高中北师版数学A版必修1(45分钟课时作业与单元测试卷)：2.4.2二次函数性质的再研究(二)

3．2 指数函数的性质及应用时间：45分钟 满分：80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．下列各函数中，指数函数的个数是( )①y ＝2x ②y ＝－x ③y ＝－(12)x ④y ＝(－2)x ⑤y ＝2×3x ⑥y ＝2x －1⑦y ＝(3a －1)x (a >13且a ≠23为常数) ⑧y ＝(2)xA ．2个B ．3个C ．4个D ．6个答案：B解析：①⑦⑧为指数函数．2．函数f (x )＝2|x |的值域是( )A ．(0,1]B ．(0,1)C ．[1，＋∞)D ．R答案：C解析：∵|x |≥0，∴2|x |≥20＝1，∴f (x )的值域为[1，＋∞)．3．已知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －4x 的图象与指数函数y ＝a x 的图象关于y 轴对称，则实数a 的值是( ) A ．1 B ．2C ．4D ．8答案：C解析：由两函数图象关于y 轴对称，可知12a －4与a 互为倒数，即a 2a －4＝1，解得a ＝4. 4．已知f (x )是偶函数，且当x >0时，f (x )＝10x ，则当x <0时，f (x )＝( )A ．10xB ．10－xC ．－10xD ．－10－x答案：B解析：设x <0，则－x >0，f (－x )＝10－x ，因为f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝10－x .5．函数f (x )＝2x －12x ＋1( ) A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数答案：A解析：∵f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝1－2x 1＋2x ＝－2x －12x ＋1＝－f (x )，又f (x )的定义域为R ，∴f (x )为奇函数，故选A. 6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a x ， x ＞1，4－a 2x ＋2，x ≤1，是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(1,8)C ．(4,8)D ．[4,8)答案：D解析：解法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4－a 2＞0，a 1≥4－a 2×1＋2. 解得4≤a ＜8. 解法二：当a ＝4时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ， x ＞1，2x ＋2，x ≤1.画出图像可知图像在R 上是上升的，所以a ＝4符合题意，排除C ；当a ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ， x ＞1，3x ＋2，x ≤1.画出图像可知图像在R 上不是上升的，所以a ＝2不符合题意，排除A 、B.故选D.二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．函数y ＝0.3223x x －－的递减区间是________．答案：[1，＋∞)解析：令u ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4在[1，＋∞)上单调递增．又y ＝0.3u 是减函数．故y ＝0.3223x x －－的递减区间是[1，＋∞)．8．已知函数f (x )＝4＋a x －1(a ＞0且a ≠1)的图像恒过点P ，则定点P 的坐标是________．答案：(1,5)解析：将y ＝a x 向右平移1个单位得y ＝a x －1的图像，再将y ＝a x －1向上平移4个单位，得y ＝a x －1＋4的图像，而y ＝a x 恒过点(0,1)，故y ＝a x －1＋4恒过点(1,5)．9．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：由数形结合，知当a >1时，图象只有一个公共点(如图1)；当0<a <1时，要使y ＝2a 与y ＝|ax －1|有两个公共点(如图2)，需满足0<2a <1，即0<a <12.故a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.三、解答题：(共35分，11＋12＋12)10．已知指数函数f (x )过点(2,4)．(1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝bf x ＋b －1f x ＋1为奇函数，求b 的值． 解：(1)∵f (x )为指数函数，∴设f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)．∵f (x )过点(2,4)，∴a 2＝4，得a ＝2，∴f (x )＝2x .(2)由(1)，知g (x )＝b ·2x ＋b －12x ＋1. ∵g (x )为奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，即b ·2－x ＋b －12－x ＋1＝－b ·2x ＋b －12x ＋1， 即b ＋b －1·2x 2x ＋1＝－b ·2x ＋1－b 2x ＋1， ∴1－b ＝b ，解得b ＝12. 11．设函数f (x )＝kx 2＋2x (k 为常数)为奇函数，函数g (x )＝a f (x )－1(a >0，且a ≠1)．(1)求k 的值；(2)求g (x )在[－1,2]上的最大值．解：(1)由题意，知f (－x )＝－f (x )，所以kx 2－2x ＝－kx 2－2x ，所以k ＝0.