2016-2017学年成才之路·人教B版数学·选修1-1练习：第2章 圆锥曲线与方程2.2 第2课时 Word版含解析

选修1-1 第二章 2.1 2.1.2一、选择题1．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于导学号 92600326( )A ．4B ．5C ．7D ．8[答案] D[解析] 由题意知，c ＝2，a 2＝m －2，b 2＝10－m ， ∴m －2－10＋m ＝4，∴m ＝8.2．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e 为导学号 92600327( )A ．12B ．13C ．14D ．22 [答案] A[解析] 由题意，得a ＝2c ，∴e ＝c a ＝12.3．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是导学号 92600328( )A ．x 225＋y 220＝1B ．x 220＋y 225＝1C ．x 220＋y 245＝1D ．x 280＋y 285＝1[答案] B[解析] 椭圆9x 2＋4y 2＝36的焦点为(0，5)，(0，－5)， ∵b ＝25，∴a 2＝25，故选B ．4．若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为导学号 92600329( )A ．5－12 B ．3－12 C ．32D ．5＋12[答案] A[解析] 设椭圆的焦距为2c ，短轴长为2b ，长轴长为2a ，由题意得(2b )2＝4ac ，即b 2＝ac .又b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2＝ac ， ∴e 2＋e －1＝0，∴e ＝－1±52.∵e ∈(0,1)，∴e ＝5－12. 5．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为导学号 92600330( )A ．14B ．12C ．2D ．4[答案] A[解析] 由题意y 21m ＋x 2＝1，且1m＝2， ∴m ＝14.故选A ．6．已知焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 2＝1，其离心率为32，则实数m 的值是导学号 92600331( )A ．4B ．14C ．4或14D ．12[答案] B[解析] 由题意，得a 2＝1，b 2＝m ， ∴c 2＝a 2－b 2＝1－m ， ∴离心率e ＝c a ＝1－m ＝32，∴m ＝14.二、填空题7．已知椭圆的中心在原点，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆标准方程为________.导学号 92600332[答案] x 281＋y 272＝1或x 272＋y 281＝1[解析] ∵椭圆长轴长为18，∴a ＝9. 又两个焦点将长轴三等分，∴a －c ＝2c ，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝72. ∵焦点位置不确定，∴方程为x 281＋y 272＝1或x 272＋y 281＝1.8．椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝________.导学号 92600333[答案] 3或163[解析] 当焦点在x 轴上时，e ＝4－m 2＝12， ∴m ＝3.当焦点在y 轴上时，e ＝m －4m＝12，∴m ＝163. 9．已知B 1、B 2为椭圆短轴的两个端点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，若四边形B 1F 1B 2F 2为正方形，则椭圆的离心率为________.导学号 92600334[答案]22[解析] 如图，由已知得b ＝c ＝22a ，∴e ＝c a ＝22.三、解答题10．(2016·江苏苏州高二检测)已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1、F 2的连线互相垂直.导学号 92600335(1)求椭圆的离心率； (2)求△PF 1F 2的面积．[解析] (1)由题意可知a 2＝49，b 2＝24，∴a ＝7，b ＝26，c 2＝a 2－b 2＝25，∴c ＝5，e ＝57.(2)由椭圆定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝14，由题意可知在Rt △PF 1F 2中有：|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝100，∴2|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|2＋|PF 2|2)＝142－100＝96， ∴|PF 1||PF 2|＝48.∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝24.一、选择题1．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为12，则椭圆方程为导学号 92600336( )A ．x 2144＋y 2128＝1或x 2128＋y 2144＝1B ．x 26＋y 24＝1C ．x 236＋y 232＝1或x 232＋y 236＝1D ．x 24＋y 26＝1或x 26＋y 24＝1[答案] C[解析] 由条件知a ＝6，e ＝c a ＝13，∴c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝32，故选C ．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为导学号 92600337( )A ．x 23＋y 22＝1B ．x 23＋y 2＝1C ．x 212＋y 28＝1D ．x 212＋y 24＝1[答案] C[解析] 根据条件可知c a ＝33，且4a ＝43，∴a ＝3，c ＝1，b 2＝2，椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.3．若直线y ＝x ＋6与椭圆x 2＋y 2m2＝1(m >0且m ≠1)只有一个公共点，则该椭圆的长轴长为导学号 92600338( )A ．1B ． 5C ．2D ．2 5[答案] D[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋6x 2＋y 2m 2＝1，得(1＋m 2)x 2＋26x ＋6－m 2＝0，由已知Δ＝24－4(1＋m 2)(6－m 2)＝0，解得m 2＝5， ∴椭圆的长轴长为2 5.4．已知直线l 过点(3，－1)，且椭圆C ：x 225＋y 236＝1，则直线l 与椭圆C 的公共点的个数为导学号 92600339( )A ．1B ．1或2C ．2D ．0[答案] C[解析] 因为直线过定点(3，－1)且3225＋(－1)236<1，所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l 与椭圆有2个公共点．二、填空题5．若椭圆的一个焦点将其长轴分成3 2两段，则椭圆的离心率为________.导学号 92600340[答案] 5－2 6[解析] 椭圆的一个焦点将其长轴分成a ＋c 与a －c 两段， ∴a ＋c a －c ＝32， ∴(3－2)a ＝(3＋2)c ， ∴e ＝ca＝5－2 6.6．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形，焦点在x 轴上，且a －c ＝3，则椭圆的方程是________.导学号 92600341[答案] x 212＋y 29＝1[解析] 如图所示，cos ∠OF 2A ＝cos60°＝|OF 2||AF 2|，即c a ＝12.又a －c ＝3， ∴a ＝23，c ＝3， ∴b 2＝(23)2－(3)2＝9. ∴椭圆的方程是x 212＋y 29＝1.三、解答题7．已知斜率为1的直线l 经过椭圆x 2＋4y 2＝4的右焦点交椭圆于A 、B 两点，求弦长|AB |.导学号 92600342[解析] 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由椭圆方程知：a 2＝4，b 2＝1，∴c 2＝3，∴右焦点F (3，0)．∴直线l 的方程为y ＝x －3，代入椭圆方程得 5x 2－83x ＋8＝0. ∴x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85，∴|AB |＝2|x 2－x 1|＝2(x 1＋x 2)2－8x 1x 2＝85.8．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率.导学号 92600343[解析] 解法一：设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a 、b 、c ，则焦点为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，M 点的坐标为(c ，23b )，则△MF 1F 2为直角三角形.在Rt △MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2， 即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a .所以b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53.解法二：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则M (c ，23b )．代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，所以c 2a 2＝59，所以c a ＝53，即e ＝53.。

第一章 1.2 第1课时一、选择题1．下列结论不正确的是A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝1x，则y ′＝－12xC ．若y ＝x ，则y ′＝12xD ．若y ＝x ，则y ′＝1 答案] B解析] 本题主要考查几个常用函数的导数，解决此题的关键是熟练掌握几个常用函数的导数，A 正确；对于B ，y ′＝(1x )′＝(x －12 )′＝－12x －32 ＝－12x 3，不正确．对于C ，y ′＝(x )′＝12x －12 ＝12x，正确．对于D ，正确．2．y ＝13x 2的导数为A.23x －13 B ．x 23C ．x－23D ．－23x －53答案] D 解析] y ′＝(x －23 )′＝－23·x －53 .∴选D.3．y ＝2x 在点A (1,2)处的切线方程为A ．2x ＋y －4＝0B ．2x －y ＋2＝0C ．2x ＋y ＋4＝0D ．2x －y －2＝0答案] A解析] ∵f ′(x )＝－2x 2，f ′(1)＝－2，∴由点斜式直线方程得y －2＝－2(x －1)， 即2x ＋y －4＝0.4．曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为A ．1B ．－π4C.π4 D ．5π4答案] C解析] ∵y ＝13x 3，∴y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π4.5．(2015·青岛市胶州市高二期中)设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x )，且f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为A ．9x －y －16＝0B ．9x ＋y －16＝0C ．6x －y －12＝0D ．6x ＋y －12＝0答案] A解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a －3)， ∵f ′(x )是偶函数，∴3(－x )2＋2a (－x )＋(a －3)＝3x 2＋2ax ＋(a －3)， 解得a ＝0，∴f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3，则f (2)＝2，k ＝f ′(2)＝9， 即切点为(2,2)，切线的斜率为9，∴切线方程为y －2＝9(x －2)，即9x －y －16＝0. 故选A.6．直线y ＝x 5的斜率等于5的切线的方程为 A ．5x －y ＋4＝0 B ．x －y －4＝0C ．x －y ＋4＝0或x －y －4＝0D ．5x －y ＋4＝0或5x －y －4＝0 答案] D解析] ∵y ′|x ＝x 0＝5x 40＝5，∴x 0＝±1.∴切点坐标为(1,1)，(－1，－1)．又切线斜率为5，由点斜式得切线方程为5x －y ＋4＝0或5x －y －4＝0.故选D. 7．质点沿直线运动的路程和时间的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为 A.12523B ．110523C.25523 D ．110523答案] B解析] ∵s ′|t ＝4＝15t －45 |t ＝4＝110523.故选B.8．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为 A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x －1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x －2答案] A解析] 本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．由题可知，点(1,0)在曲线y ＝x 3－2x ＋1上，求导可得y ′＝3x 2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y ＝x 3－2x ＋1的切线方程为y ＝x －1，故选A.二、填空题9．曲线y ＝1x 上一点P 处的切线的斜率为－4，则P 的坐标为________．答案] (12，2)或(－12，－2)解析] 设P (x 0，y 0)，则k ＝y ′|x ＝x 0＝－1x 20＝－4，∴x 20＝14，∴x 0＝12或－12，当x 0＝12时，y 0＝2，当x 0＝－12时，y 0＝－2，∴P 点坐标为(12，2)或(－12，－2)．10．y ＝13x的导数为________．答案] －13－4311．在曲线y ＝4x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为________．