题型技法点拨-快得分系列之(一)三法定乾坤-谈充要条件的判定

判断充分、必要条件问题是每年高考中的必考问题.此类问题常与函数、不等式、圆锥曲线等知识相结合，通常难度不大.解答此类问题，同学们需熟练掌握常用逻辑用语以及判断充分、必要条件的方法.下面主要谈一谈判断充分、必要条件的三种常用方法.一、定义法定义法是判断充分、必要条件的基本方法.对于命题“若p ，则q ”，如果p ⇒q ，那么p 就是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.对于一些比较简单的问题，可直接运用定义法，根据充分、必要条件的定义来进行判断.例1.已知p ：-2<m <0,0<n <1，q ：关于x 的方程x 2+mx +n =0有两个小于1的正根，试分析p 是q 的什么条件.解：设x 1，x 2是方程x 2+mx +n =0的两个小于1的正根，即0<x 1<1，0<x 2<1，则0<x 1+x 2<2，0<x 1∙x 2<1，由韦达定理可得-2<m <0，0<n <1，从而可得q ⇒p .而当m =-1，n =12时，方程x 2-x +12=0无实根，所以p q .综上可知p 是q 的必要不充分条件.要解答本题，我们需根据条件q 中给出的信息，利用韦达定理求得m ，n 的取值范围，然后讨论条件p 、q 之间的关系，再采用定义法，根据充分、必要条件的定义来进行判断.二、集合法若使p 成立的对象构成的集合为A ，使q 成立的对象构成的集合为B ，则集合A 、B 与充分、必要条件的关系为：（1）若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；（2）若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；（3）若A =B ，则p 是q 的充要条件.运用集合法，可以将有关充分、必要条件的问题转化为集合间的关系问题，通过判断集合之间的包含、真包含、相等关系来判断命题的充要性、必要性.例2.已知p :||||||1-x -13≤2，q :x 2-2x +1-m 2≤0(m >0)，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.解：由||||||1-x -13≤2得-2≤x ≤10，所以¬p 对应的集合为{}x |x >10或x <-2，设A ={}x |x >10或x <-2.由x 2-2x +1-m 2≤0(m >0)，可得1-m ≤x ≤1+m (m >0)，所以¬q 对应的集合为{}x |x >m +1或x <1-m ,m >0，设B ={}x |x >m +1或x <1-m ，m >0.因为¬p 是¬q 的必要不充分条件，所以B ⊆A ，所以ìíîm >0，1-m ≤-2，1+m ≥10，解得m ≥9，所以实数m 的取值范围为[9,+∞）.当命题中的条件与结论都能够用集合来表示的时候，我们就可以运用集合法来判断充分、必要条件.集合法多适用于解答命题中涉及解集的包含或者相等问题.三、等价转化法等价转化法是指运用一个命题与其逆否命题的等价性，把原命题转化为逆否命题，然后再进行判断.当难以按判断原命题的真假时，就可以采用等价转化法，转化思路，判断其逆否命题的真假.例3.设p ：||||x -1-2<1，q ：x -2x 2+x -2>0，试证明¬p 是¬q 的必要不充分条件.证明：设命题p ，q 对应的集合分别为P ，Q ，则P ={}x |-2<x <0,或2<x <4，Q ={}x |-2<x <1,或x >2，因为P ⊄Q ，所以q 是p 的必要不充分条件，所以¬p 是¬q 的必要不充分条件.由于原命题与其逆否命题等价，逆命题与其否命题等价，因此对于一些否定性的命题，可先将其转化为等价命题，再进行判断.该方法体现了等价转化的思想，运用该方法解题，有利于培养思维的灵活性.相比较而言，定义法较为简单，定义法和集合法比较常用，而等价转化法较为复杂，对同学们的逻辑思维能力的要求较高.因此在，判断充分、必要条件时，可先尝试运用定义法、集合法，若解题受阻，再考虑运用等价转化法.（作者单位：江苏省大丰高级中学）考点透视36。

