2015年5月北京市海淀区高三二模数学参考答案(理科)

北京市海淀区2015届高三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）抛物线x2=﹣2y的焦点坐标是（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．D．2．（5分）如图所示，在复平面内，点A对应的复数为z，则复数z2=（）A．﹣3﹣4i B．5+4i C．5﹣4i D．3﹣4i3．（5分）当向量=c=（﹣2，2），=（1，0）时，执行如图所示的程序框图，输出的i值为（）A．5B．4C．3D．24．（5分）已知直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：x+ay+2=0．若l1⊥l2，则实数a的值是（）A．0B．2或﹣1 C．0或﹣3 D．﹣35．（5分）设不等式组表示的平面区域为D．则区域D上的点到坐标原点的距离的最小值是（）A．1B．C．D．56．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥四个面的面积中最大的是（）A．B．12 C．D．7．（5分）某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：m3）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：（H为常数），其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为．那么瞬时融化速度等于的时刻是图中的（）A．t1B．t2C．t3D．t48．（5分）已知点A在曲线P：y=x2（x＞0）上，⊙A过原点O，且与y轴的另一个交点为M．若线段OM，⊙A和曲线P上分别存在点B、点C和点D，使得四边形ABCD（点A，B，C，D顺时针排列）是正方形，则称点A为曲线P的“完美点”．那么下列结论中正确的是（）A．曲线P上不存在“完美点”B．曲线P上只存在一个“完美点”，其横坐标大于1C．曲线P上只存在一个“完美点”，其横坐标大于且小于1D．曲线P上存在两个“完美点”，其横坐标均大于二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在的展开式中，常数项是．（用数字作答）10．（5分）在极坐标系中，直线ρsinθ=3被圆ρ=4sinθ截得的弦长为．11．（5分）若双曲线的一条渐近线的倾斜角为60°，则m=．12．（5分）如图所示，AD是⊙O的切线，AB=，∠ACB=，那么∠CAD=．13．（5分）在等比数列{a n}中，若a1=﹣24，a4=﹣，则公比q=；当n=时，{a n}的前n项积最大．14．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是边BC的中点．动点P在直线BD1（除B，D1两点）上运动的过程中，平面DEP可能经过的该正方体的顶点是．（写出满足条件的所有顶点）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出φ及图中x0的值；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+f（x+），求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．16．（13分）某中学在2014-2015学年高二年级开设大学先修课程《线性代数》，共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名．为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽取5人进行考核．（Ⅰ）求抽取的5人中男、女同学的人数；（Ⅱ）考核的第一轮是答辩，顺序由已抽取的甲、乙等5位同学按抽签方式决定．设甲、乙两位同学间隔的人数为X，X的分布列为X 3 2 1 0P a b求数学期望EX；（Ⅲ）考核的第二轮是笔试：5位同学的笔试成绩分别为115，122，105，111，109；结合第一轮的答辩情况，他们的考核成绩分别为125，132，115，121，119．这5位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为s12，s22，试比较s12与s22的大小．（只需写出结论）17．（14分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C为菱形，∠BB1C1=60°，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C．（Ⅰ）求证：B1C⊥AC1；（Ⅱ）设点E，F分别是B1C，AA1的中点，试判断直线EF与平面ABC的位置关系，并说明理由；（Ⅲ）求二面角B﹣AC1﹣C的余弦值．18．（13分）已知椭圆M：=1，点F1，C分别是椭圆M的左焦点、左顶点，过点F1的直线l（不与x轴重合）交M于A，B两点．（Ⅰ）求M的离心率及短轴长；（Ⅱ）是否存在直线l，使得点B在以线段AC为直径的圆上，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．19．（13分）已知函数f（x）=acosx+xsinx，．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）求集合A={x|f（x）=0}中元素的个数；（Ⅲ）当1＜a＜2时，问函数f（x）有多少个极值点？（只需写出结论）20．（14分）已知集合S={a1，a2，a3，…，a n}（n≥3），集合T⊆{（x，y）|x∈S，y∈S，x≠y}且满足：∀a i，a j∈S（i，j=1，2，3，…，n，i≠j），（a i，a j）∈T与（a j，a i）∈T恰有一个成立．对于T定义d T（a，b）=l T（a i）=d T（a i，a1）+d T（a i，a2）+…+d T（a i，a i﹣1）+d T（a i，a i+1）+…+d T（a i，a n）（i=1，2，3，…，n）．（Ⅰ）若n=4，（a1，a2），（a3，a2），（a2，a4）∈T，求l T（a2）的值及l T（a4）的最大值；（Ⅱ）从l T（a1），l T（a2），…，l T（a n）中任意删去两个数，记剩下的n﹣2个数的和为M．求证：M≥n（n﹣5）+3；（Ⅲ）对于满足l T（a i）＜n﹣1（i=1，2，3，…，n）的每一个集合T，集合S中是否都存在三个不同的元素e，f，g，使得d T（e，f）+d T（f，g）+d T（g，e）=3恒成立，并说明理由．北京市海淀区2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）抛物线x2=﹣2y的焦点坐标是（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由x2=﹣2py（p＞0）的焦点坐标为（0，﹣），则抛物线x2=﹣2y的焦点坐标即可得到．解答：解：由x2=﹣2py（p＞0）的焦点坐标为（0，﹣），则抛物线x2=﹣2y的焦点坐标是（0，﹣），故选C．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的焦点坐标，属于基础题．2．（5分）如图所示，在复平面内，点A对应的复数为z，则复数z2=（）A．﹣3﹣4i B．5+4i C．5﹣4i D．3﹣4i考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：在复平面内，点A对应的复数为z=﹣2+i，再利用复数的运算法则即可得出．解答：解：在复平面内，点A对应的复数为z=﹣2+i，则复数z2=（﹣2+i）2=3﹣4i．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．3．（5分）当向量=c=（﹣2，2），=（1，0）时，执行如图所示的程序框图，输出的i值为（）A．5B．4C．3D．2考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：模拟程序运行，依次写出每次循环得到的的值，当=（﹣2，2），满足条件a•c=0，退出循环，输出i的值为4．解答：解：模拟程序运行，有i=1时，=（﹣1，2），不满足条件a•c=0i=2时，=（0，2），不满足条件a•c=0i=3时，=（1，2），不满足条件a•c=0i=4时，=（﹣2，2），满足条件a•c=0退出循环，输出i的值为4．故选：B．点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．4．（5分）已知直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：x+ay+2=0．若l1⊥l2，则实数a的值是（）A．0B．2或﹣1 C．0或﹣3 D．﹣3考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由垂直可得a+a（a+2）=0，解方程可得．解答：解：∵直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：x+ay+2=0，且l1⊥l2，∴a+a（a+2）=0，解得a=0或a=﹣3故选：C点评：本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．5．（5分）设不等式组表示的平面区域为D．则区域D上的点到坐标原点的距离的最小值是（）A．1B．C．D．5考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，当OQ垂直直线x+y﹣1=0时，此时区域D上的点到坐标原点的距离的最小，最小值为圆心到直线x+y﹣1=0的距离d=点评：本题主要考查两点间距离的应用，利用数形结合以及点到直线的距离公式是解决本题的关键．6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥四个面的面积中最大的是（）A．B．12 C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意和三视图知，需要从对应的长方体中确定三棱锥，根据三视图的数据和几何体的垂直关系，求出四面体四个面的面积，再确定出它们的最大值．