答案] (2,1)解析] ∵y ＝4x －2，∴y ′＝－8x －3，∴－8x －3＝－1，∴x 3＝8， ∴x ＝2，∴P 点坐标为(2,1)． 三、解答题12．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程． 解析] (1)设y ＝f (x )＝13x 3＋43，则y ′＝x 2，∴k ＝f ′(2)＝4，∴所求切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设切点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43， 则切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)． 又切线过点P (2,4)， ∴4－⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(2－x 0)，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 0＝－1或x 0＝2，∴切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.一、选择题1．已知函数f (x )＝x 3的切线斜率等于1，则切线有 A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定答案] B解析] 设切点为(x 0，x 30)，∵f ′(x )＝3x 2， ∴k ＝f ′(x 0)＝3x 20，即3x 20＝1，∴x 0＝±33，即在点⎝⎛⎭⎫33，39和点⎝⎛⎭⎫－33，－39处有斜率为1的切线，故选B. 2．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝ A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0答案] B解析] 本题考查函数知识、求导运算及整体代换的思想，f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(－1)＝－4a －2b ＝－(4a ＋2b )，f ′(1)＝4a ＋2b ，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2，要善于观察，故选B.3．若对任意的x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则此函数解析式为 A ．f (x )＝x 4 B ．f (x )＝x 4－2 C ．f (x )＝x 4＋1 D ．f (x )＝x 4－1答案] B解析] 由f ′(x )＝4x 3知，f (x )中含有x 4项，然后将x ＝1代入四个选项中验证，B 正确，故选B.4．已知曲线y ＝x 3－1与曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为A.33 B ．333 C. 3 D ．393 答案] D解析] 由导数的定义容易求得，曲线y ＝x 3－1在x ＝x 0处切线的斜率k 1＝3x 20，曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处切线的斜率为k 2＝－x 0，由于两曲线在x ＝x 0处的切线互相垂直，∴3x 20·(－x 0)＝－1，∴x 0＝393，故选D. 二、填空题5．函数y ＝x 2过点(2,1)的切线方程为________．答案] (4＋23)x －y －7－43＝0或(4－23)x －y －7＋43＝0解析] y ′＝2x ，设切点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 20. 切线斜率为2x 0＝x 20－1x 0－2，∴x 20－4x 0＋1＝0，∴x 0＝2±3，∴斜率k ＝2x 0＝4±23，∴切线方程为y －1＝(4±23)(x －2)．6．已P (－1,1)，Q (2,4)是曲线f (x )＝x 2上的两点，则与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程是________．答案] 4x －4y －1＝0解析] y ＝x 2的导数为y ′＝2x ，设切点M (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0.∵PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1，又切线平行于PQ ，∴k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1.∴x 0＝12.∴切点M ⎝⎛⎭⎫12，14.∴切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.7．若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是________．答案] 4解析] y ′＝12x ，切线方程为y －a ＝12a (x －a )，令x ＝0得，y ＝a2， 令y ＝0得，x ＝－a ， 由题意知12·a2·a ＝2，∴a ＝4.三、解答题8．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．解析] ∵过抛物线上一点的切线且与直线x －y －2＝0平行的直线与x －y －2＝0的距离最短．y ′＝2x ，令2x ＝1 ∴x ＝12代入y ＝x 2得y ＝14，∴切点为⎝⎛⎭⎫12，14，则切线方程为y －14＝x －12， 即x －y －14＝0.∴x －y －14＝0与x －y －2＝0的距离为|2－14|12＋(－1)2＝728，∴728即为所求的最短距离． 简解：d ＝|x －x 2－2|2＝|(x －12)2＋74|2≥728.当且仅当x ＝12时取等号，∴所求最短距离为728.9．求曲线y ＝x 3过点Q (1，12)的切线方程．解析] ∵点(1，12)不在曲线y ＝x 3上，∴设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30， k PQ ＝y 0－12x 0－1＝x 30－12x 0－1.又y ′＝3x 2，则k PQ ＝f ′(x 0)＝3x 20， 则有3x 20＝x 30－12x 0－1，化简得2x 30－3x 2＋12＝0， 解得x 0＝12或x 0＝1＋32或x 0＝1－32.①x 0＝12时，k PQ ＝34，切线为y －12＝34(x －1)，即3x －4y －1＝0.②x 0＝1＋32时，k PQ ＝6＋332，切线为y －12＝6＋332(x －1)，即(6＋33)x －2y －5－33＝0. ③x 0＝1－32时，k PQ ＝6－332，切线为y －12＝6－332(x －1)，即(6－33)x －2y －5＋33＝0. 综上，所求切线的方程为3x －4y －1＝0或(6＋33)x －2y －5－33＝0或(6－33)x －2y －5＋33＝0.。

第一章 1.4 第2课时一、选择题1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为 ( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1答案] C解析] 本题考查定积分的计算、微积分基本定理． ⎠⎛01(2x ＋e x)d x ＝(x 2＋e x )|10＝1＋e －1＝e. 2．下列各式中，正确的是 ( ) A.⎠⎛ab f ′(x )d x ＝f ′(b )－f ′(a )B.⎠⎛a b f ′(x )d x ＝f ′(a )－f ′(b )C.⎠⎛ab f ′(x )d x ＝f (b )－f (a ) D.⎠⎛ab f ′(x )d x ＝f (a )－f (b )答案] C解析] 要分清被积函数和原函数．3．已知自由落体的运动速度v ＝gt (g 为常数)，则当t ∈1,2]时，物体下落的距离为)A.12g B ．g C.32g D ．2g答案] C解析] 物体下落的距离s ＝⎠⎛12gt d t ＝12gt 2| 21＝32g .故选C.4．(2015·湖南理，11)⎠⎛02(x －1)d x ＝ ( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案] A解析] ⎠⎛02 (x －1)d x ＝(12x 2－x )|20＝0，故选A.5．若曲线y ＝x 与直线x ＝a 、y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则正实数a 为( )A.49 B.59 C.43 D ．53答案] A解析] 由题意知，⎠⎛0a x d x ＝a 2，∵(23x 32 )′＝x 12 ，∴⎠⎛0ax d x ＝23x 32 |a 0＝23a 32 ， ∴23a 32 ＝a 2，∴a ＝49. 6．曲线y ＝cos x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是 ( ) A ．4 B ．2 C.52 D ．3答案] D解析] 由y ＝cos x 图象的对称性可知，y ＝cos x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤3π2与坐标轴所围面积是3⎠⎜⎛0π2cos x d x ＝3sin x ⎪⎪⎪⎪π20＝3.故选D.7．如图，阴影部分的面积是 ( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323 D ．353答案] C解析] ⎠⎛-31(3－x 2－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫3x －13x 3－x 2| 1－3＝323.故选C. 8.⎠⎛03|x 2－4|d x ＝ ( )A.213 B ．223C ．233D ．253答案] C解析] ⎠⎛03|x 2－4|d x ＝⎠⎛02(4－x 2)d x ＋⎠⎛23(x 2－4)d x＝⎝⎛⎭⎫4x －13x 3| 20＋⎝⎛⎭⎫13x 3－4x | 32＝233 .故选C. 二、填空题9．(2015·青岛市胶州市高二期中)若⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝2，则k 的值为________．答案] 1解析] ⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝(x 2＋kx )|10＝1＋k ＝2，解得k ＝1，故答案为1.10．如图，阴影部分面积用定积分表示为________．答案] ⎠⎛13(f (x )－g (x ))d x11．(2015·三峡区期中)由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形(下图中的阴影部分)的面积是________．答案] 22－2解析] 由三角函数的对称性和题意可得 S ＝2(cos x －sin x )d x＝2(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π40＝2(22＋22)－2(0＋1) ＝22－2. 三、解答题 12．求下列定积分．(1)⎠⎛123x d x ； (2)⎠⎛01x 3d x ； (3)⎠⎛-11 e x d x .解析] (1)因为(ln x )′＝1x ，所以⎠⎛123xd x ＝3ln x | 21＝3(ln2－ln1)＝3ln2.(2)∵⎝⎛⎭⎫14x 4′＝x 3，∴⎠⎛01x 3d x ＝14x 4| 10＝14. (3)∵(e x )′＝e x ，∴⎠⎛-11e x d x ＝e x | 1－1＝e －1e .一、选择题1．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝ ( )A ．－1B ．－13C ．13D ．1答案] B解析] 本题考查定积分的求法． 根据题设条件可得⎠⎛01f (x )d x ＝－x 33|10＝－13.2．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为 ( ) A.112 B.14 C.13 D.712答案] A解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝x 3得交点为(0,0)，(1,1)． ∴S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 410＝112. 3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(0≤x <1)2－x (1<x ≤2)，则⎠⎛02f (x )d x 等于 ( )A.34 B ．45C.56 D ．不存在答案] C解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ，取F 1(x )＝13x 3，F 2(x )＝2x －12x 2，则F ′1(x )＝x 2，F ′2(x )＝2－x ，∴⎠⎛02f (x )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝13－0＋2×2－12×22－⎝⎛⎭⎫2×1－12×12＝56.故选C. 4．若S 1＝⎠⎛12x 2dx ，S 2＝⎠⎛121x dx ，S 3＝⎠⎛12e x dx ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1答案] B解析] S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝x 33|21＝73.S 2＝⎠⎛121xd x ＝ln x |21＝ln2－ln1＝ln2.S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)．∵e>2.7，∴S 3>3>S 1>S 2.故选B. 二、填空题5．(2015·锦州期中)⎠⎛－11(x 2＋sin x )dx ＝________.答案] 23解析] 本题考查了定积分的知识，由于⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝⎪⎪(13x 3－cos x )1－1＝13－cos1－(－13－cos1)＝23，定积分在高考题中题目较为简单，要熟练记住一些函数的导数与积分式．6．已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)、B (12，5)、C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．