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12.4 分式方程
专题一 根据分式方程的根确定字母的值或取值范围
1.关于x的分式方程
1
13
1
xxm
的解为正数，则m
的取值范围是 .
2.若关于x的方程3
1
1xa
xx
无解，求a
的值.
专题二 特殊分式方程的特殊解法
3.解方程：1735
2846xxxx
xxxx
.
4. 阅读下列材料：关于x的方程11
xc
xc的解是
121
,xcx
c
（
12,xx
表示未知数x
的两个实
数解，下同）；
（1）11
xc
xc的解是
121
,xcx
c（即：11
xc
xc
的解是
121
,xcx
c
）；
22
xc
xc的解是
122
,xcx
c
；
33
xc
xc的解是
123
,xcx
c
.
请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程mm
xc
xc
（m≠0）与它们的关系，猜想它的解
是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证；
（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数
的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可
以直接得解.请用这个结论解关于x的方程：22
11xa
xa
.
状元笔记
【知识要点】
2 1.分式方程的定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2.解分式方程的一般步骤
（1）去分母，把分式方程转化为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，并写出原方程的解.
【温馨提示】
1.解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程.
2.解分式方程一定要注意验根.
3.分式方程有解的条件是：①化简得到的整式方程有解；②整式方程的解使分式方程的分母的值不
为0 .
【方法技巧】
1.判断一个方程是否是分式，并不是看分式方程中是否有分母，而是看分母中是否含有未知数.
2.验根的方法：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为0（即是否符合“分母不为0”的限
1 巧解分式方程
对于某些特殊类型的分式方程，如果采用常规方法来解，往往会带来繁琐的运算。本文举例介绍几种巧解分式方程的方法。
一、裂项法
分析：方程中每一个分式的分母加1都等于它的分子。根据这样一个特点，可以把分子分裂成两项，然后分别用它的分母去除，消去分子中的未知数，再分组通分将分子化为1。
解：原方程可化为
∴x2－14x＋48=x2－6x＋8，
解之得x=5。经检验x=5是原方程的解。
二、局部换元法
分析：通过观察发现各分式中分母都和x2－x＋1这一式子有联系，故可用局部换元法。
解：令x2－x＋1=y，原方程变成
解之并检验可得y=3。
∴x2－x＋1=3，解之可得x1=2，x2=－1。
故原方程的根是x1=2，x2=－1。
三、局部通分法
2 分析：用去分母化整式方程的常规办法来解，将会带来繁琐的运算，如能适当局部通分，并辅以除法求解，将会得到较为理想的效果。
解：局部通分得
去分母，得x2－7x＋10=x2－9x＋18。
故2x=8。
∴x=4。经检验知x=4是原方程的解。
1 《分式方程》试卷
专题一 根据分式方程的根确定字母的值或取值范围
1.关于x的分式方程1131xxm的解为正数，则m的取值范围是 .
2.若关于x的方程311xaxx无解，求a的值.
专题二 特殊分式方程的特殊解法
3.解方程：17352846xxxxxxxx.
4. 阅读下列材料：关于x的方程11xcxc的解是121,xcxc（12,xx表示未知数x的两个实数解，下同）；
（1）11xcxc的解是121,xcxc（即：11xcxc的解是121,xcxc）；
22xcxc的解是122,xcxc；
33xcxc的解是123,xcxc.
请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程mmxcxc（m≠0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证；
（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解.请用这个结论解关于x的方程：2211xaxa.
状元笔记
【知识要点】
1.分式方程的定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2.解分式方程的一般步骤 2 （1）去分母，把分式方程转化为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，并写出原方程的解.
【温馨提示】
1.解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程.
2.解分式方程一定要注意验根.
3.分式方程有解的条件是：①化简得到的整式方程有解；②整式方程的解使分式方程的分母的值不为0 .
【方法技巧】
1.判断一个方程是否是分式，并不是看分式方程中是否有分母，而是看分母中是否含有未知数.
2.验根的方法：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为0（即是否符合“分母不为0”的限制），如果分母不为0，则被验的根就是分式方程的解，如果使分母为0，则这个根就是增根，必须舍去.
《分式方程的应用》教案
教学目标
1、知识技能
能将实际问题中的相等关系用分式方程表示，并进行方法总结.
2、过程与方法
通过日常生活中的情境创设，经历探索分式方程应用的过程，提高学生运用方程思想解决问题的能力，和思维水平.
3、情感态度、价值观
在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，引导学生努力寻找解决问题的方法，体会数学的应用价值.
教学重点
实际生活中分式方程应用题数量关系的分析.
教学难点
将复杂实际问题中的等量关系用分式方程表示，并进行归纳总结
教学过程
活动一、创设情境，探究新知
师引：“海上生明月，天涯共此时”.在中秋节来临之际，我校开展了“走进商场，感受中秋”的社会实践活动(视频)，伴随着小记者的步伐，我们开始了本节课的探索之旅.探究1：为体验中秋时节浓浓的气息，我校小记者骑自行车前往距学校6千米的丹尼斯商场采访，10分钟后，小记者李琪坐公交车前往，公交车的速度是自行车的2倍，结果两人同时到达.求两车的速度各是多少？
自学提示：
1、速度之间有什么关系？时间之间有什么关系？
2、怎样设未知数，根据哪个关系？
3、填表
路程(千米) 速度(千米／时) 时间(时)
自行车
公交车
4、怎样列方程，根据哪个关系？
学生根据自学提示独立思考.师生互动总结：此题中有两个相等关系，一个是时间关系，另一个是速度关系.若用时间关系设未知数，则用速度关系列方程.若用速度关系设未知数，则用时间关系列方程.
活动二、迁移演练，方法探索
师引：接下来，小记者采访了卖月饼的张师傅(视频)让我们和小记者一起解决张师傅提出的问题吧！
探究2：张师傅：每天卖的是原来的2倍，1000斤月饼比原来少卖5天.原来，现在每天各卖多少斤？
教师投影出示表格，学生填空.
总量(斤) 日销售量(斤) 天数(天)
原来
现在
学生单独列出方程.
一相等关系 另一相等关系
设未知数
列方程
活动三：交流延伸，激活思维
