第8章 习题课平行与垂直的综合问题-(新教材)人教A版(2019)高中数学必修第二册课件

师生互动、分组探究、个别指导等多种形式相结合，学生在学习中既能感受轻松愉悦的参与感、又能体验被个别关注的存在感；在方法技术上，将实物模型观察、课件演示、思维导图展示、投影、小组竞赛等引入课堂，学生既可以借助这些技术手段帮助思考，同时还可以体会学科知识的学习与实际生活以及信息技术的联系，从而提高学习兴趣，激发学习欲望和探究精神。

■六、教学过程设计教学环节（一）回顾知识强化记忆教学内容师生活动设计意图回顾平行与垂直的相关知识，展示平行与垂直在空间位置关系之间的的地位以及知识之间的联系完成三种语言转化表格问题1：请同学们完成以下表格！学生完成学案上三种语言的转化表格，师生共同浏览幻灯片回顾知识；并和学生一起核对答案学生通过浏览了解整个小节知识框架和地位，培养学生看待问题的整体意识和联系意识的习惯。

学生通过完成表格方式替代老师念读或幻灯片放映，既强化了对知识的理解和记忆，同时也在这样的学习习惯中养成自主学习意识.请大家核对答案教学环节（二）分析强调、深化理解教学内容师生活动设计意图课堂演练1、判断正误（一道5分）（1）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行。

（）（2）若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行。

（）（3）若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行。

（）（4）若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，学生自主完成后，小组交流讨论，并把讨论的最终答案交上来老师逐题询问，考查学生对空间的认知能力，并掌握判断空间位置的方法则这两条直线互相垂直。

（ ）学生分析后，给出答案教学环节（三）一题多问，空间平行、垂直之间的转化2、解答题：如图，已知四棱锥中，底面ABCD 是正方形，PA 平面,点是的中点，点是的中点问题1.求证：//平面P ABCD ABCD M CD N PB MN PAD-⊥学生自主完成后，小组交流讨论，并把解题思路整理出来，以抢答的形式，小组派代表展示，有需要时老师适当引导。

第八章 8.5 8.5.1 8.5.2A级——基础过关练1．若两个三角形不在同一平面内,它们的边两两对应平行,那么这两个三角形( ) A．全等B．不可能全等C．仅有一个角相等D．全等或相似【答案】D【解析】由等角定理知,这两个三角形的三个角分别对应相等．2．(多选)下列命题中,错误的有( )A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补D．如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行【答案】AC【解析】这两个角相等或互补,选项A错误；由等角定理知选项B正确；在空间中,这样的两个角大小关系不确定,选项C错误；由基本事实4知选项D正确．3．如图,已知S为四边形ABCD外一点,G,H分别为SB,BD上的点,若GH∥平面SCD,则( )A．GH∥SA B．GH∥SDC．GH∥SC D．以上均有可能【答案】B【解析】因为GH∥平面SCD,GH⊂平面SBD,平面SBD∩平面SCD＝SD,所以GH∥SD,显然GH与SA,SC均不平行．故选B.4．直线a∥平面α,α内有n条直线交于一点,则这n条直线中与直线a平行的直线有( )A．0条B．1条C．0条或1条D．无数条【答案】C【解析】过直线a与n条直线的交点作平面β,设平面β与α交于直线b,则a∥b.若所给n条直线中有1条是与b重合的,则此直线与直线a平行,若没有与b重合的,则与直线a 平行的直线有0条．5．梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄平面α,则直线CD与平面α的位置关系是________．【答案】平行【解析】因为AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄平面α,由线面平行的判定定理可得CD∥α.6．给出下列四个命题,其中正确命题的序号是________．①在空间,若两条直线不相交,则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线的一条相交,那么它也和另一条相交；④空间四条直线a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥c.【答案】②④【解析】①错,可以异面；②正确,基本事实4；③错误,和另一条可以异面；④正确,由平行直线的传递性可知．7．如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线．(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；(2)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反．【答案】(1)∠D1B1C1(2)∠B1D1A1【解析】(1)因为B1D1∥BD,B1C1∥BC且方向相同,所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同．(2)B1D1∥BD,D1A1∥BC且方向相反,所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反．8．如图,已知在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.证明：(1)如图,连接AC.因为在△ACD中,M,N分别是CD,AD的中点,所以MN是△ACD的中位线．所以MN ∥AC ,MN ＝12AC .由正方体的性质得AC ∥A 1C 1,AC ＝A 1C 1.所以MN ∥A 1C 1,且MN ＝12A 1C 1,即MN ≠A 1C 1.所以四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN ∥A 1C 1.又因为ND ∥A 1D 1,所以∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补． 而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均为锐角, 所以∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.9．如图,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是棱BC ,C 1D 1的中点,求证：EF ∥平面BDD 1B 1.证明：如图,取D 1B 1的中点O ,连接OF ,OB .因为OF 綉12B 1C 1,BE 綉12B 1C 1,所以OF 綉BE .所以四边形OFEB 是平行四边形． 所以EF ∥BO .因为EF ⊄平面BDD 1B 1,BO ⊂平面BDD 1B 1,所以EF ∥平面BDD 1B 1.B 级——能力提升练10．如图所示,在空间四边形ABCD 中,E ,F ,G ,H 分别是AB ,BC ,CD ,DA 上的点,EH ∥FG ,则EH 与BD 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．不确定【答案】A【解析】因为EH ∥FG ,FG ⊂平面BCD ,EH ⊄平面BCD ,所以EH ∥平面BCD .因为EH ⊂平面ABD ,平面ABD ∩平面BCD ＝BD ,所以EH ∥BD .11．(2021年武汉模拟)对于直线m ,n 和平面α,下面命题中的真命题是( ) A ．如果m ⊂α,n ⊄α,m ,n 是异面直线,那么n ∥α B ．如果m ⊂α,n 与α相交,那么m ,n 是异面直线 C ．如果m ⊂α,n ∥α,m ,n 共面,那么m ∥n D ．如果m ∥α,n ∥α,m ,n 共面,那么m ∥n 【答案】C【解析】对于A,如果m ⊂α,n ⊄α,m ,n 是异面直线,则n ∥α或n 与α相交,故A 错误；对于B,如果m ⊂α,n 与α相交,则m ,n 相交或是异面直线,故B 错误；对于C,如果m ⊂α,n ∥α,m ,n 共面,由线面平行的性质定理,可得m ∥n ,故C 正确；对于D,如果m ∥α,n ∥α,m ,n 共面,则m ∥n 或m ,n 相交,故D 错误．12.如图,四棱锥S －ABCD 的所有的棱长都等于2,E 是SA 的中点,过C ,D ,E 三点的平面与SB 交于点F ,则四边形DEFC 的周长为( )A ．2＋ 3B ．3＋ 3C ．3＋2 3D ．2＋2 3【答案】C【解析】由AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2,得AB ∥CD ,即AB ∥平面DCFE ,∵平面SAB ∩平面DCFE ＝EF ,∴AB ∥EF .∵E 是SA 的中点,∴EF ＝1,DE ＝CF ＝ 3.∴四边形DEFC 的周长为3＋2 3.13．(多选)如图所示,在四面体ABCD 中,M ,N ,P ,Q ,E 分别是AB ,BC ,CD ,AD ,AC 的中点,则下列说法正确的是( )A ．M ,N ,P ,Q 四点共面B ．∠QME ＝∠CBDC ．△BCD ∽△MEQ D ．四边形MNPQ 为矩形【答案】ABC【解析】由条件易得MQ ∥BD ,ME ∥BC ,QE ∥CD ,NP ∥BD ,所以MQ ∥NP .对于A,由MQ ∥NP ,得M ,N ,P ,Q 四点共面,故A 正确；对于B,根据等角定理,得∠QME ＝∠DBC ,故B 正确；对于C,由等角定理知∠QME ＝∠DBC ,∠MEQ ＝∠BCD ,则△BCD ∽△MEQ ,故C 正确；对于D,没有充分理由推证四边形MNPQ 为矩形,故D 不正确．14.(2021年安庆期末)如图,P 为□ABCD 所在平面外一点,E 为AD 的中点,F 为PC 上一点,当PA ∥平面EBF 时,PFFC＝________．【答案】12【解析】连接AC 交BE 于G ,连接FG ,因为PA ∥平面EBF ,PA ⊂平面PAC ,平面PAC ∩平面BEF ＝FG ,所以PA ∥FG ,所以PF FC ＝AG GC .又因为AD ∥BC ,E 为AD 的中点,所以AG GC ＝AE BC ＝12,所以PFFC＝12.15.(2021年哈尔滨月考)如图所示,ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体,M ,N 分别是下底面的棱A 1B 1,B 1C 1的中点,P 是上底面的棱AD 上的一点,AP ＝a3,过P ,M ,N 的平面交上底面于PQ ,Q在CD 上,则PQ ＝________．【答案】223a【解析】∵MN ∥平面AC ,平面PMN ∩平面AC ＝PQ ,∴MN ∥PQ .∵MN ∥A 1C 1∥AC ,∴PQ ∥AC .∵AP ＝a 3,∴DP ＝DQ ＝2a 3.∴PQ ＝2×2a 3＝223a .16．在如图所示的几何体中,四边形ABCD 为平行四边形,∠ACB ＝90°,EF ∥AB ,FG ∥BC ,EG ∥AC ,AB ＝2EF ,M 是线段AD 的中点,求证：GM ∥平面ABFE .证明：因为EF ∥AB ,FG ∥BC ,EG ∥AC ,∠ACB ＝90°, 所以△ABC ∽△EFG ,∠EGF ＝90°. 由于AB ＝2EF ,因此BC ＝2FG .如图,连接AF .由于FG ∥BC ,FG ＝12BC ,在□ABCD 中,M 是线段AD 的中点,则AM ∥BC ,且AM ＝12BC .因此FG ∥AM 且FG ＝AM .所以四边形AFGM 为平行四边形． 因此GM ∥FA .又FA ⊂平面ABFE ,GM ⊄平面ABFE , 所以GM ∥平面ABFE .C 级——探索创新练17．如图,在四面体PABC 中,PC ⊥AB ,PA ⊥BC ,点D ,E ,F ,G 分别是棱AP ,AC ,BC ,PB 的中点．(1)求证：DE ∥平面BCP ； (2)求证：四边形DEFG 为矩形；(3)是否存在点Q ,到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由． (1)证明：∵D ,E 分别为AP ,AC 的中点,∴DE ∥PC . ∵DE ⊄平面BCP ,PC ⊂平面BCP , ∴DE ∥平面BCP .(2)解：∵D ,E ,F ,G 分别为AP ,AC ,BC ,PB 的中点, ∴DE ∥PC ∥FG ,DG ∥AB ∥EF . ∴四边形DEFG 为平行四边形．∵PC ⊥AB ,∴DE ⊥DG ,∴四边形DEFG 为矩形．(3)解：存在点Q 满足条件,理由如下：连接DF ,EG ,设Q 为EG 的中点,由(2)知DF ∩EG ＝Q ,且QD ＝QE ＝QF ＝QG ＝12EG .分别取PC ,AB 的中点M ,N ,连接ME ,EN ,NG ,MG ,MN ,与(2)同理,可证四边形MENG 为矩形,其对角线交点为EG 的中点Q ,且QM ＝QN ＝12EG ,∴Q 为满足条件的点．。

