华师大八年级数学下册-18.4反比例函数图象和性质2

《反比例函数的图象和性质》说课稿各位评委老师：大家好！我是回龙职业中学的数学教师：唐华。

今天我说课的内容是华师大版八年级下册第18章第2节《反比例函数的图象和性质》。

我的说课内容包括：教材分析，教法、学法分析，教学过程分析三个部分。

一、教材分析1、地位和作用分析本节课是在学习了一次函数的图象、性质和反比例函数概念的基础上，并掌握了研究函数的一般方法后，来研究反比例函数的图象和性质。

反比例函数的图象与性质是对正比例函数图象与性质的复习和对比，也是以后学习二次函数的基础。

反比例函数是初中阶段研究的第二个具体函数，也是学生学习的第一种非线型函数。

它的研究方法更具有一般性和代表性，可为以后学习二次函数及其它函数打下坚实的基础。

所以，本节课在整个教材中有承上启下的作用。

2 、教学目标分析新课程理念下的数学教学理应以发展为本，培养水平为重，同时注重学生的情感态度和价值观。

根据《新课程标准》和本节内容的要求，我制定以下三维教学目标：（1）知识与技能：进一步熟悉画函数图象的主要步骤，探索并掌握反比例函数的主要性质。

（2）过程与方法：经历反比例函数的图象和性质的发现过程，发展学生的抽象思维水平和语言组织水平。

（3）情感态度与价值观：让学生能积极参与探索活动中，有助于培养他们的好奇心与求知欲，更好地发挥学生的主体作用；在探索过程中由学生自己思考，再经过合作交流，共同体会用数形结合思想解决数学问题，不但能使学生学到知识，还能使他们互相增进友谊。

3. 重、难点分析重点：通过观察图象，归纳概括反比例函数图象的共同特征，探索反比例函数的性质。

难点：从反比例函数的图象中归纳总结反比例函数的性质。

二、教法、学法分析1、教法分析：为了突出重点，突破难点，圆满完成教学任务，并根据八年级学生年龄特征，我采用了诱导探究、积极观察、主动操作、师生互动和生生合作学习。

应用多媒体辅助技术手段，充分调动学生的积极性，并采用类比法和讨论、合作交流法。

反比例函数一、反比例函数的概念：1、一般地，形如 的函数叫做反比例函数。

注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；（2）解析式有三种常见的表达形式：（A ） （B ） （C ）例1、（1）下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11+=x y ③21x y = ④.x y 21-=⑤2x y =-⑥13y x= ；其中是y 关于x 的反比例函数的有：_________________。

（2）函数22)2(--=a x a y 是反比例函数，则a 的值是（ ）（3）如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ）A ．反比例函数B ．正比例函数C ．一次函数D ．反比例或正比例函数练习：（1）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ）（2）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的正比例函数，那么y 是x 的（ ）（3）反比例函数(0ky k x =≠）的图象经过（—2，5， n ），求（1）n 的值；（2）判断点B （24，）是否在这个函数图象上，并说明理由（4）已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1；x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x ＝2时，y 的值．二、反比例函数的图象和性质：知识要点：1、形状：图象是双曲线。

2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第________象限内；（2）当k<0时, 双曲线分别位于第________象限内。

3、增减性：（1）当k>0时,_________________, y 随x 的增大而________；（2）当k<0时,_________________,y 随x 的增大而______。

4、变化趋势：双曲线无限接近于x 、y 轴,但永远不会与坐标轴相交5、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点____________；例2、（1）写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限 ．（2）若反比例函数22)12(--=m x m y 的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ）A 、 －1或1;B 、小于12的任意实数; C 、－1; Ｄ、不能确定 （ykx =（4）正比例函数2x y =和反比例函数2y x=的图象有 个交点． （5）正比例函数5y x =-的图象与反比例函数(0)k y k x =≠的图象相交于点A （1，a ）， 则a ＝ ．（6）下列函数中，当0x <时，y 随x 的增大而增大的是（ ）A ．34y x =-+B ．123y x =--C ．4y x =-D ．12y x =． （7）正比例函数y=k 1x(k 1≠0)和反比例函数y=2k x(k 2≠0)的一个交点为(m,n),则另一个交点为_________.（8）老师给出一个函数,甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质:甲:函数的图象经过第二象限; 乙:函数的图象经过第四象限; 丙:在每个象限内,y 随x 的增大而增大.请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数: .A BC D三、反比例函数xky=（k≠0）中k的几何意义是：1、过双曲线xky=（k≠0）上任意引x轴y轴的垂线，所得矩形面积为。

