2018-2019学年最新冀教版八年级数学上册《分式和分式方程》全章教学设计-优质课教案

第十二章分式和分式方程1.了解分式的概念,掌握分式的基本性质,并能用其进行约分和通分.2.理解和掌握分式加、减、乘、除的运算法则,会进行简单的分式的加、减、乘、除的运算.3.了解分式方程的概念,会解一些简单的可化为一元一次方程的分式方程,懂得解分式方程可能产生增根,理解检验的必要性,并会进行检验.4.通过与分数的类比,学习分式的性质及其运算;能建立分式方程模型解决有关的实际问题.1.在判断分式的过程中,让学生会区分整式和分式.2.在了解分式的基本性质的基础上,掌握分式的约分和通分法则.3.能按照分式的四则运算法则进行分式的加、减、乘、除及混合运算,掌握计算的方法和技巧,会解分式方程并进行检验.1.在认识分式的过程中,让学生体验知识之间的必然联系,体会类比思想的运用,激发学生爱数学、学数学的兴趣.2.培养学生养成认真仔细计算的良好习惯,认识数学是解决实际问题和进行交流的重要工具.3.结合分析和解决实际问题,讨论可以化为一元一次方程的分式方程,掌握这种方程的解法,体会解方程中的化归思想.本章主要内容是通过现实情境建立分式的概念,探索分式的基本性质,进行分式的加、减、乘、除运算,建立分式方程并解分式方程.分式的运算实质是转化为整式的运算来进行的,分式的通分与约分一般需要分解因式,因此,分式的运算是整式的运算及多项式因式分解的综合运用和进一步发展,也是学习分式方程、函数等内容的重要基础.本章内容呈现方式及特点:(1)突出了模型的建立过程.教材通过用代数式表示现实问题中的数量关系,并对代数式进行分类、比较,建立起分式的概念;在与已学过的方程进行比较的过程中,抓住了知识的“生长点”,建立了分式方程的概念.本章突出了模型思想和建立模型的过程,降低了概念过分形式化的要求.(2)突出了“类比”过程,类比是合情推理的重要方式之一,是“发现”和“创新”的重要手段,也是解决问题的常用方法.本章让学生充分经历了与分数类比、提出猜想、获得分式的基本性质和运算法则的过程.(3)突出了“转化”过程,转化是解决问题常用的思想方法,教材在异分母分式的加减运算和解分式方程中都突出了转化的过程,进一步使学生感悟数学思想,积累解决问题的经验.【重点】1.能用分式的基本性质进行约分和通分,会进行分式的混合运算.2.能解可化为一元一次方程的分式方程.3.能用分式方程解决一般的实际问题.【难点】1.对分式概念及其基本性质的理解.2.能进行分式的约分、通分,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.1.让学生充分经历概念的形成过程,学生获得知识必须建立在数学思考的基础上,因此,对于分式、分式方程和分式方程的增根等概念,要创设情境,向学生提供充足的素材,促进数学思考的发展.教学中,还可以补充一些更具有现实性和挑战性的问题.2.分式的通分、约分和运算的教学,实际上是分式基本性质、运算法则的运用,应通过适当的运算让学生进一步理解运算的意义,掌握算法,在理解算理的基础上选择适当的算法,不要追求训练的数量和技巧,不要增加繁难的计算题.3.解分式方程时,要理解去分母的目的和由此产生增根的原因,从而体会去分母的意义和对根进行检验的必要性.能解可化为一元一次方程的分式方程即可,不必增加难度和进行大量的训练.总之,本章的知识是传统的代数基本知识,但在知识的呈现方式上作了较大的改进,在教学要求上也有所不同.在教学过程中,不要认为知识太简单而不留给学生探索与思考的时间和空间,“一讲到底”.对每一个新知识的教学,要有与学生一起思考的活动,要有与学生一起探索的过程,要有与学生一起分享成功的喜悦.本教材内容严格按照课程标准的要求,切实改变繁难偏旧的状况,教学时要把握教材的要求,不要随意增加例题和习题的难度,不要随意拔高要求,以免增加学生不必要的负担.12.1分式2课时12.2分式的乘除2课时12.3分式的加减2课时12.4分式方程1课时12.5分式方程的应用2课时回顾与思考1课时12.1 分式1.了解分式的概念,明确分式中分母不能为0是分式成立的条件.2.了解分式的基本性质,掌握分式的约分法则.经历与分数类比学习分式的过程,学会与他人合作,并获得代数学习的一些常用方法:类比转化、合情推理、抽象概括等.1.认识和体会特殊与一般的辩证关系,提高数学运用能力.2.通过类比分数、分数的基本性质及分数的约分,推测出分式、分式的基本性质及分式的约分,在学生已有数学经验的基础上,提高学生学数学的乐趣.【重点】分式的意义、分式的基本性质、最简分式和约分.