云南师范大学附属中学2016届高考数学适应性月考试题(四)文

云南师范大学附属中学2016届高考适应性月考（四）数学理 试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|4}M x x =≤，2{|log 1}N x x =≤，则M N =（ ）A ．[2,2]-B ．{2}C ．(0,2]D ．(,2]-∞2.设i 是虚数单位，复数2a ii +-是纯虚数，则实数a=（ ） A ．-2 B ．2 C ．12- D ．123、某班级有50名学生，现用系统抽样的方法从这50名沉重中抽出10名沉重，将这50名随机编号为1-50号，并按编号顺序平均分成10组（1～5号，6～10号，…，46～50号），若在第三组抽到的编号是13，则在第七组抽到的编号是（ ） A 、23 B 、33 C 、43 D 、534.已知ABC ∆中，||6BC =，16AB AC ∙=，D 为边BC 的中点，则||AD =（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．65.若函数()sin f x x x ωω=，0ω>，x R ∈，又1()2f x =，2()0f x =，且12||x x -的最小值为32π，则ω的值为（ ） A ．13 B ．23 C ．43D ．26.已知变量x ，y 满足约束条件1330x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．17.执行如图所示的程序框图，则输出的s 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．58.一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．20B ．24C ．16D ．16+9.数列{}n a 是等差数列，若981a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，那么当n S 取得最小正值时，n 等于（ ）A ．17B ．16C ．15D ．1410.已知圆C ：22210x y x +--=，直线:34120l x y -+=，圆C 上任意一点P 到直线l 的距离小于2的概率为（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．1411.过双曲线2213y x -=的右焦点作直线l 交双曲线于A ，B 两点，则满足||6AB =的直线l 有（ ）条A ．4B ．3C ．2D ．112.已知函数11,2()2ln ,2x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，方程()0f x ax -=恰有3个不同实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．ln 21(,)2e B ．1(0,)2 C ．1(0,)e D ．11(,)2e 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设函数()f x 是定义在R 上的周期为3的偶函数，当3[0,]2x ∈时，()1f x x =+，则5()2f = . 14.正方体1111ABCD A BC D -的棱长为3，点P 是CD 上一点，且1DP =，过点11,,A C P 三点的平面角底面ABCD 于PQ ，点Q 在直线BC 上，则PQ= .15. ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积22()S b c a =+-，则sin A = .16.点P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上的一点，其右焦点为2F ，若直线2PFM 为线段2PF 的中点，且22||||OF F M =，则该双曲线的离心率为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）已知向量(2cos2xa ω=，(3cos,sin )2xb x ωω=，0ω>，设函数()3f x a b =∙-的部分图象如图所示，A 为图象的最低点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且ABC ∆为等边三角形，其高为（1）求ω的值及函数()f x 的值域；（2）若0()5f x =，且0102(,)33x ∈-，求0(1)f x +的值.18. （本小题满分12分）某学生参加3个项目的体能测试，若该生第一个项目测试过关的概率为45，第二个项目、第三个项目测试过关的概率分别为x ，y （x y >），且不同项目是否能够测试过关相互独立，记ξ为该生测试过关的项目数，其分布列如下表所示：（1）求该生至少有2个项目测试过关的概率； （2）求ξ的数学期望()E ξ.19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，060BAD ∠=，侧面SAB ⊥底面ABCD ，并且2SA SB AB ===，F 为SD 的中点.（1）求三棱锥S FAC -的体积；（2）求直线BD 与平面FAC 所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）如图，过椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>内一点(0,1)A 的动直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，当l 平行于x 轴和垂直于x 轴时，l 被椭圆Γ所截得的线段长均为（1）求椭圆Γ的方程；（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点A 不同的定点B ，使得对任意过点(0,1)A 的动直线l 都满足||||||||BM AN AM BN ∙=∙？若存在，求出定点B 的坐标，若不存在，请说明理由.21. （本小题满分12分）设函数ln ()12x af x x x=++，()()g x f x =1x =是函数()g x 的极值点. （1）求实数a 的值；（2）当0x >且1x ≠时，ln ()1x nf x x x>+-恒成立，求整数n 的最大值. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】如图，ABC ∆的外接圆的切线AE 与BC 的延长线相交于点E ，BAC ∠的平分线与BC 相交于点D ，求证：（1）EA ED =；（2）DB DE DC BE ∙=∙.23. （本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为53x ty t⎧=-⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=A ，B两点的极坐标分别为(2,),(2,)2A B ππ.（1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）点P 是圆C 上任一点，求PAB ∆面积的最小值. 24. （本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()|2|f x x =-.（1）解不等式：(1)(2)4f x f x +++<；（2）已知2a >，求证：,()()2x R f ax af x ∀∈+>恒成立.云南师大附中2016届高考适应性月考卷（四）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．[22](02](02]M N M N =-==，，，，∴，，故选C ．2．i (i)(2i)(21)(2)i 2i 55a a a a +++-++==-是纯虚数，210a -=∴，12a =∴，故选D ．4．222,()4AB AC AD AB AC AD +=+=∵∴，即22242AD AB AC AB AC =++=2()4AB AC AB AC -+=24100CB AB AC +=，||5AD =∴，故选C ．5．因为12π()2sin ||3f x x x x ω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，的最小值为3π42T =，所以6πT =，所以13ω=，故选A ． 6．作出可行域如图1中阴影部分，目标函数过点(01)，时，最小值为1，故选D ．7．由程序框图知，输出的结果为23log 3log 4log (1)k s k =⨯⨯⨯+…2log (1)k =+，当7k =时，3s =，故选B ．8．该几何体为一个正方体截去三棱台111AEF A B D -，如图2所示，截面图形为等腰梯形11B D FE ，111EF B D B E ==，梯形的高h =，所以111922B D FE S =⨯⨯=梯形， 所以该几何体的表面积为20，故选A ．9．∵数列{}n a 的前n 项和有最大值，∴数列{}n a 为递减数列，又981a a <-， 8900a a ><∴，且890a a +<，又115116158168915()16()1508()022a a a a S a S a a ++==>==+<，，故当15n =时，n S 取得最小正值，故选C ．10．圆C ：22(1)2x y -+=，圆心(10)，，半径r =3，所以圆上到直线距离小于2的点构成的弧所对弦的弦心距是1，设此弧所对圆心角为α，则cos2α==所以π24α=，即π2α=，α所对的弧长为π214=，故选D ． 11．当直线l 的倾斜角为90︒时，||6AB =；当直线l 的倾斜角为0︒时，||26AB =<．故当直线l适当倾斜时，还可作出两条直线使得||6AB =，故选B ．12．当直线y ax =与曲线ln y x =相切时，设切点为00(ln )x x ，，切线斜率为01k x =，则切线方程为0001ln ()y x x x x -=-，切线过点(00)，，00ln 1e >2x x -=-=∴，，此时1ea =；当直线y ax =过点(2ln 2)，时，ln 22a =．结合图象知ln 212e a ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，故选A ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．55111331222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．14．如图3，设PQ 与AD 交于点M ，则△DPM ∽△CPQ ，12DP PM CP PQ ==，2PQ PM =∴，又△DPM ∽△DCA ，1133DP PM PM CA DC CA ====∴，∴，PQ =∴．15．由余弦定理222222cos 2cos 2b c a A b c a bc A bc+-=+-=，∴，22222()22(cos 1)S b c a b c a bc bc A =+-=+-+=+∵，又1sin 2S bc A =，12(cos 1)sin 2bc A bc A +=∴，1cos 1sin 4A A +=∴，即22118cos sin 1sin sin 11sin 4417A A A A A ⎛⎫=-+-== ⎪⎝⎭，∴，∴．16．由题意得：222||||120||OF F M c OF M OM ==∠=︒，，∴，设左焦点为1F ，连接1PF ，则OM为12PF F △的中位线，1||PF =∴，又2||2P F c =，由双曲线定义，得12||||21)c PF PF a c a e a -=====，，∴ 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知可得2π()36cos 33cos 23xf x a b x x x x ωωωωω⎛⎫=-=-==+ ⎪⎝⎭，由正三角形ABC 的高为，可得4BC =，所以函数()f x 的最小正周期428T =⨯=，即2π8ω=，得π4ω=， …………………………………………………………………………（4分）故ππ()43x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x的值域为[-． …………………………………………（6分）（Ⅱ）因为0()f x =由（Ⅰ）有00ππ()43x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即0ππ4sin 435x⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由010233x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，得0ππππ4322x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，，所以0ππ3cos 435x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故000ππππππ(1)443434xx f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦00ππππsin cos 4343x x⎤⎛⎫⎛⎫=+++⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦4355⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．…………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设事件i A 表示“该生第i 个项目测试过关”，123i =，，， 依题意，1234()()()5P A P A x P A y ===，，，因为1(0)(1)(1)54(3)5P x y P xy ξξ⎧==--⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，，所以16(1)(1)51254245125x y xy ⎧--=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，即1,625x y xy +=⎧⎪⎨=⎪⎩且x y >，解得3525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，……………………………………………………………………（4分）于是，123123123(1)()()()a P P A A A P A A A P A A A ξ===++423133122555555555=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯37125=， 63724581(0)(1)(3)1125125125125b P P P ξξξ=-=-=-==---=， 故该生至少有2个项目测试过关的概率：582482(23)125125125P ξξ===+=或． ……………………………………………（8分）（Ⅱ）9()0(0)1(1)2(2)3(3)5E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+⨯=+⨯==．…………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）如图4，取AB 的中点E ，连接SE ，ED ，过F 作FG SE ∥交ED 于G ， 因为平面SAB ABCD ⊥平面，并且2SA SB AB ===， SE ABCD ⊥∴平面，FG ACD ⊥∴平面，又ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，SE =且12FG SE ==，122sin1202ACD S =︒△ ∴三棱锥S −FAC 的体积S FAC S ACD F ACD V V V ---=-三棱锥三棱锥三棱锥1111332232S ACD V -===三棱锥． …………………………………………（6分）（Ⅱ）连接AC ，BD 交于点O ，取AB 的中点E ，连接SE ，则BD AC ⊥，SE AB ⊥，以O 为原点，AC ，BD 为轴建系如图5所示，设直线BD 与平面FAC 所成角为α，则(00)A ，，00)C ，，(010)B -，，，(010)D ，，，12S ⎛- ⎝，14F ⎛ ⎝⎭，，所以，314AF ⎛= ⎝⎭，，00)AC =，， 设平面FAC 的法向量为(1)n x y =，，，33104AF n x y =++=，230AC n x ==，得(01)n =-，， ……………………………………………………………（8分） 又(020)BD =，，，………………………………………………………………（10分）所以4sin |cos ,|n BD α=〈〉==，故直线BD 与平面FAC …………………………（12分）（说明：以E 点为原点，AB ，ED ，ES 为x ，y ，z 轴建系，可参照给分．） 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得b 1)在椭圆上， 所以22211a b +=，解得2a =， 所以椭圆Γ的方程为22142x y +=．…………………………………………（4分）（Ⅱ）当直线l 平行于x 轴时，则存在y 轴上的点B ，使||||||||BM AN AM BN =，设0(0)B y ，；当直线l垂直于x轴时，(0(0M N，，，若使||||||||BM AN AM BN=，则|||| |||| BM AM BN AN=，=，解得1y=或2y=．所以，若存在与点A不同的定点B满足条件，则点B的坐标只可能是(02)，．………………………………………………………………………………（6分）下面证明：对任意直线l ，都有||||||||BM AN AM BN=，即||||||||BM AMBN AN=．当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为1y kx=+．设M，N的坐标分别为1122()()x y x y，，，，由221421x yy kx⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(21)420k x kx++-=，其判别式22(4)8(21)0k k∆=++>，所以，121222422121kx x x xk k+=-=-++，，因此，121212112x xkx x x x++==．易知点N关于y轴对称的点N'的坐标为22()x y-，，又11111211BMy kxk kx x x--===-，2222212111BNy kxk k kx x x x'--===-+=---，所以BM BNk k'=，即B M N'，，三点共线，所以12||||||||||||||||xBM BM AMxBN BN AN==='．故存在与点A不同的定点(02)B，，使得||||||||BM AN AM BN=．21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）221(1)ln ()()(1)2x xa x g x f x x x +-''=+=-++，依题意，(1)0g '=，据此，221(11)ln110(11)21a ⨯+--=+⨯，解得2a =． …………………………（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知ln 1()1x f x x x=++， 由ln ()1x n f x x x >+-，得ln 1ln 11x x nx x x x+>++-， 于是22ln ln 11(2ln 1)111x x x x n x x x x x x<+-=-++--对0x >且1x ≠恒成立， 令2()2ln 1h x x x x =-+，则()2ln 22h x x x '=+-，再次求导2()20h x x''=-<， ①若1x >，可知()h x '在区间(1)+∞，上递减，有()(1)0h x h ''<=， 可知()h x 在区间(1)+∞，上递减，有()(1)0h x h <=， 而2101x <-， 则21()01h x x >-， 即221(2ln 1)01x x x x-+>-； ②若01x <<，可知()h x '在区间(01)，上递增，有()(1)0h x h ''<=， 可知()h x 在区间(01)，上递减，有()(1)0h x h >=，而2101x>-， 则21()01h x x >-，即221(2ln 1)01x x x x-+>-． 故当221(2ln 1)1n x x x x<-+-恒成立时，只需(0]n ∈-∞，，又n 为整数， 所以，n 的最大值是0．………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】 证明：（Ⅰ）∵∠ADE =∠ABD +∠BAD ，∠DAE =∠DAC +∠EAC ， 而∠ABD =∠EAC ，∠BAD =∠DAC ，∴∠ADE =∠DAE ，（Ⅱ）ABE CAE AEB CEA ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∵，ABE CAE ∴△∽△， ABE CAE ∠=∠∵，AB BE AC AE =∴，又AB DB AC DC =∵， DB BEDC AE=∴，即DB AE DC BE =， 由（Ⅰ）知EA ED =， DB DE DC BE =∴．…………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由53x t y t ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，，得53x t y t ⎧+=⎪⎨-⎪⎩，，消去参数t ，得22(5)(3)2x y ++-=， 所以圆C 的普通方程为22(5)(3)2x y ++-=．由πcos 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin θθ=， 即cos sin 2ρθρθ-=-， 换成直角坐标系为20x y -+=，所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=．……………………………………（5分）（Ⅱ）π2(2π)2A B ⎛⎫⎪⎝⎭∵，，，化为直角坐标为(02)(20)A B -，，，在直线l 上，并且||AB =设P点的坐标为(53)t t -，，则P点到直线l的距离为d==，mind==∴，所以PAB△面积的最小值是1222242S==．…………………………（10分）（说明：用几何法和点到直线的距离公式求d==）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（Ⅰ）解：(1)(2)4f x f x+++<，即|1|||4x x-+<，①当0x≤时，不等式为14x x--<，即32x>-，32x-<∴≤是不等式的解；②当01x<≤时，不等式为14x x-+<，即14<恒成立，01x<∴≤是不等式的解；③当1x>时，不等式为14x x-+<，即52x<，512x<<∴是不等式的解．综上所述，不等式的解集为3522⎛⎫-⎪⎝⎭，．…………………………………………（5分）（Ⅱ）证明：2a>∵，()()|2||2|f ax af x ax a x+=-+-∴|2||2|ax ax a=-+-|2||2|ax a ax=-+-≥|22||22|2ax a ax a-+-=->，()()2x f ax af x∀∈+>R∴，恒成立．…………………………………………（10分）。