1 / 1解析充要条件的三种常用判断方式1.利用集合间的相互关系进行判断．若一个命题的条件和结论所描述的对象形成一个集合，则可用集合间的相互关系来判定充分条件，必要条件．设P ，Q 分别为命题p,q 所描述的对象形成的集合． (1).若q p Q P 是则称,⊆的充分条件． (2).若P Q ⊆，则称p 是q 的必要条件． (3).若P Q ⊂，则称p 是q 的必要非充分条件． (4) .若Q P ⊂,则称p 是q 的充分非必要条件． (5).若Q P =，则称p 是q 的充要条件．(6).若φ=⋂Q P ，则称p 是q 成立的既不充分也不必要条件． (7).若A B ,⊆⊆且B A ，则称p 是q 成立的既不充分也不必要条件． 例１． 条件A ：()()014B ,041≥-+≥+-x x x x ：结论，则判断条件是结论的什么条件． 解：由于A 的解集是：M ＝(][)+∞⋃-∞-,14,，而B 的解集是：N=(]()+∞⋃-∞-,14,，显然N ⊂M ，于是A 是B 的必要非充分条件．2.利用互为逆否命题的等价性进行判断．由于互为逆否命题是相互等价的，当我们正面对命题进行判断较为困难时，可将其转化为逆否命题来判断．例3．,:,:B A x q B x A x p ⋂∉∉∉或的是说明q p 什么条件．解：原命题等价于判断B x A x p B A x q ∈∈⌝⋂∈⌝且是::的什么条件． 易见：B A x B x A x B x A x B A x ⋂∈⇒∈∈∈∈⇒⋂∈且及　且,，故p q p q ⌝⌝⌝⇔⌝是即的充要条件．所以p 是q 的充要条件． 例4．,5:,23:≠+≠≠y x q y x p 且的是说明q p 什么条件． 解：原命题等价于判断23:5:==⌝=+⌝y x p y x q 或是的什么条件． 显然.,q p p q ⌝⇒⌝⌝⇒⌝所以p 是q 的既不充分也不必要条件． ３．利用真值表进行判断．我们首先给出关于命题p 和q 的真值表．pqq p 或q p 且p ⌝真 假 真 假 假 假 真 真 假 真 假 假 假 假 真 真真真真真由于复合命题是由简单命题与逻辑联结词“或” ，“且”，“非”等构成的，因此利用真值表进行判断充要条件时，关键是能够将一个复合命题写成用逻辑联结词“或” ，“且”，“非”连接的与之等价的复合命题的形式．例5．判断命题0>x 是0≥x 的什么条件．解： ,000=>≥x x x 或即由真值表知：p 真q p 或⇒真，但q p 或真p ⇒真． 0>x 0≥⇒x ，但00>⇒≥x x ．故0>x 是0≥x 的充分不必要条件． 例6．判断命题22b a ≠是b a b a -≠≠或的什么条件．解：.22b a b a b a -≠≠≠且即由真值表知：真或真，但或真真且q p q p p q p ⇒⇒b a b a b a q p -≠≠≠∴⇒或是真．　且22的充分不必要条件．以上二例紧扣真值表，在判断时要能够剖析命题中所蕴含的逻辑联结词，进而将复合命题分解．。

充分条件、必要条件判断的三种方法聂海峰对于充要条件的判断，许多同学感觉困难，下面结合典型例题说明充要条件判断的三种常用方法，供大家参考。

1。

利用定义判断如果已知p q ⇒，则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件。

根据定义可进行判断。

例1. 已知p 、q 都是r 的必要条件,s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么s 是q 的_________条件;r 是q 的_______________条件；p 是q 的____________条件. 解:根据题意可表示为：r p r q s r q s ⇒⇒⇒⇒，，，由传递性可得图1图1所以s 是q 的充要条件；r 是q 的充要条件；p 是q 的必要条件。