【难点】分式的特点及要求;分子、分母是多项式的分式约分.第课时1.使学生了解分式的概念,明确整式和分式的区别,能用分式表示现实情境中的数量关系.2.明确分式中分母不能为0是分式成立的条件.3.使学生能求出分式有意义的条件.4.使学生初步掌握分式的基本性质,并能用它进行分式的约分.启发学生学会观察、分析、寻找解题的途径,提高分析问题、解决问题的能力.1.通过丰富的数学活动,获得成功的经验,体验数学活动充满着探索和创新,体会分式的模型思想.2.通过分数与分式的比较,培养学生良好的类比习惯和思想方法,并培养学生严谨的科学态度.【重点】1.分式的概念,分式有意义的条件.2.分式的基本性质.【难点】分式有意义的条件,分式的值为0的条件及分式的基本性质.【教师准备】相关课件.【学生准备】复习小学学过的分数和初中学习过的整式.导入一:某种商品,原来每盒售价为p元,现在每盒的售价降低了2元.用500元钱购买这种商品,现在比原来可多买多少盒?-盒.怎样用代数式表示现在比原来可多买多少盒?-[设计意图] 通过教材章前图,引导学生列出分式,感知分式的特点,为学习本课时做认知准备.导入二:如果在一条公路上,同向行驶且前后相邻的两辆车的车头与车头之间的平均距离为d(米/辆),车辆的平均速度为v(m/s),那么(辆/秒)叫做这条公路的同向行驶的车流量.问题:如果知道中两个字母所代表的数量,你能求出此时的车流量吗?[设计意图] 通过教材中习题的车流量的情境,帮助学生感受用“分式”表示生活中数量关系的方便性和准确性.导入三:面对日益严重的土地沙化问题,某县决定分期分批固沙造林,一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷,实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷,结果提前4个月完成原计划任务.原计划每月固沙造林多少公顷?如果设原计划每月固沙造林x公顷,那么原计划完成一期工程需要个月,实际完成一期工程用了个月.让学生讨论并填空:生:原计划完成一期工程需要个月,实际完成一期工程用了个月.[设计意图] 通过土地沙化问题,进一步丰富问题的实际背景,激发学生的求知欲望,让学生探索问题中的数量关系,并且体会保护人类生存环境的重要性.活动一:做一做——感知分式[过渡语] (针对导入一)刚才我们列出的式子是不是整式呢?接下来我们就一起探究这个问题.(一)出示教材第2页做一做1.一项工程,甲施工队5天可以完成.甲施工队每天完成的工程量是多少?3天完成的工程量又是多少?如果乙施工队a天可以完成这项工程,那么乙施工队每天完成的工程量是多少?b(b<a)天完成的工程量又是多少?2.已知甲、乙两地之间的路程为m km.如果A车的速度为n km/h,B车比A车每小时多行20 km,那么从甲地到乙地,A车和B车所用的时间各为多少?(二)尝试对所列代数式分类师:同学们能列出这两个问题中的相关代数式吗?生:(列代数式、老师随时板书),;,;,.师:刚才同学们列出的代数式有什么共同特点?你能把它们分成两类吗?预设:生1:都是分数.生2:按照分母是否含有字母分两类.生3:按照分子是否含有字母分两类.[设计意图] 通过分类活动,让学生积极参与到课堂思考活动当中,在分类中发现分母含有字母这个重要特征,为总结和理解分式的概念奠定基础.活动二:大家谈谈——总结分式定义[过渡语] 大家按照分母是否含有字母把这些式子分成两类,我们给这些分母中含有字母的式子下个定义吧!思路一问题:1.以上代数式中哪些是整式?哪些不是整式?2.不是整式的代数式有哪些共同特征?教师向学生指出,类比和归纳是探索新概念的重要方法.在学生观察、归纳的基础上,教师板书分式定义:一般地,把形如的代数式叫做分式,其中,A,B都是整式,且B含有字母.A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.类比分数剖析分式概念:形式:与分数一样,分式也是由分子、分母和分数线组成.内容:分数的分子、分母都是整数,分式的分子、分母都是整式.要求:分式的分母中必须含字母;分子中可以含字母,也可以不含字母.思路二师:下面请同学们看一下这四个式子,看它们有什么相同点和不同点?,,,.学生根据自己的观察,说出:,是分数,是整式.师:而另两个式子,看它们有什么特点?请同学们自己总结一下.学生思考后说:分母中有字母.引导学生归纳:一般地,把形如的代数式叫做分式,其中,A,B都是整式,且B含有字母.A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.