2014年暑期《多媒体环境下的教学设计与资源应用》培训《反比例函数的图像和性质》教学设计姓名孙燕辉学号 D003学校内埠镇宏伟初级中学《反比例函数的图像和性质》教学设计（华师大版数学八年级上册§18.4.2）【学习内容分析】1．教材的地位与作用本节课内容为华师大版教材八年级下册第§18.4《反比例函数》的第二节，也这一章的重点内容之一。

本节课是在理解反比例函数的意义和概念的基础上，进一步熟悉其图象并结合图像认识其性质的过程。

是对反比例函数内在性的认识，也是对函数的概念深化性的理解。

同时，本节课也是下一节课《反比例函数的应用》的基础，有了本节课的知识储备，便于学生利用函数的观点来处理问题和解释问题。

本节课中用描点画图的方法作反比例函数的图象是第一个要求，为下一步性质的探索打下良好的基础。

因为在学生进行函数的列表、描点作图是活动中，就已经开始了对反比例函数性质的探索，逐步形成对函数性质的整体性认识。

本节课需注重从操作、观察、概括和交流这些数学活动中得出性质，从而逐步提高从函数图象中获取信息的能力。

这也充分体现了重视获取知识过程体验的新课标的精神。

2．教材处理：将教材中反比例函数图像和性质的探究活动完全开放，给学生充分探索的时间与空间，运用动手实验，动脑思考．力图构建学生主动探索、获取知识的平台，使学生真正成为实践的探索者、知识的构建者、愉快的收获者．【学习目标阐明】1．知识与技能会画反比例函数的图象，并知道该图象与正比例函数、一次函数图象的区别，能结合反比例函数的图象给出函数性质．能运用反比例函数的图像和性质解决相关的问题．2．过程与方法通过画图象，进一步培养“描点法”画函数图象，并提高对函数图象的分析能力．同时尝试用类比和特殊到一般的思路方法，归纳反比例函数一些性质特征．3．情感、态度与价值观由图象的画法和分析函数性质，体验数学活动中的探索性和创造性，感受数学美，并通过图象的直观教学激发学习兴趣．【重、难点分析】重点：反比例函数图象的画法及探究性质，反比例函数性质的运用．难点：反比例函数图象是双曲线的理解及对图象特征的分析．【学生特点分析】学生在前面学习了一次函数之后，对函数有了一定的认识，虽然他们在小学已经接触了反比例，但都处于浅显的、肤浅的知识表面，这对于他们理解反比例函数的图象与性质没有多大的帮助，但由于本节课利用学习机中的数学画板功能进行教学，可以很容易地得到反比例函数的图像会，并从中观察总结图像的性质，便于学生接受。