文科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合}2|{>=x x S ，}012|{2≤--=x x x T ，则=T S A ．),3[+∞ B ．),4[+∞ C ．]3,2( D ．]4,2( 2．=+ii215 A ．i +2 B ．i +-2 C ．i -2 D ．i --23．语文、数学、英语共三本课本放成一摞，语文课本与数学课本恰好相邻放置的概率是 A ．61 B ．31 C ．21 D ．32 4．若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，则双曲线12222=-by a x 的渐近线方程为A ．x y 23±= B ．x y 3±= C ．x y 21±= D ．x y ±=5．下列有关命题的说法错误的是A ．若“p ∨q ”为假命题，则p ，q 均为假命题B ．“1=x ”是“1≥x ”的充分不必要条件C ．“21s i n =x ”的必要不充分条件是“6π=x ” D ．若命题0R 200≥∈∃x x p ，：，则命题0R 2<∈∀⌝x x p ，：6． 如图1，网格纸的小正形的边长是1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为 A ．25 B ．27 C ．432+D ．333+ 7．将函数)64sin(3)(π+=x x f 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移6π个单位长度得到函数)(x g y =的图象，则)(x g y =A ．12π=x B ．6π=xC ．6π-=xD ．32π=x8．执行如图2所示的程序框图，如果输入的t x ,均为2，则输出的M A ．21B ．23C ．25D ．279．已知F 是抛物线x y 42=的焦点，B A ，抛物线上的两点，|||+AF 的中点到y 轴的距离为A ．4B ．5C ．6D ．11 10．已知如图3所示的三棱锥ABC D -的四个顶点均在球O ABC ∆和DBC ∆所在的平面互相垂直，3=AB ，3=AC ，32===BD CD BC ，则球O 的表面积为A ．π4B ．π12C ．π16D ．π3611．下列结论：①函数)0)(31(>-=x x x y 有最大值121；②函数=y 最大值10；③若0<a ，则4)11)(1(≥++a a ．正确的序号是A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③12．设函数b bx x x f ()(3+-=为常数)，若方程0)(=x f 的根都在区间]2,2[-内，且函数图1)(x f 在区间)1,0(上单调递增，则b 的取值范围是A ．),3[+∞B ．]4,3(C ．]4,3[D ．]4,(-∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～24题为选考题，考生根据要求作答．把答案填写在答题卡上相应的位置，在试题卷上作答无效．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设变量y x ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤-,2,2,1y y x y x 则目标函数22y x z +=的取值范围是 ．14．ABC ∆中，点M 是ABC ∆的重心，若存在实数m ，使得AM m AC AB =+成立，则m 等于 ． 15．已知)2,0(πα∈，且3)4t an (=+πα，则=--+)c o s s i n 4l g ()c o s 6s i n 8l g (αααα ．16．已知)(x f 是偶函数，且=+)2(x f )(x f ，当]1,0[∈x 时，x x f =)(，那么在区间]3,1[-内，关于x 的方程R (1)(∈++=k k kx x f 且)1-≠k 有4个不同的根，则k 的取值范围是 ．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）（Ⅱ）求数列}{n c 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）如图4，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60=∠ABC ，⊥PA 平面ABCD ，E 为PC 中点．（Ⅰ）求证：平面BED ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若90=∠BED ，求三棱锥BDP E -的体积．19．（本小题满分12分）2015男篮亚锦赛决赛阶段，中国男篮以9连胜的不败战绩赢得第28届亚锦赛冠军，同时拿到亚洲唯一1张直通里约奥运会的入场券．赛后，中国男篮主力易建联荣膺本届亚锦赛MVP(最有价值球员)，下表是易建联在这9场比赛中投篮的统计数据．注：（1）表中b a /表示出手b 次命中a 次；（2）00T S (真实得分率)是衡量球员进攻的效率，其计算公式为：罚球出手次数）投篮出手次数全场得分⨯+⨯=44.0(2T S 00．（Ⅰ）求表中x 的值；ACDE P图480 100 120 中国队∙ ∙ ∙ ∙ ∙（Ⅱ）从上述9场比赛中随机选择一场，求易建联 在该场比赛中00T S 超过0050的概率；（Ⅲ）用x 来表示易建联某场的得分，用y 来表示中 国队该场的总分，画出散点图如图5所示，请根据 散点图判断y 与x 之间是否具有线性相关关系？结 合实际简单说明理由．20．（本小题满分12分）已知椭圆C 的焦点在x 轴上，离心率等于552，且过点)552,1(． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于B A ，两点，交y 轴于M 点，若BF MB AF MA 21λλ==，，求证：21λλ+为定值．21．（本小题满分12分）已知函数k x kx e x f x，，R )(∈-=为常数，e 是自然对数的底数．（Ⅰ）当e k =时，求)(x f 的最小值；（Ⅱ）当0>k ，且对于任意0|)(|R >∈x f x ，恒成立，试确定实数k 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】如图6，P 为⊙O 外一点，PC 交⊙O 于F ，C ，PA 切⊙O 于B A ，为线段PA 的中点，BC 交⊙O 于D ，线段PD 的延长线与⊙O 交于E ，连接FE ．求证：（Ⅰ）PBD ∆CBP ∆； （Ⅱ）FE AP //．23．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，已知圆C 的参数方程为ϕϕϕ(,sin ,cos 1⎩⎨⎧=+=y x 为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线33)cos 3(sin =+θθρ：l ，射线3πθ=：OM ．射线OM 与圆C 的交点为P O ,，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．24．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数||)(a x x f -=．（Ⅰ）当2=a 时，解不等式|1|4)(--≥x x f ； （Ⅱ）若1)(≤x f 的解集为]2,0[，)00(211>>=+n m a nm ，，求证：42≥+n m ．云南师大附中2016届高考适应性月考卷（三）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．由已知得{}|34T x x=-≤≤，故(24]S T=，，故选D．2．5i5i(12i)2i12i(12i)(12i)-==+++-，故选A．3．三本书放一摞的所有可能为（语，数，英），（语，英，数），（数，语，英），（数，英，语），（英，语，数），（英，数，语）共6种放法，其中有4种情况符合条件，故数学课本和语文课本放在一起的概率为4263P==，故选D．充分不必要条件，故选C．6．所给几何体是一个长方体上面横放了一个三棱柱，其体积为1711211322V=⨯⨯+⨯⨯⨯=，故选B．7．第一次图象变换得π3sin26y x⎛⎫=+⎪⎝⎭，第二次图象变换得π()3sin26g x x⎛⎫=-⎪⎝⎭，代入选项后排除得C，故选C．8．当2x=时，2M=，11122x-=<；12x=，52M=，1112x-=-<；1x=-，32M=，1122x -=≥，程序结束．输出32M =，故选B ． 9．∵||1|2|2A B BF x A x F +=++=，10A B x x +=∴，52A Bx x +=∴，∴线段AB 的中点到y 轴的距离为5，故选B ．10．如图1所示，222AB AC BC +=∵，CAB ∠∴为直角，即过△ABC的小圆面的圆心为BC 的中点O '，ABC △和DBC △所在的平 面互相垂直，则圆心在过DBC △的圆面上，即DBC △的外接 圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径为2R =，球的表面积为24π16πS R ==，故选C ．11．①2113131(13)|3(13)|33212x x y x x x x +-⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦≤≤； ②因为0x <，所以42422810y x x =--++=≥；③因为0a >，所以11(1)1224a a a a ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭≥．故选B ．12．函数3()f x x bx =-+（b 为常数），所以2()()0f x x b x =--=的根都在区间内，所以24b ⇒≤；又因为函数()f x 在区间(0，1)上单调递增，所以2()30f x x b '=-+>在区间(0，1)上恒成立，所以3b ≥，综上可得：34b ≤≤，故选C ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．22z x y =+可看作可行域内的点到原点的距离的平方，从而有222minmax 23213z z ⎛⎫===+=，，故[213]z ∈，． 图114．∵M 是△ABC 的重心，33AB AC AM m +==∴，∴．15．π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∵，且πtan 34α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，tan 131tan αα+=-∴，1tan 2α=∴，lg(8sin 6cos )lg(4sin cos )αααα+--∴8sin 6cos 8tan 6lglg lg1014sin cos 4tan 1αααααα++====--．16．令1y kx k =++，则化为1(1)y k x -=+，即直线1y kx k =++恒过(11)M -，．根据题意，画出()[13]y f x x =∈-，，的图象与直线1y kx k =++，如图2所示．由图象可知当直线介于直线MA 与MB 之间时，关于x 的方程()1f x kx k =++(k ∈R 且1k ≠-)恰有4个不同的根．又因为0MA k =，13MB k =-，所以103k -<<．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：由已知得14nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，14123log 34nn b n ⎛⎫+== ⎪⎝⎭∴，32n b n =-∴，13(1)2(32)3n n b b n n +-=+---=∴，故数列{}n b 为等差数列． ………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：111111(32)(31)33231n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭∵，12311111111134477103231n n S c c c c n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴……图211133131n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭． ………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图3，连接AC 交BD 于O 点，连接EO ， ∵四边形ABCD 是菱形， AO CO =∴，∵E 为PC 中点， EO PA ∴ ，PA ⊥∵平面ABCD ，EO ⊥∴平面ABCD ，EO ⊂∵平面BED ，∴平面BED ⊥平面ABCD ．…………………………………（6分）（Ⅱ）解：∵四边形ABCD 是边长为2的菱形，BO DO =∴ EO ⊥∵平面ABCD ， EO BD ⊥∴，BE DE =∴．90BED ∠=︒∵，EO =∴PA =∴E BDP P ABCD P ABD E BCD V V V V ----=--1111111323232BD AC PA BD AO PA BD CO EO =--= ．………………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2658.56%2(200.445)x ==⨯+⨯．……………………………………（4分）（Ⅱ）设易建联在比赛中TS%超过50%为事件A ，则8()9P A =．………………………………………………………………（8分）（Ⅲ）不具有线性相关关系． ……………………………………………………（10分） 因为散点图并不是分布在某一条直线的周围． 篮球是集体运动，个人无法完全主宰一场比赛． ……………………………（12分）20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，图3222225,1,11caaba b⎧=⎪⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩⎝⎭⎪+=⎪⎩∴∴椭圆C的标准方程为2215xy+=．………………………………………………（4分）（Ⅱ）证明：设A，B，M点的坐标分别为11220()()(0)A x yB x y M y，，，，，，又易知F点的坐标为(20)，．显然直线l存在斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是(2)y k x=-，将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得2222(15)202050k x k x k+-+-=，……………………………………………（8分）2212122220205,1515k kx x x xk k-+==++∴，……………………………………………（9分）又12,MA AF MB BFλλ==∵，将各点坐标代入得121212,22x xx xλλ==--，…………………………………（11分）121212121212122()22242()x x x x x xx x x x x xλλ+-+=+=---++∴2222222220205215151020205421515k kk kk kk k⎛⎫--⎪++⎝⎭==---+++．………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由ek=得()e exf x x=-，所以()e exf x'=-．由()0f x'>得1x>，故()f x的单调递增区间是(1)+∞，，由()0f x'<得1x<，故()f x的单调递减区间是(1)-∞，．所以函数()f x有最小值(1)e e0f=-=．………………………………………（4分）（Ⅱ）由(||)(||)f x f x-=可知(||)f x是偶函数．于是(||)0f x>对任意x∈R成立等价于()0f x>对任意0x≥成立．由()e0xf x k'=-=得lnx k=．①当(01]k∈，时，()e10(0)xf x k k x'=->->≥，此时()f x 在[0)+∞，上单调递增，故()(0)10f x f =>≥，符合题意．②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．当x 变化时()f x '，()f x 的变化情况如下表：由此可得，在[0)+∞，上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥，依题意，ln 0k k k ->，又1k >，1e k <<∴．综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<．……………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】证明：（Ⅰ）如图4，∵PA 切⊙O 于A ，2BA BD BC = ∴， ∵B 为线段PA 的中点，PB BA =∴，2PB BD BC = ∴，即PB BC BD PB=， PBD CBP ∠=∠∵， PBD CBP ∴△∽△． ………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）PBD CBP ∵△∽△，BPD C ∠=∠∴，C E ∠=∠∵，BPDE ∠=∠∴，AP FE ∴∥． ……………………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）圆的普通方程为：22(1)1x y -+=．cos sin x y ρθρθ==∵，，∴圆C 的极坐标方程为：2cos ρθ=． …………………………………………（5分）（Ⅱ）设11()ρθ，为点P 的极坐标， 则1112cos π3ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，， 图4解得111π3ρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，. 设22()ρθ，为点Q 的极坐标，则2222(sin )π3ρθθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 解得223π3ρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，， 12θθ=∵，122PQ ρρ=-=∴，∴线段PQ 的长为2． …………………………………………………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（Ⅰ）解：当2a =时，不等式为|2||1|4x x -+-≥．∵方程|2||1|4x x -+-=的解为121722x x =-=，， ∴不等式的解集为1722⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，，． ……………………………………（5分） （Ⅱ）证明：由()1f x ≤得||1x a -≤，解得11a x a -+≤≤，而()1f x ≤的解集为[02]，，1012a a -=⎧⎨+=⎩，∴， 1a =∴，111(00)2m n m n+=>>∴，， 1122(2)2422n m m n m n m n m n⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭∴≥． ………………………………（10分）。

