某企业希望确定其广告费x与销售收入y之间的关系,以制定营销计划

2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2015年新课标全国Ⅰ，理1】设复数z 满足1i 1zz+=-，则（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 【答案】A【解析】由1i 1z z +=-得()()()()1i 1i 1i i 1i 1i 1i z -+--+===++-，故1z =，故选A ． （2）【2015年新课标全国Ⅰ，理2】sin20cos10cos160sin10︒︒-︒︒=（ ）（A ）32- （B ）32 （C ）12- （D ）12-【答案】D【解析】原式1sin 20cos10cos20sin10sin302=︒︒+︒︒=︒=，故选D ．（3）【2015年新课标全国Ⅰ，理3】设命题P ：n N ∀∈，22n n >，则P ⌝为（ ）（A ）n N ∀∈，22n n > （B ）n N ∃∈，22n n ≤ （C ）n N ∀∈，22n n ≤ （D ）n N ∃∈，22n n = 【答案】C【解析】P ⌝：n N ∀∈，22n n ≤，故选C ． （4）【2015年新课标全国Ⅰ，理4】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0．6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 【答案】A【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.60.648C ⨯+=，故选A ．（5）【2015年新课标全国Ⅰ，理5】已知()00,M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，1F 、2F 是C 上的两个焦点，若120MF MF ＜，则0y 的取值范围是（ ） （A ）33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）33,66⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）2222,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）2323,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由题知()13,0F -，()23,0F 且220012x y -=，所以()()1200003,3,MF MF x y x y •=---•-- 2220003310x y y =+-=-<，解得03333y -<<，故选A ． （6）【2015年新课标全国Ⅰ，理6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯=，得163r =．所以米堆的体积为21116320354339⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故堆放的米约为3201.62229÷≈，故选B ． （7）【2015年新课标全国Ⅰ，理7】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ）（A ）1433AD AB AC =-+ （B ）1433AD AB AC =-（C ）4133AD AB AC =+ （D ）4133AD AB AC =-【答案】A【解析】由题知()11143333AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC =+=+=+-=-+，故选A ．（8）【2015年新课标全国Ⅰ，理8】函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D【解析】由五点作图知1425342πωϕπωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，取得ωπ=，所以()cos 4f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得1322,44k x k k Z -<<+∈，故单调减区间为132,244k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈，故选D ．（9）【2015年新课标全国Ⅰ，理9】执行右面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 【答案】C【解析】执行第1次，0.01,1,0,0.5,0.5,t S n m S S m =====-=20.25,1,m m n ===0.50.01S t =>=，是，循环；执行第2次，0.25,20.125,2,S S m m m n =-==== 0.250.01S t =>=，是，循环；执行第3次，0.125,20.0625,3,S S m m m n =-==== 0.1250.01S t =>=，是，循环；执行第4次，0.0625,20.03125,4,S S m m m n =-====0.06250.01S t =>=，是，循环； 执行第5次，0.03125,20.015625,5,S S m m m n =-====0.031250.01S t =>=，是，循环； 执行第6次，0.015625,20.0078125,6,S S m m m n =-====0.0156250.01S t =>=，是，循环；执行第7次，0.0078125,20.00390625,7,S S m m m n =-====0.00781250.01S t =>=，否，输出7n =，故选C ．（10）【2015年新课标全国Ⅰ，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（ ） （A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 【答案】C【解析】在()52x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y ，故52x y 的系数为21253230C C C =，故选C ． （11）【2015年新课标全国Ⅰ，理11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为 1620π+，则r =（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为2222142225416202r r r r r r r r πππππ⨯+⨯++⨯=+=+，解得2r =故选B ．（12）【2015年新课标全国Ⅰ，理12】设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）（A ）3[,1)2e - （B ）33[,)24e - （C ）33[,)24e （D ）3[,1)2e【答案】D【解析】设()(21)x g x e x =-，y ax a =-，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下方．因为()(21)x g x e x '=+，所以当12x <-时，()0g x '<，当12x >-时，()0g x '>；当12x =-时，[]12max ()2g x e -=-．当0x =时，(0)1g =-，(1)30g e =>，直线y ax a =-恒过点()1,0且斜率为a ，故(0)1a g ->=-，且1(1)3g e a a --=-≥--，解得312a e≤<，故选D ． 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2015年新课标全国Ⅰ，理13】若函数2()ln()f x x x a x =++为偶函数，则a = ． 【答案】1【解析】由题知()2ln y x a x =++是奇函数，所以()()()222ln ln ln x a x x a x a x x +++-++=+-ln 0a ==，解得1a =．（14）【2015年新课标全国Ⅰ，理14】一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 ． 【答案】2232524x y ⎛⎫±+= ⎪⎝⎭ 【解析】设圆心为(),0a ，则半径为4a -，则()22242a a -=+，解得32a =±，故圆的方程为2232524x y ⎛⎫±+= ⎪⎝⎭．（15）【2015年新课标全国Ⅰ，理15】若,x y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则y x 的最大值为 ． 【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连 线的斜率，由图可知，点()1,3A 与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3．（16）【2015年新课标全国Ⅰ，理16】在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=︒，2BC =，则AB 的取值范围是 ．【答案】()62,62-+【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于点E ，则可知在ADE ∆中，105DAE ∠=︒，45ADE ∠=︒，30E ∠=︒，所以设12AD =，22AE x =，624DE x +=，CD m =，因为2BC =，所以62sin1514x m ⎛⎫++⋅︒=⇒ ⎪⎪⎝⎭62624x m ++=+， 所以04x <<，而62262424AB x m x x m +-=+-=+2622x =+-， 所以AB 的取值范围是()62,62-+．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2015年新课标全国Ⅰ，理17】（本小题满分12分）n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，243n n n a a S +=+（Ⅰ）求{}n a 的通项公式， （Ⅱ）设11n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和． 解：（Ⅰ）由2243n n n a a S +=+，可知2111243n n n a a S ++++=+，可得()2211124n n n n n a a a a a +++-+-=，即()()()2211112n n n n n n n n a a a a a a a a ++++-=-=+- 由于0n a >，可得12n n a a +-=．又2111243a a a +=+，解得11a =-（舍去），13a = 所以{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为21n a n =+． ……6分（Ⅱ）由21n a n =+可知，111111(21)(23)22123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭． 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则1211111112355721233(23)n n n T b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ……12分（18）【2015年新课标全国Ⅰ，理18】（本小题满分12分）如图， 四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=︒，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，2BE DF =，AE EC ⊥． （Ⅰ）证明：平面ACE ⊥平面AFC ．（Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值． 解：（Ⅰ）连接BD ，设BD AC G =，连接EG ，FG ，EF ．在菱形ABCD 中，不妨设1GB =，由120ABC ∠=︒，可得3AG GC ==．由BE ABCD ⊥平面，AB BC =，可知AE EC =． 又AE EC ⊥，所以3EG =，且EG AC ⊥．在Rt EBG ∆中，可得2BE =，故22DF =．在Rt FDG ∆中，可得62FG =．在直角梯形BDFE 中，由2BD =，2BE =，22DF =，可得322EF =． 从而222EG FG EF +=，所以EG FG ⊥，又AC FG G =，可得EG AFC ⊥平面． 因为EG AEC ⊂平面，所以AEC AFC ⊥平面平面． ……6分（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以GB ， GC 方向为x 轴，y 轴正方向，GB 为单位长，建立空间直角坐标系G xyz -．由（Ⅰ）可得()0,3,0A -，()1,0,2E ， 21,0,2F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,0C ． 所以()1,3,2AE =，21,3,2CF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭． ……10分故()3cos ,3AE CF AE CF AE CF•==-，所以直线AE 与直线CF 所成角余弦值为33-． ……12分 （19）【2015年新课标全国Ⅰ，理19】（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费1x 和年销售量()11,2,,8y i =数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．xy w()1211x xx +-∑()1211x w w +-∑()()111x xx y y +--∑ ()()111x w w y y +--∑46．6 56．3 6．8 289．8 1．6 1469108．8表中11w x =，11118x w w +=∑． （Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =+与y c d x =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）以知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为0.2z y x =-．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费49x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ……．． (),n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121ˆnii i nii uu v vuuβ==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-． 解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y c d x =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．……2分 （Ⅱ）令w x =，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于()()()81821108.8681.6iii i i w w yyd w w==--===-∑∑， 56368 6.8100.6c y d w =-=-⨯=，所以y 关于w 的线性回归方程为100.668y w =+，因此y 关于w 的线性回归方程为100.668y x =+． ……6分 （Ⅲ）（i ）由（Ⅱ）知，当49x =时，年销售量y 的预报值100.66849576.6y =+=，年利润z 的预报值0.2576.64966.32z =⨯-=．……9分（ii ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值()0.2100.66813.620.12z x x x x =⨯+-=-++． 所以当13.66.82x ==，即46.24x =时，z 取得最大值． 故年宣传费为46．24千元时，年利润的预报值最大．……12分（20）【2015年新课标全国Ⅰ，理20】（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，曲线2:4x C y =与直线()0y kx a a =+>交与M ，N 两点，（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由． 解：（Ⅰ）由题设可得()2,M a a ，()2,N a a -，或()2,M a a -，()2,N a a ．又2x y '=，故24x y =在2x a =处的导数值为a ．C 在点()2,a a -处的切线方程为()2y a a x a -=-，即0ax y a ++=．故所求切线方程为0ax y a ++=和0ax y a --=． ……5分（Ⅱ）存在符合题意的点．证明如下：设()0,P b 为符合题意的点，()11,M x y ，()22,N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ．将y kx a =+代入C 的方程得2440x kx a --=．故124x x k +=， 124x x a =-．从而()()()1212121212122kx x a b x x k a b y b y b k k x x x x a+-++--+=+==．当b a =-时，有120k k +=， 则直线PM 的倾角与直线PN 的倾角互补，故OPM OPN ∠=∠，所以点()0,P a -符合题意．……12分（21）【2015年新课标全国Ⅰ，理21】（本小题满分12分）已知函数()31,()ln 4f x x axg x x =++=-．（Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用{}min ,m n 表示,m n 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x =>，讨论()h x 零点的个数． 解：（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点()0,0x ，则0()0f x =，0()0f x '=，代入可解得012x =，34a =-． 因此，当34a =-时，x 轴为曲线()y f x =的切线． ……5分（Ⅱ）当()1,x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而{}()min (),()()0h x f x g x g x =≤<，故()h x 在()1,+∞无零点．当1x =时，若54a ≥-，则5(1)04f a =+≥，{}(1)min (1),(1)(1)0h fg g ===，故1x =是()h x 的零点；若54a <-，则5(1)04f a =+<．{}(1)min (1),(1)(1)0h fg f ==<，故1x =不是()h x 的零点．当()0,1x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在()0,1的零点个数．（i ）若3a ≤-或0a ≥，则2()3f x x a '=+/在()0,1无零点，故()f x 在()0,1单调．而1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当3a ≤-时，()f x 在()0,1有一个零点；当0a ≥时，()f x 在()0,1无零点．（ii ）若30a -<<，则()f x 在0,3a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭单调递减，在,13a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，故在()0,1中，当3a x =- 时，()f x 取得最小值，最小值为213334a a a f ⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭．①若03a f ⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭，即304a -<<，()f x 在()0,1无零点．②若03a f ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，即34a =-，()f x 在()0,1有唯一零点．③03a f ⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当5344a -<<-时，()f x 在()0,1有两个零点；当534a -<≤-时，()f x 在()0,1有一个零点．综上，当34a >-或54a <-时，()h x 有一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当34a >-或54a <-时，()h x 有三个零点． ……12分请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． （22）【2015年新课标全国Ⅰ，理22】（本题满分10分）（选修4-1：几何证明选讲）如图AB 是O 直径，AC 是O 切线，BC 交O 与点E ． （Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是O 的切线；（Ⅱ）若3OA CE =，求ACB ∠的大小．解：（Ⅰ）连接AE ，由已知得AE BC ⊥，AC AB ⊥．在Rt AEC ∆中由已知得DE DC =，故DEC DCE ∠=∠． 连接OE ，则OEB OBE ∠=∠．又90ACB ABC ∠+∠=︒，所以90DEC OEB ∠+∠=︒，故90OED ∠=︒，DE 是O 的切线 ……5分 （Ⅱ）设1CE =，AE x =，由已知得AB =BE =由射影定理，2AE CE BE =，所以2x =x =60ACB ∠=︒． ……10分（23）【2015年新课标全国Ⅰ，理23】（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）直角坐标系xOy 中．直线1:2C x =-，圆2C ：()()22121x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN ∆的面积．解：（Ⅰ）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=． ……5分（Ⅱ）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=，2ρ=故12ρρ-=，即MN =2C 半径为1，所以2C MN ∆的面积为12． ……10分（24）【2015年新课标全国Ⅰ，理24】（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）已知函数()12f x x x a =+--，0a >．（Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）当1a =时，()1f x >化为12110x x +--->．当1x ≤-，不等式化为40x ->，无解；当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得213x <<； 当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x ≤<．所以()1f x >解集为2,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． ……5分（Ⅱ）由题设可得12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21,03a A -⎛⎫⎪⎝⎭，()21,0B a +，(),1C a a +，ABC ∆的面积为()2213a +．由题设得()22163a +>，故2a >．所以a 的取值范围为()2,+∞．……10分。