反比例函数（基础）【学习目标】1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．【要点梳理】要点一、反比例函数的定义如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即xy k =，或表示为k y x =，其中k 是不等于零的常数. 一般地，形如k y x= (k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是因变量，定义域是不等于零的一切实数. 要点诠释：（1）在k y x =中，自变量x 是分式k x 的分母，当0x =时，分式k x无意义，所以自变量x 的取值范围是，函数y 的取值范围是0y ≠.故函数图象与x 轴、y 轴无交点；（2）k y x = ()可以写成()的形式，自变量x 的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.（3）k y x= ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k ，从而得到反比例函数的解析式.要点二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数k y x =中，只有一个待定系数k ，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式.用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：（1）设所求的反比例函数为：k y x= (0k ≠)； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；（3）解方程求出待定系数k 的值；（4）把求得的k 值代回所设的函数关系式k y x=中. 要点三、反比例函数的图象和性质1、 反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴.要点诠释：（1）若点(a b ，)在反比例函数k y x=的图象上，则点(a b --，)也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(k 为常数，0k ≠) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到x 轴和y 轴．2、反比例函数的性质（1）如图1，当0k >时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小；（2）如图2，当0k <时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大；要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k 的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号. 要点四、反比例函数()中的比例系数k 的几何意义过双曲线xk y =(0k ≠) 上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k . 过双曲线xk y =(0k ≠) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为2k .要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.【典型例题】类型一、反比例函数的定义1、在下列函数关系式中，哪些函数表示y 是x 的反比例函数？（1）5x y =； （2）3y x =； （3）23y x =； （4）12xy =； （5）21y x =-； （6）y x =-； （7）12y x -=； （8）5a y x -=（5a ≠，a 是常数） 【答案与解析】 解：根据反比例函数(0)k y k x=≠的形式及其关系式xy k =，1y kx -=，可知反比例函数有：(2)(3)(4)(6)(7)(8)． 【总结升华】根据反比例函数的概念，必须是形如k y x =(k 为常数，0k ≠)的函数，才是反比例函数．如(2)(3)(6)(8)均符合这一概念的要求，所以它们都是反比例函数．但还要注意k y x=(k 为常数，0k ≠)常见的变化形式，如xy k =，1y kx -=等，所以(4)(7)也是反比例函数．在(5)中，y 是()1x -的反比例函数，而不是x 的反比例函数．(1)中y 是x 的正比例函数．类型二、确定反比例函数的解析式2、已知正比例函数y kx =和反比例函数3y x =的图象都过点A(m ，1) ．求此正比例函数的关系式及另一个交点的坐标．【答案与解析】解： 因为3y x =的图象经过点A(m ，1)，则31m=，所以m ＝3． 把A(3，1)代入y kx =中，得13k =，所以13k =． 