(2)由(1)，知f (x )＝2x ，所以g (x )＝a f (x )－1＝a 2x －1＝(a 2)x －1.①当a 2>1，即a >1时，g (x )＝(a 2)x －1在[－1,2]上为增函数，所以g (x )的最大值为g (2)＝a 4－1.②当a 2<1，即0<a <1时，g (x )＝(a 2)x －1在[－1,2]上为减函数，所以g (x )的最大值为g (－1)＝1a2－1. 所以g (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 4－1，a >11a 2－1，0<a <1.12．设函数f (x )＝14x ＋2. (1)求证：对一切x ∈R ，f (x )＋f (1－x )为定值；(2)记g (n )＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f (1)(n ∈N *)，求g (n )的解析式． 解：(1)f (x )＋f (1－x )＝14x ＋2＋141－x ＋2＝14x ＋2＋4x 4＋2·4x ＝12. (2)由(1)，知f (0)＋f (1)＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＝12，…，f (1)＋f (0)＝12. 将上述n ＋1个式子相加，得2g (n )＝n ＋12， 所以g (n )＝n ＋14(n ∈N *)．。

单元测试一本试卷满分：100分考试时间：90分钟班级________ 姓名________ 考号________ 分数________一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．符合条件{a，b，c}⊆P⊆{a，b，c，d，e}的集合P的个数是( )A．2 B．3C．4 D．8答案：C解析：符合条件的集合P有{a，b，c}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，c，d，e}，共4个．2．设U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，则集合{2,7,8}是( )A．A∪B B．A∩BC．(∁U A)∪(∁U B) D．(∁U A)∩(∁U B)答案：D解析：因为A∪B＝{1,3,4,5,6}，所以(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{2,7,8}，故选D.3．已知A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝x－1，x∈A}，则{0}与B的关系是( )A．{0}∈B B．{0}ØBC．{0}∉B D．{0}⊇B答案：B解析：因为x∈A，所以当x＝1时，y＝0；当x＝2时，y＝1；当x＝3时，y＝2；当x＝4时，y＝3.所以B＝{0,1,2,3}，所以{0}ØB，故选B.4．设集合P＝{3,4,5}，Q＝{4,5,6,7}，定义P※Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则P※Q中元素的个数为( ) A．3 B．4C．7 D．12答案：D解析：P※Q＝{(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(5,7)}，共有12个元素．5．组建一个12人特长活动小组，其中微机特长6人，科技特长8人，小组成员至少有微机和科技特长中一种，那么拥有两项特长的有( )A．6人 B．3人C．4人 D．2人答案：D解析：借助Venn图可直观表示它们的关系，如图，设两项特长的人为x人，则(6－x)＋x＋(8－x)＝12，∴x＝2.故选D.6．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么(∁I M)∩(∁I N)等于( ) A．∅ B．{d}C．{b，e} D．{a，c}。

2 实际问题的函数建模时间：45分钟 满分：80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．一水池有2个进水口，1 个出水口，进出水速度如下图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下4个说法，正确的是( )A ．0点到3点只进水不出水B ．3点到4点不进水只出水C ．4点到6点不进水不出水D ．以上都不正确答案：A解析：设进水量为y 1，出水量为y 2，时间为t ，由图知y 1＝t ，y 2＝2t .由图丙，知0点到3点蓄水量由0变为6，说明0点到3点时2个进水口均打开进水但不出水，故A 正确；3点到4点蓄水量随时间增加而减少且每小时减少1个单位，若3点到4点不进水只出水，应每小时减少2个单位，故B 不正确；4点到6点为水平线说明水量不发生变化，可能是不进不出，也可能所有水口都打开，进出均衡，故C 不正确．2．某人2010年1月1日到银行存入a 元，年利率为x ，若按复利计算，则到2015年1月1日可取款( )A ．a (1＋x )5元B ．a (1＋x )4元C ．[a ＋(1＋x )5]元D ．a (1＋x 5)元答案：A解析：2010年1月1日到银行存入a 元，到2011年1月1日本息共a (1＋x )元，作为本金转入下一个周期，到2012年1月1日本息共a (1＋x )(1＋x )＝a (1＋x )2(元)，因此，到2015年1月1日可取款a (1＋x )5元，故选A.3．某公司营销人员的月收入与其每月的销售量成一次函数关系，已知销售1万件时，收入为800元，销售3万件时收入为1600元，那么没有销售时其收入为( )A ．200元B ．400元C ．600元D ．