答案] 54解析] 本题考查待定系数法与定积分的计算． 设直线为y ＝kx ＋b ，代入点B 的坐标，∴y ＝10x . 代入B ，C 两点的坐标，则⎩⎪⎨⎪⎧5＝12k ＋b0＝k ＋b ，∴k ＝－10，b ＝10.∴y ＝⎩⎨⎧10x (0≤x ≤12)－10x ＋10 (12<x ≤1) ，∴f (x )＝⎩⎨⎧10x 2 (0≤x ≤12)－10x 2＋10x (12<x ≤1) .∴S ＝10x 2dx ＋(10x －10x 2)dx＝10·x 33⎪⎪⎪⎪120＋10·(x 22－x 33)⎪⎪⎪⎪1 12＝512＋1012＝54.定积分的几何意义即曲边梯形的面积． 三、解答题7．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求汽车在这1min 内所行驶的路程．解析] 由速度—时间曲线易知， v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t t ∈[0，10)，30 t ∈[10，40)，－1.5t ＋90 t ∈[40，60].由变速直线运动的路程表达式可得 取H (t )＝3t 22，F (t )＝30t ，G (t )＝－34t 2＋90t ，则H ′(t )＝3t ，F ′(t )＝30，G ′(t )＝－1.5t ＋90.从而s ＝⎠⎛0103t d t ＋⎠⎛104030d t ＋⎠⎛4060(－1.5t ＋90)d t＝H (10)－H (0)＋F (40)－F (10)＋G (60)－G (40) ＝1350(m)．答：该汽车在这1min 内所行驶的路程是1350m.简解：由定积分几何意义知所求路程即为图中梯形ABCO 的面积，即(30＋60)×302＝1350(m)．8．(1)已知f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值； (2)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值．解析] (1)因为⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2′＝2ax 2－a 2x ， 所以⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2| 1＝23a －12a 2. 所以f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎫a 2－43a ＋49＋29 ＝－12⎝⎛⎭⎫a －232＋29.所以当a ＝23时，f (a )有最大值29 .(2)∵f (－1)＝2，f ′(0)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2b ＝0 ① 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x ，取F (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ，则F ′(x )＝ax 2＋bx ＋c .∴⎠⎛01f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋12b ＋c ＝－2②解①②得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.。

第二章 2.1 2.1.2一、选择题1．方程x 2＋(x 2＋y 2－1)2＝0所确定的曲线是( ) A ．y 轴或圆 B ．两点(0,1)与(0，－1) C ．y 轴或直线y ＝±1 D ．以上都不正确[答案] B[解析] x 2＋(x 2＋y 2－1)2＝0，即x ＝0且x 2＋y 2－1＝0，表示两点(0,1)与(0，－1)． 2．已知点M (－2,0)、N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2)B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝16D ．x 2＋y 2＝16(x ≠±4) [答案] A[解析] 由直角三角形斜边中线等于斜边一半知|PO |＝2，即x 2＋y 2＝4，但M 、N 、P 不能共线，故P 点轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)，故答案为A.3．到A (2，－3)和B (4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是( ) A ．x －y －1＝0 B ．x －y ＋1＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．x ＋y ＋1＝0 [答案] C[解析] 设点的坐标为(x ，y )，根据题意有 (x －2)2＋(y ＋3)2＝(x －4)2＋(y ＋1)2化简得x ＋y －1＝0.4．方程y ＝|x |x2表示的曲线是( )[答案] B[解析] y ＝|x |x 2＝1|x |，故选B.5．已知A (－1,0)、B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( ) A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0 B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0 C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0 D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0 [答案] B[解析] |AB |＝5，∴C 到AB 的距离d ＝2S5＝4，设C (x ，y )、AB 所在的直线为4x －3y ＋4＝0，∴4＝|4x －3y ＋4|42＋32，∴|4x －3y ＋4|＝20，∴4x －3y ＋4＝20或4x －3y ＋4＝－20 故4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0，故选B.6．方程(x ＋1)·(y －1)＝1(x ≠0)表示的曲线关于____对称( ) A ．直线y ＝x B ．直线y ＝x ＋2 C ．直线y ＝－x D ．(－1 ，－1)中心[答案] B[解析] 曲线(x ＋1)(y －1)＝1，即y －1＝1x ＋1可看作曲线y ＝1x 沿x 轴向左平移1个单位，沿y 轴向上平移1个单位得到的，而y ＝1x 关于y ＝x 对称，故曲线y －1＝1x ＋1关于直线y ＝x＋2对称．二、填空题7．已知l 1是过原点O 且与向量a ＝(2，－λ)垂直的直线，l 2是过定点A (0,2)且与向量b ＝(－1，λ2)平行的直线，则l 1与l 2的交点P 的轨迹方程是________，轨迹是________________．[答案] x 2＋(y －1)2＝1(y ≠0) 以(0,1)为圆心，1为半径的圆(不包括原点)[解析] 由题意，l 1可为过原点除x 轴的任意直线，l 2可为过A (0,2)除y 轴的任意直线，由平面几何性质知，向量a ，b 共线，方向相反，l 1与a 垂直，l 2与b 平行，则l 1与l 2相互垂直，交点P 的轨迹是以(0,1)为圆心，OA 为直径的圆周除去原点O 的部分．8．已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点为P (2,3)，则过两点Q 1(a 1，b 1)，Q 2(a 2，b 2)的直线方程是____________．[答案] 2x ＋3y ＋1＝0[解析] P (2,3)在a 1x ＋b 1y ＋1＝0上，代入得2a 1＋3b 1＋1＝0，同理2a 2＋3b 2＋1＝0.故(a 1，b 1)，(a 2，b 2)都在直线2x ＋3y ＋1＝0上，两点确定一条直线，故过Q 1，Q 2两点的直线方程为2x ＋3y ＋1＝0.三、解答题9．求(x －1)2＋(y －1)2＝1关于直线x ＋y ＝0的对称曲线的方程．[解析] 设所求对称曲线上任一点的坐标为(x ，y )，它关于x ＋y ＝0的对称点为(x 1，y 1)，根据对称定义知：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝0y 1－yx 1－x ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－yy 1＝－x ，∵(x 1，y 1)在(x －1)2＋(y －1)2＝1上 ∴(x 1－1)2＋(y 1－1)2＝1， ∴有(－y －1)2＋(－x －1)2＝1， 即(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1.一、选择题1．下面所给图形的方程是图中的曲线方程的是( )[答案] D[解析] A 不是，因为x 2＋y 2＝1表示以原点为圆心，半径为1的圆，以方程的解为坐标的点不都是曲线上的点，如(22，－22)的坐标适合方程x 2＋y 2＝1，但不在所给曲线上；B 不是，理由同上，如点(－1,1)适合x 2－y 2＝0，但不在所给曲线上；C 不是，因为曲线上的点的坐标都不是方程的解，如(－1,1)在所给曲线上，但不适合方程lg x ＋lg y ＝1.2．平行四边形ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)，顶点D 在直线3x －y ＋1＝0上移动，则顶点B 的轨迹方程为( )A ．3x －y －20＝0(x ≠13)B ．3x －y －10＝0(x ≠13)C ．3x －y －12＝0(x ≠13)D ．3x －y －9＝0(x ≠13)[答案] A[解析] 设AC 、BD 交于点O ， ∵A 、C 分别为(3，－1)(2，－3)， ∴O 为(52，－2)，设B 为(x ，y )，∴D 为(5－x ，－4－y )． ∵D 在3x －y ＋1＝0上，∴15－3x ＋4＋y ＋1＝0，由于A 、B 、C 、D 不共线则应除去与直线AC 的交点(13,19)，故所求轨迹方程为3x －y －20＝0(x ≠13)．3．设动点P 是抛物线y ＝2x 2＋1上任意一点，点A (0，－1)，点M 使得PM →＝2MA →，则M 的轨迹方程是( )A ．y ＝6x 2－13B ．y ＝3x 2＋13C ．y ＝－3x 2－1D ．x ＝6y 2－13[答案] A[解析] 设M 为(x ，y )， ∵PM →＝2MA →， A (0，－1)， ∴P (3x,3y ＋2)．∵P 为y ＝2x 2＋1上一点， ∴3y ＋2＝2×9x 2＋1＝18x 2＋1， ∴y ＝6x 2－13.故选A.4．动点在曲线x 2＋y 2＝1上移动时，它和定点B (3,0)连线的中点P 的轨迹方程是( ) A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1 D. (x ＋32)2＋y 2＝1[答案] C[解析] 设P 点为(x ，y )，曲线上对应点为(x 1，y 1)，则有x 1＋32＝x ，y 1＋02＝y .∴x 1＝2x －3，y 1＝2y .∵(x 1，y 1)在x 2＋y 2＝1上，∴x 21＋y 21＝1，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1，即(2x －3)2＋4y 2＝1. 二、填空题5．已知△ABC 为圆x 2＋y 2＝4的一个内接三角形，且AB ︰BC ︰CA ＝1︰3︰5，则BC 中点M 的轨迹方程为________．[答案] x 2＋y 2＝1 [解析] 如图建系设BC 中点为M (x ，y )，连接OB 、OC 、OM ， 由于∠BOC ＝120°，所以∠OBC ＝30°，所以OM ＝12OB ＝1.于是M 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.6．直线y ＝kx ＋1与y ＝2kx －3(k 为常数，且k ≠0)交点的轨迹方程是________． [答案] y ＝5(x ≠0)[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1y ＝2kx －3，kx ＝y －1代入y ＝2kx －3，得y ＝5. 故交点的轨迹方程是y ＝5(x ≠0)． 三、解答题7．已知线段AB 与CD 互相垂直且平分，两线段相交于点O ，|AB |＝8，|CD |＝4，动点M 满足|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |，求动点M 的轨迹方程．[解析] 以O 为原点，分别以线段AB ，CD 所在的直线为x 轴、y 轴建立直角坐标系，则A (－4,0)，B (4,0)，C (0,2)，D (0，－2)．设M (x ，y )为轨迹上任一点，则 |MA |＝(x ＋4)2＋y 2， |MB |＝(x －4)2＋y 2， |MC |＝x 2＋(y －2)2， |MD |＝x 2＋(y ＋2)2.∵|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |， ∴[(x ＋4)2＋y 2][(x －4)2＋y 2]＝ [x 2＋(y －2)2][x 2＋(y ＋2)2]. 化简，得x 2－y 2－6＝0. ∴所求轨迹方程为x 2－y 2－6＝0.8．点P 与两定点A (－4,0)、B (4,0)的连线所成的角∠APB ＝45°，求动点P 的轨迹方程． [解析] (1)当k AP 或k PB 不存在时，动点P 为(4,8)，(－4,8)，(－4，－8)，(4，－8)． (2)当k AP 、k PB 存在时，设P (x ，y )若y >0，有y x －4－yx ＋41＋y 2x 2－16＝1，化简得x 2＋y 2－8y －16＝0(y >0)，检验知(4,8)和(－4,8)均适合上式．若y <0，有y x ＋4－y x －41＋y 2x 2－16＝1，化简得x 2＋y 2＋8y －16＝0(y <0)，检验知(－4，－8)和(4，－8)均适合上式，综上知所求轨迹方程为x 2＋y 2－8y －16＝0(y >0)或x 2＋y 2＋8y －16＝0(y <0)．。

