12＝32，因此S 12＝4＋8＋16＋32＝60. 【规律方法】1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度.2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.【训练3】 (1)(2019·菏泽质检)在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是( ) A.－2B.－ 2C.± 2D. 2(2)(一题多解)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________. 【答案】 (1)B (2)73【解析】 (1)根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4，a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0，所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0， 由a 3a 7＝a 25，得a 5＝－a 3a 7＝－ 2.(2)法一 由等比数列的性质S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，由已知得S 6＝3S 3， ∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3，即S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73. 法二 因为{a n }为等比数列，由S 6S 3＝3，设S 6＝3a ，S 3＝a (a ≠0)，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等比数列，即a ，2a ，S 9－S 6成等比数列，所以S 9－S 6＝4a ，解得S 9＝7a ，所以S 9S 6＝7a 3a ＝73.【反思与感悟】1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.(1)方程思想：如求等比数列中的基本量.(2)分类讨论思想：如求和时要分q ＝1和q ≠1两种情况讨论，判断单调性时对a 1与q 分类讨论. 【易错防范】1.特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况.2.S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1时且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)，但等式(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )总成立. 【核心素养提升】【数学运算】——等差(比)数列性质的应用1.数学运算是指在明析运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.本系列数学运算主要表现为：理解数列问题，掌握数列运算法则，探究运算思路，求得运算结果.通过对数列性质的学习，发展数学运算能力，促进数学思维发展.2.数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题，能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想. 类型1 等差数列两个性质的应用 在等差数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和： (1)S 2n －1＝(2n －1)a n ；(2)设{a n }的项数为2n ，公差为d ，则S 偶－S 奇＝nd .【例1】 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________. (2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d ＝________.【答案】 (1)10 (2)5【解析】 (1)由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0得2a m －a 2m ＝0，解得a m ＝0或2. 又S 2m －1＝（2m －1）（a 1＋a 2m －1）2＝(2m －1)a m ＝38，显然可得a m ≠0，所以a m ＝2.代入上式可得2m －1＝19，解得m ＝10.(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162. 又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.类型2 等比数列两个性质的应用在等比数列{a n }中，(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a n ·a m ＝a p ·a q ；(2)当公比q ≠－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等比数列(n ∈N *).【例2】 (1)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A.6B.5C.4D.3(2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18B.－18C.578D.558【答案】 (1)C (2)A【解析】 (1)数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4.(2)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18，所以a 7＋a 8＋a 9＝18.类型3 等比数列前n 项和S n 相关结论的活用(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a n }中，公比为q . 若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q .(2)分段求和：S n ＋m ＝S n ＋q nS m (q 为公比).【例3】 (1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.(2)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________.【答案】 (1)2 (2)3116【解析】 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. (2)设等比数列{a n }的公比q ，易知S 3≠0. 则S 6＝S 3＋S 3q 3＝9S 3，所以q 3＝8，q ＝2.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，其前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( ) A.8 B.9 C.10 D.11【答案】 C【解析】 由题意得，2a 5a 6＝18，a 5a 6＝9，∴a 1a m ＝a 5a 6＝9， ∴m ＝10.2.已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则2a 7＋a 11的最小值为( ) A.16 B.8 C.2 2 D.4【答案】 B【解析】 因为a 4与a 14的等比中项为22， 所以a 4·a 14＝a 7·a 11＝(22)2＝8， 所以2a 7＋a 11≥22a 7a 11＝22×8＝8， 所以2a 7＋a 11的最小值为8.3.(2019·上海崇明区模拟)已知公比q ≠1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 3＝3a 3，则S 5＝( ) A.1 B.5C.3148D.1116【答案】 D【解析】 由题意得a 1（1－q 3）1－q ＝3a 1q 2，解得q ＝－12或q ＝1(舍)，所以S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1251－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1116.4.(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A.1盏 B.3盏C.5盏D.9盏【答案】 B【解析】 设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则依题意S 7＝381，公比q ＝2.∴a 1（1－27）1－2＝381，解得a 1＝3.5.(2019·深圳一模)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·3n －1＋b ，则a b＝( )A.－3B.－1C.1D.3【答案】 A【解析】 ∵等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·3n －1＋b ，∴a 1＝S 1＝a ＋b ，a 2＝S 2－S 1＝3a ＋b －a －b ＝2a ，a 3＝S 3－S 2＝9a ＋b －3a －b ＝6a ，∵等比数列{a n }中，a 22＝a 1a 3， ∴(2a )2＝(a ＋b )×6a ，解得ab＝－3. 