(完整)直角三角形的边角关系知识点,推荐文档

直角三角形的边角关系知识点一、勾股定理勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个其他两边平方的和。

即a^2+b^2=c^2，其中c表示直角边，a和b分别表示斜边。

二、正弦定理正弦定理是指在任意三角形中，任意两边的比例等于它们所对的角的正弦值的比例。

在直角三角形中，不包含直角的两个角分别为A和B，直角所对的边为c，则正弦定理可以表示为sinA=a/c，sinB=b/c。

三、余弦定理余弦定理是指在任意三角形中，任意一边的平方等于另外两边的平方和减去它们的两倍乘以它们夹角的余弦。

在直角三角形中，不包含直角的两个角分别为A和B，直角边所对的边为c，则余弦定理可以表示为cosA=b/c，cosB=a/c。

四、正切定理正切定理是指在任意三角形中，两条边的比例等于它们所对的角的正切值的比例。

在直角三角形中，不包含直角的两个角分别为A和B，直角所对的边为c，则正切定理可以表示为tanA=a/b，tanB=b/a。

五、边角关系1.直角三角形中，一个角是90度，另外两个角的和是90度。

2.直角三角形中，直角边所对的角是90度，而另外两边所对的角是锐角。

3.直角三角形中，两个锐角的正弦、余弦、正切值彼此互为倒数。

4.直角三角形中，两个锐角的余弦值等于彼此的正弦值。

5.直角三角形中，一个锐角的正弦值等于另一个锐角的余弦值。

六、特殊三角形1.在直角三角形中，当两个直角边的长度相等时，该直角三角形为等腰直角三角形。

2.在等腰直角三角形中，两个锐角相等，且为45度。

3.在等腰直角三角形中，斜边的长度等于直角边的平方根的两倍。

以上是直角三角形的边角关系的主要知识点。

通过对直角三角形的边长和角度关系的了解，我们可以应用这些关系来解决与直角三角形相关的问题。

同时，直角三角形也是三角学中一个重要的基础概念，为后续学习提供了坚实的基础。

边角关系知识点总结1. 任意三角形的边角关系：（1）在任意三角形中，三个内角的和等于180°，即A + B + C = 180°。

（2）三角形的外角等于其不相邻的两个内角的和。

也就是说，三角形的一个内角加上其对边的外角等于180°。

（3）在任意三角形中，任意两边之和大于第三边。

即AB + BC > AC、AC + BC > AB、AB + AC > BC。

2. 直角三角形的边角关系：（1）直角三角形的三个内角中，一个为90°，一个为锐角，一个为钝角。

（2）直角三角形的斜边是其它两条边的平方和的平方根。

即c² = a² + b²。

（3）直角三角形的两个锐角互余，即一个角的余角是另一个角。

3. 等腰三角形的边角关系：（1）等腰三角形的底边相等，顶角相等。

（2）等腰三角形的底角相等，顶角相等。

（3）等腰三角形的底边上的高相等。

4. 等边三角形的边角关系：（1）等边三角形三个内角相等，每个角都是60°。

（2）等边三角形的三条边相等。

（3）等边三角形的高、中线、角平分线、垂径都是同一条线段。

5. 直角三角形、等腰三角形和等边三角形的区别：（1）直角三角形有一个角是90°，等腰三角形和等边三角形没有。

（2）等腰三角形有两条边相等，直角三角形和等边三角形没有。

（3）等边三角形的三条边都相等，直角三角形和等腰三角形没有。

6. 三角形的角平分线：（1）三角形的角平分线是指从三角形的一个角的顶点出发，把这个角平分成两个相等的角的线段。

（2）三角形的三个角都各有一条角平分线。

（3）角平分线和对边的比例关系：AB/BD = AC/CD。

7. 外接角和内切角：（1）外接角：指与三角形的外角相对应的一个角，外接角等于两个不相邻内角的和。

（2）内切角：指与三角形的内角相对应的一个角，内切角等于两个不相邻外角的和。

8. 三角形的全等条件：（1）两个三角形的三边全相等，则这两个三角形全等。

直角三角形边角关系专题复习一. 知识体系：1. 三种三角函数与直角三角形中边与角的关系，在Rt△中在此应注意的问题是无论是求哪一个角的三角函数，一定要先把这个角放在直角三角形中 2. 特殊角的三角函数值3. 三角函数的有关计算（对于一般角的三角函数值可利用计算器）41 2 3 4.三角函数的应用（）测山的高度（）测楼的高度（）测塔的高度（）其它⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪题型一：三角形内的计算问题（计算三角函数值、面积等） 例1．在ABC Rt ∆中，∠C=90° ，且21sin =A ，AB=3，求BC ，AC 及B ∠.例2．已知，四边形ABCD 中，∠ABC = ∠ADB =090，AB = 5，AD = 3，BC = 32，求四边形ABCD 的面积。