云南师大附中2016届高考适应性月考卷（二）理科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．函数f(x)＝ln （2x 一1)的定义域为A. ( 0，＋∞）B.（1，＋∞）C.（一1，1）D.（一∞，一1）U （1，＋∞）2.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点（一1，2），则C 的离心率为ABCD3、已知等差数列｛n a ｝中，1n n a a +<，且37469,10a a a a =+== 9，则此等差数列的公差d ＝A 、－4B 、－3C 、－2D 、13-4、已知,*x y N ∈且满足约束条件1225x y x y x -<⎧⎪->⎨⎪<⎩，则x y +的最小值为A 、6B 、5C 、4D 、35、一个棱锥的三视图如图1所示，其中侧视图为正三角形，则四棱锥侧面中最大侧面的面积是 A 、1 B、4CD、46、已知平行四边形ABCD 中，点E ，F 满足2AE EC =，3BF FD =，则A 、151212EF AB AD =- B 、511212EF AB AD =-+ C 、511212EF AB AD =- D 、151212EF AB AD=-+7、已知,*,()2x a b N f x e x ∈=-，则“()()f a f b >”是“a b >”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件8、已知函数()c o s (2)(||f x x ϕϕπ=+<的图象向右平移12π个单位后得到()sin(2)3g x x π=-的图象，则ϕ的值为A 、－23πB 、－3πC 、3π D 、23π9、执行如图2所示的程序框图，若输入a ＝1，则输出的k ＝A 、8B 、9C 、10D 、1110、已知三棱锥O －ABC 的顶点A ，B ，C 都在半径为2的球面上，O 是球心，∠AOB ＝120°，当△AOC 与△BOC 的面积之和最大时，三棱锥O －ABC 的体积为A 、2 B 、3 C 、23 D 、1311、已知圆C ：222430x y x y +--+=，若等边△PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则｜PC ｜的最大值为A B C 、 D 、12、已知函数ln |1|,1(),()(2)(2)0,1x x f x g x a x a x a x -≠⎧==+-+⎨=⎩，若f （x ）与g （x ）同时满足条件：①,()0()0x R f x g x ∀∈>>或；②000(,1],()()0x f x g x ∃∈-∞-<，则实数a 的取值范围是A 、（－∞，－1）（12，2） B 、（－∞，－1）（0，23）（23，2） C 、（－∞，0）（12，2） D 、（－∞，0）（0，23）（23，2）第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（20分）13、已知复数(1)(2),z i i =+-则｜z ｜＝14、若函数23()21x x a f x +=-是奇函数，则a ＝15、已知集合A ＝｛（x ，y ）｜221,,x y x y Z +≤∈｝，B ＝｛（x ，y ）｜||2,||3,,x y x y Z ≤≤∈｝，设集合M ＝｛（x 1＋x 2，y 1＋y 2）｜1122(,),(,)x y A x y B ∈∈｝，则集合M 中元素的个数为 16．已知函数f （x ）的定义域为R ，对任意的x ，y 都有())()()2f x y f x f y +=+-，且当x ＞0时，f （x ）＜2，若数列{}n a 满足a 1=f （0），且1()4((1))n n n f a f a n +=----（*n N ∈），则a 2015＝＿＿＿＿＿·三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。