人教B版高中数学选修1-1同步练习题及答案全册汇编（可编辑）人B版高中数学选修1-1同步习题目录第1章1.1.1~1.1.2同步练习第1章1.2.1同步练习第1章1.2.2同步练习第1章1.3.1同步练习第1章1.3.2同步练习第1章章末综合检测第2章2.1.1同步练习第2章2.1.2同步练习第2章2.2.1同步练习第2章2.2.2同步练习第2章2.3.1同步练习第2章2.3.2同步练习第2章章末综合检测第3章3.1.1~3.1.2同步练习第3章3.1.3同步练习第3章3.2.1~3.2.2同步练习第3章3.2.3同步练习第3章3.3.1同步练习第3章3.3.2第1课时同步练习第3章3.3.2第2课时同步练习第3章3.3.3同步练习第3章章末综合检测人教B版选修1-1同步练习1.下列是全称命题且是真命题的是A.?x?R,x20B.?x?Q,x2?QC.?x0?Z,x1D.?x,y?R,x2+y20答案:B2.下列命题是真命题的为A.若=,则x=yB.若x2=1,则x=1C.若x=y,则=D.若xy,则x2y2解析:选A.由=,得x=y,A正确,B、C、D错误.3.判断下列命题的真假:?3?3:________;?100或50是10的倍数:________.答案:?真命题 ?真命题4.1用符号“?”表示命题“不论m取什么实数,方程x2+x-m=0 必有实根”;2用符号“?”表示命题“存在实数x,使sinxtanx”.解:1?m?R,x2+x-m=0有实根.2?x0?R,sinx0tanx0.一、选择题1.下列命题为存在性命题的是A.偶函数的图象关于y轴对称B.正四棱柱都是平行四面体C.不相交的两条直线是平行直线D.存在实数大于等于3答案:D2.下列命题是真命题的是A.?是空集B.是无限集C.π是有理数D.x2-5x=0的根是自然数解析:选D.x2-5x=0的根为x1=0,x2=5,均为自然数.3.2010年高考湖南卷下列命题中的假命题是A.?x?R,lgx=0B.?x?R,tanx=1C.?x?R,x30D.?x?R,2x0解析:选C.对于A,当x=1时,lgx=0,正确;对于B,当x=时,tanx=1,正确;对于C,当x0时,x30,错误;对于D,?x?R,2x0,正确.4.下列命题中,是正确的全称命题的是A.对任意的a,b?R,都有a2+b2-2a-2b+20B.菱形的两条对角线相等C.?x0?R,=x0D.对数函数在定义域上是单调函数解析:选D.A中含有全称量词“任意”,a2+b2-2a-2b+2=a-12+b-12?0,是假命题.B、D在叙述上没有全称量词,实际上是指“所有的”.菱形的对角线不一定相等;C是特称命题.所以选D.5.下列存在性命题不正确的是A.有些不相似的三角形面积相等B.存在一个实数x,使x2+x+1?0C.存在实数a,使函数y=ax+b的值随x的增大而增大D.有一个实数的倒数是它本身解析:选B.B中因为x2+x+1=x+2+?,所以不存在x使x2+x+1?0;A中等底等高的三角形面积相等但不一定相似;C中a0时,成立;D中1的倒数是它本身.6.下列命题中真命题的个数为?面积相等的两个三角形是全等三角形;?若xy=0,则|x|+|y|=0;?若ab,则a+cb+c;?矩形的对角线互相垂直.A.1B.2C.3D.4解析:选A.?错;?错,若xy=0,则x,y至少有一个为0,而未必|x|+|y|=0;?对,不等式两边同时加上同一个常数,不等号开口方向不变;?错.二、填空题7.填上适当的量词符号“?”“?”,使下列命题为真命题.1________x?R,使x2+2x+1?0;2________α,β?R,使cosα-β=cosα-cosβ.解析:1中x+12?0所以对?x?R恒成立;2为存在性命题.答案:1?;2?8.下列语句中是命题的有________,其中是假命题的有________.只填序号?垂直于同一条直线的两条直线必平行吗??一个数不是正数就是负数;?大角所对的边大于小角所对的边.解析:根据命题的概念,判断是否是命题;若是,再判断其真假.?是疑问句,没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断,不是命题; ?是假命题,因为0既不是正数也不是负数;?是假命题,没有考虑到“在两个三角形中”的情况.答案:?? ??9.给出下列几个命题:?若x,y互为相反数,则x+y=0;?若ab,则a2b2;?若x-3,则x2+x-6?0;?若a,b是无理数,则ab也是无理数.其中的真命题有________个.解析:?是真命题.?设a=1b=-2,但a2b2,假命题.?设x=4-3,但x2+x-6=410,假命题.?设a=,b=,则ab=2=2是有理数,假命题.答案:1三、解答题10.用量词符号“?”或“?”表示下列命题.1一定有整数x,y,使得3x+2y=10成立;2对所有的实数x,都能使x2+2x+2?0成立.解:1?x,y?Z,使3x+2y=10;2?x?R,有x2+2x+2?0.11.判断下列语句是不是全称命题或存在性命题,如果是,找出命题中的量词.1中国的所有党派都由中国共产党统一领导;20不能作除数;3存在一个x?R,使2x+1=3;4至少有一个x?Z,使x能被2和3整除.解:1全称命题,命题中的量词是“所有”;2是命题,但不是全称命题或者存在性命题;3存在性命题,命题中的量词是“存在一个”;4存在性命题,命题中的量词是“至少有一个”.12.已知p:x2+mx+1=0有两个不等的负根,q:方程4x2+4m-2x+1=0m?R无实根,求使p正确且q正确的m的取值范围. 解:若p为真,则解得m2.若q为真,则Δ=16m-22-160,解得1m3.p真,q真,即故m的取值范围是2,3.人教B版选修1-1同步练习1.如果命题“p?q”是真命题,那么A.命题p与命题q都是真命题B.命题p与命题q同为真命题或同为假命题C.命题p与命题q只有一个是真命题D.命题p与命题q至少有一个是真命题答案:D2.由下列各组命题构成的新命题“p或q”“p且q”,都为真命题的是A.p:4+4=9,q:7>4B.p:a?a,b,c;q:aa,b,cC.p:15是质数;q:8是12的约数D.p:2是偶数;q:2不是质数答案:B3.判断下列命题的形式从“p?q”、“p?q”中选填一种:16?8:________;2集合中的元素是确定的且是无序的:________.答案:p?q p?q4.分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题,并判断其真假.18或6是30的约数;2矩形的对角线垂直平分.解:1p或q,p:8是30的约数假,q:6是30的约数真.“p或q”为真.2p且q,p:矩形的对角线互相垂直假,q:矩形的对角线互相平分真.“p且q”为假.一、选择题1.下列命题是真命题的是A.5>2且7>8B.3>4或3<4C.7-1?7D.方程x2-3x+4=0有实根解析:选B.虽然p:3>4假,但q:3<4真,所以p?q为真命题.2.如果命题p?q为真命题,p?q为假命题,那么A.命题p,q都是真命题B.命题p,q都是假命题C.命题p,q只有一个是真命题D.命题p,q至少有一个是真命题解析:选C.p?q为真命题,则p,q中至少有一个是真命题;p?q为假命题,则p,q中至少有一个是假命题,因此,p,q中必有一个真命题,一个假命题.因此选C.3.命题p:x=π是y=|sinx|的对称轴.命题q:2π是y=|sinx|的最小正周期.下列命题中,是真命题的个数是?p?q ?p?q ?p ?qA.0B.1C.2D.3答案:C4.“xy?0”指的是A.x?0且y?0B.x?0或y?0C.x,y至少有一个不为0D.不都是0解析:选A.x、y都不为0,即x?0且y?0.5.已知集合A=x|px=x|x是等腰三角形,B=x|qx=x|x是直角三角形,用特征性质描述法表示A?B是A.x|p且q=x|x是等腰直角三角形B.x|p或q=x|x是等腰三角形或直角三角形C.x|p且q=x|x是等腰三角形D.x|p或q=x|x是直角三角形答案:A6.若命题p:圆x-12+y-22=1被直线x=1平分;q:在?ABC中,若sin2A=sin2B,则A=B,则下列结论中正确的是A.“p?q”为假B.“p?q”为真C.“p?q”为真D.以上都不对答案:B二、填空题7.“10既是自然数又是偶数”为________形式.解析:注意逻辑联结词“且”的含义.答案:p?q8.用“或”、“且”填空,使命题成为真命题:1若x?A?B,则x?A________x?B;2若x?A?B,则x?A________x?B;3若ab=0,则a=0________b=0;4a,b?R,若a>0________b>0,则ab>0.答案:1或 2且 3或 4且9.设命题p:2x+y=3;q:x-y=6.若p?q为真命题,则x=________,y=________. 解析:若p?q为真命题,则p,q均为真命题,所以有解得答案:3 -3三、解答题10.判断下列命题的真假:1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边;2-1是偶数或奇数.解:1这个命题是p?q的形式,其中p:等腰三角形顶角的平分线平分底边,q:等腰三角形顶角的平分线垂直于底边.因为p真、q真,则p?q真,所以该命题是真命题.2此命题是p?q的形式,其中p:-1是偶数,q:-1是奇数.因为p为假命题,q为真命题,所以p?q为真命题,故原命题为真命题.11.分别指出由下列各组命题构成的“p?q”、“p?q”形式的命题的真假.1p:正多边形有一个内切圆;q:正多边形有一个外接圆.2p;角平分线上的点到角的两边的距离不相等;q:线段垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等.3p:2?2,3,4;q:矩形?菱形=正方形.4p:正六边形的对角线都相等;q:凡是偶数都是4的倍数.解:1因为p真q真,所以“p?q”真,“p?q”真.2因为p假q真,所以“p?q”假,“p?q”真.3因为p真q真,所以“p?q”真,“p?q”真.4因为p假q假,所以“p?q”假,“p?q”假.12.已知a>0,设命题p:函数y=ax在R上单调递增;命题q:不等式ax2-ax+1>0对?x?R恒成立.若p?q为假,p?q为真,求a的取值范围.解:?y=ax在R上单调递增,?p:a>1;又不等式ax2-ax+1>0对?x?R恒成立,?Δ<0,即a2-4a<0,?0<a<4,?q:0<a<4.而命题p?q为假,p?q为真,那么p、q中有且只有一个为真,一个为假.1若p真,q假,则a?4;2若p假,q真,则0<a?1,?a的取值范围为0,1]?[4,+?.人教B版选修1-1同步练习1.2011年高考辽宁卷已知命题p:?n?N,2n>1000,则?p为A.?n?N,2n?1000B.?n?N,2n>1000C.?n?N,2n?1000D.?n?N,2n<1000答案:A2.命题“一次函数都是单调函数”的否定是A.一次函数都不是单调函数B.非一次函数都不是单调函数C.有些一次函数是单调函数D.有些一次函数不是单调函数解析:选D.命题的否定只对结论进行否定,“都是”的否定是“不都是”,即“有些”.3.A?A?B是________形式;该命题是________填“真”“假”命题.答案:“?p” 假4.写出下列命题的否定,并判断真假1所有的矩形都是平行四边形;2有些实数的绝对值是正数.解:1存在一个矩形不是平行四边形;假命题;2所有的实数的绝对值都不是正数;假命题.一、选择题1.如果命题“p?q”与命题“?p”都是真命题,那么A.命题p不一定是假命题B.命题q一定为真命题C.命题q不一定是真命题D.命题p与命题q的真假相同解析:选B.“p?q”为真,则p、q至少有一个为真.?p为真,则p为假,?q是真命题.2.命题“对任意的x?R,x3-x2+1?0”的否定是A.不存在x?R,使得x3-x2+1?0B.存在x?R,使得x3-x2+1?0C.存在x?R,使得x3-x2+1>0D.对任意的x?R,x3-x2+1>0解析:选C.全称命题的否定为存在性命题.3.若p、q是两个简单命题,且“p?q”的否定是真命题,则必有A.p真q真B.p假q假C.p真q假D.p假q真解析:选B.?“p?q”的否定为真,则p?q为假,即p、q均为假.故选B.4.已知命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是负数,则下列命题为真命题的是A.?p?qB.p?qC.?p??qD.?p??q解析:选D.p为真,q为假,所以?q为真,?p??q为真.5.下列命题的否定是假命题的是A.p:能被3整除的整数是奇数;?p:存在一个能被3整除的整数不是奇数B.p:每一个四边形的四个顶点共圆;?p:存在一个四边形的四个顶点不共圆C.p:有些三角形为正三角形;?p:所有的三角形都不是正三角形D.p:?x0?R,x+2x0+2?0;?p:?x?R,都有x2+2x+20解析:选C.p为真命题,则?p为假命题.6.给出两个命题:p:函数y=x2-x-1有两个不同的零点;q:若1,则x1,那么在下列四个命题中,真命题是A.?p?qB.p?qC.?p??qD.?p??q解析:选D.对于p,函数对应的方程x2-x-1=0的判别式Δ=-12-4×-1=50.可知函数有两个不同的零点,故p为真.当x0时,不等式1恒成立;当x0时,不等式的解为x1.故不等式1的解为x0或x1.故命题q为假命题.所以只有?p??q为真.故选D.二、填空题7.写出命题“每个函数都有奇偶性”的否定:________.解析:命题的量词是“每个”,即为全称命题,因此否定是特称命题,用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等,再否定结论.答案:有些函数没有奇偶性8.命题“存在实数x,y,使得x+y1”,用符号表示为________;此命题的否定是________用符号表示,是________命题填“真”或“假”.解析:原命题为真,所以它的否定为假.也可以用线性规划的知识判断.答案:?x0,y0?R,x0+y01 ?x,y?R,x+y?1 假9.命题“方程x2=4的解是x=2或x=-2”的否定是____________________________.解析:x2=4的解是x=2或x=-2,则它的否定:解不是2也不是-2.答案:方程x2=4的解不是2也不是-2.三、解答题10.写出下列各命题的否定:1x=?3;2圆既是轴对称图形又是中心对称图形;3a,b,c都相等.解:1x?3,且x?-3;2圆不是轴对称图形或不是中心对称图形;3a,b,c不都相等,即a?b或b?c或c?a,即a,b,c中至少有两个不相等.11.用“?”“?”写出下列命题的否定,并判断真假:1二次函数的图象是抛物线;2直角坐标系中,直线是一次函数的图象;3?a,b?R,方程ax+b=0恰有一解.解:1?p:?x0?二次函数,x0的图象不是抛物线.假命题.2?p:在直角坐标系中,?x0?直线,x0不是一次函数的图象.真命题.3?p:?a0,b0?R,方程a0x+b0=0无解或至少有两解.真命题.12.设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0,命题q:实数x满足若?p则?q成立,求实数a的取值范围.解:由x2-4ax+3a2<0得x-3ax-a<0,又a>0,所以a<x<3a,由,得2<x?3,若?p则?q成立,设A=x|?p,B=x|?q,则A?B,又A=x|?p=x|x?a或x?3a,B=x|?q=x?2或x>3,则0<a?2,且3a>3,所以实数a的取值范围是a|1<a?2.人教B版选修1-1同步练习1.2011年高考福建卷若a?R,则“a=1”是“|a|=1”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析:选A.若a=1,则有|a|=1是真命题,即a=1?