第八章 习题课A 组·素养自测一、选择题1．分别在两个平行平面内的两条直线间的位置关系不可能为( B ) A ．平行 B ．相交 C ．异面D ．垂直[解析] 因为两平行平面没有公共点，所以两直线没有公共点，所以两直线不可能相交. 2．已知P A 垂直于以AB 为直径的圆所在的平面，C 为圆上异于A ，B 两点的任一点，则下列关系不正确的是( C )A ．P A ⊥BCB ．BC ⊥平面P AC C ．AC ⊥PBD ．PC ⊥BC[解析] 由P A ⊥平面ACB ⇒P A ⊥BC ，故A 不符合题意；由BC ⊥P A ，BC ⊥AC ，P A ∩AC ＝A ，可得BC ⊥平面P AC ，所以BC ⊥PC ，故B 、D 不符合题意；AC ⊥PB 显然不成立，故C 符合题意.3．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ︰EB ＝CF ︰FB ＝1︰2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( A )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．不能确定[解析] 如图，由AE EB ＝CFFB 得AC ∥EF .又因为EF ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ，所以AC ∥平面DEF .4．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( D ) A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α[解析] 对于选项A ，若存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β，则α∥β或α与β相交，不符合题意；同理，选项B 、C 也不符合题意；对于选项D ，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D 的内容是α∥β的一个充分条件，故选D ．5．(多选题)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD －A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH所在四边形的面积为定值；③棱A1D1始终与水面所在平面平行；④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值.其中正确的命题是(ACD)A．①B．②C．③D．④[解析]由题图，显然①是正确的，②是错误的；对于③，∵A1D1∥BC，BC∥FG，∴A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH，FG⊂平面EFGH，∴A1D1∥平面EFGH(水面).∴③是正确的；对于④，∵水是定量的(定体积V)，∴S△BEF·BC＝V，即12BE·BF·BC＝V.∴BE·BF＝2VBC(定值)，即④是正确的，故选ACD．二、填空题6．如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有__3__个；与AP垂直的直线有__1__个.[解析]∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面P AC，又∵AP⊂平面P AC，∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.7．设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且__________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是__①或③__(填序号).[解析] 由面面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确.故应填入的条件为①或③.8．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面α与棱AB ，AC ，A 1C 1，A 1B 1分别交于点E ，F ，G ，H ，且直线AA 1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH 是平行四边形；②平面α∥平面BCC 1B 1；③平面α⊥平面BCFE .其中正确命题的序号是__①③__.[解析] 如图所示，因为AA 1∥平面α，平面α∩平面AA 1B 1B ＝EH ，所以AA 1∥EH .同理AA 1∥GF ，所以EH ∥GF ，又ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，易知EH ＝GF ＝AA 1，所以四边形EFGH 是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BB 1C 1C ，由平面α∩平面A 1B 1C 1＝GH ，平面BCC 1B 1∩平面A 1B 1C 1＝B 1C 1，知GH ∥B 1C 1，而GH ∥B 1C 1不一定成立，故②错误；由AA 1⊥平面BCFE ，结合AA 1∥EH 知EH ⊥平面BCFE ，又EH ⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE ，故③正确.三、解答题9．如图，在圆锥PO 中，AB 是⊙O 的直径，C 是AB ︵上的点，D 为AC 的中点.证明：平面POD ⊥平面P AC .[证明] 如图，连接OC ，因为OA ＝OC ，D 是AC 的中点，所以AC ⊥OD .又PO ⊥底面ABC ，AC ⊂底面ABC ，所以AC ⊥PO .因为OD ，PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以AC ⊥平面POD .又AC ⊂平面P AC ，所以平面POD ⊥平面P AC .10．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1．求证：(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ； (2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .[证明] (1)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1，在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ∥AC ，于是DE ∥A 1C 1，又因为DE ⊄平面A 1C 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，所以直线DE ∥平面A 1C 1F .(2)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，因为A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，所以AA 1⊥A 1C 1，又因为A 1C 1⊥A 1B 1，A 1B 1∩AA 1＝A 1，AA 1⊂平面ABB 1A 1，A 1B 1⊂平面ABB 1A 1，所以A 1C 1⊥平面ABB 1A 1，因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1，所以A 1C 1⊥B 1D .又因为B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，A 1F ⊂平面A 1C 1F ，所以B 1D ⊥平面A 1C 1F ，因为直线B 1D ⊂平面B 1DE ，所以平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .B 组·素养提升一、选择题1．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且n ⊂β，则下列叙述正确的是( C )A ．若m ∥n ，m ⊂α，则α∥βB ．若α∥β，m ⊂α，则m ∥nC ．若m ∥n ，m ⊥α，则α⊥βD ．若α∥β，m ⊥n ，则m ⊥α[解析] 对于A ，两个平面内各一条直线互相平行，不能保证两个平面互相平行，A 错误；对于B ，分别在两个互相平行的平面内的两条直线不能保证相互平行，B 错误；对于C ，两条平行线中的一条垂直于一个平面，可得另一条也垂直于这个平面，于是β内有一条直线垂直于α，故α⊥β，C 正确；对于D ，m 垂直于β内的一条直线，不能保证m 垂直于β，故不能得到m 垂直于α，D 错误.2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝2AB .若E ，F 分别为线段A 1D 1，CC 1的中点，则直线EF 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为( C )A ．63 B ．22C ．33D ．13[解析] 取DD 1的中点G ，连接EG 、FG 、EC 1，易知∠FEG 为直线EF 与平面ADD 1A 1所成的角，设AB ＝a ，则AA 1＝AD ＝2a ，在△ED 1C 1中可求出EC 1＝2a ，在△EFC 1中可求出EF ＝3a ，所以在△EFG 中，sin ∠FEG ＝FG EF ＝33，故选C ．3．如图，在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则下面四个结论不成立的是( D )A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面P AEC ．平面PDF ⊥平面P AED ．平面PDE ⊥平面ABC[解析] 因为BC ∥DF ，DF ⊂平面PDF ，BC ⊄平面PDF ，所以BC ∥平面PDF ，故选项A 正确.在正四面体P －ABC 中，AE ⊥BC ，PE ⊥BC ，AE ∩PE ＝E ，所以BC ⊥平面P AE ，又DF ∥BC ，则DF ⊥平面P AE ，从而平面PDF ⊥平面P AE .因此选项B 、C 均正确.4．如图所示，四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD .将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′-BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是( B )A ．A ′C ⊥BDB ．∠BA ′C ＝90°C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30° D ．四面体A ′-BCD 的体积为13[解析] 因为平面A ′BD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，所以CD ⊥平面A ′BD ，所以CD ⊥BA ′.由勾股定理，得A ′D ⊥BA ′.又因为CD ∩A ′D ＝D ，所以BA ′⊥平面A ′CD ，所以∠BA ′C ＝90°.二、填空题5．已知直线l ⊥平面α，垂足为A ，直线P A ⊥l ，则AP 与平面α的位置关系是__AP ⊂α__.[解析] 设AP 与l 确定的平面为β.假设AP ⊄α，不妨设α∩β＝AM ，AP 与AM 不重合，如图所示.因为l ⊥α，AM ⊂α，所以l ⊥AM .又AP ⊥l ，所以在平面β内，过点A 有两条直线垂直于l ，这与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾，所以假设不成立.所以AP ⊂α.6．如图所示，等边三角形ABC 的边长为4，D 为BC 的中点，沿AD 把△ADC 折叠到△ADC ′处，使二面角B -AD -C ′为60°，则折叠后二面角A -BC ′-D 的正切值为__2__.[解析] 易知∠BDC ′即二面角B －AD －C ′的平面角，有∠BDC ′＝60°，所以△BDC ′为等边三角形.取BC ′的中点M ，连接DM ，AM ，则易知DM ⊥BC ′，AM ⊥BC ′，所以二面角A －BC ′－D 的平面角即∠AMD .在等边三角形ABC 中，易知AD ＝23，在等边三角形BDC ′中，易知DM ＝3，所以tan ∠AMD ＝ADDM＝2． 三、解答题7．(江苏高考题)如图所示，在三棱锥P －ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点.已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5．求证：(1)直线P A ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC .[证明] (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点， 所以DE ∥P A .又P A ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， 所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8， 所以DE ∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4．又因为DF ＝5，所以DF 2＝DE 2＋EF 2．所以∠DEF ＝90°.即DE ⊥EF . 又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC .又DE ⊂平面BDE ， 所以平面BDE ⊥平面ABC .8．如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E 为CD 的中点.(1)求证：BD ⊥平面P AC ；(2)若∠ABC ＝60°，求证：平面P AB ⊥平面P AE ；(3)棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面P AE ？说明理由.[解析] (1)证明：因为P A ⊥平面ABCD ， 所以P A ⊥BD .因为底面ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC . 又P A ∩AC ＝A ， 所以BD ⊥平面P AC .(2)证明：因为P A ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ， 所以P A ⊥AE .因为底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，且E 为CD 的中点， 所以AE ⊥CD .所以AB ⊥AE . 又AB ∩P A ＝A ，所以AE ⊥平面P AB .因为AE ⊂平面P AE ，所以平面P AB ⊥平面P AE . (3)棱PB 上存在点F ，使得CF ∥平面P AE .取PB 的中点F ，P A 的中点G ，连接CF ，FG ，EG ， 则FG ∥AB ，且FG ＝12AB .因为底面ABCD 为菱形，且E 为CD 的中点， 所以CE ∥AB ，且CE ＝12AB .所以FG ∥CE ，且FG ＝CE .所以四边形CEGF 为平行四边形.所以CF ∥EG . 因为CF ⊄平面P AE ，EG ⊂平面P AE ， 所以CF ∥平面P AE .莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