云南省师范大学附属中学2017届高三数学上学期适应性考试月考试题（四）文（扫描版）云南师大附中2017届高考适应性月考卷（四）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．因为{|02}A x x =<<，{|11}B x x x =-R ≤或≥ð，所以(){|12}A B x x =<R ≤ðI ，故选B ． 2．11(1i)(1i)1i i i izz ---+-===，故选A ． 3．22πsin 2cos 2cos sin 2αααα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭22222222cos sin cos (2cos )3cos sin cos (2cos )5αααααααα--===-++，故选D ．4．作出可行域，目标函数23z x y =-+可化为23y x z =-+，则3z -+为该直线在y 轴上的截距，当直线过(01)，时，截距取得最大值，此时z 取得最小值为2，故选C ． 5．第一次循环：12S =，4n =，2k =；第二次循环：1124S =+，6n =，3k =；…，第十次循环：10112n S n==∑，22n =，11k =，结束循环，故选B ． 6．由题意||a b b 12=，故12=a b ，于是22223+=++=a b a b a b ()，所以+||a b C ． 7．该多面体是棱长为6的正方体，截去左前上角和右后上角两个体积相等的三棱锥得到的几何体，则该多面体的体积为331162614432⎛⎫-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选C ．8．拨打电话的所有可能结果共有3515⨯=种，所以玲玲输入一次号码能够成功拨对的概率是115，故选D ．9．设球O 的半径为R ，则34π288π3R =，6R =．如图1，当点C 位于垂直于平面A O B 的直径的端点时，三棱锥O A B C -的体积最大，31366O ABC C AOB V V R --===，故选A ．10．由题意b 113=，解得29a =，从而c =，故选B ．11．1()ln(ln )1x x f x x x ⎧=⎨>⎩，≤，，，当1x ≤时，()f x 值域为(1]-∞，，当1x >时，()f x 值域为()-∞+∞，． 图1因为0a >，所以()1g t a t =-在(e )+∞，上是增函数，则()g t 在(e )+∞，上的值域为(e 1)a -+∞，．由题意知，e 11a -≥，解得2e a ≥，故正实数a 的取值范围是2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，，故选D ．12．①②显然正确；πsin 2cos 224y x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，得ππ3π2444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，，令πππ2442x --≤≤，得函数的增区间为3π08⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，故③正确；()f x 的图象向左平移π12个单位得到函数πππcos 2cos 2sin 21232y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，显然为奇函数，其图象关于原点对称，故④正确，故选D ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．()ln f x x '=-，则(e)1f '=-，又(e)0f =，所以切线方程为e 0x y +-=．14．设A ，B 两点的纵坐标分别为1y ，2y ，由222p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得2220y py p --=，于是12224y y p +==⨯，4p =，所以，该抛物线的准线方程为2x =-．15．121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-L(1)92382n n n +=++++=+L ，则2n an n=+ 1619n +≥，当且仅当4n =时取等号，所以2n a n 的最小值为9． 16．设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由正弦定理得sin sin sin b c a B C A ===sin)b c B C +=+=6=，由余弦定理可知，22π2cos 163b c bc +-=，即2()316b c b c +-=，得203bc =，所以1sin 2ABC S bc A ==△．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：由22a =，且4a ，6a ，9a 成等比数列，得2(24)(22)(27)d d d +=++，化简得2d d =， ∵0d ≠，∴1d =，11a =，数列{}n a 的通项公式为()n a n n *=∈N ． ……………………………（6分） （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知1111(2)22n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，故1111111112233452n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++-++++⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦11113111122124212n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭． ∵n *∈N ，∴11012n n +>++， ∴3<4n T ．……………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图2，∵D 是棱1AA 中点， ∴1AD A D =．在Rt ACD △中，AC AD =，∴45ADC ∠=︒， 同理1145A DC ∠=︒，故190C DC ∠=︒，∴1DC DC ⊥． 又1DC BD ⊥，DCBD D =，∴1DC ⊥平面BDC ，又BC ⊂平面BDC ，∴1DC BC ⊥． ………………（6分） （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知1BC DC ⊥，又1BC CC ⊥， ∴BC ⊥平面11ACC A ，从而平面11BCC B ⊥平面11ACC A ， 又1AC CC ⊥，∴AC ⊥平面11BCC B ， 于是2AC =，即为三棱锥1D BCC -的高，∴1111833C BDC D BCC BCC V V S AC --===△． …………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）3 1.8t y ==，，∴ˆ0.33 1.80.3330.81ay t =-=-⨯=， 使用年限为5年时，每台设备每年的平均费用为：155 1.82.85y +⨯==（万元）． ………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，ˆ0.330.81yt =+， 所以，当使用年限为10年时，每台设备每年的平均费用约为：图2250.33(1210)100.813.12510y +++⋅⋅⋅++⨯==（万元）． 因为12y y <，所以甲更有道理．………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）把点1M ⎫⎪⎪⎝⎭代入221y x m +=，可得2m =， 所以椭圆C 的方程为2212y x +=，焦点坐标分别为1(01)F -，，2(01)F ，． …………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）直线l 过焦点2(01)F ，，由12M ⎫⎪⎪⎝⎭知2MF y ⊥轴，记直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ， 当直线2MF 平分AM B ∠时，120k k +=. 设11()A x y ，，22()B x y ，，由221,12y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得，22(2)210k x kx ++-=，故12222k x x k -+=+，12212x x k -=+，所以122k k k ⎛⎫+==0k ==，即12124)0x x x x +=，故2402k -+=+，解得k 从而221212123()()42x x x x x x -=+-=，即12||x x -=∴1ABF △的面积121211||||222S F F x x =-=⨯=． …………………（12分） 21．（本小题满分12分）的定义域是R 当0x >时，e 1x >，()0f x '<； 当0x <时，e 1x <，()0f x '<； 当0x =时，()0f x '=．∴函数()f x 在()-∞+∞，上单调递减，即()-∞+∞，为其单调递减区间． ………（5分）（Ⅱ）∵0x >，故2()()x k f x x x '-<+()(e 1)1x k x x ⇔--<+， ．令()e 2x h x x =--，则当0x >时，()e 10x h x '=->，()h x 在(0)+∞，上单调递增， 且(1)0h <，(2)0h >，故()h x 在(0)+∞，上存在唯一零点，设此零点为0x ，则0(12)x ∈，，000()e 20x h x x =--=，即00e 2x x =+， 当0(0)x x ∈，时，()0g x '<，当0()x x ∈+∞，时，()0g x '>，∴01k x <+，又k 为整数，∴k 的最大值为2． ………………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）动抛物线C 的顶点坐标为2cos 12sin )([02π))θθθ+∈，，，则曲线E 的参数方程为2cos ([02π))12sin x y θθθθ⎧=⎪∈⎨=+⎪⎩，为参数,，，.由直线l 的极坐标方程是πcos 26ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，1cos sin 22θρθ-=，则直线l 40y --=． …………………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，曲线E 的普通方程为22((1)4x y +-=，曲线E 是以1)为圆心，2为半径的圆，则圆心1)到直线l 40y --=的距离为1d ==，∴直线l 被曲线E 截得的弦长为= ……………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）当1a =-时，不等式()+33f x x ≤，可化为|1|33x x ++≤，∴10+133x x x +⎧⎨+⎩≥，≤或10133x x x +<⎧⎨--+⎩，≤，解得112x -≤≤或1x <-，∴不等式()+33f x x ≤的解集为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤． ……………………………………（5分）（Ⅱ）()1f x ≤即11a x a -+≤≤， 而()1f x ≤的解集为[24]，， ∴1=21=4a a -⎧⎨+⎩，，解得3a =， ∴112m n+=3(00m n >>，)，从而(2m n +)112=222n mm n m n⎛⎫+++ ⎪⎝⎭≥，∴423m n +≥（当且仅当2=2n mm n，且1132m n +=，即23m =，13n =时等号成立）， ∴2m n +的最小值为43． ………………………………（10分）。

一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1。

设集合2{|4}M x x =≤，2{|log 1}N x x =≤,则M N =（ )A ．[2,2]-B ．{2}C ．(0,2]D ．(,2]-∞【答案】C考点:1、不等式的解法；2、集合的运算。

2。

设i 是虚数单位，复数2a i i+-是纯虚数，则实数a=（ ) A ．—2 B ．2 C ．12-D ．12【答案】D 【解析】试题分析：因为i (i)(2i)(21)(2)i 2i 55a a a a +++-++==-是纯虚数，所以210a -=，得12a =,故选D ．考点：1、复数的概念;2、复数的除法运算。

3.某班级有50名学生，现用系统抽样的方法从这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号为1~50号，并按编号顺序平均分成10组(1～5号，6～10号，…，46～50号），若在第三组抽到的编号是13，则在第七组抽到的编号是( ) A ．23 B ．33 C ．43 D ．53 【答案】B【解析】试题分析:抽样间隔为50510=，由系统抽样的特点，可得所抽编号成等差数列，由等差数列通项知734533aa =+⨯=，故选B 。

考点：1、系统抽样的方法；2、等差数列的通项。

4。

已知,a b ，其中||1,||2a b ==,且()a a b ⊥-,则向量a 和b 的夹角是（ ) A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π【答案】B考点：1、向量的概念；2、向量的数量积。