活动三:例题讲解——深化对分式的认识指出下列各式中,哪些是整式,哪些是分式.,,.x-2,,5x2,-,-思考:1.含有分母的式子就是分式吗?(不是,分式的分母中必须含有字母)2.分式和整式有什么关系?(分式可以看成两个整式相除的商,除式中要含有字母)学生分析,得出结论.解:x-2,,5x2,都是整式;,的分母中都含有字母,所以它们都是分式.因为-,-[设计意图] 通过观察、归纳、总结出整式与分式的异同,类比分数,合理联想,获得分式概念,通过问题分析加深学生对分式概念的理解,从而揭示分式概念的本质.活动四:大家谈谈——分式的字母可以任意取值吗在什么情况下,下列各分式无意义?,-,.-问题:1.分数在什么情况下无意义?2.分式中分母的字母可以任意取值吗?3.在什么情况下上面的三个分式无意义?[处理方式] 学生交流、老师总结强调.(1)分式有意义,需要分母不为0,需要解一个带“≠”的不等式;反之,当分式无意义时,则分母为0.(2)分式的值为0,既要分子等于0,也要分母不为0.可以用方程和不等式组成条件组表示上述条件.[设计意图] 由学生自己发现问题、解决问题并找出关键所在,既能激发学生的求知欲望,又能有效深化知识.同时通过形象比喻“分数线是路面,分母是陷阱”使学生品味数学的趣味性.(补充例题)当x取什么值时,下列分式有意义?(1)-; (2)-; (3)--.〔解析〕只有当分母不为零时,分式才有意义.解:(1)要使-有意义,必须使4x+1≠0,即x≠-.所以当x≠-时,-有意义.(2)要使-有意义,必须使1-≠0,即x≠±1,所以当x≠±1时,-有意义.(3)要使--有意义,必须使x+3≠0且x-2≠0,即x≠-3且x≠2.所以当x≠-3且x≠2时,--有意义.强调:在解答分式有意义、无意义、值为零的题型时,一定要紧扣分式的概念.如分式有意义时,必须满足B≠0;无意义时,必须满足B=0;值为零时,必须满足A=0且B≠0.其中值为零已经隐含了分式有意义,只是值为零而已,注意区别.[知识拓展] 对于分式的定义和成立的条件要注意以下几点:1.分式的形式与分数类似,但它们是有区别的,分数是整式,不是分式,分式是两个整式相除的商式,其根本区别如下表:分式分数整式区别分母中含有字母分子、分母中都不含有字母分母中不含有字母2.分式与分数是相互联系的,由于分式中的字母可以表示不同的数,所以分式比分数更具有一般性;分数是分式中字母取特殊值后的特殊情况.3.注意分母含π的代数式容易判断错误,如:不是分式,因为π不是字母,而是常数.4.注意分式的值为0时,容易忽略分母不为0的条件.活动五:分式的基本性质[过渡语] 刚才我们研究了分式有意义的条件,小学我们学过分数.请同学们思考:你觉得,和三个数相等吗?下面我们来看看分式是否具有类似的性质?1.请看下面的问题:填空:学生独立思考,根据分数的基本性质,的分子、分母同乘2,可得,的分子、分母同除以10,得.思考:分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值会怎样?归纳:分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变.用式子表示为:,(M是不等于0的整式).【注意】因为0不能作除数,所以分式的分子、分母同乘(或除以)的这个整式不能等于0.2.“做一做”.分式--与相等吗?还有与它们相等的分式吗?如果有,请你写出两个这样的分式.引导学生得到:把--的分子、分母同除以(a-b)得到;把的分子、分母同除以b得到,所以两个分式相等.学生举出具有同样特点的两个分式.[知识拓展] 理解分式的基本性质应注意以下几点:分式的基本性质与分数的基本性质类似,要特别注意“不等于0”“同乘(或除以)”这些关键词.“同乘(或除以)”说明分子与分母都乘或都除以,并且分子与分母乘或除以的整式是相同的;“不等于0”是对分子与分母乘或除以的整式的限制条件.若原分式的分子(或分母)是多项式,运用分式的基本性质时,要先把分式的分子(或分母)用括号括上,再乘(或除以)非零整式.知识总结知识方法要点关键总结注意事项分式的概念一般地,把形如的代数式叫做分式,其分母含π的代数式容易判断错误.中A,B是整式,且B 中含有字母,A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.分式有意义或无意义或分式值为0的条件(1)分式有意义:分母不为0;(2)分式无意义:分母为0;(3)分式值为0:分子为0且分母不为0.