经济数学基础课后答案(概率统计第三分册)完整的答案习题一1.写出下列事件的样本空间： (1) 把一枚硬币抛掷一次； (2) 把一枚硬币连续抛掷两次； (3) 掷一枚硬币，直到首次出现正面为止； (4) 一个库房在某一个时刻的库存量(假定最大容量为 M).解 (1) ={正面，反面} △{正，反} (2) ={(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反)} (3) ={(正)，(反，正)，(反，反，正)，…} (4) ={x；0 ≤x≤ m}.2.掷一颗骰子的试验，观察其出现的点数，事件 A＝“偶数点”， B＝“奇数点”，C＝“点数小于5”，D＝“小于 5 的偶数点”，讨论上述各事件间的关系. = { ,2,3,4,5,6}, A = {2,4,6}, B = { ,3,5}, C = { ,2,3,4}, D = {2,4}. 1 1 1 解 A 与 B 为对立事件，即 B＝ A ；B 与 D 互不相容；A ? D，C ? D.3.事件 Ai 表示某个生产单位第 i 车间完成生产任务，i＝1，2，3，B 表示至少有两个车间完成生产任务，C 表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事件 B 及 B－C 的含义，并且用 Ai(i＝1，2，3)表示出来.解 B 表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任务. B－C 表示三个车间都完成生产任务4.如图 1－1，事件 A、B、C A＋B＋C，AC＋B，C－AB 用解 A + B = A + AB 图 1－1 B = A1 A2 + A2 A3 + A1 A3 B = A1 A2 A3＋A1 A2 A3＋A1 A2 A3＋A1 A2 A3 C = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 都相容，即ABC≠Φ，把事件 A＋B，一些互不相容事件的和表示出来. A + B + C = A + AB + A BC B ? C = A1 A2 A3 AC + B = B + ABC 5.两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明.解两个对立的事件一定互不相容，它们不可能同时发生，也不可能同时不发生；两个互不相容的事件不一定是对立事件，它们只是不可能同时发生，但不一定同时不发生.在本书第 6 页例 2 中 A 与 D 是对立事件，与 D 是互不相容事 C 件.6.三个事件 A、B、C 的积是不可能事件，即 ABC＝Φ，问这三个事件是否一定互不相容?画图说明.解不一定. A、B、C 三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容，即两两互不相容.如图 1－2，事件 ABC＝Φ，但是 A 与 B 相容. AB，D＝A+B，F＝A－B.说明事7.事件 A 与 B 相容，记 C＝图 1－2 件 A、C、D、F 的关系.C ? AB = A BC + ABC + ABC 2 解由于 AB ? A ? A+B， A－B ? A ? A+B，与 A－B 互不相容， A＝AB＋(A－B).因 AB 且此有 A＝C+F，C 与 F 互不相容，8.袋内装有 5 个白球，3 个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率.解记事件 A 表示“取到的两个球颜色不同”.则有利于事件A 的样本点数目 2 ＃A＝ C51C31 .而组成试验的样本点总数为＃Ω＝ C5+3 ，由古典概率公式有 D ? A ? F，A ? C. P(A)＝ # A = #? 1 1 C5C3 15 = C82 28(其中＃A，Ω 分别表示有利于 A 的样本点数目与样本空间的样本点总数，＃余下同)9.计算上题中取到的两个球中有黑球的概率.解设事件 B 表示“取到的两个球中有黑球”则有利于事件 B 的样本点数为＃ B = C52 . P( B) = 1－P( B) = 1 ? C52 9 = 2 C8 1410.抛掷一枚硬币，连续 3 次，求既有正面又有反面出现的概率.“三次中既有正面又有反面出现” 则 A 表示三次均为正面或 , 解设事件 A 表示三次均为反面出现.而抛掷三次硬币共有 8 种不同的等可能结果，即＃Ω＝8，因此 P ( A) = 1 ? P( A) = 1 ? ＃A 2 3 = 1? = #? 8 411. 10 把钥匙中有 3 把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率.解设事件 A 表示“门锁能被打开” 则事件 A 发生就是取的两把钥匙都不能打.开门锁. P( A) = 1 ? P( A) = 1 ? C2 8 ＃A = 1－ 7 = 2 ＃? C10 15 从 9 题－11 题解中可以看到，有些时候计算所求事件的对立事件概率比较方便. 12.一副扑克牌有 52 张，不放回抽样，每次一张，连续抽取 4 张，计算下列事件的概率： (1)四张花色各异； (2)四张中只有两种花色.解设事件 A 表示“四张花色各异” B 表示“四张中只有两种花色”.； # 4 1 1 1 1 = C52，A = C13C13C13C13， # 2 1 3 1 2 2 # B = C（C 2 C13C13＋C13C13 ） 4 P( A) = P( B) = # A 134 = 4 = 0.105 # C52 # B 6 7436＋6048 （） = = 0 . 300 4 # C52 13.口袋内装有 2 个伍分、3 个贰分，5 个壹分的硬币共 10 枚，从中任取 5 枚， 3 解求总值超过壹角的概率.设事件 A 表示“取出的 5 枚硬币总值超过壹角”. # 1 = C 10 ，＝C 2 C83＋C 2 3 C5＋C 32 C52 ) #A(C 3 1 2 5 ＃A 126 P( A)＝＝＝0.5 ＃ 25214.袋中有红、黄、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率： A＝“三次都是红球” △“全红” B＝“全白” ，， C ＝“全黑” D＝“无红” E＝“无白” ，，， F＝“无黑” G＝“三次颜色全相同” ，， H＝“颜色全不相同” I＝“颜色不全相同”.， 3 解＃Ω＝3 ＝27，＃A＝＃B＝＃C＝1，＃D＝＃E＝＃F＝23＝8，＃G＝＃A＋＃B＋＃C＝3，＃H＝3！＝6，＃I＝＃Ω－＃G＝24 P ( A) = P ( B ) = P (C ) = P ( D) = P ( E ) = P ( F ) = 1 27 8 27 P(G ) = 3 1 6 2 24 8 = , P( H ) = = , P( I ) = = 27 9 27 9 27 9 15.一间宿舍内住有 6 位同学，求他们中有 4 个人的生日在同一个月份的概率.解设事件 A 表示“有 4 个人的生日在同一个月份”. 1 ＃Ω＝126，＃A＝ C64C12112 P( A) = # A 21780 ＝＝0.0073 # 12 6 16.事件 A 与 B 互不相容，计算 P ( A + B) .解由于 A 与 B 互不相容，有 AB＝Φ，P(AB)＝0 17.证 P( A + B) = P( AB) = 1 ? P( AB) = 1.设事件 B ? A，求证P(B)≥P(A）.∵B ? A ∴P(B-A)＝P(B) - P(A) ∵P(B-A)≥0 ∴P(B)≥P(A) 18.已知 P(A)＝a，P(B)＝b，ab≠0 (b＞0.3a)， P(A－B)＝0.7a，求 P(B+A)，P(B-A)，P( B ＋ A ).解由于 A－B 与 AB 互不相容，且 A＝(A-B)＋AB，因此有 P(AB)＝P(A)-P(A-B)＝0.3a P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.7a ＋b P(B-A)＝P(B)-P(AB)＝b-0.3a P( B ＋ A )＝1-P(AB)＝1-0.3a 19. 50 个产品中有 46 个合格品与 4 个废品，从中一次抽取三个，计算取到废品的概率.，则 A 表示没有取到废品，有利于事件 A 的样本解设事件 A 表示“取到废品” 4 3 点数目为＃ A ＝ C46 ，因此 P(A)＝1-P( A )＝1- ＃A ＝1－C46 3 3 ＃ C50 ＝0.2255 20.已知事件 B ? A，P(A)＝lnb ≠ 0，P(B)＝lna，求 a 的取值范围.解因 B ? A，故P(B)≥P(A)，即lna≥lnb, ? a≥b，又因 P(A)＞0，P(B)≤1，可得 b＞1，a≤e，综上分析 a 的取值范围是： 1＜b≤a≤e 21.设事件 A 与 B 的概率都大于 0，比较概率 P(A)，P(AB)， P(A+B)，P(A)+P(B)的大小(用不等号把它们连接起来).解由于对任何事件 A，B，均有AB ? A ? A+B 且 P(A+B)＝P(A)＋P(B)-P(AB)，P(AB)≥0，因此有P(AB)≤P(A)≤P(A+B)≤P(A)＋P(B) 22.一个教室中有 100 名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一年以 365 天计算).解设事件 A 表示“100 名学生的生日都不在元旦” ，则有利于 A 的样本点数目为＃ A ＝ 3 6 4 1 0 0 ，而样本空间中样本点总数为＃Ω＝365100，所求概率为 P( A) = 1 ? P( A) = 1 ? #A 364100 = 1? #? 365100 = 0.2399 23.从5 副不同手套中任取 4 只手套，求其中至少有两只手套配成一副的概率.解设事件 A 表示“取出的四只手套至少有两只配成一副” ，则 A 表示“四只手套中任何两只均不能配成一副”. P ( A) = 1 1 1 1 # A C54C2C2C2C2 80 = = 4 # C10 210 24.某单位有 92％的职工订阅报纸，93％的人订阅杂志，在不订阅报纸的人中仍有 85％的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工求下列事件的概率： (1)该职工至少订阅一种报纸或期刊； (2)该职工不订阅杂志，但是订阅报纸.解设事件 A 表示“任找的一名职工订阅报纸” B 表示“订阅杂志” ，，依题意 P(A)＝0.92，P(B)＝0.93，P(B｜ A )＝0.85 P(A＋B)＝P(A)＋P( A B)＝P(A)＋P( A )P(B｜ A ) ＝0.92＋0.08×0.85＝0.988 P(A B )＝P(A＋B)-P(B)＝0.988－0.93＝0.058 25.分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，记事件 A 表示数学成绩优秀，表示外语成绩优秀， P(A)＝P(B)＝0.4， (AB)＝0.28， P(A｜ B 若 P 求 B)，P(B｜A)，P(A＋B).解P(A｜B)＝ P( AB) = 0.28 = 0.7 P( B) 0 .4 P(B｜A)＝ P( AB) = 0.7 P ( A) P ( A) = 1 ? P ( A) = 0.62 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)-P(AB)＝0.52 26.设 A、B 是两个随机事件. 0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1， 5 P(A｜B)＋P( A ｜ B )＝1.求证 P(AB)＝P(A)P(B).证∵P ( A｜ B )＋P ( A ｜ B )＝1 且 P ( A｜B )＋P( A ｜ B )＝1 ∴P ( A｜B )＝P (A｜ B ) P ( AB ) P ( A B ) P ( A) ? P ( AB ) = = P( B) 1 ? P( B) P( B) P(AB)〔1-P(B)〕＝P( B)〔P( A)-P( AB)〕整理可得 P(AB)＝P( A) P( B) 27.设 A 与 B 独立，P( A)＝0.4，P( A＋B)＝0.7，求概率 P (B).解 P( A＋B)＝P(A)＋P( A B)＝P( A)＋P( A ) P( B) ?0.7＝0.4＋0.6P( B ) ? P( B )＝0.5 28.设事件 A 与 B 的概率都大于 0，如果 A 与 B 独立，问它们是否互不相容，为什么? 解因 P ( A )，P ( B )均大于 0，又因 A 与 B 独立，因此 P ( AB )＝P ( A ) P ( B )＞0，故 A 与B 不可能互不相容. 29.某种电子元件的寿命在 1000 小时以上的概率为 0.8，求 3 个这种元件使用 1000 小时后，最多只坏了一个的概率.，解设事件 Ai 表示“使用 1000 小时后第 i 个元件没有坏” i＝1，2，3，显然 A1，A2，A3 相互独立，事件 A 表示“三个元件中最多只坏了一个” 则 A＝A1A2A3＋ A1 A2A3＋A1 A2 A3＋A1A2 A3 ，，上面等式右边是四个两两互不相容事件的和，且 P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8 P( A)＝ [P( A1 )]3 + 3[P( A1 )]2 P( A1 ) ＝0.83＋3×0.82×0.2 ＝0.896 30.加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别为 0.3，0.2，0.2，并且任何一道工序是否出现废品与其他各道工序无关，求零件的合格率.解设事件 A 表示“任取一个零件为合格品” ，依题意 A 表示三道工序都合格. P(A)＝(1－0.3)(1－0.2)(1－0.2)＝0.448 31.某单位电话总机的占线率为 0.4，其中某车间分机的占线率为 0.3，假定二者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第 m 次才能打通的概率(m 为任何正整数).解设事件 Ai 表示“第 i 次能打通” i＝1，2，…，m，则， P(A1)＝(1－0.4)(1－0.3)＝0.42 P(A2)＝0.58 × 0.42＝0.2436 P(Am)＝0.58m－1 × 0.42 32.一间宿舍中有 4 位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率.解设 Ai 表示“第 i 人拿到自己眼镜”，i＝1,2,3,4. P ( Ai )＝ 1 ，设事件 B 4 表示“每个人都没有拿到自己的眼镜”.显然 B 则表示“至少有一人拿到自己的眼镜”.且 B ＝A1＋A2＋A3＋A4. P( B )＝P(A1＋A2＋A3＋A4) 4 ＝∑ p( Ai ) ? ∑ P( Ai Ai ) + ∑ P( Ai A j Ak ) ? P( A1 A2 A3A4 ) i =1 1≤i＜j ≤ 4 1≤i＜j＜k ≤ 4 6 P(AiAj) = P(Ai)P(Aj｜Ai) =1×1 = 4 3 1 (1 ≤ i＜j ≤ 4) 12P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj｜Ai)P(Ak｜AiAj) = 1 × 1 × 1 = 1 （1≤i＜j＜k≤4）P(A1A2A3A4) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) ×P(A4｜A1A2A3) 4 3 2 1 1 1 1 5 2 3 P ( B ) = 4 × ? C 4 × + C4 × ? = 4 12 24 24 8 3 P( B) = 1 ? P( B) = 8 4 3 2 24 = 1 × 1 × 1 ×1 = 1 24 33.在 1，2，…，3000 这 3000 个数中任取一个数，设 Am＝“该数可以被 m 整除”，m＝2，3，求概率 P(A2A3)，P(A2＋A3)，P(A2－A3).解依题意 P(A2)＝ 1 ，P(A3)＝ 1 2 3 P(A2A3)＝P(A6)＝ 1 6 P(A2＋A3)＝P(A2)＋P(A3)－P(A2A3) ＝1+1?1 = 2 2 3 6 3 2 6 3 P(A2－A3)＝P(A2)－P(A2A3)＝ 1 ? 1 = 134.甲、乙、丙三人进行投篮练习，每人一次，如果他们的命中率分别为 0.8，0.7，0.6，计算下列事件的概率： (1)只有一人投中； (2)最多有一人投中； (3)最少有一人投中.解设事件 A、B、C 分别表示“甲投中”“乙投中”“丙投中” 、、，显然 A、B、C 相互独立.设 Ai 表示“三人中有 i 人投中” i ＝0,1,2,3,依题意，， P( A0 ) = P( A B C ) = P( A) P( B ) P(C ) P ( A3 )=P ( ABC )=P ( A ) P ( B ) P ( C ) =0.8×0.7×0.6 = 0.336 P(A2)=P(AB C )＋P(A B C)＋P( A BC) =0.8×0.7×0.4＋0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6 = 0.452 (1) P(A1)＝1－P(A0)－P(A2)－P(A3) ＝1－0.024－0.452－0.336＝0.188 (2) P(A0＋A1)＝P(A0)＋P(A1)＝0.024＋0.188＝0.212 (3) P(A＋B＋C)＝P( A0 )＝1－P (A0)＝0.976 35.甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为 0.4 及 0.5，问谁先投中的概率较大，为什么? 解设事件A2n-1B2n 分别表示“甲在第 2n－1 次投中”与“乙在第 2n 次投中” ，显然A1，B2，A3，B4，…相互独立.设事件 A 表示“甲先投中”. P( A) = P( A1 ) + P( A1 B 2 A3 ) + P( A1 B 2 A3 B 4 A5 ) + … = 0.4＋0.6 × 0.5 × 0.4＋(0.6 × 0.5) 2 × 0.4＋… = 0.2×0.3×0.4× = 0.024 7 = 计算得知 P(A)＞0.5，P( A )＜0.5，因此甲先投中的概率较大. 36.某高校新生中，北京考生占 30％，京外其他各地考生占 70％，已知在北京学生中，以英语为第一外语的占 80％，而京外学生以英语为第一外语的占 95％，今从全校新生中任选一名学生，求该生以英语为第一外语的概率.解设事件 A 表示“任选一名学生为北京考生” B 表示“任选一名学生，以英，语为第一外语”.依题意 P(A)＝0.3，P( A )＝0.7，P(B｜A)＝0.8，P(B｜ A )＝ 0.95.由全概率公式有 P(B)＝P(A)P(B｜A)＋P( A )P(B｜ A ) ＝0.3×0.8＋0.7×0.95＝0.905 37. A 地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比为 9 : 7 : 4，据统计资料，甲种疾病在该地三个小区内的发病率依次为4‰，2‰，5‰，求A 地的甲种疾病的发病率.解设事件 A1，A2，A3 分别表示从 A 地任选一名居民其为南、北、中行政小区，易见 A1，A2，A3 两两互不相容，其和为Ω.设事件 B 表示“任选一名居民其患有甲种疾病” ，依题意： P(A1)＝0.45，P(A2)＝0.35，P(A3)＝0.2， P(B｜A1)＝0.004，P(B｜A2)＝0.002，P(B｜A3)＝0.005 3 ＝∑ P( Ai ) P( B | Ai ) i =1 0 .4 4 = 1 ? 0 .3 7 ＝ 0.45 × 0.004 + 0.35 × 0.002 + 0.2 × 0.005 ＝0.0035 38.一个机床有三分之一的时间加工零件 A，其余时间加工零件 B，加工零件 A 时，停机的概率为 0.3，加工零件 B 时停机的概率为 0.4，求这个机床停机的概率.解设事件 A 表示“机床加工零件A” ，则 A 表示“机床加工零件B” ，设事件 B 表示“机床停工”. P ( B ) = P ( A ) P ( B | A) + P ( A ) P ( B | A) 1 2 = 0.3 × + 0.4 × = 0.37 3 3 39.有编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的 3 个口袋，其中Ⅰ号袋内装有两个 1 号球，1 个 2 号球与 1 个 3 号球，Ⅱ号袋内装有两个 1 号球和 1 个 3 号球，Ⅲ号袋内装有 3 个 1 号球与两个 2 号球，现在先从Ⅰ号袋内随机地抽取一个球，放入与球上号数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几号球的概率最大，为什么? 解设事件 Ai 表示“第一次取到 i 号球” Bi 表示第二次取到 i 号球，i＝1，2，， 3.依题意，A1，A2，A3 构成一个完全事件组. P ( A1 ) = 1 1 , P ( A2 ) = P ( A3 ) = 2 4 1 1 , P ( B2 | A1 ) = P ( B3 | A1 ) = 2 4 1 1 , P ( B2 | A2 ) = P ( B3 | A2 ) = 2 4 1 1 1 , P ( B2 | A3 ) = , P ( B3 | A3 ) = 2 3 6 P ( B1 | A1 ) = P ( B1 | A2 ) = P ( B1 | A3 ) = 8 应用全概率公式P( B j ) = ∑ P( Ai ) P( B j | Ai ) 可以依次计算出 P( B1 ) = 1 , 3 i =1 2 P ( B2 ) = 13 11 , P( B3 ) = 48 48 .因此第二次取到 1 号球的概率最大.40.接 37 题，用一种检验方法，其效果是：对甲种疾病的漏查率为 5％(即一个甲种疾病患者，经此检验法未查出的概率为 5％)；对无甲种疾病的人用此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为 1％，在一次健康普查中，某人经此检验法查为患有甲种疾病，计算该人确实患有此病的概率.解设事件 A 表示“受检人患有甲种疾病” B 表示“受检人被查有甲种疾病” ，，由 37 题计算可知 P(A)＝0.0035，应用贝叶斯公式 P( A | B) = P ( A) P ( B | A) P ( A) P ( B | A) + P ( A) P ( B | A) 0.0035 × 0.95 = 0.0035 × 0.95＋0.9965 × 0.01 = 0.25 41.甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件，其各机床加工的零件数量之比为 5 : 3 : 2，各机床所加工的零件合格率，依次为 94％，90％，95％，现在从加工好的整批零件中检查出一个废品，判断它不是甲机床加工的概率.解设事件 A1，A2，A3 分别表示“受检零件为甲机床加工”“乙机床加工”“丙，，机床加工” B 表示“废品” ，，应用贝叶斯公式有 P( A1 | B) = P( A1 ) P( B | A1 ) i =1 ∑ P( Ai ) P( B | Ai ) = 3 0.5 × 0.06 3 = 0.5 × 0.06＋0.3 × 0.1＋0.2 × 0.05 7 4 P( A1 | B) = 1 ? P( A1 | B) = 7 42.某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车 4 种交通工具，其概率分别为 5％， 15％，30％，50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为 100％， 70％，60％与 90％，已知该旅行者误期到达，求他是乘坐火车的概率.解设事件 A1，A2，A3，A4 分别表示外出人“乘坐飞机”“乘坐火车”“乘坐轮，，船”“乘坐汽车” B 表示“外出人如期到达”.，， P( A2 | B) = P( A2 ) P( B | A2 ) ∑ P( Ai ) P( B | Ai ) i =1 4 = 0.15 × 0.3 0.05 × 0 + 0.15 × 0.3 + 0.3 × 0.4 + 0.5 × 0.1 =0.20943.接 39 题，若第二次取到的是 1 号球，计算它恰好取自Ⅰ号袋的概率.解39 题计算知 P(B1)＝ 1 ，应用贝叶斯公式 2 1 1 × P( A1 ) P( B1 | A1 ) 2 2 1 P( A1 | B1 ) = = = 1 P( B1 ) 2 244.一箱产品 100 件，其次品个数从 0 到 2 是等可能的，开箱检验时，从中随机地抽取 10 件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收，若已9 知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率.解设事件 Ai 表示一箱中有 i 件次品，i＝0, 1, 2. B 表示“抽取的 10 件中无次品” ，先计算P ( B ) 10 10 2 1 C99 C98 P ( B ) = ∑ P ( Ai ) P ( B | Ai ) = × (1 + 10 + 10 ) i =0 3 C100 C100 1 P( A0 | B) = = 0.37 3P ( B )45.设一条昆虫生产 n 个卵的概率为pn = λn n! e ?λ n=0, 1, 2, … 其中λ＞0，又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率等于 p(0＜p＜1).如果卵的孵化是相互独立的，问此虫的下一代有 k 条虫的概率是多少? 解设事件 An＝“一个虫产下几个卵” n＝0，1，2….BR＝“该虫下一代有 k 条，虫” k＝0，1，….依题意，P( An ) = pn = λn n! e ?λ 0 ? P( Bk | An ) = ? k k n?k ?Cn p q ∞ k＞n 0≤k ≤n ∞ 其中 q=1－p.应用全概率公式有 P( Bk ) = ∑ P ( An ) P( Bk | An ) = ∑ P( An ) P( Bk | An ) n =0 n=k ∞ =∑ n=l n! λ ?λ e p k q n?k n! k !( n ? k ) ! n (λp ) k ?λ ∞ (λq) n? k e ∑ k! n= k (n ? k ) ! 由于∑ (λq) ∞ (λ q ) n ? k = e λq ，所以有n = k ( n ? k ) ! n ? k =0 ( n ? k ) ! = n?k ∑ ∞ P( Bk ) = ( λ p ) k ? λ λq ( λ p ) p ? λp e e = e k! k k = 0, 1, 2,L 10习题二 1.已知随机变量 X 服从 0－1 分布，并且P{X≤0}＝0.2，求 X 的概率分布.解 X 只取 0 与 1 两个值， {X＝0}＝P{X≤0}－P{X＜0}＝0.2， {X ＝1}＝1－P{X P P ＝0}＝0.8.2.一箱产品 20 件，其中有 5 件优质品，不放回地抽取，每次一件，共抽取两次，求取到的优质品件数 X 的概率分布.解 X 可以取 0, 1, 2 三个值.由古典概型公式可知 C m C 2? m P { X = m } = 5 215 (m = 0, 1, 2) C20 依次计算得 X 的概率分布如下表所示： X P 0 21 38 1 15 38 2 2 383.上题中若采用重复抽取，其他条件不变，设抽取的两件产品中，优质品为 X 件，求随机变量 X 的概率分布.解 X 的取值仍是 0, 1, 2.每次抽取一件取到优质品的概率是 1/4，取到非优质品的概率是 3/4,且各次抽取结果互不影响，应用伯努利公式有 9 ?3? P{X = 0} = ? ? = 4 ? 16 ? 6 1 ? 1 ?? 3 ? P { X = 1 } = C 2 ? ?? ? = 4 ?? 4 ? 16 ? 1 ?1? P { X = 2 }= ? ? = 4 ? 16 ? 2 24.第 2 题中若改为重复抽取，每次一件，直到取得优质品为止，求抽取次数 X 的概率分布.解 X 可以取1, 2, …可列个值.且事件{X = n}表示抽取 n 次，前 n－1 次均未取到优质品且第 n 次取到优质品，其概率为 ? 3 ? ? 1 .因此 X 的概率分布为 ? ? n ?1 ?4? 4 1?3? P {X = n } = ? ? 4?4? n ?1 n = 1, 2, …5.盒内有 12 个乒乓球，其中 9 个是新球，3 个为旧球，采取不放回抽取，每次一个直到取得新球为止，求下列随机变量的概率分布.(1)抽取次数 X； (2)取到的旧球个数 Y .解 (1)X 可以取 1, 2, 3, 4 各值. 3 3 9 9 P { X =1 }= P {X = 2 } = × = 4 12 11 3 2 9 9 P { X = 3 }= × × = 12 11 10 220 44 11 P { X = 4 }= 3 2 1 9 1 × × × = 12 11 10 9 220 (2) Y 可以取 0, 1, 2, 3 各值. 3 P {Y = 0 }= P { X =1 }= 4 9 P {Y =1 }= P { X = 2 }= 44 9 P {Y = 2 }= P { X = 3 }= 220 1 P {Y = 3 }= P { X = 4 }= 2206.上题盒中球的组成不变，若一次取出 3 个，求取到的新球数目 X 的概率分布.解 X 可以取 0, 1, 2, 3 各值. C33 1 P {X = 0 } = 3 = C12 1 9 220P {X = 1 } = P {X = 2 } = P {X = 3 } = CC 27 = 3 C12 220 1 C92C3 108 = 3 220 C12 3 C9 84 = 3 C12 220 2 37.已知 P{X＝n}＝pn，n＝1, 2, 3, …, 求 p 的值.∞ 解根据∑ P { X = n }＝1 , 有n =1 1 = ∑ Pn = n=1 ∞ p 1? p 解上面关于 p 的方程，得 p ＝0.5. 8.已知 P{X＝n}=pn， n＝2, 4, 6, …，求 p 的值. 2 解 p2 + p4 + p6 + … = p 2 = 1 1? p 解方程，得p= ± 2 /29.已知 P{X＝n}=cn, n=1, 2, …, 100, 求 c 的值.100 解 1 = ∑ cn = c ( 1 + 2 + … + 100 ) ＝5050 c n =1 解得 c＝1/5050 .10.如果 pn＝cn＿2，n=1, 2, …, 问它是否能成为一个离散型概率分布，为什么? ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 解∑ pn = c ∑ 12 , 由于级数∑ 12 收敛, 若记∑ 12 =a,只要取 c = 1 , 则有∑ pn =1, 且 n =1 n=1 n n =1 n n =1 n a n =1 pn＞0.所以它可以是一个离散型概率分布.11.随机变量 X 只取 1, 2, 3 共三个值，其取各个值的概率均大于零且不相等并又组成等差数列，求 X 的概率分布.解设 P{X＝2}＝a，P{X＝1}＝a－d, P{X=3}=a+d.由概率函数的和为 1，可知 a= 1 , 但是 a－d 与 a+d 均需大于零, 3 因此｜d｜＜ 1 , X 的概率分布为 3 X 1 2 3 12 P 1 －d 3 1 3 3 1 +d 3 其中 d 应满足条件：0＜｜d｜＜ 1 12.已知 P { X 解∞ m =1 = m }= ∞ cλ ?λ ,m e m! m =1, 2, …, 且λ＞0, 求常数 c. 1 = ∑ p{X = m} = ∑ ∞ cλm ?λ e m =1 m ! = eλ 由于∑ ∞ λm m =0 m ! = 1+ ∑ ∞ λm , 所以有 m =1 m !13.甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，直到有一人投中为止，假定甲、乙二人投篮的命中率分别为 0.4 及 0.5，求： (1)二人投篮总次数 Z 的概率分布； (2)甲投篮次数 X 的概率分布； (3)乙投篮次数 Y 的概率分布.解设事件 Ai 表示在第 i 次投篮中甲投中，表示在第 j 次投篮中乙投中，=1, 3, j i 5, …, j=2, 4, 6,…,且 A1, B2, A3, B4，…相互独立. (1) P{Z = 2k ? 1} = p{A1 B1 L A 2 k ?3 B 2 k ?2 A2 k ?1 } = (0.6×0.5) k ?1 ·0.4 = 0.4(0.3) k ?1 k=1, 2, … P{Z = 2k } = p( A1 B1 L A2 k ?3 B 2 k ? 2 A2 k ?1 B2 k ) k = 0.5×0.6×(0.6×0.5) k ?1 =0.3 k=1, 2, … (2) P{X = n} = p{A1 B1 L A2 n?3 B 2n?2 A2 n?1 } + p A1 B1 L A 2 n ?3 B 2 n ?2 A2 n?1 B2 n = (0.6 × 0.5) n?1 (0.4 + 0.6 × 0.5) = 0.7 × 0.3n?1 n = 1, 2, K (3) P { Y = 0 } = P( A1 ) = 0.4 P { Y = n } = P A1 B1 K A 2 n?1 B2 n + P A1 B1 K A 2 n?1B 2 n A2 n+1 = (0.6 × 0.5) n?1 × 0.6 × (0.5 + 0.5 × 0.4) = 0.42 ×0.3n?1 n = 1, 2，K cλm ?λ ∑1 m ! e = c(e λ ? 1)e ?λ = c(1 ? e ?λ ) = 1 m= 1 解得c= 1 ? e ?λ { } { } { }14.一条公共汽车路线的两个站之间，有四个路口处设有信号灯，假定汽车经过每个路口时遇到绿灯可顺利通过，其概率为 0.6，遇到红灯或黄灯则停止前进，其概率为 0.4，求汽车开出站后，在第一次停车之前已通过的路口信号灯数目 X 的概率分布(不计其他因素停车).解 X 可以取 0, 1, 2, 3, 4 . P { X ＝0 } ＝0.4 P { X＝1 }＝0.6×0.4＝0.24 2 P { X＝2 } ＝0.6 ×0.4＝0.144 P { X＝3 } ＝0.63×0.4＝0.0864 P { X＝4 } ＝0.64＝0.1296 15. ?sin x , f ( x) = ? ? 