所以正比例函数关系式为13y x =． 由1,33,y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得3x =±． 当3x =时，1y =；当3x =-时，1y =-．所以另一个交点的坐标为(－3，－1)．【总结升华】确定解析式的方法是特定系数法，由于正比例函数y kx =中有一个待定系数，因此只需一对对应值即可．举一反三：【变式】已知y 与x 成反比，且当6x =-时，4y =，则当2x =时，y 值为多少？【答案】 解：设k y x=，当6x =-时，4y =， 所以46k =-，则k ＝－24， 所以有24y x-=． 当2x =时，24122y -==-． 类型三、反比例函数的图象和性质3、在函数21a y x--=（a 为常数）的图象上有三点(11x y ，)，(22x y ，)，(33x y ，)，且1230x x x <<<，则123y y ，y ，的大小关系是（ ）．A ．231y y y <<B ．321y y y <<C ．123y y y <<D ．312y y y <<【答案】D ；【解析】解：当0k <时，反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大．此题中需要注意的是(11x y ，)，(22x y ，)，(33x y ，)不在同一象限内．因为221(1)0k a a =--=-+<，所以函数图象在第二、四象限内，且在第二、四象限内，y 随x 的增大而增大．因为12x x <，所以12y y <．因为33(,)x y 在第四象限，而11(,)x y ，22(,)x y 在第二象限，所以31y y <．所以312y y y <<．【总结升华】已知反比例函数k y x=，当k ＞0，x ＞0时，y 随x 的增大而减小，需要强调的是x ＞0；当k ＞0，x ＜0时，y 随x 的增大而减小，需要强调的是x ＜0．这里不能说成当k ＞0，y 随x 的增大而减小．例如函数2y x=，当x ＝－1时，y ＝－2，当x ＝1时，y ＝2，自变量由－1到1，函数值y 由－2到2，增大了．所以，只能说：当k ＞0时，在第一象限内，y 随x 的增大而减小．举一反三：【变式】已知2(3)m y m x -=-的图象在第二、四象限，(1)求m 的值．(2)若点(－2，1y )、(－1，2y )、(1，3y )都在双曲线上，试比较1y 、2y 、3y 的大小．【答案】解：(1)由已知条件可知：此函数为反比例函数，且2130m m -=-⎧⎨-≠⎩，∴ 1m =. (2)由(1)得此函数解析式为：2y x=-． ∵ (－2，1y )、(－1，2y )在第二象限，－2＜－1，∴ 120y y <<．而(1，3y )在第四象限，30y <．∴ 312y y y <<类型四、反比例函数综合4、（2015•邛崃市模拟）如图，已知A （﹣4，n ），B （1，﹣4）是一次函数y=kx+b 的图象和反比例函数m y x=的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积；（3）求不等式kx+b ﹣m x＜0的解集（请直接写出答案）．【思路点拨】（1）将B 坐标代入反比例解析式中求出m 的值，即可确定出反比例解析式；将A 坐标代入反比例解析式求出n 的值，确定出A 的坐标，将A 与B 坐标代入一次函数解析式中求出k 与b 的值，即可确定出一次函数解析式；（2）对于直线AB ，令y=0求出x 的值，即可确定出C 坐标，三角形AOB 面积=三角形AOC 面积+三角形BOC 面积，求出即可；（3）由两函数交点A 与B 的横坐标，利用图象即可求出所求不等式的解集．【答案与解析】解：（1）∵反比例函数y=m x（m≠0）过点B （1，﹣4）， ∴m=1×（﹣4）=﹣4， ∴y=﹣，将x=﹣4，y=n代入反比例解析式得：n=1，∴A（﹣4，1），∴将A与B坐标代入一次函数解析式得：，解得：，∴y=﹣x﹣3；（2）在直线y=﹣x﹣3中，当y=0时，x=﹣3，∴C（﹣3，0），即OC=3，∴S△AOB=S△AOC+S△COB=（3×1+3×4）=；（3）不等式kx+b﹣mx＜0的解集是﹣4＜x＜0或x＞1．【总结升华】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．举一反三：【变式】（2016•黄冈模拟）如图，反比例函数图象在第一象限的分支上有一点C（1，3），过点C的直线y=kx+b〔k＜0〕与x轴交于点A．（1）求反比例函数的解析式；（2）当直线与反比例函数的图象在第一象限内的另一交点的横坐标为3时，求△COD的面积．【答案】解：（1）∵点C（1，3）在反比例函数图象上，∴k=1×3=3，∴3yx ；（2）当x=3时，y=1，∴D（3，1）．∵C（1，3）、D（3，1）在直线y=k2x+b上，∴，∴．∴y=﹣x+4．令y=0，则x=4，∴A（4，0），∴S△COA=12×4×3=6，S△DOA=12×4×1=2，∴△COD的面积=S△COA﹣S△DOA=6﹣2=4．。

