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2022级《高等数学Ⅰ》期末复习提纲——知识点分析一、函数的定义域、复合函数的复合过程及其求导、函数的基本性质1.求函数的定义域：取满足函数的各方程解的交集，再把所有交集合并，如例P2例1.2.为了使定义域在数学上有意义（常见求函数的定义域主要应考虑的6点），要求： （1）分母不能为0。
如11()f x x −=时，10x −≠； （2）偶次根号下非负。
如()f x =时，20x −≥；（3）对数的真数大于0。
如()23()ln 2f x x =−时，2230x −>；（4）正切符号下的式子不等于ππ2k +，k Z ∈。
如n 2ta y x =，2ππ2x k ≠+； （5）余切符号下的式子不等于πk ，k Z ∈。
如t 2co y x =，2πx k ≠； （6）反正弦、反余弦符号下的式子绝对值小于等于1。
如()1arcsi 2n y x =+，211x +≤；()1arcco 2s y x =−，211x −≤.2.写复合函数的复合过程：把所给函数表示成基本初等函数与多项式函数的复合.（基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）. 基本方法：由外往里，逐层写出，直至多项式函数为止。
3.函数的基本性质：单调性、有界性、奇偶性、周期性P103例6.11（当结论用） 设()f x 是[],a a −上的连续函数，则 （1）若()f x 是奇函数，则()d 0aa f x x −=⎰；（2）若()f x 是偶函数，则()()0d 2d a aaf x x f x x −=⎰⎰.说明：定积分的计算符合该结论时，应用在定积分的计算中，可以简化运算.二、函数极限（两个重要极限、等价无穷小替换、微积分学基本定理）（1）第一个重要极限：00 sin lim 10x x x →⎧⎪=⎨⎪⎩①型②分子与分母同变量；一般形式：()()()0sin lim 1f x f x f x →=. 区别于sin lim0x xx ∞→=，π2sin 2lim πx x x →=. （2）第2个重要极限：()11lim 1e ,lim 1e xxx x x x →→∞⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭() 10 ∞⎧+⎪⎪⎨⎪⎪⎩①型② 括号内变量部分与指数部分互为倒数一般形式()()()()()()101lim 1e ,lim 1e f x f x f x f x x f x f →∞→⎡⎤+=+=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦.2.等价无穷小替换（1）常用等价无穷小量（当0x →时） 1）sin arcsin tan arctan x x x x x ；2）211cos 2x x −； 3）e 1x x −； 4）()ln 1x x +；511nx .1）∼∼∼∼2）1−122； 3）ln(14）−5）√1n3.极限（微积分学基本定理 P106） P108（1）运用公式：()()()()'d 'xax G f t t f x ==⎰，或结合()[]()()d '()'()u x af t t f u x u x =⋅⎰.(()f t 连续，()u x 可导)（2）求例6.16类的极限，通常使用洛必达法则处理. 三、反常积分的收敛与发散§6.5广义积分（ P108）的例题及练习题 四、简单函数的求导与微分（一阶、二阶导）1.六类基本初等函数的求导公式：表3.1 六类基本初等函数求导公式211'x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭; '=.2.求一阶导数：（1）简单函数求导：P42定理3.1及例3.5定理3.1 设()(),u u x v v x ==在x 处可导，则（1）()'''u v u v ±=±， （2）()'''uv u v uv =+, （3）2'''u u v uv v v −⎛⎫= ⎪⎝⎭. ()y f x =的一阶导数一般记为'y ，()'f x ，d d y x ，()d d f x x（2）复合函数求导 （P42）：()()()()()()''''''y f x f u x f x x ϕϕϕϕ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦或d d d d d d y y ux u x=⋅或 '''x u x y y u =⋅. P44例3.7—3.9及相关练习题3.求二阶导数：先求一阶导数，再对一阶导数求导，第二次求得的即为二阶导数.4.求函数的微分（求微分先求导）：先求导，再写成()'d 'd d xy y x y x == P52—P53例题及练习题（第2题——第4题）类型 五、函数的单调性、凹凸性及拐点、极值与最值1.求函数的单调（增减）区间方法：（1）指出函数的定义域；（2）求导()'f x ，且令()'0f x >或()'0f x ≥；（3）解不等式，求出不等式的解，并结合函数的定义域，即可求出函数的单调增减区间。