0, x ∈ [ a , b] ，其他. 13 问 f(x)是否为一个概率密度函数，为什么?如果(1) a = 0 , b = π ; (2) a = 0 , b = π ; (3) a = π , b = 3 π . 2 2 解π 在〔0, π 2 〕与〔0, π〕上，sinx≥0,但是∫ 0π sin xdx ≠ 1, ? π ? 上,sinx ? ? 3 2 ∫ 0 sin xd x = 1, 而在?π, ? 2 ≤0.因此只有(1)中的 a, b 可以使 f (x)是一个概率密度函数. 16. ?x ? x , ? e 2c f ( x) = ? c ? 0, ? 2 x＞0 ，x ≤ 0.其中 c＞0，问 f(x)是否为密度函数，为什么? 解易见对任何x∈(－∞ , ＋∞) , f ( x ) ≥ 0，又∫ +∞ 0 x ? 2c e dx = 1 c x2 f(x)是一个密度函数. 17.解 ?2 x , f ( x) = ? ? 0， a＜x ＜a + 2.其他.问 f ( x )是否为密度函数，若是，确定 a 的值；若不是，说明理由.如果 f ( x )是密度函数，则 f ( x )≥0，因此a≥0，但是，当a≥0 时， 2 a +2 ∫ a 2 × dx = x | a = 4 a + 4 ≥ 4 a+2 由于∫+∞ f ?∞ ( x) dx 不是 1，因此 f ( x )不是密度函数.a ＜ x＜+ ∞ , 其他. 18.设随机变量 X～f ( x ) 2 ? , ? f ( x ) = ? π ( 1 + x2 ) ? 0, ? 确定常数 a 的值，如果 P { a ＜ x ＜ b } ＝0.5，求 b 的值.解+∞ 2 2 2 π dx = arctan x ∫ = ( ? arctan a) 2 a π (1 + x ) a π π 2 2 ?π ? 解方程 ? －arctana ? =1 π ?2 ? ∫ +∞ 得 a = 0 b P { 0 ＜ x ＜ b } = ∫0 f ( x ) dx = 2 2 arctan x |b = arctan b 0 π π 解关于 b 的方程：2 arctanb=0.5 π 得 b=1.19.某种电子元件的寿命 X 是随机变量，概率密度为 ?100 ? f ( x ) = ? x2 ? 0, ? x ≥ 100 , x＜100 . 3 个这种元件串联在一个线路中，计算这 3 个元件使用了 150 小时后仍能使线路正常工作的概率. 14 解串联线路正常工作的充分必要条件是 3 个元件都能正常工作.而三个元件的寿命是三个相互独立同分布的随机变量，因此若用事件 A 表示“线路正常工作” ，则 P ( A ) = [ P ( X ＞150) ]3 2 + ∞ 100 P { X ＞ 150 }＝∫ 150 dx = 2 x 3 8 P( A)= 27 20.设随机变量 X～f ( x )，f ( x )＝Ae－|x|，确定系数 A；计算 P { |X | ≤ 1 }.∞ 解 1 = ∫ ?+∞ Ae ? | x | dx = 2 A ∫ 0+∞ e ? x dx = 2 A 解得 A＝1 2 1 ?1 1 1 ?| x| e dx = ∫ e ? x dx 0 2 P {| X | ≤1 }= ∫ 21.设随机变量 Y 服从〔0, 5〕上的均匀分布，求关于 x 的二次方程 4x2＋4xY+Y+2=0 有实数根的概率.解 4x2+4xY+Y+2=0.有实根的充分必要条件是△＝b2－4ac =16Y2－16(Y+2)=16Y2－16Y－32≥0 设事件 P(A)为所求概率.则P ( A) = P {16Y 2 ? 16Y ? 32 ≥ 0 } = P { Y ≥ 2 } + P { Y ≤ ?1 } =0.6 22.设随机变量 X ～ f ( x )， ? c , ? f ( x) = ? 1 ? x 2 ? 0, ? | x | ＜1，其他.= 1 ? e ?1 ≈ 0.632 确定常数 c，计算P ? | X | ≤ 1 ? .? ? ? 2? 解 1 = ∫?1 1 c 1? x 2 dx = c arcsin x |1 1 = cπ ? c =1 π 1? 1 2 dx = arcsin x ? = 21 2 ? ∫? 2 π 1 ? x 2 π 1 1 2 0 ? P ? | X |≤ ? = 1 3 23.设随机变量 X 的分布函数 F ( x )为 ? 0, ? F ( x) = ? A x , ? 1, ? x＜0 ， 0＜x＜1 , x ≥ 1.确定系数 A，计算P { 0 ≤ X ≤ 0.25 }，求概率密度 f ( x ).解连续型随机变量 X 的分布函数是连续函数，F F (1－0)，有 A＝1. (1)＝ 15 ? 1 , ? f ( x ) = ?2 x ? 0, ? 0＜x＜1 , 其他. P { 0 ≤ X ≤ 0.25 } = F ( 0.25 ) ? F ( 0 ) = 0.5 24.求第 20 题中 X 的分布函数 F ( x ) .解 F ( x ) = P { X ≤ x } = ∫ ?x∞ 1 e ? | t | dt 2 当t ≤ 0 时， F ( x ) = ∫ ?∞ x 1 t 1 e dt = e x 2 2 当 t＞0 时， x 1 01 x1 F ( x ) = ∫ ?∞ e ? | t | dt = ∫ ?∞ e ?t dt + ∫0 e -t dt2 22 1 1 1 ?x ?x = + (1 ? e ) = 1 ? e 2 2 2 25.函数(1+x2)－1 可否为连续型随机变量的分布函数，为什么? 解不能是分布函数，因 F (－∞)＝ 1 ≠ 0.a ,确定 a 的值；求分布函数 26.随机变量 X ～ f ( x )，并且 f ( x ) = 2 π (1+ x ) F ( x )；计算 P { | X | ＜1 } .解 1 = ∫ ?∞ +∞ a a ∞ dx = arctan x +∞ = a ? π ( 1+ x2 ) π 因此a =1 F ( x) = ∫ ?∞ x 1 1 dt= arctan t ?x∞ 2 π ( 1+ t ) π 1 1 = + arctan x 2 π 1 1 1 1 P { | X | ＜1 } = ∫ ?1 dx = 2 ∫ 0 dx 2 π ( 1+ x ) π ( 1+ x2 ) 2 1 = arctan x 01 = π 2 27.随机变量 X 的分布函数 F ( x ) 为： A ? , ?1 ? F ( x) = ? x 2 ? 0, ? x＞2 ，x ≤ 2.确定常数 A 的值，计算P { 0 ≤ X ≤ 4 } .解由 F ( 2＋0 )＝F ( 2 )，可得1? A =0, 4 A=4 P { 0 ≤ X ≤ 4 } = P { 0＜X ≤ 4 } = F ( 4 ) ? F ( 0 ) = 0.75 f 28.随机变量 X～f ( x )， ( x )＝ A , 确定 A e x + e?x 的值；求分布函数 F ( x ) . 16 解 1 = ∫ ?∞ 因此A ex ∞ dx = A ∫ ? ∞ dx e x + e ?x 1 + e2x π = A arctan e x ∞∞ = A ? 2 A＝ 2 ，π ∞ ?∞ F (x)=∫ 2 2 dt = arctan et π ( et + e ?t ) π 2 = arctan e x π x x ?∞ 29.随机变量 X～f ( x )， ? 2x ? , 0＜x ＜a f ( x ) = ? π2 ? 0 , 其他.其他 ? 确定 a 的值并求分布函数 F ( x ) .解1 = ∫0 a 2x x2 dx = 2 2 π π a 0 = a2 π2 因此，a = π 当 0＜x＜π 时，F ( x ) ∫0 2t x2 dt = 2 π2 π ?0, x ≤ 0 ? 2 ?x F ( x) = ? 2 , x＜π 0＜?π ?1, x ≥ π ? x 30.随机变量 X 的分布函数为 ?0 , ? F ( x ) = ? a 2 x 2 + 2ax + 2 ?ax e , ?1 ? 2 ? x≤0 x＞0 (a＞0) 求 X 的概率密度并计算 P ? 0＜X＜ 1 ? . ? ? ? a ? 解当x ≤0 时，X 的概率密度 f ( x ) ＝0；当 x ＞ 0 时，f ( x ) ＝F′ ( x ) ? 0, ?f ( x ) = ? a 3 x 2 ?ax e , ? ? 2 x≤0, 0. x＞ 31.随机变量 X 服从参数为 0.7 的 0－1 分布，求 X2，X2－2X 的概率分布.解 X2 仍服从 0－1 分布，且 P { X2＝0 } ＝P { X＝0 } ＝0.3，P{X2＝1}＝P{X 1 ? 1 ? 1 ? ? P ? 0＜x＜ ? = P ? 0＜x ≤ ? = F ( ) ? F ( 0 ) a ? a ? a ? ? 5 ?1 = 1 ? e ≈ 0.08 2 17 ＝1}＝0.7 X2－2X 的取值为－1 与 0 , P{X2－2X＝0} ＝P { X ＝0 } ＝0.3 P { X2－2X＝－1 } ＝1－P { X＝0 } ＝0.7 32.已知 P { X＝10n } ＝P { X＝10-n }＝ 1n , n = 1 , 2 , K , 解 Y=lgX，求 Y 的概率分布. Y 的取值为±1, ±2 , … P { Y=n } =P { lgX=n } =P { X=10n } = 1 3 3 3 P { Y=－n } =P { lgX=－n } =P { x=10-n } ＝ 1 n＝1 , 2 , … 33. X 服从〔a , b〕上的均匀分布，Y=ax+b (a≠0)，求证 Y 也服从均匀分布.证设Y 的概率密度为 fY ( y ) ，X 的概率密度为 fX ( x )，只要 a ≠ 0， y = ax + b 都是 x 的单调函数.当 a ＞ 0 时，Y 的取值为〔a2+b , ab+b〕, x=h( y)= 1 1 ( y ? b ) , h′ ( y ) = x ′ = y a a 1 f Y ( y ) = h′ ( y ) f X [ h ( y ) ] = , y ∈ [ a 2 + b , ab + b ], a (b?a ) 当y ∈ [ a 2 + b , ab + b ] 时， fY ( y ) =0.类似地，若 a＜0，则 Y 的取值为〔 ab+b ,a2+b 〕? ?1 , ? f Y ( y) = ? a(b ? a) ? 0, ? ab + b ≤ y ≤ a 2 + b , 其他.因此，无论 a＞0 还是 a＜0，ax+b 均服从均匀分布. 34.随机变量 X 服从〔0 , π 2 〕上的均匀分布 Y=cosX , 求 Y 的概率密度 fY ( y ).解 y=cosx 在〔0, h′ ( y ) = ?1 1? y 2 π 2 〕上单调，在(0 , 1)上，h ( y ) = x =arccosy 2 π , fx ( x ) = 0＜ y ＜1 , 其他., 0 ≤ x ≤ π 2 .因此 2 ? , ? fY ( y ) = ? π 1 ? y 2 ? 0， ? 35.随机变量 X 服从(0 , 1)上的均匀分布，Y=ex , Z =｜lnX｜，分别求随机变量 Y 与 Z 的概率密度 fY ( y ) 及 fZ ( z ) .解 y = ex 在(0 , 1)内单调 , x=lny 可导，且x′y = 1 , fX ( x ) =1 y 0 ＜ x ＜ 1 , 因此有 18 ?1 ? , fY ( y ) ? y ? 0, ? 1＜ y ＜ e , 其他.在(0 , 1)内 lnx ＜ 0｜lnx｜=-lnx 单调，且 x = e ? z ，x′z＝－e ? z ，因此有 ?e ? z ， fz ( z ) = ? ? 0, 0 ＜ z ＜+ ∞, 其他. 36.随机变量 X～f ( x ) ， ?e ? x , f (x)=? ? 0, x＞0 x≤0 Y = X , Z = X2 , 分别计算随机变量 Y 与 Z 的概率密度 fy ( y ) 与 fZ ( z ) .解当 x ＞ 0 时，y = x 单调，其反函数为x = y2 , x′y = 2y ?2 y e ? y , ? fY ( y ) = ? ? 0, ? 2 y＞0 , y ≤ 0. z 当 x ＞ 0 时 z＝x2 也是单调函数，其反函数为 x = ? 1 ? e ? f z ( z) = ? 2 z ? 0, ? z , x′ z= 1 2 z z＞0 ，z ≤ 0. (x)= 2 37.随机变量 X～f ( x )，当x ≥ 0 时, f π (1 + x 2 ) , Y=arctanX , Z = 解 1 X ,分别计算随机变量 Y 与 Z 的概率密度 fY ( y ) 与 fz ( z ) . ? 2? 其反函数x=tany , x′ y=sec2y 在? ? 0, π ? 内由于 y = arctanx 是单调函数，? ? π 2 2 f Y ( y ) = sec y = π (1 + tan 2 y ) π 即 Y 服从区间(0 , π )上的均匀分布. 2 1 z = 在 x＞0 时也是 x 的单调函数，其反函数 x= 1 x z 2 恒不为零，因此，当 0 ＜ y ＜ 2 时，, x′ z = ?1 . 2 z 因此当 z＞0 时，fz ( z ) = ?1 2 2 = 2 z π [ 1+ ( 1 )2 ] π ( 1 + z 2 ) z 2 ? , z＞0 ? f z ( z ) = ? π(1 + z 2 ) ? 0, z≤0 ? 19 即Z = 圆心在原点的圆的上半圆周上随机游动.求该质点横 38.一个质点在半径为 R，坐标 X 的密度函数 fX ( x ) .解如图，设质点在圆周位置为 M，弧 M A 的长记为 L，显然 L 是一个连续型随机变量，L 服从〔0，πR〕上的均匀分布.?1 , ? f L ( l ) = ? πR ? 0, ? 0 ≤ l ≤ πR ，其他. 1 X 与 X 同分布.M 点的横坐标 X 也是一个数，且图 2-1 随机变量，它是弧长 L 的函 X ＝Rcosθ ＝ Rcos 函数 x = Rcosl / R 是 l 的单调函数 ( 0＜ l ＜πR ) ,其反函数为 l ＝Rarccos x R ′ lx = ?R R2 ? x2 L R 当－R ＜ x ＜ R 时，L′x ≠ 0，此时有fX ( x ) = ?R R ?x 2 2 ? 1 1 = πR π R 2 ? x 2 当 x ≤ －R 或x ≥ R 时，fX ( x ) ＝0 . 39.计算第 2 ,3 , 5 , 6 , 11 各题中的随机变量的期望.解根据第 2 题中所求出的 X 概率分布，有EX = 0 × 21 15 2 1 + 1× + 2 × = 38 38 38 2 亦可从 X 服从超几何分布，直接计算EX = n N1 5 1 = 2× = N 20 2 + 1× 6 1 1 + 2× = 16 16 16 2 1 亦可从 X 服从二项分布(2， )，直接用期望公式计算：4 1 1 EX = np = 2 × = 4 2 9 9 1 + 3× + 4× = 1 .3 4 44 220 220 (2) EY = 0 × 3 +1 × 9 + 2 × 9 + 3 × 1 = 0.3 4 44 220 220 1 27 在第 6 题中，EX = 0 × +1 × + 2 × 108 + 3 × 84 = 2.25 220 220 220 220 1 ?1 ? ?1 ? 在第 11 题中， EX = 1 × ? ?d ? + 2 × + 3 × ? + d ? 3 ?3 ? ?3 ? 在第 3 题中EX = 0 × 9 在第 5 题中(1) EX = 1 × 3 + 2 × 20 = 2 + 2d 0＜｜d｜＜ 1 3 40. P { X = n } = c , n=1, 2, 3, 4, 5, 确定 C 的值并计算 EX.解n c c c c c 137c =1 ∑ =c+ + + + = n =1 n 2 3 4 5 60 5 C= 60 137 5 n =1 EX = ∑ n ? 41.随机变量X 只取－1, 0, 1 三个值，且相应概率的比为 1 : 2 : 3，计算 EX.解设 P { X ＝－1 } ＝ a，则 P { X ＝0 } ＝2a, P { X＝1 } ＝3a ( a＞0 ) ，因 a + 2a + 3a = 1 , 故 a ＝1/6 EX = ?1 × c 300 = 5C = n 137 42.随机变量 X 服从参数为 0.8 的 0－1 分布，通过计算说明 EX2 是否等于 ( EX )2 ? 解 EX ＝P { X＝1 } ＝0.8，( EX )2 ＝0.64 EX2＝1×0.8＝0.8＞( EX )2 43.随机变量 X～f ( x ) ，f ( x ) ＝0.5e- | x |，计算 EXn，n 为正整数.解当 n 为奇数时，x n f EX n = ∫ ?∞ 0.5x ne ? | x | dx = 0 +∞ 1 2 3 1 + 0 × + 1× = 6 6 6 3 ( x ) 是奇函数，且积分∫ 0 x n e ? x dx 收敛，因此∞ 当 n 为偶数时，EX n = ∫ ?∞ 0.5x n e ? | x | dx = 2∫ 0 0.5x n e ? x dx = ∫0 +∞ +∞ +∞ x n e ? x dx = Γ ( n + 1 ) = n ! 