2. 利用等价命题判断原命题与其逆否命题是“同真同假"的等价命题,当我们直接判断原命题的真假有困难时，可以转化为判断其逆否命题的真假。

这一点在充要条件的判断时经常用到.由p q ⇒，容易理解p 是q 的充分条件，而q 是p 的必要条件却有点抽象。

p q ⇒与⌝⇒⌝q p 是等价的，可以解释为若q 不成立,则p 不成立，条件q 是必要的。

例2。

已知真命题“若a b ≥则c d ≤"和“若a b <则e f ≤",则“c d ≤”是“e f ≤”的____________条件。

解：“若a b ≥则c d >"的逆否命题为“若c d ≤则a b <"。

又“若a b e f <≤则”所以“若c d e f ≤≤则"为真命题。

故“c d ≤"是“e f ≤”的充分条件。

3. 把充要条件“直观化”如果p q ⇒，我们可以形象地认为p 是q 的“子集”；如果q p ⇒，我们认为p 不是q 的“子集”,根据集合的包含关系，可借助韦恩图说明,现归纳如下。

图2反映了p 是q 的充分不必要条件时的情形。

图3反映了p 是q 的必要不充分条件时的情形。

充分条件与必要条件的四种判定方法充分条件与必要条件是逻辑学中的重要概念，用于描述一个命题的条件关系。

充分条件指的是一个条件成立可以推导出另一个条件成立，而必要条件则是一个条件成立可以推导出另一个条件成立。

关于充分条件与必要条件的判定有四种方法，分别是充分性原则、必要性原则、充要条件等价原则和等价条件原则。

首先是充分性原则，充分性原则指的是如果一个命题P蕴含另一个命题Q，也就是P成立可以推导出Q成立，那么就说P是Q的充分条件，或者说Q是P的必要条件。

在判定中，我们可以根据已知的P成立推导出Q成立，以此证明P是Q的充分条件。

其次是必要性原则，必要性原则指的是如果一个命题P成立可以推导出另一个命题Q成立，那么就说P是Q的必要条件，或者说Q是P的充分条件。

在判定中，我们可以根据已知的P成立推导出Q成立，以此证明P是Q的必要条件。

接下来是充要条件等价原则，充要条件等价原则指的是如果两个命题P和Q相互蕴含，也就是P成立可以推导出Q成立且Q成立可以推导出P成立，那么就说P是Q的充要条件。

在判定中，我们可以根据已知的P成立推导出Q成立，并且根据已知的Q成立推导出P成立，以此证明P是Q的充要条件。

最后是等价条件原则，等价条件原则是充分性原则和必要性原则的结合，通过充分性和必要性的双向推导来判定条件关系。

在判定中，我们既要根据已知的P成立推导出Q成立，又要根据已知的Q成立推导出P成立，以此证明P是Q的等价条件。

综上所述，充分条件与必要条件的判定有四种方法，包括充分性原则、必要性原则、充要条件等价原则和等价条件原则。

在使用这些方法进行判定时，需要根据已知的条件进行推导和证明，以确定条件之间的关系。

这些方法在数学推导、逻辑推理以及证明论中有着广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和分析命题之间的条件关系。