解答：解：将该几何体放入在长方体中，且长、宽、高为4、3、4，由三视图可知该三棱锥为B﹣A1D1C1，由三视图可得，A1D1=CC1=4、D1C1=3，所以BA1=A1C1=5，BC1==4，则三角形BA1C1的面积S=×BC1×h==，因为A1D1⊥平面ABA1B1，所以A1D1⊥A1B，则三角形BA1D1的面积S=×BA1×A1D1==10，同理可得，三角形BD1C1的面积S=×BC1×D1C1==6，又三角形A1D1C1的面积S=×D1C1×A1D1=3=6，所以最大的面为A1BC1，且面积为，点评：本题考查由三视图还原几何体，以及线面垂直关系，将几何体放入正方体中去研究是解决本题的关键，考查了空间想象能力和转化能力．7．（5分）某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：m3）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：（H为常数），其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为．那么瞬时融化速度等于的时刻是图中的（）A．t1B．t2C．t3D．t4考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意可知，平均融化速度为=，反映的是V（t）图象与坐标轴交点连线的斜率，通过观察某一时刻处瞬时速度（即切线的斜率），即可得到答案解答：解：平均融化速度为=，反映的是V（t）图象与坐标轴交点连线的斜率，观察可知t3处瞬时速度（即切线的斜率）为平均速速一致，故选：C点评：本题考查了图象的识别，关键理解平均速度表示的几何意义（即斜率），属于基础题8．（5分）已知点A在曲线P：y=x2（x＞0）上，⊙A过原点O，且与y轴的另一个交点为M．若线段OM，⊙A和曲线P上分别存在点B、点C和点D，使得四边形ABCD（点A，B，C，D顺时针排列）是正方形，则称点A为曲线P的“完美点”．那么下列结论中正确的是（）A．曲线P上不存在“完美点”B．曲线P上只存在一个“完美点”，其横坐标大于1C．曲线P上只存在一个“完美点”，其横坐标大于且小于1D．曲线P上存在两个“完美点”，其横坐标均大于考点：二次函数的性质．专题：新定义．分析：假设点A为“完美点”，画出图象，设A（m，m2），通过讨论m＜1时，m≥1时的情况从而得到答案．解答：解：如下图左，如果点A为“完美点”，则AB=AD=AC=OA，以A为圆心，OA为半径作圆T（如下图右中虚线圆），交y轴于点B，B′（可重合），交抛物线于点D，D′，点A为“完美点”当且仅当AB⊥AD，若下图右，（结合图象知，B点一定是上方的交点，否则在抛物线上不存在D点使得AB⊥AD；D也一定是上方的交点，否则A，B，C，D不是顺时针），，，下面考虑当点A的横坐标越来越大时∠BAD的变化情况，设A（m，m2），当m＜1时，∠AOY=45°，此时圆T与y轴相离或相切时，此时A不是完美点，故只需考虑m≥1，当m增加时，∠BAD越来越小，且趋近于0，（推理在后面），而当m=1时，∠BAD＞90°，故曲线P上存在唯一一个完美点，其横坐标大于1，当m增加时，∠BAD越来越小，且趋近于0°的推理：过A作AH⊥y轴于点H，分别过点A，D作x轴，y轴的平行线交于N，先考虑∠BAH：cos∠BAH==，于是m增大时，cos∠BAH减小且趋于0，从而∠BAH增大，且趋于90°，再考虑∠DAN，记D（n，n2），则tan∠DAN==n+m，随着m的增大，OA的长增大，AD=OA也增大，于是m+n增大，从而tan∠DAN增大，∠DAN增大且趋近于90°，∴∠BAD=π﹣∠BAH﹣∠DAN随着m的增大而减小，且趋于0°，故选：B．点评：本题考查了新定义问题，考查了二次函数的性质，考查了数形结合思想，本题有一定难度．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在的展开式中，常数项是15．（用数字作答）考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．解答：解：∵在的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•，令r﹣6=0，求得r=4，故的展开式中的常数项是5．故答案为：15．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．10．（5分）在极坐标系中，直线ρsinθ=3被圆ρ=4sinθ截得的弦长为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程、再利用点到直线的距离公式、弦长公式即可得出．解答：解：直线ρsinθ=3即y=3．ρ=4sinθ化为ρ2=4ρsinθ，∴x2+y2=4y，化为x2+（y﹣2）2=4．可得圆心C（0，2），半径r=2．∴圆心到直线的距离d=1，∴直线ρsinθ=3被圆ρ=4sinθ截得的弦长=2=2．故答案为：2．点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、再利用点到直线的距离公式、弦长公式，属于基础题．11．（5分）若双曲线的一条渐近线的倾斜角为60°，则m=3．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的渐近线方程，由题意可得，tan60°=，计算即可得到m．解答：解：双曲线（m＞0）的渐近线方程为y=x，则有tan60°=，即有=，即为m=3．故答案为：3．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．12．（5分）如图所示，AD是⊙O的切线，AB=，∠ACB=，那么∠CAD=120°或60°．考点：弦切角．专题：立体几何．分析：首先根据正弦定理求出∠B的大小，进一步利用弦切角定理和三角形内角和定理求出结果．解答：解：AD是⊙O的切线，AB=，∠ACB=，所以：在△ABC中，利用正弦定理得：，解得：sin∠B=，所以：∠B=60°或120°．利用三角形内角和定理得：∠CAB=75°或15°根据弦切角定理得：∠BAD=∠C，所以：∠CAD=120°或60°，故答案为：120°或60°．点评：本题考查的知识要点：正弦定理得应用，弦切角定理的应用．三角形内角和定理的应用．属于基础题型．13．（5分）在等比数列{a n}中，若a1=﹣24，a4=﹣，则公比q=；当n=4时，{a n}的前n 项积最大．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：直接由已知及等比数列的通项公式求得公比；写出等比数列的通项公式，得到前n 项积，然后根据奇数项积为负值，分析偶数项乘积得答案．解答：解：在等比数列{a n}中，由a1=﹣24，a4=﹣，得，∴q=；∴．则{a n}的前n项积：=．当n为奇数时T n＜0，∴当n为偶数时T n有最大值．又，且当n为大于等于4的偶数时，T n+2＜T n，∴当n=4时，{a n}的前n项积最大．故答案为：；4．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是中档题．14．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是边BC的中点．动点P在直线BD1（除B，D1两点）上运动的过程中，平面DEP可能经过的该正方体的顶点是A1，B1，D．（写出满足条件的所有顶点）考点：棱柱的结构特征．专题：作图题；空间位置关系与距离．分析：取BB1的中点F，取A1D1的中点M，D1，B在平面MDEB1的两侧，可得结论．解答：解：取BB1的中点F，则A，D，E，F四点共面，D1，B在平面ADEF的两侧，故D1B与平面相交，满足题意；取A1D1的中点M，则M，D，E，B1四点共面，D1，B在平面MDEB1的两侧，故D1B与平面相交，满足题意；D显然满足．动点P在直线BD1（除B，D1两点）上运动的过程中，平面DEP可能经过的该正方体的顶点是A1，B1，D．故答案为：A1，B1，D．点评：本题考查棱柱的结构特征，考查共面问题，比较基础．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出φ及图中x0的值；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+f（x+），求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．考点：余弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由题意可得=cos（0+φ），可得φ的值．由=cos（πx0+），可得x0的值．（Ⅱ）先求得g（x）的函数解析式，由，可得，从而可求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．解答：（共13分）解：（Ⅰ）∵=cos（0+φ）∴φ的值是．…（2分）∵=cos（πx0+）∴2π﹣=πx0+，可得x0的值是．…（5分）（Ⅱ）由题意可得：．…（7分）所以=…（8分）==．…（10分）因为，所以．所以当，即时，g（x）取得最大值；当，即时，g（x）取得最小值．…（13分）点评：本题主要考察了，三角函数化简求值，三角函数的图象与性质，三角函数最值的解法，属于中档题．16．（13分）某中学在2014-2015学年高二年级开设大学先修课程《线性代数》，共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名．为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽取5人进行考核．（Ⅰ）求抽取的5人中男、女同学的人数；（Ⅱ）考核的第一轮是答辩，顺序由已抽取的甲、乙等5位同学按抽签方式决定．设甲、乙两位同学间隔的人数为X，X的分布列为X 3 2 1 0P a b求数学期望EX；（Ⅲ）考核的第二轮是笔试：5位同学的笔试成绩分别为115，122，105，111，109；结合第一轮的答辩情况，他们的考核成绩分别为125，132，115，121，119．这5位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为s12，s22，试比较s12与s22的大小．