第八章 立体几何初步 8.5.2直线与平面平行(基础练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1.下列说法正确的是（ ）A ．若直线l 平行于平面α内的无数条直线,则//l αB ．若直线a 在平面α外,则//a αC ．若直线//,a b b α⊂,则//a αD ．若直线//,a b b α⊂，则直线a 平行于α内的无数条直线 【答案】D【解析】对于A ,若直线l 平行于平面α内的无数条直线,则//l α或l α⊂,故A 不正确;对于B ,若直线a 在平面α外,则//a α或a 与α相交,故B 不正确;对于C ,若直线//,a b b α⊂,则//a α或a α⊂,故C 不正确;对于D ,若直线//,a b b α⊂，则直线a 平行于α内的无数条直线,是正确的. 故选:D2．如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是它们所在线段的中点，则满足1//A F 平面1BD E 的图形为（ ）A ．①B ．①②C ．②D ．①②③【答案】C【解析】①中，平移1A F 至1D F '，知1D F '与面1BD E 只有一个交点1D ，则1A F 与面1BD E 不平行；②中，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是它们所在线段的中点，则易知11//A F D E ，而1⊄A F 平面1BD E ，1D E ⊂平面1BD E ，故1//A F 平面1BD E ；③中，同①平移1A F 至1D F '，知1D F '与面1BD E 只有一个交点1D ，则1A F 与面1BD E 不平行；故选：C ．3．已知直线，和平面，，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】直线，平面，且，若，当时，，当时不能得出结论，故充分性不成立；若，过作一个平面，若时，则有，否则不成立，故必要性也不成立．由上证知“”是“”的既不充分也不必要条件，故选:D ．4．在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、AD 上的点，且::1:4AE EB AF FD ==，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则（ ）A ．//BD 平面EFG ，且四边形EFGH 是矩形B ．//EF 平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形C ．//HG 平面ABD ，且四边形EFGH 是菱形 D ．//EH 平面ADC ，且四边形EFGH 是平行四边形 【答案】B【解析】如下图所示：在平面ABD 内，::1:4AE EB AF FD ==，//EF BD ∴，且15EF BD =.又BD ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD ，//EF 平面BCD .又在平面BCD 内，H 、G 分别是BC 、CD 的中点，//HG BD ∴，且12HG BD =. //HG EF ∴，且HG EF ≠，∴四边形EFGH 为梯形. 故选:B5.下列四个正方体图形中，A B 、为正方体的两个顶点，M N P 、、分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．①③④D ．②④【答案】B【解析】对于①，如图，依题意M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，结合正方体的性质可知////,//BC AD MN BD NP ，由于BC ⊄平面MNP ，MN ⊂平面MNP ，所以//BC 平面MNP ； 由于BD ⊄平面MNP ，NP ⊂平面MNP ，所以//BD 平面MNP ； 由于BCBD B =，所以平面//ACBD 平面MNP ，所以//AB 平面MNP ，所以①正确.对于②，如图，设BC与DE相交于O，依题意M、N、P分别为其所在棱的中点，结合正AB ON，因为ON与平面MNP相交，所以AB与平面MNP不平行，所方体的性质可知//以②错误.AB CM，而CM与平对于③，如图，设C是AD的中点，因为M是BD的中点，所以//面MNP相交，所以AB与平面MNP不平行，所以③错误.AB CD NP，对于④，如图，依题意M、N、P分别为其所在棱的中点，结合正方体的性质可知////AB平面MNP，所以④正确.AB⊄平面MNP，NP⊂平面MNP，所以//综上所述，正确的序号有①④.故选：B.二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．已知直线b ，平面α，下列能推出b ∥α的选项有（ ） 有以下条件：A.b 与α内一条直线平行；B.b 与α内所有直线都没有公共点；C.b 与α无公共点；D.b 不在α内，且与α内的一条直线平行. 【答案】BCD【解析】【解析】①中b 可能在α内，不符合；②和③是直线与平面平行的定义，④是直线与平面平行的判定定理，都能推出b ∥α.故选:BCD7．如图，下列正三棱柱111ABC A B C 中，若M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，则能得出//AB 平面MNP 的是（ ）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】在A 、B 选项中，M 、N 分别为11A C 、11B C 的中点，则11//MN A B ，在正三棱柱111ABC A B C -中，11//AB A B ，//MN AB ∴，MN ⊂平面MNP ，AB ⊄平面MNP ，则//AB 平面MNP ，A 、B 选项正确； 在C 选项中，如下图所示：取AB 的中点Q ，连接MQ 、PQ ，M 、N 分别为11A B 、11B C 的中点，则11//MN AC ，同理可证//PQ AC ，在正三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC ，//MN PQ ∴，同理可证//MQ PN ，则四边形MNPQ 为平行四边形，则AB 与平面MNPQ 相交，C 选项错误；在D 选项中，在正三棱柱111ABC A B C -中，11//AA BB ，且N 、P 分别为1AA 、1BB 的中点，//AN PB ∴，则四边形ABPN 为平行四边形，//AB PN∴，AB ⊄平面MNP ，PN ⊂平面MNP ，//AB ∴平面MNP ，D 选项正确.故选：ABD.8．若直线a 平行于平面α，则下列结论正确的是（ ） A ．直线a 与平面α无交点B ．直线a 平行于平面α内的所有直线C ．平面α内有无数条直线与直线a 平行D ．平面α内存在无数条直线与直线a 为异面直线 【答案】ACD【解析】由题意，知直线a 平行于平面α，则：对于A ，直线a 与平面α无交点是正确的；对于B ，直线a 与平面α内的直线可能平行或异面，所以不正确；对于C ，平面内有无数条直线与直线a 平行，是正确的；对于D ，平面α内存在无数条直线与直线a 成异面直线，是正确的.故选:ACD三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．如果直线//m 直线n ，且//m 平面α，那么n 与α的位置关系是___________ 【答案】α//n 或α⊂n【解析】 直线//m 直线n ，且//m 平面α，当n 不在平面α内时，平面α内存在直线m n m m '⇒'////，符合线面平行的判定定理可得α//n ，当n 在平面α内时，也符合条件，n 与α的位置关系是α//n 或α⊂n ,故答案为:α//n 或α⊂n10．如图所示,四边形ABCD 是梯形,//AB CD ,且//AB 平面α,AD ,BC 与平面α分别交于点,M N ,且点M 是AD 的中点,4AB =,6CD =,则MN =____.【答案】5【解析】因为//AB 平面α,⊂AB 平面ABCD ,平面ABCD平面MN α=,所以//AB MN .又点M 是AD 的中点,所以MN 是梯形ABCD 的中位线,故5MN =. 故答案为:511．如图，E 是棱长为1正方体1111ABCD A B C D -的棱11C D 上的一点，且1//BD 平面1B CE ，则1BD OE 与的位置关系为_________;线段CE 的长度为___________．【答案】1//OE BD 5【解析】连接1BC ，交1B C 与O ，连接EO ，则O 为1BC 的中点，因为1//BD 平面1B CE ，1BD ⊂平面1D BC ，平面1D BC ⋂平面1B CE OE =，所以1//OE BD ，故E 为11D C 的中点，所以112EC =， 在1Rt EC C ∆中，221115142CE CC EC =+=+=. 故答案为:1//OE BD52四、解答题：（本题共3小题，共45分。