二、填空题6.等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 13＋a 14a 14＋a 15＝________.【答案】2－1【解析】 设{a n }的公比为q .由题意得a 1＋2a 2＝a 3，则a 1(1＋2q )＝a 1q 2，q 2－2q －1＝0，所以q ＝1＋2(舍负). 则a 13＋a 14a 14＋a 15＝1q＝2－1.7.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N *)，则通项a n ＝________. 【答案】12n 【解析】 ∵a n ＋S n ＝1，① ∴a 1＝12，a n －1＋S n －1＝1(n ≥2)，②由①－②，得a n －a n －1＋a n ＝0，即a n a n －1＝12(n ≥2)， ∴数列{a n }是首项为12，公比为12的等比数列，则a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝12n . 8.(2018·南京模拟)已知数列{a n }中，a 1＝2，且a 2n ＋1a n＝4(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则其前9项的和S 9＝________.【答案】 1 022【解析】 由a 2n ＋1a n＝4(a n ＋1－a n )得，a 2n ＋1－4a n ＋1a n ＋4a 2n ＝0，∴(a n ＋1－2a n )2＝0，a n ＋1a n ＝2，∴数列{a n }是首项a 1＝2，公比为2的等比数列，∴S 9＝2(1－29)1－2＝1 022.三、解答题9.(2018·全国Ⅲ卷)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和.若S m ＝63，求m . 【答案】见解析【解析】(1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝qn －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－（－2）n3.由S m ＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解. 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n－1.由S m ＝63得2m＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.10.已知数列{a n }中，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上，且首项a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值.【答案】见解析【解析】(1)根据已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2， 即a n ＋1－a n ＝2＝d ，所以数列{a n }是一个首项为1，公差为2的等差数列，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2.等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3， 所以q ＝3，b n ＝3n －1.数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n1－3＝3n－12.T n ≤S n 即3n－12≤n 2，又n ∈N *，所以n ＝1或2.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T 1>1的n 的最小值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7【答案】 C【解析】 ∵{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 2a 4＝a 3，∴a 23＝a 3，∴a 3＝1.又∵q >1，∴a 1<a 2<1，a n >1(n >3)，∴T n >T n －1(n ≥4，n ∈N *)，T 1<1，T 2＝a 1·a 2<1，T 3＝a 1·a 2·a 3＝a 1a 2＝T 2<1，T 4＝a 1a 2a 3a 4＝a 1<1，T 5＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝a 53＝1，T 6＝T 5·a 6＝a 6>1，故n 的最小值为6.12.数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( ) A.(3n －1)2B.12(9n－1) C.9n－1D.14(3n－1) 【答案】 B【解析】 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n－1，n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1，∴当n ≥2时，a n ＝3n－3n －1＝2·3n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1，故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列. 因此a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4(1－9n)1－9＝12(9n－1).13.(2019·华大新高考联盟质检)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3a 11＝2a 25，且S 4＋S 12＝λS 8，则λ＝______. 【答案】 83【解析】 ∵{a n }是等比数列，a 3a 11＝2a 25， ∴a 27＝2a 25，∴q 4＝2，∵S 4＋S 12＝λS 8，∴a 1（1－q 4）1－q ＋a 1（1－q 12）1－q ＝λa 1（1－q 8）1－q，∴1－q 4＋1－q 12＝λ(1－q 8)， 将q 4＝2代入计算可得λ＝83.14.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋λ(λ为常数). (1)试探究数列{a n ＋λ}是不是等比数列，并求a n ； (2)当λ＝1时，求数列{n (a n ＋λ)}的前n 项和T n . 【答案】见解析【解析】(1)因为a n ＋1＝2a n ＋λ，所以a n ＋1＋λ＝2(a n ＋λ). 又a 1＝1，所以当λ＝－1时，a 1＋λ＝0，数列{a n ＋λ}不是等比数列， 此时a n ＋λ＝a n －1＝0，即a n ＝1；当λ≠－1时，a 1＋λ≠0，所以a n ＋λ≠0，所以数列{a n ＋λ}是以1＋λ为首项，2为公比的等比数列， 此时a n ＋λ＝(1＋λ)2n －1，即a n ＝(1＋λ)2n －1－λ.(2)由(1)知a n ＝2n－1，所以n (a n ＋1)＝n ×2n，T n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，①2T n ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1，②①－②得：－T n ＝2＋22＋23＋ (2)－n ×2n ＋1＝2（1－2n）1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2.所以T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.【新高考创新预测】15.(创新思维)已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝e a 1＋a 2＋a3.若a 1>1，则下列选项可能成立的是( ) A.a 1<a 2<a 3<a 4 B.a 1＝a 2＝a 3＝a 4 C.a 1>a 2>a 3>a 4D.以上结论都有可能成立【答案】 A【解析】 构造函数f (x )＝e x －x －1，f ′(x )＝e x －1＝0，x ＝0，得极小值f (0)＝0，故f (x )≥0，即e x≥x ＋1恒成立(x ＝0取等号).a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝e a 1＋a 2＋a3>a 1＋a 2＋a 3＋1⇒a 4>1⇒q >0，且a 2>1，a 3>1，若公比q∈(0，1]，则4a1≥a1＋a2＋a3＋a4＝e a1＋a2＋a3>e2＋a1>7e a1>7a1＋7>4a1，产生矛盾. 所以公比q>1，故a1<a2<a3<a4.故选A.。