|a|=1,由|a|=1可得a=?1,所以若|a|=1,则有a=1是假命题,即|a|=1?a=1不成立, 所以a=1是|a|=1的充分而不必要条件,故选A.2.“θ=0”是“sinθ=0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A.由于“θ=0”时,一定有“sinθ=0”成立,反之不成立,所以“θ=0”是“sinθ=0”的充分不必要条件.3.用符号“?”或“ ”填空:1整数a能被4整除________a的个位数为偶数;2ab________ac2bc2.答案:1? 24.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的什么条件?解:当a=2时,直线ax+2y=0,即2x+2y=0与直线x+y=1平行, 因为直线ax+2y=0平行于直线x+y=1,所以=1,a=2,综上,“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的充要条件.一、选择题1.设集合M=x|0x?3,N=x|0x?2,那么“a?M”是“a?N”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选B.M=x|0x?3,N=x|0x?2,所以NM,故a?M是a?N的必要不充分条件.2.2010年高考福建卷若向量a=x,3x?R,则“x=4是|a|=5”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析:选A.由x=4知|a|==5;反之,由|a|==5,得x=4或x=-4. 故“x=4”是“|a|=5”的充分而不必要条件,故选A.3.“b=c=0”是“二次函数y=ax2+bx+ca?0经过原点”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A.b=c=0?y=ax2,二次函数一定经过原点;二次函数y=ax2+bx+c经过原点?c=0,b不一定等于0,故选A.4.已知p,q,r是三个命题,若p是r的充要条件且q是r的必要条件,那么q是p的A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选B.p是r的充要条件且q是r的必要条件,故有p ?r ?q,即p?q,q p,所以q是p的必要条件.5.已知条件p:y=lgx2+2x-3的定义域,条件q:5x-6x2,则q是p的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A.p:x2+2x-30,则x1或x-3;q:5x-6x2,即x2-5x+60,则2<x<3.由小集合?大集合,?q?p,但p q.故选A.6.下列所给的p、q中,p是q的充分条件的个数是?p:x1,q:-3x-3;?p:x1,q:2-2x2;?p:x=3,q:sinxcosx;?p:直线a,b不相交,q:a‖b.A.1B.2C.3D.4解析:选C.?由于p:x1?q:-3x-3,所以p是q的充分条件;?由于p:x1?q:2-2x2即x0,所以p是q的充分条件;?由于p:x=3?q:sinxcosx,所以p是q的充分条件;?由于p:直线a,b不相交q:a‖b,所以p不是q的充分条件.二、填空题7.不等式x2-3x+20成立的充要条件是________.解析:x2-3x+20?x-1x-20?1x2.答案:1x28.在?ABC中,“sinA=sinB”是“a=b”的________条件.解析:在?ABC中,由正弦定理及sinA=sinB可得2RsinA=2RsinB,即a=b;反之也成立.答案:充要9.下列不等式:?x1;?0x1;?-1x0;?-1x1.其中,可以是x21的一个充分条件的所有序号为________.解析:由于x21即-1x1,?显然不能使-1x1一定成立,???满足题意.答案:???三、解答题10.下列命题中,判断条件p是条件q的什么条件:1p:|x|=|y|,q:x=y;2p:?ABC是直角三角形,q:?ABC是等腰三角形;3p:四边形的对角线互相平分,q:四边形是矩形.解:1?|x|=|y| x=y,但x=y?|x|=|y|,?p是q的必要条件,但不是充分条件.2?ABC是直角三角形 ?ABC是等腰三角形.?ABC是等腰三角形 ?ABC是直角三角形.?p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件.3四边形的对角线互相平分四边形是矩形.四边形是矩形?四边形的对角线互相平分.?p是q的必要条件,但不是充分条件.11.命题p:x0,y0,命题q:xy,,则p是q的什么条件? 解:p:x0,y0,则q:xy,成立;反之,由xy,?0,因y-x0,得xy0,即x、y异号,又xy,得x0,y0.所以“x0,y0”是“xy,”的充要条件.12.已知条件p:A=x|x2-a+1x+a?0,条件q:B=x|x2-3x+2?0, 当a为何值时1p是q的充分不必要条件;2p是q的必要不充分条件;3p是q的充要条件?解:由p:A=x|x-1x-a?0,由q:B=[1,2].1?p是q的充分不必要条件,?A?B且A?B,故A=[1,a]?1?a<2.2?p是q的必要不充分条件,?B?A且A?B,故A=[1,a]且a>2?a>2.3?p是q的充要条件,?A=B?a=2 人教B版选修1-1同步练习1.命题“若a0,则=”的逆命题为A.若a?0,则?B.若?,则a0C.若?,则a?0D.若=,则a0解析:选D.逆命题为把原命题的条件和结论对调.2.2011年高考山东卷已知a,b,c?R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2?3”的否命题是A.若a+b+c?3,则a2+b2+c23B.若a+b+c=3,则a2+b2+c23C.若a+b+c?3,则a2+b2+c2?3D.若a2+b2+c2?3,则a+b+c=3解析:选A.a+b+c=3的否定是a+b+c?3,a2+b2+c2?3的否定是a2+b2+c2<3.3.命题“若A?B=B,则A?B”的否命题是________.答案:若A?B?B,则A?B4.已知命题p:“若ac?0,则二次方程ax2+bx+c=0没有实根”.1写出命题p的否命题;2判断命题p的否命题的真假.解:1命题p的否命题为:“若ac0,则二次方程ax2+bx+c=0有实根”;2命题p的否命题是真命题.证明如下:?ac0,?-ac0?Δ=b2-4ac0?二次方程ax2+bx+c=0有实根.?该命题是真命题.一、选择题1.若“xy,则x2y2”的逆否命题是A.若x?y,则x2?y2B.若xy,则x2y2C.若x2?y2,则x?yD.若xy,则x2y2解析:选C.由互为逆否命题的定义可知,把原命题的条件的否定作为结论,原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题.2.命题“若?ABC有一内角为,则?ABC的三内角成等差数列”的逆命题A.与原命题同为假命题B.与原命题的否命题同为假命题C.与原命题的逆否命题同为假命题D.与原命题同为真命题解析:选D.原命题显然为真,原命题的逆命题为“若?ABC的三内角成等差数列,则?ABC有一内角为”,它是真命题.故选D.3.已知原命题“菱形的对角线互相垂直”,则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是A.逆命题、否命题、逆否命题都为真B.逆命题为真,否命题、逆否命题为假C.逆命题为假,否命题、逆否命题为真D.逆命题、否命题为假,逆否命题为真解析:选D.因为原命题“菱形的对角线互相垂直”是真命题,所以它的逆否命题为真;其逆命题:“对角线互相垂直的四边形是菱形”显然是假命题,所以原命题的否命题也是假命题.4.若命题p的逆命题是q,命题q的否命题是r,则p是r的A.逆命题B.逆否命题C.否命题D.以上判断都不对解析:选B.命题p:若x,则y,其逆命题q:若y,则x,那么命题q的否命题r:若?y,则?x,所以p是r的逆否命题.所以选B.5.与命题“能被6整除的整数,一定能被3整除”等价的命题是A.能被3整除的整数,一定能被6整除B.不能被3整除的整数,一定不能被6整除C.不能被6整除的整数,一定不能被3整除D.不能被6整除的整数,不一定能被3整除解析:选B.一个命题与它的逆否命题是等价命题,选项B中的命题恰为已知命题的逆否命题.6.存在下列三个命题:?“等边三角形的三个内角都是60?”的逆命题;?“若k0,则一元二次方程x2+2x-k=0有实根”的逆否命题;?“全等三角形的面积相等”的否命题.其中真命题的个数是A.0B.1C.2D.3解析:选C.??正确.二、填空题7.命题“若a1,则a0”的逆命题是________,逆否命题是________.答案:若a0,则a1 若a?0,则a?18.有下列几个命题:?“若ab,则a2b2”的否命题;?“若a+b是无理数,则a,b都是无理数”的逆命题;?“若x24,则-2x2”的逆否命题.其中真命题的序号是________.答案:?9.在空间中,?若四点不共面,则这四点中任意三点都不共线;?若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是________.解析:?中的逆命题是:若四点中任何三点都不共线,则这四点不共面.我们用正方体AC1做模型来观察:上底面A1B1C1D1中任意三点都不共线,但A1,B1,C1,D1四点共面,所以?中的逆命题不是真命题.?中的逆命题是:若两条直线是异面直线,则两条直线没有公共点.由异面直线的定义可知,成异面直线的两条直线不会有公共点.所以?中的逆命题是真命题.答案:?三、解答题10.写出下列原命题的其他三种命题,并分别判断真假.1在?ABC中,若ab,则?A?B;2正偶数不是质数.解:1逆命题:在?ABC中,若?A?B,则ab,真命题;否命题:在?ABC中,若a?b,则?A??B,真命题;逆否命题:在?ABC中,若?A??B,则a?b,真命题.2逆命题:若一个数不是质数,则它一定是正偶数,假命题;否命题:若一个数不是正偶数,则它一定是质数,假命题;逆否命题:若一个数是质数,则它一定不是正偶数,假命题.11.判断下列命题的真假:1“若x?A?B,则x?B”的逆命题与逆否命题;2“若自然数能被6整除,则自然数能被2整除”的逆命题.解:1逆命题:若x?B,则x?A?B.根据集合“并”的定义,逆命题为真.逆否命题:若x?B,则x?A?B.逆否命题为假.如2?1,5=B,A=2,3,但2?A?B.2逆命题:若自然数能被2整除,则自然数能被6整除.逆命题为假.反例:2,4,14,22等都不能被6整除.12.判断命题“若m0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”的逆否命题的真假.解:?m0,?12m0,?12m+40.?方程x2+2x-3m=0的判别式Δ=12m+40.?原命题“若m0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”为真命题.又因原命题与它的逆否命题等价,所以“若m0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”的逆否命题也为真命题.人教B版选修1-1第1章章末综合检测时间:120分钟;满分:150分一、选择题本大题共12小题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.命题“若A?B,则A=B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是A.0B.2C.3D.4解析:选B.原命题为假,故其逆否命题为假;其逆命题为真,故其否命题为真.故共有2个真命题.2.若命题p:x=2且y=3,则?p为A.x?2或y?3B.x?2且y?3C.x=2或y?3D.x?2或y=3解析:选A.由于“且”的否定为“或”,所以?p:x?2或y?3.故选A.3.命题“若ab,则a-b-”的逆否命题是A.若ab,则a-b-B.若a-b-,则abC.若a?b,则a-?b-D.若a-?b-,则a?b解析:选D.逆否命题是把原命题条件的否定作为结论,把原命题结论的否定作为条件而构成的.4.下列语句中,命题和真命题的个数分别是?垂直于同一条直线的两条直线平行吗??一个数不是奇数就是偶数;?x+y是有理数,则x、y也都是有理数;?求证:x?R,方程x2+x+1=0无实数根.A.3,1B.2,2C.2,0D.2,1解析:选C.命题是?、?,它们都是假命题,所以选C.5.下列全称命题中假命题的个数是?2x+1是整数x?R ?对所有的x?R,x3 ?对任意一个x?Z,2x2+1为奇数A.0B.1C.2D.3解析:选C.对于?,当x=时,2x+1=不是整数,假命题.对于?,当x=0时,03,假命题.对于?,当x?Z时,2x2是偶数,进而2x2+1是奇数,所以??是假命题,故选C.6.“x0”是“0”成立的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.非充分非必要条件D.充要条件解析:选A.因为当x0时,一定有0,但当0时,x0也成立,因此,x0是0成立的充分非必要条件.7.下列命题中的假命题是A.?x?R,2x-10B.?x?N*,x-120C.?x?R,lgx1D.?x?R,tanx=2解析:选B.对于A,正确;对于B,当x=1时,x-12=0,错误;对于C,当x?0,1时,lgx01,正确;对于D,正确.8.2011年高考大纲全国卷下面四个条件中,使ab成立的充分而不必要的条件是A.ab+1B.ab-1C.a2b2D.a3b3解析:选A.由a>b+1得a>b+1>b,即a>b;且由a>b不能得出a>b+1.因此,使a>b成立的充分不必要条件是a>b+1,故选A.9.fx、gx是定义在R上的函数,hx=fx+gx,则“fx、gx均为偶函数”是“hx为偶函数”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析:选B.若fx、gx均为偶函数,则hx一定是偶函数,但hx是偶函数,并不能保证fx、gx均为偶函数,例如:fx=x,gx=-x,fx+gx=0是偶函数,但fx与gx均为奇函数.10.已知p:x=1,?q:x2+8x-9=0,则下列为真命题的是A.若p,则qB.若?q,则pC.若q,则?pD.若?p,则q解析:选C.p:x=1,q:x?1且x?-9,易判断A、B为假命题,?x2+8x-9?0?x?1,?选项C正确.11.下列说法错误的是A.命题“若m0,则方程x2+3x-m=0有实根”的逆否命题为“若方程x2+3x-m=0无实根,则m?0”B.“x=2”是“x2-5x+6=0”的充分不必要条件C.若p?q为假命题,则p、q均为假命题D.若命题p:?x0?R,使得x+x0+10,则?p:?x?R,均有x2+x+1?0解析:选C.C项p?q为假命题,则只要p、q中至少有一个为假即可.12.已知命题p:存在x?R,使tanx=,命题q:x2-3x+20的解集是x|1x2,则下列结论:?命题“p且q”是真命题;?命题“p且?q”是假命题;?命题“?p或q”是真命题;?命题“?p或?q”是假命题.