学案7B2 三角形

学案7B2 三角形编者：张锦涛【中考要求】内容要求A B C三角形三角形的有关概念、分类√三角形的角平分线、高、中线、垂直平√分线；内心、重心、外心三角形的中位线√三角形的内角和定理√等腰三角形、直角三角形的判断和性质√解直角三角形√【知识要点】知识点一：三角形1、三角形有关概念（1）三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

（2）三角形的基本元素：①三角形的三条边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角；三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做三角形的外角。

③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点。

（3）三角形的特征：①三条线段不在同一直线上，且首尾顺次相接；②三角形是一个封闭的图形。

（4）三角形的符号：①三角形用符号“△”表示。

顶点是A、B、C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”；注意：△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义②三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示2、三角形的分类(1)按边分类：要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形;②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形.(2)按角分类：要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.知识点二：三角形三边间的关系定理：三角形任意两边之和大于第三边。

定理的数学语言：如图1，|b－c|＜a＜b＋c推论：三角形任意两边之差小于第三边。

要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短。

（2）给出三条线段的长度，判断它们能否构成三角形。

判断方法常用的有两种（设a、b、c为三边的长）：①a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b都能成立，则以a、b、c为三边的长可以构成一个三角形（此法一般不用）;②|b－c|＜a＜b＋c长为a，b，c的三条线段可组成三角形；或若c是最长的线段，且a＋b＞c，则以a、b、c为三边的长可构成一个三角形。

（3）已知三角形两边的长，可以确定第三边的取值范围：设三角形的两边的长为a、b，则第三边的长c的取值范围是。

（4）证明线段之间的不等关系。

知识点三：三角形的高、中线、角平分线1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如图2，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝90°。

注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；要点诠释：①三角形的高是线段；②三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心。

③三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角三角形的直角顶点。

2、三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．三角形的中线的数学语言：如图3，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC。

注意：AD是ΔABC的中线BD＝CD＝BC。

要点诠释：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形内部；③三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心．④中线把三角形分成面积相等的两个三角形。

3、三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

三角形的角平分线的数学语言：如图4，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上。

即AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC(或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC)要点诠释：①三角形的角平分线是线段；②一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；③三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心．④可以用量角器或圆规画三角形的角平分线。

知识点四：三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性要点诠释：①三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．②三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．③四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．三、规律方法指导1、把所学的三角形有关的线段知识与前面已学过的相关知识相结合，形成系统的知识网络．2、应用三边关系判断三条线段是否构成三角形，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形．3、已知三角形的两边a、b，那么第三边c的取值范围是│a-b│＜c＜a+b．4、数形结合是学习数学有效的方法之一，在学习这部分知识的过程中，需要多画图，在图形中理解知识的含义，弄清各部分之间的关系．【基础训练】1. 已知三角形的三边分别为14，4x和3x，则x的取值范围是________．2. 在△中，若，则_________．3. 直角三角形两个锐角的平分线所形成的角为____________度．4. 等腰三角形一边等于5，另一边等于2，则周长是___________．5. 在△ABC中，若∠C +∠A = 2∠B，∠C -∠A = 80°，则∠B的邻补角为__________，∠A的邻补角为__________．6. 已知：如图，在△ABC中，，BD⊥AC于D，∠A = 80°，则∠DBC = _______7. 如果一个多边形的所有对角线的条数是它边数的5倍，此多边形的边数为__________8. 一个三角形的两边长分别是2cm和9cm，第三边的长为奇数，则第三边的长为________．9. 为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条．这样做的道理是________．10. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，这个多边形的边数是_________．11. 已知：在△ABC中，AB=AC，周长为16cm，AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为2cm的两个三角形，则边AB、BC的长分别为__________．【典型例题】类型一：三角形的概念1．图5中以BC为边的三角形有几个？用符号表示这些三角形．举一反三【变式1】在图5中，以A为顶点的三角形有几个？用符号表示这些三角形．【变式2】在图5中,具有公共边AB的三角形有几个？用符号表示这些三角形．【变式3】（2010湖南娄底）在如图所示的图形中，三角形的个数共有（）A． 1个 B．2个 C．3个 D．4个类型二：三角形三边关系2．下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（）A．3cm，12cm，8cm B．6cm，8cm，15cmC．2.5cm，3cm，5cm D．6.3cm，6.3cm，12.6cm举一反三【变式1】已知三条线段的比是:①1:3:4;②1:2:3;③1:4:6;④3:3:6;⑤6:6:10;⑥3:4:5.其中可构成三角形的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2】若五条线段的长分别是1cm、2cm、3cm、4cm、5cm,则以其中三条线段为边可构成______个三角形.【变式3】已知三角形的两边长分别4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是( )A、13cmB、6cmC、5cmD、4cm【变式4】已知a、b、c是△ABC的三边，化简|a+b―c|+|b―a―c|―|c+b―a|。