800元答案：B解析：设月收入y 元与销售量x 万件之间的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将已知条件代入得⎩⎪⎨⎪⎧800＝k ·1＋b 1600＝k ·3＋b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝400b ＝400， ∴y ＝400x ＋400，当x ＝0时，y ＝400.因此，营销人员在没有销售时的收入是400元．4．某种商品计划提价，现有四种方案，方案(Ⅰ)先提价m %，再提价n %；方案(Ⅱ)先提价n %，再提价m %；方案(Ⅲ)分两次提价，每次提价(m ＋n 2)%；方案(Ⅳ)一次性提价(m ＋n )%，已知m ＞n ＞0，那么四种提价方案中，哪一种提价最多？( )A ．ⅠB ．ⅡC ．ⅢD ．Ⅳ答案：C解析：设原价为a ，则提价后的价格分别为：(Ⅰ)a (1＋m %)(1＋n %)；(Ⅱ)a (1＋n %)(1＋m %)；(Ⅲ)a (1＋m ＋n 2%)2；(Ⅳ)a [1＋(m ＋n )%]，(Ⅰ)、(Ⅱ)相同． ∵(1＋m ＋n 2%)2－(1＋m %)(1＋n %)＞0，(1＋m ＋n 2%)2－[1＋(m ＋n )%]＝(m ＋n 2%)2＞0∴(Ⅲ)＞(Ⅰ)，(Ⅲ)＞(Ⅳ)，故方案(Ⅲ)提价后价格最高，因而提价最多．5．从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升酒精，然后用水填满，摇匀后再倒出1升混合溶液，再用水填满，这样继续下去，如果倒出第k 次(k ≥1)时，共倒出纯酒精x 升，则k ＋1次时共倒出纯酒精f (x )升，则f (x )等于( )A.1920x B ．1＋1920x C ．20－1920x D ．20(1－1920x ) 答案：B解析：第k ＋1次倒出纯酒精为1×20－x 20升， 所以f (x )＝x ＋20－x 20＝1＋1920x 升． 6.某地兴修水利挖渠，其渠道的横截面为等腰梯形(如图)，腰与水平线的夹角为60°，要求横截面的周长(不含上底)为定值m ，要使流量最大，则渠深h 为( )A.16mB.13m C.26m D.36m 答案：D解析：等腰梯形的腰为233h ，周长为m ，下底为m －433h ，上底为m －433h ＋233h ＝m －233h ， ∴S 等腰梯形＝12(2m －633h )h ＝－3h 2＋mh ＝－3(h －36m )2＋312m 2(0＜h ＜34m )， 当h ＝36m 时， S max ＝312m 2，此时流量最大． 二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．一个水池每小时注入水量是全池的110，水池还没注水部分的总量y 随注水时间x 变化的关系式是________．答案：y ＝1－110x (0≤x ≤10) 解析：依题意列出函数式即可．8．将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个销售涨价一元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个________元．答案：14解析：设每个涨价x 元，则实际销售价为(10＋x )元，销售的个数为(100－10x )，则利润为y ＝(10＋x )(100－10x )－8(100－10x )＝－10(x －4)2＋360(0≤x ＜10)．因此x ＝4，即售价定为每个14元时，利润最大．9．如图，一动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发，沿正方形的边界逆时针运动一周，再回到点A .若点P 运动的路程为x ，点P 到顶点A 的距离为y ，则A ，P 两点间的距离y 与点P 运动的路程x 之间的函数关系式是________．可求得方程x －25＝e x －26的解为x ＝26，∴当每千克蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的日销量利润为100e 4.12．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图(一)的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图(二)的抛物线段表示．(1)写出图(一)表示的市场售价与时间的函数关系式P ＝f (t )；写出图(二)表示的种植成本与时间的函数关系式Q ＝g (t )．(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天)解：(1)由题图(一)可得市场售价与时间的函数关系为f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 300－t ，0≤t ≤200，2t －300，200＜t ≤300. 由题图(二)可得种植成本与时间的函数关系为g (t )＝1200(t －150)2＋100,0≤t ≤300. (2)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得h (t )＝f (t )－g (t )，即h (t )＝⎩⎨⎧－1200t 2＋12t ＋1752，0≤t ≤200，－1200t 2＋72t －10252，200＜t ≤300. 当0≤t ≤200时，配方整理得h (t )＝－1200(t －50)2＋100.所以，当t ＝50时，h (t )取得区间[0,200]上的最大值100；当200＜t ≤300时，配方整理得h (t )＝－1200(t －350)2＋100. 所以，当t ＝300时，h (t )取得区间(200,300]上的最大值87.5.综上，由100＞87.5可知，h (t )在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t ＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．。