18.4 反比例函数(第2课时) 教学设计宜宾县育才中学何伟(一)本课目标1.了解反比例函数图象的形状特征.2.会画反比例函数的图象.3.经历探究反比例函数性质的过程,掌握反比例函数的性质.4.学会利用反比例函数的性质解决简单的实际问题.（二）重点、难点重点:由反比例函数图象探索反比例函数的性质.难点:反比例函数性质的灵活运用.(三)教学流程1.复习导入(1)反比例函数的一般表达式是什么?（y=kx,k为常数，且k≠0）(2)下列函数哪些是正比例函数,哪些是反比例函数？①y = 3x-1；② y = 2x 2；③y=1x；④ y=23x；⑤ y = 3x；⑥y=-3x；⑦xy=6（3）回忆正比例函数的图像与性质2.合作探究(1)整体感知我们知道一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是直线,其性质随着k的正负发生变化,•那么反比例函数y=kx(k≠0)的图象又具有什么特征?其性质是否随着k•的正负发生变化呢?本课我们着重探讨这两个问题.(2)四边互动互动1师:利用多媒体演示幻灯片.【例1】画出函数y=6x的图象.师:在未知函数图象的形状特征时,我们画函数的图象通常用什么方法?这个函数自变量的取值范围是什么?由此猜想这个函数的图象是连在一起的吗?用描点法画该函数的图象,在列表应注意哪些?生:逐个举手回答问题,达成共识.师:利用多媒体展现画图过程.(1)列表:这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数,列出x与y的对应值表:──┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬──x │…│-6│-3│-2│-1│…│1 │2 │3 │6 │…──┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼──y │…│-1│-2│-3│-6│…│6 │3 │2 │1 │…──┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴──(2)描点:由这些有序实数对,可以在直角坐标系中描出相应的点(-6,-1),(-3,--2),(-2,-3)等.(3)连线:用光滑曲线将各点依次连起来,就得到反比例函数的图象,如图所示:师:请同学们用透明纸放在课本的该函数图象上复制这个图象,并用大头钉固定上下坐标系原点,再把上面的图象绕着原点旋转180°,结果你发现什么现象?生:动手操作,并提出发现的问题.师:利用多媒体演示.试一试:在课本图17.4.1所在坐标系中画出函数y=-6x的图象.生:动手画图,交流画图的结果.师:请同学们讨论下列问题.讨论:(1)这个函数的图象在哪两个象限?和函数y=6x的图象有什么不同?(2)反比例函数y=kx图象在哪两个象限?由什么确定?生:在小组内展开交流,然后各组推选代表回答提出的问题,在全班交流,让全体同学达成共识.明确概括:通过上述操作、讨论与交流,我们发现反比例函数的图象是两条曲线,且这两条曲线关于原点对称,这种图象通常称为双曲线(hyperbola).反比例函数y=kx图象的两个分支位居的象限与k的正负有关,当k>0时,•函数的图象分布在第一、三象限;当k<0时,函数的图象分布在第二、四象限.互动2师:利用多媒体演示课件:反比例函数图象上的点与两条坐标轴上对应点做同步运动.请同学们观察反比例函数y=6x和y=-6x图象上点的运动情况,然后回答下列问题.(1)对于反比例函数y=6x,其图象在每个象限内从左到右是上升的还是下降的?•y的值随着x 的变化将怎样变化?(2)对于反比例函数y=-6x,其图象在每个象限内从左到右是上升的还是下降的?•y的值随着x的变化将怎样变化?生:在观察的基础上,在小组内展开讨论,并概括归纳发现的现象,对提出的问题进行解答.明确通过观察可知,反比例函数y=kx有下列性质:(1)当k>0时,函数的图象(•如图17-4-2所示)在每个象限内,曲线从左向右下降,也就是在每个象限内y随x•的增加而减小;(2)当k<0时,函数的图象(如图17-4-2所示)在每个象限内,•曲线从左向右上升,也就是在每个象限内y随x的增加而增大.注1．双曲线的两个分支与x轴和y轴没有交点；2．双曲线的两个分支关于原点成中心对称．例2、已知点p1 ( –2 , y1 ) 、p2 ( –4, y2 ) 在双曲线8yx=-上，试比较y1 与y2 的大小。