判断分式的值为0时,容易忽略分母不为0的条件.分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变.规律方法总结1.判断分式的依据是看分母中是否含有字母,分母中含有字母的代数式是分式.2.(1)分式的基本性质的作用:分式进行变形的依据.(2)在运用分式基本性质时,必须注意乘或除以的是同一个整式,且不为0.(3)分式基本性质的研究方法:从分数→分式;从特殊→一般.1.如果分式-有意义,那么x的取值范围是( )A.任意数B.x=1C.x≠1D.x=0解析:分式有意义,分母x-1≠0,据此可以求得x的取值范围是x≠1.故选C.2.若将分式(a,b均为正数)中的字母a,b的值分别扩大为原来的2倍,则分式的值( )A.扩大为原来的2倍B.缩小为原来的C.不改变D.缩小为原来的解析:分式中的字母分别扩大为原来的2倍,分式的分子扩大为原来的2倍,分式的分母扩大为原来的4倍,所以分式的值缩小为原来的.故选B.3.下列代数式是分式的有.(填序号);④;⑤;⑥ab-ac;⑦.①;②;③-解析:判断一个代数式是不是分式,看分母中是否含有字母,若分母含有字母,则是分式;若分母不含有,,中分母都含有字母,是分式,ab-ac和是整式,不是分式,因为π不是字字母,则不是分式.,-母,而是常数.故填②③④⑤.4.已知分式-,当x= 时,分式无意义.解析:根据分式无意义,分母等于0列式计算即可得解.根据题意,得x+3=0,解得x=-3.故填-3.5.判断下列从左到右的变形是否正确.(1). ( )(2). ( )(3). ( )(4). ( )解析:此类题主要考查分式的基本性质.对于,条件中隐含a≠0,分子、分母同时乘a,可得成立,因此(1)正确;分子、分母加上c,只有当c=0时一定成立,其余条件下不一定成立,因此(2)错误;当c=0时,不成立,因此(3)错误;在中,隐含c≠0,分子、分母同时除以c,式子成立,因此(4)正确.答案:(1)(2)×(3)×(4)6.已知分式-,当x=-3时,该分式没有意义;当x=-4时,该分式的值为0,求(m+n的值.解析:分式没有意义时,分母为0;分式的值为0时,分子为0,分母不为0.解:根据分式没有意义的条件,有x+m=0,则x=-m,当x=-3时,m=3,再根据分式的值为0的条件,可求得n 的值为-4,所以(m+n)2016=(3-4)2016=1.7.不改变分式的值,把式子的分子与分母的系数化为整数.解析:利用分式的基本性质,分子与分母同时乘6即可.解:.(答案不唯一)第1课时活动一:做一做——感知分式活动二:大家谈谈——总结分式定义分式定义活动三:例题讲解——深化对分式的认识例1活动四:大家谈谈——分式的字母可以任意取值吗?例2活动五:分式的基本性质,(M是不等于0的整式)一、教材作业【必做题】1.教材第3页练习第1题.2.教材第4页习题第1,2题.【选做题】教材第4页习题第3题.二、课后作业【基础巩固】1.代数式的家中来了几位客人:,,-,-,,+y,其中属于分式家族成员的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.当分式-没有意义时,x的值是( )A.2B.1C.0D.-23.下列关于分式的判断,正确的是( )A.当x=2时,-的值为零B.当x≠3时,-有意义C.无论x为何值,不可能得整数值D.无论x为何值,的值总为正数【能力提升】4.若-是一个整数,则x的最大的整数值为( )A.8B.13C.16D.185.当x=3时,分式-的值是.6.当m= 时,分式---的值为零.7.某工厂计划a天生产60件产品,则平均每天生产该产品件.8.观察下列式子:4=4-,5=5-,6=6-,设n表示正整数(n≥4),用含n的等式表示这个规律是.9.下列各式中,哪些是整式?哪些不是整式?两者有什么区别?a,2x+y,-,,-,3a,5.【拓展探究】10.在学习中小明和小丽都遇到了“当x取何值时,-有意义”?小明的做法是:先化简---,要使-有意义,必须x-2≠0,即x≠2;小丽的做法是:要使-有意义,必须x2-4≠0,即x2≠4,所以x1≠-2,x2≠2.如果你与小明和小丽在同一个学习小组,请你发表一下自己的意见.【答案与解析】1.C(解析:分式与整式的区别主要在于分母中是否含有未知数.,-,这3个式子分母中含有字母,因此是分式.其他式子分母中均不含有字母,是整式,而不是分式.故选C.)2.A(解析:分式无意义的条件:分母为零.)3.D(解析:根据分式的值为0的条件,以及分式有意义的条件即可求解.