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假设标准差 0 7，置信度为95%； 试求总体均值 的置信区间。
解
已x 知1(1015
7, n 9,
120
0.05
110)
. 由样本值算得
115.
查正态9分布表得临界值z /2 z0.025 1.96，
由此得置信区间：
(115 1.96 7 / 9 , 115 1.96 7 / 9) (110 .43 , 119 .57)
1.2 方差未知时均值的区间估计
设( X1, X 2,...,X n )是取自正态总体N(, 2 )的样本, 2为未知常数,要求的置信度为1的置信区间.
由于这时
T X ~ t(n 1)
S/ n
其中S 2
1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2, 对给定的置信1 ,由t分
布表查出t /2 (n 1),使得
例 2: 已 知 某 工 厂 生 产 的 某 种 零 件 其 长 度 X ~ N(,0.06) ,现从某日生产的一批零件中随机抽 取 6 只,测得直径的数据（单位:mm）为
14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1
试求该批零件长度的置信度为 0.95 置信区间.
解 0.06 n 6 经计算可得 x 14.95
解 1 0.95, 查表得z /2 z0.025 (0.975) 1.96
又x 32.3, 0.4, n 20,算得
x z /2
n
32.3 1.96
0.4 20
32.12
x z /2
n
32.3 1.96
0.4 20
32.48
所以的一个置信度为 95%的置信区间为 (32.12,32.48)
1. 正态总体均值μ的区间估计
设 (X1, X 2 ,, X n ) 为来自正态总体 N(, 2 ) 的一 个样本，μ是未知参数，样本均值和样本方差分别
为:
X
1 n
n i 1
Xi
S 2 1 n n 1 i1
Xi X
2
1.1 方差已知时均值的区间估计
由总体服从正态分布可得
U X ~ N (0,1) / n
由于不是随机变量,所以不能说参数以1 的概率落入随机区间[, ],而只能说区间[, ]以 1 的概率包含.
对于一次具体的抽样所得到的一个确定
的区间((x1, x2,...,xn ),(x1, x2,...,xn )),要么包 含了参数,要么没有包含参数,不能说区间
((x1, x2,...,xn ),(x1, x2,...,xn ))以概率1 包含 参数.
查表得
z /2 z0.025 1.96,
故所求置信区间为
从 而
x n z/2 14.95
0.06 1.96 14.75 6
14.75, 15.15
0.06
x n z/2 14.95
1.96 15.15 6
例3: 已知幼儿身高服从正态分布，现从5~6岁的幼 儿中随机地抽查了9人，其高度分别为： 115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;
第三节 参数的区间估计
正态总体均值μ的区间估计 正态总体方差的区间估计 两个正态总体均值差的区间估计 两个正态总体方差之比的区间估计
• 定义 : 设总体X 具有概率函数p(x, ), 为未知
参数, ( X1, X 2 ,..., X n )为取自这个总体X的一个样
本,若对于事先给定的 , 0 1, 存在两个统计
从正态分布.从中任取８袋，测得净重分别为：
13.1, 11.9, 12.4, 12.3, 11.9, 12.1 12.4, 12.1 . 试 求 μ 的 置 信 度
对于给定的置信度1 ,查分位点z /2 ,使得
P{| U | z /2} 1
/2
z/2
0
/2
z/2
得到
P
X
/ n
z /2 1
从而
P
X
n
z /2
X
n
z
/
2
1
这样得到了置信度为 1的置信区间为
( X z /2
n , X z /2
) n
• 例1:设轴承内环的锻压零件的平均高度X服从正态 分布N(μ,0.42).现在从中抽取20只内环,其平均高度为 32.3毫米.求内环平均高度的置信度为95%的置信区间.
量, 使得
P{ ( X1, X 2 ,..., X n ) ( X1, X 2 ,..., X n )} 1 则称区间( , )为参数的置信度为1 的置信区 间,和分别称为置信度为1 的置信下限和 置信上限, 称为置信水平.
参数的区间估计的意义可以解释为:随机 区间[( X1, X 2,...,X n ),( X1, X 2,...,X n )]包含参数 的真值的概率为1 ,因此若认为"区间[,]包 含着参数的真值",则犯错误的概率为.
(3)从不等式 a W (X1, X 2, , X n ; ) b 中解出θ，得 出其等价形式
ˆ1X1, X 2 ,, X n ˆ2 X1, X 2 ,, X n
这时必有
P ˆ1(X1, X 2 ,, X n ) ˆ2 (X1, X 2 ,, X n ) 1
于是(ˆ1,ˆ2 ) 即为θ的置信度为1 的置信区间.
在重复取样下,将得到许多不同的区间
((x1, x2,...,xn ),(x1, x2,...,xn )),这些区间中 大约有100(1 )%的区间包含未知参数.
对于给定的置信度1 ,怎样根据样本来确定 未知参数θ的置信区间 (ˆ1,ˆ2 ) ,就是参数θ的区间估 计问题.求未知参数θ的置信区间的步骤如下：
(1)构造一个含有未知参数θ而不含有其他未 知参数的样本函数(随机变量)W W (X1, X 2,, X n, ) ， 且已知其分布.
(2)对给定的置信度1 ，根据W (X1, X 2 ,, X n ; ) 的分布定出分位点 a 和 b，使得
Pa W ( X1, X 2 ,, X n ) b 1
P{|
X S/
n
|
t
/2 (n
1)} 1
经过变形得
P{X t /2 (n 1)
S n
X t /2 (n 1)
S }1
n
这样得到了的置信度为1的置信区间为
( X t /2 (n 1)
S n
,
X
t / 2 (n
1)
S) n
/2
t/2(n1) 0
/2
t/2(n1)
例 4:设有一批胡椒粉，每袋净重 X（单位：克）服