《反比例函数的图象和性质》教学设计一、教材的地位和作用今天我说课的内容是华东师范大学出版社《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级下册第十八章第四节反比例函数，这是第二课时《反比例函数的图象和性质》的新授课。

反比例函数是初中阶段要求学习的三种代数函数中的第二种，是一类比较简单但很重要的函数，现实世界中也充满了反比例函数的例子。

反比例函数有别于解析式为整式的一次函数和二次函数，同时反比例函数的图象也与众不同，它是一次函数的延续和二次函数的基础，在函数的学习中起着承上启下的作用。

而且反比例函数常常与物理化学等学科交织在一起，因此学生学好本节内容是非常必要的。

本节课是在学生已学完一次函数，并初步认识、感知反比例函数概念之后，对反比例函数的图象和性质的进一步掌握．基于从函数的角度使学生深刻体会数学与实际生活的联系，感受数学的奇妙，从而加深学生对函数本质意义和研究方法的认识，在探索过程中不断体验数形结合的思想，了解数学模型的应用价值的理念．本教学设计，通过引导学生类比一次函数，让学生经历列表、描点、画图的过程，并通过函数自变量的取值范围、计算函数与自变量的对应值、从表格中观察函数的变化规律以及判断函数图像与坐标轴是否有交点，通过操作、观察、概括和交流活动，自主发现反比例函数的图象和性质，并借助多媒体加以验证，在教学过程中通过自主探究、小组研讨、学生设计问题等环节充分激发学生的学习兴趣，逐步提高从函数图象中获取信息的能力。

二、教学目标分析根据《数学课程标准》并结合我校八年级学生的实际情况，制定教学目标如下：三、学情分析教师在教学一次函数时，通过观察、了解和作业批阅等方式，发现学生已经较好地掌握一次函数的图像及其性质，在此基础上来研究反比例函数的图像及其性质，学生具备了一定的函数学习方法，有一定的学习能力，对函数学习有较浓厚的兴趣。

四、教学问题诊断分析及教学策略选择与设计学生已经学习了一次函数，基本熟练掌握了一次函数的概念、图象、性质与应用，同时前一课也初步认识、感知了反比例函数的概念．但是反比例函数自身的特殊性以及学生学习一次函数所产生的“惯性”，会导致学生在画图、探究反比例函数的性质等方面出现负迁移等问题．学生在描点作反比例函数的图象时，可能会出现以下问题：（1）取点时，都取正值，导致只画出一支曲线；（2）由于所取的点较少，导致图象失真；（3）连线时习惯用线段，导致出现“硬转弯”的折线图；（4）习惯性的过原点或与两坐标轴相交；……基于以上可能出现的问题，本节课的教学主要采用类比、观察、猜想、探究、验证的方法进行教学，促进学生形成类比和数形结合的数学思想，培养合作学习的能力和探究归纳的能力，促进学生数学素养的提升。

《反比例函数的图象和性质》典例精析2【例1】画出反比例函数y＝6x与y＝－6x的图象．【分析】反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称，反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以它的图象与x轴、y轴都没有交点，因此它的图象的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．【解】列表：描点与连线，如图1所示和图2所示．【小结】画反比例函数图象自变量的取值要有代表性，应以O为中心，沿O的两边取三对（或三对以上）互为相反数的点，在描点时先描出一侧，另一侧根据中心对称点的性质去找，连线时注意双曲线的两分支是断开的，【例2】已知反比例函数y＝2mx的图象过点（－3，－12），且双曲线y＝mx位于第二、四象限，求m的值，【分析】根据点在图象上的含义，只要将（－3，－12）代入y＝2mx中即可求出m的值，m＝±6，但是y＝mx位于第二、四象限，m应小于0．∴m＝－6．【解】把(－3，－12)代入y＝2mx中，得－12＝23m－，∴m2＝36，∴m＝±6又∵双曲线y＝mx位于第二、四象限，∴m<0，∴m＝－6．【小结】(1)先用待定系数法求比例系数的绝对值，再由函数图象的位置确定反比例系数k的符号．(2)反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由反比例系数k的符号确定的．【例3】如图所示，P是反比例函数kyx＝图象上一点，若图中阴影部分的面积是2，求此反比例函数的关系式．【分析】要求函数关系式，必须先求出走的值，P点既在函数的图象上又是矩形的顶点，也就是说，P点的横、纵坐标的绝对值是矩形的边长．【解】设P点的坐标为（x，y），由图可知，P点在第二象限，∴x<0，y>0．∴图中阴影部分矩形的长、宽分别为－x、y．∵矩形的面积为2，∴－xy＝2，∴xy＝－2．∴xy＝k，∴k＝－2．∴此反比例函数的关系式是y＝－2x．【小结】此类题目，要充分利用过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线所得矩形面积为1k(这一条件，进行坐标、线段、面积间的转换．。