高一数学复习考点知识讲解课件等比数列的性质考点知识1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算.2.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形．导语在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是我们在这两类数列之间无形之中产生了类比思想，类比的前提大多为结论提供线索，它往往能把人的认知从一个领域引申到另一个共性的领域，由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论，有人曾说“类比使人聪颖，数学使人严谨，数学使人智慧”，今天我们就用类比的思想来研究等比数列具有哪些性质．一、由等比数列构造新等比数列问题1结合我们所学，你能类比等差数列、等比数列的通项公式的结构特点及运算关系吗？提示等差数列等比数列定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列符号表示 a n －a n －1＝d (n ≥2，n ∈N *)a na n －1＝q (n ≥2，n ∈N *) 通项公式 a n ＝a 1＋(n －1)da n ＝a 1q n －1类比差⇒商；和⇒积，积⇒乘方性质等差数列首项a 1，公差d等比数列首项a 1，公比q把等差数列前k 项去掉，得到一个以a k ＋1为首项，以d 为公差的等差数列把等比数列前k 项去掉，得到一个以a k ＋1为首项，以q 公比的等比数列等差数列中，a k ，a k ＋m ，a k ＋2m …是以公差为md 的等差数列等比数列中，a k ，a k ＋m ，a k ＋2m …是以公比为q m 的等比数列等差数列中任意一项加上同一个常数，构成一个公差不变的等差数列等比数列中任意一项同乘一个非零常数，构成一个公比不变的等比数列两个等差数列相加，还是一个等差数列两个等比数列相乘，还是一个等比数列知识梳理1．在等比数列{a n }中，每隔k 项(k ∈N *)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．2．若{a n }是等比数列，公比为q ，则数列{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }都是等比数列，且公比分别是q ，1q ，q 2.3．若{a n }，{b n }是项数相同的等比数列，公比分别是p 和q ，那么{a n b n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 也都是等比数列，公比分别为pq 和pq .注意点：在构造新的等比数列时，要注意新数列中有的项是否为0，比如公比q ＝－1时，连续相邻偶数项的和都是0，故不能构成等比数列．例1如果数列{}a n 是等比数列，那么下列数列中不一定是等比数列的是()A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a nB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫3a n C.{}a n ·a n ＋1 D.{}a n ＋a n ＋1 答案D解析取等比数列a n ＝()－1n ，则a n ＋a n ＋1＝0，所以{a n ＋a n ＋1}不是等比数列，故D 错误；对于其他选项，均满足等比数列通项公式的性质．反思感悟由等比数列构造新的等比数列，一定要检验新的数列中的项是否为0，主要是针对q <0的情况．跟踪训练1设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形面积(i ＝1,2，…)，则{A n }为等比数列的充要条件为() A ．{a n }是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同答案D解析因为A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形面积(i ＝1,2，…)，所以A i ＝a i a i ＋1(i ＝1,2,3，…，n ，…)， 则数列{A n }的通项为A n ＝a n a n ＋1.根据等比数列的定义，数列{A n }(n ＝1,2,3，…)为等比数列的充要条件是A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n ＝q (常数)．二、等比数列中任意两项之间的关系问题2结合上面的类比，你能把等差数列里面的a n ＝a m ＋(n －m )d 类比出等比数列中相似的性质吗？提示类比可得a n ＝a m q n －m ；由等比数列的定义可知a n ＝a 1q n －1，a m ＝a 1q m －1，两式相除可得a n a m ＝a 1q n －1a 1qm －1＝q (n －1)－(m －1)＝q n －m ，即a n ＝a m q n －m . 知识梳理等比数列通项公式的推广和变形a n ＝a m q n －m . 例2在等比数列{a n }中：(1)已知a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝18，a n ＝12，求n ； (2)已知a 5＝8，a 7＝2，a n >0，求a n . 解设等比数列{a n }的公比为q .(1)由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝q (a 3＋a 6)＝18，a 3＋a 6＝36，得q ＝12.再由a 3＋a 6＝a 3·(1＋q 3)＝36得a 3＝32，则a n ＝a 3·qn －3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －8＝12，所以n －8＝1，所以n ＝9. (2)由a 7＝a 5·q 2得q 2＝14.因为a n >0，所以q ＝12， 所以a n ＝a 5·qn －5＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －8.反思感悟等比数列的通项公式及变形的应用(1)在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式a n ＝a 1q n －1(a 1q ≠0)可求出等比数列中的任意一项．(2)在已知等比数列中任意两项的前提下，利用a n ＝a m q n －m (q ≠0)也可求出等比数列中的任意一项．跟踪训练2(1)在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，那么这个数列的公比为()A ．2B.12C ．2或12D ．－2或12(2)已知等比数列{a n }中，a 3＝2，a 4a 6＝16，则a 9－a 10a 5－a 6等于()A ．16B ．8C ．4D ．2 答案(1)C(2)C解析(1)设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，∵a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，∴a 1(1＋q 3)＝18，a 1(q ＋q 2)＝12，q ≠－1，化为2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或12.故选C.(2)等比数列{a n }中，设其公比为q (q ≠0)，a 3＝2，a 4a 6＝a 3q ·a 3q 3＝a 23q 4＝4q 4＝16，∴q4＝4.∴a 9－a 10a 5－a 6＝a 1q 8－a 1q 9a 1q 4－a 1q 5＝q 4＝4，故选C.三、等比数列中多项之间的关系问题3结合上面的类比，你能把等差数列里面的a m ＋a n ＝a k ＋a l ，类比出等比数列中相似的性质吗？提示类比可得a m a n ＝a k a l ，其中m ＋n ＝k ＋l ，m ，n ，k ，l ∈N *. 推导过程：a m ＝a 1q m －1，a n ＝a 1q n －1，a k ＝a 1q k －1，a l ＝a 1q l －1，所以a m a n ＝a 1q m －1·a 1q n －1＝a 21q m ＋n －2，a k a l ＝a 1q k －1·a 1q l －1＝a 21qk ＋l －2， 因为m ＋n ＝k ＋l ，所以有a m a n ＝a k a l . 知识梳理设数列{a n }为等比数列，则：(1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n . (2)若m ，p ，n 成等差数列，则a m ，a p ，a n 成等比数列．注意点：(1)性质的推广：若m ＋n ＋p ＝x ＋y ＋z ，有a m a n a p ＝a x a y a z ；(2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同；(3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝…. 例3已知{a n }为等比数列． (1)若{a n }满足a 2a 4＝12，求a 1a 23a 5；(2)若a n >0，a 5a 7＋2a 6a 8＋a 6a 10＝49，求a 6＋a 8；(3)若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值． 解(1)在等比数列{a n }中， ∵a 2a 4＝12，∴a 23＝a 1a 5＝a 2a 4＝12， ∴a 1a 23a 5＝14.(2)由等比中项，化简条件得a 26＋2a 6a 8＋a 28＝49，即(a 6＋a 8)2＝49， ∵a n >0， ∴a 6＋a 8＝7.