8.6.3 平面与平面垂直一、选择题1．在空间四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是( )A．平面ABD⊥平面BDC B．平面ABC⊥平面ABDC．平面ABC⊥平面ADC D．平面ABC⊥平面BED解析：由已知条件得AC⊥DE，AC⊥BE，于是有AC⊥平面BED，又AC⊂平面ABC，所以有平面ABC⊥平面BED成立．答案：D2．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，已知m∥α，n⊥β，下列说法正确的是( )A．若m⊥n，则α⊥β B．若m∥n，则α⊥βC．若m⊥n，则α∥β D．若m∥n，则α∥β解析：若m⊥n，则α与β可以平行或相交，故A，C错误；若m∥n，则α⊥β，D错，选B.答案：B3.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小为( )A．90° B．60°C．45° D．30°解析：∵PA⊥平面ABC，BA，CA⊂平面ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即为二面角B－PA－C的平面角．又∠BAC＝90°，故选A.答案：A4．如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD 的位置关系是( )A ．平面PAB 与平面PBC 、平面PAD 都垂直 B ．它们两两垂直C ．平面PAB 与平面PBC 垂直，与平面PAD 不垂直 D ．平面PAB 与平面PBC 、平面PAD 都不垂直 解析：∵PA ⊥平面ABCD ，BC ，AD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥BC ，PA ⊥AD .又∵BC ⊥AB ，PA ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面PAB . ∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PAB .由AD ⊥PA ，AD ⊥AB ，PA ∩AB ＝A ，得AD ⊥平面PAB .∵AD ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面PAB .显然平面PAD 与平面PBC 不垂直．故选A. 答案：A 二、填空题5．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，则侧面与底面所成二面角的大小为________． 解析：如图，设S 在底面内的射影为O ，取AB 的中点M ， 连接OM ，SM ，则∠SMO 为所求二面角的平面角， 在Rt△SOM 中，OM ＝12AD ＝1， SM ＝SA 2－14AB 2＝2，所以cos∠SMO ＝OMSM＝22， 所以∠SMO ＝45°. 答案：45°6．已知a ，b ，c 为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，给出下列命题： ①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若a ⊂α，b ⊂β，c ⊂β，a ⊥b ，a ⊥c ，则α⊥β；③若a ⊥α，b ⊂β，a ∥b ，则α⊥β.其中正确的命题是________(填序号)．解析：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，记平面ADD1A1为α，平面ABCD为β，平面ABB1A1为γ，显然①错误；②只有在直线b，c相交的情况下才成立；易知③正确．答案：③7．如果三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则顶点在底面的正投影是底面三角形的________心．解析：三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则三条交线两两互相垂直，易证投影是底面三角形的垂心．答案：垂三、解答题8．如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．求证：平面PAC⊥平面PBC.证明：由AB是圆的直径，得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A.PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.9.如图，P是四边形ABCD所在平面外一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.证明：(1)如图所示，连接BD.因为四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，所以△ABD是正三角形，因为G是AD的中点，所以BG⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG⊂平面ABCD.所以BG⊥平面PAD.(2)连接PG.因为△PAD为正三角形，G为AD的中点，所以PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，而PG∩BG＝G，PG⊂平面PBG，BG⊂平面PBG，所以AD⊥平面PBG.又因为PB⊂平面PBG，所以AD⊥PB.[尖子生题库]10．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，且PA ＝3，AB＝1，BC＝2，AC＝3，求二面角P－CD－B的大小．解析：∵AB＝1，BC＝2，AC＝3，∴BC2＝AB2＋AC2，∴∠BAC＝90°，∴∠ACD＝90°，即AC⊥CD.又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD. 又∵PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.又∵PC⊂平面PAC，∴PC⊥CD，∠PCA是二面角P－CD－B的平面角．在Rt△PAC中，PA⊥AC，PA＝3，AC＝3，∴∠PCA＝45°.故二面角P－CD－B的大小为45°.。