大一高数笔记全部知识点第一章数列与极限1.1 数列1.1.1 数列的概念1.1.2 等差数列1.1.3 等比数列1.2 极限的概念与性质1.2.1 极限的定义1.2.2 极限存在的条件1.2.3 极限的性质1.3 极限运算法则1.3.1 无穷小量与无穷大量1.3.2 极限的四则运算第二章函数与连续2.1 函数的概念与性质2.1.1 函数的定义2.1.2 函数的性质2.2 基本初等函数2.2.1 幂函数与指数函数2.2.2 对数函数与指数对数函数2.3 函数的极限与连续性2.3.1 函数的极限2.3.2 函数的连续性第三章导数与微分3.1 导数的概念与计算方法3.1.1 导数的定义3.1.2 常用函数的导数计算3.2 微分的概念与性质3.2.1 微分的定义3.2.2 微分的性质3.3 高阶导数与导数的应用3.3.1 高阶导数的定义3.3.2 导数的应用：切线与法线第四章积分与不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.1.1 不定积分的定义4.1.2 不定积分的性质4.2 定积分的概念与性质4.2.1 定积分的定义4.2.2 定积分的性质4.3 积分的运算法则与应用4.3.1 积分的基本运算法则4.3.2 积分的应用：面积与曲线长度第五章多元函数与偏导数5.1 多元函数的概念与性质5.1.1 多元函数的定义5.1.2 多元函数的性质5.2 偏导数的概念与计算方法5.2.1 偏导数的定义5.2.2 常用函数的偏导数计算5.3 高阶偏导数与微分的应用5.3.1 高阶偏导数的定义5.3.2 微分的应用：切平面与法线以上是大一高数课程中的全部知识点。
通过学习这些知识，我们可以建立起数学的基础框架，为以后的学习打下坚实的基础。
每个知识点都有其重要性和实用性，在理解和掌握的过程中，我们要注重理论联系实际，通过例题和应用题的练习来提高解题能力。
希望同学们能够认真学习，并在课后进行适当的巩固和扩展。
加油！。
1 2 1 lim+ ( x + C 2 = lim ( x + C1 , 即1 + C 2 = + C1 , x → 1 x → 1 2 2 1 2 1 lim ( x + C 3 = lim ( x + C 2 , 即+ C 3 = 1 + C 2 , x →1 + 2 x →1 2 1 联立并令 C1 = C , 可得 C 2 = +C , C 3 = 1 + C . 2 1 2 2 x + C , x < 1 1 故∫ max{1, x }dx = x + + C , 1 ≤ x ≤ 1.
2 1 2 2 x + 1 + C, x > 1 36
第五章定积分定积分的定义几何意义 , , 基本性质 (线性区间可加性比较性
质和求极限结合变上限函数及其导数(和求极限结合基本公式 b N L公式 f ( xdx = F( x b a a b m 定积分估值定理(b a ≤ a f ( xdx ≤ M(b a ∫ ∫ 37
b β 换元法f ( xdx x = (t f ((t′(tdt ∫a ∫α 计算 b b b 分部积分法∫ udv = uv a ∫ vdu a a 无穷限的广义积分基本概念无界函数的广义积分广义积分计算 38
第六章定积分的应用平面图形的面积直角参数极坐标 (直角 , , 旋转体体积几何应用体积截面面积已知立体的体积 (直角参数极坐标 , , 直角平面曲线的弧长
39。
大一高数知识点笔记整理一、导数与微分1. 导数的定义在数学中，导数是用来描述函数某一点附近的变化率的概念。
导数的定义是函数在某一点的极限，即函数在该点的切线斜率。
2. 常见函数的导数公式- 常数函数：导数为0- 幂函数：导数为幂次减一乘以原幂次系数- 指数函数：导数等于指数函数的自变量乘以常数函数ln的导数- 对数函数：导数等于自变量倒数乘以常数函数ln的导数- 三角函数：导数等于三角函数的导函数3. 微分的概念微分是导数的另一种表示方式。
微分表示函数在某一点附近的近似线性变化。
4. 微分的性质- 微分可加性：如果f(x)和g(x)都在某一点可微分，则(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)- 常数倍法则：如果f(x)在某一点可微分，则(c · f(x))'(x) =c · f'(x)，其中c为常数二、变化率与速度1. 平均变化率平均变化率是用来衡量函数值在一个区间内的平均变化程度的概念。
计算公式为函数在两个点上的差值除以自变量的差值。
2. 瞬时变化率瞬时变化率是用来衡量函数值在某一点上的瞬时变化程度的概念。
计算公式为函数在某一点的导数值。
3. 速度与加速度在物理学中，速度是描述物体位置变化的物理量。
速度的导数是加速度。
三、函数的极值与最值1. 函数的极值函数的极值是函数在定义域内取得的最大值和最小值。
极大值是函数在某一点局部最大的函数值，极小值是函数在某一点局部最小的函数值。
极值点是函数在该点的导数为0或不存在的点。
2. 求极值的方法求解函数的极值可以使用导数的概念。
具体步骤为：求出函数的导数，将导数等于0的解称为临界点，再利用导数的符号来分析临界点的性质，得出函数的极值。