其中正确的是A.??B.???C.???D.????解析:选D.?p、q都是真命题,?????均正确.二、填空题本大题共4小题.把答案填在题中横线上13.命题p:内接于圆的四边形的对角互补,则p的否命题是________,非p是________.答案:不内接于圆的四边形的对角不互补内接于圆的四边形的对角不互补14.用量词符号“?”或“?”表示下列命题:1凸n边形的外角和等于2π:________;2存在一个有理数x0,使得x=8:________.答案:1?x?凸n边形,x的外角和等于2π2?x0?Q,x=815.a=3是“直线l1:ax+2y+3a=0和直线l2:3x+a-1y=a-7平行且不重合”的________条件.解析:当a=3时,l1:3x+2y+9=0,l2:3x+2y+4=0,?l1‖l2.反之,若l1‖l2,则aa-1=6,即a=3或a=-2,但a=-2时,l1与l2重合.答案:充要16.给出下列命题:?已知a=3,4,b=0,-1,则a在b方向上的投影为-4;?函数y=tanx+的图象关于点,0成中心对称;?若a?0,则a?b=a?c是b=c成立的必要不充分条件.其中正确命题的序号是________.将所有正确命题的序号都填上解析:??|a|=5,|b|=1,a?b=-4,?cos〈a,b〉=-,?a在b方向上的投影为|a|?cos〈a,b〉=-4,?正确.?当x=时,tanx+无意义,由正切函数y=tanx的图象的性质知,?正确.?当a?0,b=c时,a?b=a?c成立.当a?0,a?b=a?c时不一定有b=c.??正确.答案:???三、解答题本大题共6小题.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.已知命题p:?非零向量a、b、c,若a?b-c=0,则b=c.写出其否定和否命题,并说明真假.解:?p:?非零向量a、b、c,若a?b-c=0,则b?c.?p为真命题.否命题:?非零向量a、b、c,若a?b-c?0,则b?c.否命题为真命题.18.指出下列命题中,p是q的什么条件:1p:x|x-2或x3;q:x|x2-x-60;2p:a与b都是奇数;q:a+b是偶数.解:1?x|x-2或x3=R,x|x2-x-60=x|-2x3,?x|x-2或x3x|-2x3,而x|-2x3?x|x-2或x3.?p是q的必要不充分条件.2?a、b都是奇数?a+b为偶数,而a+b为偶数a、b都是奇数,?p是q的充分不必要条件.19.根据条件,判断“p?q”,“p?q”,“?p”的真假:1p:9是144的约数,q:9是225的约数;2p:不等式x2-2x+10的解集为R,q:不等式x2-2x+1?0的解集为解:1p?q:9是144或225的约数.p?q:9是144与225的公约数.?p:9不是144的约数.?p真,q真,?p?q为真,p?q为真,而?p为假.2p?q:不等式x2-2x+10的解集为R或不等式x2-2x+1?0的解集为 p?q:不等式x2-2x+10的解集为R且不等式x2-2x+1?0的解集为 ?p:不等式x2-2x+10的解集不为R.?p假,q假,?p?q为假,p?q为假,而?p为真.20.已知p:A=x|a-4xa+4,q:B=x|x2-4x+30,且x?A是x?B的必要条件,求实数a 的取值范围.解:因为p:A=x|a-4xa+4,q:B=x|1x3.又因为x?A是x?B的必要条件,所以q?p,即B?A.所以?即-1?a?5.?实数a的取值范围是a|-1?a?5.21.已知p:x2-x?6,q:x?Z.若p?q和?q都是假命题,求x的值.解:?p?q为假命题,?p、q至少有一个为假.??q为假,?q为真,即p假q真,?x2-x6且x?Z,?-2x3且x?Z,即x=-1,0,1,2.22.π是圆周率,a、b、c、d?Q,已知命题p:若aπ+b=cπ+d,则a=c且b=d.1写出p的逆命题、否命题及逆否命题并判断真假;2判断“a=c且b=d”是“aπ+b=cπ+d”的什么条件?解:1逆命题:若a=c且b=d,则aπ+b=cπ+d,真命题.逆否命题:若a?c或b?d,则aπ+b?cπ+d,真命题.否命题:若aπ+b?cπ+d,则a?c或b?d,真命题.2“a=c且b=d”是“aπ+b=cπ+d”的充要条件.充分性:?aπ+b=cπ+d;必要性:aπ+b=cπ+d?a-cπ=d-b,?d-b?Q,?a-c=0,d-b=0,即a=c且b=d 人教B版选修1-1同步练习1.设P是椭圆+=1上的点,若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于A.4B.5C.8D.10答案:D2.椭圆+=1的焦点坐标是A.?4,0B.0,?4C.?3,0D.0,?3答案:D3.已知椭圆的两个焦点为F1-1,0,F21,0,且2a=6,则椭圆的标准方程为________.答案:+=14.已知B、C是两定点,|BC|=8,且?ABC的周长等于18,求这个三角形顶点A的轨迹方程.。

第二章 2.3 2.3.2 第2课时一、选择题1．(2015·贵州安顺高二检测)已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为导学号 33780504( )A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] B[解析] 由双曲线的方程知，点P (1,0)为双曲线的一个顶点，过点P (1,0)有一条直线l 与双曲线相切，有两条直线与渐近线平行，这三条直线与双曲线只有一个公共点．2．(2016·山东济宁高二检测)直线l 经过P (1,1)且与双曲线x 2－y 22＝1交于A 、B 两点，如果点P 是线段AB 的中点，那么直线l 的方程为导学号 33780505( )A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．不存在[答案] D[解析] 当斜率不存在时，方程为x ＝1，与双曲线相切不符合题意，当斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入双曲线方程得⎩⎨⎧x 21－y 212＝1.x 22－y222＝1，两式相减的x 21－x 22＝12(y 21－y 22)，整理求出k ＝2，则直线方程为y ＝2x －1，联立直线方程与双曲线方程后检验Δ<0，方程无解，所以不存在．3．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是导学号 33780506( )A ．(－153，153) B ．(0，153) C ．(－153，0) D ．(－153，－1) [答案] D[思路分析] 直线与双曲线右支交于不同两点，则由直线与双曲线消去y 得到的方程组应有两正根，从而Δ>0，x 1＋x 2>0，x 1x 2>0，二次项系数≠0.[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2x 2－y 2＝6，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0Δ＝16k 2＋40(1－k 2)>04k1－k 2>010k 2－1>0，解得－153<k <－1. 4．若ab ≠0，则ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab 所表示的曲线只可能是下图中的导学号33780507( )[答案] C[解析] 方程可化为y ＝ax ＋b 和x 2a ＋y 2b ＝1.从B ，D 中的两椭圆看a ，b ∈(0，＋∞)，但B中直线有a <0，b <0矛盾，应排除；D 中直线有a <0，b >0矛盾，应排除；再看A 中双曲线的a <0，b >0，但直线有a >0，b >0，也矛盾，应排除；C 中双曲线的a >0，b <0和直线中a 、b 一致．应选C.5．(2016·浙江杭州高三模拟)设离心率为e 的双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，直线l 过点F 且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支相交的充要条件是导学号 33780508( )A ．k 2－e 2>1B ．k 2－e 2<1C ．e 2－k 2>1D ．e 2－k 2<1[答案] C[解析] 直线l 与双曲线C 的左、右两支相交的充要条件是直线l 的斜率－b a <k <ba，两边平方得，k 2<b 2a 2＝c 2－a2a2＝e 2－1，即e 2－k 2>1.6．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点．若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝导学号 33780509( )A ．1或5B ．6C ．7D ．9[答案] C[解析] ∵双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0， ∴b a ＝32，∵b ＝3，∴a ＝2. 又||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝4， ∴|3－|PF 2||＝4.∴|PF 2|＝7或|PF 2|＝－1(舍去)． 二、填空题7．已知直线l ：x －y ＋m ＝0与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的两点A 、B ，若线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，则m 的值是________.导学号 33780510[答案] ±1[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0x 2－y 22＝1，消去y 得x 2－2mx －m 2－2＝0.Δ＝4m 2＋4m 2＋8＝8m 2＋8>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝2m ，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ＝4m ，∴线段AB 的中点坐标为(m,2m )，又∵点(m,2m )在圆x 2＋y 2＝5上，∴5m 2＝5，∴m ＝±1.8．(2016·安徽合肥高二检测)过双曲线x 220－y 25＝1的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为5，这样的直线有________条.导学号 33780511[答案] 1[解析] 依题意得右焦点F (5,0)，所以过F 且垂直x 轴的直线是x ＝5，代入x 220－y 25＝1，得y ＝±52，所以此时弦长为52×2＝ 5.当不垂直于x 轴时，如果直线与双曲线有两个交点，则弦长一定比5长．因为两顶点间距离为45，即左右两支上的点的最短距离是45，所以如果交于两支的话，弦长不可能为5，故只有一条．三、解答题9．(2015·福建八县一中高二期末测试)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为4，且过点(－3,26).导学号 33780512(1)求双曲线方程和其渐近线方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 有且只有一个公共点，求实数k 的取值范围．[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝49a 2－24b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝3.∴双曲线方程为x 2－y 23＝1，其渐近线方程为y ＝±3x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2x 2－y 23＝1，得(3－k 2)x 2－4kx －7＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－k 2≠0Δ＝16k 2＋28(3－k 2)＝0， ∴k 2＝7，∴k ＝±7.当直线l 与双曲线C 的渐近线y ＝±3x 平行，即k ＝±3时，直线l 与双曲线C 只有一个公共点，∴k ＝±7或k ＝±3.10．(2016·山东荷泽高二检测)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点.导学号 33780513(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线l ，直线l 与双曲线交于不同的A ，B 两点，求AB 的长．[解析] (1)∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点，∴ca ＝3，a ＝3，解得c ＝3，又c 2＝a 2＋b 2，b ＝6， ∴双曲线的方程为x 23－y 26＝1.(2)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点为F 2(3,0)，∴直线l 的方程为y ＝33(x －3)， 联立⎩⎨⎧x 23－y 26＝1，y ＝33(x －3)，得5x 2＋6x －27＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275，所以|AB |＝1＋13·(－65)2－4×(－275)＝1635.一、选择题1．已知F 1、F 2是两个定点，点P 是以F 1和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF 1⊥PF 2，e 1和e 2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有导学号 33780514( )A.1e 21＋1e 22＝4 B ．e 21＋e 22＝4C.1e 21＋1e 22＝2 D ．e 21＋e 22＝2[答案] C[解析] 设椭圆长半轴长为a ，双曲线实半轴长为m ，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ①||PF 1|－|PF 2||＝2m ②①2＋②2得：2(|PF 1|2＋|PF 2|2)＝4a 2＋4m 2， 又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2代入上式得4c 2＝2a 2＋2m 2， 两边同除以2c 2得2＝1e 21＋1e 22，故选C.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点到其渐近线的距离不大于255a ，其离心率e的取值范围为导学号 33780515( )A ．[3，＋∞)B ．[5，＋∞)C ．(1，3]D ．