2020-2021学年人教版高一必修第二册数学第八章8.6空间直线、平面的垂直同步基础训练一、单选题1．已知直线m ，n 是平面α，β外的两条直线，且m //α，n ⊥β，α⊥β，则（ ）A ．m //nB ．m ⊥nC ．n //αD ．n ⊥α2．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ）A ．若m ⊥α，m ⊥β，则α//βB ．若m ⊥β，α⊥β，则m //α或m ⊂αC ．若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊄α，则n //αD ．若m //α，α∩β=n ，则m //n3．在斜三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，1AB BC ⊥，则1B 在底面ABC 上的射影H 必在（ ）A ．直线AC 上B ．直线BC 上 C ．直线AB 上D ．ABC 内部4．如图，A BCDE -是一个四棱锥，AB ⊥平面BCDE ，且四边形BCDE 为矩形，则图中互相垂直的平面共有（ ）A ．4组B ．5组C ．6组D ．7组5．如图甲所示，在正方形ABCD 中，EF 分别是BC ､CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE ､AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使B ､C ､D 三点重合，重合后的点记为H ，如图乙所示，那么，在四面体A EFH -中必有（ ）A ．△⊥AH EFH 所在平面B ．△⊥AG EFH 所在平面C ．△⊥HF AEF 所在平面D ．△⊥HG AEF 所在平面6．如图所示，四边形ABCD 中，//AD BC ，AD AB =，45BCD ∠=︒，90BAD ∠=︒，将ABD △沿BD 折起，使面ABD ⊥面BCD ，连结AC ，则下列命题正确的是（ ）A ．面ABD ⊥面ABCB ．面ADC ⊥面BDC C ．面ABC ⊥面BDCD ．面ADC ⊥面ABC7．如图所示，1111ABCD A BC D -为正方体，下列结论错误的是（ ） cA ．//BD 平面11CB DB ．1AC BD ⊥C ．1AC ⊥平面11CB DD ．异面直线AD 与1CB 所成的角为608．如图，在三棱锥P --ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面ABC ，则下列结论中错误的是（ ）A ．AP ⊥ACB ．AP ⊥ABC ．AP ⊥平面ABCD ．AP 与BC 所成的角为45°9．下列命题正确的是（ ）A ．平面α内的一条直线a 垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥βB ．若平面α⊥β，则α内的直线垂直于平面βC ．若平面α⊥β，且α∩β＝l ，则过α内一点P 与l 垂直的直线垂直于平面βD ．若直线a 与平面α内的无数条直线都垂直，则不能说一定有a ⊥α10．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E ､F 是线段A 1C 1上的两个动点，且EF 长为定值，下列结论中不正确的是（ ）A ．BD CE ⊥B ．BD ⊥面CEFC ．三角形BEF 和三角形CEF 的面积相等D ．三棱锥B-CEF 的体积为定值二、多选题 11．如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，则下列说法正确的有（ ）A ．平面PAD ⊥平面PABB ．平面PAD ⊥平面PCDC ．平面PBC ⊥平面PABD ．平面PBC ⊥平面PCD12．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//m n ，m α⊥，则 n α⊥B ．若αβ⊥，m α⊥，则 //m βC ．若//m α，n ⊂α，则//m nD ．若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥13．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面 ABCD ，PA AB =，截面BDE 与直线PC 平行，与PA 交于点 E ，则下列判断正确的是（ ）A ．E 为PA 的中点B ．PB 与CD 所成的角为3πC ．平面BDE ⊥平面PACD ．点P 与点A 到平面BDE 的距离相等14．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ︒∠=，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则下列说法正确的是（ ）A ．在棱AD 上存在点M ，使AD ⊥平面PMBB ．异面直线AD 与PB 所成的角为90°C ．二面角P BC A --的大小为45°D ．BD ⊥平面PAC15．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，G 是EF 的中点.现在沿AE ，AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为H ，下列说法正确的是（ ）A ．AG ⊥平面EFHB ．AH ⊥平面EFHC ．HF ⊥平面AEHD ．HG ⊥平面AEF三、填空题 16．已知三棱锥P ABC -中，PA 、PB 、PC 两两垂直，则点P 在底面内的射影是ABC 的__心． 17．已知a ､b 是两条不同的直线，α､β是两个不同的平面，在下列命题①//////a a ααββ⎫⇒⎬⎭；②//a a ααββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭；③//////a a b b αα⎫⇒⎬⎭；④//a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭中，正确的命题是___________(只填序号). 18．如图，1111ABCD A BC D -为正方体，下面结论中正确的结论是___________.(把你认为正确的结论都填上)①//BD 平面11CB D ；②1AC ⊥平面11CB D ；CB成90︒角的直线有2条.③过点1A与异面直线AD和119．已知△ABC为等腰直角三角形，P为空间一点，且AC＝BC＝52，PC⊥AC，PC⊥BC，PC＝5，AB的中点为M，则PM与平面ABC所成的角为________．20．如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是________．(填序号)①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PBC；③直线BC//平面PAE；④直线PD与平面ABC所成的角为45°．四、解答题-中，M是PC的中点，M在平面ABC的射影恰是ABC的重心O，且21．如图，在三棱锥P ABC===.AB AC BC AP⊥；（1）证明：AM BC（2）求直线AM 与平面PAB 所成角的正弦值.22．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是平行四边形，PBC 是边长为2的等边三角形，BD PD =．（1）证明：AB ⊥平面PBD ；（2）设E 是BP 的中点，求点B 到平面DAE 的距离．23．如图，四边形11BCC B 是某半圆柱的轴截面（过上下底面圆心连线的截面），线段1AA 是该半圆柱的一条母线，点D 为线1AA 的中点．（1）证明：1AB AC ⊥； （2）若1AB AC ==，且点1B 到平面1BC D 的距离为1，求线段1BB 的长．24．已知四边形ABCD 是直角梯形，//AB CD ，45C ∠=︒，2AB =，4CD =，E ，F 分别为CD ，BC 的中点(如图1)，以AE 为折痕把ADE 折起，使点D 到达点S 的位置且平面SAE ⊥平面ABCE (如图2).（1）求证：EF SE ⊥；（2）求点C 到平面SEF 的距离.25．如图，在三棱锥P ABC -中，,,,23,2PA AB PA BC AB BC PA AB BC ⊥⊥⊥===，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点.（1）求证：PA BD ⊥；（2）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（3）当//PA 平面BDE 时，求直线EB 与平面ABC 所成的角.26．如图，三棱锥P ABC -的底面是等腰直角三角形，其中2AB AC ==，PA PB =，平面PAB ⊥平面ABC ，点E ，F ，M ，N 分别是AB ，AC ，PC ，BC 的中点．（1）证明：平面EMN ⊥平面PAB ；（2）当PF 与平面ABC 所成的角为3π时，求四棱锥A PMNB -的体积．参考答案1．C如图，做出长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，令面ADD 1A 1为α，面ABCD 为β， 对于A ，若直线CB 1为m ，则m //α，若CC 1为n ，则n ⊥β，显然m //n 是假命题； 对于B ，此命题和上一命题是一样的，所以也是假命题；对于C . 设l αβ=，在平面α内任取一点P （P l ∉），在平面α内，过点P 作直线b l ⊥ ， 则由αβ⊥，可得b β⊥，又n β⊥，则//b n由,b n αα⊂⊄，所以//n α ，故C 正确.对于D ，若直线CB 1为m ，则m //α，若CC 1为n ，则n ⊥β，显然n ⊥α是假命题； 故选：C.2．D由m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A 中，若m ⊥α，m ⊥β，则由面面平行的判定定理得α//β，故A 正确；在B 中，若m ⊥β，α⊥β，则由面面垂直的性质定理得m //α或m ⊂α，故B 正确； 在C 中，若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊄α，则由线面平行的判定定理得n //α，故C 正确； 在D 中，若m //α，α∩β=n ，则m 与n 相交､平行或异面，故D 错误. 3．A连接1AB ，90ACB ∠=，BC AC ∴⊥，1BC AB ⊥，1AB AC A =，1,AB AC ⊂平面1ABC ，BC ∴⊥平面1ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以，平面ABC ⊥平面1ABC ，过点1B 在平面1ABC 内作1B E ⊥直线AC ，垂足为点E ，平面ABC ⊥平面1ABC ，平面ABC 平面1AB C AC =，1B E AC ⊥，1B E ⊂平面1ABC ， 所以，1B E ⊥平面ABC ，则点E 即为点H ，因此，点H 在直线AC 上.4．C因为AB ⊥平面BCDE ，AB 平面ABC ，AB 平面ABD ，AB 平面ABE ，所以平面ABC ⊥平面BCDE ，平面ABD ⊥平面BCDE ，平面ABE ⊥平面BCDE ，又因为四边形BCDE 为矩形，所以BC ⊥平面⇒ABE 平面ABC ⊥平面ABE ，同理可得平面ACD ⊥平面ABC .平面ADE ⊥平面ABE故图中互相垂直的平面共有6组.5．A根据折叠前､后AH HE ⊥，AH HF ⊥不变，AH ∴⊥平面EFH ，A 正确；过A 只有一条直线与平面EFH 垂直，B ∴不正确；AG EF ⊥，EF AH ⊥，EF ∴⊥平面HAG ，∴平面HAG ⊥平面AEF ，过H 作直线垂直于平面AEF ，一定在平面HAG 内，C ∴不正确； HG 不垂直于AG ，HG ∴⊥平面AEF 不正确，D 不正确.故选：A6．D由题意知，在四边形ABCD 中，CD BD ⊥．在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，两平面的交线为BD ，所以CD ⊥平面ABD ，因此有AB CD ⊥．又因为AB AD ⊥，AD D C D =，,AD DC ⊂平面ADC ，所以AB ⊥平面ADC ，于是得到平面ADC ⊥平面ABC ．故选：D ．7．D连接AC ，1BC ，对于A ，11//BD B D ，11B D ⊂平面11CB D ，BD ⊄平面11CB D ，//BD ∴平面11CB D ，A 正确； 对于B ，四边形ABCD 为正方形，AC BD ∴⊥，又1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1CC BD ∴⊥，1AC CC C =，1,AC CC ⊂平面1ACC ，BD ∴⊥平面1ACC ，又1AC ⊂平面1ACC ，1AC BD ∴⊥，B 正确；对于C ，由B 可知：1AC BD ⊥，又11//BD B D ，111AC B D ∴⊥；四边形11BCC B 为正方形，11B C BC ⊥∴，又AB ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，1AB B C ∴⊥，1BC AB B =，1,BC AB ⊂平面1ABC ，1B C ∴⊥平面1ABC ，又1AC ⊂平面1ABC ，11AC BC ∴⊥，1111B C B D B =，111,B C B D ⊂平面11CB D ，1AC ∴⊥平面11CB D ，C 正确；对于D ，11//CB A D ，∴异面直线AD 与1CB 所成的角即为直线AD 与1AD 所成角，即1ADA ∠，又四边形11ADD A 为正方形，145ADA ∴∠=，即异面直线AD 与1CB 所成的角为45，D 错误.8．