6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．当2＜x＜4时，2x，x2，log2x的大小关系是()A．2x＞x2＞log2x B．x2＞2x＞log2xC．2x＞log2x＞x2D．x2＞log2x＞2x答案：B解析：解法一：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x，在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图像，所以x2＞2x＞log2x.解法二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经检验容易知道选B.2．函数y＝2x与y＝x2图像的交点个数是()A．0 B．1C．2 D．3答案：D解析：作出两个函数的图像，在第一象限中有两个交点，在第二象限中有一个交点，即有三个交点．3．已知m＝0.95.1，n＝5.10.9，p＝log0.95.1，则这三个数的大小关系是()A．m＜n＜p B．m＜p＜nC．p＜m＜n D．p＜n＜m答案：C解析：0＜m＜1，n＞1，p＜0.4．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，有()A．f(x)>g(x)>h(x)B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x)D．f(x)>h(x)>g(x)答案：B解析：由三个函数的图象变化趋势可得B选项正确．5．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系可用图象表示为()答案：A解析：由于前三年年产量的增长速度越来越快，故总产量迅速增长，后三年年产量保持不变，故总产量直线上升，图中符合这个规律的只有选项A.故选A.6．能使不等式log2x<x2<2x成立的x的取值范围是()A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)x ，y 2＝a 的图象，如图所示．，只需(－1)2－a －1≤12≤12，即a ≥12，∴12≤∪(1,2]．。

(2)＝0.作出f(x)的大致图象，)<0，所以xf(x)<0.故xf()则该厂六年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系可用图像表示为图中的()C D由题意分析即得，图像共分两段，第一段为曲线上升，并且越来越陡，第二段为直线上升的线，从M到P的映射f：x→y＝1x2＋1，则映射f的值域为() B．{y|y∈R＋}D．{y|0＜y≤1}，∴x2＋1≥1，上的函数f(x)在区间(－∞，2)上单调递增，且f(x＋2)的图象关于直线x＝B．f(－1)>f(3)D．f(－1)＝f(3)2)的图象关于直线x＝0对称，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称．又(2，＋∞)上单调递减．作出函数f(x)的大致图象，如图所示．由图象，知，则f(－a)等于()－1，所以f(a)＝g(a)－1＝解得a ＝－1或a ＝32. (2)∵函数f (x )的值域为非负数集，∴2a ＋6－4a 2≥0.即2a 2－a －3≤0，∴－1≤a ≤32， ∴g (a )＝2－a |a ＋3|＝2－a (a ＋3)＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋174， ∴g (a )在⎣⎡⎦⎤－1，32上单调递减， ∴－194＝g ⎝⎛⎭⎫32≤g (a )≤g (－1)＝4. 即函数g (a )的值域为⎣⎡⎦⎤－194，4. 17．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，1≤x ≤2x －1，2<x ≤3，g (x )＝f (x )－ax ，x ∈[1,3]，其中a ∈R ，记函数g (x )的最大值与最小值的差为h (a )．(1)求函数h (a )的解析式；(2)画出函数h (a )的图象，并指出h (a )的最小值．解：(1)由题意，知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－ax ，1≤x ≤2(1－a )x －1，2<x ≤3. 当a <0时，函数g (x )是[1,3]上的增函数，此时g (x )max ＝g (3)＝2－3a ，g (x )min ＝g (1)＝1－a ，所以h (a )＝1－2a .当a >1时，函数g (x )是[1,3]上的减函数，此时g (x )min ＝g (3)＝2－3a ，g (x )max ＝g (1)＝1－a ，所以h (a )＝2a －1.当0≤a ≤1时，若x ∈[1,2]，则g (2)≤g (x )≤g (1)，若x ∈(2,3]，则g (2)<g (x )≤g (3)，因此g (x )min ＝g (2)＝1－2a ，而g (3)－g (1)＝(2－3a )－(1－a )＝1－2a ，故当0≤a ≤12时，g (x )max ＝g (3)＝2－3a ，有h (a )＝1－a ； 当12<a ≤1时，g (x )max ＝g (1)＝1－a ，有h (a )＝a . 综上所述，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ，a <01－a ，0≤a ≤12a ，12<a ≤12a －1，a >1(2)画出y ＝h (a )的图象，如图所示，由图象可得h (a )min ＝h ⎝⎛⎭⎫12＝12.18．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含＝f (t )；每毫升血液中含药量不少于49微克时，对治疗有效， ， ≤113，有1＜t ≤113. 小时．。