5。

若函数()sin 3cos f x x x ωω=，0ω>,x R ∈，又1()2f x =，2()0f x =，且12||x x -的最小值为32π，则ω的值为( ） A ．13B ．23C ．43D ．2【答案】A 【解析】试题分析:13π()2(sin )2sin 23f x x x x ωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因为12||x x -的最小值为3π42T =，所以26π=T πω=，所以13ω=,故选A 。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数2()ln(1)f x x =-的定义域为( )A. (0,)+∞B. (1,)+∞C. (1,1)-D. (,1)(1,)-∞-+∞ 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得210x ->，即(1)(1)0x x +->，所以1x <-或1x >，故选D ． 考点：函数的定义域.2.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点（一1，2），则C 的离心率为（ ）A B C D 【答案】A考点：双曲线的离心率.3.已知等差数列｛n a ｝中，1n n a a +<，且37469,10a a a a =+=，则此等差数列的公差d ＝（ ）A 、－4B 、－3C 、－2D 、13- 【答案】C 【解析】试题分析：{}n a ∵是等差数列， 463710a a a a +=+=∴，由3737910a a a a =⎧⎨+=⎩，， 且1n n a a +<得，3791a a =⎧⎨=⎩，， 7324a a d -==-∴，故选C ． 考点：等差数列的通项公式和性质.4.已知,*x y N ∈且满足约束条件1225x y x y x -<⎧⎪->⎨⎪<⎩，则x y +的最小值为（ ）A 、6B 、5C 、4D 、3 【答案】A考点：线性规划.5.一个棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则四棱锥侧面中最大侧面的面积是（ ） A 、1 B【答案】D考点：棱锥的侧面积.6.已知平行四边形ABCD 中，点E ，F 满足2AE EC = ，3BF FD =，则（ ）A 、151212EF AB AD =- B 、511212EF AB AD =-+C 、511212EF AB AD =- D 、151212EF AB AD =-+【答案】B 【解析】试题分析：如图3所示，由题意得22()33AE AC AB AD ==+ ，33()44BF BD AD AB ==-，所以EF EA AB BF =++ 23()()34AB AD AB AD AB =-+++- 511212AB AD =-+，故选B ．考点：向量的运算.7.已知,*,()2x a b N f x e x ∈=-，则“()()f a f b >”是“a b >”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件 【答案】C考点：充分必要条件、函数的单调性.8.已知函数()c o s (2)(|f x x ϕϕπ=+<的图象向右平移12π个单位后得到()s i n (2)3g x x π=-的图象，则ϕ的值为（ ） A 、－23π B 、－3πC 、3π D 、23π【答案】A考点：三角函数的图象变换.【方法点睛】本题主要考查三角函数图象的变换，1.ϕ对图象的影响：（1）0ϕ>，图象向左平移；（2）0ϕ<，图象向右平移.2. ω对图象的影响：（1）1ω>，周期变小，因此图象上所有点的横坐标缩短为原来的1ω倍；（2）01ω<<，周期变大，因此图象上所有点的横坐标伸长为原来的1ω倍.3.A 对图象的影响：（1）1A >时，图象上所有点的纵坐标伸长为原来的A 倍； （2）01A <<时，图象上所有点的纵坐标缩短为原来的A 倍.9.执行如图所示的程序框图，若输入a ＝1，则输出的k ＝（ ） A 、8 B 、9 C 、10 D 、11【答案】C考点：程序框图.10.已知三棱锥O ABC -的顶点A ，B ，C 都在半径为2的球面上，O 是球心，0120AOB ∠=，当△AOC ∆与BOC ∆的面积之和最大时，三棱锥O ABC -的体积为( )A B 、23 D 、13【答案】B 【解析】试题分析：设球O 的半径为R ，21(sin sin )2AOC BOC S S R AOC BOC +=∠+∠△△∵，∴当AOC BOC ∠=∠ 90=︒时，AOC BOC S S +△△ 取得最大值，此时OA OC ⊥，,OB OC OB OA O ⊥= ，OC ⊥∴平面AOB ，O ABC C OAB V V --=∴3111sin sin 326OC OA OB AOB R AOB =∠=∠ =，故选B ． 考点：三棱锥的体积.11.已知圆C ：222430x y x y +--+=，若等边△PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则｜PC ｜的最大值为（ ）A B C 、 D 、【答案】C考点：圆的性质、三角函数最值、利用导数求函数最值.【思路点睛】法一、先由ACB ∆为等腰三角形，得出D 为中点，再由PAB ∆为等边三角形，得出PD AB ⊥，在ADC ∆中，将||AB 和||CD 用θ表示，从而求出||PD 的值，得到||||||PC CD PD =+的表达式，用三角函数的有界性求最值；法二：设出边AD 的长x ，根据已知条件表示出||PC ，再利用导数求出函数的最值.12.已知函数ln |1|,1(),()(2)(2)0,1x x f x g x a x a x a x -≠⎧==+-+⎨=⎩，若()f x 与()g x 同时满足条件：①,()0()0x R f x g x ∀∈>>或；②000(,1],()()0x f x g x ∃∈-∞-<，则实数a 的取值范围是（ ）A 、（－∞，－1） （12，2）B 、（－∞，－1） （0，23） （23，2）C 、（－∞，0） （12，2）D 、（－∞，0） （0，23） （23，2）【答案】B考点：分段函数图象、二次函数的图象和性质.【思路点睛】先画出分段函数()f x 的图象，结合条件①，得()0g x >在[0,2]上恒成立，由条件②得0(1]x ∃∈-∞-，，0()0g x <，对a 是否得0进行讨论，当0a =时，()g x 恒等于0，不符合题意，当0a ≠时，分0a >和0a <进行讨论，根据二次函数的图象讨论方程根的位置.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知复数(1)(2),z i i =+-则｜z ｜＝ .【解析】试题分析：由题意得3i z =+，所以||z 考点：复数的模.14.若函数23()21x xa f x ⨯+=-是奇函数，则a ＝ . 【答案】3考点：函数的奇偶性.15.已知集合A ＝｛（x ，y ）｜221,,x y x y Z +≤∈｝，B ＝｛（x ，y ）｜||2,||3,,x y x y Z ≤≤∈｝，设集合M ＝｛（x 1＋x 2，y 1＋y 2）｜1122(,),(,)x y A x y B ∈∈｝，则集合M 中元素的个数为 . 【答案】59考点：集合中的元素个数问题.【思路点睛】先分析出集合A 和B 中的元素，从A 中的元素逐个分析，当11()(00)x y =，，时，B 中的元素都在M 中，当11()(10)(10)x y =-，，，，时，M 中元素在原来基础上多横坐标为3和-3的7个，当11()(01)(01)x y =-，，，，时，M 中元素在原来基础上多纵坐标为4和-4的5个，再算总数.16.已知函数f （x ）的定义域为R ，对任意的x ，y 都有()()()2f x y f x f y +=+-，且当x ＞0时，()2f x <，若数列{}n a 满足1(0)a f =，且1()4((1))n n n f a f a n +=---⨯-（*n N ∈），则2015a = . 【答案】1009 【解析】试题分析：任取12x x <且1x ，2x ∈R ，210x x ->∴，21()2f x x -<∴，又由题意，得 2211()[()]f x f x x x =-+2111()()2()f x x f x f x =-+-<，()f x ∴在R 上是减函数． (0)(0)(0)2f f f =+-∵，(0)2f =∴，1()4((1))n n n f a f a n +=---⨯-∵，11((1))()((1))22(0)n n n n n n f a a n f a f a n f ++--⨯-=+--⨯--==∴，又()f x 在R 上是减函数，1(1)0n n n a a n +--⨯-=∴，即*1(1)()n n n a a n n +-=⨯-∈N ，20152015201420142013211()()()2014201312a a a a a a a a =-+-++-+=-+-+∴…… (20142013)(20122011)(21)21009=-+-++-+=…．考点：抽象函数的单调性、累加法.【思路点睛】本题考查抽象函数的单调性、累加法等基础知识，先利用单调性的定义证明()f x 在R 上的单调性，再赋值0x y ==，得出(0)2f =，再利用已知1()4((1))n n n f a f a n +=---⨯-和()()()2f x y f x f y +=+-转化出1(1)0n n n a a n +--⨯-=∴，再利用累加法求2015a .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1a =，A ＝4π，sin()sin()144b Cc B ππ+=++.（I ）求B ，C 的值； （II ）求ABC ∆的面积．【答案】（1）5ππ88B C ==，；（2）14S =.（Ⅱ）由sin sin a b A B =，得sin 5πsin 8a Bb A ==，15πππππ1sin sin sin 2888844ABC S ab C =====△∴． ………………………………………………………………………………（12分）考点：正弦定理、两角和与差的正弦公式、三角形面积公式、诱导公式. 18.（本小题满分12分）如图3，多面体ABCDEF 中，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，已知//AB CD ，AD CD ⊥，2AB =，4CD =，直线BE 与平面ABCD （Ⅰ）求证：平面BCE ⊥平面BDE ；（II ）求平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明详见解析；（2.（Ⅱ）解：由题知，DA ，DC ，DE 两两垂直，如图6，以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则(000)(2,0,0),(220)(202)(040)(002)D A B F C E ，，，，，，，，，，，，，，， 取平面CDE 的一个法向量(200)DA =，，， 设平面BDF 的一个法向量()x y z =，，n ，则00DB DF ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，，n n 即00x y x z +=⎧⎨+=⎩，，令1x =，则1y z ==-， 所以(111)=--，，n ．设平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的大小为θ，则cos |cos |DA θ=〈〉== ，n所以平面BDF与平面CDE……………………（12分）考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角.19.【题文】（本小题满分12分）为了了解中学生的体能状况，某校抽取了n名高一学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中第二小组频数为14．（I）求频率分布直方图中a的值及抽取的学生人数n；（II）现从跳绳次数在［179.5，199.5］内的学生中随机选取3人，记3人中跳绳次数在［189.5，199.5］内的人数为X，求X的分布列和数学期望.【答案】（1）0.028EX.n=；（2）分布列详见解析，=1a=，5038312C 14(0)C 55P X ===，1248312C C 28(1)C 55P X ===，2148312C C 12(2)C 55P X ===，34312C 1(3)C 55P X ===．所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望为1428121()0123155555555E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………（12分） 考点：频率分布直方图、离散型随机变量的分布列和数学期望. 20.（本小题满分12分）已知抛物线1C ：22(0)y px p =>与椭圆2C ：2222x y m += (0)m >的一个交点为(1,)P t ，点F 是抛物线1C 的焦点，且3||2PF =· （I ）求p ，t ，m 的值；（II)设O 为坐标原点，椭圆C 2上是否存在点A （不考虑点A 为2C 的顶点），使得过点O 作线段OA 的垂线与抛物线1C 交于点B ，直线AB 交y 轴于点E,满足∠OAE ＝∠EOB?若存在，求点A 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）1,p t ==（2）点2A ⎛± ⎝⎭，2A ⎛± ⎝⎭，.（ⅰ）当点A 在第一象限时，0k >，如图7所示，此时点A ，2(22)B k k -，，22k ，设直线AB 与x 轴交于点D ．OAE EOB ∠=∠∵，90AOB DOE ∠=∠=︒，OAD AOD ∠=∠∴，DOB OBD ∠=∠，AD OD BD ==∴，即点D 是线段AB 的中点，A B y y =-∴，即2k ，25124k +=∴，218k =∴，2A ⎛ ⎝⎭∴．考点：抛物线的标准方程及其几何性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积公式. 21.（本小题满分12分）已知函数()(21)xf x e x =-，()()g x ax a a R =-∈． （I ）若()y g x =为曲线()y f x =的一条切线，求a 的值；（II)已知1a <，若存在唯一的整数0x 使得00()()f x g x <，求a 的取值范围． 【答案】（1）0320e (21)14e x a x =+=或；（2）312ea <≤.（Ⅱ）令()e (21)x F x x ax a =--+，x ∈R ， ()e (21)x F x x a '=+-，当0x ≥时，e 1x ∵≥，211x +≥，e (21)1x x +∴≥， 又1a <，()0F x '>∴，()(0)F x +∞∴在，上递增， ()(0)10F x F a =-+<∴≥，又(1)e 0F =>，则存在唯一的整数00x =使得0()0F x <，即00()()f x g x <； 当0x <时，为满足题意，()(0)F x -∞在，上不存在整数使()0F x <， 即()(1]F x -∞-在，上不存在整数使()0F x <， 1x -∵≤，e (21)0x x +<∴，①当01a <≤时，()0F x '<， ()(1]F x -∞-∴在，上递减，∴当1x -≤时，3()(1)20eF x F a -=-+≥≥， 32e a ∴≥，312ea <∴≤； ②当0a <时，3(1)20eF a -=-+<，不符合题意． 综上所述，312e a <≤． …………………………………………………………（12分）由题意，存在唯一的整数0x 使得00()()f x g x <，结合图象得(0)(0)(1)(1)g f f g >⎧⎨--⎩，≥， 即113e 2a a -->-⎧⎨--⎩，≥， 312e a <∴≤． …………………………………………………………………（12分）（解法2为数形结合的方法，作为解答题的解法不甚严密，评卷时酌情给分．）考点：利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、函数的零点.【方法点睛】一、导数的几何意义：函数在()y f x =在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率，即斜率为'0()f x ，过点P 的切线方程为'000()()y y f x x x -=-.二、函数单调性的判断：函数()y f x =在某个区间内可导，如果'()0f x >，那么()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么()y f x =在这个区间内单调递减. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）【选修4一1：几何证明选讲】如图5，已知AB 是圆O 的一条弦，延长AB 到点C 使AB BC =，过点B 作DB AC ⊥且DB AB =，连接DA 与圆O 交于点E ，连接CE 与圆O 交于点F.（I)求证：DF CE ⊥；（II ）若AB =，DF =，求BE.【答案】（1）证明详见解析；（2）BE30DCF∠=︒，在Rt CDE△中，求出4CE=，最后在BCE△中，利用余弦定理求出BE的值. 试题解析：（Ⅰ）证明：如图10所示，∵CA与⊙O交于点B，CE与⊙O交于点F，∴由割线定理，得CA CB CF CE∙=∙，AB BC DB==∵，DB AC⊥，DA DC==∴，45CDB ADB∠=∠=︒，CDA∴△是等腰直角三角形，即90CDA∠=︒，222CA CB CB DC CF CE∙===∙∴，即DC CE CF DC=．又DCE DCF∠=∠∵，CDE CFD∴△∽△，90CFD CDE∠=∠=︒∴，即DF CE⊥．……………………………………………………………………（5分）即BE = ……………………………………………………………（10分） 考点：圆中的垂直关系、割线定理、三角形相似、勾股定理、余弦定理.23.（本小题满分10分）【选修4一4：坐标系与参数方程】已知在直角坐标系x0y 中，曲线1C：sin cos x y θθθθ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（θ为参数），在以平面直角坐标系的原点）为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，曲线2C ：sin()16πρθ+=. （I ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（II)曲线1C 上恰好存在三个不同的点到曲线2C 的距离相等，分别求这三个点的极坐标.【答案】（1）224x y +=，20x -=；（2）11π26⎛⎫ ⎪⎝⎭，，5π26⎛⎫ ⎪⎝⎭，，π23⎛⎫ ⎪⎝⎭，.（Ⅱ）∵曲线1C 为圆1C ，圆心1(0,0)C ，半径为2r =，曲线2C 为直线，∴圆心C 1到直线2C 的距离1d =，∵圆1C 上恰好存在三个不同的点到直线2C 的距离相等，∴这三个点分别在平行于直线2C 的两条直线1l ，2l 上，如图11所示，考点：参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离、两直线间的距离.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；F x y 化为参数方程的关键：一是适乘法消参法；混合消参法等.把曲线C的普通方程(,)0当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性. 注意方程中的参数的变化范围.24.（本小题满分一10分）【选修4一5：不等式选讲】已知()2|2||1|f x x x =-++（I)求不等式()6f x <的解集；（II ）设m ，n ，p 为正实数，且(2)m n p f ++=，求证：3mn np pm ++≤.【答案】（1）(13)x ∈-，；（2）证明详见解析.2222()2229333m n p m n p mn np pm mn np pm ++=+++++=++∴≥， 3mn np pm ++∴≤（当且仅当m n p ==时取等号）． …………………………（10分） 考点：绝对值不等式的解法、均值不等式.。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1。