D如图所示：在ABC 中，任取一点E ，作EF AC ⊥，EG AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAB 平面ABC AB =，平面PAC 平面ABC AC =， 所以EF ⊥平面PAB ，EF ⊥平面PAC ，由PA ⊂平面PAB ，PA ⊂平面PAC ，所以,EF PA EG PA ⊥⊥，又EFEG E =，所以PA ⊥平面ABC ，又,,AB AC BC ⊂平面PAB ，所以AP ⊥AC ，AP ⊥AB ，PA BC ⊥故ABC 正确D 错误故选：D9．DA 项，如图平面α内的一条直线a 垂直于平面β内的无数条直线，但α//β，故A 错误；B 项，如图平面α⊥β，但α内的直线a 不垂直于平面β，故B 错误；C 项，平面α⊥β，且α∩β＝l ，则过α内一点P 与l 垂直的直线，只有当此直线在α内时才垂直于β，故C 错误；D 项，a 与平面α内的任意一条直线都垂直可以推出a ⊥α，故D 正确.故选：D.10．CBD ⊥面11ACC A ，CE ⊂面11ACC A ，面CEF 与面11ACC A 重合，所以A ，B 均正确，B 到EF 的距离为11BAC △的高，C 到EF 的距离即为1CC ，所以BEF 的面积大于CEF △的面积， C 错误；B 点到面CEF 的距离为定值，为2BD 长，CEF △的面积也为定值， D 正确. 故选：C.11．ABC 解：由题意PA ⊥矩形ABCD ，所以PA AB ⊥，PA CD ⊥，PA BC ⊥，又CD AD ⊥，PA AD A ⋂=，,PA AD ⊂平面PAD所以CD ⊥平面PAD ，同理可得AB ⊥平面PAD ，BC ⊥平面PAB ，因为CD ⊂平面PCD∴平面PCD ⊥平面PAD ，同理可得平面PAB ⊥平面PAD ，平面PBC ⊥平面PAB ，12．ADA. 因为//m n ，m α⊥，由线面垂直的判定定理得 n α⊥，故正确；B. 因为αβ⊥，m α⊥，则//m β或 m β⊂，故错误； C. 因为//m α，n ⊂α，则//m n 或异面，故错误；D. 因为m α⊥，n β⊥，m n ⊥，由面面垂直的判定定理得αβ⊥，故正确；故选：AD13．ACD对于A 项，连接AC 交BD 于点M ，连接EM ，如图所示，PC //面BDE ，PC ⊂面 APC ，且面APC面=BDE EM ，PC ∴// EM ， 又四边形ABCD 是正方形，∴M 为AC 的中点，∴E 为PA 的中点，故A 正确；对于B 项，//AB CD ，∴PBA ∠为 PB 与CD 所成的角，PA ⊥面ABCD ，AB面 ABCD ，∴PA AB ⊥，在Rt PAB 中，PA AB =，4PBA=π∴∠，故B 错误； 对于C 项，PA ⊥面ABCD ，BD ⊂面 ABCD ，∴PA BD ⊥，又AC BD ⊥，AC PA A ⋂=， ,AC PA ⊂面PAC∴BD ⊥面PAC ，又BD ⊂平面 BDE ，故C 正确.因为PA ⋂平面BDE E =，且E 为线段PA 的中点，所以点P 与点A 到平面BDE 的距离相等，所以D 正确；故选：ACD.14．ABC解：如图，对于A ，取AD 的中点M ，连接,PM BM ，∵侧面PAD 为正三角形，PM AD ∴⊥，又底面ABCD 是菱形，60DAB ︒∠=，ABD ∴是等边三角形，AD BM ∴⊥，又PM BM M ⋂=，PM ，BM ⊂平面PMB ，AD ∴⊥平面PBM ，故A 正确.对于B ，AD ⊥平面PBM ，AD PB ∴⊥，即异面直线AD 与PB 所成的角为90°，故B 正确.对于C ，∵平面PBC平面ABCD BC =，//BC AD ，BC ∴⊥平面PBM ，BC PB ∴⊥BC BM ⊥， PBM ∴∠是二面角P BC A --的平面角，设1AB =，则3BM =，3PM =， 在Rt PBM △中，tan 1PM PBM BM∠==，即45PBM ︒∠=，故二面角P BC A --的大小为45°，故C 正确. 对于D ，因为BD 与PA 不垂直，所以BD 与平面PAC 不垂直，故D 错误.故选：ABC15．BC解：由题意可得：AH ⊥HE ，AH ⊥HF .∴AH ⊥平面EFH ，而AG 与平面EFH 不垂直.∴B 正确，A 不正确.又HF ⊥HE ，∴HF ⊥平面AHE ，C 正确.HG 与AG 不垂直，因此HG ⊥平面AEF 不正确.D 不正确.故选：BC.16．垂设点P 在底面ABC 的射影点为H ，连接AH 并延长交BC 于点E ，连接BH 并延长交AC 于点F ，连接PE 、PF ，PA PB ⊥，PA PC ⊥，PB PC P ⋂=，PA ∴⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，BC PA ∴⊥，PH ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，BC PH ∴⊥，PA PH P =，BC ∴⊥平面PAE ，AE ⊂平面PAE ，AE BC ∴⊥，同理可知，BF AC ⊥，因此，H 为ABC 的垂心.17．②④①：与同一条直线平行的两个平面不一定平行，在本题的条件下，两平面可能相交，所以①是假命题； ②：根据直线与平面的位置关系可得：由a α⊥，a β⊥可得出//αβ，所以②是真命题. ③：根据直线与平面的位置关系可得：a 与b 可以是任意的位置关系，所以③是假命题； ④：垂直于同一个平面的两条直线平行，所以④是真命题；故答案为：②④.18．①②如图，正方体1111ABCD A BC D -中，由于11//BD B D ，由直线和平面平行的判定定理可得//BD 平面11CB D ，故①正确.由正方体的性质可得1111B D AC ⊥，111CC B D ⊥，故11B D ⊥平面11ACC A ，故111BD AC ⊥. 同理可得11B C AC ⊥.再根据直线和平面垂直的判定定理可得，1AC ⊥平面11CB D ，故②正确. 过点1A 与异面直线AD 成90︒角的直线必和BC 也垂直过点1A 与直线1CB 成90︒角的直线必和1CB 垂直则该直线必和平面11BC CB 垂直，满足条件的只有直线11AB ，故③不正确.故答案为：①②.19．45°∵PC⊥AC，PC⊥BC，AC∩BC＝C，∴PC⊥平面ABC，∴PM在平面ABC内的射影为CM，故∠PMC为PM与平面ABC所成的角．∵AC＝BC＝52，∠ACB＝90°，而AB的中点为M，∴CM＝5，又PC＝5，∴△PCM为等腰直角三角形，∴∠PMC＝45°，即PM与平面ABC所成的角为45°．故答案为：45°20．④PB在底面的射影为AB，AB与AD不垂直，所以AD与PB不垂直，排除①．=，即BD⊥平面PAB．BD在平面PBD内，平面PAB⊥平面PBD，所以平面BD⊥AB，BD⊥PA，PA AB APAB与平面PBC不垂直，排除②．由图可知BC与AE不平行，若BC与平面PAE平行则BC// AE，故排除③．PD与平面ABC所成角为∠PDA，AD＝2AB＝PA，则∠PDA＝45°，故填④．故答案为：④.21．（1）连接AO并延长与BC相交于D点，==，且O为ABC的重心∵AB AC BC⊥所以AD BC又∵M在平面ABC的射影恰是ABC的重心O∴MO BC ⊥又∵AD ⊂平面ADM ,MO ⊂平面ADM ,AD 交MO 于点O ,所以BC ⊥平面ADM ，又因为AM ⊂平面ADM所以AM BC ⊥；（2）设AB AC BC AP a ====∵,AM BC AM PC ⊥⊥又∵BC ⊂平面PBC ,PC ⊂平面PBC ,BC 交PC 于点C∴AM ⊥平面PBC∴AM ⊥MD在△AMD 中，2MO DO AO =⋅因为O 为ABC 的重心∴13DO AD ==，23AO AD ==∴MO =,在△MOD 中，12MD a = ∴PB a =∴M PBA A PBM A BMC M ABC V V V V ----=== ∴1133PBA ABC h S MO S ⋅=⋅△△ ∴h MO== 在△MOA 中，222AM AO MO =+∴=AM ∴直线AM 与平面PAB 所成角的正弦值为:h AM ==. 22．（1）因为PD ⊥平面ABCD ，BD CD ⊂、平面ABCD ，所以PD BD PD CD ⊥⊥，，在Rt PBD 中，2PB =，所以1PD BD ==，在Rt PCD 中，可得1CD =， 于是，222BD DC BC +=，得BD CD ⊥，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以//AB CD ，所以AB BD ⊥， 由于PD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PD AB ⊥，又PD BD D ⋂=， AB ⊥平面PBD .（2）因为E 是BP 的中点，所以11112224BDE PBDS S PD BD ==⨯⨯⨯=， 由（1）知，AB ⊥平面BDE ，所以三棱锥A BDE -的体积为11312BDE V S AB =⨯=， 由于2AD BC ==，2DE =，226AE AB BE =+=， 所以222AE DE AD +=，即AE DE ⊥，故132ADE S AE DE =⨯=，设点B 到平面DAE 的距离为h ， 由A BDE B ADE S S --=得1131234h =⨯， 即3h =，所以点B 到平面DAE 的距离33．23．（1）证明：由题意可知1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ∴1AA AB ⊥ ∵BAC ∠所对BC 为半圆直径 ∴2BAC π∠= ∴AB AC ⊥1AA 和AC 是平面11AAC C 内两条相交直线 ∴AB ⊥平面11AAC C AC ⊂平面11AAC C ∴1AB AC ⊥（2）设1BB a =，因为1AB AC ==，且2BAC π∠= 所以2222112BC AB AC =+=+=， 设11=BB CC a =，222112BC BC CC a =+=+ 在等腰直角三角形ABC 中，取BC 的中点E ,连结AE ,则AE BC ⊥，取BC 1的中点为P ，连结DP ，∵1AB AC ==，∴111AC =，又D 为1AA 的中点， ∴1=DB DC ,∴1DP BC ，即BDC 的高为22DP AE == ∴1121122322B BDC V a -=⋅+， ∵AB AC ⊥，1AA AC ⊥且1AB AA A ⋂=,∴CA ⊥平面11ABB A ，∵1//CC 平面11ABB A ，且1CA = 即C 到平面1BB D 的距离为1，而1112BB D S a =⋅△ 由1111B BDC C BDB V V --=，即2112112=1132232a a ⋅+⋅⋅⋅⋅ 解得：2a =12BB 24．（1）证明：连结BE ，因为4CD =，E 为CD 的中点，所以2DE AB ==，因为四边形ABCD 是直角梯形，AB CD ∥，所以ABCD 是矩形，所以BE CD ⊥， 又45C ∠=︒，2EC =，所以2AD BE EC ===，所以四边形ABED 是正方形， BEC △是等腰直角三角形，又F 为BC 的中点，所以EF BC ⊥，又45C ∠=︒，所以ADE 与EFC 都是等腰直角三角形，所以45DEA CEF ∠=∠=︒， 所以EF AE ⊥，因为平面SAE ⊥平面ABCE ，平面SAE平面ABCE AE =，EF ⊂平面ABCE ， 所以EF ⊥平面SAE ，又SE ⊂平面SAE ，所以EF SE ⊥；（2）设AE 的中点为O ，连结SO ，因为平面SAE ⊥平面ABCE ，所以点S 到AE 的距离2SO =，又1EFC S =△， 所以1233S EFC EFC V S SO -=⋅=△， 由（1）可知，EF SE ⊥，所以12222SEF S =⨯⨯=△， 设点C 到平面SEF 的距离为h ，由等体积法可得，S EFC C SEF V V --=，所以2123h =⨯⋅，解得1h =， 所以点C 到平面SEF 的距离为1.25．（1）证明：∵,,PA AB PA BC AB BC A ⊥⊥=，∴PA ⊥平面ABC ，又BD ⊂平面ABC ，∴PA BD ⊥；（2）证明：∵AB BC =，AD DC =，∴AC BD ⊥，又PA BD ⊥，AC PA A ⋂=，∴BD ⊥平面PAC ，BC ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面PAC ；（3）∵//PA 平面BDE ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC 平面BDE DE =， ∴//PA DE ，又PA ⊥平面ABC ，∴ED ⊥平面ABC ，故直线EB 与平面ABC 所成的角为EBD ∠，∵//PA DE ，且AD DC =，∴12==DE PA ∵ED ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴ED BD ⊥，又112BD AC ==，∴tan ED EBD BD ∠== 且0,2EBD π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，则3EBD π∠= 即直线EB 与平面ABC 所成的角3π.26 解：（1）证明：由题意可得，AB AC ⊥，点E ，N 分别是AB ，BC 的中点，故EN ∥AC ，故EN AB ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，交线为AB故EN ⊥平面PAB EN 在平面EMN 内，故平面EMN ⊥平面PAB ；（2）连结PE ，由PA PB =，点E 是AB 的中点，可知PE AB ⊥， 再由平面PAB ⊥平面ABC ，可知PE ⊥平面ABC ，连结EF ，可知PFE ∠就是直线PF 与平面ABC 所成的角， 于是tan 3PE PFE EF=∠=， 22336PE EF AE AF =+因为PA PB =，E 是AB 中点，故PE AB ⊥，又平面PAB ⊥平面ABC ，故PE ⊥平面ABC ，即点P 到平面ABC 的距离为6PE =点M 是PC 中点，故点M 到平面ABC 的距离为6d =， 1133A PMNB P ABC M ANC ABC ANC V V V PE S d S ---∆∆=-=⋅-⋅ 111616222132322=⨯⨯-⨯⨯⨯ 2666362=-= 即四棱锥A PMNB -6。