当x=2时,-无意义,故A错误;当x ≠0时,-有意义,故B错误;当x=2时,得整数值,故C错误;分母x2+1大于0,分子大于0,故无论x为何值,的值总为正数,故D正确.)4.A(解析:如果是一个整数,那么x-3是5的约数,则x-3=±1或±5.即x=4或2或8或-2,所以x的最大-整数值是8.)5.1(解析:将x=3代入分式,即可求得分式的值.)6.3(解析:由(m-1)(m-3)=0,m2-3m+2≠0,解得m=3.故填3.)7.(解析:工作效率=工作总量÷工作时间,把相关数值代入即可.)8.n=n-(解析:观察等式可得等号左边的第一个因数与第二个因数的分子、等号右边的被减数、等号右边减数的分子相同;等号左右两边的分母均为前面所得的数加1.)9.解:整式:a,2x+y,-,3a,5;不是整式:,-.它们的区别在于分母中是否含有字母,若含有字母,则不是整式,若不含有字母,则是整式.10.解:要使有意义,必须x2-4≠0,即x2≠4,所以x1≠-2,x2≠2.故小丽的做法正确,小明的做法使原来的-分式中字母x的取值范围扩大了,从而出错.从相等分数的变形依据,分数的基本性质作为复习引入,类比到相等分式的变形依据,归纳概括出分式的基本性质.对分数的基本性质和分式的基本性质做了对比研究,实现了从“数”到“式”的提升.1.在教学过程中,对于学生的指导还有些不够到位的地方,如:对分式有意义、无意义和值为零类解答题的解答过程示范不够到位.2.让部分因式分解不熟练的学生没有积极投入到分式基本性质的学习中来.1.注意加深整式和分式的区别,加强解答题目过程的示范,进一步关注数学与生活的紧密联系.2.在例题选配上,还需要进一步突破应用分式的基本性质对分式进行变形这一难点,增设判断从左到右的变形是否正确这一类例题.练习(教材第3页)1.解:(1)x≠1. (2)x≠-.2.解:(1)正确. (2)不正确. (3)正确. (4)正确.习题(教材第4页)1.解:当v=20 m/s,d=10米/辆时,=2(辆/秒).2.解:要使分式有意义,则必有x+1≠0,所以x≠-1,所以当x≠-1时,分式有意义.要使分式的值为0,则必有所以x=0,所以当x=0时,分式的值为0.3.解:(1)是分子、分母同时乘x2得到的. (2)是分子、分母同时除以x得到的. (3)是分子、分母同时乘5得到的. (4)是分子、分母同时除以x-2得到的.4.解:答案不唯一.如,等.重难点突破建议分式是在学生学过分数、整式的基础上对代数式的进一步研究.分式与分数类似,但又有所不同,分数是分式的具体化,分式是分数的一般形式,这种一般与特殊以及“数式相通”的类比思想学生还是比较欠缺的.但是八年级的学生具有一定独立思考、概括归纳的能力,也有很强的合作意识.本课时的重点为分式的概念,难点为理解并掌握分式有意义和值为零的条件.为了能突破这一重、难点,为后续的学习奠定坚实的基础,所以本节的设计中,突出了学生观察、猜想、分析、思考、归纳等过程,让学生真正地参与到学习中去,提高他们的学习兴趣.当x 时,分式的值为负数.-〔解析〕分子x2+4>0,分子与分母异号时,分式的值为负数,即x-2<0,x<2.学生小组合作,并交流解析过程.故填<2.[设计意图] 尽管有一定的难度,但学生通过小组合作交流,没有畏惧感,发挥了学生解决问题的主动性,使每个学生在探究中有所收获.下列各式中,哪些是整式?哪些是分式?,,-,-,,x2+y,〔解析〕区分整式与分式的标准就是看分母,分母中不含字母的是整式,分母中含有字母的是分式.解:整式有:,,x2+y.分式有:,-,-.[解题策略] 注意辨析一些特殊的代数式,如中π是常数,故是整式;-容易看出是分式,是整式,类比“一个整数减去一个分数结果是分数”得出-是分式.x取什么值时,分式有意义?解:x≠-1且x≠-2时,分式有意义.[解题策略] 要使分式有意义,应使分式的分母不为零,对(x+1)(x+2)≠0来说,欲使其成立,必须x≠-1,同时x≠-2,即x≠-1且x≠-2.[方法提示] 只要分式中的分母不等于0,分式就有意义.第课时1.类比分数的约分,理解分式约分的意义.2.会用分式的基本性质进行约分,掌握分式约分的方法与步骤.通过类比分数的约分,探索分式的约分法则,学会运用类比转化的思想研究数学问题.1.通过研究解决问题的过程,培养学生合作交流的意识与探究精神.2.通过对分式约分的探究,让学生充分参与到数学学习的过程中来,使他们体验到成功的乐趣.【重点】运用分式的基本性质正确地进行分式的约分.【难点】约分时,最简公因式的确定.【教师准备】课件1~11.【学生准备】复习分数的约分和分式的基本性质.。