（只需写出结论）考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由分层抽样的性质，能求出抽取的5人中男、女同学的人数．（Ⅱ）由题意可得a=，从而，由此能求出数学期望EX．（Ⅲ）由两组数据中相对应的数字之差均为10，得到．解答：解：（Ⅰ）由分层抽样的性质得：抽取的5人中男同学的人数为，女同学的人数为．…（4分）（Ⅱ）由题意可得：．即a=，…（6分）因为，所以．…（8分）所以．…（10分）（Ⅲ）．…（13分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年2015届高考中都是必考题型之一．17．（14分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C为菱形，∠BB1C1=60°，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C．（Ⅰ）求证：B1C⊥AC1；（Ⅱ）设点E，F分别是B1C，AA1的中点，试判断直线EF与平面ABC的位置关系，并说明理由；（Ⅲ）求二面角B﹣AC1﹣C的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理即可证明B1C⊥AC1；（Ⅱ）根据线面平行的判定定理即可判断直线EF与平面ABC的位置关系；（Ⅲ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．解答：证明：（Ⅰ）连接BC1．在正方形ABB1A1中，AB⊥BB1．因为平面AA1B1B⊥平面BB1C1C，平面AA1B1B∩平面BB1C1C=BB1，AB⊂平面ABB1A1，所以AB⊥平面BB1C1C．…（1分）因为B1C⊂平面BB1C1C，所以AB⊥B1C．…（2分）在菱形BB1C1C中，BC1⊥B1C．因为BC1⊂平面ABC1，AB⊂平面ABC1，BC1∩AB=B，所以B1C⊥平面ABC1．…（4分）因为AC1⊂平面ABC1，所以B1C⊥AC1．…（5分）（Ⅱ）EF∥平面ABC，理由如下：…（6分）取BC的中点G，连接GE，GA．因为E是B1C的中点，所以GE∥BB1，且GE=．因为F是AA1的中点，所以AF=．在正方形ABB1A1中，AA1∥BB1，AA1=BB1．所以GE∥AF，且GE=AF．所以四边形GEFA为平行四边形．所以EF∥GA．…（8分）因为EF⊄平面ABC，GA⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC．…（9分）（Ⅲ）在平面BB1C1C内过点B作Bz⊥BB1．由（Ⅰ）可知：AB⊥平面BB1C1C．以点B为坐标原点，分别以BA，BB1所在的直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz，设A（2，0，0），则B1（0，2，0）．在菱形BB1C1C中，∠BB1C1=60°，所以，．设平面ACC1的一个法向量为n=（x，y，1）．因为即所以即．…（11分）由（Ⅰ）可知：是平面ABC1的一个法向量．…（12分）所以．所以二面角B﹣AC1﹣C的余弦值为．…（14分）点评：本题主要考查空间直线和平面之间的位置关系的判断，以及二面角的求解，要求熟练掌握相应的判定定理，利用向量法是解决二面角的常用方法，考查学生的运算和推理能力．18．（13分）已知椭圆M：=1，点F1，C分别是椭圆M的左焦点、左顶点，过点F1的直线l（不与x轴重合）交M于A，B两点．（Ⅰ）求M的离心率及短轴长；（Ⅱ）是否存在直线l，使得点B在以线段AC为直径的圆上，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）通过椭圆M方程：，直接计算即可；（Ⅱ）通过设B（x0，y0）（﹣2＜x0＜2），利用•＞0可得，进而可得结论．解答：解：（Ⅰ）由，得：，∴椭圆M的短轴长为，∴，∴，即M的离心率为；（Ⅱ）结论：不存在直线l，使得点B在以AC为直径的圆上．理由如下：由题意知：C（﹣2，0），F1（﹣1，0），设B（x0，y0）（﹣2＜x0＜2），则．∵==，∴．∴点B不在以AC为直径的圆上，即：不存在直线l，使得点B在以AC为直径的圆上．点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（13分）已知函数f（x）=acosx+xsinx，．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）求集合A={x|f（x）=0}中元素的个数；（Ⅲ）当1＜a＜2时，问函数f（x）有多少个极值点？（只需写出结论）考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：综合题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）证明f（﹣x）=f（x），即可证明f（x）是偶函数．（Ⅱ）分情况讨论：当a＞0时，因为f（x）=acosx+xsinx＞0，恒成立，当a=0时，令f（x）=xsinx=0，得x=0．当a＜0时，函数f（x）是上的增函数．由，可得f（x）在上只有一个零点．综上所述，即可求出集合A={x|f（x）=0}中元素的个数；（Ⅲ）函数f（x）有3个极值点．解答：（共13分）解：（Ⅰ）函数f（x）是偶函数，证明如下：…（1分）对于，则．…（2分）因为f（﹣x）=acos（﹣x）﹣xsin（﹣x）=acosx+xsinx=f（x），所以f（x）是偶函数．…（4分）（Ⅱ）当a＞0时，因为f（x）=acosx+xsinx＞0，恒成立，所以集合A={x|f（x）=0}中元素的个数为0．…（5分）当a=0时，令f（x）=xsinx=0，由，得x=0．所以集合A={x|f（x）=0}中元素的个数为1．…（6分）当a＜0时，因为，所以函数f（x）是上的增函数．…（8分）因为，所以f（x）在上只有一个零点．由f（x）是偶函数可知，集合A={x|f（x）=0}中元素的个数为2．…（10分）综上所述，当a＞0时，集合A={x|f（x）=0}中元素的个数为0；当a=0时，集合A={x|f（x）=0}中元素的个数为1；当a＜0时，集合A={x|f（x）=0}中元素的个数为2．（Ⅲ）函数f（x）有3个极值点．…（13分）点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，函数的性质及应用，属于中档题．20．（14分）已知集合S={a1，a2，a3，…，a n}（n≥3），集合T⊆{（x，y）|x∈S，y∈S，x≠y}且满足：∀a i，a j∈S（i，j=1，2，3，…，n，i≠j），（a i，a j）∈T与（a j，a i）∈T恰有一个成立．对于T定义d T（a，b）=l T（a i）=d T（a i，a1）+d T（a i，a2）+…+d T（a i，a i﹣1）+d T（a i，a i+1）+…+d T（a i，a n）（i=1，2，3，…，n）．（Ⅰ）若n=4，（a1，a2），（a3，a2），（a2，a4）∈T，求l T（a2）的值及l T（a4）的最大值；（Ⅱ）从l T（a1），l T（a2），…，l T（a n）中任意删去两个数，记剩下的n﹣2个数的和为M．求证：M≥n（n﹣5）+3；（Ⅲ）对于满足l T（a i）＜n﹣1（i=1，2，3，…，n）的每一个集合T，集合S中是否都存在三个不同的元素e，f，g，使得d T（e，f）+d T（f，g）+d T（g，e）=3恒成立，并说明理由．考点：进行简单的合情推理．专题：综合题；推理和证明．分析：（Ⅰ）利用d T（a2，a1）=0，d T（a2，a3）=0，d T（a2，a4）=1，可得l T（a2）=1；利用l T（a4）=d T（a4，a1）+d T（a4，a2）+d T（a4，a3）≤1+0+1=2，可得l T（a4）取得最大值2；（Ⅱ）由d T（a，b）的定义可知：d T（a，b）+d T（b，a）=1，设删去的两个数为l T（a k），l T（a m），则．由题意可知：l T（a k）≤n﹣1，l T（a m）≤n﹣1，且当其中一个不等式中等号成立，即可得出结论；（Ⅲ）对于满足l T（a i）＜n﹣1（i=1，2，3，…，n）的每一个集合T，集合S中都存在三个不同的元素e，f，g，使得d T（e，f）+d T（f，g）+d T（g，e）=3恒成立．解答：解：（Ⅰ）因为（a1，a2），（a3，a2），（a2，a4）∈T，所以d T（a2，a1）=0，d T（a2，a3）=0，d T（a2，a4）=1，故l T（a2）=1．…（1分）因为（a2，a4）∈T，所以d T（a4，a2）=0．所以l T（a4）=d T（a4，a1）+d T（a4，a2）+d T（a4，a3）≤1+0+1=2．所以当（a2，a4），（a4，a1），（a4，a3）∈T时，l T（a4）取得最大值2．…（3分）（Ⅱ）由d T（a，b）的定义可知：d T（a，b）+d T（b，a）=1．所以=．…（6分）设删去的两个数为l T（a k），l T（a m），则．由题意可知：l T（a k）≤n﹣1，l T（a m）≤n﹣1，且当其中一个不等式中等号成立，不放设l T（a k）=n﹣1时，d T（a k，a m）=1，d T（a m，a k）=0．所以l T（a m）≤n﹣2．…（7分）所以l T（a k）+l T（a m）≤n﹣1+n﹣2=2n﹣3．所以，即．…（8分）（Ⅲ）对于满足l T（a i）＜n﹣1（i=1，2，3，…，n）的每一个集合T，集合S中都存在三个不同的元素e，f，g，使得d T（e，f）+d T（f，g）+d T（g，e）=3恒成立，理由如下：任取集合T，由l T（a i）＜n﹣1（i=1，2，3，…，n）可知，l T（a1），l T（a2），…，l T（a n）中存在最大数，不妨记为l T（f）（若最大数不唯一，任取一个）．因为l T（f）＜n﹣1，所以存在e∈S，使得d T（f，e）=0，即（e，f）∈T．由l T（f）≥1可设集合G={x∈S|（f，x）∈T}≠∅．则G中一定存在元素g使得d T（g，e）=1．否则，l T（e）≥l T（f）+1，与l T（f）是最大数矛盾．所以d T（f，g）=1，d T（g，e）=1，即d T（e，f）+d T（f，g）+d T（g，e）=3．…（14分）点评：本题考查进行简单的合情推理，考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，难度大．。