(3)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝9， ∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2·…·a 10) ＝log 3[(a 1a 10)(a 2a 9)(a 3a 8)(a 4a 7)(a 5a 6)] ＝log 395＝10.反思感悟利用等比数列的性质解题(1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题．(2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．跟踪训练3(1)公比为32的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a16等于() A．4B．5C．6D．7答案B解析因为a3a11＝16，所以a27＝16.又因为a n>0，所以a7＝4，所以a16＝a7q9＝32，即log2a16＝5.(2)已知在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝________. 答案5 2解析方法一因为{a n}是等比数列，所以a1a7＝a24，a2a8＝a25，a3a9＝a26.所以a24·a25·a26＝(a1a7)·(a2a8)·(a3a9)＝(a 1a 2a 3)·(a 7a 8a 9)＝5×10＝50. 因为a n >0，所以a 4a 5a 6＝5 2.方法二因为a 1a 2a 3＝(a 1a 3)a 2＝a 22·a 2＝a 32＝5，所以a 2＝135.因为a 7a 8a 9＝(a 7a 9)a 8＝a 38＝10，所以a 8＝1310.同理a 4a 5a 6＝a 35＝1133312332222528()()(510)5052a a a ==⋅==.1．知识清单：(1)由等比数列构造新的等比数列． (2)等比数列中任意两项之间的关系． (3)等比数列中多项之间的关系． 2．方法归纳：公式法、类比思想．3．常见误区：构造新的等比数列易忽视有等于0的项．1．在等比数列{a n }中，若a 2＝4，a 5＝－32，则公比q 应为()A ．±12B ．±2C.12D ．－2 答案D解析因为a 5a 2＝q 3＝－8，故q ＝－2.2．已知{a n }，{b n }都是等比数列，那么() A ．{a n ＋b n }，{a n b n }都一定是等比数列B ．{a n ＋b n }一定是等比数列，但{a n b n }不一定是等比数列C ．{a n ＋b n }不一定是等比数列，但{a n b n }一定是等比数列D ．{a n ＋b n }，{a n b n }都不一定是等比数列 答案C解析当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列．两个等比数列的积一定是等比数列． 3．已知在等比数列{}a n 中，有a 3a 7a 10＝9，则a 4a 28等于() A ．3B ．9C ．20D ．无法计算 答案B解析由等比数列多项之间的下标和的关系可知3＋7＋10＝4＋8＋8，故a 4a 28＝9.4．若正项等比数列{a n }满足a 1a 5＝4，当1a 2＋4a 4取最小值时，数列{}a n 的公比是________．答案2解析设正项等比数列{}a n 的公比为q ()q >0， 因为a 1a 5＝4，所以由等比数列的性质可得a 2a 4＝4，因此1a 2＋4a 4≥21a 2·4a 4＝2，当且仅当1a 2＝4a 4，即a 4a 2＝q 2＝4，即q ＝2(负值舍去)时，等号成立． 所以数列{}a n 的公比是2.课时对点练1．已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3等于() A ．4B ．2C ．5D.52答案A解析因为a n a n ＋1＝2n ，所以a n －1a n ＝2n －1(n ≥2)，所以a n ＋1a n －1＝2(n ≥2)， 数列{a n }的奇数项组成等比数列，偶数项组成等比数列，故a 7a 3＝22＝4. 2．在等比数列{a n }中，a 2，a 18是方程x 2＋6x ＋4＝0的两根，则a 4a 16＋a 10等于()A ．6B ．2C ．2或6D ．－2答案B解析由题意知a 2＋a 18＝－6，a 2·a 18＝4，所以a 2<0，a 18<0，故a 10<0，所以a 10＝－a 2·a 18＝－2，因此a 4·a 16＋a 10＝a 210＋a 10＝2，故选B.3．在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于()A.32B.23C ．－23D.23或－23答案C解析因为a 4＝a 2·q 2，所以q 2＝a 4a 2＝818＝49. 又因为a 1<0，a 2>0，所以q <0.所以q ＝－23. 4．在等比数列{a n }中，若a 2a 3a 6a 9a 10＝32，则a 29a 12的值为() A ．4B ．2C ．－2D ．－4答案B解析由a 2a 3a 6a 9a 10＝(a 2a 10)·(a 3a 9)·a 6＝a 56＝32＝25，得a 6＝2，则a 29a 12＝a 6a 12a 12＝a 6＝2. 5．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为()A ．2B.6766C ．3D. 3答案D解析方法一依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{a n }，设其公比为q (q ≠0)，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，可知⎩⎪⎨⎪⎧a 1·a 1q ·a 1q 2＝3，a 1q 6·a 1q 7·a 1q 8＝9，解得a 1q ＝33，q 3＝63，所以第5节的容积为a 1q 4＝a 1q ·q 3＝33·63＝ 3.故选D. 方法二依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{a n }，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，可知a 1a 2a 3＝3，a 7a 8a 9＝9，由等比数列的性质可知a 1a 2a 3a 7a 8a 9＝(a 1a 9)·(a 2a 8)·(a 3a 7)＝a 65＝27.所以a 5＝ 3.故选D.6．(多选)设{a n }是等比数列，有下列四个命题，其中正确的是()A ．{a 2n }是等比数列B ．{a n a n ＋1}是等比数列C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列 D ．{lg|a n |}是等比数列答案ABC解析由{a n }是等比数列可得a na n －1＝q (q 为定值，n >1)．A 中，a 2n a 2n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a n －12＝q 2为常数，故A 正确；B 中，a n a n ＋1a n －1a n ＝a n ＋1a n －1＝q 2，故B 正确； C 中，1a n 1a n －1＝a n －1a n＝1q 为常数，故C 正确； D 中，lg|a n |lg|a n －1|不一定为常数，故D 错误．7．在正项等比数列{a n }中，若3a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 2021－a 2020a 2023－a 2022＝________. 答案19解析设正项等比数列{a n }的公比q ＞0，∵3a 1，12a 3,2a 2成等差数列，∴2×12a 3＝3a 1＋2a 2，即a 1q 2＝3a 1＋2a 1q ，∴q 2－2q －3＝0，q ＞0，解得q ＝3.则原式＝a 2021－a 2020q 2(a 2021－a 2020)＝1q 2＝19. 8．已知数列{a n }为等比数列，且a 3＋a 5＝π，则a 4(a 2＋2a 4＋a 6)＝________. 答案π2解析因为数列{a n }为等比数列，且a 3＋a 5＝π，所以a 4(a 2＋2a 4＋a 6)＝a 4a 2＋2a 24＋a 4a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝π2.9．已知数列{a n }是等比数列，a 3＋a 7＝20，a 1a 9＝64，求a 11的值． 解∵{a n }为等比数列，∴a 1·a 9＝a 3·a 7＝64.又∵a 3＋a 7＝20，∴a 3＝4，a 7＝16或a 3＝16，a 7＝4.①当a 3＝4，a 7＝16时，a 7a 3＝q 4＝4， 此时a 11＝a 3q 8＝4×42＝64.②当a 3＝16，a 7＝4时，a 7a 3＝q 4＝14， 此时a 11＝a 3q 8＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1. 10．已知数列{a n }为等比数列．(1)若a n >0，且a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝36，求a 3＋a 5的值；(2)若数列{a n }的前三项和为168，a 2－a 5＝42，求a 5，a 7的等比中项． 