“充要条件”的判断方法“充要条件”是高中数学课程中的重要内容，主要讨论命题的条件与结论之间的逻辑关系. 它不仅是解决数学问题时进行等价转换的逻辑基础，还是后面学习数学推理、数学证明等内容的基础，同时也是高考命题中实现知识交融交汇的重要载体. 因而，掌握“充要条件”的概念以及判断方法显得尤为重要. 本文对判断“充要条件”的几种常用方法加以盘点，仅供参考.定义判断法例1 设[an]是首项为正数的等比数列，公比为[q]，则“[q0]，[q2n-2>0]，∴[a1q2n-2>0].但当[q0]和[a2x2+b2x+c2>0]的解集分别为集合[M]和[N]，试判断“[a1a2=b1b2=c1c2]”是“[M=N]”的什么条件，并说明理由.分析判断一个较抽象、繁难的命题，往往可以尝试反例法（也称特殊值法），即列举一个（或多个）符合命题条件但又与该命题结论相矛盾的例子，从而说明该命题不成立.解由[x2-3x+2>0]与[-x2+3x-2>0]得，[M=（1，2）]，[N=（-∞，1）?（2，+∞）].显然，[a1a2=b1b2=c1c2=-1]，但[M≠N]，故命题的条件不是充分条件.由[x2+2x+2>0]和[x2+2x+3>0]得，[M=N=R]，但[11=22≠23]，不满足[a1a2=b1b2=c1c2]，故命题的条件不是必要条件.综上可知，“[a1a2=b1b2=c1c2]”是“[M=N]”的既不不充分又不必要条件.点拨“以例外证明规律”是一个简便而又实用的方法，通常一个例外足以反驳任何自封为规律或普遍性的命题.判断一个命题为真命题，必须严格证明，但要判断一个命题为假命题，只需举一个反例就行. 换言之，要说明[p]不是[q]的充分条件，只要找到[x0∈xp]，但[x0?xq]即可. 特别的，对于[p]是[q]的不充分或不必要条件类的问题，列举反例是准确、快捷的方法.等价转换法例5 若命题[p：x≠3，或y≠4]，命题[q：x+y≠7]，则[p]是[q]的_______条件.分析题设与结论均为否定形式，加之有逻辑联结词“或”的出现，直接求解往往困难或容易出错，若利用“否定之否定是肯定”这个结论，则问题迎刃而解.解考虑逆否命题：[?q：x+y=7]，[?p：x=3，且y=4].显然，[x+y=7]不能推出[x=3，且y=4]，但[x=3]，且[y=4]可以推出[x+y=7]，即[?q]不能推出[?p]，但[?p]可以推出[?q].所以[p]不能推出[q]，但[q?p].即[p]是[q]的必要不充分条件.点拨当某一命题不易直接判断条件与结论的充要关系（特别是对于否定形式或“[≠]”形式的命题）时，可利用等价转换法来解决. 等价转换法是利用互为逆否的两个命题同真同假的特性，将已知命题转化为等价命题求解，即要判断[p]是[q]的什么条件，只需判断[?q]是[?p]的什么条件即可.充要条件是数学中的一个重要概念，也是高考考查的一个重点内容. 在学习过程中，准确理解定义是基础，正确判断充要关系是重点，熟练应用充要关系解决相关问题是关键. 深刻理解充要条件的意义，掌握充要条件的常用判别方法，不但能有效地进行充要关系的判断与证明，更有助于提升数学逻辑思维能力、推理及论证能力.。