例3．如图，在Rt ABC ∆中，90BCA ∠=︒，CD 是中线，5,4BC CD ==，求AC 的长。

B变式训练：1、ABC Rt ∆中，∠C=90°，AC=4，BC=3，B cos 的值为…………………【 】 A 、51 B 、53 C 、 34 D 、 432、在菱形ABCD 中，∠ABC=60° ， AC=4，则BD 的长是…………………【 】 A 、 38 B 、34 C 、32 D 、83、在ABC Rt ∆中，∠C=90° ，A tan =3，AC=10，则S △ABC 等于………【 】 A 、 ３ B 、３00 C 、350D 、1５0 4、在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值（ ） A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.扩大4倍 D.没有变化5、在ABC Rt ∆中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c 三边，则下列式子一定成立的是………………………………………………………………【 】 A 、B c a sin ⋅= B 、B c a cos ⋅= C 、Bac tan =D 、A a c sin ⋅= 6、等腰三角形的腰长为10cm ，顶角为120，此三角形面积为 。

直角三角形的边角关系知识点1：锐角三角函数一、知识点讲解： 1．锐角三角函数的概念：锐角三角函数包括正弦函数，余弦函数，和正切函数，如图1－1－1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b ，c ． ∠A 的正弦=A asin A=c∠的对边，即斜边；∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边,∠A 的正切=A a tan=A b∠的对边，即∠的邻边注：三角函数值是一个比值．2．特殊角是指0°，30°，45°，60°，90°的角． 3．特殊角的三角函数值．4．互为余角的三角函数关系．sin （90○－A ）=cosA ， cos （90○－A ）=sin A tan （90○－A ）= cotA cot （90○－A ）=tanA 5．同角的三角函数关系． ①平方关系：sin 2 A+cos 2A=l ②倒数关系：tanA ×cotA=1③商数关系：sin cos tan ,cot cos sin A AA A A A==④sin cos 12sin cos a a a a +=+ ⑤222tan cot (tan cot )2a a a a +=+- 二、经典例题讲解： 类型一、关于特殊的函数值 例题1、计算：()()013222sin 60-︒-+-+⋅（结果保留根号．．．．．．）中考典练1： 024cos 458(3)(1)π-+++-分值6分中考典练2：2(tan 301)____-= 中考典练3：13tan 60|2|22-+-+例题2、 2sin60°－cos30°·tan45°的结果为（ ） A 、 3 33. .22B C -D ．0 例题3、等腰直角三角形一个锐角的余弦为（ ） A 、12 32. .22B C D ．l 例4、点M(tan60°，－cos60°）关于x 轴的对称点M ′的坐标是（ ） 1111.(3,); .(3,); .(3,) .(3,)2222A B C D ----例5、在锐角△ABC 中，如果2sinC=sin90°，则∠C=__。

直角三角形的边角关系知识点总结
嘿，宝子们！今天咱就来好好唠唠直角三角形的边角关系知识点，这可真是超级重要的呢！
咱先说说正弦吧。

正弦就是一个角的对边与斜边的比值哟！比如说，在
一个直角三角形里，那个角就像是我们努力的方向，对边就是我们朝着这个方向前进的距离，斜边呢就是总的路程。

就像你考试想拿高分，那高分就是你的“角”，你努力学习的成果就是对边，而整个学习的过程就是斜边呀！
还有余弦呢！余弦是邻边与斜边的比值。

可以把它想象成在一个团队里，邻边就是你身边一起努力的小伙伴，斜边依然是整个团队的力量。

是不是一下子就好理解啦？
正切就更有意思啦！正切是对边与邻边的比值。

就像是一场比赛中你的
速度和竞争对手速度的比较。

好比你和朋友一起跑步，你跑过的距离和你旁边朋友跑过的距离之比，这就是正切呀！
在直角三角形中，这些边角关系可太有用啦！知道这些，咱就能解决好
多实际问题呢！比如说，工程师盖房子的时候，就需要用这些知识来确保房子的结构稳定呀！
学习直角三角形的边角关系就像是打开了一扇通往数学奇妙世界的大门！能让我们更清楚地看到世界的规律和美好。