函数2()ln(1)f x x =-的定义域为（ )A.(0,)+∞ B 。

(1,)+∞ C 。

(1,1)- D.(,1)(1,)-∞-+∞【答案】D考点:函数的定义域.2。

已知复数(1)(2),z i i =+-则｜z ｜＝（ ）A 2B 10C 、2D 、2【答案】B 【解析】试题分析：由题意得3i z =+,所以2||3110z =+=故选B ．考点:复数的乘法运算、复数的模。

3.函数212()log(215)f x x x =+-的单调递增区间是（ )A.（－1,＋∞） B 。

（3，＋∞) C 。

（－∞，－1） D 。

（－∞,－5） 【答案】D【解析】 试题分析:22150xx +->∵，5x <-∴或3x >，()f x ∴的定义域为(,5)(3,)x ∈-∞-+∞，2215u x x =+-∵在(5)-∞-，上是减函数,12log y u =在(0)+∞，上是减函数,∴根据复合函数的单调性的判断，得()f x 在(5)-∞-，上是增函数，故选D ． 考点：复合函数的单调性.4.要得到sin(2)3y x π=+的图象,只需将函数的sin 2y x =图象（ ）A 、向左平移6π个单位 B 、向左平移3π个单位C 、向右平移6π个单位D 、向右平移3π个单位【答案】A考点：三角函数的平移.【方法点睛】本题主要考查三角函数图象的变换,1。