充要条件与反证法●知识梳理1.充分条件：如果p ⇒q ，则p 叫q 的充分条件，原命题（或逆否命题）成立，命题中的条件是充分的，也可称q 是p 的必要条件.2.必要条件：如果q ⇒p ，则p 叫q 的必要条件，逆命题（或否命题）成立，命题中的条件为必要的，也可称q 是p 的充分条件.3.充要条件：如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q ，则p 叫做q 的充分必要条件，简称充要条件，原命题和逆命题（或逆否命题和否命题）都成立，命题中的条件是充要的.4.反证法：当直接证明有困难时，常用反证法. ●点击双基＞bc 2是a ＞b 成立的A.充分而不必要条件B.充要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析：a ＞b ac 2＞bc 2，如c =0. 答案：A2.（2004年湖北，理4）已知a 、b 、c 为非零的平面向量.甲：a ·b =a ·c ，乙：b =c ，则 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析：命题甲:a ·b =a ·c ⇒a ·（b －c ）=0⇒a =0或b =c . 命题乙:b =c ，因而乙⇒甲，但甲乙. 故甲是乙的必要条件但不是充分条件. 答案：B3.（2004年浙江，8）在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞21”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：在△ABC 中，A ＞30°⇒0＜sin A ＜1sin A ＞21，sin A ＞21⇒30°＜A ＜150°⇒A ＞30°.∴“A ＞30°”是“sin A ＞21”的必要不充分条件. 答案：B4.若条件p :a ＞4，q :5＜a ＜6，则p 是q 的______________.解析：a ＞45＜a ＜6，如a =7虽然满足a ＞4，但显然a 不满足5＜a ＜6. 答案：必要不充分条件5.（2005年春季上海，16）若a 、b 、c 是常数，则“a ＞0且b 2－4ac ＜0”是“对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若a ＞0且b 2－4ac ＜0，则对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0，反之，则不一定成立.如a =0，b =0且c ＞0时，也有对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0.因此应选A.答案：A●典例剖析【例1】 使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分而不必要条件是 ＜0 ≥0∈{－1，3，5}≤－21或x ≥3 剖析：∵2x 2－5x －3≥0成立的充要条件是x ≤－21或x ≥3，∴对于A 当x =－31时2x 2－5x －3≥0.同理其他也可用特殊值验证.答案：C【例2】 求证：关于x 的方程ax 2+bx +c =0有一根为1的充分必要条件是a +b +c =0.证明：（1）必要性，即“若x =1是方程ax 2+bx +c =0的根，则a +b +c =0”.∵x =1是方程的根，将x =1代入方程，得a ·12+b ·1+c =0，即a +b +c =0.（2）充分性，即“若a +b +c =0，则x =1是方程ax 2+bx +c =0的根”.把x =1代入方程的左边，得a ·12+b ·1+c =a +b +c .∵a +b +c =0，∴x =1是方程的根. 综合（1）（2）知命题成立. 深化拓展求ax 2+2x +1=0（a ≠0）至少有一负根的充要条件. 证明：必要性：（1）方程有一正根和一负根，等价于⇒⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=0104421a x x a Δa ＜0. （2）方程有两负根，等价于⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><-≥-=0102044aa a Δ0＜a ≤1.综上可知，原方程至少有一负根的必要条件是a ＜0或0＜a ≤1.充分性：由以上推理的可逆性，知当a ＜0时方程有异号两根；当0＜a ≤1时，方程有两负根.故a ＜0或0＜a ≤1是方程ax 2+2x +1=0至少有一负根的充分条件.答案：a ＜0或0＜a ≤1.【例3】 下列说法对不对如果不对，分析错误的原因. （1）x 2＝x ＋2是x 2+x =x 2的充分条件； （2）x 2＝x ＋2是x 2+x =x 2的必要条件.解：（1）x 2=x +2是x 2+x =x 2的充分条件是指x 2=x +2⇒x 2+x =x 2.但这里“⇒”不成立，因为x =－1时，“⇒”左边为真，但右边为假.得出错误结论的原因可能是应用了错误的推理：x 2=x +2⇒x =2+x ⇒x 2=x 2+x .这里推理的第一步是错误的（请同学补充说明具体错在哪里）.（2）x 2=x +2是x 2+x =x 2的必要条件是指x 2+x =x 2⇒x 2=x +2.但这里“⇒”不成立，因为x =0时，“⇒”左边为真，但右边为假.得出错误结论的原因可能是用了错误的推理:x 2+x =x 2⇒2+x =x ⇒x +2=x 2.这里推理的第一步是错误的（请同学补充说明具体错在哪里）.评述：此题的解答比较注重逻辑推理.事实上，也可以从真值集合方面来分析：x 2=x +2的真值集合是{－1，2}，x 2+x =x 2的真值集合是{0，2}，{－1，2}{0，2}，而{0，2} {－1，2}，所以（1）（2）两个结论都不对.●闯关训练 夯实基础1.（2004年重庆，7）已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：依题意有p ⇒r ，r ⇒s ，s ⇒q ，∴p ⇒r ⇒s ⇒q .