学习资料课时素养评价三十直线与平面垂直(一)（15分钟30分）1。

已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( ）A.α∥β,且m⊂α B.m∥n,且n⊥βC.m⊥n，且n⊂βD。

m⊥n,且n∥β【解析】选B。

A中,由α∥β，且m⊂α，知m∥β;B中,由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n,知m也垂直于β内的任意直线,所以m⊥β，B符合题意;C，D中,m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意。

2.若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍,则AB与平面α所成角的大小为（）A.60°B.45°C.30°D.90°【解析】选A。

斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形。

如图所示,∠ABO即是斜线段与平面所成的角。

又AB=2BO,所以cos ∠ABO==，所以∠ABO=60°.3.若三条直线OA,OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于（A.平面OABB.平面OACC.平面OBC D。

平面ABC【解析】选C。

因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC=O，OB,OC⊂平面OBC，所以OA⊥平面OBC.4.如图所示,在正方体ABCD —A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M,N分别是棱DD1,D1C1的中点，则平面AB1C,平面ACC1A1，平面OCN，平面A1C1D中,与直线OM垂直的是。

【解析】因为AC⊥平面BDD1，所以AC⊥OM,同理可证B1C⊥OM,AC∩B1C=C,所以OM⊥平面AB1C;同理，OM⊥平面A1C1D。

答案：平面AB1C，平面A1C1D5.如图，在直三棱柱ABC —A1B1C1中，AB⊥AC,AB=AA1,AB1∩A1B=M。

求证：A1B⊥平面MAC.【证明】因为在直三棱柱ABC —A1B1C1中，AB⊥AC,AB=AA1,A1B∩AB1=M,所以A1B⊥AM，AC⊥AA1，因为AB∩AA1=A，所以AC⊥平面ABB1A1，所以AC⊥AB1，因为AM∩AC=A,所以A1B⊥平面MAC.（30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1.已知直线m，n是异面直线,则过直线n且与直线m垂直的平面(A.有且只有一个B.至多一个C.有一个或无数个D.不存在【解析】选B.若异面直线m，n垂直,则符合要求的平面有一个,否则不存在。

第六节平行、垂直的综合问题A组基础题组1.如图,边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,已知△A'DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形,则下列命题中正确的是( )①动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上;②BC∥平面A'DE;③三棱锥A'-FED的体积有最大值.A.①B.①②C.①②③D.②③答案 C ①由已知可得平面A'FG⊥平面ABC,所以点A'在平面ABC上的射影在线段AF上.②由已知得BC∥DE,根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A'DE.③当平面A'DE⊥平面ABC时,三棱锥A'-FDE的体积达到最大.故选C.2.如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列结论正确的是( )A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC答案 D 易证BD⊥CD.因为平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,CD ⊂平面BCD,故CD⊥平面ABD,则CD⊥AB. 又AD⊥AB,AD∩CD=D,AD ⊂平面ADC,CD ⊂平面ADC, 故AB⊥平面ADC.又AB ⊂平面ABC,∴平面ADC⊥平面ABC.3.如图所示,平面四边形ABCD 中,AB=AD=CD=1,BD=√2,BD⊥CD,将其沿对角线BD 折成四面体ABCD,使平面ABD⊥平面BCD,若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上,则该球的体积为( )A.√3π2B.3πC.√2π3D.2π答案 A如图,取BD 的中点E,BC 的中点O,连接AE,OD,EO,AO.因为AB=AD,所以AE⊥BD. 又平面ABD⊥平面BCD, 平面ABD∩平面BCD=BD, 所以AE⊥平面BCD. 因为AB=AD=CD=1,BD=√2,所以AE=√22,EO=12,BC=√3. 所以OA=√32.在Rt△BDC 中,OB=OC=OD=12BC=√32,所以四面体ABCD 的外接球的球心为O,半径为√32.所以该球的体积V=43π(√32)3=√3π2. 4.在直角梯形ABCD 中,AB=2,CD=CB=1,∠ABC=90°,平面ABCD 外有一点E,平面ADE⊥平面ABCD,AE=ED=1. (1)求证:AE⊥BE;(2)求点C 到平面ABE 的距离.解析 (1)证明:在直角梯形ABCD 中,BD=√BB 2+C B 2=√2,AD=√2,又AD=√2=√BB 2+E B 2,所以AE⊥ED. 因为AB 2=AD 2+BD 2, 所以AD⊥BD,又因为平面ADE⊥平面ABCD,且平面ADE∩平面ABCD=AD, 所以BD⊥平面ADE.因为AE ⊂平面ADE,所以BD⊥AE. 又因为AE⊥ED,BD∩DE=D, 所以AE⊥平面BDE,因为BE ⊂平面BDE,所以AE⊥BE. (2)如图,过点E 作EM⊥AD,交AD 于M. 因为平面ADE⊥平面ABCD, 所以EM⊥平面ABCD.设点C 到平面ABE 的距离为h,EM=√22,S △ABC =12×AB×BC=12×2×1=1, S △ABE =12×EB×AE=12×√3×1=√32.因为V E-ABC =V C-ABE ,所以13×1×√22=13×√32×h,所以h=√63, 所以点C 到平面ABE 的距离为√63.5.(2016课标全国Ⅱ,19,12分)如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D'EF 的位置. (1)证明:AC⊥HD';(2)若AB=5,AC=6,AE=54,OD'=2√2,求五棱锥D'-ABCFE 的体积.解析 (1)证明:由已知得AC⊥BD,AD=CD. 又由AE=CF 得BB BB =BBBB,故AC∥EF.由此得EF⊥HD,EF⊥HD',所以AC⊥HD'.(2)由EF∥AC 得BB BB =BB BB =14. 由AB=5,AC=6得DO=BO=√BB 2-A B 2=4. 所以OH=1,D'H=DH=3.于是OD'2+OH 2=(2√2)2+12=9=D'H 2,故OD'⊥OH.由(1)知AC⊥HD',又AC⊥BD,BD∩HD'=H,所以AC⊥平面BHD',因为OD'⊂平面BHD',所以AC⊥OD'.又由OD'⊥OH,AC∩OH=O,所以OD'⊥平面ABC.又由BB BB =BBBB 得EF=92.五边形ABCFE 的面积S=12×6×8-12×92×3=694.所以五棱锥D'-ABCFE 的体积V=13×694×2√2=23√22. 6.如图,在几何体ABCDEF 中,四边形ABCD 是菱形,BE⊥平面ABCD,DF∥BE,且DF=2BE=2,EF=3.(1)证明:平面ACF⊥平面BEFD;(2)若cos∠BAD=15,求几何体ABCDFE 的体积.解析 (1)证明:因为四边形ABCD 是菱形,所以AC⊥BD, 因为BE⊥平面ABCD,所以BE⊥AC. 所以AC⊥平面BEFD. 又因为AC ⊂平面ACF, 所以平面ACF⊥平面BEFD. (2)设AC 与BD 的交点为O, AB=a(a>0),由(1)得AC⊥平面BEFD,因为BE⊥平面ABCD,所以BE⊥BD, 因为DF∥BE,所以DF⊥BD,所以BD 2=EF 2-(DF-BE)2=8,所以BD=2√2,所以S 四边形BEFD =12(BE+DF)·BD=3√2,因为cos∠BAD=15,所以BD 2=AB 2+AD 2-2AB·AD·cos∠BAD=85a 2=8,所以a=√5,所以OA 2=AB 2-OB 2=3,所以OA=√3, 所以V ABCDFE =2V A-BEFD =23S 四边形BEFD ·OA=2√6.B 组 提升题组1.(2017课标全国Ⅰ,18,12分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°. (1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P-ABCD 的体积为83,求该四棱锥的侧面积.解析 (1)证明:由已知∠BAP=∠CDP=90°, 得AB⊥AP,CD⊥PD. 由于AB∥CD,故AB⊥PD, 从而AB⊥平面PAD. 又AB ⊂平面PAB, 所以平面PAB⊥平面PAD.(2)解法一:在平面PAD 内作PE⊥AD,垂足为E.由(1)知,AB⊥平面PAD, 故AB⊥PE,可得PE⊥平面ABCD.设AB=x,则由已知可得AD=√2x,PE=√22x. 故四棱锥P-ABCD 的体积V P-ABCD =13AB·AD·PE=13x 3. 由题设得13x 3=83,故x=2.从而PA=PD=2,AD=BC=2√2,PB=PC=2√2.可得四棱锥P-ABCD 的侧面积为12PA·PD+12PA·AB+12PD·DC+12BC 2sin 60°=6+2√3.解法二:由题设条件和(1)可知四棱锥P-ABCD 是一个正方体的一部分,底面ABCD 是正方体的一个对角面,P 是正方体的一个顶点(如图),设正方体的棱长为a,则V P-ABCD =13·√2a·a·√22a=13a 3,由题设得13a 3=83,解得a=2,从而PA=PD=2,AD=BC=2√2,PB=PC=2√2, 故四棱锥P-ABCD 的侧面积为12PA·PD+12PA·AB+12PD·DC+12BC 2sin 60°=6+2√3.2.(2017广西南宁二模)如图,在高为1的等腰梯形ABCD 中,AM=CD=13AB=1,M 为AB 的三等分点.现将△AMD 沿MD 折起,使平面AMD⊥平面MBCD,连接AB 、AC. (1)在AB 边上是否存在点P,使AD∥平面MPC?(2)当点P 为AB 边的中点时,求点B 到平面MPC 的距离.解析 (1)当AP=13AB 时,有AD∥平面MPC.理由如下: 连接BD 交MC 于N,连接NP.在梯形MBCD 中,DC∥MB, BB BB =BB BB =12, ∵△ADB 中,BB BB =12,∴AD∥PN. ∵AD ⊄平面MPC,PN ⊂平面MPC, ∴AD∥平面MPC.(2)∵平面AMD⊥平面MBCD,平面AMD∩平面MBCD=DM, 在平面AMD 中,AM⊥DM,∴AM⊥平面MBCD.∴V 三棱锥P-MBC =13×S △MBC ×BB 2=13×12×2×1×12=16.△MPC 中,MP=12AB=√52,MC=√2,过P 作PH⊥MB 于H,连接HC,则PC=√(12)2+12=√52, ∴S △MPC =12×√2×√(√52)2-(√22)2=√64,∴点B 到平面MPC 的距离d=3B 三棱锥B -BBB B △BBB =3×16√64=√63.3.(2019河南郑州二模)在如图所示的五面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为菱形,且∠DAB=60°,EA=ED=AB=2EF=2,EF∥AB,M 为BC 的中点. (1)求证:FM∥平面BDE;(2)若平面ADE⊥平面ABCD,求F 到平面BDE 的距离.解析(1)证明:取BD中点O,连接OM,OE,因为O,M分别为BD,BC的中点,CD,所以OM∥CD,且OM=12因为四边形ABCD为菱形,所以CD∥AB,因为EF∥AB,CD.所以CD∥EF,又AB=CD=2EF=2,所以EF=12所以OM∥EF,且OM=EF,所以四边形OMFE为平行四边形,所以FM∥OE.又OE⊂平面BDE且FM⊄平面BDE,所以FM∥平面BDE.(2)由(1)得FM∥平面BDE,所以F到平面BDE的距离等于M到平面BDE的距离.取AD的中点H,连接EH,BH,因为EA=ED,所以EH⊥AD,因为平面ADE⊥平面ABCD,平面ADE∩平面ABCD=AD,所以EH⊥平面ABCD,因为BH ⊂平面ABCD,所以EH⊥BH. 因为四边形ABCD 是菱形,所以AB=AD=2,又∠BAD=60°,所以△ABD 是等边三角形,所以BH=√3.易得EH=√3. 在Rt△EBH 中,因为EH=BH=√3, 所以BE=√6,所以S △BDE =12×√6×√22-(√62)2=√152,设F 到平面BDE 的距离为h, 连接DM,因为S △BDM =12×√34×4=√32,所以由V E-BDM =V M-BDE ,得13×√3×√32=13×h×√152, 解得h=√155. 即F 到平面BDE 的距离为√155.。