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科） 2015.4本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1、设集合{}1A x x =∈>R ，{}4,B x x =∈≤R 则AB =（ ）A .),2[+∞-B .)1(∞+，C . ]2,1(D .),(+∞-∞ 2、抛物线y x 42=上的点到其焦点的最短距离为（ ） A . 4 B . 2 C . 1 D .213、已知向量a 和向量b 的夹角为60，1a b ==，则a b -=（ ） A . 3 B . 3 C .32- D .14、”“0sin >x 是“角α是第一象限的角的（ ）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件5、圆⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=θθsin 21cos 21y x （θ为参数）被直线0=y 截得的劣弧长为（ ）A .22πB . πC . π22D .π4 6、若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥≥+010y x x y x ，则下列不等式恒成立的是（ ）A . 1≥yB . 2≥xC . 022≥++y xD .012≥+-y x7、某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能．．．是（ ）8、某地区在六年内第x 年的生产总值y （单位：亿元）与x 之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率最高的是（ ） A . 第一年到第三年 B . 第二年到第四年 C . 第三年到第五年 D . 第四年到第六年二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9、已知i1i 1ia =-+-，其中i 为虚数单位，那么实数=a . 10、执行如图所示的程序框图，输出的i 的职位 . 11、已知n m ,4,是等差数列，那么n m )2()2(⋅= ,mn 的最大值为 . 12、在ABC ∆中，若,4.3,2π=∠==A c a则B ∠的大小为 .13、社区主任要为小红等4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照， 要求排成一排，小红必须与两位老人都相邻，且两位老人不能排在两端，则不痛的排法种数是 .14、设⎪⎩⎪⎨⎧><=)(,)(,)(23a x x a x x x f ，若存在实数b ，使得函数b x f x g -=)()(有两个零点，则a 的取值范围 .三、解答题共6小题，共80分。