(1，5][答案] D[解析] 依题意(a,0)到渐近线bx ＋ay ＝0的距离不大于255a ， ∴|ba ＋0|b 2＋a 2≤255a ，解得e ≤5，又e >1，∴1<e ≤5，故选D.3．已知实数4、m 、9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的离心率为导学号 33780516( )A.306 B ．7 C.306或7 D ．56或7[答案] C[解析] ∵4、m 、9成等比数列，∴m 2＝36，∴m ＝±6.当m ＝6时，圆锥曲线方程为x 26＋y 2＝1，其离心率为306；当m ＝－6时，圆锥曲线方程为y 2－x 26＝1，其离心率为7，故选C. 4．F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左右焦点，过点F 1的直线l 与双曲线的左．右两支．．．分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为导学号 33780517( )A.2 B ．3 C. 5 D ．7[答案] D[解析] 如图，由双曲线的定义知，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，∴|AB |＝|BF 1|－|AF 1|＝|BF 1|－|AF 1|＋|AF 2|－|BF 2|＝(|BF 1|－|BF 2|)＋(|AF 2|－|AF 1|)＝4a ，∴|BF 2|＝4a ，|BF 1|＝6a ， 在△BF 1F 2中，∠ABF 2＝60°，由余弦定理，|BF 1|2＋|BF 2|2－|F 1F 2|2＝2|BF 1|·|BF 2|·cos60°， ∴36a 2＋16a 2－4c 2＝24a 2，∴7a 2＝c 2， ∵e >1，∴e ＝ca ＝7，故选D.二、填空题5．设F 1、F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________.导学号 33780518[答案]3[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＋|PF 2|＝6a |PF 1|－|PF 2|＝2a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝4a|PF 2|＝2a，又|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 2|最小．由余弦定理(4a )2＋4c 2－4a 22×4a ×2c＝cos30°，∴23ac ＝3a 2＋c 2，等式两边同除以a 2得e 2－23e ＋3＝0， ∴e ＝ 3.6．双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x轴的距离为__________.导学号 33780519[答案] 3.2[解析] 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n (m >n )，∴a ＝3，b ＝4，c ＝5.由双曲线的定义知，m －n ＝2a ＝6，又PF 1⊥PF 2.∴△PF 1F 2为直角三角形． 即m 2＋n 2＝(2c )2＝100.由m －n ＝6，得m 2＋n 2－2mn ＝36， ∴2mn ＝m 2＋n 2－36＝64，mn ＝32. 设点P 到x 轴的距离为d ， S △PF 1F 2＝12d |F 1F 2|＝12|PF 1|·|PF 2|，即12d ·2c ＝12mn .∴d ＝mn 2c ＝3210＝3.2， 即点P 到x 轴的距离为3.2. 三、解答题7．已知曲线C ：x 2－y 2＝1和直线l ：y ＝kx －1.导学号 33780520 (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠04k 2＋8(1－k 2)>0， 解得－2<k <2，且k ≠±1，∴k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)结合(1)，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝－2k1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2， ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(－2k 1－k 2)2＋81－k 2＝(1＋k 2)(8－4k 2)(1－k 2)2.∵点O 到直线l 的距离d ＝11＋k 2， ∴S △AOB ＝12|AB |d ＝128－4k 2(1－k 2)2＝2，即2k 4－3k 2＝0. ∴k ＝0或k ＝±62.∴适合题意的k 的取值为0、62、－62. 8．已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A 、B 两点.导学号 33780521 (1)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值；(2)是否存在这样的实数a ，使A 、B 两点关于直线y ＝12x 对称？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋13x 2－y 2＝1，消去y 得，(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.①依题意⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2≠0Δ>0，即－6<a <6且a ≠±3② 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a3－a 2③x 1x 2＝－23－a 2④∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB . ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，但y 1y 2＝a 2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1， 由③④知，∴(a 2＋1)·－23－a 2＋a ·2a 3－a 2＋1＝0. 解得a ＝±1且满足②.(2)假设存在实数a ，使A 、B 关于y ＝12x 对称，则直线y ＝ax ＋1与y ＝12x 垂直，∴a ＝－2.直线l 的方程为y ＝－2x ＋1. 将a ＝－2代入③得x 1＋x 2＝4. ∴AB 中点横坐标为2， 纵坐标为y ＝－2×2＋1＝－3.但AB 中点(2，－3)不在直线y ＝12x 上．即不存在实数a ，使A 、B 关于直线y ＝12x 对称．。

第二章 2.2 2.2.2 第1课时一、选择题1．(2015·广东文，8)已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m ＞0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9[答案] B[解析] 由题意得：m 2＝25－42＝9，因为m ＞0，所以m ＝3，故选B. 2．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦点在y 轴上，若焦距为4，则m ＝( )A ．4B ．5C ．7D ．8 [答案] D[解析] 因为焦点在y 轴上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2>010－m >0m －2>10－m⇒6<m <10.又焦距为4，所以m －2－10＋m ＝4⇒m ＝8.3．已知椭圆的焦距为27，椭圆上一点到两焦点的距离的和为8，则椭圆的标准方程为( )A.x 216＋y 225＝1 B.x 216＋y 29＝1 C.x 29＋y 216＝1 D.x 216＋y 29＝1或x 29＋y 216＝1 [答案] D[解析] ∵2c ＝27，∴c ＝7，∵2a ＝8，∴a ＝4. 又∵焦点不知在哪个轴上，∴标准方程有两个，故选D.4．椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆离心率为( )A.22B.32C.53D.63[答案] A[解析] 由题意知b ＝c ，∴a ＝2b ，∴e ＝c a ＝22.5．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14B.55C.12D.5－2[答案] B[解析] 本题考查椭圆方程，等比数列知识、离心率等．∵A 、B 分别在左右顶点，F 1、F 2分别为左右焦点，∴|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|BF 1|＝a ＋c ，又由|AF 1|、|F 1F 2|、|F 1B |成等比数列得(a －c )(a ＋c )＝4c 2，即a 2＝5c 2，所以离心率e ＝55. 6．我们把离心率等于黄金比5－12的椭圆称为“优美椭圆”．设x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)是优美椭圆，F 、A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它的短轴的一个端点，则∠ABF 等于( )A ．60°B ．75°C ．90°D ．120°[答案] C[解析] cos ∠ABF ＝|AB |2＋|BF |2－|AF |22·|AB |·|BF |＝a 2＋b 2－(a ＋c )22·|AB |·|BF |＝(2＋5－12)a 2－(1＋5－12)2a 22·|AB |·|BF |＝(5＋32－5＋32)a 22·|AB |·|BF |＝0，∴∠ABF ＝90°，选C. 二、填空题7．一椭圆的短半轴长是22，离心率是13，焦点为F 1，F 2，弦AB 过F 1，则△ABF 2的周长为____________．[答案] 12[解析] ∵离心率是13，∴a ＝3c ，又有a 2－c 2＝b 2＝8， ∴(3c )2－c 2＝8∴c 2＝1，∴a 2＝9，易知△ABF 2的周长为4a ， ∴周长为12.8．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．[答案] x 236＋y 29＝1[解析] 考查椭圆的定义与标准方程．设椭圆G 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，半焦距为c ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝12c a ＝32，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6c ＝33，∴b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9，∴椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1.三、解答题9．设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，短轴的一个顶点B 与两焦点F 1、F 2组成的三角形的周长为4＋23，且∠F 1BF 2＝23π，求椭圆方程．[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝cos30°＝32，2(a ＋c )＝2(2＋3)，⇒⎩⎪⎨⎪⎧c ＝32a ，a ＋c ＝2＋3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.一、选择题1．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)的位置( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能[答案] A[解析] 由e ＝12知c a ＝12，a ＝2c .由a 2＝b 2＋c 2得b ＝3c ，代入ax 2＋bx －c ＝0，得2cx 2＋3cx －c ＝0，即2x 2＋3x －1＝0，则x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝74<2. 2．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是( )A.33 B.23 C.22D.32[答案] A[解析] 如图，△ABF 2为正三角形， ∴|AF 2|＝2|AF 1|，|AF 2|＋|AF 1|＝2a ， 3|AF 1|＝|F 1F 2|.∴|AF 1|＝23a ，又|F 1F 2|＝2c ，∴23a 2c ＝13 .∴c a ＝33.故选A. 3．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y 轴的距离为( )A.233B.263C.33D. 3[答案] B[解析] 由题意，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M (x ，y )，则MF 1→·MF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝0， 整理得x 2＋y 2＝3.①又因为点M 在椭圆上，故x 24＋y 2＝1，即y 2＝1－x 24. ② 将②代入①，得34x 2＝2，解得x ＝±263.故点M 到y 轴的距离为263.4．已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是( )A ．[33，1) B ．[13，12]C ．[33，22] D ．(0，22] [答案] C[解析] 设P (m ，n )，PF 1→·PF 2→＝c 2＝(－c －m ，－n )·(c －m ，－n )＝m 2－c 2＋n 2， ∴m 2＋n 2＝2c 2,2c 2－m 2＝n 2①，把P (m ，n )代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，得b 2m 2＋a 2n 2＝a 2b 2②，把①代入②得m 2＝a 2b 2－2a 2c 2b 2－a 2≥0，∴a 2b 2≤2a 2c 2，∴b 2≤2c 2，∴a 2≤3c 2，∴e ＝c a ≥33.又m 2＝a 2b 2－2a 2c 2b 2－a 2≤a2，∴a 2≥2c 2，∴e ＝c a ≤22.综上知此椭圆离心率的取值范围是[33，22]，故选C. 二、填空题5．已知椭圆的长轴长为20，离心率为35，则该椭圆的标准方程为________．[答案] x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1[解析] 因为2a ＝20，e ＝c a ＝35，所以a ＝10，c ＝6，b 2＝a 2－c 2＝64.