3. 函数的最值函数的最值是函数在定义域内取得的最大值和最小值。
最大值是函数的最大函数值，最小值是函数的最小函数值。
四、不定积分与定积分1. 不定积分的概念不定积分是求函数的原函数的过程。
高数解题技巧。
高数（上册）期末复习要点高数（上册）期末复习要点第一章：1、极限2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ）定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面4、空间旋转面（柱面）高数解题技巧。
（高等数学、考研数学通用）高数解题的四种思维定势●第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。
●第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。
●第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。
●第四句话：对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。
线性代数解题的八种思维定势●第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。
●第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即AB＝BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。
●第三句话：若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解因子aA+bE再说。
大一高数知识点笔记Word 大一高数知识点笔记一、函数与极限1. 函数概念函数是一种映射关系，将一个集合的元素对应到另一个集合的元素上。
在数学中，通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为对应的因变量。
2. 极限的定义与性质极限是函数在某点附近的局部行为的一种度量。
设函数f(x)在x=a的某个去心邻域内有定义，则当自变量x无限接近a时，对应的函数值f(x)趋近于某个常数L，记为lim[x→a] f(x) = L。
3. 基本初等函数的极限a) 幂函数：lim[x→a] x^n = a^n；b) 指数函数：lim[x→a] a^x = a^a；c) 对数函数：lim[x→a] logₐ(x) = logₐ(a)；d) 三角函数：lim[x→a] sin(x) = sin(a)、lim[x→a] cos(x) =cos(a)；e) 反三角函数：lim[x→a] arctan(x) = arctan(a)、lim[x→a] arcsin(x) = arcsin(a)。
二、导数与微分1. 导数的定义与计算导数描述了函数在某一点的瞬时变化率，表示为f'(x)或dy/dx。
导数的定义为：f'(x) = lim[h→0] (f(x+h)-f(x))/h。
2. 基本初等函数的导数a) 幂函数：(x^n)' = nx^(n-1)；b) 指数函数：(a^x)' = a^x * ln(a)；c) 对数函数：(logₐ(x))' = 1 / (x * ln(a))；d) 三角函数：(sin(x))' = cos(x)、(cos(x))' = -sin(x)；e) 反三角函数：(arctan(x))' = 1 / (1 + x^2)、(arcsin(x))' = 1 /√(1 - x^2)。
3. 微分与微分近似微分是导数的微小改变量，表示为df(x)或dy。
高数大一上期末复习要点高等数学是一门大一上学期的重要课程，它是数学的一门基础性课程，也是理工科学生必修的一门课程。
本文将总结和归纳高等数学大一上学期的复习要点，以帮助同学们对这门课程进行有效的复习。
一、函数与极限1. 函数的概念、性质和表示法2. 函数的基本类型：多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等3. 函数的运算：和、差、积、商、复合函数4. 函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性5. 极限的定义、性质和相关定理6. 数列极限与函数极限的关系二、导数与微分1. 导数的概念、定义和几何意义2. 导数的计算法则：常数求导、幂函数求导、指数函数求导、对数函数求导、三角函数求导等3. 高阶导数的概念与计算4. 函数的微分与微分近似值的应用5. 函数的单调性与极值问题6. 函数的图像与导数的关系三、积分与不定积分1. 积分的概念、性质和计算方法2. 定积分的概念、性质和计算方法3. 牛顿-莱布尼茨公式与不定积分的概念4. 不定积分的基本性质和计算方法5. 不定积分的换元法与分部积分法6. 定积分的几何应用：面积、曲线长度、平均值等四、微分方程1. 微分方程的概念和基本形式2. 一阶微分方程的可分离变量、齐次方程和线性方程解法3. 一阶线性微分方程的常数变易法和伯努利方程解法4. 二阶齐次线性微分方程的特征方程解法5. 二阶非齐次线性微分方程的特解叠加法与待定系数法6. 微分方程的应用：变种种群模型、生命问题、机械振动等五、级数与幂级数1. 数列与级数的概念和性质2. 收敛与发散的判定：比较判别法、比值判别法、根值判别法等3. 常数项级数的和与收敛域4. 幂级数的收敛半径与收敛域5. 幂级数的运算：求导、求积等6. 幂级数的应用：函数展开、函数逼近等上述要点是大一上学期高等数学课程的重点内容，同学们在复习的过程中应该重点关注，并通过课堂笔记、教材、习题集等进行系统复习和巩固。