解(1)∵a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝36，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝36，即(a 3＋a 5)2＝36，又∵a n >0，∴a 3＋a 5＝6.(2)设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2－a 5＝42，∴q ≠1.由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝168，a 1q －a 1q 4＝42， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q ＋q 2)＝168，a 1q (1－q 3)＝42， 解得⎩⎨⎧ a 1＝96，q ＝12.若G 是a 5，a 7的等比中项，则有G 2＝a 5·a 7＝a 1q 4·a 1q 6＝a 21q 10＝962×⎝ ⎛⎭⎪⎫1210＝9， ∴a 5，a 7的等比中项为±3.11．设各项均为正数的等比数列{a n }满足a 4a 8＝3a 7，则log 3(a 1a 2·…·a 9)等于()A ．38B ．39C ．9D ．7答案C 解析因为a 4a 8＝a 5a 7＝3a 7且a 7≠0，所以a 5＝3，所以log 3(a 1a 2·…·a 9)＝log 3a 95＝log 339＝9.12．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于()A ．2B ．1C.12D.18答案C解析方法一∵a 3，a 5的等比中项为±a 4，∴a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 24＝4(a 4－1)，∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1＝214＝8， ∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12.方法二∵a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝12.13．等比数列{a n }是递减数列，前n 项的积为T n ，若T 13＝4T 9，则a 8a 15等于()A．±2B．±4C．2D．4答案C解析∵T13＝4T9，∴a1a2...a9a10a11a12a13＝4a1a2 (9)∴a10a11a12a13＝4.又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，∴(a8·a15)2＝4，∴a8a15＝±2.又∵{a n}为递减数列，∴q>0，∴a8a15＝2.14．在等比数列{a n}中，若a7＝－2，则此数列的前13项之积等于________．答案－213解析由于{a n}是等比数列，∴a1a13＝a2a12＝a3a11＝a4a10＝a5a9＝a6a8＝a27，∴a1a2a3…a13＝(a27)6·a7＝a137，而a7＝－2.∴a1a2a3…a13＝(－2)13＝－213.15．在等比数列{a n }中，若a 7a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10＝________. 答案23或32解析∵{a n }是等比数列，∴a 7·a 11＝a 4·a 14＝6，又a 4＋a 14＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝2，a 14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3，a 14＝2.∵a 14a 4＝q 10，∴q 10＝32或q 10＝23. 而a 20a 10＝q 10，∴a 20a 10＝23或32. 16．已知{a n }是等差数列，满足a 1＝2，a 4＝14，数列{b n }满足b 1＝1，b 4＝6，且{a n －b n }是等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若任意n ∈N *，都有b n ≤b k 成立，求正整数k 的值．解(1)设{a n }的公差为d ，则d ＝a 4－a 13＝4，所以a n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2，故{a n }的通项公式为a n ＝4n －2(n ∈N *)．设c n ＝a n －b n ，则{c n }为等比数列．c1＝a1－b1＝2－1＝1，c4＝a4－b4＝14－6＝8，＝8，故q＝2.设{c n}的公比为q，则q3＝c4c1则c n＝2n－1，即a n－b n＝2n－1.所以b n＝4n－2－2n－1(n∈N*)．故{b n}的通项公式为b n＝4n－2－2n－1(n∈N*)．(2)由题意得，b k应为数列{b n}的最大项．由b n＋1－b n＝4(n＋1)－2－2n－4n＋2＋2n－1＝4－2n－1(n∈N*)．当n<3时，b n＋1－b n>0，b n<b n＋1，即b1<b2<b3；当n＝3时，b n＋1－b n＝0，即b3＝b4；当n>3时，b n＋1－b n<0，b n>b n＋1，即b4>b5>b6>…所以k＝3或k＝4.。

学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．在等比数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝8，则a n ＝ .【解析】 因为⎩⎨⎧ a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎨⎧a 1q 3＝2 ①a 1q 6＝8 ②由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝22n －53.【★答案☆】 22n －532．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于 ．【解析】 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.【★答案☆】 －243．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝ ，ac ＝ .【解析】 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9，且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号．∴ac ＝b 2＝9.【★答案☆】 －3 94．在等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则公比q ＝ .【导学号：92862049】【解析】 由a 3＝a 1q 2＝3，a 10＝a 1q 9＝384，两式相除得，q 7＝128，所以q ＝2.【★答案☆】 25．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝ .【解析】 ∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又∵a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1.故a 7＝1·26＝64.【★答案☆】 646．若{a n }是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为 ． ①{a 2n }；②{a 2n }；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ；④{lg|a n |}． 【解析】 考查等比数列的定义，验证第n ＋1项与第n 项的比是否为常数．【★答案☆】 ①②③7．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为 ．【解析】 设这6个数所成等比数列的公比为q ，则5＝160q 5，∴q 5＝132，∴q ＝12，∴这4个数依次为80,40,20,10.【★答案☆】 80,40,20,108．在等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝ .【导学号：92862050】【解析】 记数列{a n }的公比为q ，由a 5＝－8a 2，得a 1q 4＝－8a 1q ，即q ＝－2.由|a 1|＝1，得a 1＝±1，当a 1＝－1时，a 5＝－16<a 2＝2，与题意不符，舍去；当a 1＝1时，a 5＝16>a 2＝－2，符合题意，故a n ＝a 1q n －1＝(－2)n －1.【★答案☆】 (－2)n －1二、解答题9．在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项，公比．【解】 设该数列的公比为q .由已知，得⎩⎨⎧a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以⎩⎨⎧ a 1(q －1)＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝3(q ＝1舍去)，故首项a 1＝1，公比q ＝3.10．数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2,3，…)．