44.随机变量 X～f ( x ) ，? x, ? f ( x) = ?2 ? x , ? 0, ? n 0 ≤ x ≤1, 1＜x ＜2 , 其他.其他计算 EX (n 为正整数) .解EX n = ∫ ?∞ x n f ( x )dx = ∫ 0 x n+1dx + ∫ 1 ( 2 ? x ) x n dx 1 2 +∞ = 1 2 1 + ( 2 n+1 ?1 ) ? (2 n+ 2 ) ? 1 n + 2 n +1 n+2 2 n+2 ? 2 = ( n +1) ( n + 2 ) 45.随机变量 X～f ( x ) ，?cx b , f (x)=? ? 0, 0 ≤ x ≤1, 其他.其他 c =1 b +1 b,c 均大于 0，问 EX 可否等于 1，为什么? 解而EX = ∫ 0 cx b +1dx = 1 b ∫ ?∞ f ( x )dx = ∫ 0 cx dx = 1 +∞ c b+2 21 由于方程组 ? c ?b + 1 = 1 ? ? ? c =1 ?b + 2 ? 无解，因此 EX 不能等于 1. 46.计算第 6，40 各题中 X 的方差 DX .解在第 6 题中，从第 39 题计算知 EX＝ 9 ， 4 27 4 × 108 9 × 84 1215 EX = + + = 220 220 220 220 2 DX＝EX2－( EX )2≈0.46 在第 40 题中，已计算出 EX＝300 , 137 c 5 EX 2 = ∑ n 2 × = ∑ cn = 15c n =1 n n=1 900 = 137 5 DX=EX2-(EX)2≈1.77 47.计算第 23，29 各题中随机变量的期望和方差.解在第 23 题中，由于 f ( x ) ＝ 1 （0＜x＜1）,因此2 x 1 1 EX = ∫ 0 dx = 3 2 x 2 x 1 1 EX 2 = ∫ 0 dx = 5 2 x x DX = EX2－( EX )2 =4 45 π 在第 29 题中，由于 f ( x ) ＝ 2x ( 0＜x＜π ) , 因此2 EX = ∫ 0 2x 2 dx = π 2 π 3 2x3 π2 π EX 2 = ∫ 0 2 dx =π 2 π 2 2 DX＝EX2－( EX )2= π 解∞ EY= ∫ ?+∞ yfY ( y ) dy = ∫ 01 2 18 dy = 2 π 48.计算第 34 题中随机变量 Y 的期望和方差.2y π 1? y 2 EY2= ∫ 01 2 2y π 1? y2 dy = 1 2 DY= 1 ? 4 π2 ? 8 = π2 2π 2 49.已知随机变量 X 的分布函数 F ( x ) 为： 22 F ( x ) 0, ? ? 2 ?1 + x + x , 2 = ?2 ? 2 ? 1 + x－ x ， ?2 2 ? 1, ? x＜ ? 1，? 1 ≤ x＜0 ，0 ≤ x ＜1，x ≥ 1.计算 EX 与 DX .解依题意，X 的密度函数 f ( x ) 为： ?1 + x , ? f ( x ) = ?1 ? x , ? 0，? ? 1 ≤ x＜0 ，0 ≤ x＜1，其他.解EX＝∫ ?01 x ( 1 + x ) dx + ∫ ?01 x ( 1 ? x ) dx = 0 EX2= ∫ ?01 x 2 ( 1 + x ) dx + ∫ 01 x 2 ( 1 ? x ) dx = 1 DX= 16 6 50.已知随机变量 X 的期望 EX＝μ，方差 DX＝σ2，随机变量 Y = 和 DY .解 EY = 1 ( EX－μ ) ＝0 σ X ?? σ , 求EY DY = DX σ2 =1 1 ) 4 51.随机变量 Yn～B ( n, 并画出概率函数图. ,分别就 n=1, 2, 4, 8, 列出 Yn 的概率分布表，解 Y1 P Y3 P Y4 P 0 3 4 1 1 4 Y2 P 1 27 64 0 9 16 1 6 16 2 1 16 0 27 64 2 9 64 3 1 64 0 81 256 1 108 256 2 54 256 3 12 256 4 1 256 Y8 0 1 2 3 4 5 6 78 23 P 6561 1749 2041 1360 5670 1512 252 24 a a 6a 2a 8a a a a a 其中a = 1/65536 .图略. 52.设每次试验的成功率为 0.8，重复试验 4 次，失败次数记为 X，求 X 的概率分布.解 X 可以取值 0, 1, 2, 3, 4 .相应概率为 P ( X＝m ) ＝C44?m × 0.84?m × 0.2m ( m=0, 1, 2, 3, 4 ) 计算结果列于下表 X P 0 1 2 3 4 0.4096 0.4096 0.1536 0.0256 0.0016 53.设每次投篮的命中率为 0.7，求投篮 10 次恰有 3 次命中的概率；至少命中 3 次的概率.解记 X 为 10 次投篮中命中的次数，则 X～B ( 10 , 0.7 ) . 3 P { X = 3 } = C10 0.7 3 0.37 ≈ 0.009 P { X ≥ 3 }= 1? P { X = 0 }? P { X = 1 }? P { X = 2 } =1－0.310－10×0.7×0.39－45×0.72×0.38 ≈0.9984 54．掷四颗骰子，求“6 点”出现的平均次数及“6 点”出现的最可能（即概率最大）次数及相应概率.解掷四颗骰子，记“6 点”出现次数为 X，则 X～B（4， 1 ）.6 EX = np =2 3 55．已知随机变量 X～B（n, p），并且 EX=3，DX=2，写出 X 的全部可能取值，并计算P { X ≤ 8 } .解根据二项分布的期望与方差公式，有 ?np = 3 ? ?npq = 2 5 ，其 X 的最可能值为〔 6 5 625 P { X = 0 } = ( )4 = 6 1296 500 若计算 P { X = 1 } = ，显然 P { x = 2 } , P { x = 3 } , 1296 P { x = 4 } 概率更小.由于 np + p = np + p 〕=0 解方程，得q= 2 ，p= 1 ，n=9 . 3 3 X 的全部可能取值为0, 1, 2, 3, …, 9 .P { X ≤ 8 }= 1? P { X = 9 } = 1－( 1 ) 9 ≈ 0.9999 56．随机变量 X～B（n，p）EX=0.8，EX2=1.28，问 X 取什么值的概率最大，其，概率值为何? 解由于 DX = EX2－(EX)2=0.64, EX=0.8, 即 3 24 ?npq = 0.64 ? ?np = 0.8 解得 q = 0.8，p = 0.2，n = 4 .由于 np+p=1，因此 X 取 0 与取 1 的概率最大，其概率值为 P { X = 0 } = P { X = 1 } = 0.8 4 = 0.4096 57．随机变量 X～B（n, p）Y=eaX，计算随机变量 Y 的期望 EY 和方差 DY .，解随机变量 Y 是 X 的函数，由于 X 是离散型随机变量，因此 Y 也是离散型随机变量，根据随机变量函数的期望公式，有i EY = ∑ e ai P｛X = i｝∑ e ai C n p i q n?i = i=0 n i =0 n n ∑ C (e p ) q = i =0 i n a i n i =0 n?i = (e a p + q ) n EY 2 = ∑ (e ai ) 2 P｛X = i｝ i ∑ C n (e 2 a p) i q n ?i = (e 2 a p + q) n = i =0 n DY = (e 2 ap + q) n ? (e ap + q ) 2 n 58.从一副扑克牌（52 张）中每次抽取一张，连续抽取四次，随机变量 X，Y 分别表示采用不放回抽样及有放回抽样取到的黑花色张数，分别求 X，Y 的概率分布以及期望和方差.解 X 服从超几何分布，Y 服从二项分布 B（4， 1 ）.2 P ｛X = m｝ = C C C m 26 4?m 26 4 52 1 1 (m = 0,1,2,3,4) P｛Y = m｝ C 4m ( ) m ( ) 4?m (m = 0,1,2,3,4) = 2 2 具体计算结果列于下面两个表中. X P Y P EX = n 0 1 2 3 4 46/833 208/833 325/833 208/833 46/833 1 4/16 2 6/16 3 4/16 4 1/16 0 1/16 59.随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，查表写出概率 P｛X = m｝m = 0,1,2,3,4 并与 , 上题中的概率分布进行比较.X N1 26 = 4× =2 N 52 N N N ?n 26 26 48 16 DX = n 1 ? 2 ? = 4× × × = N N N ?1 52 52 51 17 1 EY = np = 4 × = 2 DY = npq = 1 2 P 0 1 2 3 4 0.1353 0.2707 0.2707 0.1804 0.0902 60．从废品率是 0.001 的 100000 件产品中，一次随机抽取 500 件，求废品率不超过 0.01 的概率.解设 500 件中废品件数为X，它是一个随机变量且 X 服从 N=100000， N1 =100， n=500 的超几何分布.由于 n 相对于 N 较小，因此它可以用二项分布 B 500，（ 0.001）近似.又因在二项分布 B（500，0.001）中，n=500 比较大，而 p=0.001 非常小， 25 因此该二项分布又可用泊松分布近似，其分布参数λ=np=0.5.? X P? ≤ 0.001 } = P｛X ≤ 5｝ ? 500 5 0 .5 m e ?0.5 = 0.999986 ≈ ∑ m = 0 m! 61.某种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有 0.8 个疵点，若规定疵点数不超过 1 个为一等品，价值 10 元；疵点数大于 1 不多于 4 为二等品，价值 8 元；4 个以上者为废品，求：（1）产品的废品率；（2）产品价值的平均值解设 X 为一件产品表面上的疵点数目，（1） P｛X＞4｝= 1 ? P｛X ≤ 3｝= 1 ? ∑ P｛X = m｝ 0.0014 = m=0 3 （2）设一件产品的产值为 Y 元，它可以取值为 0，8，10.EY = 0 × P｛Y = 0｝ 8 × P｛Y = 8｝ 10 × P｛Y = 10｝ + + 1 ｝ = 8P｛＜X ≤ 4｝ 10 P｛X ≤ 1 + = 8 × 0.1898 + 10 × 0.8088 ≈ 9.61(元) 62．设书籍中每页的印刷错误服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误的页数与有 2 个印刷错误的页数相同，求任意检验 4 页，每页上都没有印刷错误的概率.解设一页书上印刷错误为X ，4 页中没有印刷错误的页数为 Y ，依题意， P｛X = 1 = P｛X = 2｝｝即λe ? λ = λ22! e ?λ 解得λ=2，即 X 服从λ=2 的泊松分布. p = P｛X = 0｝ e ?2 = 显然 Y～B (4, e ?2 ) 63．每个粮仓内老鼠数目服从泊松分布，若已知一个粮仓内，有一只老鼠的概率为有两只老鼠概率的两倍，求粮仓内无鼠的概率.解设 X 为粮仓内老鼠数目，依题意 P｛X = 1 = 2 P｛X = 2｝｝P｛Y = 4｝p 4 = e ?8 = λe ? λ = 2 × λ2 2! e ?λ 解得λ=1. P｛X = 0｝ e ?1 = 64．上题中条件不变，求 10 个粮仓中有老鼠的粮仓不超过两个的概率.解接上题，设 10 个粮仓中有老鼠的粮仓数目为 Y，则 Y～B（10，p），其中 P = X＞0｝ 1 ? P｛X = 0｝ 1 ? e ?1 , q = e ?1 ｛ = = P｛Y ≤ 2｝= P｛ Y = 0｝ P｛ Y = 1 + P｛ Y = 2｝ + ｝ = e ?8 (36e ?2 ? 80e ?1 + 45) ，65．设随机变量 X 服从 [2, 3] 上的均匀分布，计算 E(2X)，D（2X） D(2 X )2 . 26 解 1 76 , EX 2 = DX + ( EX ) 2 = 12 12 1 E(2X)=5，D(2X)=4DX= ，3 2 2 2 D (2 X ) = D (4 X ) = 16 DX = 16 EX 4 ? ( EX 2 ) 2 211 3 EX 4 = ∫ 2 x 4 dx =5 211 5776 1504 DX 2 = EX 4 ? ( EX 2 ) 2 = ? = 5 144 720 1504 D (2 X ) 2 = 16 DX 2 = 45 EX=2.5，DX= [ ] 66．随机变量 X 服从标准正态分布，求概率P X ≤ 3｝ P 2.35 ≤ X ≤ 5｝P X ≤ 1｝P X ≤ ?7｝., ｛ ,｛ , ｛｛解P X ≤ 3｝= Φ (3) = 0.9987 ｛ P 2.35 ≤ X ≤ 5 = Φ (5) ? Φ (2.35) = 0.0094 ｛｝P X ≤ 1 = Φ (1) = 0.8413 ｛｝P X ≤ ?7 = 1 ? Φ (7) = 0 ｛｝ 67．随机变量 X 服从标准正态分布，确定下列各概率等式中的 a 的数值： = （2）P{ X ≤ a} = 0.9; （1） P｛X ≤ a｝ 0.9; ；（3）P{X ≤ a} = 0.97725; （4）P{ X ≤ a} = 0.1; 解（1）P { X ≤ a} = Φ (a) = 0.9 ，查表得 a=1.28 （2）P { X ≤ a} = 2Φ (a ) ? 1 = 0.9 ，得Φ（a）=0.95，查表得 a=1.64 （3）P { X ≤ a} = Φ (a) = 0.97725 ，查表得 a =2 （4）P{ X ≤ a} = 2Φ(a) ? 1 = 0.1 ，得Φ (a)= 0.55，查表得 a = 0.13 68.随机变量 X 服从正态分布 N (5,2 2 ) ，求概率 P{5＜X ＜8}, P{X ≤ 0} , P{ X ? 5 ＜2}.解 ?8?5? ?5?5? P{5＜X＜8} = Φ ? ? ?Φ ? ? ?2 ? ? 2 ? = Φ (1.5) ? Φ (0) = 0.4332 P {X ≤ 0} = Φ (? 2.5) = 1 ? Φ (2.5) = 0.0062 ? X ?5 ? P{ X ? 5 ＜2} = P ? ≤ 1? = 2Φ (1) ? 1 2 ? ? =0.6826 69．随机变量 X 服从正态分布N ( ? ,σ 2 ) ，若 P{X＜9} = 0.975 , P{X＜2} = 0.062 ，计算μ 和σ 的值，求 P{X＞6}. ?9?? ? 解 P{X＜9} = Φ ? ? = 0.975 ? σ ? ?2?? ? ? ? ?2? P{X＜2} = Φ? ? = 0.062, Φ? ? = 0.938 ? σ ? ? σ ? 查表得：27 ?9 ? ? ? σ = 1.96 ? ? ? ? ? 2 = 1.54 ? σ ? 解以μ 和σ 为未知量的方程组，得μ =5.08，σ=2. P{X＞6} = 1 ? P{X ≤ 6} = 1 ? Φ (0.46) =0.3228 70．已知随机变量 X～N (10,2 2 ) ， P{X ? 10＜c} = 0.95 ， P{X＜d} = 0.023 ，确定 c 和 d 的值.? X ? 10 c ? P{ X ?10 ＜c} = P ? ＜? 2? ? 2 = 2Φ ? c ? ? 1 = 0.95 ? ? ?2? ?c? Φ ? ? = 0.975 ， ?2? 查表得 c = 1.96, c = 3.92 2 ? d ? 10 ? P{X＜d} = Φ ? ? = 0.023 ? 2 ? 解 ? 10 ? d ? ? = 0.977 ? 2 ? 查表得 ? 10 ? d ? = 2, d = 6 ? ? ?2 ? Φ? 71．假定随机变量 X 服从正态分布N ( ? ,σ 2 ) ，确定下列各概率等式中 a 的数值：（1）P{? ? aσ＜X＜? + aσ } = 0.9; （2）P{? ? aσ＜X＜? + aσ } = 0.95; （3） P{? ? aσ＜X＜? + aσ } = 0.99; 解 ? X ?? ? P{? ? aσ＜X＜? + aσ } = P ? ＜a ? ? σ ? =2Φ(a) -1 （1）2Φ (a)-1=0.9，Φ (a)=0.95，a=1.64；（2）2Φ (a)-1=0.95，Φ (a)=0.975, a=1.96；（3）2Φ (a)-1=0.99，Φ (a)=0.995，a=2.58. 72．某科统考的考试成绩 X 近似服从正态分布 N (70, 10 2 ) , 第 100 名的成绩为 60 分，问第 20 名的成绩约为多少分? 解P{X ≥ 60} ≈ 1 ? P{X ≤ 60} = 1 ? Φ ? 60 ? 70 ? ? ? ?10 ? = Φ (1) = 0.8413.设参加统考人数为 n，则 100 =0.8413，n= 100 ≈ 19 n 0.8413 设第 20 名成绩约为 a 分，则P{X ≥ a} = 20 ≈ 0.1681 n 28 P{X ≤ a} = 0.8319 ? a ? 70 ? ? = 0.8319 ? 10 ? 查表得 a ? 70 = 0.96 10。