同时，在复习过程中要注重提高自己的问题解决能力和应用能力，培养数学思维和分析能力。
大一高数笔记知识点总结一、导数与微分1.1 定义与性质在数学中，导数（derivative）是一个用于衡量函数变化率的概念。
对于函数f(x)，它在某一点x处的导数可以通过求函数在该点处的切线斜率来定义，记作f'(x) 或 dy/dx。
1.2 求导法则求导法则是用于计算导数的一些基本规则。
常见的求导法则包括：1.2.1 常数法则如果f(x)为常数，则其导数为0。
即对于任意常数c，有d(c)/dx = 0。
1.2.2 基本函数法则对于基本函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等），我们可以通过一些特定的求导公式来计算其导数。
1.2.3 和、差、积、商法则这些法则提供了计算复合函数导数的方法。
其中，和差法则可用于计算两个函数之和或差的导数，积法则可用于计算两个函数的乘积的导数，商法则可用于计算两个函数的商的导数。
1.2.4 链式法则链式法则是求导中的一个重要工具，可以用于计算复合函数的导数。
它将复合函数的导数与内外函数的导数联系起来。
1.3 微分微分指的是对函数的导数进行操作。
在微积分中，微分可以用来衡量函数对自变量变化的敏感程度。
根据微分的定义，我们有dx = f'(x)dx。
这里，dx表示自变量的一个小增量，f'(x)表示函数在x处的导数。
二、极限与连续2.1 极限极限是描述函数趋近某一值的概念。
对于函数f(x)，当x无限接近于某个值a时，函数的极限可以用lim(x→a)f(x)来表示。
2.2 极限的性质极限具有许多重要的性质，其中一些常见的性质包括极限的唯一性、极限的四则运算、复合函数的极限等。
2.3 连续性连续性是数学中一个重要的概念。
如果函数在某一点x=a处的极限等于该点处的函数值，即lim(x→a)f(x) = f(a)，则称函数在该点处连续。
2.4 连续函数性质连续函数具有一些重要的性质，如连续函数的和、差、积、商仍然是连续函数，以及复合函数的连续性等。
三、导数应用3.1 切线与法线对于函数f(x)，导数f'(x)可以用于求解函数曲线上某点处的切线斜率。
大一期末高数（同济第六版）复习提纲（精选5篇）第一篇：大一期末高数(同济第六版)复习提纲高数一期末考试复习大纲题型：解答题（共12小题）类型：求极限、求导数及微分（包括导数的应用）、求不定积分、求定积分（包括定积分的应用）、求解微分方程具体知识点第一章数列的极限、函数的极限（以上只需掌握求极限方法、极限定义了解即可）无穷小与无穷大、极限运算法则、极限存在准则，两个重要极限无穷小的比较、函数的连续性、连续函数的运算和初等函数的连续性第二章导数定义及几何意义、函数的求导法则、高阶导数、隐函数导数、参数方程所确定的函数的导数（会求二阶导数）、函数的微分公式第三章洛必达法则、函数的单调性与曲线的凹凸性、函数的极值与最值第四章求不定积分（换元法、分部积分法）、有理函数的积分第五章微积分基本公式、定积分的换元法和分部积分法第六章定积分在几何学上的应用第七章可分离变量微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程第二篇：高数复习提纲第一章1、极限（夹逼准则）2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式曲率半径第四章、五章不定积分：1、两类换元法2、分部积分法（注意加C）定积分：1、定义2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第三篇：高数(上)(复习提纲)《高等数学I》复习提纲一、基本概念、公式、法则：“极限，连续，导数，微分，积分”的定义、性质--------基础1、导数(微分)部分：无穷小之间的比较（高阶、同阶、等价、k 阶），常见的等价无穷小（x→0）,两个重要极限，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的介值定理，基本初等函数的求导公式，复合函数求导的链式法则，求极限的洛必达法则，微分中值定理（Rolle、Lagrange、Cauchy），泰勒公式（特别地，麦克劳林公式），函数的单调性与凹凸性，极值存在的必要条件与充分条件，曲线的水平（竖直）渐近线，平面曲线（直角坐标系、极坐标系、参数方程）的曲率公式、弧微分公式；求极限夹逼准则，可导与连续的关系，可导与可微的关系。