海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数 学 （理科） 2014.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.A2.C3.D4.A.5.D6.B7.C8.D二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.01x <<{或(0,1) }11.1 12.213. 14.6，5050 {本题第一空3分，第二空2分}三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15.解：（Ⅰ）由正弦定理可得sin sin a bA B=----------------------------2分因为,a A b ==所以sin sin b A B a === ---------------------------5分 在锐角ABC ∆中，60B =o ---------------------------7分 （Ⅱ）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+- ----------------------------9分 又因为3a c =所以2222193c c c =+-，即23c = -------------------------------11分解得c = -------------------------------12分经检验，由222cos 02b c a A bc +-=<可得90A >o ，不符合题意，所以c =舍去. --------------------13分 16.解：（Ⅰ）因为1//C F 平面AEG又1C F ⊂平面11ACC A ，平面11ACC A I 平面AEG AG =，1所以1//C F AG . ---------------------------------3分 因为F 为1AA 中点，且侧面11ACC A 为平行四边形所以G 为1CC 中点，所以112CG CC =.------------------------4分 （Ⅱ）因为1AA ⊥底面ABC ，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥， ----------------------------------5分 又AB AC ⊥，如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则由1AB AC AA ==可得11(2,0,0),(0,2,0),(2,0,2),(0,0,2)C B C A -----------------------------6分 因为,E G 分别是1,BC CC 的中点，所以(1,1,0),(2,0,1)E G . -----------------------------7分1(1,1,1)(2,0,2)0EG CA ⋅=-⋅-=u u u r u u u r. --------------------------------8分所以1EG CA ⊥u u u r u u u r，所以1EG A C ⊥. --------------------------------9分 （Ⅲ）设平面AEG 的法向量(,,)x y z =n ，则0,0,AE AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n u u u r u u u r 即0,20.x y x z +=⎧⎨+=⎩ --------------------------10分 令1x =，则1,2y z =-=-，所以(1,1,2)=--n . --------------------------11分 由已知可得平面1A AG 的法向量(0,1,0)=m -------------------------------11分所以cos ,||||⋅<>==⋅n m n m n m --------------------------------13分由题意知二面角1A AG E --为钝角， 所以二面角1A AG E --的余弦值为. --------------------------------14分 16.解：（Ⅰ）设A 车在星期i 出车的事件为i A ，B 车在星期i 出车的事件为i B ，1,2,3,4,5i = 由已知可得()0.6,()0.5i i P A P B ==设该单位在星期一恰好出一台车的事件为C ， -------------------------------1分 因为,A B 两车是否出车相互独立，且事件1111,A B A B 互斥 ----------------2分所以111111111111()()()()()()()()P C P A B A B P A B P A B P A P B P A P B =+=+=+ 0.6(10.5)(10.6)0.5=⨯-+-⨯ --------------------------4分 0.5=所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为0.5. --------------------------5分 {答题与设事件都没有扣1分，有一个不扣分}（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3 ----------------------------6分 112(0)()()0.40.50.40.08P X P A B P A ===⨯⨯=2112(1)()()()()0.50.40.40.50.60.32P X P C P A P A B P A ==+=⨯+⨯⨯= 1122(2)()()()()0.60.50.40.50.60.42P X P A B P A P C P A ==+=⨯⨯+⨯=112(3)()()0.60.50.60.18P X P A B P A ===⨯⨯= ----------------------------10分所以的的分布列为--------------11分()00.0810.3220.4230.18 1.7E X =⨯+⨯+⨯+⨯=-------------------------------13分18.解： （Ⅰ）当π2a =时，π()()sin cos ,(0,)2f x x x x x π=-+∈ π'()()cos 2f x x x =- --------------------------------1分由'()0f x =得π2x =--------------------------------------2分 的情况如下4分因为(0)1f =，(π)1f =-，所以函数()f x 的值域为(1,1)-. ---------------------------------------------------5分 （Ⅱ）'()()cos f x x a x =-，①当ππa <<时，(),'()f x f x 的情况如下9分所以函数()f x 的单调增区间为π(,)2a ，单调减区间为π(0,)2和(,π)a②当πa ≥时，(),'()f x f x 的情况如下13分所以函数()f x 的单调增区间为π(,π)2，单调减区间为π(0,)2.19.解:（Ⅰ）由已知可设椭圆G 的方程为：2221(1)1x y a a +=>.-------------------------------1分由e =，可得222112a e a -==,-----------------------------------------------------2分解得22a =, ----------------------------------------------3分所以椭圆的标准方程为22121x y +=. ------------------------------------------4分（Ⅱ）法一：设00(,),C x y 且00x ≠，则00(,)D x y -. ----------------------------------------5分 因为(0,1),(0,1)A B -, 所以直线AC 的方程为0011y y x x -=+. ----------------------------------------6分 令0y =，得001M x x y -=-，所以00(,0)1x M y --. ------------------------------------7分 同理直线BD 的方程为0011y y x x +=--，求得00(,0)1x N y -+.-----------------------8分0000(,1),(,1),11x x AM AN y y -=-=--+u u u u r u u u r -----------------------------------------9分所以AM AN ⋅=u u u u r u u u r 202011x y -+-, --------------------------------------10分 由00(,)C x y 在椭圆G ：2212x y +=上，所以22002(1)x y =-,-------------------11分所以10AM AN ⋅=-≠u u u u r u u u r, -----------------------------13分所以90MAN ∠≠o ,所以，以线段MN 为直径的圆不过点A . ------------------------------14分 法二：因为,C D 关于y 轴对称，且B 在y 轴上所以CBA DBA ∠=∠. ------------------------------------------5分 因为N 在x 轴上，又(0,1),(0,1)A B -关于x 轴对称所以NAB NBA CBA ∠=∠=∠, ------------------------------------------6分 所以//BC AN , -------------------------------------------7分 所以180NAC ACB ∠=-∠o , ------------------------------------------8分 设00(,),C x y 且00x ≠，则22002(1)x y =-. ----------------------------------------9分因为22200000003(,1)(,1)(1)02CA CB x y x y x y x ⋅=-+=--=>u u u r u u u r ,----------------11分所以90ACB ∠≠o , -----------------------------------12分 所以90NAC ∠≠o , ----------------------------------13分 所以，以线段MN 为直径的圆不过点A . -------------------------------14分 法三：设直线AC 的方程为1y kx =+，则1(,0)M k-， ---------------------------------5分22220,1,x y y kx ⎧+-=⎨=+⎩ 化简得到222(1)20x kx ++-=，所以22(12)40k x kx ++=，所以12240,21kx x k -==+, -----------------------------6分所以22222421112121k k y kx k k k --+=+=+=++, 所以222421(,)2121k k C k k --+++， ----------------------------7分 因为,C D 关于y 轴对称，所以222421(,)2121k k D k k -+++. ----------------------------8分所以直线BD 的方程为222211211421k k y x k k -+++=-+，即112y x k =-.------------------10分 令0y =，得到2x k =，所以(2,0)N k . --------------------11分 1(,1)(2,1)10AM AN k k⋅=--⋅-=-≠u u u u r u u u r , ----------------------12分所以90MAN ∠≠o , ----------------------------------13分 所以,以线段MN 为直径的圆恒过(0,2)和(0,2)-两点. --------------------------14分{法4 :转化为文科题做，考查向量AC AN ⋅u u u r u u u r的取值}20.解：（Ⅰ）110d =,27d =,20142d = ---------------------------3分 （Ⅱ）法一：① 当2d =时，则(,,)(,1,2)a b c a a a =++所以1(,1,2)(1,2,)f a a a a a a ++=++，122d a a =+-=，由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数2a +变为最小数a ，最小数a 和次 小数1a +分别变为次小数1a +和最大数2a +，所以数组的极差不会改变. 所以，当2d =时，(1,2,3,)n d d n ==L 恒成立. ②当3d ≥时，则1(,,)(1,1,2)f a b c a b c =++-所以11(1)d b a b a c a d =+-+=-<-=或12(1)3d c a d =--+=- 所以总有1d d ≠.综上讨论，满足(1,2,3,)n d d n ==L 的d 的取值仅能是2. ---------------------8分 法二：因为a b c <<，所以数组(,,)a b c 的极差2d c a =-≥所以1(,,)(1,1,2)f a b c a b c =++-，若2c -为最大数，则12(1)3d c a c a d =--+=--< 若121b c a +≥->+，则1(1)(1)d b a b a c a d =+-+=-<-= 若112b a c +>+≥-，则1(1)(2)3d b c b c =+--=-+， 当3b c d -+=时，可得32b c -+≥，即1b c +≥ 由b c <可得1b c +≤ 所以1b c +=将1c b =+代入3b c c a -+=-得1b a =+所以当(,,)(,1,2)a b c a a a =++时，2n d =（1,2,3,n =L ）由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数2a +变为最小数a ，最小数a 和次小 数1a +分别变为次小数1a +和最大数2a +，所以数组的极差不会改变. 所以满足(1,2,3,)n d d n ==L 的d 的取值仅能是2. ---------------------8分 （Ⅲ）因为,,a b c 是以4为公比的正整数等比数列的三项，所以,,a b c 是形如4k m ⋅（其中*m ∈N ）的数，又因为1114(31)3331k k k k k k k C C --=+=++++L所以,,a b c 中每两个数的差都是3的倍数.所以(,,)a b c 的极差0d 是3的倍数. ------------------------------------------------9分 法1：设(,,)(,,)i i i i f a b c a b c =，不妨设a b c <<，依据操作f 的规则，当在三元数组(,,)i f a b c （1,2,3,,i x =L ，x ∈N ）中，总满足ic 是唯一最大数，i a 是最小数时，一定有2a x b x c x +<+<-，解得3c bx -<. 所以，当2,3,,13c bi -=-L 时，111(2)(1)3i i i i i i d c a c a d ---=-=--+=-. 3322(,,)(,,)333c b a c b c b c bf a b c -+-++=，3c bd b a -=- 依据操作f 的规则，当在三元数组(,,)i f a b c （,1,,333c b c b c bi y ---=++L ，y ∈N ）中，总满足i i c b =是最大数，i a 是最小数时，一定有32233a cbc by y +-++<-，解得3b ay -<. 所以，当,1,,1333c b c b c ai ---=+-L 时，111(1)(2)3i i i i i i d c a c a d ---=-=--+=-.3(,,)(,,)333c a a b c a b c a b cf a b c -++++++=，30c a d -= 所以存在3c an -=，满足(,,)n f a b c 的极差0n d =.--------------------------------13分 法2：设(,,)(,,)i i i i f a b c a b c =，则①当(,,)i i i a b c 中有唯一最大数时，不妨设i i i a b c ≤<，则1111,1,2i i i i i i a a b b c c +++=+=+=-，所以111111,3,3i i i i i i i i i i i i b a b a c a c a c b c b ++++++-=--=---=--所以，若,,i i i i i i b a c a c b ---是3的倍数，则111111,,i i i i i i b a c a c b ++++++---是3的倍数. 所以3i i b c +≤，则3i d ≥，1130i i i i c b c b ++-=--≥， 所以111i i i a b c +++≤≤所以11133i i i i i i d c a c a d +++=-=--=--------------------------------------------11分 ②当(,,)i i i a b c 中的最大数有两个时，不妨设i i i a b c <=，则1112,1,1i i i i i i a a b b c c +++=+=-=-，所以1111113,3,i i i i i i i i i i i i b a b a c a c a c b c b ++++++-=---=---=-，所以，若,,i i i i i i b a c a c b ---是3的倍数，则111111,,i i i i i i b a c a c b ++++++---是3的倍数. 所以3i i a b +≤，则3i d ≥，1130i i i i b a b a ++-=--≥ 所以11133i i i i i i d b a b a d +++=-=--=-.所以当3i d ≥时，数列{}i d 是公差为3的等差数列.------------------------------12分 当3i d =时，由上述分析可得10i d +=，此时1113i i i a b ca b c +++++=== 所以存在3dn =，满足(,,)n f a b c 的极差0n d =.----------------------------------13分。