1-1.为了分析广告费和销售的函数关系，Smith公司的销售经理研发了一个简单的回归模型，该模型包括了以下等式。

这个等式是基于32个月的销售和广告费数据，与确定系数0.9S = $10,000 + $2.50AS = 销售A = 广告费用如果Smith公司某一个月的广告费用为$1,000，销售的预测值为A.$2,500.B.$11,250.C.$12,250.D.$12,500.1-2.下列哪项概率分布能提供最大的货币期望值？方案1 方案2 方案3 方案4概率现金流入概率现金流入概率现金流入概率现金流入10% $50,000 10% $50,000 10% $50,000 10% $150,000 20% $75,000 20% $75,000 20% $75,000 20% $100,000 40% $100,000 45% $100,000 40% $100,000 40% $75,000 30% $150,000 25% $150,000 30% $125,000 30% $50,000A.方案1.B.方案2.C.方案3.D.方案4.1-3.在编制年度总经营预算时，以下哪一项最好地表述了顺序？A.生产预算、直接材料预算、销售预算B.生产预算、销售预算、直接材料预算C.销售预算、生产预算、直接材料预算D.销售预算、直接材料预算、生产预算1-4.Hannon零售公司以成本加成30%为产品定价。

Hannon预计7、8、9三个月的销售额分别为$715,000、$728,000和$624,000。

Hannon的月末存货政策是持有下月销售额的25%。

那么Hannon8月份存货的预算采购金额为多少？A.$509,600.B.$540,000.C.$560,000.D.$680,000.1-5.ANNCO公司以赊销的方式出售产品，以下是账款回收的方案：销售当月10%销售之后的一个月60%销售之后的两个月30%在12月31日，ANNCO报告的应收账款为$211,500，其中$162,000是12月份的应收款，$49,500是11月份的。

第八章 统计与统计案例第1节 随机抽样最新考纲：1．理解随机抽样的必要性和重要性；2．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；3.了解分层抽样和系统抽样方法．会用随机抽样的基本方法解决一些简单的实际问题．1．简单随机抽样(1)定义：设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(n ≤N )，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．2．系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本．(1)先将总体的N 个个体编号．(2)确定分段间隔K ，对编号进行分段，当N n 是整数时，取k ＝N n ，当N n不是整数时，随机从总体中剔除余数，再取k ＝N ′n(N ′为从总体中剔除余数后的总数)． (3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k )．(4)按照一定的规则抽取样本，通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号(l ＋k )，再加k 得到第3个个体编号(l ＋2k )，依次进行下去，直到获取整个样本．3．分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．(2)分层抽样的应用范围： 当总体由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．【例1】下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为( )①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本．②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里．③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验．④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．A ．0B ．1C ．2D ．3【例2】（2017•葫芦岛模拟）福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01，02，03，…，32，33这33个二位号码中选取，小明利用如图所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列和第10列的数字开始从左到右依次选取两个数字，则第四个被选中的红色球号码为（ ）A ．12B ．33C ．06D ．16【例3】(教材习题改编)老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法是( )A ．随机抽样B ．分层抽样C ．系统抽样D ．以上都不是【例4】某地区有小学150所，中学75所，大学25所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取________所学校，中学中抽取________所学校．【例5】哈六中2016届有840名学生，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为________．【例6】(2017·西安质检)对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1=p 2<p 3B ．p 2=p 3<p 1C ．p 1=p 3<p 2D ．p 1=p 2=p 3【变式1】（2017•大连二模）某单位员工按年龄分为A ，B ，C 三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知C 组中某个员工被抽到的概率是91，则该单位员工总数为（ ）A ．110B ．10C ．90D ．80【变式2】（2017•黄州区三模）某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19【变式3】（2017•宣城二模）一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是72，则男运动员应抽取（ ） A ．18人B ．16人C ．14人D ．12人1．为了了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样 2．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是( )A ．5,10,15,20,25B ．3,13,23,33,43C ．1,2,3,4,5D ．2,4,6,16,323．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n ＝( )A ．9B ．10C ．12D ．134．将参加英语口语测试的1 000名学生编号为000,001,002，…，999，从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组编号为000,001,002，…，019，且第一组随机抽取的编号为015，则抽取的第35个编号为( )A ．700B ．669C ．695D ．6765．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生2 000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生比男生少6人，则该校共有女生( )A ．1030人B ．97人C ．950人D ．970人第2节用样本估计总体最新考纲：1.了解分布的意义与作用，能根据概率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点.2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释.4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．理解用样本估计总体的思想，会用样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．1．频率分布直方图(1)频率分布表的画法： 第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝极差组数； 第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图．横轴表示样本数据，纵轴表示频率组距，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率．2．茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数.3．样本的数字特征题型一 茎叶图【例1】(必修3P70改编)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是()A．91.5和91.5B．91.5和92C．91和91.5D．92和92【例2】（2016•唐山一模）为迎接即将举行的集体跳绳比赛，高一年级对甲、乙两个代表队各进行了6轮测试，测试成绩（单位：次/分钟）如表：（1）补全茎叶图并指出乙队测试成绩的中位数和众数；（2）试用统计学中的平均数、方差知识对甲乙两个代表队的测试成绩进行分析．【变式1】如图，茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为()A．2,5B．5,5C．5,8D．8,8【变式2】（2015秋•宣城期末）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：（1）用茎叶图表示这两组数据；（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中选两个）考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．题型二频率分布直方图【例1】(教材习题改编)某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组，分组区间为[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55)，[55,60]，由此得到频率分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45岁的有________人．【例2】(2017·济南调研)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，......，第五组.下图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为_______．【变式1】（2017•东台市模拟）从高三年级随机抽取100名学生，将他们的某次考试数学成绩绘制成频率分布直方图．由图中数据可知成绩在[130，140）内的学生人数为_______．【变式2】（2016秋•威海期末）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从身高在[100，110），[110，120），[120，130）三组内的学生中，用分层抽样的方法选取28人参加一项活动，则从身高在[120，130）内的学生中选取的人数应为_______．【例3】(2016·四川卷)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，……，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中a的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；（3）估计居民月均用水量的中位数.【变式3】（2017•灵丘县四模）为对考生的月考成绩进行分析，某地区随机抽查了10000名考生的成绩，根据所得数据画了如下的样本频率分布直方图．（1）求成绩在[600，650）的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；（3）为了分析成绩与班级、学校等方面的关系，必须按成绩再从这10000人中用分层抽样方法抽出20人作进一步分析，则成绩在[550，600）的这段应抽多少人？【例4】（2017•唐山二模）共享单车的出现方便了人们的出行，深受我市居民的喜爱．为调查某校大学生对共享单车的使用情况，从该校8000名学生中按年级用分层抽样的方式随机抽取了100位同学进行调查，得到这100名同学每周使用共享单车的时间（单位：小时）如表：（1）已知该校大一学生由2400人，求抽取的100名学生中大一学生人数；（2）作出这些数据的频率分布直方图；（3）估计该校大学生每周使用共享单车的平均时间t（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．【变式4】(2014·全国Ⅰ卷)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：（1）作出这些数据的频率分布直方图：（2）估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？【例5】（2017•肇庆三模）某市房产契税标准如下：从该市某高档住宅小区，随机调查了一百户居民，获得了他们的购房总额数据，整理得到了如下的频率分布直方图：（1）假设该小区已经出售了2000套住房，估计该小区有多少套房子的总价在300万以上，说明理由．（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，估计该小区购房者缴纳契税的平均值．【变式5】(2016·北京卷)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费.1．重庆市2016年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图，则这组数据的中位数是()A．19B．20C．21.5D．232．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A．134石B．169石C．338石D．1365石3．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是()A．45B．50C．55D．604．(2016·全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图9-3-11中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是()A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个5.（2015•广东）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？第3节线性回归方程最新考纲：1.会做两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系.2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归系数公式不要求记忆).3.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.1．回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是散点图；统计量有相关系数与相关指数．（1）在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．（2）在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关． （3）如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系． 2．线性回归方程（1）最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． （2）回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则∑∑∑∑====∧--=---=ni i ni ii ni i ni i ixn x yx n yx x x y y x xb 1221121)())((，x b y a ∧∧-=.其中，b ^是回归方程的斜率，a ^是在y轴上 的截距． 3．相关系数a ．计算公式：∑∑∑===----=ni ni iini ii y yx x y yx x r 11221)()())((b ．当r >0时，表明两个变量正相关；当r <0时，表明两个变量负相关．r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间相关性越弱．通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．题型一 相关关系的判断【例】某公司2010～2015年的年利润x （单位：百万元）与年广告支出y （单位：百万元）的统计资料如下表所示：根据统计资料，则（ ）A．利润中位数是16，x与y有正线性相关关系B．利润中位数是17，x与y有正线性相关关系C．利润中位数是17，x与y有负线性相关关系D．利润中位数是18，x与y有负线性相关关系【变式】对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i ＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关题型二线性回归分析【例1】（2017•延边州模拟）如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为yˆ=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）A．线性回归直线一定过点（4.5，3.5）B．产品的生产能耗与产量呈正相关C ．t 的取值必定是3.15D ．A 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨【变式1】（2017•南昌一模）设某中学的高中女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i =1，2，3，…，n ），用最小二乘法近似得到回归直线方程为yˆ＝0.85x−85.71，则下列结论中不正确的是（ ）A ．y 与x 具有正线性相关关系B ．回归直线过样本的中心点(y x ,)C ．若该中学某高中女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该中学某高中女生身高为160cm ，则可断定其体重必为50.29kg【例2】（2017•西青区模拟）为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：据上表得回归直线方程a x b yˆˆˆ+=，其中76.0ˆ=b ，x b y a ˆˆˆ-=，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ）A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元【变式2】（2017•成都四模）广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：由表可得到回归方程为a x y ˆ2.10ˆ+=，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为（ ）A．101.2 B．108.8 C．111.2D．118.2题型三线性相关关系检验【例1】（2017•广西一模）在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了四个不同的模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的为（）A．模型①的相关指数为0.976 C．模型③的相关指数为0.076 B．模型②的相关指数为0.776 D．模型④的相关指数为0.351【例2】（2015春•祁县期中）某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：求年推销金额y与工作年限x之间的相关系数.【变式】（2017•泉州模拟）关于衡量两个变量y与x之间线性相关关系的相关系数r与相关指数R2中，下列说法中正确的是（）A．r越大，两变量的线性相关性越强C．r的取值范围为（-∞，+∞）B．R2越大，两变量的线性相关性越强D．R2的取值范围为[0，+∞）题型四线性回归方程【例1】（2017•乐东县一模）某公司经营一批进价为每件4百元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x（百元）与日销售量y（件）之间有如下关系：（1）求y 关于x 的回归直线方程；（2）借助回归直线方程请你预测，销售单价为多少百元（精确到个位数）时，日利润最大？【变式1】（2017•全国模拟）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i （单位：千元）与月储蓄y i （单位：千元）的数据资料，算得∑==10180i ix，∑==10120i iy，∑==101184i ii yx ，∑==1012720i ix．（1）求家庭的月储蓄y 关于月收入x 的线性回归方程a x b yˆˆˆ+=； （2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．【例2】（2017•甘肃一模）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2017年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：32.971=∑=i iy，17.4071=∑=i ii yt ，55.0)(271=-∑=y yi i，646.27≈．参考公式：相关系数()()niit t y y r --=∑回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()nii i nii tt y y b tt==--=-∑∑，=.a y bt -【例3】（2017•河南一模）为了对2016年某校中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学分数（已折算为百分制）从小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95．（1）若规定85分以上为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率； （2）若这8位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表：①用变量y 与x 、z 与x 的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度；②求y 与x 、z 与x 的线性回归方程（系数精确到0.01），当某同学的数学成绩为50分时，估计其物理、化学两科的得分．参考公式：相关系数∑∑∑===----=ni ni i i ni ii y y x x y yx x r 11221)()())((，∑∑==---=ni ini i ix xy y x xb 121)())((．参考数据：5.77=x ，85=y ，81=z ，1050)(812≈-∑=i ix x，456)(812≈-∑=i iy y，550)(812≈-∑=i iz z，668)()(81≈--∑=y y x xi i i，755)()(81≈--∑=z z x xi i i，4.321050≈，4.21456≈，5.23550≈．【变式2】（2017•汕头一模）二手车经销商小王对其所经营的A型号二手汽车的使用年数x与销售价格y （单位：万元/辆）进行整理，得到如下数据：下面是z关于x的折线图：（1）由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z 与x 的关系，请用相关数加以说明；（2）求y 关于x 的回归方程并预测某辆A 型号二手车当使用年数为9年时售价约为多少？（a bˆ,ˆ小数点后保留两位有效数字）．（3）基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7118元，请根据（2）求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年？参考数据：4.18761=∑=i ii yx ，64.4761=∑=i ii zx ，139612=∑=i i x ，96.13)(261=-∑=y y i i，53.1)(261=-∑=z zi i，38.046.1ln ≈，34.07118.0ln ≈．【例4】（2015高考新课标1，文19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.y46.6 56.3 6.8表中i w w =1881i i w =∑.（1）根据散点图判断，y a bx =+与y c d x =+，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（I ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程.附：对于一组数据),(),,(2211v u v u ，……，),(n n v u ,其回归线u v βα+=的斜率和截距的最小二乘估计分别为：∑∑==---=ni ini i iu uv v u u121)())((ˆβ.【变式3】（2017•衡水金卷一模）某种新产品投放市场一段时间后，经过调研获得了时间x（天数）与销售单价y（元）的一组数据，且做了一定的数据处理（如表），并作出了散点图（如图）．于时间x的回归方程类型？（不必说明理由）（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；求该产品投放市场第几天的销售额最高？最高为多少元？1.(2015·全国卷Ⅱ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是()A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关2.(2017·贵阳检测)若8名学生的身高和体重数据如下表：第3_____kg. 3.（2017•合肥三模）网络购物已经成为一种时尚，电商们为了提升知名度，加大了在媒体上的广告投入．经统计，近五年某电商在媒体上的广告投入费用x （亿元）与当年度该电商的销售收入y （亿元）的数据如下表：）：（1）求y 关于x 的回归方程；（2）2017年度该电商准备投入广告费1.5亿元，利用（Ⅰ）中的回归方程，预测该电商2017年的销售收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：∑∑==---=ni ini i ix xy y x xb 121)())((，选用数据：1.1231=∑=ni ii yx ，1.512=∑=ni ix4.（2017•包头一模）如图是某企业2010年至2016年污水净化量（单位：吨）的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2010～2016．（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 和t 的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y 关于t 的回归方程，预测2017年该企业污水净化量； （3）请用数据说明回归方程预报的效果．附注：参考数据：54=y ，21))((71=--∑=i i i y y t t ，74.314≈，49)ˆ(712=-∑=i i i yy .参考公式：相关系数∑∑∑===----=ni ni i i ni i iy y t t y y t tr 11221)()())((，∑∑==---=ni ini i it ty y t tb121)())((ˆ.反映回归效果的公式为第4节独立性检验最新考纲：了解独立性检验(只要求2×2列联表)的思想、方法及其初步应用．一．2×2列联表1.列联表用表格列出的分类变量的频数表，叫做列联表。