大家一定要好好掌握哟！我的观点就是，直角三角形的边角关系是数学中非常重要且有趣的一部分，我们一定要深入理解和运用它！。

第七讲 直角三角形的边角关系一、知识点快速归纳理解：考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30°可表示如下： ⇒BC=21AB ∠C=90°3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90°可表示如下： ⇒CD=21AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、射影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90° BD AD CD •=2⇒ AB AD AC •=2CD ⊥AB AB BD BC •=2 6、常用关系式由三角形面积公式可得：AB •CD=AC •BC考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即casin =∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ， 即cbcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b atan =∠∠=的邻边的对边A A A④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即abcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 三角函数 0° 30°45°60° 90° sinα21 22 23 1cos α 123 22 21 0tan α 0 33 13不存在cot α 不存在 3133 04、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系： sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系： 1cos sin 22=+A A （3）倒数关系： tanA •tan(90°—A)=1 （4）弦切关系： tanA=AAcos sin 5、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时， （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 考点四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念2、解直角三角形的理论依据在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c（1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理） （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系：ba B ab Bc a B c b B a b A b a A c b A c a A ========cot ,tan ,cos ,sin ;cot ,tan ,cos ,sin二、知识点练习题方式方法及技巧渗透1．如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m （即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ） A ．（53332+）m B ．（3532+）m C ． 533m D ．4m 2．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C =90o ，AC =6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA =51，则AD 的长为（ ） （A ） 2 （B ）3 （C ）2 （D ）13．已知在ABC △中，90C ∠=o，设sinB n =，当B ∠是最小的内角时，n 的取值范围是（ ）A ．202n <<B ．102n << C ．303n << D ．302n << 4．如图，小正方形的边长都为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°5．如图，已知一商场自动扶梯的长z 为10米，该自动扶梯到达的高度h 为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tan θ的值等于( )6．如图，矩形ABCD 中，AB ＞AD ，AB =a ，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ．则DM +CN 的值为（用含a 的代数式表示）( )A ．aB ．a 54C ．a 22D ． a 23 7．在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，则tanB ＝ （ ） A ．43 B ．34 C ．35 D ．458．在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，则cos B ∠的值为（ ）A ．12B ．22C ．32D ．33aNM CDAB（第6题）BA ED C30°第1题第2题CA第4题图第5题图9．计算2sin 45°的结果等于（ ）A ．2B ．1C ．22 D ．21 10．在Rt △ABC 中,∠C=90°,若AC=2BC,则sin A 的值是( )A ．12B ．2C ．5D ．5 11．在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=54，则cosB 的值等于（ ） A ．53 B. 54 C. 43D. 5512．在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，则tanB ＝（ ） A ．43 B ．34 C ．35 D ．4513．在7,35,90,==∠=∠∆AB B C ABC Rt οο中，则BC 的长为 （ ）（A ）ο35sin 7（B ）ο35cos 7（C ）ο35cos 7 （D ）．ο35tan 714．如上右第9题图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥AB ，AD=CD 54cos =∠DCA ，BC=10，则AB 的值是（ ） A ．9 B ．8 C ．6 D ．315．如图，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m 米，到达点C ，测得∠ACB ＝α，那么AB 等于（ ）(A) m ·sin α米 (B) m ·tan α米 (C) m ·cos α米 (D) αtan m米16．如图，△ABC 的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则A ∠tan 的值是 （ ）A ．56 B ．65 C ．3102 D ．1010317．sin30︒的值等于 （ ） （A ）12（B ）2 （C ）3 （D ）118．已知在Rt ABC △中，390sin 5C A ∠==°，，则tan B 的值为（ ） A ．43B ．45C ．54D ．3419．如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上距离楼底O 点20 m 的点A 处，测得楼顶B 点的仰角∠OAB A BC m α(第15题图)D BC E ＝65°，则这幢大楼的高度为 （ ） （结果保留3个有效数字）． （A ）42.8 m（B ）42.80 m （C ）42.9 m （D ）42.90 m20．如图，在正方形ABCD 中，O 是CD 边上一点，以O 为圆心，OD 为半径的半圆恰好与以B 为圆心，BC 为半径的扇形的弧外切，则∠OBC 的正弦值为 ．21．如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= ．22．已知：如图，梯形ABCD 中，AB//CD ，∠A=600 ，AD=5cm ，DC=6cm ，AB=10cm 。

）cosAcosB tanA ; tanB ;sin sin <>>A B 直角三角形的边角关系一、知识点回顾1、锐角A 的三角函数（1）、∠A 的正弦：在Rt △ABC 中，sinA= （2）、∠A 的余弦：在Rt △ABC 中，cosA=（3）、∠A 的正切：在Rt △ABC 中，tanA=【注】①当0°<α<90°时，0<sin α<1 ；0<cos α<1②当0°<α<45°时，0<tan α<1；当45°<α<90°时，tan α>12、锐角三角函数的性质（1）1、1A cos A sin 22=+ （2）、AAA cos sin tan = （3）、在Rt △ABC 中，sinA=cosB ，cosA=sinB（4）、对于锐角A 的每一个确定的值，其三个三角函数值也是唯一确定的。