海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（理） 2015.5本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集U Z =，集合{1,2}A =，{1,2,3,4}A B =U ，那么()U C A B I =（ ） （A ）∅（B ）{3}x x Z ∈≥（C ）{3,4}（D ）{1,2}（2）设30.320.2,log 0.3,2a b c ===，则（ ）（A ）b c a << （B ）c b a << （C ）a b c << （D ）b a c <<（3）在极坐标系中，过点π(2,)6-且平行于极轴的直线的方程是（ ） （A）cos ρθ=（B）cos ρθ=（C ）sin 1ρθ=（D ）sin 1ρθ=-（4）已知命题p ，q ，那么“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知函数()cos(2)f x x ϕ=+（ϕ为常数）为奇函数，那么cos ϕ=（ ）（A）2-（B ）0（C）2（D ）1（6）已知函数()f x 的部分图象如图所示.向图中的矩形区域随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数.通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为33，由此可估计1()d f x x ⎰的值约为（ ）（A ）99100 （B ）310 （C ）910（D ）1011（7）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，31()(1)e x f x x +=+.那么函数()f x 的极值点的个数是（ ） （A ）5（B ）4（C ）3（D ）2（8）若空间中有(5)n n ≥个点，满足任意四个点都不共面，且任意两点的连线都与其它任意三点确定的平面垂直，则这样的n 值（ ） （A ）不存在（B ）有无数个（C ）等于5（D ）最大值为8二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2015海淀区高三二模数学（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．1．（5分）已知全集U=Z，集合A={1，2}，A∪B={1，2，3，4}，那么（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x∈Z|x≥3} C．{3，4}D．{1，2}2．（5分）设a=0.23，b=log20.3，c=20.3，则（）A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c3．（5分）在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线的方程是（）A．ρcosθ=B．ρcosθ=﹣ C．ρsinθ=1D．ρsinθ=﹣14．（5分）已知命题p，q，那么“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知函数f（x）=cos（2x+φ）（φ为常数）为奇函数，那么cosφ=（）A．﹣B．0 C．D．16．（5分）已知函数f（x）的部分图象如图所示．向图中的矩形区域随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数．通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为33，由此可估计f（x）dx的值约为（）A．B．C．D．7．（5分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≤0时，f（x）=（x+1）3e x+1，那么函数f（x）的极值点的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．28．（5分）若空间中有n（n≥5）个点，满足任意四个点都不共面，且任意两点的连线都与其它任意三点确定的平面垂直，则这样的n值（）A．不存在B．有无数个C．等于5 D．最大值为8二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若等比数列{a n}满足a2a6=64，a3a4=32，则公比q=；a12+a22+…+a n2=．10．（5分）如图，在△ACB中，∠ACB=120°，AC=BC=3，点O在BC边上，且圆O与AB相切于点D，BC与圆O相交于点E，C，则∠EDB=，BE=．11．（5分）右图表示的是求首项为﹣41，公差为2的等差数列{a n}前n项和的最小值的程序框图．①处可填写；②处可填写．12．（5分）若双曲线M上存在四个点A，B，C，D，使得四边形ABCD是正方形，则双曲线M的离心率的取值范围是．13．（5分）用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三个方格进行涂色．若要求每个小方格涂一种颜色，且涂成红色的方格数为偶数，则不同的涂色方案种数是．（用数字作答）14．（5分）设关于x、y的不等式组表示的平面区域为D，已知点O（0，0）、A（1，0），点M是D上的动点，=λ||，则λ的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，c=5，b=2，a=cosA．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求证：∠B=2∠A．16．（13分）某中学为了解初三年级学生“掷实心球”项目的整体情况，随机抽取男、女生各20名进行测试，记录的数据如下：已知该项目评分标准为：注：满分10分，且得9分以上（含9分）定为“优秀”．（Ⅰ）求上述20名女生得分的中位数和众数；（Ⅱ）从上述20名男生中，随机抽取2名，求抽取的2名男生中优秀人数X的分布列；（Ⅲ）根据以上样本数据和你所学的统计知识，试估计该年级学生实心球项目的整体情况．（写出两个结论即可）17．（13分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=AP=2CD=2，M是棱PB上一点．（Ⅰ）若BM=2MP，求证：PD∥平面MAC；（Ⅱ）若平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若二面角B﹣AC﹣M的余弦值为，求的值．18．（14分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的零点及单调区间；（Ⅱ）求证：曲线y=存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标y0＜﹣1．19．（13分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点．（Ⅰ）求圆O和椭圆C的方程；（Ⅱ）已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N．求证：∠MQN为定值．20．（14分）对于数列A：a1，a2，…，a n，经过变换T：交换A中某相邻两段的位置（数列A中的一项或连续的几项称为一段），得到数列T（A）．例如，数列A：a1，…，a i，（p≥1，q≥1）经交换M，N两段位置，变换为数列T（A）：a1，…，a i，．=T（A k）（k=0，1，2，…）．设A0是有穷数列，令A k+1（Ⅰ）如果数列A0为3，2，1，且A2为1，2，3．写出数列A1；（写出一个即可）（Ⅱ）如果数列A0为9，8，7，6，5，4，3，2，1，A1为5，4，9，8，7，6，3，2，1，A2为5，6，3，4，9，8，7，2，1，A5为1，2，3，4，5，6，7，8，9．写出数列A3，A4；（写出一组即可）（Ⅲ）如果数列A0为等差数列：2015，2014，…，1，A n为等差数列：1，2，…，2015，求n的最小值．参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．1．【解答】全集U=Z，集合A={1，2}，A∪B={1，2，3，4}，∴集合B⊆A∪B，并且一定有3，4，∴∁U A也一定有3，4，∴（∁U A）∩B={3，4}．故选：C．2．【解答】∵0＜0.23＜1，20.3＞1，log20.3＜0，∴b＜a＜c，故选：D．3．【解答】点化为直角坐标，即．∴过点且平行于极轴的直线的方程是y=﹣1，化为直角坐标方程为：ρsinθ=﹣1．故选：D．4．【解答】若p∧q为真命题，则p，q都为真命题，∴p∨q为真命题；若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，而如果p，q中只有一个为真命题，则得不到p ∧q为真命题；∴“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件．故选：A．5．【解答】由于函数f（x）=cos（2x+φ）（φ为常数）为奇函数，则φ=kπ+，k∈z，∴cosφ=0，故选：B．6．【解答】由题意设阴影部分的面积为S，则，所以S=；故选：A．7．【解答】当x≤0时，f（x）=（x+1）3e x+1，∴f′（x）=（x+4）（x+1）2e x+1，∴x＜﹣4时，f′（x）＜0，﹣4＜x≤0时，f′（x）＞0，∴x=﹣4是函数的极值点，∵f（x）是定义域为R的偶函数，∴x=4是函数的极值点，又f（0）=e，x＞0递增，x＜0递减，即为极值点．故选：C．8．【解答】显然n=5时成立，若n≥6，空间中三个点确定一个平面，又任意四点都不共面，则其余点都在该平面外，而过平面外一点有且只有一条直线垂直平面，则其余各点共线，由公里3推论可知，存在四点共面，这与已知矛盾，故n≥6不成立，故选：C二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】∵a3a4=32，∴q＞0，且a n＞0，∵a2a6=64，∴a2a6=（a4）2=64，∴a4=8，则a3=，则公比q==2，则a n=a4q n﹣4=8×2n﹣4=2n﹣1，则a n2=（2n﹣1）2=4n﹣1，即数列{a n2}是公比q=4的等比数列，则a12+a22+…+a n2==，故答案为：2，10．【解答】连接OD，则OD⊥AB，∵△ACB中，∠ACB=120°，AC=BC，∴∠B=∠A=30°，∴∠DOB=60°，∴△ODE为等边三角形，∴∠EDB=30°，∴DE=EB=CE，∵BC=3，∴BE=1故答案为：30°；1．11．【解答】由程序设计意图可知，S表示此等差数列{a n}前n项和，故②处应该填写a=a+2，又因为此数列首项为负数，公差为正数，求前n项和的最小值只需累加至最后一个非正项即可，故①处可填写：a＞0．故答案为：a＞0，a=a+2．12．【解答】∵双曲线M上存在四个点A，B，C，D，使得四边形ABCD是正方形，∴＞1，∴e=＞，即e∈．故答案为：．13．【解答】因为涂成红色的方格数为偶数，即涂成红色的方格数为0，或2，3个格涂一种颜色，有2种，（全黄或全蓝）3个格涂2颜色且涂0个红色时，C21C32=6种，3格涂2颜色且涂2个红色时，C21C32=6种，根据分类计数原理，可得共有2+6+6=14种，故答案为：14．14．【解答】由不等式组得：，或；∴平面区域D如下图阴影部分所示：由得，λ=cos∠MOA；如图所示，若设直线x=和y=﹣3x+6的交点为B，则B点坐标为（，2），所以|OB|=，当M点从B点开始向x轴靠近的过程中，∠MOA不断减小，并减小到0，当∠MOA=0°时对应的λ的值达到最大值，而当M从x轴并在阴影部分远离x轴时，∠MOA又逐渐增大，可知∠MOA的最大值（极限值）一定在直线y=﹣3x+6上取得，比较此极限值和M在B点对应的λ值即可求出λ的最小值；当M点在B点时，cos∠MOA==；当M点在第四象限且在直线上时，设M（x，﹣3x+6），则cos∠MOA=，当x趋近于正无穷时，cos∠MOA=，∵＞；∴λ的取值范围是（，1]．故答案为：（，1]．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．【解答】（Ⅰ）因为，所以，因为c=5，，所以3a2+40a﹣49×3=0，解得：a=3或（舍）．…（6分）证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：，所以，因为a=3，c=5，，所以，所以cos2A=cosB．…（12分）因为c＞b＞a，所以，因为B∈（0，π），所以∠B=2∠A．…（13分）16．【解答】（Ⅰ）20名女生掷实心球得分如下：5，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10．所以中位数为8，众数为9．…（3分）（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．…（4分），，，所以抽取的2名男生中优秀人数X的分布列为：…（10分）（Ⅲ）由茎叶图得20名男生掷实心球得分如下：4，4，4，6，6，6，7，7，8，8，8，8，9，9，9，9，9，10，10，10．所以中位数为8，众数为9．20名女生掷实心球得分的平均数为：=（5+6+7+7+7+7+7+7+8+8+8+9+9+9+9+9+9+9+10+10）=8，20名男生掷实心球得分的平均数为：=（4+4+4+6+6+6+7+7+8+8+8+8+9+9+9+9+9+10+10+10）=7.55．∴该年级学生实心球项目的整体情况为：①男生和女生的得分的中位数和众数相等；②男生得分的平均数小于女生得分的平均数．…（13分）评分建议：从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情况进行合理的说明即可；也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比；或根据目前情况对学生今后在该项目的训练提出合理建议．17．【解答】（Ⅰ）连结BD交AC于点O，连结OM．因为AB∥CD，AB=2CD，所以．因为BM=2MP，所以．所以．所以OM∥PD．…（2分）因为OM⊂平面MAC，PD⊄平面MAC，所以PD∥平面MAC．…（4分）（Ⅱ）因为平面PAD⊥平面ABCD，AD⊥AB，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD．…（6分）因为PA⊂平面PAD，所以AB⊥PA．同理可证：AD⊥PA．因为AD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD∩AB=A，所以PA⊥平面ABCD．…（9分）解：（Ⅲ）分别以边AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由AB=AD=AP=2CD=2，得A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，1，0），D（2，0，0），P（0，0，2），则，．由（Ⅱ）得：PA⊥平面ABCD．所以平面ABCD的一个法向量为．…（10分）设（0≤λ≤1），即．所以．设平面AMC的法向量为，则，即令x=λ﹣1，则y=2﹣2λ，z=﹣2λ．所以．因为二面角B﹣AC﹣M的余弦值为，所以，解得．所以的值为．…（14分）18．【解答】（Ⅰ）令f（x）=0，得x=e．故f（x）的零点为e，（x＞0）．令f′（x）=0，解得．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：（0，）（，+∞）所以f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．（Ⅱ）令．则，因为，f（e）=0，且由（Ⅰ）得，f（x）在（0，e）内是减函数，所以存在唯一的，使得g′（x0）=f（x0）=6．当x∈[e，+∞）时，f（x）≤0．所以曲线存在以（x0，g（x0））为切点，斜率为6的切线．由得：．所以．因为，所以，﹣6x0＜﹣3．所以y0=g（x0）＜﹣1．19．【解答】（Ⅰ）依题意得解得：a=2，．所以圆O的方程为x2+y2=2，椭圆C的方程为．（Ⅱ）证法一：如图所示，设P（x0，y0）（y0≠0），Q（x Q，y0），则即，又由得．由得．所以，．所以．所以QM⊥QN，即∠MQN=90°．（Ⅱ）证法二：如图所示，设P（x0，y0），AP：y=k（x+2）（k≠0）．由得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣4=0．所以，即．所以，即．所以直线BP的斜率为．所以．令x=0得：M（0，2k），．设Q（x Q，y0），则，．所以．因为，所以．所以QM⊥QN，即∠MQN=90°．20．【解答】（Ⅰ）A1：2，1，3或A1：1，3，2．（Ⅱ）A3：5，6，7，2，3，4，9，8，1；A4：5，6，7，8，1，2，3，4，9．（Ⅲ）考虑数列A：a1，a2，…，a n，满足a i＜a i+1的数对a i，a i+1的个数，我们称之为“顺序数”．则等差数列A0：2015，2004，…，1的顺序数为0，等差数列A n：1，2，…，2015的顺序数为2014．首先，证明对于一个数列，经过变换T，数列的顺序数至多增加2．实际上，考虑对数列…，p，a，…，b，c，…，d，q，…，交换其相邻两段a，…，b和c，…，d的位置，变换为数列…，p，c，…，d，a，…，b，q，…．显然至多有三个数对位置变化．假设三个数对的元素都改变顺序，使得相应的顺序数增加，即由p＞a，b＞c，d＞q变为p＜c，d＜a，b＜q．分别将三个不等式相加得p+b+d＞a+c+q与p+b+d＜a+c+q，矛盾．所以经过变换T，数列的顺序数至多增加2．其次，第一次和最后一次变换，顺序数均改变1．设n的最小值为x，则2+2（x﹣2）≥2014，即x≥1008．最后，说明可以按下列步骤，使得数列A1008为1，2， (2015)对数列A0：2015，2014， (1)第1次交换1，2，…，1007和1008，1009位置上的两段，得到数列A1：1008，1007，2015，2014，…，1010，1009，1006，1005，…，2，1；第2次交换2，3，…，1008和1009，1010位置上的两段，得到数列A2：1008，1009，1006，1007，2015，2014，…，1011，1010，1005，1004，…，2，1；第3次交换3，4，…，1009和1010，1011位置上的两段，得到数列A3：1008，1009，1010，1005，1006，1007，2015，2014，…，1012，1011，1004，1003，…，2，1；…，以此类推第1007次交换1007，1008，…，2013和2014，2015位置上的两段，得到数列A1007：1008，1009，…，2013，2014，1，2，…，1006，1007，2015；最终再交换1，2，...，1007和1008，1009，...，2014位置上的两段，即得A1008：1，2， (2015)所以n的最小值为1008．。