12.1 分式（第一课时）〖教学目标〗（－）知识目标1．经历分式概念的抽象过程，体会分式的模型思想，进一步发展符号感.2．了解分式产生的背景和分式的概念，了解分式与整式概念的区别与联系．4．利用分式的基本性质对分式进行“等值”变形．（二）能力目标1．能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，经历对具体问题的探索过程，进一步培养符号感．2．掌握分式有意义的条件，认识事物间的联系与制约关系．（三）情感目标通过类比分数的基本性质及分数的约分，推测出分式的基本性质和约分，在学生已有数学经验的基础上，提高学生学数学的乐趣．即通过丰富的现实情境，使学生在已有数学经验的基础上，了解数学的价值，发展“用数学”的信心．〖教学重点〗1．了解分式的形式(A、B是整式)，并理解分式概念中的一个特点：分母中含有字母；一个要求：字母的取值限制于使分母的值不得为零．2．掌握分式基本性质的内容，并有意识地运用它化简分式．〖教学难点〗1．分式的一个特点：分母含有字母；一个要求：字母的取值限制于使分母的值不能为零．2．分子分母进行约分．〖教学过程〗这是一个在美国影响很大的算题：你见过这样荒谬绝伦的约分吗？凡学过分数的学生都会被这种运算笑掉大牙.笑罢之余，再猛地一想，怪事！这结果怎么反而是正确的？当然，这是一种偶然的巧合，但是这种偶然之下有没有值得研究的地方？我们的问题是：你能否再找出其它的分数，也具有这种奇特现象？稍加思索，我们可以找到问题的解法.我们知道，正分数的分子和分母都是正整数，而且一个个位数字是y ，十位数学是x 的两位正整数可以写成10x ＋y 的形式.设这个分数的分子为10a ＋b ，分母为10b ＋c ．我们要做的事是求满足关系式ca cb b a =++1010的分数.这实际上是一个不定方程的问题.化简上式，得10a(c-b)=c(a-b)．分别讨论a ，b ，c 从1到9的取值情况，可以求出满足此条件的分数，有6526,6416，9849,9519. 这个奇妙的算题被列为美国20世纪“最佳”趣题之一.一、课前布置自学：阅读课本P2~P3，试着做一做本节练习，提出在自学中发现的问题（鼓励提问）.二、学情诊断1.了解学生原有认知机构，解答学生提出的问题.2.一起交流课本P2的“做一做”与“大家谈谈”三、师生互动（一）［师］在自学时，我们知道有些实际问题中的数量关系所对应的代数式，不能用整式.例如(出示题目)，你来列一列所需的代数式.(1)一箱苹果售价a 元，箱子与苹果的总质量为m kg ，箱子的质量为n kg ，则每千克苹果的售价是_________元.(2)某书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册a 元，现降价x 元销售，当这种图书的库存全部售出时，其销售额为b 元．降价销售开始时，文林书店这种图书的库存量是__________.［生］(1)n m a -元；(2)x a b-册［师］这样的代数式同整式有很大的不同，而且它是以分数的形式出现的，它们是不同于整式的一个很大的家族，我们把它们叫做分式. 谁能说说分式与整式有什么不同？［生］：分式都是由分子、分母与分数线构成；分母中都含有字母．［生］分式与整式的不同点就在于它们的分母中都含有字母，而整式的分母中不含有字母．例如：42,90y x x -它们都含有分母，但分母中不含字母，所以它们是整式． ［师］很好！阅读课本分式的概念，再次感受一下课本中是如何描述分式的：（一般地，我们把形如BA 代数式叫做分式，其中A,B 都是整式，且B 中含有字母，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母．）［师］分式中，字母可以取任意数吗？［生］不可以．因为分式中分母含有字母，而分母是除式，不能为零．字母的取值就受到制约，即字母的取值不能使分母为零，否则，分式就会无意义．（二）鼓励学生讲解教师提供的例题.（例题的设置是分层的，安排不同基础的学生尝试讲解，教师予以补充）例1 在代数式中3x ＋21、a 5、πy x 26、y +53、a 2＋3b 、3222c ab 、x x 2，分式的个数有( )个．A 、4个B 、3个C 、2个D 、1 个分析：分式的分母中含有字母.例2 当x 取什么值时，下列分式有意义？（1）212x x -- （2）2||-x x分析：记住分式的分母不能为零，有意义的条件是分母≠0．解：（1）由分母－x 2＝0得：x ＝0．所以当x ≠0时，分式212x x --有意义．（2）故|x|－2≠0，得|x |≠2，即x ≠±2．例2 当x 取什么值时， 分式211x x -+的值为零？解：由分子x 2－1＝0得x ＝±1而当x ＝－1时，分母x ＋1＝－1＋1＝0此时分式无意义，所以当x ＝1时，分式211x x -+的值为零． （三）［师］在小学学分数时，我们学习了分数的基本性质.自学时，你是怎样理解分式的基本性质的？［生］分式是一般化了的分数，类比分数的基本性质，我们可推想出分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变．［师］在运用此性质时，应特别注意什么？［生］应特别强调分式的分子、分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式中的“都”“同一个”“不为零”．［师］我们利用分数的基本性质可对一个分数进行等值变形．同样我们利用分式的基本性质也可以对分式进行等值变形．（鼓励学生讲解教师提供的例题.）2.下列等式的右边是怎样从左边得到的？(1)x b 2＝xy by 2 (y ≠0)；(2)bx ax ＝ba ． 解：在(1)中，因为y ≠0，利用分式的基本性质，在x b 2的分子、分母中同乘以y ，即可得到右边， 即x b 2＝y x y b ⋅⋅2＝xyby 2； 在(2)中，bx ax 可以分子、分母同除以x 得到，即bx ax ＝x bx x ax ÷÷＝ba ． 强调：在(1)中，题目告诉你y ≠0，因此我们可用分式的基本性质直接求得．(2)中隐含条件x ≠0的发现.在bx ax 中，x 不会为“0”，如果是“0”， bx ax 中分母就为“0”，分式bxax 将无意义，所以(2)中虽然没有直接告诉我们x ≠0，但要由bx ax 得到b a ，bx ax 必须有意义，即bx ≠0由此可得b ≠0且x ≠0．（四）引导学生小结：1.注：1°对于任意一个分式，分母都不能为零．2°分式与整式不同的是：分式的分母中含有字母，整式的分母中不含字母．3°分式的值为零含两层意思：分母不等于零；分子等于零．2.数学知识之间是有内在联系的．利用分数的基本性质就可推想出分式的基本性质．四、补充练习作业P4习题〖分层练习〗1.①当a ＝1，2时，分别求分式aa 21+的值． ②当a 为何值时，分式aa 21+有意义？ ③当a 为何值时，分式a a 21+的值为零？ 2.当x=1时，分式①11-+x x ，②221--x x ，③112--x x ，④113+x 中，有意义的是（ ）A.①③④B.③④C.②④D.④3. 写出一个含有字母x 的分式（要求：不论x 取任何实数，该分式都有意义，且分式的值为负） ．4.已知分式x x 412-是正数，则x 的取值范围是（ ） A.41≠x B.41>x C.41<x D.041≠<x x 且〖答案提示〗1.解：①当a ＝1时，121121⨯+=+a a ＝1； 当a ＝2时，43221221=⨯+=+a a ． ②当分母的值等于零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义． 由分母2a ＝0，得a ＝0．所以，当a 取零以外的任何实数时，分式aa 21+有意义． ③分式的值为零，包含两层意思：首先分式有意义，其次，它的值为零．因此a 的取值有两个要求：⎩⎨⎧=+≠0102a a所以，当a ＝-1时，分母不为零，分子为零，分式aa 21+为零． 2.D 3. 112+-x (或11+-x ,答案不唯一) 4.D。