【变式5】用7根火柴棒首尾顺次连结摆成一个三角形，能摆成不同的三角形的个数为_______。

3．若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是_______.举一反三【变式1】如果三角形的两边长分别为2和6,则周长L的取值范围是( )A．6＜L＜15 B．6＜L＜16 C．11＜L＜13 D．12＜L＜16【变式2】已知等腰三角形的两边长分别为4cm和7cm,且它的周长大于16cm,则第三边长为_____.4．已知等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分为9cm和15cm两部分，求这个三角形的腰长和底边的长。

举一反三【变式】小芳要画一个有两边长分别为5cm和6cm的等腰三角形，则这个等腰三角形的周长是( )A、16cmB、17cmC、16cm或17cmD、11cm类型三：三角形的高、中线、角平分线5．如图6，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC上的高，•且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（）A．150°B．130° C．120°D．100°举一反三【变式1】如图7所示,在△ABC中,∠C-∠B=90°,AE是∠BAC的平分线,求∠AEC的度数.【变式2】在△ABC中,∠B=60°,∠C=40°,AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线, 则∠DAE 的度数为_________.【变式3】如图8所示，已知AD，AE分别是ΔABC的中线、高，且AB＝5cm，AC＝3cm，则ΔABD 与ΔACD的周长之差为__________，ΔABD与ΔACD的面积关系为________。

【课堂检测】1．图中三角形的个数是( )A． 8 B．9 C．10 D．112．若一个三角形的三条高的交点正好是三角形的某个顶点，则这个三角形是( )．A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上都不对3．已知三角形的三边长分别为4，5，x，则x不可能是( )．A．3 B．5 C．7 D．94．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接AB1，AC，B1C，则△AB1C的形状一定是( )．A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形D．等边三角形5．已知α、β是两个钝角，计算的值，甲、乙、丙、丁四位同学算出了四种不同的答案，其中只有一个答案是正确的，则正确的是( )．A．86° B．76°C．48° D．24°6．三角形的三个内角中，至少有一个角的度数不会大于( )．A．30° B．40° C．50° D．60°7．将一副直角三角尺如图所示放置，已知AE∥BC，则∠AFD的度数是( )．A．45° B．50° C．60° D．75°8．小明家装修房屋，用同样的正多边形瓷砖铺地，顶点对着顶点，为铺满地面而不重叠，瓷砖的形状可能有( )．A．正三角形、正方形、正六边形 B．正三角形、正方形、正五边形C．正方形、正五边形 D．正三角形、正方形、正五边形、正六边形9．若一个n边形有n条对角线，则n为( )．A．4 B．5 C．6 D．710．如图所示，AB∥CD，则x的大小为( )．A．35° B．45° C．75° D．85°二．填空题11．直角三角形的两锐角的平分线的交角的度数为_____________．12．一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是_________．13．如图，△ABC中，AD、CE是△ABC的两条高，BC＝5cm，AD＝3cm，CE＝4cm，则AB 的长为________．14．如图，在△ABC中，∠A＝42°，∠ABC和∠ACB的三等分线分别交于点D、E，则∠BDC 的度数是___．15．如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF交CD于点G，如果∠1＝50°，那么∠2的度数是_____________．16．已知在正方形网络中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在正方形网络的交叉点上，位置如图所示，点C也在此网络的交叉点上，且以A、B、C为顶点的三角形的面积为1平方单位，则点C的个数为_____________，请在图中标示出来．17．把一张长方形的纸片按图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在MB′的延长线上,那么∠EMF的度数是_____________．18．(1)在凸多边形中，锐角最多能有_____________个；(2)在凸多边形中，小于108°的内角最多有_____________个．19．在一个顶点处有一个正十边形和一个正三角形，则还要有一个正____________边形，才能进行平面镶嵌．20．如图所示，一样大小的立方体木块堆放在房间一角，一共垒了10层，这10层中从正面看不见的木块有_____________个．【课后作业】1．(a，b，c是三角形的三条边长，化简：|a＋b＋c| －|a－b－c|－|a－b＋c|－|a＋b－c|．2．已知n边形的每个内角与其外角的差为90°，求内角的度数与边数n．3．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且SΔABC＝4cm2，阴影面积SΔEBF．4．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，求α的度数．5．如图所示，五个半径为2的圆，圆心分别是A、B、C、D、E，求图中阴影部分的面积和是多少？6．如图，已知△ABC三个内角的平分线相交于点O，OG⊥AB，垂足为G，∠1＝∠AOE，∠2＝∠BOG，试说明∠1＝∠2．7．如图所示，在△ABC中，∠1＝∠2，∠C＞∠B，E为AD上一点，且EF⊥BC于F．(1)试探索∠DEF与∠B、∠C的等量关系；(2)如图所示，当点E在AD的延长线上时，其他条件都不变，你在(1)中探索得到的结论是否还成立？并说明理由．8．如图，C岛在A岛的北偏东50o方向，C岛在B岛的北偏西40o方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB等于___________．9．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整。