2015年北京海淀高三二模理综试题及答案海淀区高三年级第二学期期末练习理科综合能力测试物理 2015.5本试卷共14页，共300分。

考试时长150分钟。

考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题 共120分）本部分共20小题，每小题6分，共120分，在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

13．下列说法中正确的是A ．仅利用氧气的摩尔质量和氧气的密度这两个已知量，便可计算出阿伏加德罗常数B ．气体压强的大小只与气体的温度有关C ．固体很难被压缩是因为其内部的分子之间存在斥力作用D ．只要物体与外界不发生热量交换，其内能就一定保持不变14．下列说法中正确的是A ．爱因斯坦根据对阴极射线的观察提出了原子的核式结构模型B ．γ射线比α射线的贯穿本领强C ．四个核子聚变为一个氦核的过程释放的核能等于氦核质量与c 2的乘积D ．温度升高时铀238的半衰期会变小15．下列说法中正确的是A ．光波是电磁波B ．干涉现象说明光具有粒子性C ．光电效应现象说明光具有波动性D ．光的偏振现象说明光是纵波16．如图所示为模拟街头变压器通过降压给用户供电的示意图，变压器输入的交流电压可视为不变。

变压器输出的低压交流电通过输电线输送给用户。

定值电阻R 0表示输电线的电阻，变阻器R 表示用户用电器的总电阻。

若变压器为理想变压器，电表为理想电表，则在变阻器的滑片P 向上移动的过程中A ．V 2示数变小B ．V 1示数变大C ．A 2示数变大D ．A 1示数变小A 1A 2V 2V 1R～R 0 P17．公元1543年，哥白尼临终前在病榻上为其毕生致力的著作《天体运行论》印出的第一本书签上了自己的姓名。

这部书预示了地心宇宙论的终结。

哥白尼提出行星绕太阳做匀速圆周运动，其运动的示意图如图所示。

假设行星只受到太阳的引力，按照哥白尼上述的观点。

下列说法中正确的是A ．太阳对各行星的引力相同B ．土星绕太阳运动的向心加速度比火星绕太阳运动的向心加速度小C ．水星绕太阳运动的周期大于一年D ．木星绕太阳运动的线速度比地球绕太阳运动的线速度大18．如图甲所示，细线下悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器可在竖直面内摆动，且在摆动过程中能持续向下流出一细束墨水。

北京2015届高三二模试题分类汇编（理科）专题：集合一、 选择题。

（1）（2015年海淀区高三二模理科）已知全集U Z =，集合{1,2}A =，{1,2,3,4}A B =U ，那么()U C A B I =（）（A ）∅ （B ）{3}x x Z ∈≥ （C ）{3,4} （D ）{1,2}（2）（2015年西城高三二模理科）设集合{|10}A x x =->，集合3{|}B x x =≤，则A B = （）（A ）(1,3)-（B ）(1,3] （C ）[1,3) （D ）[1,3]-（3）（2015年朝阳区高三二模理科）已知集合{}21A x x =>，集合{}(2)0B x x x =-<，则A B = A ．{}12x x << B.{}2x x >C ．{}02x x <<D ．{1x x ≤,或}2x ≥（4）（2015年丰台区高三二模理科）已知{1}A x x =>，2{20}B x x x =-<，则A B = (A){0x x <或1}x ≥(B) {12}x x <<(C){0x x <或1}x >(D) {0}x x >（5）（2015年昌平区高三二模理科）已知集合{}2340A x x x =--=，{}0,1,4,5B =，则A B 中元素的个数为A ．0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个二、填空题。

（1）（2015年朝阳区高三二模理科）设集合{}{}123(,,)2,0,2,1,2,3i A m m m m i =?=，集合A 中所有元素的个数为；集合A 中满足条件“12325m m m ?+?”的元素个数为.（2）（2015年丰台区高三二模理科）已知非空集合A ，B 满足以下四个条件：①{1,2,3,4,5,6,7}A B = ；②A B =∅ ；③A 中的元素个数不是A 中的元素；④B 中的元素个数不是B 中的元素．（ⅰ）如果集合A 中只有1个元素，那么A =______；（ⅱ）有序集合对（A ，B ）的个数是______．【答案与解析】一、 选择题。