（5）、锐角∠A 的正弦、正切值随∠A 的增大而增大；∠A 的余弦值随∠A 的增大而减小。

（如果B ∠>A ∠，那么 （6）、45°是αsin 和αcos 的值的分界点，①当0°<α<45°，αsin <αcos ；②当 45°<α<90°，αsin >αcos ；③当α=45°时，αsin =αcos ） （7）、在Rt △ABC 中，tanA>sinA （tanA=b a ，sinA=ca，而b<c ） 3、直角三角形的边角关系（1）角的关系：两锐角互余（︒=∠+∠90B A )（2）边的关系：两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理，222c b a =+）（3）边与角的关系：sinA=c a ，cosA=c b ，tanA=ba， （4）直角三角形的相关性质①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(如图：AB 21CD =)②30°角所对的直角边等于斜边的一半（如图，∠A=30°，AB 21BC =)4、特殊角的三角函数值三角函数0° 30° 45° 60° 90° αsinαcostan α5、解直角三角形的应用（1）、仰角、俯角从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．（2）、坡度、坡角坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即lhi =． （坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6．）坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有lhi =＝tan α．（显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．） （3）、方位角“上北下南，左西右东”.叙述方位角时，以南北为主，东西为辅.6、直角三角形可解的条件和解法（1）已知c 和∠A ，求a 和b. a= ，b=（2）已知a 和∠A ，求c 和b. b= , c= （3）已知b 和∠A ，求a 和c. a= ，c= （4）已知a 和b ，求c 和∠A. c= ，∠A=（5）在如图所示的“大套小”的图形中，Rt △ADC 和Rt △BDC 有一条公共边CD ，求CD 的长. 设CD=x ，则DABC┌ αmβαββαtan tan tan mtan -⋅在Rt △ACD 中， AC=αtan x；在Rt △BCD 中，BC=βtan x ；因为AB=AC-BC ，所以，可建立关于x 的方程:αtan x-βtan x =m （方程思想） 解得x= 即求出了CD 的长.二、专题训练。

a A
∠的对边
(1)角A的正弦：锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，
即sinA＝
(2)角A的余弦：锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，
即cosA＝
(3)角A的正切：锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作t an A，
即t an A＝
(4)角A的余切：锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作c ot A，
即c ot A＝
2.直角三角形中的边角关系
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2
(2)锐角之间的关系：A＋B＝90°
(3)边角之间的关系：
sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝
t an A＝c ot B＝， cot A＝t an B＝
3.三角函数的关系
(1)同角的三角函数的关系
1)平方关系：sinA2＋cosA2＝1
2)倒数关系：t an A·c ot A＝1
3)商的关系：t an A＝，c ot A＝
(2)互为余角的函数之间的关系
sin(90°－A)＝cosA，cos(90°－A)＝sinA
t an(90°－A)＝c ot A， cot(90°－A)＝t an A
4．一些特殊角的三角函数值
角函数值都是正值
即
(3)坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示，则tanα＝
(4)方位角:从某点的指北方向线，按顺时针方向转到目标方向线所成的角.。

九年级下册第一章 直角三角形的边角关系【知识要点】一、锐角三角函数：正切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即b A atan =; 正弦．．：．在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即ca sin =A ; 余弦：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cA bcos =; 余切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cA b cot =; 注：（1）sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). （2）sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A,习惯省去“∠”号； （3）sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位. （4）sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关. （5）角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等. 1、三角函数和角的关系tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。

sinA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，sinA 的值越大。

cosA 的值越小，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，cosA 的值越大。

2、三角函数之间的关系 （1）互为余角的函数之间的关系0º 30 º 45 º 60 º 90 º若∠A 为锐角，则①)90cos(sin A A ∠-︒=；)90sin(cos A A ∠-︒=②)90cot(tan A A ∠-︒=；)90tan(cot A A ∠-︒=（2）同角的三角函数的关系 1)平方关系：sinA 2＋cosA 2＝1 2)倒数关系：tanA ·cotA ＝13)商的关系：tanA ＝A o A s c sin ，cotA ＝A Asin cos二、解直角三角形：※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。

三角形中的边角关系知识点三角形是几何学中最基本的图形之一，在三角形中，边角关系是非常重要的知识点。

边角关系指的是三角形中各边与各角之间的关系，包括角的和、角的差、角的内外切关系、角的内分线和外分线等。

下面将详细介绍三角形中的边角关系知识点。

一、角的和和差关系在任意三角形中，三个内角的和等于180度。

也就是说，对于三角形ABC，有∠A+∠B+∠C=180°。

当已知三个角中的两个角度时，可以通过角的和的关系求出第三个角的度数。

例如，已知∠A=45°，∠B=60°，通过角的和关系可以求得：∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-60°=75°除了角的和的关系，还有角的差的关系。