(1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列；(2)求a n .【解】 (1)a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4，a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15.下面证明{a n －n }是等比数列：由a 2＝－4，a 3＝－15可知，a n ≠n .∵a n ＋1－(n ＋1)a n －n ＝3a n －2(n ＋1)＋3－(n ＋1)a n －n ＝3a n －3n a n －n ＝3(n ＝1,2,3，…)．又a 1－1＝－2，∴{a n －n }是以－2为首项，以3为公比的等比数列．(2)由(1)知a n －n ＝－2·3n －1，∴a n ＝n －2·3n －1.[能力提升]1．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于 ．【解析】 由题意知a 3是a 1和a 9的等比中项，∴a 23＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，得a 1＝d ，∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13d 16d ＝1316. 【★答案☆】 13162．已知{a n }是等比数列，a n >0，又知a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5＝ .【导学号：92862051】【解析】∵a2a4＝a23，a4a6＝a25，∴a23＋2a3a5＋a25＝25，∴(a3＋a5)2＝25，又∵a n>0，∴a3＋a5＝5.【★答案☆】 53．若数列{a n}的前n项和为S n，且a n＝2S n－3，则{a n}的通项公式是．【解析】由a n＝2S n－3，得a n－1＝2S n－1－3(n≥2)，两式相减得a n－a n－1＝2a n(n≥2)，∴a n＝－a n－1(n≥2)，a na n－1＝－1(n≥2)．故{a n}是公比为－1的等比数列，令n＝1，得a1＝2a1－3，∴a1＝3，故a n＝3·(－1)n－1.【★答案☆】a n＝3·(－1)n－14．互不相等的3个数之积为－8，这3个数适当排列后可以组成等比数列，也可组成等差数列，求这3个数组成的等比数列．【解】设这3个数分别为aq，a，aq，则a3＝－8，即a＝－2.(1)若－2为－2q和－2q的等差中项，则2q＋2q＝4，∴q2－2q＋1＝0，解得q＝1，与已知矛盾，舍去；(2)若－2q为－2q和－2的等差中项，则1q＋1＝2q，∴2q2－q－1＝0，解得q＝－12或q＝1(与已知矛盾，舍去)，∴这3个数组成的等比数列为4，－2,1；(3)若－2q为－2q和－2的等差中项，则q＋1＝2q，∴q2＋q－2＝0，解得q＝－2或q＝1(与已知矛盾，舍去)，∴这3个数组成的等比数列为1，－2,4.故这3个数组成的等比数列为4，－2,1或1，－2,4.。

等比数列（2）【三维目标】：一、知识与技能1.进一步熟练掌握等比数列的定义及通项公式；2.深刻理解等比中项概念，掌握等比数列的性质；3.提高学生的数学素质，增强学生的应用意识. 二、过程与方法通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。

三、情感、态度与价值观充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。

【教学重点与难点】：重点：等比中项的理解与应用难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题 【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题首先回忆一下上一节课所学主要内容：1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（0≠q ），即：1-n na a q =（0≠q ） 2.等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ， )0(≠⋅⋅=-q a q a a m m n m n 3．}{n a 成等比数列⇔nn a a 1+q =（+∈N n ,q ≠0）“n a ≠0”是数列}{n a 成等比数列的必要非充分条件4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 二、研探新知1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）推导：若在a 与b 中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，则ab G ab G Gba G ±=⇒=⇒=2， 反之，若G 2=ab ,则Gba G =，即b G a ,,成等比数列∴b G a ,,成等比数列⇔G 2=ab （0≠ab ） 探究：已知数列}{n a 是等比数列，（1）2537a a a =是否成立？2519a a a =成立吗？为什么？（2）211(1)n n n a a a n -+=>是否成立？你据此能得到什么结论？2(0)n n k n k a a a n k -+=>>是否成立？你又能得到什么结论？结论：若}{n a 为等比数列，m n p q +=+(,,,)m n q p N +∈，则q p n m a a a a ⋅=⋅．由等比数列通项公式得：11n 11 --==n m m q a a q a a ，111q 1 ,p q p a a q a a q --==⋅，故221m n m n a a a q+-⋅=且221p q p q a a a q+-⋅=，∵m n p q +=+，∴q p n m a a a a ⋅=⋅．2．等比数列的性质：（1）与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积。

第一课时 等 比 数 列[提出问题] 观察下面几个数列： (1)4，－4,4，－4，…；(2)关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题，由于每一个格子里的麦粒都是前一个格子里的麦粒数的2倍，且共有64个格子，各个格子里的麦粒数依次是1,2,22,23，…，263；(3)某人年初投资10 000元，如果年收益率是5%，那么按照复利，5年内各年末的本利和依次为10 000×1.05,10 000×1.052，…，10 000×1.055.问题1：上述三个例子中的数列，它们是等差数列吗？ 提示：不是．问题2：这三个数列，从第2项起与前一项的比有什么特点？ 提示：都等于同一个常数． [导入新知] 等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q (q ≠0)表示．[化解疑难]1．“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项； 2．“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”； 3．“同一常数q ”，q 是等比数列的公比，即q ＝a n a n －1或q ＝a n ＋1a n.特别注意，q 不可以为零，当q ＝1时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列．[提出问题]问题：观察“知识点一”中的三个数列，每个数列中任意连续三项间有何关系？ 提示：中间一项的平方等于它前一项与后一项之积． [导入新知]如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a ，b 的等比中项，这三个数满足关系式G ＝±ab .[化解疑难]1．G 是a 与b 的等比中项，则a 与b 的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项．G ＝±ab ，即等比中项有两个，且互为相反数．2．当G 2＝ab 时，G 不一定是a 与b 的等比中项．例如02＝5×0，但0,0,5不是等比数列.[提出问题]问题：若数列{a n }为等比数列，公比为q ，则a 2＝a 1q ，a 3＝a 2q ＝a 1q 2，a 4＝a 3q ＝a 1q 3，a 5＝a 4q ＝a 1q 4，…，由此你可以得出什么结论呢？提示：a n ＝a 1q n －1.[导入新知]等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q (q ≠0)，则通项公式为a n ＝a 1q n －1.[化解疑难]1．在已知首项a 1和公比q 的前提下，利用通项公式a n ＝a 1q n －1可求出等比数列中的任一项．2．等比数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q n －1可改写为a n ＝a 1q·q n.当q ＞0且q ≠1时，这是指数型函数．[例1] n (1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n .