【典型题】高二数学上期末模拟试题(带答案)一、选择题1．在区间[]0,1上随机取两个数x ，y ，记P 为事件“23x y +≤”的概率，则(P = ) A ．23B ．12C ．49 D ．292．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这100名学生的成绩按照 [80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率 分布直方图如图所示则下列说法正确的是（ ）A ．频率分布直方图中a 的值为 0.040B ．样本数据低于130分的频率为 0.3C ．总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分D ．总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布在[100，110）的频数不相等3．已知回归方程$21y x =+，而试验得到一组数据是(2,5.1)，(3,6.9)，(4,9.1)，则残差平方和是（ ） A ．0.01B ．0.02C ．0.03D ．0.044．我国古代数学著作《九章算术》中，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？右图是源于其思想的一个程序框图，若输出的2S =（单位：升），则输入k 的值为A ．6B ．7C ．8D ．95．如图所给的程序运行结果为41S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A ．7k ≥？B ．6k ≥？C ．5k ≥？D ．6k >？6．己知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若求得其线性回归方程为 6.5ˆˆyx a =+，其中ˆˆa y bx =-，则预计当广告费用为6万元时的销售额是（ ） A ．42万元B ．45万元C ．48万元D ．51万元7．某市委积极响应十九大报告提出的“到2020年全面建成小康社会”的目标，鼓励各县积极脱贫，计划表彰在农村脱贫攻坚战中的杰出村代表，已知A ，B 两个贫困县各有15名村代表，最终A 县有5人表现突出，B 县有3人表现突出，现分别从A ，B 两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是（ ） A ．13B ．47C ．23D ．568．执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b ，c 依次为()sin sin αα，()cos sin αα，()sin cos αα，其中,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，则输出的x 为( )A ．()cos cos ααB ．()sin sin ααC ．()cos sin ααD ．()sin cos αα9．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元， 5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是 （ ） A ．310B ．25C ．12D ．3510．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化、相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被3sin6y x π=的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．136B ．118C ．112D ．1911．设数据123,,,,n x x x x L 是郑州市普通职工*(3,)n n n N ≥∈个人的年收入，若这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（ ）A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变12．2路公共汽车每5分钟发车一次，小明到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过两分钟的概率是（ ） A ．25B ．35C ．23D ．15二、填空题13．将函数sin 23cos 2y x x =-的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则5()6g π__________.14．如图，在半径为1的圆上随机地取两点,B E ，连成一条弦BE ，则弦长超过圆内接正BCD ∆边长的概率是__________．15．小明通过做游戏的方式来确定接下来两小时的活动，他随机地往边长为1的正方形内扔一颗豆子，若豆子到各边的距离都大于14，则去看电影；若豆子到正方形中心的距离大于12，则去打篮球；否则，就在家写作业则小明接下来两小时不在家写作业的概率为______.(豆子大小可忽略不计)16．如图是某算法流程图，则程序运行后输出S的值为____．17．根据如图所示算法流程图，则输出S的值是__．18．如图是一个算法流程图，则输出的S的值为______．19．在区间[,]-ππ内随机取出两个数分别记为a 、b ，则函数222()2f x x ax b π=+-+有零点的概率为__________．20．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的45%，在一次考试中，男、女生平均分数依次为72、74，则这次考试该年级学生的平均分数为__________．三、解答题21．某电子科技公司由于产品采用最新技术，销售额不断增长，最近5个季度的销售额数据统计如下表（其中20181Q 表示2018年第一季度，以此类推）： 季度 20181Q 20182Q 20183Q 20184Q 20191Q季度编号x 1 2345销售额y （百万元）4656 67 86 96（1）公司市场部从中任选2个季度的数据进行对比分析，求这2个季度的销售额都超过6千万元的概率；（2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司20193Q 的销售额.附：线性回归方程：y bx a =+$$$其中()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---⋅==--∑∑∑∑$，$$a y bx=-$ 参考数据：511183i ii x y==∑.22．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等. （1）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（2）若两人分别从甲、乙两个盒子中各摸出一球，规定：两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），这样规定公平吗？请说明理由.23．A B 两个班共有65名学生，为调查他们的引体向上锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生引体向上的测试数据（单位：个），用茎叶图记录如下：(1)试估计B 班的学生人数；(2)从A 班和B 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，B 班选出的人记为乙，假设所有学生的测试相对独立，比较甲、乙两人的测试数据得到随机变量X .规定：当甲的测试数据比乙的测试数据低时，记1X =-；当甲的测试数据与乙的测试数据相等时，记X 0=；当甲的测试数据比乙的测试数据高时，记1X =.求随机变量X 的分布列及数学期望.(3)再从A 、B 两个班中各随机抽取一名学生，他们引体向上的测试数据分别是10，8（单位：个），这2个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1μ，表格中数据的平均数记为0μ，试判断0μ和1μ的大小.（结论不要求证明）24．某单位为了解其后勤部门的服务情况，随机访问了40名其他部门的员工，根据这40名员工对后勤部门的评分情况，绘制了频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100.（1）求a 的值；（2）估计该单位其他部门的员工对后勤部门的评分的中位数；（3）以评分在[)40,60的受访者中，随机抽取2人，求此2人中至少有1人对后勤部门评分在[)40,50内的概率.25．读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气书籍是文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n 名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图，将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”:已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人(1)求,n p 的值;(2)根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关?非读书之星 读书之星 总计男女 10 55 总计(3)将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取3名学生，每次抽取1名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望()E X附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.82826．某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表： 组号 分组频率第1组 [)160,1650.05 第2组[)165,1700.35第3组 [)170,175①第4组 [)175,180 0.20 第5组[]180,1850.10()1求出频率分布表中①处应填写的数据，并完成如图所示的频率分布直方图；()2根据直方图估计这次自主招生考试笔试成绩的平均数和中位数(结果都保留两位小数)．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】由题意结合几何概型计算公式求解满足题意的概率值即可. 【详解】如图所示，01,01x y ≤≤≤≤表示的平面区域为ABCD ， 平面区域内满足23x y +≤的部分为阴影部分的区域APQ ，其中2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,3Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为1222233119p ⨯⨯==⨯. 本题选择D 选项.【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.2．C解析：C 【解析】 【分析】由频率分布直方图得的性质求出0.030a =；样本数据低于130分的频率为：0.7；[)80,120的频率为0.4，[)120,130的频率为0.3.由此求出总体的中位数(保留1位小数)估计为：0.50.41203123.30.3-+⨯≈分；样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等，总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等． 【详解】由频率分布直方图得：()0.0050.0100.0100.0150.0250.005101a ++++++⨯=，解得0.030a =，故A 错误；样本数据低于130分的频率为：()10.0250.005100.7-+⨯=，故B 错误；[)80,120的频率为：()0.0050.0100.0100.015100.4+++⨯=， [)120,130的频率为：0.030100.3⨯=．∴总体的中位数(保留1位小数)估计为：0.50.412010123.30.3-+⨯≈分，故C 正确； 样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等， 总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等，故D 错误．故选C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．因为条形分布直方图的面积表示的是概率值，中位数是位于最中间的数，故直接找概率为0.5的即可；平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，将每一个数值相加得到.3．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 因为残差，所以残差的平方和为（5.1－5）2＋（6.9－7）2＋（9.1－9）2＝0.03.故选C.考点：残差的有关计算.4．C解析：C 【解析】分析：执行程序框图，得到输出值4k S =，令24k=，可得8k =. 详解：阅读程序框图，初始化数值1,n S k ==，循环结果执行如下：第一次：14n =<成立，2,22k k n S k ==-=； 第二次：24n =<成立，3,263k k k n S ==-=； 第三次：34n =<成立，4,3124k k k n S ==-=； 第四次：44n =<不成立，输出24kS ==，解得8k =. 故选C.点睛：解决循环结构程序框图问题的核心在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数.5．B解析：B 【解析】 【分析】程序运行结果为41S =,执行程序,当6k =时,判断条件成立,当5k =时,判断条件不成立,输出41S =,即可选出答案. 【详解】根据程序框图,运行如下: 初始10,1k S ==,判断条件成立,得到11011S =+=,1019k =-=; 判断条件成立,得到11920S =+=,918k =-=; 判断条件成立,得到20828S =+=,817k =-=; 判断条件成立,得到28735S =+=,716k =-=; 判断条件成立,得到35641S =+=,615k =-=; 判断条件不成立,输出41S =,退出循环,即6k ≥符合题意. 故选:B. 【点睛】本题考查了程序框图的识别与判断,弄清进入循环体和跳出循环体的条件是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.6．C解析：C 【解析】 【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得ˆa，则线性回归方程可求，取6x =求得y 值即可．【详解】()10123425x =++++=，()11015203035225y =++++=，样本点的中心的坐标为()2,22，代入ˆˆa yb x =-，得22 6.529a =-⨯=．y ∴关于x 得线性回归方程为 6.59y x =+．取6x =，可得6.56948(y =⨯+=万元)． 故选：C ． 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．7．B解析：B 【解析】 【分析】由古典概型及其概率计算公式得：有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是6041057=，得解． 【详解】由已知有分别从A ，B 两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则共有111115*********C C C C ⋅-⋅=种不同的选法，又已知有人表现突出，且B 县选取的人表现不突出，则共有1151260C C ⋅=种不同的选法，已知有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是6041057=. 故选：B ． 【点睛】本题考查条件概率的计算，考查运算求解能力，求解时注意与古典概率模型的联系.8．C解析：C 【解析】 【分析】由框图可知程序的功能是输出三者中的最大者，比较大小即可. 【详解】由程序框图可知a 、b 、c 中的最大数用变量x 表示并输出， ∵,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭∴0cos α12sin α<<<<， 又()y xsin α=在R 上为减函数，y sin x α=在()0∞+，上为增函数， ∴()sin sin αα＜()cos sin αα，()sin cos αα＜()sin sin αα故最大值为()cos sin αα，输出的x 为()cos sin αα故选：C 【点睛】本题主要考查了选择结构．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．9．D解析：D 【解析】 【分析】甲、乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数2510n C ==，甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元包含基本事件有6个，由此能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率. 【详解】由题意，所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元、1.83元、2.28元、1.55元、0.62元、5分，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次， 甲乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数为2510n C ==，甲乙二人抢到的金额之和不低于3元包含的基本事件有6个，分别为(1.72,1.83),(1.72,2.28),(1.72,1.55),(1.83,2.28),(1.83,1.55),(2.28,1.55)所以甲乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率为63105p ==，故选D. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中正确理解题意，找出基本事件的总数和不低于3元的事件中所包含的基本事件的个数是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10．B解析：B 【解析】设大圆的半径为R ，则：126226T R ππ==⨯=， 则大圆面积为：2136S R ππ==，小圆面积为：22122S ππ=⨯⨯=，则满足题意的概率值为：213618p ππ==. 本题选择B 选项.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.11．B解析：B 【解析】∵数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是郑州普通职工n (n ⩾3,n ∈N ∗)个人的年收入， 而x n +1为世界首富的年收入 则x n +1会远大于x 1，x 2，x 3，…，x n ， 故这n +1个数据中，年收入平均数大大增大， 但中位数可能不变，也可能稍微变大，但由于数据的集中程序也受到x n +1比较大的影响，而更加离散，则方差变大. 故选B12．A解析：A 【解析】分析：根据已知中某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过，我们可以计算出两辆车间隔的时间对应的几何量长度为5，然后再计算出乘客候车时间不超过2分钟的几何量的长度，然后代入几何概型公式，即可得到答案 详解：：∵公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过当乘客在上一辆车开走后3分钟内到达候车时间会超过2分钟∴乘客候车时间不超过2分钟的概率为53255P -=＝ ． 故选A .点睛：本题考查的知识点是几何概型，其中计算出所有事件和满足条件的事件对应的几何量的值是解答此类问题的关键二、填空题13．【解析】【分析】先利用辅助角公式将函数的解析式化简根据三角函数的变化规律求出函数的解析式即可计算出的值【详解】由题意可得因此故答案为【点睛】本题考查辅助角公式化简三角函数图象变换在三角图象相位变换的解析：【解析】 【分析】先利用辅助角公式将函数sin 22y x x =-的解析式化简，根据三角函数的变化规律求出函数()y g x =的解析式，即可计算出56g π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值． 【详解】sin 222sin 23y x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭Q ，由题意可得()2sin 22sin 263g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因此，5552sin 22sin 2sin 22sin 66333g ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯==-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为【点睛】本题考查辅助角公式化简、三角函数图象变换，在三角图象相位变换的问题中，首先应该将三角函数的解析式化为()()sin 0y A x b ωϕω=++≠（或()()cos 0y A x b ωϕω=++≠）的形式，其次要注意左加右减指的是在自变量x 上进行加减，考查计算能力，属于中等题．14．【解析】【分析】取圆内接等边三角形的顶点为弦的一个端点当另一端点在劣弧上时求出劣弧的长度运用几何概型的计算公式即可得结果【详解】记事件{弦长超过圆内接等边三角形的边长}如图取圆内接等边三角形的顶点为解析：13【解析】 【分析】取圆内接等边三角形BCD的顶点B为弦的一个端点，当另一端点在劣弧CD上时，BE BC>，求出劣弧CD的长度，运用几何概型的计算公式，即可得结果.【详解】记事件A={弦长超过圆内接等边三角形的边长}，如图，取圆内接等边三角形BCD的顶点B为弦的一个端点，当另一端点在劣弧CD上时，BE BC>，设圆的半径为r，劣弧CD的长度是23rπ，圆的周长为2rπ，所以()21323rP Arππ==，故答案为13.【点睛】本题主要考查“长度型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误. 15．【解析】【分析】根据题意画出图形求出写作业所对应的区域面积利用得到结果【详解】由题意可知当豆子落在下图中的空白部分时小明在家写作业大正方形面积；阴影正方形面积空白区域面积：根据几何概型可知小明不在家解析：5π4-【解析】【分析】根据题意画出图形，求出写作业所对应的区域面积，利用()()1P A P A=-得到结果.【详解】由题意可知，当豆子落在下图中的空白部分时，小明在家写作业∴大正方形面积111S =⨯=；阴影正方形面积1111224S =⨯= 空白区域面积：22111244S ππ-⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭根据几何概型可知，小明不在家写作业的概率为：2514S P S π-=-= 本题正确结果：54π- 【点睛】本题考查几何概型中的面积型，属于基础题.16．41【解析】【分析】根据给定的程序框图计算逐次循环的结果即可得到输出的值得到答案【详解】由题意运行程序框图可得第一次循环不满足判断框的条件；第二次循环不满足判断框的条件；第三次循环不满足判断框的条件解析：41 【解析】 【分析】根据给定的程序框图，计算逐次循环的结果，即可得到输出的值，得到答案。