例如，对于任意三角形ABC，有∠A-∠B=∠C。

二、角的内外切关系一个角的内切关系是指这个角的内心位于这个角的顶点的射线上。

在三角形中，任意两个内切角的和为180度。

例如，对于三角形ABC，角A、角B和角C的内切角均为30°。

根据角的内切关系，可以得到：∠A+∠B+∠C=180°30°+30°+∠C=180°∠C=180°-30°-30°=120°角的外切关系与内切关系类似，不同之处在于内切角的内心位于角的内部，而外切角的外心位于角的外部。

同样地，任意两个外切角的和为180度。

三、角的内分线和外分线角的内分线是指从角的顶点出发，将角分成两个相等的角的射线。

角的外分线是指从角的顶点出发，将角分成两个相等的补角的射线。

在三角形中，一个角的内分线和外分线有重要的性质：它们与对边相交于三角形的内心和外心。

内心是三角形内切圆的圆心，外心是三角形外接圆的圆心。

四、边与边的关系在三角形中，边与边之间也有一些重要的关系。

1.边的和大于第三边对于任意三角形ABC，边AC和边BC的和大于边AB。

2017—2018学年寒假辅导第1讲直角萨娇新的边角关系知识清单梳理知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例正弦：sinA—•1.锐角三余弦：cosA —角函数正切：tanA—Z A的对边a斜边—cZ A的邻边=b 斜边cZ A的对边=aZ A的邻边=b.一定根据严格按照三角函数构.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°si nA1羽43222cosA眉122"2 ta nA昼3143知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形.4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2+ b2= c2；⑵锐角之间的关系：/ A + Z B = 90°a b a⑶边角之间的关系：sinA = =cosB=-, cosA = sinB=-, tanA = £.⑷相等的角①商的关系：tanA=;②平方关系：sin2A+cos 2A=1.(5)互余的两角：若/ A+Z B=90° ,则sinA=cosB , cosA=sinB.知识点三：解直角三角形的应用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1) 仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角•视线在水平线下方的角叫做俯角.(如图①)(2) 坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示. 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用a表示，则有i = tan a (如图②)(3) 方向角：平面上，通过观察点O作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角. (如图③)6.解直角三角形实际应用的(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；⑵将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3) 选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4) 得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便;已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.例：在Rt△ ABC中，已知a=5, /A=30°,贝U c= ,b= .解直角三角形中基本模型：(1) 叠合式“双直角三角形”的(2)背靠式■:解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.一般步骤问题的解.专题讲座专题一：锐角三角函数的概念例2.锐角三角函数求值:类型二.利用角度转化求值：例6.已知：如图，Rt△ ABC中，/ C= 90°. D是AC边上一点，DE丄AB于E点.DE : AE = 1 : 2. 求: sinB、cosB、tanB. 注意：1.sinA、/ cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比,与直角三角形的 _________ 无关2.取值范围___ <sinA< _____ ; ______ < cosA< _________例1.如图所示，在Rt△ ABC中，/ C= 90°.没有tanA>,这些比值只与有关,)斜边sin ( )斜边② cos A( )斜边cos③ tan A()A的邻边tan( )斜边B的对边( T在Rt△ ABC 中，/ C= 90 LI * c,右a= 9,b= 12, 则c=sinA=cosA =tanA=si nB= _________ ,例3.已知：如图，Rt△ TNM 中，/ TMN = 90°,求：sin / TMR、cos/ TMR、tan/ TMR.cosB =tanB = _ _ .MR丄TN 于R 点，TN=4,MN = 3.类型一：直角三角形求值例4.已知Rt△ ABC中，C390 , ta nA , BC412,求AC、AB 和cosB.例5.已知A是锐角，si nA8，求cosA, tan A 的值17① sin A3例8•如图，菱形 ABCD的边长为10cm , DE 丄AB , si nA，则这个菱形的面积 = cm 2.5例9•如图，沿AE 折叠矩形纸片 ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处•已知AB 8 , BC 10 ,AB=8,则tan / EFC343 4的值为（）A. -B. -C. 3D .