[解] (1)因为⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2， ①a 1q 6＝8， ②由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝2253n-.(2)法一：因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18， ③a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9， ④由④③得q ＝12，从而a 1＝32. 又a n ＝1，所以32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝1，即26－n＝20，所以n ＝6.法二：因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)， 所以q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，得a 1＝32. 由a n ＝a 1qn －1＝1，得n ＝6.[类题通法]与求等差数列的通项公式的基本量一样，求等比数列的通项公式的基本量也常运用方程的思想和方法．从方程的观点看等比数列的通项公式，a n ＝a 1·qn －1(a 1q ≠0)中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量．求解时，要注意应用q ≠0验证求得的结果．[活学活用]1．若等比数列的前三项分别为5，－15,45，则第5项是( ) A ．405 B ．－405 C ．135D ．－135解析：选A ∵a 5＝a 1q 4，而a 1＝5，q ＝a 2a 1＝－3，∴a 5＝405.2．(辽宁高考)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1⇒2q 2－5q ＋2＝0⇒q ＝2或12，由a 25＝a 10＝a 1q 9>0⇒a 1>0， 又数列{a n }递增， 所以q ＝2.a 25＝a 10>0⇒(a 1q 4)2＝a 1q 9⇒a 1＝q ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n. 答案：2n[例2] 已知数列{a n }是首项为2，公差为－1的等差数列，令b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a n ，求证数列{b n }是等比数列，并求其通项公式．[解] 依题意a n ＝2＋(n －1)×(－1)＝3－n ，于是b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123－n.而b n b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫124－n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2. ∴数列{b n }是首项为14，公比为2的等比数列，通项公式为b n ＝2n －3.[类题通法]证明数列是等比数列常用的方法 (1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 为常数且q ≠0)或a na n －1＝q (q 为常数且q ≠0，n ≥2)⇔ {a n }为等比数列；(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列； (3)通项公式法：a n ＝a 1q n －1(其中a 1，q 为非零常数，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列．[活学活用](全国丙卷改编)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0. (1)求a 2，a 3；(2)证明{a n }是等比数列，并求{a n }的通项公式． 解：(1)由题意可得a 2＝12，a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0 得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)． 因此{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12. 故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1.[例3] 设等差数列n 1k 1a 2k 的等比中项，则k 等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] ∵a n ＝(n ＋8)d ， 又∵a 2k ＝a 1·a 2k ，∴[(k ＋8)d ]2＝9d ·(2k ＋8)d ， 解得k ＝－2(舍去)，k ＝4. [答案] B [类题通法]等比中项的应用主要有两点(1)计算与其他性质综合应用．可以简化计算,提高速度和准确度． (2)用来判断或证明等比数列． [活学活用]已知1既是a 2与b 2的等比中项，又是1a 与1b 的等差中项，则a ＋b a 2＋b 2的值是( )A ．1或12B ．1或－12C ．1或13D ．1或－13解析：选D 由题意得，a 2b 2＝(ab )2＝1，1a ＋1b＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1，a ＋b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝－1，a ＋b ＝－2.因此a ＋b a 2＋b 2的值为1或－13.4.求解等比中项中的误区[典例] 等比数列{a n }(a n ＞0)满足a 1－a 5＝90，a 2－a 4＝36，求a 5，a 7的等比中项． [解] 设该等比数列的公比为q ，首项为a 1，由a 1－a 5＝90，a 2－a 4＝36得⎩⎪⎨⎪⎧a 1－a 1q 4＝90，a 1q －a 1q 3＝36，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝96，q ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－6，q ＝2.(舍)令G 是a 5，a 7的等比中项，则应有G 2＝a 5a 7＝a 1q 4·a 1q 6＝a 21q 10＝962×⎝ ⎛⎭⎪⎫1210＝9，所以a 5，a 7的等比中项是±3. [易错防范]1．误认为a 5，a 7的等比中项是a 6，故a 6＝a 1q 5＝96×⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝3.2．要明确同号两数的等比中项G 有两个，且互为相反数，若G 为a ，b 的等比中项，则G ＝±ab .[成功破障]等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项是( )A ．±4B ．4C ．±14D.14解析：选A 依题意得a 4·a 8＝(a 1q 3)·(a 1q 7)＝(a 1q 5)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18×252＝42，∴a 4与a 8的等比中项为±4.[随堂即时演练]1．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8等于( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2解析：选C 设公比为q ，由a 1＋2a 2＝a 3， 即a 1＋2a 1q ＝a 1q 2，得q 2－2q －1＝0. ∴q ＝2＋1，q ＝1－2(舍去)， 则a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝3＋2 2. 2．已知等差数列{a n }的公差为3，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于( ) A ．9 B ．3 C ．－3D ．－9解析：选D a 1＝a 2－3，a 3＝a 2＋3，a 4＝a 2＋3×2＝a 2＋6， 由于a 1，a 3，a 4成等比数列， 则a 23＝a 1a 4，所以(a 2＋3)2＝(a 2－3)(a 2＋6)， 解得a 2＝－9.3．在数列{a n }中，a 1＝2，且对任意正整数n,3a n ＋1－a n ＝0，则a n ＝________. 解析：∵3a n ＋1－a n ＝0， ∴a n ＋1a n ＝13， 因此{a n }是以13为公比的等比数列，又a 1＝2，所以a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.答案：2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －14．(全国卷Ⅱ改编)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝________.解析：∵a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)， ∴a 24＝4(a 4－1)，∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1＝214＝8，∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12.