反比例函数的图象和性质知识技能目标1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题；2.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题．过程性目标1.进一步探求一次函数和反比例函数的性质，感受用待定系数法求函数解析式的方法；2.通过培养学生看图（象）、识图（象）、读图（象）能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题．教学过程 一、创设情境已知正比例函数y ＝ax 和反比例函数xby =的图象相交于点(1,2)，求两函数解析式．分析 根据题意可作出图象．点(1,2)在正比例函数和反比例函数图象上，把点(1,2)代入正比例函数和反比例函数的解析式中，求出a 和b ．解 因为点(1,2)在正比例函数和反比例函数图象上， 把x ＝1，y ＝2分别代入y ＝ax 和xby =中，得 2＝a ，12b=，b ＝2． 所以正比例函数解析式为y ＝2x ． 反比例函数解析式为xy 2=．二、探究归纳综合运用一次函数和反比例函数的知识解题，一般先根据题意画出图象，借助图象和题目中提供的信息解题．三、实践应用例1 已知直线y ＝x ＋b 经过点A (3,0)，并与双曲线xky =的交点为B (－2，m )和C ，求k 、b 的值．解 点A (3,0)在直线y ＝x ＋b 上，所以0＝3＋b ，b ＝－3． 一次函数的解析式为：y ＝x －3．又因为点B (－2，m )也在直线y ＝x －3上，所以m ＝－2－3＝－5，即B (－2,－5)． 而点B (－2,－5)又在反比例函数xky =上，所以k ＝－2×(－5)＝10． 例2 已知反比例函数xk y 1=的图象与一次函数y ＝k 2x －1的图象交于A (2,1)． (1)分别求出这两个函数的解析式；(2)试判断A 点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系． 分析 (1)因为点A 在反比例函数和一次函数的图象上，把A 点的坐标代入这两个解析式即可求出k 1、k 2的值．(2)把点A 关于坐标原点的对称点A ′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中，可知A ′是否在这两个函数图象上．解 (1)因为点A (2,1)在反比例函数和一次函数的图象上，所以k 1＝2×1＝2．1＝2 k 2－1，k 2＝1． 所以反比例函数的解析式为：xy 2=；一次函数解析式为：y ＝x －1． (2)点A (2,1)关于坐标原点的对称点是A ′(－2,－1)． 把A 点的横坐标代入反比例函数解析式得，112-=-=y ，所以点A 在反比例函数图象上． 把A 点的横坐标代入一次函数解析式得，y ＝－2－1＝－3，所以点A 不在一次函数图象上．例3 已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A (0,1)和点B (a ,－3a ),a ＜0，且点B 在反比例函数的xy 3-=的图象上．(1)求a 的值．(2)求一次函数的解析式，并画出它的图象．(3)利用画出的图象，求当这个一次函数y 的值在－1≤y ≤3范围内时，相应的x 的取值范围． (4)如果P (m ,y 1)、Q (m ＋1,y 2)是这个一次函数图象上的两点，试比较y 1与y 2的大小．分析 (1)由于点A 、点B 在一次函数图象上，点B 在反比例函数图象上，把这些点的坐标代入相应的函数解析式中，可求出k 、b 和a 的值．(2)由(1)求出的k 、b 、a 的值，求出函数的解析式，通过列表、描点、连线画出函数图象． (3)和(4)都是利用函数的图象进行解题．解 (1)反比例函数的图象过点B(a ,－3a )，aa 33-=-，a ＝±1，因为a ＜0， 所以a ＝－1． a ＜0． B(－1,3)．又因为一次函数图象过点A (0,1)和点B (－1,3)． 所以⎩⎨⎧+-==.3,1b k b 解得，⎩⎨⎧=-=12b k ．即：一次函数的解析式为y ＝－2x ＋1． (2)一次函数和反比例函数的图象为：(3)从图象上可知，当一次函数y 的值在－1范围内时，相应的x 的值为：－1≤x ≤1．(4)从图象可知，y 随x 的增大而减小，又m ＋1＞m ，所以y 1＞y 2。