-4355类型三•化斜三角形为直角三角形例 10.如图，在△ ABC 中，/ A=30° , / B=45 , AC=23，求 AB 的长.1 例 11.已知：如图，△ ABC 中，AC = 12cm , AB = 16cm , si nA - 3(1)求AB 边上的高 CD ; (2)求厶ABC 的面积S ; (3)求tanB .例 12.已知：如图，在△ ABC 中，/ BAC = 120° , AB = 10, AC = 5. 求: sin /ABC 的值.的顶点为0,它的一边在x 轴的正半轴上，另一边例7•如图，角 例7图 例8图 0A 上有一点 P ( 3, 4)，贝U sin例9图 例13图1 24 / 111 A . - B .c .迈 D .迹 25105对应训练：类型四：利用网格构造直角三角形例13如图所示，△ ABC 的顶点是正方形网格的格点，贝U sinA 的值为（）1.在 Rt △ ABC 中，/ C = 90°,若 BC = 1, AB= J5，贝tanA 的值为() 2.在△ABC 中，/ C=90°, sinA= — 5 ABC 中， 3.如图，在等腰直角三角形 4.如图，在Rt △ ABC 中，/ 那么tanA 的值等于（C=90°, AC=8, 90 , ACA .兰5A. ?5 6 , D 为AC 上一点，若.2.2B. tanAD= 16 3 求/ B 的度数及边3 ；2.5~5~ 45DBABC 、c. ■C. 34D.-3AB ，贝U AD 的长的长.A5.如图，在Rt △ ABC 中，/ BAC=90°，点D 在BC 边上，且厶ABD 是等边三角形. 若AB=2，求△ ABC 的周长.（结 果保留根号）6.已知：如图，△ ABC 中，AB = 9，BC = 6，^ ABC 的面积等于 9,求sinB . ( )7.在厶 ABC 中，/ A=60 °，AB=6 cm ，AC=4 cm ，则△ ABC 的面积是 A.2 3 cm 2 B.4 3 cm 2 C.6 3 cm 2D.12 cm 2sin A =z<7zkI-—9 .如图，A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC 绕着点A 逆时针旋转得到 AC'B'，则tanB'的值专题二：特殊角的三角函数值锐角30°45°60°sincostan_______ 时，正弦和正切值随着角度的增大 ______ 余弦值随着角度的增大而 _______(1) 2cos30 2 sin 45 tan 60(2) tan 60 sin 2 45 2cos30例2 .求适合下列条件的锐角，八1 ⑵tan 拶V2(1) cos2⑶ sin22为() fl 11 1A. 一B.-c.-D. 1432/ AOB 如图放置，则 tan / AOB 的值是()10•正方形网格中, 1C-2D. 22 cos60 sin 45仝 tan30tan 45 sin 30⑸ 1 cos60(3) 3 =+(2 f tan30 °tan45⑷ 6cos( 16 )3.3(5)已知 为锐角，且tan(300) 3，求 tan 的值1 ()在 ABC 中，若 cos A —2 (sin BA ,B 都是锐角，求C 的度数例3.三角函数的增减性11. 已知/ A为锐角，且sin A < ，那么/ A的取值范围是( )2A. 0 < Z A < 30 °B. 30 < Z A v 60 °C. 60 < Z A < 90 °D. 30 < Z A < 902. 已知Z A为锐角，且cosA sin 30°，贝U ( )A. 0 <Z A < 60 °B. 30 <Z A < 60 °C. 60 < Z A < 90 °D. 30 <Z A < 90菱形的周长.£C274对应练习：111.计算：1 2 运tan45o(72 1.41)02.计算：(:1)20132 1sin30 ( 3.14)0例4.（三角函数在几何中的应用）已知：如图，在菱形ABCD 中，DE 丄AB 于E, BE= 16cm, si nA 1213求此5.计算:(2014 -「5)°—(cos60 ° )-2+ 38 - ：3tan30JS + (丄尸■ 2cos45fl2016)°6.计算:3.计算: -|-2-2cos60 °. 4 计算:(1S1- 4cos30°+ ( n- 3.14)(1) / BAD ; (2)sin / BAD 、cos / BAD 和 tan / BAD .9.已知：如图△ ABC 中，D 为BC 中点，且/ BAD = 90°, tan B310.如图，在 Rt △ABC 中，/ C=90°, si nB —，点 D 在 BC 边上，DC= AC = 6，求 tan / BAD 的值. 5 7.已知a 是锐角，且 sin( a +1518 4cos ( 3.14)0 tan3 的值.&已知：如图,Rt △ ABC 中，/ C = 90°, AC BC . 3，作/ DAC = 30°, AD 交 CB 于 D 点，求:计算BD专题二：解直角二角形的应用例1.（ 2012?福州）如图，从热气球 C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是 30° 45°,如果此时热气球 C 处的高度 CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则 AB 两点的距离是（）例1图A . 200 米B . 200 .-米例2•如图，某水库堤坝横断面迎水坡 A . 100m B . 100 3m C .例3. “兰州中山桥”位于兰州滨河路中段白搭山下、金城关前，是黄河上第一座真正意义上的桥梁，有“天下黄 河第一桥”之美誉。