ϕ对图象的影响：（1)0ϕ>，图象向左平移;（2)0ϕ<，图象向右平移。

2。

ω对图象的影响：（1）1ω>，周期变小，因此图象上所有点的横坐标缩短为原来的1ω倍；（2）01ω<<，周期变大，因此图象上所有点的横坐标伸长为原来的1ω倍。

3。

A 对图象的影响:（1）1A >时，图象上所有点的纵坐标伸长为原来的A 倍；(2）01A <<时，图象上所有点的纵坐标缩短为原来的A 倍。

云南省昆明市云南师范大学附属中学2025届高三高考适应性月考卷（四）数学试卷一、单选题1．在复平面内，复数20242025i i z =+，则z 的虚部为（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i -2．已知a r ，b r 为单位向量，且a r在b r 上的投影向量为12b r ，则2a b -=r r （ ）A ．5BC ．3D 3．已知函数()()sin 1f x x x =-+，若()()2f a f b +=，则a b +=（ ） A ．2B ．1C ．0D ．2-4．在ABC V 中，tan tan tan tan 1A B A B ++=，则cos C =（ ）A ．B ．CD 5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，若55S =，15105S =，则20S =（ ） A ．550B ．520C ．450D ．4256．下列不等关系正确的是（ ）A ．1211ln 2sin 22<<B ．sin1cos1tan1<<C D ．234log 3log 4log 5<<7．已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>的图象的一条对称轴是2πx =，且()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个根，则ω的最大值是（ ） A ．458B ．418C ．378D ．2988．已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1 a >b >0 的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P x 1,y 1 是C 上的一点，12PF F V 的内切圆圆心为Q x 2,y 2 ，当12x =时，2x =C 的离心率为（ ）A B 1 C D ．2二、多选题9．云南的鲜花饼不仅是一种美味的糕点，更是一件艺术品，它表达了人们对生活的热爱，可以让人们在繁忙的都市生活中，感受春天的味道．因此，三朵玫瑰一个饼，深受人们的喜爱，由于现烤鲜花饼的保质期较短，为了提升品质，能让顾客吃到更新鲜的饼，某商店老板统计了该商店六月份整个月的销售量，如下表：（ ）A ．该商店六月份鲜花饼日销售量的第70%分位数是550B ．该商店六月份平均每天销售鲜花饼500个（同一组数据用该组区间中点值为代表）C ．若当天准备550个鲜花饼，则全部售完的概率为23D ．若当天准备450个鲜花饼，则没有全部售完的概率为2510．数列{}n a 满足()*1120n n n n a a a a n +++-=∈N ，11a =，则下列结论正确的是（ ）A ．若13n a nb =，则{}n b 为等比数列B ．若121111n n c n a a a ⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，则{}n c 为等差数列C ．21n a n =- D ．122111121n nn a a a a --++⋅⋅⋅+= 11．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，PA ⊥平面ABCD ，24PA AB AD CD ====，AB CD ∥，AB AD ⊥，已知点M 在平面PAD 上运动，点H 在平面ABCD 上运动，则下列说法正确的是（ ）A ．若点H 到CD 的距离等于其到平面PAB 的距离，则点H 的轨迹为抛物线的一部分B ．若BMA CMD ∠=∠，则点M 的轨迹为圆的一部分C ．若BM 与BD 所成的角为30°，则点M 的轨迹为椭圆的一部分D ．若CM 与平面ABCD 所成的角为30°，则点M 的轨迹为双曲线的一部分三、填空题12．集合15Z N 2A x x *⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭，则A 的真子集个数为个． 13．若曲线()ln 24y x =-+在3x =处的切线也是曲线2y x x a =-+的切线，则a =． 14．在ABC V 中，内角,,A B C ，所对的边分别为,,a b c ，已知1c =，22sin 1sin Bb a A=-+，且a b ≠，则sin sin B A -的最大值为．四、解答题15．近几年，我国促进新能源汽车产业发展的政策频出，积极推动新能源汽车市场的迅速发展．某新能源汽车公司为了解其对A 型充电桩进行投资后所获得的利润y （单位：百万元）关于投资金额x （单位：百万元）之间的关系，统计后得到10组样本数据，根据统计数据计算得到10140i i y ==∑，10170i i x ==∑，利润的方差2 3.6y S =，投资金额的方差212x S =，以及样本相关系数0.96r =．(1)根据样本相关系数r 判断利润y 与投资x 的相关性强弱，并求出y 关于x 的经验回归方程（精确到0.01）；(2)为了解使用A 型充电桩的车主性别与使用满意度（分为满意与不满意）的情况，该公司又随机调查了该地区150名使用A 型充电桩的车主，其中男性车主有60名对A 型充电桩的使用表示满意，有30名对A 型充电桩的使用表示不满意；女性车主中有60%对A 型充电桩的使用表示满意．将频率视为概率，用样本估计总体．已知该地区一位车主对A 型充电桩的使用表示满意，求这位车主是男性的概率．附：（ⅰ）样本相关系数()()niix x y y r --=∑[]0.75,1r ∈时，相关性较强，当[)0.3,0.75r ∈时，相关性一般；（ⅱ）经验回归方程ˆˆˆya bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-； （ⅲ57.47．16．已知{}n a 是正项递增的等比数列，且2664a a =，3520a a +=．数列{}n b 是等差数列，且()212n n b n n C +=++．(1)分别求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式； (2)设()111nn n n n c a b b +=-+，求数列{}n c 前n 项和n S ． 17．如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为等腰梯形，AD BC ∥，平面11ADD A ⊥平面ABCD ，平面11ABB A ⊥平面ABCD ．(1)证明：1AA ⊥平面ABC ；(2)若14AB AD AA ===，112A B =，120BAD ∠=︒，求平面11A BC 与平面1DBC 夹角的余弦值．18．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且焦距为4，左顶点为E ，过右焦点2F 的动直线l 交C 于A ，B 两点，当l 垂直于x 轴时，6AB =． (1)求C 的方程；(2)若动直线l 与C 的左支交于点A ，右支交于点B ，求12AEF BEF S S △△的取值范围．19．设()y f x =是定义域为D 且图象连续不断的函数，若存在区间[],a b D ⊆和()0,x a b ∈，使得()y f x =在[)0,a x 上单调递增，在(]0,x b 上单调递减，则称()y f x =为“山峰函数”，0x为“峰点”，[],a b 称为()y f x =的一个“峰值区间”．(1)判断()2cos g x x x =+是否是山峰函数？若是，请指出它的一个峰值区间；若不是，请说明理由；(2)已知1m >，()()22xh x m x x m =+--是山峰函数，且[]0,1是它的一个峰值区间，求m 的取值范围；(3)设n ∈R ，函数()()()32321244ln 443I x x nx n x x x nx n x ⎡⎤=-+--+--⎣⎦．设函数()y I x =是山峰函数，[],s t 是它的一个峰值区间，并记t s -的最大值为()d n ．若203I ⎛⎫< ⎪⎝⎭，且()213I I ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，()312I I ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，求()d n 的最小值．（参考数据：3ln 0.42≈）。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A ＝{0，1，2，4}，B ＝4|02x x R x ⎧-⎫∈≤⎨⎬-⎭⎩，则A B ＝（ ） A.｛1，2， 3，4｝ B. ｛2，3，4｝ C. ｛2，4｝ D. ｛|14x x <≤｝ 【答案】C 【解析】试题分析：{0124}{14}{24}A B x x =<=，，，≤，，故选C. 考点:集合的交集运算. 2.若复数12iz i-=的共轭复数是(,)z a bi a b R =+∈，其中i 为虚数单位，则点（a ，b ）为（ ）A.（一1. 2）B.（－2，1)C.（1，－2）D.（2，一1） 【答案】B 【解析】试题分析：12i2i 2i iz z -==--=-+∵，∴，故选B. 考点：复数的计算.3.已知函数1,0()2,0x e x f x x x -⎧-≤=⎨->⎩，若()f a ＝－1，则实数a 的值为（ ）A 、2B 、±1 C. 1 D 、一1 【答案】C 【解析】试题分析：1000011211e 1a a a a a a a a a a ->>⎧⎧⎧⎧⇒⇒∈∅⇒⇒=⎨⎨⎨⎨=-=-=-=-⎩⎩⎩⎩≤，≤，，，∵，，故选C ．考点：函数值.4.“0≤m ≤l ”是“函数()cos 1f x x m =+-有零点”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：()0cos 1f x x m =⇒=-∵，由01m ≤≤，得011m -≤≤，且1cos 1x -≤≤，所以函数()cos 1f x x m =+-有零点．反之，函数()cos 1f x x m =+-有零点，只需|1|1m -⇒≤ 02m ≤≤，故选A.考点：充分必要条件.5.将某正方体工件进行切削，把它加工成一个体积尽可能大的新工件，新工件的三视图如图1所示，则原工件材料的利用率为〔材料的利用率新工件的体积原工件的体积〕（ ）A 、78 B 、67 C 、56 D 、45【答案】C 【解析】试题分析：如图1，不妨设正方体的棱长为1，则切削部分为三棱锥111A A B D -，其体积为16，又正方体的体积为1，则剩余部分（新工件）的体积为56，故选C.考点：三视图.6.在△ABC 中，||||AB AC AB AC +=-，AB =2, AC ＝1，E, F 为BC 的三等分点，则=AE AF ∙（ ） A 、89 B 、109 C 、259D 、269 【答案】B 【解析】试题分析：由||||AB AC AB AC +=-，知AB AC ⊥，以A B A C ，所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则(00)(20)(01)A B C ，，，，，，于是41223333E F ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，据此，41223333AE AF ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，8210999+=，故选B ．考点：向量的运算.7.已知3sin()65πα-=，则sin(2)6πα+=（ ）A 、45B 、725C 、925D 、1625【答案】B 【解析】 试题分析：由22πππππ37sin 2sin 2cos212sin 1262666525αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选B ． 考点：诱导公式.8.设实数x,y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩则y x z x y =+的取值范围是（ ）A 、110[,]33B 、15[,]32C 、5[2,]2D 、10[2,]3【答案】D【解析】试题分析：由于yx表示可行域内的点()x y，与原点(00)，的连线的斜率，如图2，求出可行域的顶点坐标(31)(12)A B，，，，(42)C，，则11232OA OB OCk k k===，，，可见123yx⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，结合双勾函数的图象，得1023z⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，故选D．考点：线性规划.9.定义min{a，b}= ，在区域任意取一点P(x, y)，则x,y满足min｜x+y+4，x2+x+2y｜= x2+x+2y的概率为（）A、49B、59C、13D、23【答案】A考点：几何概型.10.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图2,在鳖臑PABC中，PA ⊥平面ABC，AB⊥BC，且AP=AC=1，过A点分别作AE 1⊥ PB于E、AF⊥PC于F，连接EF 当△AEF的面积最大时，tan∠BPC的值是（）A C【答案】B 【解析】试题分析：显然BC PAB ⊥平面，则BC A E ⊥，又P B A E ⊥，则A E P B C ⊥平面，于是AE EF ⊥，AE PC ⊥且，结合条件AF PC ⊥得PC AEF ⊥平面，所以AEF △、PEF △均为直角三角形，由已知得2AF =，而2221111()()2448AEF S AE EF AE EF AF =+==△≤，当且仅当AE EF =时，取“=”，所以，当12AE EF ==时，AEF △的面积最大，此时1tan EF BPC PF ∠==，故选B.考点：基本不等式、三角形面积. 11.设定义在（0，2π）上的函数f(x), 其导数函数为'()f x ，若()'()tan fx f x x <恒成立，则（ ） A ．()()43ππ>B ．(1)2()sin16f f π> C．()()64f ππ>D ()()63f ππ<【答案】D 【解析】试题分析：因为定义域为π02⎛⎫⎪⎝⎭，，()()tan f x f x x '<，所以()sin ()cos 0f x x f x x '->，因为2()()sin ()cos 0sin sin f x f x x f x xx x ''-⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以()sin f x y x =在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，所以 ππ612f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭<ππ63f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D.考点：利用导数判断函数的单调性比较大小.12.设直线l 与抛物线x 2=4y 相交于A, B 两点，与圆C ：222(5)x y r +-= (r>0)相切于点M,且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）A.（1，3)B. (1, 4)C. (2, 3)D. (2, 4) 【答案】D 【解析】试题分析：圆C 在抛物线内部，当l y ⊥轴时，必有两条直线满足条件，当l 不垂直于y 轴时，设001122()()()M x y A x y B x y ，，，，，，则12120022x x y y x y ++==，，由21122244x y x y ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩，22012121212124()42AB x y y x x x x y y k x x -+-=-⇒=⇒=-，因为圆心(05)C ，，所以005CM y k x -=-，由直线l 与圆C 相切，得013AB CM k k y =-⇒=，又因为2004x y <，所以2012x <，且2222000(5)4164r x y x r =+-=+<⇒<，又22200(5)0r y x --=>⇒22(35)0r -->⇒242r r >⇒>，故24r <<，此时，又有两条直线满足条件，故选D ．考点：直线与抛物线的位置关系、直线与圆的位置关系.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图3.这是一个把k 进掉数a （共有n 位）化为十进制数b 的程序框图，执行该程序框图，若输人的k ，a ，n 分别为2，110011，6，则抢出的b ＝ ．【答案】51【解析】试题分析：依程序框图得01234512120202121251b =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 考点：程序框图. 14.若函数3211()232f x x x ax =-++在2[,)3+∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是 .【答案】1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：2211()2224f x x x a x a ⎛⎫'=-++=--++ ⎪⎝⎭．当23x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，时，()f x '的最大值为22239f a ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，令2209a +>，解得19a >-，所以a 的取值范围是1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.考点：利用导数判断函数的单调性.15.设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A 、右焦点为F ，B 为椭圆E 在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC ，则椭圆E 的离心率是 【答案】13【解析】试题分析：如图3，设AC 中点为M ，连接OM ，则OM 为ABC △的中位线，于是OFM △AFB ∽△，且||1||2OF FA =，即1123c c a c a =⇒=-．考点：椭圆的离心率.16.设12014S =++S 的最大整数［S ］等于【答案】2014 【解析】试题分析：21111(1)1n nn n n n++⎛⎫===+-⎪++⎝⎭，所以111111111120151223201420152015S⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…，故[]2014S=．考点：裂项相消法求和.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列｛an｝的首项al＝1，*14()2nnnaa n Na+=∈+．（I）证明：数列11{}2na-是等比数列；（II）设nnnba=，求数列{}nb的前n项和nS.【答案】（1）证明详见解析；（2）11222n n nnS-=--.【解析】试题分析：本题主要考查等比数列的证明、等比数列的通项公式、错位相减法、等比数列的前n项和等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先将已知表达式取倒数，再分离常数、用配凑法证明数列11{}2na-是等比数列；第二问，结合第一问的结论，利用等比数列的通项公式，先计算出na，再计算nb，用错位相减法求和，在化简过程中用等比数列的前n项和计算即可.试题解析：（Ⅰ）证明：11421112442n nnn n n na aaa a a a+++===++∵，∴，111111222n na a+⎛⎫-=-⎪⎝⎭∴，又11111122aa=-=，∴，所以数列112na⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公比的等比数列．…………………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知1111112222n nn a -⎛⎫-==⎪⎝⎭， 即1112222n n n n n n n n b a a =+==+，∴， 设231232222n n nT =++++…，① 则231112122222n n n n nT +-=++++…，② 由①－②得，21111111111122112222222212n n n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++-=-=---…， 11222n n nnT -=--∴， 又1(1)(123)24n n n +++++=…， ∴数列{}n b 的前n 项和2(1)224n n n n n S ++=-+． ………………………………（12分）考点：等比数列的证明、等比数列的通项公式、错位相减法、等比数列的前n 项和. 18.（本小题满分12分）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为34，得到乙公司和丙公司面试的概率均为p ，，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记ξ为该毕业生得到面试的公司个数，若P(ξ＝0)＝116.（I ）求p 的值：（II ）求随机变量ξ的分布列及数学期望． 【答案】（1）12p =；（2）分布列详见解析，74E ξ=. 【解析】试题分析：本题主要考查独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用独立事件，当0ξ=时说明三个公司都没有得到面试的机会；第二问，按照独立事件的计算过程，分别计算出0,1,2,3ξ=的概率，列出分布列，再利用1122n n E P P P ξξξξ=+++计算数学期望.试题解析：（Ⅰ）2311(0)1(1)4162P p p ξ⎛⎫==--=⇒= ⎪⎝⎭∵． …………………………（6分）（Ⅱ）ξ的取值为0，1，2，3，1(0)16P ξ==； 2313113115(1)111114242242216P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；3113113117(2)11142242242216P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 3113(3)42216P ξ==⨯⨯=，ξ的分布列为数学期望15737()0123161616164E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………………………（12分）考点：独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望. 19.（本小题满分12分）如图4，在三棱锥S -ABC 中，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC M 为AB 的中点． （I ）证明：AC ⊥SB;（II ）求二面角S 一CM －A 的余弦值.【答案】（1）证明详见解析；（2【解析】试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，利用线面垂直的判定，得AC SDB ⊥平面，再利用线面垂直的性质，得AC SB ⊥；第二问，先利用面面垂直的性质，得到线面垂直SD ABC ⊥平面，通过作出辅助线得出SED ∠为二面角S CM A --的平面角，在直角三角形SDE 中，利用三角函数值，求二面角S 一CM －A 的余弦值；还可以利用向量法解决问题.试题解析：方法一：几何法（Ⅰ）证明：如图4，取AC 的中点D ，连接DS ，DB ． 因为SA SC =，BA BC =， 所以AC DS AC DB DS DB D ⊥⊥=，且，，所以AC SDB ⊥平面，又SB SDB ⊂平面， 所以AC SB ⊥．……………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：因为SD AC SAC ABC ⊥⊥，平面平面，所以SD ABC ⊥平面. 如图4，过D 作DE CM ⊥于E ，连接SE ，则SE CM ⊥， 所以SED ∠为二面角S CM A --的平面角. ……………………………………（8分）由已知有1122DE AM ==，又SA SC ==2AC =，所以1SD =，在Rt SDE △中，SE =，所以cos DE SED SE ∠=…………………………………………………（12分）方法二：向量法（Ⅰ）证明：如图5，取AC 的中点O ，连接OS ，OB ． 因为SA SC =，BA BC =， 所以AC OS ⊥，且AC OB ⊥， 又SAC ABC ⊥平面平面，=SACABC AC 平面平面，所以SO ABC ⊥平面，所以SO BO ⊥． 如图5，建立空间直角坐标系O xyz -，则(100)A ，，，(100)C -，，，(001)S ，，，(00)B ，因为(200)AC =-，，，(01)SB =-，………………………………………………（3分）所以2000(1)0AC SB =-⨯+⨯-=， AC SB ⊥∴．……………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：因为M 是AB的中点，所以102M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，302CM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭∴，(10,1)CS =，，设(1)n y z =，，为平面SCM 的一个法向量，则30210n CM y nCS z ⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩，，得1y z ==-，所以(11)n =-，，又(001)OS =，，为平面ABC 的一个法向量，cos ||||5n OS n OS n OS 〈〉===∴，………………………………………（11分）又二面角S CM A --的平面角为锐角， 所以二面角S CM A --． ………………………………………（12分）考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角. 20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，连接椭圆四个顶点形成的四边形面积为（I ）求椭圆C 的标准方程；（II)过点A(1，0)的直线与椭圆C 交于点M, N,设P 为椭圆上一点，且(0)OM ON tOP t +=≠O为坐标原点，当45||3OM ON -<时，求t 的取值范围. 【答案】（1）22142x y +=；（2）61,,1t ⎡⎛⎤∈- ⎢⎥ ⎣⎭⎝⎦.【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先利用离心率、222a b c =+、四边形的面积列出方程，解出a 和b 的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，讨论直线MN 的斜率是否存在，当直线MN 的斜率存在时，直线方程与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理，得到12x x +、12x x ，利用OM ON tOP +=列出方程，解出(,)P x y ，代入到椭圆上，得到2t 的值，再利用45||OM ON -<，计算出2k 的范围，代入到2t 的表达式中，得到t 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）222112b e e a ==-=∵∴， 2212b a =∴，即222ab =．又1222S a b ab =⨯⨯==∴2224b a ==∴，． ∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=．…………………………………………（4分）（Ⅱ）由题意知，当直线MN 斜率存在时，设直线方程为(1)y k x =-，1122()()()M x y N x y P x y ，，，，，， 联立方程22142(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，，消去y 得2222(12)4240k x k x k +-+-=， 因为直线与椭圆交于两点，所以4222164(12)(24)24160k k k k ∆=-+-=+>恒成立，22121212122224242()2121212k k kx x x x y y k x x k k k k --+==+=+-=+++∴，，， 又OM ON tOP +=∵，212212121224(12)2(12)x x k x x x tx t t k y y ty y y k y t t k ⎧+==⎪+=⎧+⎪⎨⎨+=+-⎩⎪==⎪+⎩，，∴∴，，因为点P 在椭圆22142x y +=上，所以422222221684(12)(12)k k t k t k +=++，即2222222212(12)11212k k t k t k k =+==-++，∴， ………………………………（8分）又45||OM ON -<∵，即1245||NM x <-<246k +<化简得：4213580k k -->，解得21k >或2813k <-（舍），2221211123t t k =-<<+∵，∴，即611t ⎛⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，．当直线MN 的斜率不存在时，1,,1,M N ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，此时1t =±，61,,1t ⎡⎛⎤∈- ⎢⎥ ⎣⎭⎝⎦∴． ……………………………………………………（12分）考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系. 21.（本小题满分12分）已知f(x)＝ln ()ax x x a R +∈，曲线()y f x =在点（1，f(1)）处的切线斜率为2. （I ）求f(x)的单调区间；（11）若2 f(x)一（k ＋1）x ＋k>0（k ∈Z ）对任意x ＞1都成立，求k 的最大值 【答案】（1）减区间为210e⎛⎫ ⎪⎝⎭，，增区间为21e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，；（2）最大值为4. 【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，对()f x 求导，再利用'()0f x >和'()0f x <判断函数的单调性；第二问，先将2 f(x)一（k ＋1）x ＋k>0（k ∈Z ）对任意x ＞1都成立，转化为2ln 1x x xk x +<-恒成立，再构造函数()g x ，通过求导，判断函数的单调性，求出函数()g x 的最小值，从而得到k 的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0)+∞，，求导可得()1ln f x a x '=++， 由(1)2f '=得1a =，()ln ()2ln f x x x x f x x '=+=+∴，， 令()0f x '<，得210ex ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，；令()0f x '>，得21e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，所以()f x 的减区间为210e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，增区间为21e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，．…………………………（4分）（Ⅱ）由题意：22ln 0x x x kx x k +--+>，即2ln (1)x x x x k +>-，2ln 1101x x xx x k x +>-><-∵，∴，∴恒成立，令2ln ()1x x xg x x +=-，则222ln 3()(1)x x g x x --'=-，令()22ln 3h x x x =--，则2()20h x x'=->， ()h x ∴在(1)+∞，上单调递增，又5(2)12ln 202(1ln 2.5)02h h ⎛⎫=-<=-> ⎪⎝⎭，，0522x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭∴，且0()0h x =，当0(1)x x ∈，时，()0()0()h x g x g x '<<，，在0(1)x ，上单调递减； 当0()x x ∈+∞，时，()0()0()h x g x g x '>>，，在0()x +∞，上单调递增， 所以000min 002ln ()()1x x x g x g x x +==-，000()22ln 30h x x x =--=∵，002ln 23x x =-∴，200000min0000232(1)()()211x x x x x g x g x x x x +--====--∴，02(45)k x <∈∴，，所以k 的最大值为4．………………………………………（12分）考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）【选修4一1：几何证明选讲】如图5，已知圆的两条弦AB, CD ，延长AB ，CD 交于圆外一点E ，过E 作AD 的平行线交CB 的延长线于F ，过点F 作圆的切线FG ，G 为切点．求证： （I ）△EFC ∽△BFE; （II ）FG ＝FE.【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.试题解析：（Ⅰ）EF AD FEB A ∠=∠∵∥，∴， 又A C ∠=∠，C FEB ∠=∠∴， EFC BFE ∴在△与△中，EFC BFE EFC BFE C FEB∠=∠⎧⇒⎨∠=∠⎩，△∽△． …………………………………………（5分）（Ⅱ）EFC BFE ∵△∽△，2EF FCEF FB FC FB EF=⇒=∴， 又FG 是圆的切线，由切割线定理得2FG FB FC =， 22EF FG =∴，即EF FG =．……………………………………………………（10分）考点：三角形相似、切割线定理.23.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：(sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），以平面直角坐标系xOy的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：(cos sin )ρθθ-=6.（I ）在曲线C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值；（Ⅱ）过点M(一1，0)且与直线l 平行的直线l 1交C 于A, B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积．【答案】（1）max d =（2）1.【解析】试题分析：本题主要考查参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用cos x ρθ=、sin y ρθ=将直线l 的极坐标方程转化为普通方程，再利用点到直线的距离公式计算，利用三角函数的有界性求最值；第二问，利用平方关系将曲线C 的方程转化为普通方程，将直线l 的参数方程与曲线C 的方程联立，消参，得到121t t =-，即得到结论1M A M B ∙=.试题解析：（Ⅰ）直线l ：(cos sin )6ρθθ-=化成普通方程为60x y --=． 设点P的坐标为sin )αα，，则点P 到直线l 的距离为：d =， ∴当πsin 13α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，点3122P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，此时max d == …………………………………………………………（5分） （Ⅱ）曲线C 化成普通方程为2213x y +=，即2233x y +=，1l的参数方程为1x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪⎪⎩，，（t 为参数）代入2233x y +=化简得2220t -=， 得121t t =-，所以12||1MA MB t t ==． ………………………………………………（10分） 考点：参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离公式.24.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 设f(x)＝｜x ＋2｜＋｜2x －1｜－m. （I ）当m ＝5时．解不等式f （x ）≥0; 〔II ）若f （x ）≥32，对任意x R ∈恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）423x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤或≥；（2）(1]-∞，.试题解析：（Ⅰ）当5m =时，()|2||21|5f x x x =++--， 不等式()0f x ≥为|2||21|5x x ++-≥，①当2x -≤时，不等式为：315x --≥，即2x -≤，满足； ②当122x -<<时，不等式为：35x -+≥，即2x -≤，不满足； ③当12x ≥时，不等式为：315x +≥，即43x ≥，满足．综上所述，不等式()0f x ≥的解集为423x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤或≥．……………………（5分）（Ⅱ）设()|2||21|g x x x =++-，若3()2f x ≥对于x ∈R 恒成立，即3()|2||21|2g x x x m =++-+≥对于x ∈R 恒成立， 31(2)1()|2||21|322131.2x x g x x x x x x x ⎧⎪---⎪⎪⎛⎫=++-=-+-<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎩≤，，≥由图6可看出()|2||21|g x x x =++-的最小值是52， 所以3522m +≤，1m ∴≤，即m 的取值范围是(1]-∞，．…………………………………………………………………………………（10分）考点：绝对值不等式的解法、恒成立问题、函数的最值.。