但由于r p ，∴q p . 答案：A2.（2003年北京高考题）“cos2α=－23”是“α=k π+12π5，k ∈Z ”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件解析：cos2α=－23⇔2α=2k π±6π5⇔α=k π±12π5. 答案：A3.（2005年海淀区第一学期期末练习）在△ABC 中，“A ＞B ”是“cos A ＜cos B ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：在△ABC 中，A ＞B ⇔cos A ＜cos B （余弦函数单调性）. 答案：C4.命题A ：两曲线F （x ，y ）＝0和G （x ，y ）=0相交于点P （x 0，y 0），命题B ：曲线F （x ，y ）+λG （x ，y ）＝0（λ为常数）过点P （x 0，y 0），则A 是B 的__________条件.答案：充分不必要5.（2004年北京，5）函数f （x ）=x 2－2ax －3在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是 ∈（－∞，1］ ∈［2，+∞）C.α∈［1，2］ ∈（－∞，1］∪［2，+∞）解析：∵f （x ）=x 2－2ax －3的对称轴为x =a ，∴y =f （x ）在［1，2］上存在反函数的充要条件为［1，2］⊆（－∞，a ］或［1，2］⊆［a ，+∞），即a ≥2或a ≤1.答案：D6.已知数列{a n }的前n 项和S n =p n+q （p ≠0且p ≠1），求数列{a n }成等比数列的充要条件. 分析：先根据前n 项和公式，导出使{a n }为等比数列的必要条件，再证明其充分条件. 解：当n =1时，a 1=S 1=p +q ；当n ≥2时，a n =S n －S n －1=（p －1）·p n －1. 由于p ≠0，p ≠1，∴当n ≥2时，{a n }是等比数列.要使{a n }（n ∈N *）是等比数列，则12a a =p ，即（p －1）·p =p（p +q ），∴q =－1，即{a n }是等比数列的必要条件是p ≠0且p ≠1且q =－1.再证充分性：当p ≠0且p ≠1且q =－1时，S n =p n－1，a n =（p －1）·p n －1，1n na a =p （n ≥2）， ∴{a n }是等比数列. 培养能力7.（2004年湖南，9）设集合U =｛（x ，y ）｜x ∈R ，y ∈R ｝，A =｛（x ，y ）|2x －y +m ＞0｝，B =｛（x ，y ）|x +y －n ≤0｝，那么点P （2，3）∈A ∩（UB ）的充要条件是＞－1，n ＜5 ＜－1，n ＜5 ＞－1，n ＞5＜－1，n ＞5解析：∵UB =｛（x ，y ）｜n ＜x +y ｝，将P （2，3）分别代入集合A 、B 取交集即可.∴选A.答案：A8.已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x +4=0，① x 2－4mx +4m 2－4m －5=0.②求使方程①②都有实根的充要条件.解：方程①有实数根的充要条件是Δ1=（－4）2－16m ≥0，即m ≤1；方程②有实数根的充要条件是Δ2=（4m ）2－4（4m 2－4m －5）≥0，即m ≥－45. ∴方程①②都有实数根的充要条件是－45≤m ≤1. 9.已知a 、b 、c 是互不相等的非零实数.求证：三个方程ax 2+2bx +c =0，bx 2+2cx +a =0，cx 2+2ax +b =0至少有一个方程有两个相异实根. 证明：反证法：假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1=4b 2－4ac ≤0，Δ2=4c 2－4ab ≤0，Δ3=4a 2－4bc ≤0.相加有a 2－2ab +b 2+b 2－2bc +c 2+c 2－2ac +a 2≤0，（a －b ）2+（b －c ）2+（c －a ）2≤0. ① 由题意a 、b 、c 互不相等，∴①式不能成立.∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根. 探究创新10.若x 、y 、z 均为实数，且a =x 2－2y +2π，b =y 2－2z +3π，c =z 2－2x +6π，则a 、b 、c 中是否至少有一个大于零请说明理由.解：假设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a +b +c ≤0.而a +b +c =x 2－2y +2π+y 2－2z +3π+z 2－2x +6π=（x －1）2+（y －1）2+（z －1）2+π－3，∵π－3＞0，且无论x 、y 、z 为何实数，（x －1）2+（y －1）2+（z －1）2≥0，∴a +b +c ＞0.这与a +b +c ≤0矛盾.因此，a 、b 、c 中至少有一个大于0. ●思悟小结1.要注意一些常用的“结论否定形式”，如“至少有一个”“至多有一个”“都是”的否定形式是“一个也没有”“至少有两个”“不都是”.2.证明充要性要从充分性、必要性两个方面来证明.●教师下载中心教学点睛1.掌握常用反证法证题的题型，如含有“至少有一个”“至多有一个”等字眼多用反证法.2.强调反证法的第一步，要与否命题分清.3.要证明充要性应从充分性、必要性两个方面来证.拓展题例【例题】指出下列命题中，p是q的什么条件.（1）p:0＜x＜3，q:|x－1|＜2；（2）p:（x－2）（x－3）=0，q:x=2；（3）p:c=0，q:抛物线y=ax2+bx+c过原点.解：（1）p:0＜x＜3，q:－1＜x＜3.p是q的充分但不必要条件.（2）p q，⇒是q的必要但不充分条件.（3）p是q的充要条件.评述：依集合的观点看，若A⊆B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件.。

稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊高中数学里的充要条件，这可是个挺重要的知识点哟！啥是充要条件呢？简单说就是如果能从 A 推出 B，又能从 B 推出 A，那 A 和 B 之间的关系就是充要条件啦。

比如说，一个三角形是等边三角形，那它的三个角一定都相等；反过来，如果一个三角形的三个角都相等，那它肯定是等边三角形。

这里边等边三角形和三个角相等就是充要条件。

充要条件在解题的时候可有用啦！有时候题目会让咱们判断两个条件之间是不是充要的，这就得仔细分析啦。

像判断函数的奇偶性，就会用到充要条件的知识。

如果一个函数满足 f(x) = f(x) ，那它就是偶函数；反过来，如果一个函数是偶函数，那一定满足 f(x) = f(x) ，这就是充要条件哟。

还有不等式的证明里，也常常会出现充要条件的影子。

总之呀，充要条件这个知识点虽然有点绕，但只要咱们多做几道题，多琢磨琢磨，就一定能掌握好哒！加油哦小伙伴们！稿子二嗨喽，同学们！今天咱们一起唠唠高中数学的充要条件哈。

充要条件呢，就像是一对好兄弟，谁也离不开谁。

比如说，直线垂直于平面的充要条件是直线垂直于平面内的两条相交直线。

再举个例子，两个三角形全等的充要条件是它们的三条边和三个角都对应相等。

是不是还挺好理解的？在做题的时候，一定要分清楚啥是充分条件，啥是必要条件，啥又是充要条件。

可别弄混了哟！有的题目会故意设陷阱，就看咱们能不能识破啦。

比如说，给咱们一个条件，让咱们判断是不是能推出另一个条件，这时候就得小心谨慎。

还有哦，充要条件在方程、几何这些地方都经常出现。

像判断两个圆的位置关系，也会用到相关的充要条件呢。

充分条件和必要条件的记忆口诀充要条件和必要条件是数学中比较容易混淆的知识点，为帮助大家更好的区分二者，整理了记忆口诀及相关内容如下，供大家参考。

充分条件和必要条件的口诀如果A能推出B，那么A就是B的充分条件。

如果没有A，则必然没有B；如果有A而未必有B，则A就是B的必要条件。

充分条件：如果A能推出B，那么A就是B的充分条件。

其中A为B的子集，即属于A的一定属于B，而属于B的不一定属于A，具体的说若存在元素属于B的不属于A，则A为B 的真子集；若属于B的也属于A，则A与B相等。

必要条件：必要条件是数学中的一种关系形式。

如果没有A，则必然没有B；如果有A而未必有B，则A就是B的必要条件，记作B→A，读作“B含于A”。

数学上简单来说就是如果由结果B能推导出条件A，我们就说A是B 的必要条件。

充要条件和必要条件的解题方法1.充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”；(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件。

注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同，前者是“p⇒q”而后者是“q⇒p”。

2．从逆否命题，谈等价转换由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”。

3.在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系。

要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可。

对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手。

4.充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件，有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分。