直角三角形边角关系知识点
1.两个锐角的和为90度：
在直角三角形中，除了一个直角为90度外，另外两个锐角的和也是90度。

这是因为三角形的内角和为180度，所以剩余的两个角相加等于180度减去直角的度数，即90度。

2.勾股定理：
勾股定理是直角三角形边角关系中的一个重要定理，它表示直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

具体表达式为：a²+b²=c²
其中，a和b是直角三角形的两条直角边的长度，c是直角三角形的斜边长度。

勾股定理可以用来求解直角三角形中的边长，或者验证一个三边长组成的三角形是否为直角三角形。

3.边角关系的应用：
-求解未知边长：通过已知两边的长度，可以利用勾股定理求解第三条边的长度。

例如，已知直角三角形的一个锐角为30度，斜边的长度为10，求解另外两条边的长度。

-应用于测量：直角三角形的边角关系在测量中广泛应用，尤其是在实际工程测量中。

通过利用已知边长和角度，可以计算出其他未知边长和角度，以帮助进行准确的测量。

-平面几何证明定理：直角三角形的边角关系也可以用于证明平面几
何中的一些定理。

例如，利用勾股定理可以证明勾股数列的性质，或者证
明两条线段垂直等。

总结：
直角三角形的边角关系是直角三角形中两个锐角的和为90度，以及
勾股定理成立。

这些边角关系在数学中有广泛的应用，包括求解未知边长、测量、定理证明等。

熟练掌握直角三角形的边角关系，对于解决相关几何
问题非常重要。

2017— 2018学年寒假辅导第1讲 直角萨娇新的边角关系关键点拨与对应举例知识清单梳理知识点一：锐角三角函数的定义1.锐角三 角函数"亠 . /A 的对边 a正弦.si nA — 令［、士 =-斜边 c 方心、 /A 的邻边 b 余弦：cosA ——杓———-斜边 c工切 .AZ A 的对边 a C2.特殊角 的三角函 数值 f 度数 三角函数、 30° 45° 60° si nA 12 逅2 cosA晶至2 12 ta nA3 1根据定义求三角函数值时， 一定根据 题目图形来理解， 严格按照三角函数 的定义求解，有时需要通过辅助线来 构造直角三角形.知识点二：解直角三角形 3.解直角 三角形 的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个兀素，即三条边和两个 锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的 过程叫做解直角三角形.4.解直角三角形的 常用关系 (1)三边之间的关系：a 2 + b 2= c 2； ⑵锐角之间的关系：/ A + / B — 90° a b a ⑶边角之间的关系：sinA — =cosB=c ，cosA — sinB=;, tanA — £. 2 2⑷相等的角 ①商的关系：tanA=;②平方关系:sinA+cosA=1. (5)互余的两角：若/ A+/ B=90° ,则 sinA=cosB , cosA=sinB. 科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便; 已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便； 已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少； 已知直边求斜边，用除还需正余弦• 例：在 Rt △ ABC 中，已知a=5, / A=30°,贝U c= ,b=.知识点三：解直角三角形的应用 5.仰角、俯 度、坡角 和方向 6.解直角三角形实 际应用的 般步骤(1) 仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角 •视线在水平线下方 的角叫做俯角.(如图①) (2) 坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度 (或者叫做坡 比)，用字母i 表示. 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角， 用a 表示，则有i = tan a (如图②) (3)方向角：平面上，通过观察点 O 作一条水平线(向右为东向)和 一条铅垂线(向上为北向)，则从点0出发的视线与水平线或铅 垂线所夹的角，叫做观测的方向角. (如图③)(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； ⑵将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际 问题转化为解直角三角形问题；(3) 选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4) 得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到 问题的解.解直角三角形中“双直角三角形”的 基本模型：(1) 叠合式 (2)背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公 共的直角边，解题时，往往通过这条 边为中介在两个三角形中依次求边， 或通过公共边相等，列方程求解 .专题讲座专题一：锐角三角函数的概念例2.锐角三角函数求值:类型一：直角三角形求值3例 4•已知 Rt △ ABC 中，.C =90 ,ta nA , BC =12,求 AC 、AB 和 cosB .48例5.已知• A 是锐角，sinA ，求cosA , tanA 的值17类型二.利用角度转化求值：例6.已知：如图， Rt △ ABC 中，/ C = 90°. D 是AC 边上一点，DE 丄AB 于E 点.DE : AE = 1 : 2. 求: sinB 、cosB 、tanB .注意：1.sinA 、/ cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比, 与直角三角形的 ___________ 无关2.取值范围 _____ <sinA< _____ ; ______ < cosA< _________例1.如图所示，在 Rt △ ABC 中，/ C = 90°.没有tanA>,这些比值只与有关,)斜边sin( )斜边② cos A =( )斜边cos tan( )斜边.B 的对边在 Rt △ ABC 中，/ C = 90,若 a = 9, b = 12,则c =sinA = cosA = tanA = si nB= _________ , 例 3.已知：如图， Rt △ TNM 中，/ TMN = 90°, MR 丄 TN 于 R 点，TN = 4, 求：sin / TMR 、cos / TMR 、tan / TMR .cosB =tanB =MN = 3.① sin A = I例7•如图，角:.的顶点为0,它的一边在 x 轴的正半轴上，另一边0A 上有一点P( 3, 4)，贝U sin o ( =1 例 11.已知：如图，△ ABC 中，AC = 12cm , AB = 16cm , sinA = —3(1)求AB 边上的高 CD ; (2)求厶ABC 的面积S ; (3)求tanB .例 12.已知：如图，在△ ABC 中，/ BAC = 120° , AB = 10, AC = 5. 求: sin /ABC 的值.类型四：利用网格构造直角三角形例13如图所示，△ ABC 的顶点是正方形网格的格点，贝ysinA 的值为( )A . 1B .上C .五D . 口2 5 10 5例8图「i1…ib ■ « v v I ■ E ■ ■彳.•丿:c1 i •例13图 例9图 3 例8•如图，菱形 ABCD 的边长为10cm , DE 丄AB , si nA ，则这个菱形的面积 5例9•如图，沿AE 折叠矩形纸片 ABCD ，使点D 落在BC 边的点C. 3 5 cm 2.A. 3 4 类型三•化斜三角形为直角三角形 的值为()B. 4 3 F 处.已知 AB =8 , BC 二 10 ,AB=8,则 tan / EFC D.4 5 例 10.如图，在△ ABC 中，/ A=30°，/ B=45 ,AC=2、3，求 AB 的长.。