云南师范大学附属中学2016届高三适应性月考（六）文科数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}lg(2)A x y x ==-，集合1244x B x⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=（ ） A ．{}2x x ≥- B ．{}22x x -<< C ．{}22x x -≤< D ．{}2x x < 2.若复数22()1a ia R i+∈+是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3. 关于x 的一元二次方程220bx ax b ++=，若a 是从区间[]0,3任取的一个数，b 是从区间[]0,2任取的一个数，则上述方程有实根的概率为（ ）A ．13 B ．23 C ．16 D ．565. 观察下列各式：553125=，6515625=，7578125=，85390625=，……，则20155的末四位数字为（ ）A ．3125B ．5625C ．0625D ．81256. 某几何体的三视图如图1所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．12 B ．13C ．．7.将函数()222f x x x =+的图象向右平移4π个单位后得到函数()g x 的图象，则()12g π=（ ）A ．0B ．-1C ．28. 执行如图2所示的程序框图，如果输入的m ，n 分别为1848，936，则输出的m 等于（ ）A ．168B ．72C ．36D ．249.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>相交于A ，B 两点，公共弦AB 恰好过它们的公共焦点F ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．1．．210. 棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -的所有顶点均在球O 的球面上，E ，F ，G 分别为AB ，AD ，1AA 的中点，则平面EFG 截球O 所得圆的半径为（ ） ACD11.已知()y f x =是奇函数，当(0,2)x ∈时，1()ln ()2f x x ax a =->，当(2,0)x ∈-时，()f x 的最小值为1，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．312.已知12axx ≥对任意的(0,1)x ∈都成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．e - B ．ln 2e - C ．1e -D ．1ln 2e - 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若x ，y 满足经束条件3602030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，则2z y x =-的最大值是_____.14. 在如图3所标的矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 为线段BC 上的点，则AE DE的最小值为_____.15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，csin()2cos()C A ππ-=-，则角A 等于_____.16.已知()f x 是偶函数，且()f x 在()0,+∞上是增函数，如果(1)(2)f ax f x +≤-在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，则实数a 的取值范围为_____.三、解答题 （共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*22()n n S a n N =-∈，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足2*()n T n n N =∈.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b ∙的前n 项和n D . 18.(本小题满分12分)如图4，在三棱柱111ABC A B C -中，已知AB ⊥侧面11BB C C ，1BC =，12CC =，1BC(Ⅰ)求证：1BC ⊥平面ABC ； (Ⅱ)当32AB =时，求三棱柱111ABC A B C -的体积. 19.(本小题满分12分)学校拟进行一次活动，对此，新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示(Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n 个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了25人，求n 的值；(Ⅱ)在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有1人年龄在20岁以上的概率；(Ⅲ)在接受调查的人中，有8人给这项活动打出的分数如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，把这8个人打出的分数看作一个总体，从中任取1个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率. 20.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，点()(,)0P a b a b >>为动点，1F ，2F 分别为椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，已知12F PF ∆为等腰三角形. (Ⅰ)求椭圆的离心率；(Ⅱ)过2F 的直线m ：1x =与椭圆G 交于点M (M 点在第一象限)，平行于AM 的直线l 与椭圆G 交于B ，C 两点，判断直线MB ，MC 是否关于直线m 对称，并说明理由. 21.(本小题满分12分) 已知1()ln 1()af x x ax a R x-=-+-∈. （Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在(2,(2))f 处的切线方程； （Ⅱ）当102a ≤≤时，试讨论()f x 的单调性. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号。