由于椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，所以所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1.6．以正方形ABCD 的相对顶点A ，C 为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为________．[答案]10－22[解析] 连接CE ，设AD ＝1，则AC ＝2，即c ＝22，CE ＝12＋(12)2＝52，∴2a ＝AE ＋CE ＝12＋52，∴a ＝14＋54，∴e ＝ca ＝2214＋54＝10－22.三、解答题7. 设P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，且∠F 1PF 2＝90°，求证：椭圆的圆心率e ≥22. [证明] 证法一：∵P 是椭圆上的点，F 1、F 2是焦点，由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ①在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2， 由①2，得|PF 1|2＋2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝4a 2， ∴|PF 1|·|PF 2|＝2(a 2－c 2)，②由①和②，知|PF 1|，|PF 2|是方程z 2－2az ＋2(a 2－c 2)＝0的两根，且两根均在(a －c ，a ＋c )之间．令f (z )＝z 2－2az ＋2(a 2－c 2)则⎩⎨⎧Δ≥0f (a －c )>0f (a ＋c )>0可得(c a )2≥12，即e ≥22.证法二：由题意知c ≥b ，∴c 2≥b 2＝a 2－c 2， ∴c 2a 2≥12，故e ≥22. 8．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点M (2,1)的一条直线与椭圆交于A ，B 两点，如果弦AB 被M点平分，那么这样的直线是否存在？若存在，求其方程；若不存在，说明理由．[解析] 设所求直线存在，方程y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k 2－1)2－16＝0①.设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程①的两根，所以x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.又M 为AB 的中点，所以x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2，解得k ＝－12.又k ＝－12时，使得①式Δ>0，故这样的直线存在，直线方程为x ＋2y －4＝0.9．已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A (3,0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．[解析] 解法一：若椭圆的焦点在x 轴上，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1.∴椭圆方程为x 29＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，b ＝3.∴椭圆方程为y 281＋x 29＝1.综上所述，椭圆方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.解法二：设椭圆方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0，m ≠n )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 9m ＝1，2m ＝3·2n 或⎩⎪⎨⎪⎧9m －1，2n ＝3·2m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝9，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝9，n ＝81.∴椭圆方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.。

第一章 1.2一、选择题1．(2015·湖北文，4)已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关．下列)A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关[答案] C[解析] 因为变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，其中－0.1<0，所以x 与y 成负相关；又因为变量y 与z 正相关，不妨设z ＝ky ＋b (k >0)，则将y ＝－0.1x ＋1代入即可得到：z ＝k (－0.1x ＋1)＋b ＝－0.1kx ＋(k ＋b )，所以－0.1k <0，所以x 与z 负相关，综上可知，应选C.2．已知x ，y 的一组数据如下表所示：则y 与x 之间的线性回归方程y ＝β0x ＋β1 ) A ．(0,0) B ．(x ，0) C ．(0，y ) D ．(x ，y )[答案] D[解析] 回归直线过样本点的中心(x ，y )．3．在两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关系数r 的)①模型A 的r 为－0.98；②模型B 的r 为0.85；③模型C 的r 为0.61；④模型D 的r 为0.31.A ．①B ．①②C ．①②③D ．①②③④ [答案] A[解析] 由相关系数r 的意义知，|r |的值越接近1，说明模型拟合效果越好． 4．两个相关变量满足如下关系：A.y ^＝0.56x ＋997.4B.y ^＝0.63x －231.2C.y ^＝50.2x ＋501.4 D.y ^＝60.4x ＋400.7[答案] A[解析] 由公式，得b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2＝0.56，a ^＝y －b ^ x ＝997.4，∴y ^＝0.56x ＋997.4.5．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，数据如下表所示，由此建立了身高对年龄的回归模型y ＝7.1x ＋79.93.用这个模型预测这个孩子10)C ．身高在150.93 cm 左右D ．身高在150.93 cm 以下[答案] C[解析] 由回归直线方程所得的预报变量y 的值，并不是预报变量的精确值，而是预报变量可能取值的平均值．6．(2014·湖北文)根据如下样本数据得到的回归方程为y ＝bx ＋a ) A ．a >0，b <0 B ．a >0，b >0 C ．a <0，b <0 D ．a <0，b >0[答案] B[解析] 作出散点图如下：观察图象可知，回归直线y ^＝bx ＋a 的斜率b <0，当x ＝0时，y ^＝a >0.故a >0，b <0.二、填空题7．回归分析是处理变量之间________[答案] 相关8．(2015·北京文，14)高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是________； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是________． [答案] ①乙 ②数学[解析] ①由左图可知，甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后；而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前，故填乙．②由右图可知，丙的总成绩名次为倒数第5，从左图中找出总成绩为倒数第5的点，即丙对应的点，对比丙在两个图中的纵坐标，可知丙的数学成绩的排名更靠前，故填数学．三、解答题9．假设关于某种设备的使用年限x (年)与所支出的维修费用y (万元)有如下统计资料：已知∑x 2i ＝90，∑y i i i79≈8.9，2≈1.4，n －2＝3时，r 0.05＝0.878. (1)求x 、y ；(2)对x 、y 进行线性相关性检验；(3)如果x 与y 具有线性相关关系，求出回归直线方程； (4)估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？ [解析] (1)x ＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y ＝2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.05＝5.0.(2)步骤如下：①作统计假设：x 与y 不具有线性相关关系． ②n －2＝3时，r 0.05＝0.878.③∑x i y i －5x ·y ＝112.3－5×4×5＝12.3， ∑x 2i －5x 2＝90－5×42＝10， ∑y 2i －5y 2＝140.8－125＝15.8， ∴r ＝12.310×15.8＝12.32·79＝12.31.4×8.9≈0.987.④|r |＝0.987>0.878，即|r |>r 0.05，所以有95%的把握认为“x 与y 之间具有线性相关关系”，再求回归直线方程是有意义的．(3)由于b ^＝∑x i y i －5x ·y ∑x 2i－5x 2＝112.3－5×4×590－5×42＝1.23， a ^＝y －b x ＝5－1.23×4＝0.08， 所以回归直线方程为y ^＝1.23x ＋0.08.(4)当x ＝10时，y ^＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即估计用10年时间，维修费用约为12.38万元.一、选择题1．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样)A ．－1B ．0 C.12 D ．1[答案] D[解析] 本题考查了相关系数及相关性的判定．样本相关系数越接近1，相关性越强，现在所有的样本点都在直线y ＝12x ＋1上，样本的相关系数应为1.要注意理清相关系数的大小与相关性强弱的关系．2．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x A ．y ＝x －1 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝88＋12xD ．y ＝176[答案] C[解析] 本题主要考查线性回归方程以及运算求解能力．利用公式求系数． x ＝174＋176＋176＋176＋1785＝176，y ＝175＋175＋176＋177＋1775＝176，b ^＝ ni ＝1 (x i －x )(y i －y ) ni ＝1(x i －x )2＝12，a ^＝y －b ^x ＝88， 所以y ＝88＋12x .二、填空题3．对四组变量y 和x 进行线性相关性检验，已知n 是观测值组数，r 是相关系数．已知①n ＝7，r ＝0.954 5；②n ＝15，r ＝0.381 2；③n ＝17，r ＝0.498 5；④n ＝3，r ＝0.987 0，则变量y 与x 具有线性相关关系的是________[答案] ①③[解析] ①r >r 0.05＝0.754，②r <r 0.05＝0.514；③r >r 0.05＝0.482；④r <r 0.05＝0.997，从而①③正确．4．图书馆工作人员想知道每天到图书馆的人数x (百人)与借出的图书本数y (百本)之间的关系，已知上个月图书馆共开放25天，且得到资料：∑x i ＝200，∑y i ＝300，∑x 2i ＝1 660，∑y 2i ＝3 696，∑x i y i ＝2 436，则y 对x 的回归直线方程为__________[答案] y ^＝7.2＋0.6x[解析] 由已知可得a ^＝7.2，b ^＝0.6，故y 对x 的回归直线方程为y ^＝7.2＋0.6x . 三、解答题5．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率Y 之间的关系：求：(1)小李这6号打篮球6小时的投篮命中率．[解析] (1)取x 1＝1，x 2＝2，x 3＝3，x 4＝4，x 5＝5； y 1＝0.4，y 2＝0.5，y 3＝0.6，y 4＝0.6，y 5＝0.4. 这5天的平均投篮命中率为 y ＝y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 55＝0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.45＝0.5，(2)∵x ＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 55＝1＋2＋3＋4＋55＝3，∴b ^＝ 5i ＝1x i y i －5x y5i ＝1x 2i －5x 2＝0.01，∴a ^＝0.5－0.01×3＝0.47，从而得回归直线方程为y ^＝0.01x ＋0.47， 令x ＝6得y ^＝0.53.预测小李每月6号打篮球6小时的投篮命中率为0.53.6．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得 10i ＝1x i ＝80， 10i ＝1y i ＝20， 10i ＝1x i y i ＝184， 10i ＝1y 2i ＝50， 10i ＝1x 2i ＝720. 试对月收入x 与家庭的月储蓄Y 进行一元线性回归分析，并预测该居民区某家庭月收入为7千元时该家庭的月储蓄．附：相关性检验的临界值表(部分)[解析] 先对x 与Y 1．作统计假设：x 与Y 不具有线性相关关系． 2．由小概率0.05与n －2＝8查得r 0.05＝0.632. 3．由数据可得：x ＝110 10i ＝1x i ＝8，y ＝110 10i ＝1y i＝2，10i ＝1x 2i －10x 2＝720－10×82＝80， 10i ＝1x i y i －10x y ＝184－10×8×2＝24，10i ＝1y 2i －10y 2＝50－10×4＝10， 因此，r ＝2480×10＝24202≈0.849.|r |≈0.849>0.632，即|r |>r 0.05.从而有95%的把握认为x 与Y 具有线性相关关系，因而求回归直线方程是有意义的． 可求得回归系数b ^＝0.3，a ^＝－0.4. 故所求回归直线方程为y ^＝0.3x －0.4.将x ＝7代入回归直线方程，可以预测该家庭的月储蓄为y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．。