a A
∠的对边
我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙
(1)角A的正弦：锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，
即sinA＝
(2)角A的余弦：锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，
即cosA＝
(3)角A的正切：锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作t an A，
即t an A＝
(4)角A的余切：锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作c ot A，
即c ot A＝
2.直角三角形中的边角关系
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2
(2)锐角之间的关系：A＋B＝90°
(3)边角之间的关系：
sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝
t an A＝c ot B＝， cot A＝t an B＝
3.三角函数的关系
(1)同角的三角函数的关系
1)平方关系：sinA2＋cosA2＝1
2)倒数关系：t an A·c ot A＝1
3)商的关系：t an A＝，c ot A＝
(2)互为余角的函数之间的关系
sin(90°－A)＝cosA，cos(90°－A)＝sinA
t an(90°－A)＝c ot A， cot(90°－A)＝t an A
4．一些特殊角的三角函数值
角函数值都是正值
即
(3)坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示，则tanα＝
(4)方位角:从某点的指北方向线，按顺时针方向转到目标方向线所成的角.。

DSE 金牌数学专题系列 经典专题系列直角三角形边角关系一、 导入二、 知识点回顾 （一）、基础知识1．锐角三角函数定义在直角三角形ABC 中，∠C=900，设BC=a ，CA=b ，AB=c ，锐角A 的四个三角函数是： (1) 正弦定义：∠A 的正弦=A a sin A=c∠的对边，即斜边； （2）余弦的定义：∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边 ,（3）正切的定义：∠A的正切=A a tan=A b∠的对边，即∠的邻边这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件：（1）锐角∠A 必须在直角三角形中，且∠C=900；（2）在直角三角形 ABC 中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。

否则，不存在上述关系 2、坡角与坡度:①坡面的铅直高度h 与水平宽度l 的比为坡度（或坡比），用字母i 表示，即i=hl，坡面与水平夹角α叫 坡角 ，即坡度等于坡角的正切（tan α= i ）。

②工程上斜坡的倾斜程度通常用坡度来表示，坡面的铅直高度h 与水平宽度l 的比为坡度（或坡比），坡度是坡角的正切，坡度越大，坡面越陡 3、锐角三角函数关系：(1) 互为余角的三角函数关系．若∠A+∠B=∠90，则sinA=cosB,cosA=sinB.即：sin （90○－A ）=cosA ， cos （90○－A ）=sin Atan （90○－A ）= cotA cot （90○－A ）=tanA (2) 同角的三角函数关系．①平方关系：sin 2 A+cos 2A=l ②倒数关系：tanA ×cotA=1③商数关系：sin cos tan ,cot cos sin A AA A A A==00 300 450 600sin A 0 2122 22 cos A 1 22 2221tan A331 3(1) 同名三角函数的大小比较①正弦、正切是增函数．三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小． ②余弦、余切是减函数．三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。