1/ 282/ 283/ 284/ 285/ 28市场营销学-多选题6/ 287/ 288/ 289/ 2810/ 2811/ 2812/ 2813/ 2814/ 28第三章统计案例实习作业（人教A版高中课标教材数学选修2-3）教学设计授课教师：张文彧天津市第四十一中学15/ 282018年10月一、教学内容解析1.内容本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修2-3第三章《统计案例》中的《实习作业》，主要内容是：先由学生在课余时间收集数据，经过自己的数据处理后写出实习报告，课堂上交流解决实际问题的具体操作.2.内容解析本节内容是学生学习了必修3中第二章统计、选修2-3中第三章统计案例之后，对本章中学习的两个统计方法：线性回归分析、独立性检验的延续——实际应用．内容可分为两个环节：对知识的验收、内化、巩固；对知识的理解、实践和延拓.本节主要任务是学生对知识的巩固以及结合自己的思考进一步将知识应用于实际. 重点在于让学生积极思考研究、动手实践、自主探索、合作交流，是新课程下学生自主学习、自主探究的学习方式的良好素材．本节课蕴含了丰富的统计学思想，利用统计知识培养了学生三个方面的数学学科的核心素养：数学运算、数据分析、数学建模、16/ 28逻辑推理、数学抽象．在对知识深入挖掘的基础上，本节内容的设计中含有多个德育教育点：亲身经历实际问题解决过程中的各个环节，多种形式互动确定主题、小组合作探究共同研讨解决问题的办法、走出校园寻找答案、搜集数据的不同方法的设计、搜集样本的不同方法、相关资源的多渠道收集、各种软件的动手操作应用和开发、对自我研究成果得出结论并反思及延拓，使学生感受探索的乐趣、享受成功的体验、体会数学的理性和严谨、激发学生学习数学的积极性、初步体会数学建模、培养学生勇于探索的精神、渗透辩证唯物主义的方法论和认识论、养成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神、形成学习数学知识的积极态度．基于以上分析，本节课的教学重点是：统计学的基本思想；通过具体案例，引导学生参与数据分析的全过程，掌握回归分析、独立性检验的基本步骤；统计案例在实际生活中的应用.二、教学目标设置1.目标（1）掌握必修3中的抽样方法并能灵活应用，掌握统计案例中的两种统计方法并能联系实际.（2）让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系；培养学生统计学思想方法，提高学生的学习能力；培养学生学会运用统计学的知识解决数学问题的能力；培养学生合作探究和自主解决数学问题的能力；锻炼学生运用数量关系去刻画客观世界，进而去解决生活实际问题初步建模的能力．（3）培养学生辩证唯物主义观点；培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风；增强学生合作能力，提高数据分析的能力，给学生以成功的体验；形成学习数学知识的积极态度．2.目标解析17/ 28（1）新课标中对经历知识的发生过程提出了较高的要求，强调使用“经历”、“感受”、“探索”等体现目标要求的行为动词，学生要体验数学的发现与创造的过程．本节课是学生经历“学数学、做数学、用数学”的一次机会．因此通过实际问题的探究，亲身经历分析和解决问题的过程，以及亲身经历收集数据、分析数据、解答问题的探究过程，在此过程中学会利用数学知识思考问题的方法，初步了解数学建模中如何建立统计模型，体会统计学的方法，明确统计学就是为制定决策提供依据为目的，培养学生良好的学习态度和习惯.（2）数学思想的教学一般要经过渗透孕育期、领悟形成期、应用发展期、巩固深化期四个阶段．在整个教学过程中，让学生感受统计思想，明确不管是“回归分析”还是“独立性检验”，得到的结论都可能犯错误，这就是统计思维与确定性思维差异的反映，这一认识得到再一次的巩固深化．（3）通过统计问题的确定和解答，让学生体会统计学的研究过程，培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风；通过用不同途径搜集数据、不同方法确定样本、不同的数学工具分析数据、寻找不同的资源进行数据和成果的论证及延伸，扩充学生的视野及看问题的角度，增强学生自主解决问题的能力，提升学生数学思维的情趣，培养学生良好的思维品质，提高学生的动手操作能力，促进学生数字化时代下搜集信息的能力，做到润物细无声、水到渠成地提高学生逻辑思维能力．三、学生学情分析1.学生程度学生为高二年级的学生，所授课的班级中考数学平均分居于全市平均水平，学生已具备一定的合作能力、自主探究能力，学生的表达能力和动手操作能力比较强．2.知识层面18/ 28学生在高一已经学习过抽样方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，高二已经学习了统计案例的两个统计方法：回归分析、独立性检验.3.能力层面（1）具有一定的统计学思想的基础；（2）初步接触数学建模，对于实际问题的应用有浓郁的兴趣，但具体应用很少，接触到的解决实际问题更少，学生这方面的经验还很欠缺．根据以上三个层面的分析，在学生已有的认知基础的条件下，学生可以自主探究实际问题，但很难寻找适合的生活实际问题．这时需要教师引导：观察生活实际、网络搜索、讨论等形式来确定问题.此时教师还需要适时点拨统计学就是为了制定决策提供依据，故下结论时应该使用的是统计学语言，并且强调在研究过程中随时记录新的想法．本节课教学难点：理解统计学的基本思想；能够解决成对数据统计相关性的简单实际问题.能够结合具体实例，掌握运用一元线性回归分析、独立性检验的方法和步骤；解决生活中统计案例的简单实际问题.根据本节课的特点，在教学中借助多媒体手段充分展示学生小组的研究过程，进而利于学生成果分享．四、教学策略分析在本节课的学习过程中，有意识地引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界.启发探索式教学法以及自主学习、小组合作，以“问题”为核心，以“观察”为手段，以“探究”为途径，以“发现”为目的．运用iPad、网络、图形计算器、focusky、Excel、多媒体和相关软件及时反馈，微视频、画图软件辅助教学，改善学习方式、创新思维，有效提升学生自主学习能力：19/ 281．为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，通过微视频及现场演示，变抽象为直观，为学生的数学探究与数学思维提供支持．2．在整节课的教学中采用师生互动、生生互动、小组合作学习的方式，这样可以有利于发挥各层次学生的作用，同时调动学生学习的积极性．3．本节课的教学设计遵循了“发现——发展”的教学模式，教师始终坚持启发式教学原则，设计一系列问题串，以引导学生的数学思维活动．教师在整个教学过程中，不再完全是课堂的主导者，而是分别扮演了“教学实践活动的辅导者”、“解决问题所需资源的提供者”以及“自主探究过程中的组织者”等多种角色．五、教学过程设计1．温习旧知，Mindo展示引言教师利用幻灯片展示本节课的学习目标，说明并强调统计思想在实际生活中应用的重要性.师生活动：经过这一阶段的学习，每位学生都设计了属于自己的思维导图，展示学生完善的思维导图.指出本章研究的统计案例是初中以及必修模块内容的升华.设计意图：基于学生所学知识，为新知学习做了知识和方法的铺垫，并为后面的实际应用打好基础，清晰体现知识的脉络和结构．反馈学生作业的完成情况，通过Mindo思维导图的展示，全体学生共同复习了本模块主要内容，为下一环节理清思路.2. 视频开场，引入课题师生活动：播放《统计的乐趣》截取的视频.20/ 28设计意图：引发学生学习统计知识的兴趣，引出课题的同时对统计学在生活中的重要性达成共识.3. 实际应用，汇报分享师生活动：课上展示课前已完成的小组实习报告，并对自己组的结论进行汇报和总结.课前布置的实习作业如下：请同学们根据老师给出的问题串，以小组为单位通过对事物的观察、查阅资料、讨论等形式寻找自己组感兴趣的统计话题，制定研究策略并完成.课上，全体学生带着两个任务共同聆听汇报：1.统计学研究问题的步骤？2.对其他组进行评价建议以及新想法.第一组–我校高二年级学生身高与体重关系的调查通过系统抽样的方法确定样本，利用Excel中的统计功能绘制散点图发现数据之间具有线性相关关系，利用最小二乘法现场对数据进行拟合，根据结论进行预估并分析误差原因.通过网络查找标准体重比照并说明体重普遍偏小的原因，结合人体BMI值继续进行拓展研究.第二组–高二学生数学成绩排名与总成绩排名之间关系的调查通过抽签法确定样本，利用图形计算器现场运算，绘制散点图和回归直线方程直观判断.不仅研究数学成绩排名与总成绩排名的关系，后期将知识应用于其他学科做为拓展，为高效学习寻找方向.第三组–性别与是否喜欢文理、是否喜欢球类运动、是否爱好音乐之间关系的调查本小组从性别这个分类变量出发，研究了三个问题.分别通过不同的渠道搜集数据：微信、问卷调查、网页链接，对数据进行统计21/ 28后，绘制2×2列联表.通过绘制等高条形图观察出两组变量间有一定的相关关系，应用独立性检验的公式进行计算，查表后得出自己组相应的结论，并且对自己组在搜集数据的过程中以及问题中研究变量的选择上都有自己的新想法.第四组–有无喝碳酸饮料的习惯与有无骨折病史关系的调查结合丰富的生活实际，从学生所熟悉的身边现象出发，研究事物的本质.学生从化学、数学、医学三个不同的领域：广告中的化学实验、数学中的统计计算、医学中的科学原理对自己组的问题进行了多方位的阐述.其中在利用数学中的统计原理进行研究的过程中，走出校园进行街头访问，小组合作搜集到大量数据后绘制2×2列联表，通过观察等高条形图推断出两组变量间存在一定的相关关系，最后利用独立性检验公式计算查表得出相应的结论.不仅如此，在采访并搜集数据的同时以及在得出结论的过程中对自己组所研究的问题有了新的想法：有无骨折病史或许与年龄、性别等变量相关.设计意图：亲身经历实际问题的提出、分析和解决等环节：充分体现从具体到抽象，从实际到理论.通过观察、查阅资料、讨论等形式确定主题；小组合作学生参与度高，共同探究研讨解决问题的办法；搜集数据的不同方法的设计：网络、链接、问卷、调查、采访；确定样本的不同方法的使用：抽签法、系统抽样法、分层抽样法；走出校园寻找答案；相关资源的多渠道收集；动手现场操作软件；各种软件的应用和开发：图形计算器、Excel、iPad软件各种信息技术的使用；对自我研究成果得出结论并反思及延拓；课上精彩的呈现与展示交流.在活动中使学生感受数学的魅力，体会小组合作中的团队精神，小组互评的共同提升.让学生从数学角度看日常生活中的问题，体验数学与生活的密切联系. 将实际问题转化为数学问题，引导学生初步理解数学建模的含义，将问题归结为统计学问题. 让学生充分应用所学的统计学的知识以及强化统计学为制定决策提供依据的根本目的.使学生感受探索的乐趣，享受成功的体验，体会数学的理性和严谨，激发学生学习数学的积极性，初步体会数学建模，培养学生勇于探索的精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论，养成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度．22/ 284. mindo梳理，总结反思师生活动：在教师的引导下，师生共同回忆本章节的内容和本节课的数学活动，学生对照思维导图，落实本节内容.设计意图：归纳小结有助于学生学习、记忆和应用．巩固新知，将知识形成网络，提高学习效率．知识的总结提炼，体现知识螺旋式上升的规律，进而突破本节的重点，攻克难点进一步深化对知识的理解．5. 讨论交流，提炼升华师生活动：学生对自己感兴趣的小组进行评价并给出拓展建议，谈一谈本次活动中的切身感受，每个小组汲取经验继续完善.师生共同提炼出本节课应用的主要知识及解决实际问题的主要步骤.（1）知识与技能：统计学中抽样方法、线性回归分析、独立性检验、统计学研究的步骤.（2）数学思想方法：统计学的思想以及运动变化观点的综合运用.（3）数学学科核心素养：数学建模、数学运算、数据分析、逻辑推理、数学抽象.设计意图：通过鼓励式教育，包括生生互助、师生互助，提高了学习效率，小组间互评，给出好的建议并让学生对自我学习的效果进行检验，并由此增强学生课堂落实效果，增强学习的热情．6. 拓展链接，素养提升（1）完善实习作业，完成目标检测.（2）研究性学习：继续寻找生活中与统计知识内容相关的应用.（3）思考与拓展：自主研修二元线性回归模型、二维随机变量及其联合分布、聚类分析、正交设计等.设计意图：注重学思结合，提倡启发式、探究式、参与式教学，激发学生的好奇心，促进每个学生主动地、生动活泼地发展.让学23/ 2824 / 28生走出校园，感受生活中的数学，小组互助学习共同体验成功是对这一理念的理解和尝试.研究性课题的布置旨在培养学生善于观察、勤于思考的习惯. 通过设计开放性问题，可以调动学生学习的积极性，思考与拓展内容的布置可以巩固知识、发现和弥补教学中的不足，对学有余力的同学留出自由发展的空间的同时，开阔了视野，构建了学生学习的空间．六、课堂教学目标检测1. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y (单位:t )和年利润z (单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费i x 和年销售量(1,2,,8)i y i =数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.根据散点图判断,y a bx =+与y c =+y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)2. 为考察某种药物预防禽流感的效果，进行动物家禽试验，通过调查100个样本得出相应数据，统计结果为：服用药的共有60例，服用药物但患病的仍存在20例，没有服用药且未患病的有20例．(1)根据所给样本数据完成下面2×2列联表；(2)请问能有多大把握认为药物有效？25/ 28关于“统计案例--实习作业”一课的点评通过观看张文彧老师所做的统计案例—实习作业这节课，我有以下几点感悟。

2021---2021学年第2学期 统计学原理 课程考核试卷〔B 〕考核方式: 〔闭卷〕 考试时量：120 分钟一、填空题〔每空1分，共15分〕1、按照统计数据的收集方法，可以将其分为 和 。

2、收集数据的根本方法是 、 和 。

3、在某城市中随机抽取9个家庭，调查得到每个家庭的人均月收入数据：1080，750，780，1080，850，960，2000，1250，1630〔单位：元〕，那么人均月收入的平均数是 ，中位数是 。

4、设连续型随机变量X 在有限区间(a,b)内取值，且X 服从均匀分布，其概率密度函数为0()1f x b a⎧⎪=⎨⎪-⎩那么X 的期望值为 ，方差为 。

5、设随机变量X 、Y 的数学期望分别为E(X)=2，E(Y)=3,求E(2X-3Y)= 。

6、概率是___ 到_____ 之间的一个数，用来描述一个事件发生的经常性。

7、对回归方程线性关系的检验，通常采用的是 检验。

8、在参数估计时，评价估计量的主要有三个指标是无偏性、 和 。

二、判断题，正确打“√〞；错误打“×〞。

〔每题1分，共10分〕1、理论统计学与应用统计学是两类性质不同的统计学〔 〕2、箱线图主要展示分组的数值型数据的分布。

〔 〕3、抽样极限误差可以大于、小于或等于抽样平均误差。

〔 〕其他 (a<b)4、在全国人口普查中，全国人口数是总体，每个人是总体单位。

〔〕5、直接对总体的未知分布进行估计的问题称为非参数估计；当总体分布类型，仅需对分布的未知参数进行估计的问题称为参数估计。

〔〕6.当置信水平一定时，置信区间的宽度随着样本量的增大而减少〔〕7、在单因素方差分析中，SST =SSE+SSA〔〕。

〔〕8、右侧检验中，如果P值＜α，那么拒绝H9、抽样调查中，样本容量的大小取决于很多因素，在其他条件不变时，样本容量与边际误差成正比。

〔〕10、当原假设为假时接受原假设，称为假设检验的第一类错误。

〔〕1、某研究部门准备在全市200万个家庭中抽取2000个家庭，推断该城市所有职工家庭的年人均收入。

二次函数应用题分类解析二次函数是初中学段的难点，学生学起来觉的比较的吃力，可以把应用问题进行分类： 第一类、利用待定系数法对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系，并且给出几对变量值，要求求出函数关系式，并进行简单的应用。

解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式。

例1． 某公司生产的A 种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。

根据经验，每年投入的广告费是x （十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y 是x 的二次函数，它们的关系如下表：（1）求y 与x 的函数关系式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S （十万元）与广告费x （十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10—30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？析解：（1）因为题中给出了y 是x 的二次函数关系，所以用待定系数法即可求出y 与x 的函数关系式为1x 53x 101y 2++=（2）由题意得S=10y(3-2)-x 10x 5x 2++-=（3）由（2）465)25x (10x 5x S 22+--=++-=及二次函数性质知，当1≤x ≤2.5，即广告费在10—25万元之间时，S 随广告费的增大而增大。

二、分析数量关系型题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用。

解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。

例2． 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。

物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。

市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。

在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。

设销售单价为x 元，日均获利为y 元。