2015届海淀一模理科数学附答案海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（理） 2015.4本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）设集合1{|}A x x >=∈R ，2{|4}B x x =∈R ≤，则A B =U （ ）（A ）[2,)-+∞（B ）(1,)+∞ （C ）(1,2]（D ）(,)-∞+∞（2）抛物线2=4x y 上的点到其焦点的最短距离为（ ） （A ）4（B ）2（C ）1（D ）12（3）已知向量a 与向量b 的夹角为60︒，1||||==a b ，则-=a b （ ）（A ）3（B 3（C ）23 （D ）1（4）“sin 0α>”是“角α是第一象限的角”的（ ）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）圆12,12x y ⎧=-+θ⎪⎨=θ⎪⎩（θ为参数）被直线0y =截得的劣弧长为（ ） （A ）2π2（B ）π（C ）22π（D ）4π（6）若,x y 满足0,1,0,x y x x y +≥⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩则下列不等式恒成立的是（ ） （A ）1y ≥ （B ）2x ≥ （C ）220x y ++≥（D ）210x y -+≥（7）某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能．．．是（ ）正视图（8）某地区在六年内第x 年的生产总值y （单位：亿元）与x 之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增．．．．长率．．最高的是（ ）（A ）第一年到第三年 （B ）第二年到第四年 （C ）第三年到第五年 （D ）第四年到第六年O yx564321（A ）（B ）（C ）（D ）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京各区二模理科数学分类汇编解析(2015届西城二模)10．双曲线 C ：的离心率为 ；渐近线的方程为 ．答案：x y 22,26±= (2015届西城二模)19．（本小题满分14 分）设F 1、F 2分别为椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且｜AB ｜＝2．⑴ 若椭圆E 的离心率为26，求椭圆E 的方程；⑵ 设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线与y 轴相交于点Q ，若以PQ 为直径的圆经过点F 1，证明：|OP|>则219．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：设22c a b =-，由题意，得224a b +=，且6c a =……………… 2分 解得3a =1b =，2c = ……………… 4分所以椭圆E 的方程为2213x y +=. ……………… 5分（Ⅱ）解：由题意，得224a b +=，所以椭圆E 的方程为222214x y a a +=-，则1(,0)F c -，2(,0)F c ，22224c a b a =--设00(,)P x y ，由题意，知0x c ≠，则直线1F P 的斜率10F P y k x c=+， ……………… 6分直线2F P 的斜率20F Py k x c =-，所以直线2F P 的方程为0()y y x c x c=--， 当0x =时，00y c y x c -=-，即点00(0,)Q y cx c--， 所以直线1F Q 的斜率为1F Qy k c x =-， ……………… 8分因为以PQ为直径的圆经过点1F，所以11PF F Q⊥.所以1100001F P F Qy yk kx c c x⨯=⨯=-+-，………………10分化简，得22200(24)y x a=--，○1又因为P为椭圆E上一点，且在第一象限内，所以22002214x ya a+=-，x>，y>，○2由○1○2，解得202ax=，2122y a=-，………………12分所以2222200||1(2)22OP x y a=+=-+，………………13分因为22242a b a+=<，所以22a>，所以||2OP>. ………………14分(2015届海淀二模)答案：(2,)+∞(2015届海淀二模)（19）（共14分）解：（Ⅰ）依题意得22224,,.ac ba b c⎧=⎪=⎨⎪-=⎩解得：2a=，2b c==………………3分所以圆O 的方程为222x y +=，椭圆C 的方程为22142x y +=. ………………5分 （Ⅱ）解法一：如图所示，设00(,)P x y （00y ≠）， 0(,)Q Q x y ，则22002201,422,Q x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩即220022042,2.Q x y x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ ………………7分又由00:(2)2y AP y x x =++得002(0,)2y M x +. 由00:(2)2y BP y x x =--得002(0,)2y N x --.………………10分所以0000002(,)(,)22Q Q y x y QM x y x x x =--=--++uuu r ,0000002(,)(,)22Q Q y x yQN x y x x x =---=----uuu r .所以222222000002200(42)2042Q x y y y QM QN x y x y -⋅=+=-+=--uuu r uuu r . 所以QM QN ⊥，即90MQN ∠=︒. ………………14分（Ⅱ）解法二：如图所示，设00(,)P x y ，:(2)AP y k x =+（0k ≠）.由221,42(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2222(21)8840k x k x k +++-=.所以20284221k x k --=+，即222421kx k -=+. 所以02421ky k =+，即222244(,)2121k k P k k -++.所以 直线BP 的斜率为2224121242221kk k kk +=---+.所以 1:(2)2BP y x k=--. 令0x=得:(0,2)M k ，1(0,)N k. ………………10分设0(,)Q Q x y ，则0(,2)Q QM x k y =--uuu r ，01(,)Q QN x y k=--uuu r .所以22220000121(2)()2Q Q k QM QN x k y y x y y k k+⋅=+--=++-⋅uuu r uuu r .因为2200242,21Q kx y y k +==+，所以 0QM QN ⋅=u u u r u u u r.所以 QM QN ⊥，即90MQN ∠=︒. ………………14分(2015届东城二模)（12）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>截抛物线24y x =的准线所得线段长为b ，则a = ．答案：552(2015届东城二模) （19）（本小题共13分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在xC上的点到两个焦点的距离之和为4．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设A 为椭圆C 的左顶点，过点A 的直线l 与椭圆交于点M ，与y 轴交于点N ，过原点与l 平行的直线与椭圆交于点P ．证明：2||||2||AM AN OP ⋅=．（19）（共13分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意知222,24,a b c ca a ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩解得2a =，1b =．所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．……………………………5分 （Ⅱ）设直线AM 的方程为：(2)y k x =+，则(0,2)N k ．由22(2)44,y k x x y =+⎧⎨+=⎩，得2222(1+4)161640k x k x k ++-=（*）． 设(2,0)A -，11(,)M x y ，则2-，1x 是方程（*）的两个根，所以2122814k x k -=+．所以222284(,)1414k kM k k -++．||AM ===．||AN =2228(1)||||1414k AM AN k k +==++．设直线OP 的方程为：y kx =．由2244,y kx x y =⎧⎨+=⎩，得22(14)40k x +-=． 设00(,)P x y ，则202414x k =+，2202414k y k =+．所以22244||14k OP k +=+，222882||14k OP k +=+．所以2||||2||AM AN OP ⋅=． ……………13分(2015届丰台二模)19.（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，其两个焦点与短轴的一个顶点是正三角形的三个顶点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）动点P 在椭圆C 上，直线l ：4x=与x 轴交于点N ，PM l ⊥于点M （M ，N 不重合），试问在x 轴上是否存在定点T ，使得PTN ∠的平分线过PM 中点，如果存在，求定点T 的坐标；如果不存在，说明理由．(2015届昌平二模) 19.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)+=>>x y a b a b，右焦点F，点D 在椭圆上.（I ）求椭圆C 的标准方程；(II) 已知直线kx y l=:与椭圆C 交于,A B 两点，P 为椭圆C 上异于,A B 的动点.（i ）若直线,PA PB 的斜率都存在，证明：12PA PB k k ⋅=-; (ii) 若0k=，直线,PA PB 分别与直线3x =相交于点,M N ，直线BM 与椭圆C 相交于点Q （异于点B ）， 求证：A ,Q ,N 三点共线.解：（Ⅰ）依题意，椭圆的焦点为12(F F ，则12||||2DF DF a +=，解得{a c ==2222b a c =-=.故椭圆C 的标准方程为22142x y +=. ……………5分 （Ⅱ）(i)证明：设001111(,),(,),(,)P x y A x y B x y --，则22001,42x y +=2211 1.42x y += 两式作差得22220101042x x y y --+=. 因为直线,PA PB 的斜率都存在，所以0212≠-x x .所以2201220112y y x x -=--，即010*******y y y y x x x x +-⨯=-+-. 所以，当,PA PB 的斜率都存在时，12PA PB k k ⋅=-. ……………9分 (ii) 证明：0k=时， 00(,),(2,0),(2,0)P x y A B -.设PA 的斜率为n ，则PB 的斜率为12n-， 直线:(2)PA y n x =+，(3,5)M n ，直线1:(2)2PB y x n =--, 1(3,)2N n-， 所以直线:5(2)BM y n x =-，直线1:(2)10AN y x n=-+， 联立，可得交点2222(501)20(,)501501n nQ n n --++. 因为222222(501)20[]2()4501501n n n n --+=++， 所以点2222(501)20(,)501501n n Q n n --++在椭圆22142x y +=上. 即直线MB 与直线NA 的交点Q 在椭圆上，即A ，Q ，N 三点共线. ……………14分。