学习资料课时素养评价二十七直线与平面平行(15分钟30分)1。

已知直线a∥平面α,a∥平面β,α∩β=b，则a与b( )A.相交B.平行C.异面D.共面或异面【解析】选B.因为直线a∥α，a∥β,所以在平面α,β中分别有一直线平行于a,不妨设为m,n,所以a∥m,a∥n，所以m∥n。

又α,β相交，m在平面α内，n在平面β内,所以m∥β，所以m∥b,所以a∥b.2.直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点,则这n条直线中与直线a平行的直线（）A.至少有一条B.至多有一条C。

有且只有一条 D.没有【解析】选B.设这n条直线的交点为P，则点P不在直线a上，那么直线a和点P确定一个平面β,则点P既在平面α内又在平面β内，则平面α与平面β相交。

设交线为直线b,则直线b过点P。

又直线a∥平面α,a⊂平面β,则a∥b。

很明显这样作出的直线b有且只有一条,那么直线b可能在这n条直线中，也可能不在,即这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条。

3。

已知四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，E，F,G分别为PA，PD,CD的中点,则BC与平面EFG的位置关系为.【解析】如图,由E，F分别为PA，PD的中点,可得EF∥AD，又四边形ABCD为平行四边形，所以AD∥BC,所以BC∥EF,又E F⊂平面EFG，BC⊄平面EFG,所以BC∥平面EFG。

答案:平行4.如图所示,P为▱ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点,当PA∥平面EBF时，= 。

【解析】连接AC交BE于点G,连接FG，因为PA∥平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面EBF=FG，所以PA∥FG,所以=。

又因为AD∥BC，E为AD的中点，所以==,所以=.答案：5。

如图,在四棱锥O—ABCD中，底面ABCD为平行四边形,M为OA的中点，N为BC的中点,求证：MN∥平面OCD.【证明】取OD的中点E，连接CE,ME，则ME∥AD,ME=AD，因为AD∥BC,NC=BC,所以ME∥NC,ME=NC,所以四边形MECN为平行四边形，则MN∥CE，而MN⊄平面OCD,CE⊂平面OCD,所以MN∥平面OCD.【补偿训练】在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形,∠ACB=90°，EF∥AB，FG∥BC,EG∥AC，AB=2EF,M是线段AD的中点,求证:GM∥平面ABFE。

第八章习题课1．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形,PA ⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，PA＝AD＝a。

（1）求证:MN∥平面PAD；(2）求证：MN⊥平面PCD。

题图答图[解析](1)如图，取CD的中点E,连接NE，ME.∵E,M，N分别是CD，AB，PC的中点，∴NE∥PD，EM∥DA,∴平面NEM∥平面PDA,∴MN∥平面PAD。

(2）∵PA⊥平面ABCD,∴CD⊥PA。

∵底面ABCD是矩形，CD⊥AD，又PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD。

∵EN∥PD，∴EN⊥CD，又∵CD⊥EM，EM∩EN＝E，∴CD⊥平面ENM,∴MN⊥CD。

∵PM＝错误!＝错误!＝错误!＝MC，N是PC的中点，∴MN⊥PC。

又CD∩PC＝C，∴MN⊥平面PCD。

2．如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，侧面BB1C1C是菱形，∠B1BC＝60°。

(1）求证：BC⊥AB1；（2）若AB＝a，AB1＝错误!a，求三棱锥C-ABB1的体积.题图答图［解析](1)证明：取BC的中点O,连接AO,B1O，如图.∵侧面BB1C1C是菱形，且∠B1BC＝60°，∴△B1BC为等边三角形，∴B1O⊥BC。

又△ABC是等边三角形，∴AO⊥BC，又B1O∩AO＝O,B1O，AO⊂平面AOB1,∴BC⊥平面AOB1，而AB1⊂平面AOB1，∴BC⊥AB1．(2)由（1)知OA⊥BC,OB1⊥BC，△ABC和△BB1C是全等的等边三角形，∴OA＝OB1，∵AB＝a,∴OA＝OB1＝错误!a，∵AB1＝错误!a,∴AB错误!＝OA2＋OB错误!，∴OB1⊥OA,∵OB1⊥BC，又OA∩BC＝O,OA,BC⊂平面ABC，∴OB1⊥平面ABC，∴VC。

ABB1＝VB1。

ABC＝错误!S△ABC·OB1＝错误!×错误!×a×错误!a×错误!a＝错误!。