冀教版数学八年级上册《分式方程》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册《分式方程》是学生在学习了初中数学基础知识后，进一步深入研究数学的重要内容。

本节课的主要目的是让学生掌握分式方程的定义、解法及其应用，培养学生解决实际问题的能力。

教材通过引入实际问题，引导学生认识分式方程，并逐步引导学生探究分式方程的解法，从而达到理解并熟练掌握分式方程的目的。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了分式的基本知识，包括分式的概念、分式的运算等。

但是，学生对于分式方程的认识还比较模糊，对于如何解决分式方程还缺乏相应的技巧和方法。

因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，从学生的已有知识出发，引导学生探究分式方程的解法，并培养学生的解题技巧。

三. 教学目标1.让学生理解分式方程的定义，掌握分式方程的解法。

2.培养学生解决实际问题的能力，提高学生的数学素养。

3.培养学生合作探究的学习习惯，提高学生的自主学习能力。

四. 教学重难点1.重点：分式方程的定义、解法及其应用。

2.难点：分式方程的解法，特别是如何消元和解方程。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现分式方程，激发学生的学习兴趣。

2.采用合作探究的学习方式，让学生在小组讨论中共同解决问题，提高学生的自主学习能力。

3.采用案例教学法，通过具体的例题，让学生掌握分式方程的解法。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括分式方程的定义、解法及其应用等内容。