答案：125．(1)已知{a n }为等比数列，且a 5＝8，a 7＝2，该数列的各项都为正数，求a n ； (2)若等比数列{a n }的首项a 1＝98，末项a n ＝13，公比q ＝23，求项数n .解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4＝8，a 1q 6＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧q 2＝14，a 1＝128.∵a n ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝128.∴a n ＝128×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝28－n.(2)由a n ＝a 1·qn －1，得13＝98⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233，得n ＝4. [课时达标检测]一、选择题1．设a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，其公比为2，则2a 1＋a 22a 3＋a 4的值为( )A.14 B.12C.18D ．1解析：选A 原式＝2a 1＋a 2q 2a 1＋a 2＝1q 2＝14.2．已知一等比数列的前三项依次为x,2x ＋2,3x ＋3，那么－1312是此数列的第( )A ．2项B ．4项C ．6项D ．8项解析：选B 由x,2x ＋2,3x ＋3成等比数列， 可知(2x ＋2)2＝x (3x ＋3)， 解得x ＝－1或－4.又当x ＝－1时，2x ＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾．∴x ＝－4， ∴该数列是首项为－4，公比为32的等比数列，其通项a n ＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，由－4⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝－1312，得n ＝4.3．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，a 是b ，c 的等比中项，且a ＋3b ＋c ＝10，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－3D ．－4解析：选D 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，a 2＝bc ，a ＋3b ＋c ＝10，解得a ＝－4，b ＝2，c ＝8.4．若a ，b ，c 成等比数列，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0( )A ．必有两个不等实根B ．必有两个相等实根C ．必无实根D ．以上三种情况均有可能解析：选C ∵a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2＝ac ＞0.又∵Δ＝b 2－4ac ＝－3ac ＜0， ∴方程无实数根．5．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5＞a 2，则a n 等于( ) A ．(－2)n －1 B ．－(－2n －1)C ．(－2)nD ．－(－2)n解析：选A 设公比为q ，则a 1q 4＝－8a 1q ， 又a 1≠0，q ≠0，所以q 3＝－8，q ＝－2， 又a 5＞a 2，所以a 2＜0，a 5＞0， 从而a 1＞0，即a 1＝1，故a n ＝(－2)n －1.二、填空题6．等比数列{a n }中，a 1＝－2，a 3＝－8，则a n ＝________.解析：∵a 3a 1＝q 2，∴q 2＝－8－2＝4，即q ＝±2.当q ＝－2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×(－2)n －1＝(－2)n；当q ＝2时，a n ＝a 1qn －1＝－2×2n －1＝－2n.答案：(－2)n或－2n7．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则a 4＝________. 解析：设公比为q ，则a 1q 2＝3，a 1q 9＝384， 所以q 7＝128，q ＝2，故a 4＝a 3q ＝3×2＝6. 答案：68．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________． 解析：由a n ＝2S n －3得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)， ∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，a na n －1＝－1(n ≥2)． 故{a n }是公比为－1的等比数列．令n ＝1得a 1＝2a 1－3，∴a 1＝3，故a n ＝3·(－1)n －1.答案：a n ＝3·(－1)n －1三、解答题9．数列{a n }是公差不为零的等差数列，且a 5，a 8，a 13是等比数列{b n }中相邻的三项，若b 2＝5，求b n .解：∵{a n }是等差数列， ∴a 5＝a 1＋4d ，a 8＝a 1＋7d ，a 13＝a 1＋12d ，又a 5，a 8，a 13是等比数列{b n }中相邻的三项， ∴a 28＝a 5a 13，即(a 1＋7d )2＝(a 1＋4d )·(a 1＋12d )， 解得d ＝2a 1.设等比数列{b n }的公比为q (q ≠0)，则q ＝a 8a 5＝53，又b 2＝b 1q ＝5，即53b 1＝5，解得b 1＝3，∴b n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫53n －1.10．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12a n ＋13(n ＝1,2,3，…)．(1)当a n ≠23时，求证⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是等比数列；(2)当a 1＝76时，求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：因为a n ＋1＝12a n ＋13，改写成a n ＋1－23＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n －23.故当a n ≠23时数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是以12为公比的等比数列．(2)当a 1＝76时，a 1－23＝12.故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是首项为a 1－23＝12，公比为12的等比数列．∴a n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，即数列{a n }的通项公式为a n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N *)．(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．解：(1)由S 1＝13(a 1－1)， 得a 1＝13(a 1－1)， ∴a 1＝－12. 又S 2＝13(a 2－1)， 即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14. (2)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝13(a n －1)－13(a n －1－1)， 得a n a n －1＝－12，又a 1＝－12， 所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列． 12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，a 1＝1，数列{b n }满足b n ＝a n ＋1－2a n .(1)求证：数列{b n }是等比数列；(2)求数列{b n }的通项公式． 解：(1)证明：由S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，① 得S n ＝4a n －1＋2(n ≥2)，② 由①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)． 又b n ＝a n ＋1－2a n ＝4a n －4a n －1－2a n ＝2a n －4a n －1 ＝2(a n －2a n －1)＝2b n －1(n ≥2)， ∴数列{b n }是公比为2的等比数列．(2)又a 1＝1，S 2＝4a 1＋2＝6， 即a 2＋a 1＝6，∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3，∴b n ＝3×2n －1.。