2.准备一些实际的习题，用于巩固学生的学习效果。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题，引导学生认识分式方程，并激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）通过PPT呈现分式方程的定义、解法及其应用等内容，让学生对分式方程有一个整体的认识。

3.操练（10分钟）让学生独立解决一些简单的分式方程，体会解分式方程的方法。

4.巩固（10分钟）通过小组合作，共同解决一些较复杂的分式方程，巩固学生对分式方程解法的掌握。

分式方程（教学设计）课题12.4分式方程授课教师教材冀教版义务教育教科书数学八年级上册教学目标教学目标:1.了解分式方程、分式方程的解和增根的概念；2.会解分式方程（方程中的分式不超过两个），会检验根的合理性.重点与难点：1.重点是分式方程的概念及解法.2.难点是理解分式方程的增根产生的原因.教学环节教师活动及设计意图学生活动认识新情景引入：1.相邻两个偶数之比为5 ：6,求这两个偶数.独立思考,反思交流.方程 2.（教材P18）小红家与学校相距38km，小红从家去学校总是先乘公共汽车，下车后再步行2km才能到学校，路途所用时间是1h.已知公共汽车的速度是小红步行速度的9 倍，求小红步行的速度.一起探究：1.观察与思考.对问题充分审读，找出核心内容，并仔细理解含义.2.找到等量关系.3.列方程.设计意图：提出问题情境后，教师引领学生根据已有的知识经验，尝试解决教材P18“一起探究”中的问题，对学习困难的学生给予点拨和引导，再以交流的形式达成共识．将教材P18实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的建模思想．1.学生认真思考，理解问题的含义.2.学生感受将实际情境中的数量关系抽取出来.(小组合作与交流.)3.利用分式方程把文字语言中的两个等量关系表示出来.学生独立完成后小组内进行交流答案.分式方程知多改造“大家谈谈”（教材P18)1.上面哪些方程是我们已学过的?2.上面得到的新方程与我们已学过的方程有什么不同，这些方程有哪些共同特点？3.类比写一个新方程.以上问题全班交流.通过交流达成共识.少分式方程知多少总结：分母中含未知数的方程叫做分式方程.注意：分母是否含有未知数是区别分式方程与整式方程的关键.设计意图：对于分式方程的概念的教学．结合教材P18“大家谈谈”的活动，引导学生观察，尝试与已学过的方程相比，未知数的位置有什么不同？这些方程的共同特点是什么？还能否举出这样的例子吗？使学生在思考这些问题的过程中自然建立分式方程的模型，从而归纳出分式方程的概念．聪明的同学，你能为下列方程找到家吗？（1）322xx=-（2）734=+yx（3）322xx=-（4）23xx=-π（5）1)1(-=-xxx（6）10512=-+xx设计意图：通过辨析，准确理解分式方程的概念，培养学生的观察能力.学生抢答解分式方程回顾思考解方程:223146x x+--=设计意图：回忆一元一次方程的解法，复习解题步骤,指明解题注意点,为类比解分式方程作铺垫.学生独立完成小组互评怎样求分式方程的解呢？为了解决本问题，请同学们先思考并回答以下问题：1）回顾解一元一次方程时是怎么去分母的？2）有没有办法可以去掉分式方程的分母 把它转化为整式方程呢？设计意图：在例1前，引导学生思考：解一元一次方程的一般步骤是什么？去分母的目的是什么？能否对分式方程去分母？让学生思考后尝试去分母．这样就可以探索到解分式方程的方法．教师可根据学生的讨论情况适时地进行点拨. 小组合作与交流，形成统一认识：解分式方程转化为整式方程. 渗透化归的数学思想.改造例1 (教材P 19) 解方程 （1）382219x x-+= （2） 设计意图：“类比”解一元一次方程的方法解可化为一元一次方程的分式方程．类比是合情推理的重要方式之一，是“发现”和“创新”的重要方法，也是解决问题的常用方法．感受到数学活动充满着探索和创造，发展了合情推理能力．学生先独立完成，之后小组讨论，并在全班展示交流. 13111x x x x+-=+--认识增根(教材P19) 观察思考在解方程11311+--=-+xxxx时，解法如下：解：方程两边同乘x－1，得，x＋1＝－(x－3)＋(x－1)解这个整式方程，得x＝1问题1.请你观察计算有无错误？2.x＝1是原方程的根吗？3.请帮他找一下出现这种情况的原因？设计意图：利用教科书P19中的“观察与思考”活动，使学生发现：这样求出的方程的根不一定是分式方程的根，然后引导学生思考：解方程时，同是去分母，为什么求得的一元一次方程的根不需检验，而分式方程的根就需检验呢？这样能使学生进一步理解分式方程生增根的原因和验根的方法。